Espaços Vetoriais Normados e o Teorema da Representação de Riesz. Igor Maciel Resende de Oliveira

(1)

Instituto Federal de Educa¸c˜

ao, Ciˆencia e Tecnologia de Goi´

as

Curso de Especializa¸c˜

ao em Matem´

atica

Espa¸

cos Vetoriais Normados e o

Teorema da Representa¸

c˜

ao de

Riesz

por

Igor Maciel Resende de Oliveira

Goiˆ

ania

2015

(2)

Igor Maciel Resende de Oliveira

Espa¸

cos Vetoriais Normados e o

Teorema da Representa¸

c˜

ao de

Riesz

Monografia apresentada ao Corpo Docente do Curso de P´ os-Gradua¸c˜ao lato sensu em Matem´atica - Departamento de

´

Areas Acadêmicas II - IFG/Câmpus Goiânia, como requi-sito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Especialista em Ma-temática.

´

Area de concentra¸c˜ao: ´Algebra

Orientadora: Profa. Aline Mota de Mesquita Assis Co-orientador: Prof. Jos´e Eder Salvador de Vasconcelos

Goiˆ

ania

2015

(3)

(4)

A minha fam´ılia: Shirlene, Larissa, Nicole. A minha amiga: Mailine Morais.

(5)

Agradecimentos

A Deus, por ter me dado o dom da vida e a cada dia me proporcionar saúde para continuar e superar os obstáculos da vida e chegar até aqui.

`

A Professora Mestre Aline Mota de Mesquita Assis por ter aceitado ser orien-tadora deste trabalho, sempre incentivando e tendo muita aten¸cão, paciência, de-dica¸cão comigo durante o tempo que estivemos juntos no desenvolvimento do mesmo e pela amizade que proporcionou momentos divertidos e prazerosos. Seu apoio foi fundamental no meu desenvolvimento. Muito obrigado!

Ao Professor Doutor Jos´e Eder Salvador de Vasconcelos que apoiou todos os alunos do curso de especializa¸c˜ao deste instituto, sempre nos encorajando a continuar nossa jornada e por ter aceitado ser co-orientador deste trabalho. Muito obrigado!

`

A minha fam´ılia, em especial a minha mãe Shirlene Pereira que sempre me apoiou incondicionalmente, me incentivando a cada dia. À minha irmã, Larissa, por esta junto a mim e que no ano passado me proporcionou um momento muito feliz ao me convidar para ser padrinho da minha primeira sobrinha Nicole. Eu as amo muito. Obrigado!

A minha amiga, Mailine Morais que esteve ao meu lado durante todo o curso me apoiando sempre e me ajudando em todos os momentos de dificuldades e ter compartilhado comigo tantas alegrias e risadas. Também a minha amiga Ângela Nunes que sempre me apoiou em todos os momentos da minha vida. Muito obrigado! Aos professores do Corpo Docente da Especializa¸cão em especial aqueles com quem cursei alguma disciplina.

(6)

mi-nha forma¸c˜ao em momentos de estudo e nas conversas divertidas durante os lanches da tarde.

A Banca Examinadora pela disponibilidade e aten¸c˜ao dispensada ao meu traba-lho.

(7)

Resumo

Este trabalho tem por objetivo apresentar os conceitos e resultados de espa¸co vetorial normado, espa¸co vetorial normado com produto interno, particularmente o Espa¸co de Hilbert, e o Teorema da Representa¸cão de Riesz, para este espa¸co, tudo isso analisado sob o ponto de vista algébrico. Sendo ele uma pesquisa bibliográfica, inicia-se relembrando conceitos básicos de álgebra linear, entre outros necessários para seu desenvolvimento. Depois apresenta-se um dos conceitos centrais do trabalho que é espa¸co vetorial normado, bem como algumas de suas propriedades e explicita-se o Teorema da Representa¸cão de Riesz para espa¸co vetorial normado. Por fim, define-se alguns conceitos de topologia necessários para a defini¸cão de uma aplica¸cão de espa¸co vetorial normado com produto interno que é o Espa¸co de Hilbert, finalizando com o Teorema da Representa¸cão de Riesz para este espa¸co, sendo este teorema muito importante dentro dos estudos de Análise Funcional.

Palavras-chave: Espa¸co Vetorial Normado. Espa¸co de Hilbert. Teorema da Repre-senta¸c˜ao de Riesz.

(8)

Abstract

This work aims to present the concepts and results of normed vector space, normed vector space with inner product space, particularly Hilbert Space, and the Riesz Representation Theorem for this space, all this is analyzed through the algebraic perspective. Being a literally research, this work begins revisiting basic concepts of linear algebra and other concepts necessary for its development. After that, it is presented one of the central concepts of this work which is normed vector space, as well as some of its properties and the explanation of the Riesz Representation Theorem for the finite dimensional vector space. Finally, it is defined some necessary topological concepts for the definition of the normed vector space with inner product space application which is the Hilbert Space, ending with the Riesz Representation Theorem for this space, begin this theorem very important within the studies of Functional Analysis.

Keywords: Vector Normed Space. Hilbert Space. The Riesz Representation Theo-rem.

(9)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1 1 Preliminares 4 1.1 Espa¸co Vetorial . . . 4 1.2 Base . . . 7 1.3 Subespa¸co Vetorial . . . 7 1.4 Soma Direta . . . 8

1.5 Dependˆencia e Independˆencia Linear . . . 8

1.6 Transforma¸c˜ao Linear . . . 10

1.7 Funcional Linear . . . 11

1.8 N´ucleo e Imagem . . . 13

1.9 Espa¸co Dual . . . 13

1.10 Sequˆencias . . . 15

2 Dimens˜ao Finita e Teorema da Representa¸c˜ao de Riesz 17 2.1 Produto Interno . . . 17

2.2 Norma . . . 19

2.3 Bases Ortonormais . . . 20

2.4 Espa¸cos Vetoriais Normados . . . 21 2.5 Teorema da Representa¸c˜ao de Riesz para Espa¸co de Dimens˜ao Finita 25

3 Espa¸co de Hilbert 28

(10)

3.1 Espa¸cos M´etricos . . . 28

3.2 Sequˆencias de Cauchy . . . 29

3.3 Espa¸co Completo . . . 29

3.4 Espa¸co de Hilbert . . . 30

3.5 Teorema da Representa¸c˜ao de Riesz para o Espa¸co de Hilbert . . . . 30

Conclus˜ao 32

Referˆencias Bibliogr´aficas 33

(11)

Introdu¸

c˜

ao

´

Algebra Linear é uma vertente da Matemática que se iniciou com o estudo de-talhado de sistemas de equa¸cões lineares, sendo alguns destes estudos realizados na antiguidade como a elimina¸cão gaussiana, citada pela primeira vez por volta do século II. A Álgebra Linear utiliza conceitos matemáticos fundamentais como vetores, espa¸cos vetoriais e transforma¸cões lineares, entre outros.

