UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

(1)

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omputação

Programa de Pós-Graduação em Ciências de Computação e Matemática Computacional (PPG-CCMC)

O método das interfaces imersas

para a solução da equação de

Poisson-Boltzmann

Miguel Angel Rojas Meza

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SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito:

Assinatura: ______________________

Miguel Angel Rojas Meza

O método das interfaces imersas para a solução da

equação de Poisson-Boltzmann

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação – ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências – Ciências de Computação e Matemática Computacional. VERSÃO REVISADA Área de Concentração: Ciências de Computação e Matemática Computacional

Orientador: Prof. Dr. José Alberto Cuminato

USP – São Carlos Julho de 2017

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Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a) Meza, Miguel Angel Rojas

M634o O método das interfaces imersas para a solução da equação de Poisson-Boltzmann / Miguel Angel Rojas Meza; orientador José Alberto Cuminato. – São Carlos – SP, 2017.

70 p.

Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduação em Ciências de Computação e Matemática Computacional) – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação,

Universidade de São Paulo, 2017.

1. Mecânica dos Fluidos e Aplicações. 2. Poisson-Boltzmann. 3. Método das Interfaces Imersas. I. Cuminato, José Alberto, orient. II. Título.

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Miguel Angel Rojas Meza

The immersed interface method for the solution of the

Poisson-Boltzmann equation

Master dissertation submitted to the Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação – ICMC-USP, in partial fulfillment of the requirements for the degree of the Master Program in Computer Science and Computational Mathematics. FINAL VERSION Concentration Area: Computer Science and Computational Mathematics

Advisor: Prof. Dr. José Alberto Cuminato

USP – São Carlos July 2017

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Este trabalho é dedicado às mulheres da minha vida, avós, mãe, irmas, tias e primas.

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AGRADECIMENTOS

A Deus pelo dom da vida e da fé. A meus pais Miguel Angel Rojas V. e Leda Meza P. por todos os esforços que fizeram para eu poder conseguir estudar. Também a minhas irmas Vianys e Merly. A meus familiares, em especial às minhas avós Lucila e Ana por tudo que elas fizeram na minha vida. À minha mulher Elaine Cristina pela força, amor, carinho e compreensão nos momentos difíceis e a minha filha Alicia Mariana por me fazer tentar melhorar a cada dia e fazer feliz com seu sorriso e todo o seu amor. Ao meu orientador Prof. Dr. José Alberto Cuminato pela colaboração, paciência e pelas chances dadas e ao Prof. Dr. Leandro Franco de Souza por me ajudar mais do que eu precisava. Aos meus amigos Rodolfo, Rogelio, Alfredo, Edwin, Miguel, John, Ruben, Henry pela ajuda e incentivo nos dias difíceis. Aos amigos e colegas do laboratório

Lmacc, funcionários e professores do ICMC-USP, pela convivência, dicas e ajudas na pesquisa,

menção especial para o Stevens, a Fran e o Mílton que foram os que mais me ajudaram. Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico-CNPq pelo apoio financeiro. Finalmente a todos os que direta ou indiretamente contribuíram para a realização deste trabalho. Muchísimas Gracias!

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“Transforme as pedras que você tropeça nas pedras de sua escada.” (Sócrates)

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RESUMO

M.A.R MEZA. O método das interfaces imersas para a solução da equação de

Poisson-Boltzmann. 2017. 70 p. Dissertação (Mestrado em Ciências – Ciências de Computação e

Matemática Computacional) – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, São Carlos – SP, 2017.

A equação de Poisson-Boltzmann tem uma vasta gama de aplicações, desde a ciência coloidal e microfluídica até bioquímica e biofísica. O potencial elétrico na dupla camada elétrica leva a um potencial de força, em termos das equações de Navier-Stokes que é então usado para simular o fluxo resultante. Em escoamentos bifásicos uma simplificação desta equação é usada para se obter o campo de pressão.

O presente trabalho tem como principal objetivo estudar o problema de Poisson-Boltzmann com coeficiente constante e propor uma solução através da implementação do método das interfaces imersas utilizando diferenças finitas de altas ordens de precisão numérica.

Palavras-chave: Mecânica dos Fluidos e Aplicações, Poisson-Boltzmann, Método das Interfaces

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ABSTRACT

M.A.R MEZA. The immersed interface method for the solution of the Poisson-Boltzmann

equation. 2017. 70 p. Dissertação (Mestrado em Ciências – Ciências de Computação e

Matemática Computacional) – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, São Carlos – SP, 2017.

The Poisson-Boltzmann equation has a wide range of applications, from colloidal and microflu-idic science to biochemistry and biophysics. The electrical potential in electric double layer leads to a force potential in terms of the Navier-Stokes equations that is then used to simulate the resulting flow. In biphasic flows a simplification of this equation is used to obtain the pressure field.

The present study has as main objective to study the problem of Poisson-Boltzmann with constant coefficient and propose a solution through implementation of the immersed interfaces method using high order finite difference scheme sand thus get high order numerical accuracy.

(16)

(17)

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Ilustração do domínio contendo uma interface imersa . . . 22

Figura 2 – Solução para a equação de Poisson-Boltzmann em 2D . . . 25

Figura 3 – Ilustração da função f (x) com descontinuidade em x = α . . . 32

Figura 4 – Ilustração da discretização do domínio na descontinuidade. . . 34

Figura 5 – Ilustração da discretização explicita do domínio para o método de segunda ordem . . . 44

Figura 6 – Ilustração do domínio contendo uma interface imersa circular . . . 50

Figura 7 – Soluções de segunda ordem, h=0.01 . . . 54

Figura 8 – Erro de segunda ordem do exemplo 1 . . . 55

Figura 9 – Soluções de quarta ordem, h=0.01 . . . 55

Figura 10 – Erro de quarta ordem do exemplo 1 . . . 56

Figura 11 – Soluções de altas ordem, h=0.01 . . . 57

Figura 12 – Erro de altas ordens em escala logarítmica do exemplo 1 . . . 57

Figura 13 – Solução segunda ordem do exemplo 2 . . . 58

Figura 14 – Erro de segunda ordem em escala logarítmica do exemplo 2 . . . 59

Figura 15 – Solução quarta ordem do exemplo 2 . . . 60

Figura 16 – Erro de quarta ordem em escala logarítmica do exemplo 2 . . . 60

Figura 17 – Solução de alta ordem do exemplo 2 . . . 61

Figura 18 – Erro de alta ordem em escala logarítmica do exemplo 2 . . . 61

Figura 19 – Solução segunda ordem do exemplo 3 . . . 62

Figura 20 – Erro de segunda ordem em escala logarítmica do exemplo 3 . . . 63

Figura 21 – Solução quarta ordem do exemplo 3 . . . 63

Figura 22 – Erro de quarta ordem em escala logarítmica do exemplo 3 . . . 64

Figura 23 – Solução alta ordem do exemplo 3 . . . 65

(18)

(19)

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Erro cometido no cálculo da solução aproximada de segunda ordem, exemplo 1 54

Tabela 2 – Erro cometido no cálculo da solução aproximada de quarta ordem, exemplo 1 55

Tabela 3 – Erro cometido no cálculo da solução aproximada de alta ordem, exemplo 1 . 56

Tabela 4 – Erro cometido no cálculo da solução aproximada de segunda ordem para o

exemplo 2 . . . 58

Tabela 5 – Erro cometido no cálculo da solução aproximada de quarta ordem para o

exemplo 2 . . . 59

Tabela 6 – Erro cometido no cálculo da solução aproximada de alta ordem para o

exem-plo 2 . . . 60

Tabela 7 – Erro cometido no cálculo da solução aproximada de segunda ordem para o

exemplo 3 . . . 62

Tabela 8 – Erro cometido no cálculo da solução aproximada de quarta ordem para o

exemplo 3 . . . 64

Tabela 9 – Erro cometido no cálculo da solução aproximada de alta ordem para o

(20)

(21)

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO . . . 21 2 FORMULAÇÃO . . . 23 2.1 Modelo matemático. . . 23 3 METODOLOGIA . . . 27 3.1 Interface Imersa . . . 27 3.2 IIM clássico. . . 28

