CAPÍTULO VI: Métodos de Resposta em Freqüência. VI. Introdução:
O objetivo deste capítulo é a familiarização com os métodos de resposta em freqüência, o que possibilitará a análise de sistemas de controle e que também fornece subsídios para o projeto de compensadores. O termo “resposta em freqüência” significa resposta em regime estacionário de um sistema com estrada senoidal.
O projeto de sistemas de controle realimentado é provavelmente executado na indústria usando métodos de resposta em freqüência mais que qualquer outro. A razão primária para a popularidade destes métodos é que eles apresentam bons projetos em face de incertezas no modelo da planta.
Uma outra vantagem do uso da resposta em freqüência é a facilidade com que dados experimentais podem ser usados para propósito de projeto. Nenhum processamento intermediário de dados para chegar ao modelo do sistema (pólos e zeros ou matrizes do sistema) é requerido. Assim, muito comumente, funções de transferência de sistemas complicados são determinadas experimentalmente através de testes de resposta em freqüência. Além disso, a abordagem da resposta em freqüência possui as vantagens de que um sistema pode ser projetado de modo que os efeitos de ruídos indesejáveis sejam desprezíveis.
A idéia básica dos métodos de resposta em freqüência é variarmos a freqüência do sinal senoidal de entrada de um sistema em um certo intervalo e estudarmos a resposta resultante do sistema, Y(S), conforme veremos a seguir. Seja o sistema abaixo:
X(S) Y(S)
G(S)
Aplica-se na entrada um sinal senoidal dado por
2 2 ) ( ) sen( ) ( w S Xw S X wt X t x + = ⇒ =
) )...( )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 S p S pn p S S b S a S b S G + + + = =
A Transformada de Laplace da saída é:
2 2 ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( w S wX S a S b S X S G S Y + ⋅ = = (VI.1)
Obs: Este estudo é limitado a sistemas estáveis.
A resposta de regime estacionário de um sistema linear, invariante no tempo e estável, para uma entrada senoidal não dependente das condições inicias, portanto, podemos supor condições iniciais nulas.
Se Y(S) possui apenas pólos distintos, então a Eq. VI.1 pode ser expandida para: n n S S B p S B p S B jw S A jw S A S Y + + + + + + + − + + = * ... ) ( 2 2 1 1 (VI.2)
onde A e Bi (i=1,2,...,n) são constantes, e A* é o complexo conjugado de A. A transformada inversa de Laplace de Y(S) é:
0)
(t
...
*
)
(
1 2 2 1+
+
+
≥
+
+
=
− − − −pt n t p t p jwt jwtA
e
B
e
B
e
B
e
nAe
t
Y
(VI.3)Como o sistema é estável, então conforme t tende a infinito, os termos tendem a zero. Portanto, todos os termos do 2
t p t p t p
e
e
ne
− 1,
− 2,...,
− o membro daEq. VI.3, exceto os dois primeiros, se anulam em regime estacionário.
Obs: Se Y(S) envolver pólos pi de multiplicidade m, então y(t) envolverá termos do tipo
t p h
e
it
− (h = 0, 1, 2,..., m-1). Como o sistema é estável, por hipótese, os termost
he
−pit tendem a zero conforme t tende a infinito.Assim, independentemente de o sistema possuir pólos distintos ou não, a resposta em regime estacionário resulta em:
j jw G X w S wX j jw G X w S wX e A Ae t Y jw S jw S jwt jwt 2 ) ( . jw).G(S). -(S A* e 2 ) ( . jw).G(S). (S A onde, * ) ( 2 2 2 2 = + = − − = + + = + = = − = − (VI.4)
Desde que G(jw) é uma função complexa, então podemos escrevê-la na seguinte forma: φ j e jw G jw G( )= ( ).
Onde |G(jw)| é o módulo de G(jw) e φ sua fase, ou
= ∠ = − G(jw) de real parte G(jw) de imaginária parte ) (jw tg 1 G φ Analogamente, φ φ j j G jw e e jw G jw G(− )= (− ). − = ( ). −
Então, a equação (VI.4) pode ser escrita como segue:
) sen( . ) ( ) ( 2 } { ) ( . ) ( 2 . ) ( . 2 . ) ( . ) ( 2 ) ( . 2 ) ( . ) ( ) ( ) ( φ φ φ φ φ + = − ⋅ = ⋅ + ⋅ − = ⋅ + ⋅ − − = + − + − − − wt jw G X t y j e e jw G X t y e j e jw G X e j e jw G X t y e j jw G X e j jw G X t y wt j wt j jwt j jwt j jwt jwt (VI.5) Logo, ) ( . ) sen( ) ( jw G X Y onde wt Y t y = + = φ (VI.6) y(t)=|G(jw)|.Xsen(wt+φ) x(t)=Xsen(wt) Y X
Para entradas senoidais, Senoidal Saída da Defasagem ) ( ) ( ) ( Amplitude de Relação ) ( ) ( ) ( ⇒ = ∠ ⇒ = jw X jw Y jw G jw X jw Y jw G
Portanto, as características de resposta de um sistema a entradas senoidais podem ser obtidas diretamente de:
) ( ) ( ) ( jw X jw Y jw G =
A função de transferência senoidal de qualquer sistema linear é obtida substituindo-se S por jw na função de transferência do sistema.
Exemplo VI.1: Seja o seguinte filtro RC:
Sua função de transferência senoidal G(jw) é dada por
[
]
[
]
2 2 2 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( Im ) ( Re ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( Τ + Τ − = Τ + Τ − Τ + = + = Τ = = + = + = + = = = = w jw w jw w jw G j jw G jw G RC w onde w w j jRCw RCS S G jw G jw S jw S Vin C R Vout (VI.7)Vemos então que
) ( tg (jw) e ) ( 1 1 ) ( -1 2 =− Τ Τ + = w w jw G φ
Logo, y(t) tem a forma (para x(t) = Xsenwt): )] ( tg sen[wt ) ( 1 ) ( -1 2 + Τ Τ + = w w X t y • Para w<<1/Τ o 2 Xe (jw) 0 ) ( 1+ wΤ ≅ φ ≅ X • Para w>>1/Τ o 2 0e (jw) 90 ) ( 1+ wΤ ≅ φ ≅− X • Para w=1/Τ o 2 2 e (jw) 45 2 X 2 X ) ( 1+ wΤ = = φ =− X
Portanto, o circuito RC apresentado é um filtro passa-baixa. - Resposta em Freqüência a Partir de Diagramas de Pólos e Zeros:
Considere a seguinte função de transferência: ) ( ) ( ) ( p S S z S K S G + + = (VI.8)
onde p e z são reais. A resposta em freqüência desta função de transferência pode ser obtida de
) ( ) ( ) ( p jw jw z jw K jw G + + = (VI.9)
com os fatores jw+z, jw e jw+p sendo números complexos, conforme a figura ao lado: jw Jw+z Jw+p B θ2 A φ θ1 P jw jw –p –z 0 σ
O módulo de G(jw) é: BP OP AP K p jw jw z jw K jw G . . ) ( . ) ( . ) ( = + + = (VI.10) e o ângulo de fase de G(jw) é: 2 1 1 1 ) ( 90 ) ( ) ( ) ( ) ( θ θ φ − − = ∠ − − = ∠ + ∠ − ∠ − + ∠ = ∠ − − jw G p w tg z w tg jw G p jw jw z jw jw G o (VI.11)
Obs: O sentido positivo para a medida de ângulo é definido como o sentido de rotação anti-horário.
