FUNÇÃO
TERCEIRA PARTE
(i=')
"
""'"Equipe de Ensino de Matemática
/MECC/UN/CAMP
Encerramos, neste número da revista, a publicação do primeiro
volume do texto FUNÇÃO, da equipe da UN/CAMP. No
pró-ximo número, daremos inicio à publicação do segundo volume,
no qual uma análise mais detalhada das representações
grafi-cas de funções leva à função polinomial de primeiro grau.
SITUAçOes N9s 26, 27, 28, 29, 30 e 31
Sem perder de vista os conceitos iniciais
sobre funçAo, domrnio, campo de variaçAo e
conjunto-imagem,
desenvolvem-se,
nestas
situações, algumas idéias sobre funções
injeti-vas, sobrejetivas e bijetivas.
A fim de facilitar este estudo e, ao
mes-mo tempo, oferecer uma alternativa para a
representaçAo de funções de domrnio finito,
introduzem-se, na situaçAo n9 26, os
diagra-mas de flechas.
No final do texto, a construçAo de
gráfi-cos de uma mesma funçAoe domrnios
diferen-tes permite identificar as alterações
provoca-das no gráfico de uma funçAo, quando se varia
o seu domrnio.
Fig. 17 B SITUAÇAo N9 26 Sejam A = {1, 2, 3, 4 I e B = I O, " 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
1) Construa uma tabela. associando a cada ele-mento de A o seu dobro em B.
2) Esta lei é uma função?
3) Sendo função. determine seu domínio, seu campo de variação. seu conjunto-imagem e construa o seu gréfico.
Nas situações anteriores, as funções foram representadas através de tllbellls fi
griJ-ficos. O diagrama de flechas da figura 17
mostra uma outra maneira de se representar uma função: as flechas indicam que cada ele-mento do domínio A está associado à sua imagem no campo de variação B.
o Z ::i o > tI: W
Observe a figura 17 e responda às ques-tões seg uintes :
4) Todo elemento de B é correspondente de algum elemento de A?
5) Existem dois elementos diferentes em A com o mesmo correspondente em B? a.: o tI: -« ::;:;:
Nesta sltuaçAo, trabalha-se
uma funçAo
injetiva e nAo sobrejetiva, portanto, nAo
bijeti-va, cujo domrnio é o conjunto A
=
t
1, 2,3, 4 }, cujo campo de variaçAo é o conjunto
B
=
t
O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
I
e cujo
conjunto-imagem é 1m
=
t
2, 4, 6, 8}c:
B.
O gráfico da funçAo é:
Chama-se INJ ETIVA toda funçAo que, a
quaisquer
dois elementos
distintos
do seu
domrnio, associa
imagens
distintas
no seu
campo de variaçAo.
Chama-se
SOBREJETIVA toda
funçAo
cujo conjunto-imagem
coincide com o seu
campo de variaçAo.
Toda funçAo simultaneamente
injetiva e
sobrejetiva, diz-se BIJETIVA
As denominações
injetiva, sobrejetiva e
bijetiva nAo sAo mencionadas no texto do
alu-no visto que, a esta altura, lhe seriam pouco
significativas.
Presentemente,
estas
idéias
serAo tAo somente
trabalhadas
vindo, mais
tarde, a ser designadas pelo seu nome
especr-fico.
A observaçAo do diagrama
de flechas
facilitará as respostas a08 itens 4 e 5 desta
situaçAo.
SITUAÇAo N' 27
SejamI
-2, -1, O, 1, 2} e
\
O, 1, 4I
A -B1) Construa uma tabela associando a cada
ele-mento de A o seu quadrado em B.
3) Sendo função. construa um 'diagrama de fle-chas. determine o seu domínio. seu campo de variação e seu conjunto-imagem.
4) O que você pode concluir. comparando o
conjunto-imagem com o conjunto B?
5) Verifique se há elementos distintos em A com a mesma imagem em B. Dê exemplos.
Trata-se de uma funçAo sobrejetiva e nAo
injetiva, portanto, nAo bijetiva, onde o domrnio
é o conjunto A
= 1-2, -1, O, 1, 21. O conjunto
B = 10, 1, 41 é, ao mesmo tempo, campo de
variaçAo e conjunto-imagem.
A observaçAo do diagrama de flechas
facilitará as respostas aos itens 4 e 5.
o Z :J o > a: w o a: .« ~ tL oe
o
elo z -' o > a: w o a: « ~ F tLSITUAÇAo N' 28
Seja A o conjunto dos alunos de sua equipe e B o conjunto das séries do 1Q grau.
1) A relação que associa cada aluno da equipe à sua série. é uma função de A em B?
2) Sendo função. construa um diagrama de
flechas. escreva o seu domínio. o seu campo de variação e o seu conjunto-imagem.
3) O que você pode concluir. comparando o
con-junto-imagem com o conjunto B?