3.3 Série de Taylor corrigida . . . 30

3.3.1 Diferenças Finitas Compactas . . . 30

3.3.2 Esquema Compacto de Alta Ordem . . . 38

4 PROBLEMAS BIDIMENSIONAIS . . . 43

4.1 Esquemas Explícitos. . . 43

4.1.1 Diferenças de 2a Ordem . . . 43

4.1.2 Diferenças de 4a Ordem . . . 45

4.1.3 Diferenças de Alta Ordem . . . 48

4.2 Equação de Poisson 2D . . . 49

4.2.1 Condições de contorno do tipo Neumann . . . 51

5 RESULTADOS NUMÉRICOS. . . 53

5.1 MII em Poisson 1D . . . 53

5.1.0.1 Exemplo 1 . . . 53

5.2 MII em problemas de Poisson em 2D . . . 57

5.2.0.1 Exemplo 2 . . . 57 5.2.0.2 Exemplo 3 . . . 61 6 CONCLUSÕES . . . 67 6.1 Trabalhos gerados . . . 68 6.2 Trabalhos futuros . . . 68 REFERÊNCIAS . . . 69

(22)

(23)

21

CAPÍTULO

1

INTRODUÇÃO

As equações de Navier-Stokes modelam o escoamento de fluidos que podem ou não conter estruturas imersas. A solução numérica dessas equações pode ser realizada através de um método de projeção onde uma versão da equação de Poisson-Boltzmann é resolvida a cada passo de tempo para fazer o acoplamento entre as equações de continuidade e quantidade de movimento.

Devido à aplicabilidade em diversos campos, a equação de Poisson-Boltzmann é

am-plamente estudada. Uma boa revisão desses métodos pode ser encontrada em (LU et al.,2008)

e cabe destacar os métodos de elementos finitos com domínio irregular (CHEN; HOLST; XU,

2007) são muitas vezes utilizados para resolver a equação de Poisson-Boltzmann.

A principal dificuldade com os métodos de diferenças finitas para a solução da equação de Poisson-Boltzmann é capturar corretamente a geometria com as condições de contorno corretas

na interface (CHEN; HOLST; XU,2007). Alguns esforços para resolver este problema são

propostos em (ZHOU; FEIG; WEI,2008) e (GENG; YU; WEI,2007). Estes autores foram

os primeiros a implementar o salto da interface e os métodos de fronteira para a equação de Poisson-Boltzmann.

A interface também pode ser capturada com métodos de interface imersas, que para a equação de Poisson-Boltzmann só foram utilizados em geometrias simples em duas dimensões

(ou três dimensões espaciais com simetria) (QIAO; LI; TANG,2006). Matematicamente este

tipo de problema leva a equações diferenciais, com dados e soluções com descontinuidades nas interfaces. Alguns métodos desenvolvidos para solução desta equação não funcionam devido às irregularidades.

O método conhecido por Método de Interface Imersa (MII) foi desenvolvido por Leveque

e Li (LEVEQUE; LI,1994) para melhorar a ordem de precisão do Método de Fronteira Imersa

(PESKIN,1972). Este método trata as equações com coeficientes descontínuos e são utilizados

(24)

geome-22 Capítulo 1. Introdução Figura 1 – Ilustração do domínio contendo uma interface imersa ∂ Ωi.

Fonte:Linnick e Fasel(2005).

trias irregulares e evita o uso da distribuição Delta de Dirac para definir o termo forçante. Para modelar as descontinuidades na interface, os coeficientes no cálculo das derivadas por diferenças finitas são modificados e termos de correção são adicionados e determinados dependendo do

salto da função. Pode-se obter segunda ordem de precisão (LI; ITO,2006) e, com a imposição

das condições de contorno em situações onde a geometria do domínio não coincide com a malha

computacional, como mostrado na Figura1, é possível obter quarta ordem (LINNICK; FASEL,

2005).

Recentemente foram propostos métodos de elementos finitos imersos para algumas

equações diferenciais parciais elípticas (JI; CHEN; LI, 2016). Também foi feito em (ZHU;

ZHANG; LI,2016) um método de volumes finitos para as condições de saltos não homogêneas e

uma extensão da teoria de Poisson-Boltzmann (BEN-YAAKOV et al.,2011), (ZHAO; HOU; LI,

2012) utiliza um polinômio auxiliar quadrático para um método de interface imersa de segunda

ordem que resolve equações elípticas e um solucionador de interface imerso para a equação de

Poisson (caso bidimensional). É proposto em (MARICHAL; CHATELAIN; WINCKELMANS,

2014) uma abordagem de interface imersa é feita utilizando uma metodologia de segunda ordem.

Na sequência deste texto apresentaremos o Capítulo 2, onde é descrita a formulação matemática referente ao problema que vai ser estudado, enquanto que no capítulo 3 explica-se o método das Interface Imersas e as duas metodologias implementadas no trabalho, detalhando-se as diferenças finitas explícitas e compactas que são utilizadas na discretização das equações. No capítulo 4 apresentaremos a versão da metodologia utilizada para resolver problemas bidimensi-onais. No capítulo 5 serão mostrados os resultados numéricos obtidos em uma e duas dimensões. E, por fim, no capítulo 6 são apresentados as conclusões e os trabalhos futuros.

(25)

23

CAPÍTULO

2

FORMULAÇÃO

Neste capítulo é apresentada uma introdução de um problema elíptico

unidimensio-nal com coeficientes descontínuos apresentado no livro (LI; ITO, 2006), partindo de uma

equação elíptica específica para obter o modelo mais geral que represente a equação de Poisson-Boltzmann.

2.1 Modelo matemático

Consideramos o modelo elíptico unidimensional, que pode modelar o deslocamento de uma corda elástica com duas extremidades fixas sob a influêcia de uma força externa, onde a variável β representa o coeficiente de tensão da superfície da corda

(β ux)x− σ u = f + νδ (x − α), 0 < x,α < 1, (2.1)

com condições de contorno especificadas por u(x) em x = 0 e x = 1. A função β (x) admite descontinuidade em x = α. O termo δ (x − α) é a distribuição delta de Dirac que tem como função representar a interface. O método de interface imersa elimina a necessidade de usar uma aproximação para essa distribuição nas equações de diferenças. Para verificar essa característica do método faremos uma reformulação para o problema, onde será possível eliminar a distribuição delta de Dirac estabelecendo-se condições de salto e a constante ν representará a magnitude do fluxo na interface.

Vamos denotar os valores limites com sinal “+”, quando x > α e sinal “−” quando

x< α. Definimos a condição do salto de uma função u no ponto α por

[u]_x=α ≡ u(α+) − u(α−) ≡ lim

x→α+u(x) −_x→αlim−u(x) ≡ u +_{− u}−_. _(2.2) [ux]x=α ≡ ux(α+) − ux(α−) ≡ lim x→α+ux(x) −_x→αlim−ux(x) ≡ ux +_{− u} x−. (2.3)

(26)

24 Capítulo 2. Formulação

Integrando (2.1) entre x = α− _{e x = α}+_{, tem-se}

Z α+ α− ((β ux)x− σ u) dx = Z α+ α− ( f + νδ (x − α)) dx ⇒ Z α+ α− (β ux) dx − Z α+ α− σ udx = Z α+ α− f dx+ Z α+ α− ν δ (x − α )dx ⇒ [β ux]x=α= β+ux+− β−ux− = ν, (2.4)

onde ν é uma constante e para que todas as integrais possam existir, as funções f , σ e β devem cumprir as condições de quadrado integrável, continuidade e primeira derivada contínua respectivamente.