A partir da análise de resposta transitória de sistemas de malha fechada sabemos que um par de pólos complexos conjugados próximos ao eixo jw produzirão um tipo altamente oscilatório de resposta transitória.
Exercício: Verifique que, no caso de resposta em freqüência, um par de pólos
complexos próximos ao eixo jw produz uma resposta com um pico altamente significativo.
Desde que a resposta em freqüência descreve indiretamente a localização dos pólos e zeros de uma função de transferência, podemos estimar as características de resposta transitória de um sistema a partir das características de resposta em freqüência.
As formas gráficas no domínio da freqüência para G(jw) mais usadas na análise por resposta em freqüência são:
i) gráficos logarítmicos ou Diagramas de Bode;
ii) gráfico polar ou Curva de Nyquist;
V.2.Gráficos Logarítmicos (Diagrama de Bode):
Nota: Esta apresentação foi desenvolvida por H.W.Bode nos laboratórios Bell entre 1932 e 1942.
VI.2.1. Considerações gerais:
Os diagramas de Bode representam uma função de transferência senoidal em dois gráficos:
i) Módulo |db x Freqüência |rd/s
ii) Fase|graus x Freqüência |rd/s
onde a freqüência está disposta, nos dois gráficos, em uma escala logarítmica. Isto é, os dois gráficos são traçados em papel mono-log. Através da análise destes gráficos, podemos determinar experimentalmente a função de transferência de um dado sistema.
- Idéia Básica: y(t) y(t)=Ysen(wt) Y t X t x(t)=Xsen(wt) x(t) X(S) Y(S)
G(jw)
Y(S)=G(jw).X(S) (VI.12)Além da fase de G(jw), usualmente é também importante determinarmos o comportamento do ganho de potência (ou energia) do sistema no domínio da freqüência. Como
Potência (ou Energia) de Entrada ∝X2(S) e Potência (ou Energia) de Saída ∝Y2(S),
então: ( ) ) ( ) ( 2 2 2 jw G S X S Y = (VI.13)
Logo, |G(jw)|2 é o ganho de potência (ou energia) do sistema em função da
freqüência w.
O ganho de potência pode ser representado em Bel, como segue:
2
10 ( )
log G jw
GBel = (Bel)
ou, mais usualmente, em decibel, 2 10 ( ) log . 10 G jw GdB = (dB) (VI.15) ou ainda, ) ( log . 20 10 G jw GdB = (dB) (VI.16) Gráfico de Módulo (Ganho de Potência ou Energia)
10-2 10-1 100 101 102 103 60 40 20 0 -20 -40 -60 20log|G(jw)| (dB) →Escala Linear w(rd/s) Gráfico de Fase 10-2 10-1 100 101 102 103 w(rd/s) 90o 60o 30o 0o -30o -60o -90o →Escala Linear φ (graus)
Uma das vantagens do uso do decibel no módulo de G(jw) é que as operações de produto e divisão em G(jw) transformam-se em soma e subtração, respectivamente. Naturalmente, estas vantagens também ocorrem com a fase de G(jw).
Em geral, uma função de transferência pode ser representada por:
) )...( )( .( ) )...( )( .( ) ( 2 1 2 1 1 n N m p S p S p S S z S z S z S K S G + + + + + + = (VI.17)
onde N é um número inteiro, K1 é uma constante real, zi (i=1,2,...,m) representa
um zero e pj(j=1,2,...,n) um pólo.
Para a análise no domínio da freqüência, G(S) é melhor representada como segue: ) 1 )...( 1 )( 1 .( ) 1 )...( 1 )( 1 .( ) ( 2 1 1 S S S S S S S K S G n N m b a Τ + Τ + Τ + Τ + Τ + Τ + = (VI.18)
O módulo de G(jw) em dB é dado por:
∑
∑
= = Τ + − − Τ + + = Τ + − − Τ + − Τ + − − Τ + + + Τ + + Τ + + = = n j j m i i dB n N m b a dB jw jw N jw K G jw jw jw jw jw jw jw K jw G G 1 1 2 1 1 log . 20 log . 20 1 log . 20 log . 20 1 log . 20 ... 1 log . 20 1 log . 20 log . 20 1 log . 20 ... 1 log . 20 1 log . 20 log . 20 ) ( log . 20Logo, a resposta completa é a soma dos diferentes efeitos de cada zero e pólo do sistema.
(VI.19)
- Resumo das Vantagens dos Diagramas de Bode:
a) Sistemas conectados em série, aparecem simplesmente como soma nos diagrama de Bode;
b) Em um mesmo diagrama é possível observar a resposta do sistema em baixas e altas freqüências;
c) Os diagramas de Bode podem ser traçados experimentalmente. VI.2.2. Fatores Básicos de G(jw):
Em geral, G(jw) é constituído do produto e da divisão de quatro tipos básicos de fatores:
i) ganho K;
ii) fatores integral e derivativo (jw)±1; iii) fatores de 1a ordem (1+ jwΤ)±1;
iv) fatores de 2a ordem
1 2 2 1 ± + + n n w jw w jw ξ .