Esses conceitos básicos da Álgebra Linear serão utilizados para juntamente com alguns conceitos topológicos, construirmos um espa¸co vetorial com uma norma de-finida, sendo ela derivada de um produto interno, apresentando uma aplica¸cão de toda essa teoria o Espa¸co de Hilbert e o Teorema da Representa¸cão de Riesz.

• David Hilbert (1862 - 1943), teve uma das maiores influências na área de Geo-metria depois de Euclides. Um estudo sistemático dos axiomas da Geometria Euclidiana levou Hilbert a propor vinte e um axiomas os quais ele analisou sua significância. Ele deixou contribui¸cões em diversas áreas da Matemática e da F´ısica.

• Frigyes Riesz (1880 - 1956), foi um matemático nascido em Gyor, ´ Austria-Hungria (agora Austria-Hungria) e faleceu em Budapest, Austria-Hungria. Ele foi reitor e professor da Universidade de Szeged. Riesz fez contribui¸cões consideráveis no desenvolvimento da Análise Funcional e seu trabalho teve um número de aplica¸cões importantes em F´ısica. Seu trabalho foi constru´ıdo baseado em ideias introduzidas por Fréchet, Lebesgue, Hilbert e outros. Ele também tem algumas contribui¸cões em outras áreas incluindo a Teoria Ergódica que é uma

(12)

2 ´

area da matem´atica que estuda sistemas dinˆamicos munidos de medidas inva-riantes.

Neste trabalho propormos um estudo sobre espa¸cos vetoriais normados, que são espa¸cos vetoriais munidos de uma norma, podendo ela ser derivada ou não de um produto interno, apresentaremos também uma extensão para tal estrutura algébrica que são espa¸cos com produto interno, sendo um exemplo o Espa¸co de Hilbert, além disso, será exposto o Teorema da Representa¸cão de Riesz para estes espa¸cos estuda-dos.

No Cap´ıtulo 1 serão apresentados conceitos básicos de Álgebra Linear, dentre eles estão: espa¸co vetorial, transforma¸cão linear, funcional linear, espa¸co dual e ou-tros necessários para o desenvolvimento da pesquisa, todos os conceitos citados serão apresentados na ordem supracitada, mostrando como ocorre a constru¸cão do conhe-cimento, além destes conceitos algébricos definimos também sequências e quando uma sequência é convergente, foi utilizado para compor essa parte introdutória bi-bliografias de Álgebra Linear sendo elas os itens [2], [3], [4], [6], [8], [9], [10] e [11] que foram listadas nas Referências Bibliográficas deste trabalho.

No Cap´ıtulo 2 damos in´ıcio ao estudo de espa¸co vetorial normado relacionando uma ideia algébrica que é exposta quando definimos o que é uma norma, podendo ser derivada ou não de um produto interno. Apresentamos também alguns conceitos importantes como a identidade de Pitágoras, Polar e do Paralelogramo culminando com o Teorema de Representa¸cão da Riesz para Espa¸cos Vetoriais de Dimensão Finita, neste Cap´ıtulo foi utilizado as bibliografias de itens [1], [2], [8], [10] e [11] todas contidas nas Referências Bibliográficas.

Finalizando o trabalho, no cap´ıtulo 3 aplicamos os conceitos estudados nos cap´ıtulos anteriores, definimos Espa¸co de Hilbert, que é um espa¸co vetorial normado com produto interno, mas para tal defini¸cão precisamos de conceitos estudados pela topologia: métrica, espa¸co métrico e espa¸co completo. Assim, fechamos este cap´ıtulo enunciando e demonstrando o Teorema da Representa¸cão de Riesz para o Espa¸co

(13)

3 de Hilbert, esta parte é composta por refêrencias de Topologia e Análise Funcional sendo elas os itens [1], [5] e [7] das Referências Bibliográficas.

(14)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

1.1 Espa¸

co Vetorial

Um conceito básico em Álgebra Linear é o conceito de espa¸co vetorial, sendo ele uma estrutura algébrica que tem como objeto de trabalho vetores com tamanho, dire¸cão e sentido, associados com as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão por números reais, formando assim a ideia básica de espa¸co vetorial. A partir disso, para definirmos um espa¸co vetorial, precisamos de um conjunto de vetores, as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão por escalares dos elementos deste conjunto. Neste cap´ıtulo, apresen-taremos conceitos que envolvem espa¸co vetorial como, transforma¸cão linear, espa¸co dual e outros conceitos necessários ao entendimento dos cap´ıtulos seguintes.

Defini¸cão 1.1. Seja E um conjunto não vazio munido das opera¸cões + : E ×E → E que a cada par u, v ∈ E faz corresponder u + v ∈ E e · : R × E → E que a cada par α ∈ R e v ∈ E faz corresponder o vetor α · v ∈ E. Dados os vetores u, v, w ∈ E e α, β ∈ R, E é um espa¸co vetorial se satisfaz as seguintes propriedades:

i) u + v = v + u (Comutatividade)

ii) (u + v) + w = u + (v + w) (Associatividade da adi¸c˜ao)

iii) (α · β) · v = α · (β · v) (Associatividade da multiplica¸c˜ao por escalar)

iv) Existe 0 ∈ E tal que v + 0 = 0 + v = v, para todo v ∈ E (Elemento neutro da

(15)

5 adi¸c˜ao)

v) Para cada v ∈ E existe −v ∈ E, tal que v + (−v) = 0 (Inverso Aditivo)

vi) (α + β) · v = α · v + β · v (Distributiva da soma de escalares em rela¸c˜ao a um vetor)

vii) α · (v + u) = α · v + α · u (Distributiva de um escalar em rela¸c˜ao a soma de vetores)

viii) 1 · v = v (Elemento Unidade)

Observa¸c˜ao 1.2. O 0 refere-se ao vetor nulo e o 0 ao numeral zero.

Observa¸cão 1.3. Neste trabalho utilizaremos a condi¸cão de que o espa¸co vetorial é real, isto é, os escalares são números reais. Se, por ventura, os escalares são toma-dos em um corpo K qualquer, a Defini¸cão 1.1 ainda é válida, contudo estar´ıamos tratando de espa¸co vetorial sobre o corpo K ou K−Espa¸co Vetorial.