Tem-se também que

[u]_x=α = ω ⇒ u+− u−= ω, (2.5)

onde ω é uma constante. Uma forma alternativa de escrever o problema (2.1) é requerer que u(x)

satisfaça a equação

(β ux)x− σ u = f , 0 < x,α < 1, (0,α) ∪ (α,1). (2.6)

Aplicando o conceito da condição de salto em (2.6), obtém-se

[(β ux)x− σ u] = [ f ] ⇒ [(β ux)x] − [σ u] = [ f ] ⇒ βx+ux+− βx−ux−+ β+uxx+− β−uxx−− (σ+u+− σ−u−) = [ f ] ⇒ β+uxx+= β−uxx−+ βx−ux−− βx+ux+− (σ−u−− σ+u+) + [ f ] ⇒ uxx+= β− β+uxx −₊β− β+ux −₋βx+ β+ β− β+ux −₊ ν β+ + [σ ]u −_{+ ωσ}+ β+ + [ f ] β+ . (2.7)

Nas expressões (2.4), (2.5) e (2.7) vamos expressar os valores limites do lado positivo ”+”, em termos daqueles que estão do lado negativo “−”, da seguinte forma

u+=u−+ ω, u_x+= β − β+ u_x−+ ν β+ (2.8) uxx+= β− β+uxx −₊β− β+ux −₋βx+β− (β+₎2 ux −₊ βx+ν (β+₎2+ [σ ]u− β+ + ω σ+ β+ + [ f ] β+.

Para simplificar o problema assumimos que σ(x) e f (x) são funções suaves e β (x) é uma função

constante por partes com salto finito em α. Assim tem-se σ+_{= σ}−_{, β}

x+ = βx−=0 e u+= u−,

(27)

2.1. Modelo matemático 25 u+= u−, u+_x = β − β+ u_x−+ ν β+, uxx +₌ β− β+ u_xx−.

As expressões em (2.8) serão utilizados mais adiante para desenvolver o MII, pois carregam

informações da Interface.

Por fim, consideramos um modelo bidimensional da equação (2.6), com σ = 0 e

intro-duzindo o termo fonte k2sinh(u) + g, que é não linear, e assim obtemos a equação de

Poisson-Boltzmann

∇ · (β ∇u) = k2sinh(u) + g. (2.9)

Na figura2 temos a solução para esta equação no domínio retangular ω = [−1,1] ×

[−1,1], onde já é possível perceber o tipo de decomposição em dois subdomínios que aparecerá em nossas aplicações.

Figura 2 – Solução para a equação (2.9) em 2D. Com domínio [−1,1]×[−1,1], com solução u = exp(xy), β = x2+ y2e k = 1. Região azul está dentro de Ω e vermelha dentro de Ω+.

Fonte:Helgadóttir e Gibou(2011).

A equação (2.9) pode também descrever o potencial elétrico em uma solução, onde u é o

potencial electrostático desconhecido, k é o inverso do comprimento de Debye-Hückel, β é o coeficiente de dielétrico e g é o termo fonte. Desta forma chegamos a equação que será objeto de nosso estudo mas precisamente o caso onde β é uma função constante (fixa ou por partes), com

(28)

(29)

27

CAPÍTULO

3

METODOLOGIA

Neste capítulo é apresentado o MII que captura com precisão as descontinuidades na solução, descreve-se os diferentes métodos de diferenças finitas utilizados nas equações e apresenta-se também a obtenção das ordens de precisão desejadas.

3.1 Interface Imersa

O método MII é uma modificação de um método de diferenças finitas tradicional para aumentar a precisão da solução quando houver descontinuidades nas equações envolvidas.

É de extrema importância para o MII ter conhecimento à priori das condições de salto, que podem ser obtidas a partir de informações físicas ou das equações governantes. Os mé-todos numéricos são modificados de acordo com as condições de salto apenas em pontos ou elementos da malha próximos ou sobre a interface, enquanto longe da interface adota-se a discretização padrão em diferenças ou elementos finitos. No presente caso, os detalhes utilizados na diferenciação, serão apresentados na próxima seção.

Um avanço significativo no MII foi proposto por (WIEGMANN; BUBE,2000) que

introduziram o método das interfaces imersas com salto explícito. Esses pesquisadores fizeram a simples, mas importante observação: técnicas de diferenças finitas falham quando aplicadas à funções não suaves, pois a expansão da série de Taylor em que as mesmas se baseiam são inválidas. Neste contexto, uma expansão em série de Taylor incluindo saltos é utilizada para

obter aproximações de segunda ordem de precisão. Segundo (LINNICK; FASEL, 2005) a

principal ideia do MII é que os esquemas de diferenças finitas nas interfaces imersas devem ser

corrigidos para manter a precisão do método numérico. Além disso, segundo (LI; ITO,2006)

o MII é um método de interfaces imersas no qual as condições de salto são forçadas exata ou aproximadamente.

(30)

28 Capítulo 3. Metodologia

diferenciais, com coeficientes descontínuos ao longo da interface mas não nos termos fontes. A estrutura da interface pode ser fixa (não depender do tempo) ou móvel através do tempo quando há mais de uma interface.

3.2 IIM clássico

Este esquema adota aproximações de segunda ordem para discretizar a Equação (2.6)

com σ = 0, abordagem feita por Li e Ito em (LI; ITO,2006).

No método das interface imersas para o modelo geral unidimensional que representa a equação de Poisson-Boltzmann, as funções β (x) e f (x), podem ter um salto finito em x = α. A solução admite um salto [u] = ω e ainda é possível impor condição de salto na sua primeira derivada, [β ux] = ν.

Para uma discretização uniforme do domínio, dada pelos pontos de malha xi, para

i=1,...,N, N > 0, admite-se que xj e xj+1 são pontos irregulares se α ∈ xj, xj+1

, e xi é

regular se i 6= j. Para os pontos regulares adota-se o esquema de segunda ordem β (x_i−1

2)Ui−1− β (xi−12)Ui− β (xi+12)Ui+ β (xi+12)Ui+1

h2 = f (xi), (3.1)

onde h = xi+1− xié o tamanho de malha. Para os pontos irregulares xje xj+1tem-se,

respectiva-mente,

γ_j,1U_j−1+ γ_j,2Uj+ γj,3Uj+1= fj+Cj, (3.2)

γj+1,1U_j+ γj+1,2U_j+1+ γj+1,3U_j+2= f_j+1+C_j+1. (3.3)

Expandindo os termos u(xj−1), u(xj), u(xj+1)e f (xj)em torno da interface α, e em cada lado

da interface adotando-se as relações de salto definidas em (2.8), para expressar as funções da

expansão em termos de um lado em particular é possível obter o erro de truncamento local e assim conseguir os coeficientes que conduzem a segunda ordem de precisão. Vamos considerar a expansão de u(xj−1), u(xj)e u(xj+1)em torno de α, onde tem-se,

u(xr) = u−(α) + (xr− α)u−x(α) + 1 2(xr− α)2u−xx(α) + O((xr− α)3), r = j −1, j. (3.4) u(x_j+1) = u+(α) + (xj+1− α)u+x (α) + 1 2(xj+1− α)2u+xx(α) + O((xr− α)3). (3.5)

Utilizando as relações de salto (2.8) com σ = 0 e substituindo u+_{(α), u}+

x(α)e u+xx(α)em (3.5), obtém-se: u(x_j+1) =u−(α) + ω +β − β+(xj+1− α)u − x + ν β+(xj+1− α) + β − 2β+(xj+1− α) 2_u− xx(α) + (xj+1− α)2 2β+ β_x+−β + x β− β+ u−_x(α) −(xj+1− α) 2_β+ x ν 2(β+₎2 . (3.6)

(31)

3.2. IIM clássico 29

Agora determina-se as expressões que minimizam a magnitude do erro de truncamento local (ETL), através do método dos coeficientes indeterminados que é dado por:

T_j= γj,1u(xj−1) + γj,2u(xj) + γj,3u(xj+1) − f (xj) −Cj. (3.7)

Substituindo as equações (3.4) e (3.6) na equação (3.7) do (ETL) temos Tj=[γj,1+ γj,2+ γj,3]u−(α) + [(xj−1− α)γj,1+ (xj− α)γj,2 + {β − β+(xj+1− α) − β_x− β+− β−β_x+ (β+₎2 (x_j+1− α)2 2 }γj,3]u − x(α) + [(xj−1− α) 2 2 γj,1+ (xj− α)2 2 γj,2+ (x_j+1− α)2β− 2 γj,3]u − xx(α) − f (α) − O(h) −Cj+ γj,3{ω + (xj+1− α) ν β+ − β_x+ν (xj−1− α)2 2(β+₎2 } + O(max 1≤k≤3| γj,k| h 3_).

onde ω ≡ [u]x=α, e fj = f (α) + O(h). Assumindo que f é uma função suave, β uma função

constante por partes com um salto finito em α e ω = 0, obtém-se βx+ = βx−=0 e u+= u−.