- O ganho K: (VI.20) K K Obs K K o o dB 1 log . 20 log . 20 : 0 K , 0 18 0 K 0 K constante log . 20 10 − = < > = ∠ = = - O Fator Integral jw 1 : o dB jw w jw jw 90 1 (dB) log . 20 1 log . 20 1 − = − = = w(rd/s) 10-2 10-1 100 101 102 Módulo em dB K=10 , K=–10 K=1 K=1/10 K=–10 K=1/10 , K=1 , K=10 w(rd/s) 180o 0o –180o 20log|K| 20 0 –20 10-2 10-1 100 101 102 Módulo em graus (VI.21a) (VI.21.b (VI.22) (VI.23)
Para verificarmos a inclinação no diagrama do módulo, deve-se variar a freqüência, por exemplo, em um década (w →10w) e observar o acréscimo ( ou decréscimo) em dB, como segue:
20 log . 20 ) 10 log .(log 20 10 log . 20 . 10 1 =− =− + =− − w w w w j
Obs: Podemos também verificar que a inclinação é –6dB por oitava. Graus -90o Fase X Freqüência 10-1 100 101 102 w(rd/s) 10-1 100 101 102 w(rd/s) dB 20 0 –20 Módulo X Freqüência - O fator Derivativo (jw): o jw w jw jw 90 (dB) log . 20 log . 20 = ∠ = = (VI.24) (VI.25) Obs: A inclinação no diagrama de módulo agora é 20dB/década.
Graus 90o Fase X Freqüência 10-1 100 101 102 w(rd/s) 10-1 100 101 102 w(rd/s) Módulo X Freqüência dB 20 0 –20 Se ou )
( )
,então . 1 ) n n jw Gjw w j Gjw = =( )
20log( )
20 .log dB ou dB log . 20 . 1 log 20 . 1 w n jw jw w n w j w j n dB n n dB n = = − = = (VI.26) (VI.27) Além disso,( )
n o o n n jw n w j 90 ou , 90 . 1 = ∠ − = (VI.28) (VI.29) A inclinação no diagrama do módulo de (jw)±n é de ±20n dB/década.- Fatores de 1a Ordem (1+ jwΤ)±1
→ Zero ou Pólo Real Simples: Seja: G(jw)=(1+ jwΤ)±1
onde Τ é uma constante real. O módulo de G(jw) em dB é:
(
2)
1 ) ( 1 log 20 1 log 20 ) ( log 20 ) (jw = G jw = + jwΤ± =± + wΤ G dB (VI.31)A curva do módulo de G(jw) em dB é geralmente encontrada por aproximações assintóticas. A aproximação assintótica é feita considerando valores de w muito elevados e também valores de w muito pequenos, como segue:
• Para baixas freqüências (wΤ<<1):
dB 0 1 log 20 ) ( 1 log 20 ) (jw =± + wΤ 2 ≅± = G dB (VI.32) • Para altas freqüências (wΤ>>1)
dB log 20 ) ( log 20 ) ( 1 log 20 ) (jw =± + wΤ 2 ≅± wΤ 2 =± wΤ G dB (VI.33)
A equação (VI.33) representa uma linha reta com inclinação ±20dB/década, cuja interseção com o eixo 0B ocorre em
Τ = 1 w . O ponto Τ = 1 w , também chamado de freqüência de canto, dá a interseção da curva relativa a baixas freqüências com a de altas freqüências.
A fase de G(jw)=(1+ jwΤ)±1 é dada por: ∠G(jw)=±tg−1wΤ
• Para w→0⇒∠(1+ jwΤ)±1 →0o • Para w (1 jw ) 5,7o 10 1 ⇒∠ + Τ 1 =± Τ = ± • Para w 1 ⇒∠(1+ jwΤ) 1 =±45o Τ = ± • Para w 10⇒∠(1+ jwΤ) 1 =84,3o Τ = ± • Para w→∞⇒∠(1+ jwΤ)±1 →90o
As curvas do módulo de real e aproximada e as curvas de fase para estes G(jw) são dadas como segue:
1 ) 1 ( ) (jw = + jwΤ ± G (dB) 1 1 1 10 100 100T 10T T T T 1 (1+jw) (1+jw)1 Curva real Curva real Módulo X Freqüência 40 20 0 –20 –40 w(rd/s) (graus) 90o 45o 0o –45o –90o 1 (1+jw) (1+jw) Curva real Curva real 1 1 1 10 100 100T 10T T T T Fase X Freqüência w(rd/s)
O erro entre a curva real de
(
)
11+ jwΤ − e as linhas retas assintóticas é simétrico em relação à freqüência de canto
Τ = 1
wc . O erro em wc é –3dB e –1dB
tanto 2wc como em wc/2. Além disso, em uma década acima ou abaixo, o erro
cai a aproximadamente –0,04dB. O gráfico do erro em dB versus freqüência é mostrado abaixo: 0 -1 Erro -2 (dB) -3 -4
.
Erro w(rd/s) 1 1 1 1 1 2 4 6 10 10T 6T 4T 2T T T T T T -0,04dB- Fatores Quadráticos 1 2 2 1 ± + + n n w jw w jw ξ :
Sistemas de controle normalmente possuem fatores quadráticos da forma:
2 2 1 1 + + n n w jw w jw ξ (VI.34)
Se ξ>1, este fator quadrático pode ser expresso com um produto de dois
fatores de 1a ordem com pólos reais. Aqui estaremos interessados em 0<ξ<1, quando o fator quadrático é o produto de dois fatores complexos conjugados.
A curva de resposta em freqüência assintótica pode ser obtida como segue: Desde que: 2 2 2 2 2 20log 1 2 2 1 1 log 20 ⋅ + − − = + + n n n n w w w w w jw w jw ξ ξ (VI.35) (VI.36)
para baixas freqüências tais que w<<wn, o log do módulo resulta em dB 0 1 log 20 = − (VI.37)
A assíntota de baixa freqüência é, portanto, uma reta horizontal em 0dB. Para altas freqüências tais que w>>wn, o log do módulo resulta em,
dB log 40 log 20 22 n n w w w w =− − (VI.38)
A equação para a assíntota de alta freqüência é uma reta possuindo inclinação –40dB/década desde que
log 40 40 10 log 40 n n w w w w=− − − (VI.39)
A assíntota de alta freqüência intercepta a de baixa freqüência em w=wn
dB 0 1 log 40 log 40 =− = − n w w (VI.40)
Esta freqüência é a freqüência de canto do fator considerado.
As duas assíntotas que acabamos de deduzir são independentes do valor
de ξ. Próximo a freqüência w=wn, ocorre um pico de ressonância, conforme
pode ser esperado a partir da equação (VI.34). A relação de amortecimento ξ determina a amplitude de pico de ressonância. Portanto, existem obviamente erros na aproximação pelas assíntotas. O valor de erro depende do valor de ξ.