Exemplo 1.4. V = R2 _{= {(x, y)|x, y ∈ R} ´e um espa¸co vetorial com as opera¸c˜oes}

de adi¸cão e multiplica¸cão por um número real assim definidas: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2)

α(x1, y1) = (α · x1, α · y1)

E assuma (x, y) = (z, t) se, e somente sex = y e z = t

Para verificar os oito axiomas do espa¸co vetorial, considere u = (x1, y1), v =

(x2, y2) e w = (x3, y3). Tem-se:

i) Comutatividade: u+v = (x1, y1)+(x2, y2) = (x1+x2, y1+y2) = (x2+x1, y2+y1) =

(x2, y2) + (x1, y1) = v + u

ii) Associatividade da adi¸c˜ao: u+(v +w) = (x1, y1)+((x2, y2)+(x3, y3)) = (x1, y1)+

(x2 + x3, y2+ y3) = (x1+ x2+ x3, y1+ y2+ y3) = ((x1+ x2) + x3, (y1+ y2) + y3) =

(x1+ x2, y1+ y2) + (x3, y3) = (u + v) + w

iii) Associatividade da multiplica¸c˜ao por escalar: (α · β) · u = (α · β) · (x1, y1) =

(16)

6 iv) Elemento neutro da adi¸c˜_{ao: Existe 0 = (0, 0) ∈ R}2_{, para todo u = (x}

1, y1) ∈ R2

tal que:

u + 0 = (x1, y1) + (0, 0) = (x1+ 0, y1+ 0) = (x1, y1) = u

v) Inverso Aditivo: Para todo u = (x1, y1) ∈ R2, existe (−u) = (−x1, −y1) ∈ R2 tal

que: u + (−u) = (x1, y1) + (−x1, −y1) = (x1− x1, y1− y1) = (0, 0)

vi) Distributiva da soma de escalares em rela¸c˜ao a um vetor: (α + β) · u = (α + β) · (x1, y1) = ((α + β) · x1, (α + β) · y1) = (α · x1 + β · x1, α · y1 + β · y1) =

(α · x1, α · y1) + (β · x1, β · y1) = (α · (x1, y1)) + (β · (x1, y1)) = α · u + β · u

vii) Distributiva de um escalar em rela¸c˜ao `a soma de vetores: α·(u+v) = α·((x1, y1)+

(x2, y2)) = α·(x1+x2, y1+y2) = (α·(x1+x2), α·(y1+y2)) = (α·x1+α·x2, α·y1+α·y2) =

(α · x1, α · y1) + (α · x2, α · y2) = α · (x1, y1) + α · (x2, y2) = α · u + α · v

viii) Elemento Unidade: 1 · u = 1 · (x1, y1) = (1 · x1, 1 · y1) = (x1, y1) = u

Assim, V = R2 _´_{e um espa¸co vetorial.}

Exemplo 1.5. Os conjuntos R3, R4, . . . , Rn, com n ∈ N, são espa¸cos vetoriais com as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão por escalar definias no Exemplo 1.4. O conjunto R também é um espa¸co vetorial pois satisfaz todas as propriedades de um espa¸co vetorial. Os vetores, neste caso, são números reais.

Exemplo 1.6. O conjunto F (R) = {f : R → R}, tal que f é uma fun¸cão, com a opera¸cão de adi¸cão de elementos definida como:

(f + g)(x) = f (x) + g(x); para todo f, g ∈ F (R) e a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao por escalar definida como:

(λf )(x) = λf (x); para todo f ∈ F (R)eλ ∈ R ´e um espa¸co vetorial real.

Exemplo 1.7. O conjunto C([a, b]) = {f : [a, b] → R tal que f é uma fun¸cão cont´ınua}, com a opera¸cão de adi¸cão de elementos e com a opera¸cão de multiplica¸cão por escalar definidas no Exemplo 1.6, é um espa¸co vetorial real.

(17)

7

1.2 Base

Defini¸c˜ao 1.8. Seja E um espa¸co vetorial. Uma base de E ´e um conjunto de vetores em E que seja linearmente independente e que geram o espa¸co E.

Exemplo 1.9. Consideremos os vetores e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . ,

en = (0, 0, 0, . . . , 1) do Rn. No Exemplo 1.19 mostraremos que o conjunto B =

{e1, e2, . . . , en} ´e LI em Rn. Tendo em vista que todo vetor v = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn

pode ser escrito como combina¸c˜ao linear de e1, e2, . . . , en, isto ´e:

v = x1e1+ x2e2+ · · · + xnen

conclui-se que B gera o Rn_{. Portanto, B ´}_{e uma base de R}n_{. Essa base ´}_{e conhecida}

como base canˆ_{onica do R}n_.

1.3 Subespa¸

co Vetorial

Defini¸cão 1.10. Um subconjunto S de um espa¸co vetorial E, não vazio, é um subespa¸co vetorial se for também um espa¸co vetorail. Assim, S ⊆ E é subespa¸co se: i) 0 ∈ S;

ii) u + v ∈ S, para todo u, v ∈ S;

iii) k · u ∈ S, para todo u ∈ S e para todo k ∈ R.

Exemplo 1.11. Verificar se S = {(x, y) ∈ R2; y = ax, a ∈ R − {0}}, sendo S ⊆ R2 ´e um subespa¸co vetorial.

Devemos verificar os trˆes axiomas de subespa¸co vetorial, reescrevendo o conjunto S assumindo y = ax, temos que S = {(x, ax), x ∈ R e a ∈ R − {0}}, agora verificare-mos os axiomas.

Considere u = (x1, ax1), v = (x2, ax2) e k ∈ R, tem se:

i) 0 ∈ S pois, para x = 0, temos (0, 0) ∈ S.

ii) u + v = (x1, ax1) + (x2, ax2) = (x1 + x2, ax1+ ax2) = (x1+ x2, a(x1+ x2)) ∈ S.

(18)

8 Assim, S ´_{e um subespa¸co do R}2_.

Observa¸cão 1.12. Como {(1, a)} é uma base de S, escrevemos S = [(1, a)] para dizer que S é gerado por {(1, a)}.

1.4 Soma Direta

Defini¸c˜ao 1.13. Seja E um espa¸co vetorial, U e W subespa¸cos vetoriais de E. Se U ∩ W = {0} o subespa¸co U + W ´e a soma direta dos subespa¸cos U e W , denotado por U ⊕ W .

Exemplo 1.14. Considere os seguintes subespa¸cos de R3,

U =(x, y, z) ∈ R3/z = 0 e W = (x, y, z) ∈ R3/y = 0 .

Temos que R3 _{= U + W , entretanto, n˜}_{ao como soma direta de U e W . Verificamos}

falcimente este fato, sendo U = [(1, 0, 0), (0, 1, 0)] e W = [(1, 0, 0), (0, 0, 1)]. Assim, temos que U + W = [(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)], no entanto U ∩ W = [(1, 0, 0)]. Portanto, temos que U + W = R3 mas n˜ao como soma direta.

Exemplo 1.15. Considere os seguintes subespa¸cos de R2_,

U =(x, y) ∈ R3/y = 0 eW = (x, y) ∈ R2/x = 0 .

Temos que R2 _{= U +W ´}_{e uma soma direta dos subespa¸cos U e W . Sendo U = [(1, 0)]}

e W = [(0, 1)]. Assim, temos que U + W = [(1, 0), (0, 1)] e U ∩ W = {0} . Portanto, temos que R2 _{= U ⊕ W}

1.5 Dependˆ

encia e Independˆ

encia Linear

Defini¸cão 1.16. Seja um subconjunto qualquer de um espa¸co vetorial E. Uma combina¸cão linear de elementos de S é uma soma finita

α1x1 + · · · + αnxn,

(19)

9 Defini¸c˜ao 1.17. Seja E um espa¸co vetorial e

A = {v1, . . . , vn} ⊂ E.