Com isto, os coeficientes γj,k, com k = 1,2,3, que conduzem à segunda ordem de precisão do

método, são dados pela solução do sistema          γj,1+ γj,2+ γj,3=0 (xj−1− α)γj,1+ (xj− α)γj,2+β − β+(xj+1− α)γj,3=0 1 2(xj−1− α)2γj,1+21(xj− α)2γj,2+ β − 2β+(xj+1− α)2γj,3= β− (3.8) e o termo de correção é Cj= γj,3(xj+1− α) ν β+. (3.9)

De forma análoga, pode-se calcular os coeficientes γj+1,k, k = 1,2,3, para xj+1através do sistema

         γj+1,1+ γj+1,2+ γj+1,3=0 β+ β−(xj−1− α)γj+1,1+ (xj+1− α)γj+1,2+ (xj+2− α)γj+1,3=0 β+ 2β−(xj− α)2γj+1,11₂(xj+1− α)2γj+1,2+1₂(xj+2− α)2γj+1,3= β+ (3.10) e o novo termo de correção é

C_j+1= γj+1,1(α − xj)

ν

β−. (3.11)

Assim o método tem o erro global de segunda ordem de precisão na norma infinita, se β é

constante então resolvendo o sistema (3.8) voltamos ao esquema padrão de diferenças finitas de

3 pontos centrais com γj,1= γj,3= β

h2 e γj,2=

−2β

h2 , onde h é o tamanho da malha. Por último, se

ν =0, então Cj= Cj+1=0, nesse caso a descontinuidade em β afeta somente os coeficientes,

mas não o lado direito. A análise da estabilidade deste método e dos casos mais gerais podem

ser vistas em (HUANG; LI,1999), neste artigo tem-se o Teorema1que garante a estabilidade do

(32)

Teorema 1. [Assumindo que β+, β−>0 com σ ≡ 0. Se β_x+= β_x−=0, então o sistema (3.8) tem única solução. Para problemas mais gerais é garantida uma única solução se h for suficientemente pequeno. O teorema também se aplica quando tem-se mais de un ponto irregular]

3.3 Série de Taylor corrigida

Considere uma função f (x) com uma descontinuidade no ponto x = xα. Deseja-se utilizar

a expansão em série de Taylor no ponto xipara aproximar f (x) no ponto xi+1. Assume-se que

f(x)é analítica em todos os pontos do domínio D = {x|x_i−1≤ x ≤ x_i+1}exceto no ponto x_α onde há um salto (descontinuidade) no valor da função e/ou suas derivadas. Se xi< xα a expansão em

série de Taylor padrão envolvendo xα não pode ser usada para aproximar f (xi+1)a menos que

um termo de correção Jα seja adicionado:

f(xi+1) = f (xi) + f(1)(xi)h + f(2)(xi) h2 2!+ · · · + Jα, (3.12) onde J_α = [ f ]α+ [ f(1)]α(h + ) + 1 2![ f(2)]α(h + )2+ · · · , (3.13)

com h = xi+1− xie h+= xi+1− xα.

O termo [φ]α representa o salto no valor da função em x = xα, isto é,

[φ ]α = lim

x→x+α

φ (x) − lim

x→x−α

φ (x), (3.14)

assim, o termo [ f ]α representa o salto no valor da função em x = xα, [ f(1)]α representa o salto no

valor da primeira derivada da função e assim por diante. A equação (3.12) é denominada série de

Taylor corrigida. A prova da existência dessa expansão é dada por (WIEGMANN; BUBE,2000).

Considere-se o caso em que xi< xα. Usando o termo de correção Jα pode-se agora, modificar

qualquer método de diferenças finitas, e o método corrigido pelo salto irá manter a ordem de precisão do original quando o estêncil envolver uma singularidade/salto da função.

3.3.1 Diferenças Finitas Compactas

Uma aproximação de diferenças finitas compactas de quarta ordem para a segunda

derivada, feita por Fasel e Linnick em (LINNICK; FASEL,2005), pode ser escrita como

L2_i−1f_i−1(2)+ L2_i f_i(2)+ L2_i+1f_i+1(2) = R2_i−1f_i−1+ R2_i f_i+ R2_i+1f_i+1+ (L2_IJ_α2− R2_IJ_α0), (3.15) onde Ln

i e Rni são, respectivamente, os coeficientes dos lados esquerdo e direito da aproximação

para a n-ésima derivada e Jα nsão as expansões dos saltos em série de Taylor de f(n)no ponto

(33)

3.3. Série de Taylor corrigida 31

Nestes dois esquemas, I = i + 1 se o salto ocorre em xi < xα < xi+1, e neste caso

h+ = x_i+1− x_α e Jα0=[ f(0)]α+ (h+)[ f(1)]α+ (h+)2 2! [ f(2)]α+ (h+)3 3! [ f(3)]α+ (h+)4 4! [ f(4)]α+ (h+)5 5! [ f(5)]α, (3.16) J_α2=[ f(2)]α+ (h +_{)[ f}(3)_] α+ (h+)2 2! [ f(4)]α+ (h+)3 3! [ f(5)]α. (3.17)

Se o salto ocorre em xi−1< xα < xi, então I = i − 1 e neste caso h−= xα− xi−1e

Jα0=− [ f(0)]α+ (h −_{)[ f}(1)_] α− (h−)2 2! [ f(2)]α+ (h−)3 3! [ f(3)]α− (h−)4 4! [ f(4)]α+ (h−)5 5! [ f(5)]α, (3.18) J_α2=− [ f(2)]α+ (h −_{)[ f}(3)_] α− (h−)2 2! [ f(4)]α+ (h−)3 3! [ f(5)]α. (3.19)

Os saltos podem ser obtidos por

[ f(n)]α = f (n) + − f (n) − , (3.20) onde f(n) + e f (n)

− podem ser obtidos pelas interpolações

f₊(n)= cn

α +fα+ cni+2fi+2+ cni+3fi+3+ cni+4fi+4+ cni+5fi+5+ cni+6fi+6,

f₋(n)= cn

α −fα+ cni−1fi−1+ cni−2fi−2+ cni−3fi−3+ cni−4fi−4+ cni−5fi−5.

Note que, os pontos xi e xi+1 foram evitados para contornar problemas de instabilidade. Os

coeficientes cnpara calcular

f_α(n)= c_αf_α+ cifi+ ci+1fi+1+ ci+2fi+2+ ci+3fi+3+ ci+4fi+4, (3.21)

são obtidos da resolução do sistema linear            1 1 1 1 1 1

0 hi hi+1 hi+2 hi+3 hi+4

0 h2

i h2i+1 h2i+2 h2i+3 h2i+4

0 h3_i h3_i+1 h3_i+2 h3_i+3 h3_i+4 0 h4i h4i+1 h4i+2 h4i+3 h4i+4

0 h5_i h5_i+1 h5_i+2 h5_i+3 h5_i+4                       c_α ci c_i+1 c_i+2 c_i+3 c_i+4            =            1δn0 1δn1 2!δn2 3!δn3 4!δn4 5!δn5            , (3.22)

em que hi= xi− xα e δi j é a função delta de Kronecker

δi j =

( 1 i = j

0 i 6= j . (3.23)

Desta forma a segunda derivada pode ser obtida a partir da relação 1 12f (2) i−1+10₁₂fi(2)+ 1 12f (2) i+1= _h12fi−1− 2 h2fi+ 1 h2fi+1+ (L 2 IJα2− R2IJα0), (3.24) em que L2_I = 1 12 e R2I = 1 h2 se I = i − 1 ou I = i + 1. (3.25)

(34)

32 Capítulo 3. Metodologia Figura 3 – Ilustração da função f (x) com descontinuidade em x = α.

Em ambos os esquemas Jα n pode ser calculado pelas equações de (3.16) ou (3.18), dependendo

do valor de I. O erro de truncamento local ETL que forma a quarta ordem de precição é dado por T_i≡ −L2_i−1f_i−1(2)− L2_i f_i(2)− L2_i+1f_i+1(2)+ R2_i−1f_i−1+ R2_i f_i+ R2_i+1f_i+1+ (L2_IJ_α2− R2_IJ_α0), (3.26) Calculam-se 4 expressões cada uma separadamente, para depois juntá-las e obter a expressão final               