Será grande para pequenos valores de ξ. O valor real de |G(jw)| em w=wn é:
ξ 2 1 | ) ( |G jw =
O ângulo de fase do fator quadrático
1 2 2 1 − + + n n w jw w jw ξ é − ⋅ − = + + = − 2 1 2 1 2 2 1 1 ) ( n n n n w w w w tg w jw w jw jw ξ ξ φ (VI.40)
O ângulo de fase é uma função tanto de w como de ξ. Em w=0, o ângulo de fase é igual a 0o. Na freqüência de canto w=wn, o ângulo de fase é –90o
independentemente de ξ, desde que, 1 1 900
0 2 =− ∞=− − = tg− ξ tg− φ
Em w=∞, o ângulo de fase resulta em –180o. A curva do ângulo de fase é
anti-simétrica em relação ao ponto de inflexão, o ponto onde φ= –90o .
A figura que segue fornece as curvas exatas do log do módulo conjuntamente com as assíntotas e as curvas do ângulo de fase para alguns valores de ξ do fator quadrático dado na equação (VI.34). Se forem desejadas correções nas curvas assintóticas, a correção necessária em um número suficiente de freqüências pode ser obtida a partir desta figura.
As curvas de resposta em freqüência para o fator 2 2 + + n n w jw w jw ξ 1 podem
ser obtidas simplesmente invertendo-se o sinal daquelas do log do módulo e das
curvas do ângulo de fase do fator 2
2 1 1 + + n n w jw w jw ξ
Para obter as curvas de resposta em freqüência de uma dada função de transferencia quadrática, devemos inicialmente determinar o valor da freqüência
de canto wn e do coeficiente de amortecimento ξ. Então, usando a família de
curvas fornecida na figura, podem-se construir as curvas de resposta em freqüência.
- A freqüência de ressonância wr e o Valor do Pico de Ressonância Mr. O módulo de 2 2 2 2 2 2 1 1 ) ( 2 1 1 ) ( + − = + + = n n n n w w w w jw G é w jw w jw jw G ξ ξ (VI.41)
Se |G(jw)| possui um valor de pico em alguma freqüência, esta freqüência é denominada a freqüência de ressonância. Desde que o numerador de |G(jw)| é constante, ocorrerá um valor de pico de |G(jw)| quando
2 2 2 2 2 1 ) ( ⋅ + − = n n w w w w w g ξ (VI.42)
é um mínimo. Desde que a equação (VI.42) pode ser escrita ) 1 ( 4 ) 2 1 ( ) ( 2 2 2 2 2 2 ξ ξ ξ − + − − = n n w w w w g (VI.43)
o valor mínimo de g(jw) ocorre em = 1−2ξ2
n w w . Portanto, a freqüência de ressonância wr é 707 , 0 0 2 1− 2 ≤ ≤ = n ξ ξ r w w (VI.44)
Conforme a relação de amortecimento ξ tende a zero, a freqüência de ressonância tende a wn. Para 0<ξ<0,707, a freqüência de ressonância wr é
menor do que a freqüência natural amortecida = 1−22
n
r w
w , que é exibida na
resposta transitória. Da equação (VI.43) pode-se observar que, para ξ>0,707, não há pico de ressonância. Para ξ>0,707, o módulo |G(jw)| decresce monotomicamente com o aumento da freqüência w. Isto significa que o módulo |G(jw)| é menor que 0dB para todos os valores de w>0. É bom lembrar que para
0,7<ξ<1, a resposta a degrau é oscilatória, porém as oscilações são bastante amortecidas e pouco perceptíveis.
O valor do pico de ressonância Mr, pode ser determinado substituindo-se a equação (VI.44). Para 0≤ξ≤0,707,
2 1 2 1 ) ( ) ( ξ ξ − = = = máx r r G jw G jw M Para ξ>0,707 Mr=1
Conforme ξ tende a zero, Mr tende a infinito. Isto significa que se o sistema não amortecido for excitado em sua freqüência natural, o módulo de G(jw) torna-se infinito. O ângulo de fatorna-se na freqüência de ressonância wr é
ξ ξ2 1 1 2 ) ( =− − ∠G jwr tg−
A figura que segue os gráficos do pico de ressonância versus ξ e também de wr versus ξ. wr/wn Mpw 1,0 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,1 3,25 3,0 2,75 2,5 2,25 2,0 1,75 1,5 1,25 1,0 Mpw wr/wn 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 ξ
-Procedimento Geral para Construção das Curvas Logarítmicas de Resposta em Freqüência:
1o Passo: Rescreva a função de transferência senoidal G(jw)H(jw) como o
produto dos fatores básicos discutidos;
2o Passo: Identifique as freqüências de canto associadas aos fatores básicos; 3o Passo: Desenhe as curvas assintóticas do log-módulo, com inclinações
apropriadas entre as freqüências de canto;
4o Passo: Trace a curva exata efetuando as correções apropriadas.
Nota: A curva do ângulo de fase de G(jw)H(jw) pode ser desenhada adicionando-se as curvas dos ângulos de fase dos fatores individuais.
Exemplo: Desenhe os diagramas de Bode para a seguinte função de transferência.
[
]
2 ) ( ). 2 ).( ( ) 3 ( 10 ) ( 2 + + + + = jw jw jw jw jw jw G 1o Passo:( )
( )
+ + + + = 1 2 2 . 1 2 . 1 3 . 5 , 7 ) ( 2 jw jw jw jw jw jw G2o Passo: G(jw) é composta pelos seguintes fatores:
( )
1( )
2 1 1 2 2 e 1 2 , 1 3 , , 5 , 7 − − + + + jw+ jw jw jw jwAs freqüências de canto do canto do terceiro, quarto e quinto termos são w=3,w=2 e w= 2, respectivamente.
3o Passo: Para construir o diagrama de Bode; as curvas assintóticas separadas para cada um dos fatores serão mostradas na próxima figura. A curva composta é então obtida adicionando-se algebricamente as curvas individuais, como mostra a figura. Note que as curvas assintóticas individuais são adicionadas em cada freqüência, a inclinação da curva composta é acumulativa. Abaixo de
2
w= ; o gráfico possui a inclinação de –20dB/década. Na primeira freqüência
de canto w= 2, a inclinação muda para –60dB/década e continua com esta
inclinação até a próxima freqüência de canto em w=2, onde a inclinação torna-se –80dB/década. Na última freqüência de canto w=3, a inclinação muda para – 60dB/década.