Considere a equa¸c˜ao

α1v1+ · · · + αnvn= 0.

Sabemos que essa equa¸c˜ao adimite pelo menos uma solu¸c˜ao: α1 = 0, α2 = 0, . . . , αn= 0

chamada solu¸cão trivial. O conjunto A diz-se linearmente independente (LI), ou os vetores v1, . . . , vn são LI, caso a equa¸cão α1v1 + · · · + αnvn = 0 admita apenas a

solu¸cão trivial. Se existirem solu¸cões αi 6= 0, diz-se que o conjunto A é linearmente

dependente (LD), ou os vetores v1, . . . , vn s˜ao LD.

Exemplo 1.18. No espa¸co vetorial R3, os vetores v1 = (2, −1, 3), v2 = (−1, 0, −2)

e v3 = (2, −3, 1) formam um conjunto linearmente dependente, pois

3v1+ 4v2− v3 = 0

ou seja,

3(2, −1, 3) + 4(−1, 0, −2) − (2, −3, 1) = (0, 0, 0)

Exemplo 1.19. No espa¸co vetorial R3, o conjunto {e1, e2, e3}, tal que e1 = (1, 0, 0),

e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1), ´e LI. De fato, a equa¸c˜ao

α1e1+ α2e2+ α3e3 = 0 ou α1(1, 0, 0) + α2(0, 1, 0) + α3(0, 0, 1) = (0, 0, 0) transforma-se em (α1, α2, α3) = (0, 0, 0) e, portanto, α1 = α2 = α3 = 0

(20)

10 Logo o conjunto

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} ´e LI. De forma an´aloga mostra-se que os vetores

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en= (0, 0, 0, . . . , 1)

formam um conjunto linearmente independente no Rn.

1.6 Transforma¸

c˜

ao Linear

Defini¸cão 1.20. Sejam E e F espa¸cos vetoriais. Uma aplica¸cão T : E → F é chamada transforma¸cão linear de E em F se:

i) T (u + v) = T (u) + T (v) ii) T (αu) = αT (u)

para todo u, v ∈ E e α ∈ R.

Exemplo 1.21. Seja E = R2 e F = R3. Uma transforma¸c˜_{ao T : R}2 _{→ R}3 associa vetores v = (x, y) ∈ R2 _{a vetores w = (x, y, z) ∈ R}3_{. Se a lei que define a}

transforma¸c˜ao T for

T (x, y) = (3x, −2y, x − y) ent˜ao, em particular temos:

T (−2, 3) = (−6, −6, −5) T (0, 0) = (0, 0, 0) T (1, 2) = (3, −4, −1)

Exemplo 1.22. Verifiquemos se T : R2 _{→ R}3_{, definida por T (x, y) = (3x, −2y, x −}

(21)

11 i) Sejam u = (x1, y1) e v = (x2, y2) em R2. Ent˜ao:

T (u + v) = T (x1+ x2, y1+ y2) = (3(x1+ x2), −2(y1+ y2), (x1+ x2) − (y1+ y2)) = (3x1+ 3x2, −2y1− 2y2), (x1+ x2− y1− y2)) = (3x1, −2y1, x1− y1) + (3x2, −2y2, x2− y2) = T (x1, y1) + T (x2, y2) = T (u) + T (v) Logo T (u + v) = T (u) + T (v).

ii) Verificaremos agora a condi¸c˜_{ao T (αu) = αT (u), α ∈ R.} T (αu) = T (α(x1, y1)) = T (αx1, αy1) = (3(αx1), −2(αy1), αx1 − αy1) = (α(3x1), α(−2y1), α(x1− y1)) = α(3x1, −2y1, x1− y1) = αT (u). Portanto T ´e uma transforma¸c˜ao linear.

1.7 Funcional Linear

Defini¸c˜_{ao 1.23. Seja V um espa¸co vetorial sobre R. Uma aplica¸c˜ao linear} f : V → R

´e chamada funcional linear.

Exemplo 1.24. Considere o espa¸co vetorial real

(22)

12 A aplica¸c˜ao T : C ([a, b]) → R f → T (f ) = Z b a f (x)dx ´e um funcional linear sobre C ([a, b]).

Exemplo 1.25. Mostre que todo funcional linear T : R2 _{→ R ´e do tipo T (x, y) =}

ax + by com a, b ∈ R.

De fato, pois sendo {(1, 0), (0, 1)} uma base de R2_{, todo v ∈ R}2 _{pode ser escrito da}

forma

(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1). Aplicando T em ambos os membros temos:

T (x, y) = T (x(1, 0) + y(0, 1)) T (x, y) = xT (1, 0) + yT (0, 1).

Tomando a = T (1, 0) e b = T (0, 1) podemos escrever T (x, y) = ax + by, como quer´ıamos.

Defini¸c˜_{ao 1.26. Seja V um espa¸co vetorial sobre R munido da norma k·k. A norma} do funcional f : V → R, induzida pela norma k·k, ´e definida por:

|kf |k = max |f (u)|

kuk ; u ∈ V − {0}

Exemplo 1.27. Seja V um espa¸co vetorial sobre R munido da norma k·k. Consi-derando v ∈ V fixo, porém arbitrário. A aplica¸cão definida por:

T : V _{→ R}

u → T (u) = hu, vi

(23)

13 Com efeito, |T (u)| kuk = |hu, vi| kuk ≤ kuk kvk kuk = kvk ⇒ max |T (u)| kuk ; u 6= 0 ≤ kvk . v = 0 implica kT k = 0.

Para v 6= 0, podemos tomar: u = v ⇒ |T (u)| kuk = hv, vi kvk = kvk2 kvk = kvk ⇒ max |T (u)| kuk ; u 6= 0 = kvk

1.8 N´

ucleo e Imagem

Defini¸c˜_{ao 1.28. Sejam V e W espa¸cos vetoriais sobre R e T uma transforma¸c˜ao} linear de V em W . O conjunto

Im(T ) = {w ∈ W ; w = T (v) para algum v ∈ V } ´e denominado imagem da transforma¸c˜ao T .

Defini¸c˜_{ao 1.29. Sejam V e W espa¸cos vetoriais sobre R e T uma transforma¸c˜ao} linear de V em W . O conjunto

Ker(T ) = {v ∈ V ; T (v) = 0} é denominado núcleo da transforma¸cão T .

1.9 Espa¸

co Dual

Defini¸c˜ao 1.30. Seja V ´_{e um espa¸co vetorial sobre R. O espa¸co vetorial} L(V, R) = {f : V → R tal que f ´e um funcional linear}

(24)

14 Teorema 1.31. Seja V um espa¸_{co vetorial sobre R e seja B = {v}1, . . . , vn} uma

base de V . Ent˜ao, existe uma ´unica base B∗ = {f1, . . . , fn} de V∗ tal que fi(vj) = δij

em que, δij =    1, se i = j 0, sei 6= j

para todo i, j = 1, . . . , n. Para cada funcional linear f ∈ V∗, temos f =

n

X

i=1

f (vi)fi,

e para todo v ∈ V , temos

v =

n

X

i=1

fi(v)vi.