T_i ≡ I + II + III + IV, com

I = −L2_i−1f_i−1(2)− L2_i f_i(2)− L2_i+1f_i+1(2), II = R2_i−1f_i−1+ R_i2fi+ R2_i+1fi+1,

III = L2_IJ_α₂ e IV = −R2_IJ_α₀ (3.27) I= − 1 12[2( f00(xi) + h2 2!f (4) i + h4 4!f (6) i + · · · )] − 10 12f”(xi) + O(h6), ⇒ I= − f_i(2)−h 2 12f (4) i − h4 288f (6) i + O(h6) (3.28) II= − 1 h2[2( f (xi) + h2 2!f (2) i + h4 4!f (4) i + h6 6!f (6) i + · · · )] − 2 h2fi+ O(h 6_{), ⇒} II= f_i(2)+h 2 12f (4) i + h4 360f (6) i + O(h6) (3.29)

(35)

3.3. Série de Taylor corrigida 33 III= L2_I{( f₊(2)− f₋(2)) + (h+)( f₊(3)− f₋(3)) +(h +₎2 2! ( f (4) + − f (4) − ) + (h+)3 3! ( f (5) + − f (5) − )}. Substituindo cada f(n) + e f (n)

− pela sua interpolação correspondente obtida através de (3.22),

tem-se

III=L2_I{[(c₂

α +fα+ c2i+2fi+2+ c2i+3fi+3+ c2i+4fi+4+ c2i+5fi+5+ c2i+6fi+6)

− (c₂

α −fα+ c2i−1fi−1+ c2i−2fi−2+ c2i−3fi−3+ c2i−4fi−4+ c2i−5fi−5)]

+ (h+)[(c₃

α +fα+ c3i+2fi+2+ c3i+3fi+3+ c3i+4fi+4+ c3i+5fi+5+ c3i+6fi+6)

− (c₃

+(h

+₎2

2! [(c4α +fα+ c4i+2fi+2+ c4i+3fi+3+ c4i+4fi+4+ c4i+5fi+5+ c4i+6fi+6)

− (c₄

+(h

+₎3

3! [(c5α +fα+ c5i+2fi+2+ c5i+3fi+3+ c5i+4fi+4+ c5i+5fi+5+ c5i+6fi+6)

− (c₅

α −fα+ c5i−1fi−1+ c5i−2fi−2+ c5i−3fi−3+ c5i−4fi−4+ c5i−5fi−5)]}.

Fazendo o desenvolvimento em series de Taylor para fi+k e fi−k ao redor de fα, obtém-se as

expressões fi+k= fα+ hi+kfi0+ h2_i+k 2! f (2) i + h3_i+k 3! f (3) i + h4_i+k 4! f (4) i + h5_i+k 5! f (5) i + O(h6), (3.30) f_i−k= fα+ hi−kfi0+ h2_i−k 2! f (2) i + h3_i−k 3! f (3) i + h4_i−k 4! f (4) i + h5_i−k 5! f (5) i + O(h6), (3.31)

é considerada a seguinte notação para simplificar as contas                c₂ α ++ c3α ++ c4α ++ c5α + = T1 c₂_i+k+ (h+)c₃_i+k+(h +₎2 2! c4i+k+ (h+)3 3! c5i+k= Tk, k=2,...,6 c₂ α −+ c3α −+ c4α −+ c5α − = P1 c₂_i−r+ (h+)c3i−r+ (h+)2 2! c4i−r+ (h+)3 3! c5i−r = Pr+1, r=1,...,5 (3.32)

(36)

34 Capítulo 3. Metodologia Figura 4 – Ilustração da discretização do domínio na descontinuidade

Substituindo (3.30), (3.31) e (3.32) na expressão (III) e reagrupando os coeficientes de cada uma das f_i(n)para obter a constante total de cada soma, tem-se

III= L2_I{[(T1+ T2+ T3+ T4+ T₅+ T₆) − (P1+ P2+ P3+ P4+ P₅+ P₆)] fα

+ f_i0[(T₂.h_i+2+ T₃.h_i+3+ T₄.h_i+4+ T₅.h_i+5+ T₆.h_i+6) − (P₂.h_i−1+ P₃.h_i−2+ P₄.h_i−3+ P₅.h_i−4+ P₆.h_i−5)]

+ f

(2) i

2! [(T2.h2i+2+ T3.h2i+3+ T4.h2i+4+ T5.h2i+5+ T6.h2i+6) − (P₂.h2_i−1+ P₃.h2_i−2+ P₄.h2_i−3+ P₅.h2_i−4+ P₆.h2_i−5)]

+ f

(3) i

+ f

(4) i

+ f

(5) i

+ f

(6) i

6! [(T2.h6i+2+ T3.h6i+3+ T4.h6i+4+ T5.h6i+5+ T6.h6i+6) − (P₂.h6_i−1+ P₃.h6_i−2+ P₄.h6_i−3+ P₅.h6_i−4+ P₆.h6_i−5)]}.

(37)

Desenvolvendo cada uma das contas obtém-se T₁+ T2+ T3+ T4+ T₅+ T₆ =0 P₁+ P₂+ P₃+ P₄+ P₅+ P₆ =0 T₂.h_i+2+ T₃.h_i+3+ T₄.h_i+4+ T₅.h_i+5+ T₆.h_i+6 =0 P₂.hi−1+ P3.hi−2+ P4.hi−3+ P₅.hi−4+ P₆.h_i−5 =0 T₂.h2_i+2+ T₃.h2_i+3+ T₄.h2_i+4+ T₅.h2_i+5+ T₆.h2_i+6 =1 P₂.h2_i−1+ P₃.h2_i−2+ P₄.h2_i−3+ P₅.h2_i−4+ P₆.h2_i−5 =1 T₂.h3_i+2+ T₃.h3_i+3+ T₄.h3_i+4+ T₅.h3_i+5+ T₆.h3_i+6 = h+ P₂.h3_i−1+ P₃.h3_i−2+ P₄.h3_i−3+ P₅.h3_i−4+ P₆.h3_i−5 = h+ T₂.h4_i+2+ T₃.h4_i+3+ T₄.h4_i+4+ T₅.h4_i+5+ T₆.h4_i+6 = (h

+₎2

2! P₂.h4_i−1+ P₃.h4_i−2+ P₄.h4_i−3+ P₅.h4_i−4+ P₆.h4_i−5 = (h

+₎2

2! T₂.h5_i+2+ T₃.h5_i+3+ T₄.h5_i+4+ T₅.h5_i+5+ T₆.h5_i+6 = (h

+₎3

3! P₂.h5_i−1+ P₃.h5_i−2+ P₄.h5_i−3+ P₅.h5_i−4+ P₆.h5_i−5 = (h

+₎3

3!