4) Elementos distintos de A têm o mesmo
correspondente em B? Explique.
Tem-se, nesta situaçAo, um exemplo de
funçAo constante nAo injetiva e nAo
sobrejeti-va, portanto, nAo bijetiva.
O domrnio é o conjunto A. formado pelos
alunos da equipe; o campo de variaçAo é o
conjunto B
=
I" série. 2' série,... 8' sériel
e o conjunto imagem é 1m = \6' série I c: B.
O diagrama de flechas facilitará as
res-f.- 1--,,1k--. 1
-...
o
1
.. xSITUAÇAo
N' 29
Um veículo roda 8 km com um litro de gasolina. Seu tanque comporta 40 litros.
1) Complete a tabela da figura 18.
o z ~ o > II W c..: 2 II ,« ~ Fig. 18
2) Se A é o conjunto dos números da primeira coluna da tabela e B é o conjunto dos nú-meros da segunda coluna, a relação que asso-cia aos elementos de A. os elementos de B é uma função?
3) Sendo função, construa um diagrama de flechas, escreva o seu domínio, o seu campü de variação e o seu conjunto-imagem.
4) O que você pode concluir, comparando o con-junto-imagem com o conjunto B?
5) Verifique se há elementos distintos em A com a mesma imagem em B. O que você conclui? 6) Copie o diagrama construído no item 3,
inver-tendo o sentido das flechas. Este novo diagra-ma representa udiagra-ma função de B em A? 7) Faça o mesmo para as situações n9s 26, 27 e
28. Você obteve funções de B em A? Explique.
Nesta situaçAo, tem-se um exemplo de função injetiva e sobrejetiva, portanto bijetiva,
O conjunto
A =
[0,0;0,5;1,0;1,5;2,0;4,0; 10,0;25,0;40,0]é o domfnio da função, e o conjunto
B
=
[0,4; 8; 12; 16; 32; 80; 200; 320] é, ao mesmo tempo, seu campo de variação e seu conjunto-imagem. Um diagrama de flechas facilitará as conclusões aos itens 4 e 5.Os itens 6 e 7 pretendem explorar a exis-tência de uma funçAo inversa para a8 funções consideradas a partir da situação n' 25.
Invertendo-se o sentido das flechas no diagrama obtém-se, nesta situaçAo n' 29, uma função de B em A, o mesmo nAo ocorrendo nas situações n' 26 (onde elementos do novo domrnio B ficarAo sem correspondente no campo de variação A) e n's 27 e 28 (onde ele-mentos do novo domhiio B terão mais que um correspondente no campo de variaçAo A).
o z ::; o > II W a.. o II .« ~ litros km Rodados 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 4,0 10,0 25,0 40,0 x
SITUAÇAo ,N' 30
Responda às perguntas seguintes analisando a figura 19, na página ao lado.
Discuta as respostas com seus colegas.
1) Quais destes diagramas representam uma
função de A em B? Escreva a relação que
representa cada uma destas funções, usando
x para representar os números de A e y para
representar os números de B.
2) Escreva o domínio, o campo de variação e o conjunto-imagem para cada função do item 1.
3) Faça o gráfico cartesiano de cada uma das
funções do item 1.
4) Apresente pelo menos uma justificativa para os casos em que os diagramas não represen-tam uma função de A em B.
5) Compare o campo de variação e o conjunto-i-magem de cada função e indique os casos
onde ocorreu 1m
=
B.6) Entre as funções do item 1, identifique
aquelas onde dois elementos quaisquer distin-tos de A têm sempre imagem distinta em B. 7) Dos diagramas do item 1, quais representam
uma função de B em A quando invertemos o
sentido das flechas?
8) Dos diagramas citados no item 7, quais foram
também mencionados nos itens 5 e 6?
9) Analise sua resposta ao item anterior e expli-que como deve ser uma função de A em B para que seja possível determinar a sua inver-sa de B em A.
Nesta situaçAo, aparecem todos os con-ceitos abordados no desenrolar do texto, numa globalizaçAo dos vérios ângulos sob os quais uma funçAQ pode ser analisada.
As perguntas propostas na situaçAo estAo
1) diagrama 1 : y
= x + 1
diagrama 3 : y = 2x
diagrama 4 : y = x2
diagrama 6 : y = 5
diagrama 7 : y = 2x
diagrama 8 : y = O se x é par
1 se x é rmpar
diagrama 9 : y
=
3.
2) 1. Dom = A; 1m = B /2,3,41;
campo de
variaçAo = B
3. Dom = A; 1m = /6, 101
B; campo de
variaçAo
=
B
4., Dom = A; 1m = 8 = /1, 91; campo de
variaçAo = B
6. Dom = A;
1m = {51 B; campo
de
variaçAo=
B
7.Dom = A; 1m = B {4, 6,8, 10/; campo
de variaçAo = B
8. Dom = A; 1m = 1°' 11 B; campo de
variaçAo = B
9. Dom = A; 1m = {O, 3, 6, 91 B; campo
de variaçAo = B.