Demonstrac¸˜ao: Dada a base B = {v1, . . . , vn}, sejamfi : V → R, i = 1, . . . , n, os

funcionais lineares que satisfazem

fi(vj) = δij, para todo j = 1, . . . , n.

Para mostrar que B∗ = {f1, . . . , fn} ´e uma base de V∗, basta mostrar que os

funci-onais f1, . . . , fn s˜ao LI. De fato, suponhamos que n X i=1 cifi = 0. Ent˜ao, 0 = n X i=1 cifi(vj) = n X i=1 ciδij = cj, para todo j = 1, . . . , n.

Logo, B∗ = {f1, . . . , fn} ´e uma base de V∗. Seja agora f ∈ V∗. Ent˜ao, existem

c1, . . . , cn ∈ R, tais que f = n X i=1 cifi. Como f (vj) = n X i=1 cifi(vj) = cj

para todo j = 1, . . . , n, temos que f =

n

X

i=1

(25)

15 Seja v ∈ V . Ent˜ao, existem λ1, . . . , λn ∈ R, tais que

v =

n

X

i=1

λivi.

Como fi(v) = λi, temos que,

v =

n

X

i=1

fi(v)vi.

Exemplo 1.32. Considere a base formada pelos vetores v1 = (2, 1), v2 = (3, 1) de

R2. Encontre a base dual {φ1, φ2}.

Queremos encontrar os funcionais lineares φ1(x, y) = ax + by e φ2(x, y) = cx + dy

tais que

φ1(v1) = 1, φ1(v2) = 0, φ2(v1) = 0, φ2(v2) = 1

Essas quatro condi¸c˜oes levam aos dois sistemas de equa¸c˜oes lineares a seguir:    φ1(v1) = φ1(2, 1) = 2a + b = 1 φ1(v2) = φ1(3, 1) = 3a + b = 0 e    φ2(v1) = φ2(2, 1) = 2c + d = 0 φ2(v2) = φ2(3, 1) = 3c + d = 1.

As solu¸c˜oes s˜ao a = −1, b = 3, c = 1 e d = −2. Logo φ1(x, y) = −x + 3y e

φ2(x, y) = x − 2y constituem uma base dual de R2.

1.10 Sequˆ

encias

Defini¸cão 1.33. Uma sequência em M é uma fun¸c˜_{ao f : N → M. Se denotamos,} para cada n ∈ N, f (n) por xn, podemos denotar uma sequência apenas pelas imagens

x1, . . . , xn, . . ., e indicamos por (xn).

Exemplo 1.34. Seja x : N → R, com xn = ₂1n. Neste caso obtemos a sequˆencia,

1 2, 1 4, 1 8, . . ..

(26)

16 Defini¸c˜ao 1.35. Dizemos que uma sequˆencia (xn) ⊂ M converge para x ∈ M se

para todo > 0, existi n0 ∈ N, tal que n > n0 implica em d(xn, x) < . Neste caso

dizemos que a sequˆencia xn ´e convergente.

Exemplo 1.36. Toda sequˆencia constante, xn = a, ´e convergente e converge para

a. De fato, para todo > 0 e todo n ∈ N, d(xn, a) = d(a, a) = 0 < . Portanto,

lim xn = a.

Observa¸cão 1.37. Se M é um espa¸co vetorial normado e adotamos a norma d(x, y) = kx − yk, então uma sequência (xn) converge para x se para todo > 0,

(27)

Cap´ıtulo 2

Dimens˜

ao Finita e Teorema da

Representa¸

c˜

ao de Riesz

Neste cap´ıtulo introduziremos o conceito de espa¸cos vetorias normados, relacionando conceitos alg´ebricos para tal defini¸c˜ao. Assim, apresentaremos o conceito de norma, aplicando este conceito a um espa¸co vetorial, obtendo um espa¸co normado.

2.1 Produto Interno

Defini¸cão 2.1. Produto interno num espa¸co vetorial E é um funcional bilinear simétrico e positivo:

h·, ·i : E × E → R,

ou seja, que associa a cada par de vetores u, v ∈ E um n´umero real hu, vi, que satisfaz as seguintes propriedades, com u, v, w ∈ E e α ∈ R:

i) Bilinearidade: hu + v, wi = hu, wi + hv, wi hu, v + wi = hu, vi + hu, wi

hαu, vi = α hu, vi hu, αvi = α hu, vi

(28)

18 ii) Comutatividade (simetria): hu, vi = hv, ui

iii) Positividade: hu, ui ≥ 0, se u 6= 0 e hu, ui = 0 se, e somente se, u = 0. Exemplo 2.2. No espa¸co euclidiano Rn_{, o produto interno canˆ}_{onico dos vetores}

u = (α1, . . . , αn) e v = (β1, . . . , βn) ´e definido por hu, vi = α1β1+ · · · + αnβn. Este

´_{e o produto interno que consideraremos em R}n_{, salvo aviso em contr´}_ario.

Exemplo 2.3. A aplica¸c˜_{ao h·, ·i : R}2 _{→ R dada por hu, vi = 2x}

1x2 + y1y2 com

u = (x1, y1) e v = (x2, y2) é um produto interno (não canônico) em R2. De fato,

i) Seja w = (x3, y3), iremos verificar se hu, v + wi = hu, vi + hu, wi e hαu, vi =

α hu, vi: hu, v + wi = h(x1, y1), (x2+ x3, y2+ y3)i = 2x1(x2+ x3) + y1(y2+ y3) = 2x1x2+ 2x1x3+ y1y2+ y1y3 = (2x1x2+ y1y2) + (2x1x3+ y1y3) = hu, vi + hu, wi hαu, vi = h(αx1, αy1), (x2, y2)i = 2αx1x2+ αy1y2 = α(2x1x2+ y1y2) = α hu, vi

ii) Agora verificaremos se vale a comutatividade, ou seja, se hu, vi = hv, ui. hu, vi = 2x1x2+ y1y2

= 2x2x1+ y2y1

= hv, ui iii) Na positividade teremos: hu, ui = 2x2

(29)

19

hu, ui = 0 ⇔ 2x2₁+ y₁2 = 0 ⇔ x1 = 0 = y1 ⇔ u = 0

Portanto ´e um produto interno.

Observa¸cão 2.4. Um espa¸co vetorial com produto interno é um par (V, h·, ·i) onde V é um espa¸co vetorial e h·, ·i é um produto interno em V .