4o Passo: Uma vez desenhada a curva aproximada de log-módulo, pode ser
obtida a curva real adicionando-se as correções em cada freqüência de canto e nas freqüências um oitava abaixo e acima das freqüências de canto. Para os
fatores de 1a ordem ( , as correções são ±3dB na freqüência de canto e
±1dB nas freqüências correspondentes a uma oitava acima e abaixo da freqüência de canto. As correções necessárias para o fator quadrático são
1
) 1+ jwΤ ±
obtidas das curvas apresentadas na figura para vários ξ’s. A curva exata do log-módulo para G(jw) é indicada por uma linha tracejada na figura abaixo:
Para a construção da curva completa do ângulo de fase, devem ser esboçadas as curvas do ângulo de fase para todos os fatores. A soma algébrica das curvas do ângulo de fase dos fatores resulta na curva completa do ângulo de fase, conforme indicado na figura.
Trabalho:
Apresentar um estudo esquemático dos seguintes tópicos:
1. Sistemas de Fase Mínimas e Sistemas de Fase Não-Mínima. (Ilustrando com dois exemplos)
2. Atraso de Transporte (Ilustrando com os diagramas de Bode para dois exemplos – desenhados ou simulados).
3. Relação entre o Tipo de Sistemas e a Curva do Módulo em dB.
4. Determinação dos Coeficientes de Erro Estático de Posição, de Velocidade e de Aceleração.
Prazo de Entrega: 01 semana
Exercício: Traçar os diagramas de Bode para os seguintes sistemas:
) 2 )( 1 ( ) ( h) ) 2500 5 )( 5 )( 1 ( ) ( g) ) 64 8 )( 2 ( ) 1 ( 1000 ) ( f) ) 1000 )( 1 ( ) 100 )( 10 ( 100 ) ( e) 1 , 0 1 10 ) ( d) 1 , 0 1 1 ) ( c) 1 1 ) ( b) 10 1 1 ) ( a) 2 2 2 + + + = + + + + = + + + + = + + + + = + = + = + = + = − S S S S e S G S S S S S S G S S S S S S G S S S S S G S S G S S G S S G S S G S Trabalho Opcional
1) Modelar um sistema físico qualquer fazendo as linearizações adequadas.
2) Estabilizar o sistema por ,no mínimo , dois métodos de compensação quaisquer, tal que a saída do sistema apresente características satisfatórias tanto em regime transitório quanto em regime permanente.
3) Simule a saída do sistema tanto para o sistema não compensado como para o sistema compensado.
VI.3. Gráficos polares (Diagramas de Nyquist)
IV.3.1. Formas Gerais dos Gráficos Polares.
Os gráficos polares são importantes na análise e projeto de sistemas porque, para um sistema do tipo:
G(S)
∑ Y(S)
R(S) +
aplicando o critério de estabilidade de Nyquist no diagrama polar de G(S), do sistema de malha aberta, podemos obter informações sobre a estabilidade absoluta e relativa de:
) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( S G S G S R S Y S T + = =
que é o sistema de malha fechada. Então, estudaremos agora a forma geral que tem o gráfico polar de uma planta com funções de transferência G(S).
Seja: ) )...( )( .( ) )...( )( .( ) ( 2 1 2 1 1 λ λ − + + + + + + = n m p S p S p S S z S z S z S K S G
que pode ser rescrito como:
) 1 )...( 1 )( 1 .( ) 1 )...( 1 )( 1 .( ) ( 2 1 2 1 + Τ + Τ + Τ + Τ′ + Τ′ + Τ′ = − S S S S S S S K S n m λ λ G
Sua função de transferência senoidal é:
) 1 )...( 1 )( 1 .( ) ( ) 1 )...( 1 )( 1 .( | ) ( ) ( 2 1 2 1 λ λ − = Τ + Τ + Τ + Τ′ + Τ′ + Τ′ + = = n m jw S jw jw jw jw jw jw jw K S G jw G O módulo de G(jw) é: λ λ − Τ + × × Τ + × Τ + × Τ′ + × × Τ′ + × Τ′ + × = n m jw jw jw jw jw jw jw K jw G 1 ... 1 1 1 ... 1 1 ) ( 2 1 2 1 A fase de G(jw) é: ) 1 ( ... ) 1 ( ) 1 ( 90 ) 1 ( ... ) 1 ( ) 1 ( ) ( 2 1 2 1 λ λ−∠ + Τ −∠ + Τ − −∠ + Τ − − Τ′ + ∠ + + Τ′ + ∠ + Τ′ + ∠ + ∠ = ∠ n o m jw jw jw jw jw jw K jw G
- Para Baixas Freqüências (w≅0):
= → jwλ K j G w 0 lim ) 0 ( e ∠G(j0)=∠K −90oλ
- Para Altas Freqüências (w→∞):
λ λ λ − − ∞ → − ∞ → Τ ×Τ × ×Τ × Τ′ × × Τ′ × = Τ × × Τ × Τ′ × × Τ′ × = ∞ n n m m w n m w w K jw jw jw jw jw K j G ... ... lim ... ... lim ) ( 2 1 1 1 1 ) ( ... ) ( ) ( 90 ) ( ... ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 λ λ−∠ Τ −∠ Τ − −∠ Τ− − Τ′ ∠ + + Τ′ ∠ + Τ′ ∠ + ∠ = ∞ ∠ n o m jw jw jw jw jw jw K j G
Considere que nas altas freqüências , w→∞, a fase de um fator de fase
não mínima –– (1+jwT); onde T<0 –– é dada por:
(
)
owlim (1 jw ) jw 90 1 =− Τ ∠ = Τ + ∠ − ∞ →
Então, se G(jw) possui u zeros de fase não mínima, temos:
) 2 ( 90 ) ( 90 90 90 ) ( 90 ) ( u n m K n u u m K j G o o o o o − − − ∠ = − − − − − + ∠ = ∞ ∠ λ λ
Se G(jw) possui v pólos de fase não mínima, temos:
) 2 ( 90 90 ) ( 90 90 90 ) ( v n m K v v n m K j G o o o o o + − − ∠ = + − − − − + ∠ = ∞ ∠ λ λ
Consideração: Se λ>0 ( ou seja, o G(S) possui um ou mais integradores), o módulo de G(jw) nas baixas freqüências (w≅0) tende a infinito, mas, a parte real ou a parte imaginária de G(jw) tende assintoticamente a um valor constante, dependendo de λ ser ímpar ou par, respectivamente. Esse valor constante é determinado como segue:
)] ( Im[ lim A par é : Caso2 )] ( Re[ lim A ímpar é : 1 Caso 0 I 0 R jw G jw G w w + + → → = ⇒ = ⇒ λ λ
Exemplo: Seja o sistema:
1) S S( 1 + Τ =
G(S) . O gráfico polar deste sistema pode ser
determinado como segue:
[
]
4 4 3 4 4 2 1 43 42 1 )] ( Im[ ) w ( 1 . 1 )] ( Re[ ) w ( 1 -) jw jw(1 1 G(jw) 2 2 jw G w j jw G Τ + − Τ + Τ = Τ + =