3)
Vide Qréficos ã pégina4) diagrama 2: NAo representa uma funçAo de A em B, pois, 3 E A nA9 tem imagem em B.
diagrama 5: NAo representa uma funçAo de A em B, pois, 4 E A tem duas imagens em B.
diagrama 10: NAo representa uma funçAo de A em B, pois, 5 E A nAo tem imagem em B e/ou 2 E A tem duas imagens em B. 5) diagrama 1 : y
=
x + 1 diagrama 4 : y=
Xl diagrama 7 : y=
2x 6) diagrama 1 : y=
x + 1diagrama 3 : y = 2x
diagrama 7 : y = 2x
diagrama 9 : y = 3x
7) diagrama 1 : y = x + 1
diagrama 7 : y = 2x
8) diagrama 1 : y = x + 1
diagrama 7 : y = 2x
9) A funçAo deveser bijetiva, isto é, ter con-junto-imagem igual ao campo de variaçAo
B e ser tal que, a quaisquer dois elementos
ima-A A A A A Fig. 19 B B B B B. 1 3 5 7 9 A A 2 B 4 B 6 A A A B 8 B 10 o z :J o > c:: w cL 2 B -<I:c:: ~ 19
SITUAÇAo N9 31
1) Construa num sistema de eixos o gráfico da função y = x + 1 cujo domínio é o conjunto ~ dos números naturais. Qual é o conjunto-i-magem desta função 7
2) Num outro sistema de eixos, construa o gráfi-co de y = x + 1 usando, agora, o gráfi-conjunto l dos números inteiros como domínio (não se esqueça de atribuir a x alguns valores inteiros negativos). E agora qual é o conjuntoõimagem da função 7
3) Use um novo sisterr 'J de eixos para construir o gráfico da função y = x
+
1, considerando, desta vez, o conjunto O dos números racionais como domínio (procure atribuir a x valores inteiros, fracionários e, dentre eles, alguns negativos).4) Escolha em cada um dos gráficos construídos, dois pontos bem próximos. Em qual dos gráfi-cos você pode marcar outros pontos entre esses que você escolheu 7
o o z ::; o > tr. w a.: o a: -<! ~
5) Compare os três gráficos construídos. Em qual deles cada ponto tem vizinhos mais próximos 7 Por quê 7
6) Qual é o conjunto-imagem da função do item 37
Nesta situaçAo, o domrnio da
funçAo
y = x + 1 é
gradativamente ampliado a fim de que se observe a conseqüente alteraçAo dogréfico.da funçAo.
Os itens 4 e 5 objetivam chamar a atençAo do estudante para a densidade do conjunto onde, entre dois números racionais quaisquer, hé sempre outro número racional. o que nAo ocorre nos conjuntos nAo densos
1 V - -1 O 1 x 6 V - -1 O 1 x 3 Y -1 -O 1 x 7 Y f- '-1 O 1 x -4 Y 1 O 1 x 8 Y '- -1 O 1 x 9 V O 1 x
MICROSCÓPIO
DIDÁTICO
m
FUNBC-CProjetado para uso no 1~ e 2~ Graus das esco-las brasileiras. o Microscópio Didático FUNBEC é um produto -nacional que possui todos os recursos necessários para o trabalho escolar. sem os
extre-mos de sofisticação, responsáveis pela elevação
do custo.
Os aumentos por ele proporcionados, de até
300 X, são suficientes para a observação de
estru-turas e organismos normalmente estudados em
aulas práticas, ao nível de 1~ e 2.0 graus, como células vegetais e animais, estruturas intra-celulares de maior tamanho (núcleo, vacúolo, etc.), grupos celulares (feixes liberianos e lenhosos, câmbio,
estômatos, etc.). ovos de vermes, componentes
do fitoplancton e do zooplancton, etc. Características de construção e operação:
- Aumento das objetivas: 4X, 10X e 20X
- Aumento da ocular: 15X
- Aumentos totais: 60X, 150X e 300X
- Corpo basculante com ângulo de observação
entre 300 e 900 com a horizontal
- Foca/ização por ajuste da altura do canhão
- Platina fixa, de plástico resistente. com duas
presilhas para prender a lâmina
- ..Dimensões: Altura 270 a 295 mm, diâmetro
da base 163 mm - Peso: 1,6 kg PREÇO:
Cr$ 22.100,00 + 15% DE IPI
- SUJEITO A ALTERAÇÃO o z :::; o > lI: LU ~ o lI: -« 21) Dom = N 2) Dom = Z 3) Dom = o.
y y y /' , ,/ " ,/ , " " ,/ " " 1 1 !. " " O x O x ," O x ," , " /