2.2 Norma

Defini¸cão 2.5. Seja (V, h·, ·i) um espa¸co vetorial com produto interno. A aplica¸cão k·k : E → R dada por kvk = hv, vi1/2 é uma norma em V , a norma derivada do produto interno h·, ·i, se satisfaz as seguintes propriedades, para todo u, v ∈ V e k ∈ R:

i) kvk ≥ 0 e kvk = 0 se, e somente se, v = 0; ii) kkvk = |k| kvk,

iii) ku + vk ≤ kuk + kvk (Desigualdade Triangular)

Exemplo 2.6. Consideremos o R3 com o produto interno usual. Determine a com-ponente c do vetor v = (6, −3, c) tal que kvk = 7.

kvk =p62_{+ (−3)}2_{+ c}2 √ 62_{+ 3}2_{+ c}2 _{= 7} 36 + 9 + c2 = 49 c2 = 4 c = ±2

Proposi¸c˜ao 2.7. (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Seja E um espa¸co vetorial com produto interno h·, ·i. Ent˜ao |hx, yi| ≤ kxk kyk para quaisquer x, y ∈ E.

(30)

20 Demonstrac¸˜ao: Dado quaisquer x, y ∈ E temos:

hx + ty, x + tyi ≥ 0 para todo t ∈ R. Mas sabemos que

hx + ty, x + tyi = kxk2+ 2 hx, yi t + kyk2t2,

logo para satisfazer a desigualdade acima, o discriminante deste polinˆomio do se-gundo grau ser´a:

4 hx, yi2− 4 kxk2kyk2 ≤ 0. Deste modo,

hx, yi2 ≤ (kxk kyk)2

hx, yi ≤ kxk kyk .

Defini¸c˜ao 2.8. (Ortonogalidade de Vetor) Seja E um espa¸co vetorial com produto interno. Dados dois vetores x, y ∈ E definimos o ˆ_{angulo ∠(x, y) entre u e v por:}

∠(x, y) = arccos_{kxk kyk}hx, yi .

Em particular, se hx, yi = 0, ent˜_{ao ∠(x, y) = π/2. Dizemos que dois vetores x, y s˜ao} ortogonais se hx, yi = 0.

2.3 Bases Ortonormais

Defini¸c˜ao 2.9. Seja E um espa¸co vetorial. Diz-se que um conjunto de vetores com mais do que dois vetores v1, . . . , vn ⊂ V ´e um conjunto ortogonal se dois a dois

vetores quaisquer distintos s˜ao ortogonais, isto ´e, se hvi, vji = 0

(31)

21 Exemplo 2.10. No R3 _{com produto interno usual, o conjunto {(1, 2, −3), (3, 0, 1),}

(1, −5, −3)} ´e um conjunto ortogonal.

Defini¸c˜ao 2.11. Diz-se que uma base {v1, . . . , vn} de E ´e uma base ortogonal se os

seus vetores são dois a dois ortogonais entre si. Se além disso eles forem unitários, dizemos que {v1, . . . , vn} é uma base ortonormal para E.

Exemplo 2.12. O conjunto {(1, 2, −3), (3, 0, 1), (1, −5, −3)} ´e uma base ortogonal do R3_{, mas n˜}_{ao ´}_{e uma base ortonomal.}

2.4 Espa¸

cos Vetoriais Normados

Defini¸cão 2.13. Seja E um espa¸co vetorial, com ou sem produto interno. Qualquer aplica¸c˜_{ao N : E → R satisfazendo as condi¸cões da Defini¸cão de Norma é uma norma} em E. Aquela dada na Defini¸cão 2.5 é uma norma espec´ıfica, como já observamos é a norma induzida ou derivada do produto interno. Um espa¸co vetorial com uma norma é um espa¸co vetorial normado.

Proposi¸cão 2.14. (Identidade de Pitágoras) Seja E um espa¸co vetorial com produto interno. Então x, y ∈ E são vetores ortogonais se, e somente se,

kx + yk2 = kxk2+ kyk2, chamada assim de Identidade de Pit´agoras.

Demonstrac¸˜ao: Temos:

kx + yk2 = hx + y, x + yi = kxk2+ 2 hx, yi + kyk2,

logo x, y ∈ E satisfazem a identidade de Pitágoras se, e somente se, hx, yi = 0. Proposi¸cão 2.15. (Identidade Polar) Seja E um espa¸co vetorial com produto in-terno. Então hx, yi = 1 4(kx + yk) 2₋ 1 4(kx − yk) 2_.

(32)

22 Demonstrac¸˜ao: 1 4(kx + yk) 2₋1 4(kx − yk) 2 ₌ 1 4(hx, xi + 2 hx, yi + hy, yi) − 1 4(hx, xi − 2 hx, yi + hy, yi) = hx, yi .

Proposi¸c˜ao 2.16. (Identidade do Paralelogramo) Seja E um espa¸co vetorial com produto interno e k·k a norma induzida por h·, ·i. Ent˜ao

kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2). Demonstrac¸˜ao:

kx + yk2+ kx − yk2 = (hx, xi + hx, yi + hy, xi + hy, yi) + (hx, xi − hx, yi − hy, xi + hy, yi) = 2(kxk2 + kyk2)

Teorema 2.17. Seja E um espa¸co vetorial normado cuja norma k·k satisfaz a identidade do paralelogramo

kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2). Ent˜ao a identidade polar

hx, yi = 1

4(kx + yk)

2₋1

4(kx − yk)

2

define um produto interno h·, ·i em E tal que a sua norma ´e deridada dele.

Demonstração: Vamos verificar que h·, ·i satisfaz todas as condi¸cões para ser um produto interno em E.

(33)

23 hx, zi + hy, zi = = 1₄(kx + zk)2 ₋1 4(kx − zk) 2₊1 4(ky + zk) 2₋ 1 4(ky − zk) 2 = 1₄(kx + zk2_{+ ky + zk}2_{) −} 1 4(kx − zk 2_{+ ky − zk}2₎ = 1₈(kx + z + y + zk2_{+ kx + z − (y + z)k}2_{) −}1 8(kx − z + y − zk 2_{+ kx − z − (y − z)k}2₎ = 1₈(kx + z + y + zk2_{+ kx − yk}2 ) −1₈(kx − z + y − zk2+ kx − yk2) = 1₈(kx + z + y + zk2) − 1₈(kx − z + y − zk2) = 1₈(2 kx + y + zk2+ 2 kzk2− (k(x + y + z) − zk2) - 1₈(2 kx + y − zk2+ 2 kzk2− (k(x + y − z) + zk2) = 1₈(2 kx + y + zk2− kx + yk2) − 1₈(2 kx + y − zk2− kx + yk2) = 1₄kx + y + zk2−1 4 kx + y − zk 2 = hx + y, zi, em que hx, zi + hy, zi = hx + y, zi

para todos x, y, z ∈ E. Se α = n ∈ N, por itera¸c˜ao de hx, zi + hy, zi = hx + y, zi obtemos

hnx, yi = n hx, yi ; por exemplo, para n = 2 temos

(34)

24 Se n = −1, notando que h0, yi = 1 4k0 + yk 2₋1 4k0 − yk 2 = 1 4kyk 2₋ 1 4k−yk 2 = 1 4kyk 2₋ 1 4kyk 2 = 0, escrevemos 0 = h0, yi = hx − x, yi = hx, yi + h−x, yi , de modo que h−x, yi = − hx, yi . Da´ı, se n ∈ N, h−nx, yi = hn(−x), yi = n h−x, yi = (−1)n hx, yi = −n hx, yi . Portanto, hαx, yi = α hx, yi para todo α ∈ Z. Em seguida, para provar que

1 nx, y

= 1

nhx, yi para todo n ∈ N, notamos que

hx, yi = X 1 nx, y =X 1 nx, y = n 1 nx, y .