Para baixas freqüências (w≅0); G(j0)=−Τ− j∞=∞∠−90o
Para altas freqüências (w→∞); limG(j ) 0 0 0 ( 180 )
w o o − j = ∠ − = ∞ + ∞ → w→ 0+ Ar=–T Im[G(jw)] Re[G(jw)]
VI.3.2. Critérios de Estabilidade de Nyquist:
O critério de estabilidade de Nyquist é bastante usado tanto em análise quanto em projetos de sistemas de controle porque possui as seguintes características:
1) Fornece a mesma quantidade de informações sobre a estabilidade absoluta de um sistema de controle que pode ser obtida através do critério de Routh-Hurwtz;
2) Indica o grau de estabilidade do sistema e também, como esta pode ser melhorada, se necessário;
3) Fornece informações sobre a resposta no domínio da freqüência;
4) Pode ser usado no estudo da estabilidade de sistemas com atrasos de transporte (tempo morto) sem a necessidade de aproximações;
5) Pode ser usado de forma modificada para o estudo de sistemas não-lineares. Passamos agora para o critério de Nyquist em si, adiantamos apenas que ele analisa a estabilidade de um sistema de malha fechada a partir da resposta em freqüência de seu correspondente sistema de malha aberta, por simples observação do diagrama polar deste, como veremos a seguir.
Considere o sistema G(S) ∑ Y(S) R(S) + onde G(S) é da forma ) 1 )...( 1 )( 1 .( ) 1 )...( 1 )( 1 .( ) ( 2 1 2 1 + Τ + Τ + Τ + Τ′ + Τ′ + Τ′ = − S S S S S S S K S n n λ λ G
temos então que,
) ( 1 ) ( ) ( ) ( S G S G S R S Y + = (VI.45)
que tem como função característica (Eq característica), F(S)=1+G(S)=0 (VI.46) Para obtermos a estabilidade assintótica, todas as raízes de F(S) devem estar no semiplano esquerdo do plano S. Isto pode ser estudado com o auxílio do Princípio de Cauchy.
Princípio de Cauchy: Quando fazemos o mapeamento dos pontos de um
contorno fechado C1 do plano S em F(S) (ou G(S)), teremos também um
contorno fechado C1’ de mesmo sentido no plano F (ou plano G). Se C1 envolver
também no sentido horário. Se C1 envolver um pólo de F(S) no sentido horário a
origem do plano F será envolvida por C1‘ no sentido anti-horário.
• Ilustração do princípio de Cauchy:
Como, F(S)=1+G(S), C3’ Re(F) C3 →C3’ Im (F) C1’ Im (F) Re(F) C1 →C1’ C2’ Im (F) C2 →C2’ Re(F) C2 C1 C3 Im (S) Re(S) (VI.47) Temos que, G(S)=F(S)−1
Então, envolvimentos na origem do plano-F implicam em envolvimentos no ponto –1+j0 do plano-G.
(VI.48)
A idéia de Nyquist foi exatamente aplicar o princípio de Cauchy para um contorno fechado (semicírculo de raio infinito) envolvendo todo o semiplano direito (instável) do plano S, com os pólos e zeros de G(S) já devidamente posicionado neste plano. O contorno fechado envolvendo o semiplano instável é mostrado abaixo:
Contorno no infinito Im (S)
• Critério de Estabilidade de Nyquist: Definindo:
Z – no de zeros de F(S), que são os pólos de malha fechada, no semiplano
direito do plano S.
P – no de pólos de G(S) (e de F(S)) no semiplano direito do plano S.
N – no de envolvimentos da origem do diagrama polar de F(S) (ou envolvimento
do ponto –1+j0 do diagrama polar de G(S)) no sentido horário.
Nyquist aplicou o Princípio de Cauchy para um contorno fechado envolvendo todo o semiplano direito (instável) do plano S e concluiu facilmente que (VI.49) P N Z ou P Z N + = − = (VI.50)
Assim, Nyquist anunciou que o sistema de malha fechada será estável se e somente se Z=0, ou N= – P ( P voltas no sentido anti-horário).
- Considerações:
1) A resposta em freqüência de qualquer G(S) que representa um sistema físico é zero na freqüência infinita. Assim, a avaliação de G(S) no contorno do semicírculo de raio infinito envolvendo todo o semiplano direito pode ser feita apenas considerando o eixo imaginário de -j∞ a +j∞.
2) Devido G(S) ser uma função complexa, a avaliação para S= –j∞ a S=0 pode ser obtida refletindo sobre o eixo real a porção da avaliação para S=0 a S=+j∞, e o gráfico polar inteiro de G(S) é então obtido facilmente.
3) Um pólo do sistema de malha aberta na origem (S=0) resulta em uma magnitude infinita de G(S) em w=0. De fato, qualquer pólo sobre o eixo imaginário cria um arco infinito. Para determinar corretamente o número de envolvimentos de –1 no gráfico polar de G(S), é necessário desenhar o arco em infinito apropriado, tal que fique claro o sentido com que o arco em infinito cruza os eixos real e imaginário. Um artifício para isso é modificar o contorno
C1 de tal forma que não envolva o pólo na origem (ou sobre o eixo
Exemplo
Considere o sistema:
Seja o contorno C1 no plano S com os pólos de G(S) posicionados.
2 ) 1 ( 1 + S S K
∑
Y(S) R(S) +Como a fase de G(S) é igual a menos a soma dos ângulos de todos os pólos, para este caso, pode ser visto que ela vai de +90o , para S imediatamente
abaixo do pólo em S=0, cruza o eixo real positivo, e vai até –90o , para S
exatamente acima do pólo. Se houvessem dois pólos em S=0, o diagrama de Nyquist no infinito teria executado um arco de 360o completo, e assim por diante para três ou mais pólos. O diagrama polar G(S) é mostrado abaixo.