T₂.h6_i+2+ T₃.h6_i+3+ T₄.h6_i+4+ T₅.h6_i+5+ T₆.h6_i+6 = −274h4−225(h3).h+−85.h

2_.(h+₎2 2 +5.h.(h +₎3 2 + 5(h+₎4 6

P₂.h6_i−1+ P₃.h6_i−2+ P₄.h6_i−3+ P₅.h6_i−4+ P₆.h6_i−5 = −1044h4+580(h3).h+−155.h

2_.(h+₎2 2 −10.h.(h +₎3 3 + 5(h+₎4 6 Substituindo cada soma pelo seu valor correspondente, tem-se

III= L 2 I. f (6) i 6! {770h4−805(h3).h++35.h2.(h+)2+ 35.h.(h+₎3 6 }. (3.33)

Utiliza-se a mesma estratégia para calcular a última expressão do ETL, só que agora tem-se dois termos a mais no somatório

IV = −R2_I.J_α0= −R2_I. 5

∑

k=0 (h+)k k! [ f (k) ]α,

(38)

considera-se os seguintes novos coeficientes para simplificar as contas

                               c₀ α ++ c1α ++ c2α ++ c3α ++ c4α ++ c5α + = L1 c₀_i+k+ (h+)c₁_i+k+(h +₎2 2! c2i+k+ (h+)3 3! c3i+k +(h +₎4 4! c4i+k+ (h+)5 5! c5i+k = Lk, k=2,...,6 c₀ α −+ c1α −+ c2α −+ c3α −+ c4α −+ c5α − = R1 c₀_i−s+ (h+)c₁_i−s+(h +₎2 2! c2i−s+ (h+)3 3! c3i−s +(h +₎4 4! c4i−s+ (h+)5 5! c5i−s = Rs, s=1,...,5 (3.34)

reagrupando de novo os coeficientes de cada uma das f(n)

i para obter a constante total de cada

soma, tem-se

IV = − R2_I{[(L1+ L2+ L3+ L4+ L₅+ L₆) − (R1+ R2+ R3+ R4+ R₅+ R₆)] fα

+ f_i0[(L₂.h_i+2+ L₃.h_i+3+ L₄.h_i+4+ L₅.h_i+5+ L₆.h_i+6) − (R₂.h_i−1+ R₃.h_i−2+ R₄.h_i−3+ R₅.h_i−4+ R₆.h_i−5)]

+ f

(2) i

2! [(L2.h2i+2+ L3.h2i+3+ L4.h2i+4+ L5.h2i+5+ L6.h2i+6) − (R₂.h2_i−1+ R₃.h2_i−2+ R₄.h2_i−3+ R₅.h2_i−4+ R₆.h2_i−5)]

+ f

(3) i

+ f

(4) i

+ f

(5) i

+ f

(6) i

6! [(L2.h6i+2+ L3.h6i+3+ L4.h6i+4+ L5.h6i+5+ L6.h6i+6) − (R₂.h6_i−1+ R₃.h6_i−2+ R₄.h6_i−3+ R₅.h6_i−4+ R₆.h6_i−5)]}.

(39)

Desenvolvendo cada uma das novas contas obtém-se L₁+ L₂+ L₃+ L₄+ L₅+ L₆ =1 R₁+ R2+ R3+ R4+ R₅+ R₆ =1 L₂.h_i+2+ L₃.h_i+3+ L₄.h_i+4+ L₅.h_i+5+ L₆.h_i+6 = h+ R₂.h_i−1+ R₃.h_i−2+ R₄.h_i−3+ R₅.h_i−4+ R₆.h_i−5 = h+ L₂.h2_i+2+ L₃.h2_i+3+ L₄.h2_i+4+ L₅.h2_i+5+ L₆.h2_i+6 =(h

+₎2

2! R₂.h2_i−1+ R₃.h2_i−2+ R₄.h2_i−3+ R₅.h2_i−4+ R₆.h2_i−5 =(h

+₎2

2! L₂.h3_i+2+ L₃.h3_i+3+ L₄.h3_i+4+ L₅.h3_i+5+ L₆.h3_i+6 =(h

+₎3

3! L₂.h4_i+2+ L3.h4_i+3+ L4.h4_i+4+ L₅.h4_i+5+ L₆.h4_i+6 =(h

+₎4

4! R₂.h4_i−1+ R3.h4_i−2+ R4.h4_i−3+ R₅.h4_i−4+ R₆.h4_i−5 =(h

+₎4

4! L₂.h5_i+2+ L₃.h5_i+3+ L₄.h5_i+4+ L₅.h5_i+5+ L₆.h5_i+6 =(h

+₎5

5! L₂.h6_i+2+ L₃.h6_i+3+ L₄.h6_i+4+ L₅.h6_i+5+ L₆.h6_i+6 = −h

+

24[−2880.h5−3288(h4).h+−900.h3.(h+)2 +85.(h2).(h+)3+57.h.(h+)4+5.(h+)5]

R₂.h6_i−1+ R₃.h6_i−2+ R₄.h6_i−3+ R₅.h6_i−4+ R₆.h6_i−5 = −h

+

24[17280.h5−12528(h4).h++2320.h3.(h+)2 +155.(h2).(h+)3−76.h.(h+)4+5.(h+)5]

Substituindo cada nova soma por seu valor correspondente, tem-se

IV = −7.h.h +_.R2 I. f (6) i 24.6! {2880h4−1320(h3).h +₊_460.h2_.(h+₎2₊_10.h.(h+₎3₋_19.(h+₎4_}. (3.35) Agora são substituídas as expressões (3.28), (3.29), (3.33) e (3.35) no ETL (3.27)

T_i≡ (−1 128+ 1 360).h4+ 1 720[L2I.(III) − R2I.(IV )] Se L2 I = 1 h2, R 2 I = 1 12 e h+= β .hcom 0 < β ≤ 1, tem-se T_i≡ (−399.β 5₊_210.β4₊_9625.β3₋_27930.β2₊_{65310.β − 4584} 51840 ).h4+ O(h6) (3.36)

(40)

3.3.2 Esquema Compacto de Alta Ordem

Nós propomos um esquema de diferenças finitas compactas unidimensional de sétima ordem com cinco pontos será utilizado para aproximar numericamente a segunda derivada espacial, o esquema é dado por

2 f_i−1(2)+11 f_i(2)+2 f_i+1(2) = 3 4h2fi−2+ 12 h2 fi−1− 51 2h2fi+12 h2fi+1+ 3 4h2fi+2+CI, (3.37) com CI= (L1IJα∗2− R 1 IJα∗0) + (L 2 IJα2− R2IJα0), em que          L1_I =0 L2_I =0 R1_I =0 e R2_I = 3 4h2 se I = i − 1 ou I = i + 2, L1_I =0 L2_I =2 R1_I = 3 4h2 e R2I = 12 h2 se I = i ou I = i + 1, (3.38)

Nestes esquemas, o salto ocorre em xi< xα < xi+1, então quando I = i + 1 ou I = i + 2, nestes

casos h+_{= x} i+1− xα , definimos J_α0= 7

∑

k=0 (h+)k k! [ f (k) ]α, (3.39) J_α2= 7

∑

k=2 (h+)k−2 (k −2)![ f (k) ]α, (3.40) J_α0∗ = 7

∑

k=0 (h + h+)k k! [ f (k)_] α, (3.41) J_α2∗ = 7

∑

k=2 (h + h+)k−2 (k −2)! [ f (k)_] α. (3.42)

quando I = i ou I = i − 1, nestes casos h−_{= x}

α− xi−1e J_α₀= 7

∑

k=0 (−1)k+1(h −₎k k! [ f (k)_] α, (3.43) J_α₂= 7

∑

k=2 (−1)k+1(h −₎k−2 (k −2)![ f (k)_] α, (3.44) J_α∗₀= 7

∑

k=0 (−1)k+1(h + h −₎k k! [ f (k)_] α, (3.45) J_α∗₂= 7

∑

k=2 (−1)k+1(h + h −₎k−2 (k −2)! [ f (k)_] α. (3.46)

De novo os saltos podem ser obtidos por

(41)

em que f+(n) e f (n)

f₊(n)= cn_{α +}fα+ cni+2fi+2+ cni+3fi+3+ cni+4fi+4+ cni+5fi+5+ cni+6fi+6+ cni+7fi+7+ cni+8fi+8,

f₋(n)= cn_{α −}fα+ cn_i−1fi−1+ cn_i−2fi−2+ cn_i−3fi−3+ cn_i−4fi−4+ cn_i−5fi−5+ cn_i−6fi−6+ cn_i−7fi−7.

Os novos coeficientes cnpara calcular

f_α(n)= cαfα+ cifi+ ci+1fi+1+ ci+2fi+2+ ci+3fi+3+ ci+4fi+4+ ci+5fi+5+ ci+6fi+6, (3.48)

são obtidos da resolução do novo sistema linear                 1 1 1 1 1 1 1 1

0 hi hi+1 hi+2 hi+3 hi+4 hi+5 hi+6

0 h2i h2i+1 h2i+2 h2i+3 h2i+4 h2i+5 h2i+6

0 h3i h3i+1 h3i+2 h3i+3 h3i+4 h3i+5 h3i+6

0 h4

i h4i+1 h4i+2 hi+34 h4i+4 h4i+5 h4i+6

0 h5

i h5i+1 h5i+2 hi+35 h5i+4 h5i+5 h5i+6

0 h6

i h6i+1 h6i+2 hi+36 h6i+4 h6i+5 h6i+6

0 h7

i h7i+1 h7i+2 hi+37 h7i+4 h7i+5 h7i+6

                                c_α c_i c_i+1 c_i+2 c_i+3 c_i+4 c_i+5 c_i+6                 =                 1δn0 1δn1 2!δn2 3!δn3 4!δn4 5!δn5 6!δn6 7!δn7                 , (3.49)

em que hi= xi− xα e δi j é a função delta de Kronecker.