Reunindo os dois resultados, conclu´ımos que hαx, yi = α hx, yi para todo α ∈ Q. Para obter o resultado geral para qualquer α ∈ R, basta observar que a fun¸cão norma é cont´ınua e, como o produto interno foi definido a partir da norma, ele também é uma fun¸c˜_{ao cont´ınua. Assim, dado qualquer α ∈ R, tomamos uma sequência} (αn) ⊂ Q tal que αn → α e obtemos hαnx, yi → hαx, yi e αnhαx, yi → α hx, yi,

donde

hαx, yi = α hx, yi para todo x, y ∈ E e para todo α ∈ R.

Simetria: Temos hx, yi = 1 4kx + yk 2 − 1 4kx − yk 2 = 1 4ky + xk 2 −1 4ky − xk 2 = hy, xi .

(35)

25 Linearidade com rela¸cão à segunda variável:

Segue da simetria e da linearidade com rela¸cão à primeira variável. Positividade: Se x 6= 0, temos hx, xi = 1 4kx + xk 2 −1 4kx − xk 2 = 1 4k2xk 2 = kxk2 > 0.

Portanto, h·, ·i define um produto interno em E tal que a sua norma ´e derivada dele.

Corolário 2.18. Seja E um espa¸co vetorial normado. Então a norma de E deriva de um produto interno se, e somente se, ela satisfaz a identidade do paralelogramo. Demonstração: Com efeito, suponha inicialmente que a norma k·k em E deriva de um produto interno, isto é, kvk = hv, vi1/2, para todo v ∈ E. A Preposi¸cão 2.16 nos dá o resultado esperado. Reciprocamente suponha, que a norma k·k em E satisfaz a identidade do paralelogramo. Isto é, kx + yk2+kx − yk2 = 2(kxk2+kyk2). O Teorema 2.17 estabelece que esta norma é derivada do produto interno definido pela identidade polar.

2.5 Teorema da Representa¸

c˜

ao de Riesz para Espa¸

co

de Dimens˜

ao Finita

O Teorema da Representa¸cão de Riesz mostra como é feita a identifica¸cão entre um espa¸co normado e seu dual, tal teorema diz que todo funcional linear cont´ınuo possui um único vetor que o representa.

Teorema 2.19. Teorema da Representa¸cão de Riesz Seja V um espa¸co vetorial de dimensão finita munido de um produto interno e f ∈ V∗, então existe um único w ∈ V tal que f (v) = fw(v) = hv, wi para todo v ∈ V .

(36)

26 Demonstrac¸˜ao: Tomemos f ∈ V∗ e β = {u1, . . . , un} uma base ortonormal de V ,

desse modo para v ∈ V , temos:

v = i=1 X n aiui, com ai = hv, uii kuik2 = hv, uii . Logo v = i=1 X n hv, uii ui, Aplicando f , obtemos f (v) = f ( i=1 X n hv, uii ui) = i=1 X n hv, uii f (ui) = i=1 X n hv, f (ui)uii = * v, i=1 X n f (ui)ui + . Definindo w =Pi=1

n f (ui)ui obtemos f (v) = fw(v) = hv, wi para todo v ∈ V .

Agora mostraremos a unicidade de w. Suponha que exista w0 ∈ V de modo que f (v) = f_w0(v) = hv, w0i para todo v ∈ V . Assim, para todo v ∈ V e, portanto, w − w0 = 0 implica w = w0.

Observa¸cão 2.20. Uma observa¸cão importante sobre o Teorema da Representa¸cão de Riesz é que se f1 6= f2 são funcionais lineares distintos em V , então os valores

wf1, wf2 dados pelo Teorema s˜ao tamb´em distintos. Com efeito,

wf1 = wf2 se, e somente se,

X

f1(ui)ui =

X

f2(ui)ui.

Assim P f1(ui)ui − f2(ui)ui = 0. Como os vetores u1, . . . , un s˜ao LI segue que

f1(ui) = f2(ui)para todo i = 1, . . . , n. Donde f1 = f2 (pois u1, . . . , un´e base). Como

consequˆencia disso e da bilinearidade do produto interno temos que a aplica¸c˜ao ψ : V∗ → V

(37)

27 ´e um isomorfismo de V∗ em V . Esta ´e uma outra maneira de identificar um espa¸co vetorial com seu dual.

Exemplo 2.21. Considere o espa¸co vetorial real R3 _{munido do produto interno}

usual h·, ·i. Considere o funcional linear f : R3 → R definido por: f (u) = 2x + y − z,

para todo u = (x, y, z) ∈ R3_{. Assim, pelo Teorema da Representa¸c˜}_{ao Riesz, temos}

que

f (u) = hu, vi ,

para todo u = (x, y, z) ∈ R3. Podemos observar que o elemento v = (2, 1, −1). Assim, temos que

|kf k| = kvk =√6

Por outro lado, considere a base canˆonica {e1, e2, e3}, f (e1) = 2, f (e2) = 1, f (e3) =

−1.

X

f (ai)ei = 2(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + (−1)(0, 0, 1)

= (2, 0, 0) + (0, 1, 0) + (0, 0, −1) = (2, 1, −1)

(38)

Cap´ıtulo 3

Espa¸

co de Hilbert

Antes de definir Espa¸co de Hilbert teremos que apresentar alguns conceitos ne-cessários para tal. Dentre eles a ideia do que é métrica, como constru´ımos um espa¸co métrico e qual a caracter´ıstica que um espa¸co deve possuir para ser completo.

3.1 Espa¸

cos M´

etricos

Defini¸cão 3.1. Uma métrica em um conjunto M é uma fun¸c˜_{ao d : M × M → R,} que associa a cada par ordenado de elementos (x, y) ∈ M × M um número real d(x, y), chamado de distância de x a y , de modo que sejam satisfeitas as seguintes condi¸cões para quaisquer x, y, z ∈ M :

i) d(x, x) = 0;

ii) Se x 6= y ent˜ao d(x, y) > 0, iii) d(x, y) = d(y, x);

iv) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Defini¸cão 3.2. Um espa¸co métrico é um par (M, d), onde M é um conjunto e d é uma métrica em M .