-1 Raio infinitesimal C1 Im (S) Re(S) Im[G(jw)]
Para altos valores de K (Kg na figura), K
1
− é envolvido duas vezes.
Portanto, N=2 e ainda Z=2, que indica duas raízes instáveis. Para baixos valores -1 Kg W=0 W=0+ W<0 W>0 C1 -1 Ks W→∞ Re[G(jw)]
de K (Ks na figura), K
1
− não é envolvida nenhuma vez. Assim, N=0, Z=0, e
todas as raízes são estáveis.
No exemplo acima, vimos que os resultados obtidos estão de acordo com o lugar das raízes.
4) O sistema é estável se |KG(jw)|<1 quando a fase se G(jw) é –180o , para sistemas de fase mínima.
[
]
[
]
[
]
[
]
[
( ) 1]
[
( ) 180]
Sistema Instável Se o Oscilatóri Sistema 180 ) ( 1 ) ( Se tável Sistema Es 180 ) ( 1 ) ( Se ⇒ = ∠ ∩ > ⇒ = ∠ ∩ = ⇒ = ∠ ∩ < o o o jw G jw KG jw G jw KG jw G jw KG - Exemplos:Exemplo1: Considere o sistema com função de transferência:
) 1 ( 2 1 1 . 4 1 ) 2 ( 2 ) ( S S S S S G − + − = − + =
O gráfico polar deste sistema é obtido de:
43 42 1 4 4 3 4 4 2 1 Im ) 1 ( 6 Re ) 1 ( 2 1 . 4 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 . 4 ) ( 2 2 2 w w j w w jw jw w w j jw G + − + + − = − + × − + − =
• Para baixas freqüências, w≅0: G(jw)= –-4
o 180 G(j0) 4 ) 0 (j = ∠ = G
• Para altas freqüências, w→∞: lim ( )=2
∞ → G jw w o 0 ) G(j 2 ) (j∞ = ∠ ∞ = G –j√2 j√2 W=0 W= ∞ +∞ W= -4 -2 -1 0 1 2 Im[G(jw)] Re[G(jw)] O gráfico polar de G(S) é:
Obs: o ponto onde o gráfico polar corta o eixo imaginário é obtido de:
[
( )]
0 ReG jw = => 0 2 1 2 1 . 4 2 2 ± = ∴ = + + − w w wPara este sistema P=1, e N= –1, e Z=0. Logo, O sistema é estável !! Isto já era esperado, pois fazendo G(S)=KG(S), onde
) 1 ( ) 2 ( ) ( 1 − + = S S S G , temos o seguinte root-locus:
O critério de Routh estabelece que este sistema é estável para 2 1 > K . Como, para o nosso caso, K=2, este critério confirma o resultado obtido pelo critério de estabilidade de Nyquist.
Im[G(jw)]
–2 0 1
Re[G(jw)]
Exemplo 2: Considere o sistema de malha aberta:
) 1 )( 1 ( ) ( 2 1 + Τ + Τ = S S K S G
O gráfico polar de G(S) é: Im[G(S)]
Como P=0, N=0 e , consequentemente, Z=0, então o sistema é estável para quaisquer K, T1 e T2 positivos. Isto pode ser confirmado pelo LGR de G(S)
que é: Plano-G –1 K Re[G(S)] Im[G(jw)] – 1 –1 T1 T2 Re[G(jw)] T2>T1
Exemplo 3: Considere o sistema de malha aberta: ) ( . ) 1 .( ) 1 .( ) ( 1 1 2 2 KG S S S S K S G = + Τ + Τ =
com K,T1 e T2 positivos. O gráfico polar de G1(jw) é obtido de:
Τ + Τ − Τ + Τ + Τ Τ + − = Τ − Τ − × Τ + − Τ + = 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 ) ( 1 ) ( ) ( 1 1 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 .( ) 1 ( ) ( w w j w w w jw jw jw w jw jw G
Então, seu gráfico polar pode assumir os seguintes formatos: Para T1<T2: . 0 tável Sistema Es 0 , 0 , 0 > ∀ = = = K Z N P Im[G(S)] -1 -1 T1 T2 Re[G(S)] Im[G1(jw)] W=0 W→-∞ W=0+ -1 W→+∞ K Re[G1(jw)] Para T1>T2: Im[G(S)] -1 -1 T2 T1 Re[G(S)] -1 K Im[G1(jw)] Re[G1(jw)] Para T1=T2: Im[G(S)] -1 = -1 T1 T2 Re[G(S)] Im[G1(jw)] W=0 W=±∞ W=0+ -1 K Re[G1(jw)]
VI.4 estabilidade Relativa;
Sejam dos sistemas estáveis com função de transferência de malha fechada G1(S) e G2(S), cujos gráficos polares são mostrados como segue:
No tempo suas respostas em malha fechada são:
Im[G(jw)] Re[G(jw)] -1 Sistema G1 SistemaG2 y(t) Sistema 1 Sistema 2 t
Logo, o sistema 1 é relativamente menos estável que o sistema 2. Portanto, a proximidade do lugar geométrico de G(jw) do ponto –1+j0, para w perto [0,∞), pode ser usada como uma medida da margem de estabilidade do sistema. Ou seja, a margem de estabilidade pode ser medida pela proximidade que o gráfico polar de G(S) tem em relação ao ponto onde a fase de G(jw) é –
180o e seu módulo igual a 1. É prática comum medir esta proximidade em
Termos de Margem de Ganho e margem de Fase. Estas margens são definidas em termos do critério de Nyquist de acordo com a figura a seguir.
MF -1 0 1 w=w2 w→∞ w=w1 w=0+ G(jw) 1 MG Im[G(jw)] Re[G(jw)]
Margem de Ganho: É uma medida de quanto o ganho pode ser aumentado até que o sistema de malha fechada chegue ao limiar de instabilidade. A freqüência
w=w1 onde a margem de ganho é medida é aquela na qual ∠G(jw)= –180o .