Os termos dos saltos Jα n novamente podem ser calculado pelas equações de (3.39) ou

(3.43), dependendo do valor de I só que agora deve-se aumentar duas linhas e duas colunas no

esquema anterior para completar a submatriz de Vandermonde como pode-se ver em (3.49).

Agora é determinado o erro de truncamento

T_i= −2 f_i−1(2)−11 f_i(2)−2 f_i+1(2)+ 3 4h2fi−2+ 12 h2 fi−1− 51 2h2fi+12 h2 fi+1+ 3 4h2fi+2+Ci, (3.50)            T_i ≡ I + II + III, com I = −2 f_i−1(2)−11 f_i(2)−2 f_i+1(2), II = _4h3₂f_i−2+12 h2 fi−1− 51 2h2 fi+12_h2 fi+1+_4h32 fi+2 e III = Ci= −R1_iJ_α∗₀+ L2_iJα2− R2iJα0 (3.51) I= −15 f_i(2)−2h2f_i(4)−h 4 6 f (6) i − h6 180f (8) i + O(h 8_), _(3.52) II=15 f_i(2)+2h2f_i(4)+h 4 6 f (6) i + 17h6 1680f (6) i + O(h8) (3.53)

Para calcular (III) são utilizadas as seguintes notações J_α∗₀= 8

∑

s=1 (ls− rs) fα+ 8

∑

k=1 7

∑

m=1 (l_m+1hk_i+m+1− r_m+1hk_i−m)f (k) i k! , (3.54)

(42)

40 Capítulo 3. Metodologia J_α2= 8

∑

s=1 (Ts− Ps) fα+ 8

∑

k=1 7

∑

m=1 (T_m+1hk_i+m+1− P_m+1hk_i−m)f (k) i k! , (3.55) J_α₀= 8

∑

s=1 (Ls− Rs) fα+ 8

∑

k=1 7

∑

m=1 (L_m+1hk_i+m+1− R_m+1hk_i−m)f (k) i k! , (3.56) onde        l₁= ∑7 q=0cqα +, l_k= ∑7 q=0 (h + h+)q q! cqi+k, k=2,...,8 (3.57)        r₁= ∑7 q=0cqα −, r_s+1= ∑7 q=0 (h + h+)q q! cqi−s, s=1,...,7 (3.58)          T₁= ∑7 q=2cqα +, T_k= ∑7 q=2 (h+)q−2 (q −2)!cqi+k, k=2,...,8 (3.59)          P₁= ∑7 q=2cqα −, P_s+1= ∑7 q=2 (h+)q−2 (q −2)!cqi−s, s=1,...,7 (3.60)        L₁= ∑7 q=0cqα +, L_k= ∑7 q=0 (h+)q q! cqi+k, k=2,...,8 (3.61)        R₁= ∑7 q=0cqα −, R_s+1= ∑7 q=0 (h+)q q! cqi−s, s=1,...,7 (3.62) Estas fórmulas são equivalentes às (3.34) e (3.32), porém descritas de forma simplificada e com dois termos a mais em cada somatório, calculando cada uma das somas e substituindo em (III), tem-se C_i= − R1_i 7

∑

m=1 (l_m+1h8_i+m+1− r_m+1h8_i−m)f (8) i 8! + L2i 7

∑

m=1 (T_m+1h8_i+m+1− P_m+1h8_i−m)f (8) i 8! − R2_i 7

∑

m=1 (Lm+1h8_i+m+1− Rm+1h8_i−m)f (8) i 8! ⇒

(43)

3.3. Série de Taylor corrigida 41 C_i=(2.h2.(56196.h6−123984.h5(h+) +61992.h5+34965.h4(h+)2−23310.h4(h+) −23940.h3(h+)3+ (29925.h3(h+)2)/2 + (63.h2(h+)5)/40 + 945.h2(h+)4 −441.h2(h+)3− (63.h(h+)6)/20 − 378.h(h+)5+ (777.h(h+)4)/8) − (h+.(29030400.h7−24935040.h6(h+) +17589600.h5(h+) +6632640.h4(h+)3 −17687040.h4(h+)2−2898000.h3(h+)4+6882750.h3(h+)3+73.h2(h+)6 +551880.h2(h+)5−1299984.h2(h+)4−30.h(h+)7−50400.h(h+)6+119525.h(h+)5 +3(h+)8+1800(h+)7−4291(h+)6))/960 − (159159.h(h+)6)/80 − (20402543.h6(h+))/60 + 810.h(h+)7+98700.h7(h+) + (7.h(h+)8)/40 − (481.h8(h+))/60 − (19924331.h7)/60 − 899424.h8− (73.h9)/60 + (4291(h+)7)/64 − (225(h+)8)/8 − (3(h+)9)/64 + (355327.h2(h+)5)/20 − (249095.h3(h+)4)/3 + (1133713.h4(h+)3)/12 + (3769437.h5(h+)2)/20 − (27111.h2(h+)6)/4 +26502.h3(h+)5+ (172515.h4(h+)4)/8 − 345576.h5(h+)3+ (1330743.h6(h+)2)/2 + (41.h2(h+)7)/32 + (7.h3(h+)6)/30 − (49.h4(h+)5)/5 − (392.h5(h+)4)/15 − (973.h6(h+)3)/30 − (221.h7(h+)2)/10 + ((h + h+)2.(46.h7+254.h6(h+) +1075680.h6+583.h5(h+)2+3674880.h5(h+) −3972136.h5+715.h4(h+)3 +3635640.h4(h+)2−5716655.h4(h+) +500.h3(h+)4+1623600.h3(h+)3 −3065650.h3(h+)2+196.h2(h+)5+367200.h2(h+)4−774970.h2(h+)3 +39.h(h+)6+41040.h(h+)5−93170.h(h+)4+3(h+)7+1800(h+)6 −4291(h+)5))/60). f (8) i h2.8! ⇒ Ci=((3.h.(−48.h8−240.h7(h+) −82037760.h7−336.h6(h+)2−8789760.h6(h+) −29257648.h6+336.h5(h+)3+102644640.h5(h+)2−65530080.h5(h+) +1680.h4(h+)4−19622400.h4(h+)3−11496240.h4(h+)2+2688.h3(h+)5 +14653800.h3(h+)4−10492160.h3(h+)3+1008.h2(h+)6+7333200.h2(h+)5 −17971870.h2(h+)4+621.h(h+)7+17640.h(h+)6+322896.h(h+)5 +102(h+)8+171360(h+)7−406385(h+)6))/320). f (8) i h2.8! ⇒ C_i= (K1.h5+ K2.h6+ K3.h7) f_i(8)+ O(h8), (3.63)

substituindo as expressões (3.52), (3.53) e (4.31) em (3.50), obtém-se

T_i= (K1.h5+ (K2 + 23

5040)h6+ K3.h7) f

(8)

(44)

Então o esquema compacto da parte contínua da discretização dos pontos regulares é de sexta ordem mas multiplicado por coeficiente 23/5040 e o termo de correção é de quinta ordem mas com um coeficiente K1 e o coeficiente de sexta ordem é K2, os quais são suficientemente pequenos.