Exemplo 3.3. Um espa¸co vetorial normado V torna-se um espa¸co m´etrico com a

(39)

29 m´etrica induzida pela norma dada por

d(x, y) = kx − yk ,

para todo x, y ∈ V. Denotamos esta m´etrica por dk·k. Com efeito,

i) d(x, x) = kx − xk = k0k = 0.

ii) Se x 6= y ent˜ao kx − yk 6= 0, logo d(x, y) 6= 0.

iii) d(x, y) = kx − yk = k−(y − x)k = ky − xk = d(y, x).

iv) d(x, z) = kx − zk = k(x − y) + (y − z)k ≤ kx − yk + ky − zk = d(x, y) + d(y, z).

3.2 Sequˆ

encias de Cauchy

Defini¸cão 3.4. Uma Sequência de Cauchy em M é uma sequência (xn) ⊂ M tal

que, para todo > 0, existe n0 ∈ N tal que n, m > n0 resulta em d(xn, xm) < .

Exemplo 3.5. A sequˆencia (xn)n ∈ N em R, dada por xn= 1_n, para todo n ∈ N∗ ´e

de Cauchy.

De fato, dado > 0, podemos encontrar n0 tal que _n1₀ < , ent˜ao se n, m ≥ n0,

sem perda de generalidade, podemos supor que n ≥ m, assim, teremos 0 < _n1 ≤

1

m ≤

1

n0. De onde concluimos que

1_n− _m1 < 1 n0 − 0 = 1 n0 < , portanto (xn) ´e uma

sequˆencia de Cauchy.

Observa¸c˜ao 3.6. Nos termos da Defini¸c˜_{ao 3.4, se (M, d) = (R}n_{, d}

||·||), em que || · ||

é a norma euclidiana, uma sequência de Cauchy é uma sequência de pontos xn∈ Rn

tal que, para todo > 0, existe n0 ∈ N tal que n, m > n0 implica que ||xn− xm|| < .

3.3 Espa¸

co Completo

Defini¸cão 3.7. Seja M um espa¸co métrico, dizemos que M é completo se, toda sequência de Cauchy em M é uma sequência convergente.

Exemplo 3.8. O conjunto dos n´_{umeros reais R com a m´etrica usual d(x, y) =} |x − y| ´e completo.

(40)

30

3.4 Espa¸

co de Hilbert

Defini¸cão 3.9. Seja H um espa¸co vetorial munido com o produto interno h·, ·i. Dizemos que H é um espa¸co de Hilbert se H é completo com a métrica induzida pelo produto interno.

Exemplo 3.10. O espa¸co euclidiano Rn ´e um espa¸co de Hilbert com o produto interno definido por

hx, yi = x1y1+ · · · + xnyn,

onde x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) s˜ao elementos de Rn. De fato, pois de hx, yi

temos que kxk = (x2

1+ · · · + x2n)1/2 e deste temos a m´etrica euclidiana definida por

ρ(x, y) = kx − yk = hx − y, x − yi1/2=(x1− y1)2+ · · · + (xn− yn)2

1/2 . Temos que (Rn_{, ρ) ´}_{e completo, pois toda sequˆ}_{encia de Cauchy converge, portanto}

(Rn_{, h·, ·i) ´}_{e um espa¸co de Hilbert.}

3.5 Teorema da Representa¸

c˜

ao de Riesz para o

Espa¸

co de Hilbert

O Teorema da Representa¸c˜ao de Riesz fornece um isomorfismo natural entre o espa¸co de Hilbert H e o seu dual H∗.

Teorema 3.11. (Teorema da Representa¸c˜ao de Riesz) Seja H um espa¸co de Hilbert. Dado f ∈ H∗, existe um ´unico y ∈ H tal que

f : H → H∗ _{= {f : V → R; f ´e linear}} x 7→ f (x) = hx, yi

para todo x ∈ H. Al´em disso,

(41)

31 Em particular,

H∗ = H

no sentido que estes espa¸cos s˜ao isometricamente isomorfos.

Demonstração: Como f ∈ H∗, segue que L = kerf é fechado. Seja L = H, então f ≡ 0 e tomamos y = 0. Caso contrário, existe z ∈ H/L tal que kzk = 1 e z⊥L. Temos H = [z] ⊕ L, onde [z] representa o conjunto de elementos de H/L gerados por z. Mais especificamente, dado z ∈ H podemos escrever

z = f (x) f (z)z + (x − f (x) f (z)z) e x −f (x) f (z)z ∈ L.

Afirmamos que y = f (z)z. De fato, fazendo o produto interno de z com o vetor y = f (z)z segue que hz, yi = f (x) f (z)z + (x − f (x) f (z)z), f (z)z = f (x) f (z)z, f (z)z + x − f (x) f (z)z, f (z)z . Como f (z)z ∈ [z], x − f (x)_{f (z)}z ∈ L e z⊥L, segue que Dx − f (x)_{f (z)}z, f (z)zE = 0. Deste modo, hz, yi = f (x) f (z)z, f (z)z = f (x) f (z)f (z) hz, zi = f (x).

Mas de acordo com a defini¸cão de z, temos que z = x, assim, temos que f (x) = hx, yi . Além disso, pela desigualdade de Cauchy-Schwartz temos |f (x)| = |hx, yi| ≤ kxk kyk, que resulta em |f (x)|_kxk ≤ kyk logo |f (x)|_kxk ≤ k, para todo x ∈ V e, sendo _kyky um vetor unitário, segue que

|kf k| ≥ f ( y kyk) = hy, yi kyk = kyk2 kyk = kyk . Portanto, |kf k| = kyk.

(42)

Conclus˜

ao

Apresentamos, neste trabalho, o que é um espa¸co vetorial e quais as carac-ter´ısticas que deve possuir a norma e o produto interno de um vetor, tendo assim elementos necessários para se construir um espa¸co vetorial normado e apresentar o Teorema da Representa¸cão de Riesz para tal espa¸co. Apresentamos uma aplica¸cão de um espa¸co vetorial normado com produto interno, que é o Espa¸co de Hilbert, este espa¸co além de necessitar de conceitos da álgebra linear, precisa também da parte inicial de topologia, relacionadas a métrica e espa¸co métrico. A teoria de Espa¸co de Hilbert é encontrada em textos de Análise Funcional, sendo este parte da ma-temática que necessita de muitos conceitos de álgebra linear, considerado até certo ponto como o estudo de Espa¸cos Normados de Dimensão Finita. Por fim expomos o Teorema da Representa¸cão de Riesz para o Espa¸co de Hilbert, que apresenta um isomorfimo entre o espa¸co de Hilbert e seu dual, e a norma de um funcional do seu dual é igual a norma de um único vetor do próprio espa¸co.

Este trabalho apresenta conceitos da Álgebra Linear que juntamente com ideias Topológicas são utilizados para a constru¸cão de teorias estudadas em Análise Fun-cional, havendo mais conceitos para ser aprofundado, como os aspectos geométricos dos espa¸cos de Hilbert, o estudo de operadores no Espa¸co de Hilbert, entre outros temas que podem ser trabalhados a fim de obter um complemento desta pesquisa.

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Referˆ

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