Seja o sistema
K
G(S)
∑
Y(S)R(S) +
Da análise pelo critério de Nyquist, sabemos que o limiar de instabilidade é dado por: K.G(jw ) 1 quando G(jw) 180o
1 = ∠ =−
Logo, o sistema é estável até o ganho atingir:
) G(jw 1 K K 1 g = =
Assim, a margem de ganho de um sistema com função de transferência de
malha aberta G(S) é dada por: , onde, G(jw ) 180o
) G(jw 1 K MG 1 1 g = ∠ =− ≡
Margem de Fase: É uma medida de quanto a fase do sistema de malha aberta deve ser subtraída até que o sistema de malha fechada chegue ao limiar de instabilidade. A freqüência w=w2 para medir a margem de fase é aquela na qual
|G(jw2)|=1. Seja o sistema G(s) ∑ Y(S) R(S) +
Do critério de estabilidade de Nyquist, temos que o limiar de instabilidade é dado por: ∠G(jw2)=−180o quando G(jw2) =1
Logo, supondo que∠ ( ou seja, o sistema é estável), então o
sistema de malha fechada chegará ao limiar de instabilidade se subtrairmos gama de G(jw o jw G( 2)>−180 jw G( 2)−γ =−180 2) tal que: ∠ o
Assim, a margem de fase de um sistema com função de transferência de malha aberta G(S) é dada por:
1 ) ( , ) ( 180 2 2 = ∠ + = ≡ jw G onde jw G MF γ o
Considerações: Como conseqüência direta das definições de margem de ganho e de margem de fase temos que:
1. Para sistemas estáveis: Kg>1 e γ>0
w1>w2 γ |G(jw1)|= 1 Kg w 2 w1 γ >0 Kg>1 0 ∠G -90o -180o -270o w w |G|dB w=∞ ∠G(jw2) w=0+
2. Para sistemas instáveis: Kg<1 e γ<0
w1<w2 w2 w1 γ <0 Kg<1 0 ∠G -90o -180o -270o w w |G|dB ∠G(jw2) |G(jw1)|= 1 Kg
3. Para sistemas no limiar de instabilidade: Kg=1, γ=0 e w1=w2.
4. Um dos aspectos muito usuais do projeto por resposta em freqüência é a maneira fácil com que o projetista pode avaliar os efeitos de mudanças no ganho . De fato, a margem de fase para qualquer valor de K, em uma dada freqüência, é determinada dos diagramas de Bode quase imediatamente. Precisamos apenas desenhar no diagrama do módulo de G(jw) linhas (freqüências) onde |KG(jw)|=1.
Deste diagrama vemos que K=5 resulta um MF de –22o . Portanto o sistema é instável, enquanto que um ganho de K=0,5 resulta uma margem de
fase de +45o . Adicionalmente, se desejarmos um certa margem de fase,
digamos 70o , devemos ler o valor de |G(jw)| que corresponde a 70o e notar que
este valor é igual a 1/K. Na figura apresentada é mostrado que uma MF de 70o
será realizado com K=0,2.
5. Um alguns casos, as noções de MG e MF falham. Para sistemas de 1a e 2a
ordens, a fase nunca cruza a linha –180o ; portanto a margem de ganho é
sempre ∞. Para sistemas de ordem mais elevada, é possível haver mais que
um cruzamento em |KG(jw)| e um cruzamento na linha –180o, e as margens
previamente definidas podem ser confundidas. Adicionalmente, sistemas de fase não-mínima exibem critérios de estabilidades que são opostos àqueles já definidos. Todos estes casos especiais podem ser manipulados revertendo o diagrama de Nyquist e o critério fundamental de estabilidade baseados em envolvimentos do ponto –1.
6. Ambas as margens, especialmente a margem de fase, oferecem um medida do grau de estabilidade e algumas vezes são usadas diretamente para especificar o desempenho de sistemas de controle. É portanto interessante relacionar a MF a outras medidas do grau de estabilidade, Por simplicidade,
peguemos um sistema de malha fechada de 2a ordem sem zeros:
2 2 2 2 ) ( n n n w S w S w S T + + == ξ
Pode ser mostrado que a relação entre a MF e ξ no sistema representado por T(S) pode ser aproximado por:
100 100 MF PM = ≅ ξ
Embora este resultado tenha validade apenas para sistemas representados por T(S), ele pode ser geralmente ser usado como um regra no acesso do grau de estabilidade para todos os sistemas tendo diagrama de Nyquist tal como o que usamos para definir MG e MF (3a figura desta seção).
Usamos a relação existente entre Mr e ξ (diagrama de Bode de T(S)), podemos a partir da relação entre MF e ξ relacionar Mr a MF. Isto é visto na próxima figura, junto com o overshoot de um resposta a degrau, e proporciona um dado adicional na avaliação de um sistema de controle baseado em sua MF.
Muitos engenheiros pensam diretamente em termos de MF para julgar se um sistema de controle está adequadamente projetado. Nestes termos, uma
margem de fase de 30o , é sempre considerada como a menor MF adequada.
Acima de 30o é desejável, se facilmente obtida, enquanto que abaixo de 30o é tolerável apenas se for encontrada muita dificuldade em aumentar MF para 30o.
Trabalho: - Equipe I, II, III:
Apresentar um estudo esquematizado dos seguintes tópicos:
1. Projeto de Compensadores em Avanço de Fase pelo Método da Resposta em Freqüência; 2. Projeto de Compensadores em Atraso de Fase pelo Método da Resposta em Freqüência; 3. Projeto de Compensadores de Avanço-Atraso de Fase pelo Método da Resposta em
freqüência.
Equipe I : Apresentar os Três Tópicos e expor o Tópico 1. Equipe II : Apresentar os Três Tópicos e expor o Tópico 2. Equipe III : Apresentar os Três Tópicos e expor o Tópico 3.
Equipe IV : Apresentar um Estudo Esquematizado sobre Alguns Métodos de sintonia de Controladores PIDs.
- Referência Bibliográfica:
[1] G. Franklin, J. Powel e A. Emami-Naeini: Feedback Control of Dynamic Systems
[2] R. Dorf: Sistemas Automáticos – Teoría y Pratica. [3] B. Kuo: Sistemas de Controle Automático.
[4] K. Ogata: Engenharia de Controle Moderno.
Índice ( Parte II)
Capítulo V: Projeto de Compensadores Baseados no Lugar Geométrico das Raízes
Capítulo VI : Método de Resposta em freqüência
VI.1. Introdução
VI.2. Gráficos Logarítmicos ( Diagrama de Bode) VI.2.1. Considerações gerais
VI.2.2. Fatores Básicos de G(jw)
VI.3. Gráficos Polares (Diagramas de Nyquist) VI.3.1. Formas Gerais dos Gráficos Polares
VI.3.2. Critério de estabilidade de Nyquist VI.4. Estabilidade Relativa