De forma análoga pode-se obter o ETL para os pontos I = i − 1, I = i + 1 e I = i + 2. Para os pontos que ficam próximos à borda adota-se as seguintes discretizações

13 f₁(2)+137 f₂(2)=9775 f1−20285 f2+11170 f3−550 f4−145 f5+35 f6 60h2 + O(h5), (3.65) f₁(2)+12 f₂(2)+3 f₃(2)=4834 f1−8424 f2+1890 f3+2320 f4−810 f5+216 f6−26 f7 360h2 + O(h6), (3.66) f_N(2)+12 f_N−1(2) +3 f_N−2(2) =4834 fN−8424 fN−1+1890 fN−2+2320 fN−3−810 fN−4+216 fN−5−26 fN−6 360h2 , (3.67) 13 fN(2)+137 f (2) N−1=9775 f N−20285 fN−1+11170 fN−2−550 fN−3−145 fN−4+35 fN−5 60h2 . (3.68)

(45)

43

CAPÍTULO

4

PROBLEMAS BIDIMENSIONAIS

Neste capítulo, são apresentados os métodos explícitos de diferenças finitas que serão utilizados para resolver a equação de Poisson em 2D. Serão analisados também os erros de truncamentos dos 3 métodos, onde serão verificadas as suas respectivas ordens de convergência.

4.1 Esquemas Explícitos

Nesta seção serão apresentados os esquemas de diferenças finitas explícitos padrão que foram utilizados para discretizar a segunda derivada, os coeficientes da diferenciação dos

diferentes esquemas foram obtidos através do artigo (FORNBERG,1988) onde são apresentadas

várias tabelas com diversos esquemas para a segunda derivada, onde variam-se os coeficientes de cada esquema dependendo da posição do pontos onde gera-se uma equação de diferenças finitas.

Diferentemente dos métodos compactos não será feita uma discretização no termo fonte e assim também não terá correção para este lado da discretização. Então aparecerá somente um termo de correção correspondente à diferença finita utilizada e este termo terá a mesma ordem

de convergência que a discretização nos pontos regulares de cada método. Na figura5tem-se

uma ilustração da discretização explícita utilizada para o método de segunda ordem.

4.1.1 Diferenças de 2

a

Ordem

O método utilizado por (MARICHAL; CHATELAIN; WINCKELMANS,2014) para

obter segunda ordem de precisão para a segunda derivada é dado por

f_i2= R2_i−1f_i−1+ R2_i f_i+ R2_i+1f_i+1+CI, (4.1)

onde R2_i−1= R2_i+1= 1

h2, R 2 i = − 2 h2 e CI = −R 2

(46)

44 Capítulo 4. Problemas bidimensionais Figura 5 – Ilustração da discretização explícita do domínio para o método de segunda ordem.

Fonte:Marichal, Chatelain e Winckelmans(2014).

ocorre em xi< xα < xi+1, e neste caso h+= xi+1− xα e

J_α0= [ f(0)]α+ (h+)[ f(1)]α+

(h+)2

2! [ f(2)]α+

(h+)3

3! [ f(3)]α. (4.2)

Se o salto ocorre em xi−1< xα < xi, então I = i − 1 e neste caso h−= xα− xi−1e

J_α0= −[ f(0)]α+ (h−)[ f(1)]α−

(h−)2

2! [ f(2)]α+

(h−)3

3! [ f(3)]α. (4.3)

Os saltos podem ser obtidos por

[ f(n)]α = f (n) + − f (n) − , (4.4) onde f(n) + e f (n)

f₊(n)= cn_{α +}fα+ cni+2fi+2+ cni+3fi+3+ cni+4fi+4,

f₋(n)= cn_{α −}fα+ cn_i−1fi−1+ cn_i−2fi−2+ cn_i−3fi−3.

Os coeficientes cnpara calcular

f_α(n)= cαfα+ cifi+ ci+1fi+1+ ci+2fi+2, (4.5)

são obtidos da resolução do sistema linear       1 1 1 1 0 hi hi+1 hi+2 0 h2 i h2i+1 h2i+2 0 h3 i h3i+1 h3i+2             c_α ci c_i+1 c_i+2       =       0!δn0 1!δn1 2!δn2 3!δn3       , (4.6)

(47)

4.1. Esquemas Explícitos 45

onde hi= xi− xα e δi j é a função delta de Kronecker.

O ETL é dado por

Ti≡ − f_i(2)+ R2_i−1fi−1+ R2i fi+ R2_i+1fi+1− R2IJα0, (4.7)

onde o termo de correção do salto pode ser obtido à partir de

J_α₀= 4

∑

s=1 (Ls− Rs) fα+ 4

∑

k=1 3

∑

m=1 (L_m+1hk_i+m+1− R_m+1hk_i−m)f (k) i k! , (4.8) com        L₁= ∑3 q=0cqα +, L_k= ∑3 q=0 (h+)q q! cqi+k, k=2,...,4 (4.9)        R₁= ∑3 q=0cqα −, R_s+1= ∑3 q=0 (h+)q q! cqi−s, s=1,...,3 (4.10) Substituindo cada termo no ETL temos

Ti= − f_i(2)+ 1 h2[2( f (xi) + h2 2!f (2) i + h4 24f (4) i )] − 2 h2f(xi) − R2_i 3

∑

m=1 (L_m+1h4_i+m+1− R_m+1h4_i−m)f (4) i 4! + O(h4) ⇒ T_i= h 2 12f (4) i − R2i 30.h3_.h+_{. f}(4) i 24 + O(h4), Se R2 I = 1 h2 e h + _{= β .h}_{com 0 < β ≤ 1,} Ti= (1 − 15.β )h2 12 f (4) i + O(h4) (4.11)

A estabilidade deste método para o caso de Poisson com coeficientes constante por partes

pode ser vista em (WIEGMANN; BUBE,2000).

4.1.2 Diferenças de 4

a

Ordem

Um esquema de diferenças finitas explícitas unidimensional de quarta ordem com cinco pontos será utilizado para aproximar numericamente a segunda derivada espacial, o esquema é dado por f_i(2)= − 1 12h2fi−2+ 4 3h2fi−1− 5 2h2fi+ 4 3h2fi+1− 1 12h2fi+2+CI, (4.12)

(48)

46 Capítulo 4. Problemas bidimensionais com CI= −(R1_IJ_α∗₀+ R2_IJα0), em que          R1_I =0 e R2_I = 4 3h2 se I = i − 1 ou I = i + 2, R1_I = − 1 12h2 e R2I = 4 3h2 se I = i ou I = i + 1, (4.13) Nestes esquemas o salto ocorre em xi< xα < xi+1, então quando I = i + 1 ou I = i + 2, nestes

casos h+_{= x} i+1− xα, J_α₀= 5

∑

k=0 (h+)k k! [ f (k) ]α, (4.14) J_α∗₀= 5

∑

k=0 (h + h+)k k! [ f (k) ]α, (4.15)

quando I = i ou I = i − 1, nestes casos h−_{= x}

α− xi−1e J_α₀= 5

∑

k=0 (−1)k+1(h −₎k k! [ f (k)_] α, (4.16) J_α∗₀= 5

∑

k=0 (−1)k+1(h + h −₎k k! [ f (k)_] α, (4.17)

as interpolações para representar os termos [ f(n)_]

α podem ser calculadas pelas fórmulas (3.21),

onde os coeficientes de cada combinação linear é obtida a partir do sistema (3.22). Para calcular o ETL considera-se as seguintes notações

J_α∗₀= 6

∑

s=1 (ls− rs) fα+ 6

∑

k=1 5

∑

m=1 (l_m+1hk_i+m+1− r_m+1hk_i−m)f (k) i k! , (4.18) J_α₀= 6

∑

s=1 (L_s− R_s) f_α+ 6

∑

k=1 5

∑

m=1 (L_m+1hk_i+m+1− R_m+1hk_i−m)f (k) i k! , (4.19) onde        l₁= ∑5 q=0cqα +, l_k= ∑5 q=0 (h + h+)q q! cqi+k, k=2,...,6 (4.20)        r₁= ∑5 q=0cqα −, r_s+1= ∑5 q=0 (h + h+)q q! cqi−s, s=1,...,5 (4.21)

(49)

4.1. Esquemas Explícitos 47        L₁= ∑5 q=0cqα +, L_k= ∑5 q=0 (h+)q q! cqi+k, k=2,...,6 (4.22)        R₁= ∑5 q=0cqα −, R_s+1= ∑5 q=0 (h+)q q! cqi−s, s=1,...,5 (4.23) Desta forma T_i= − f_i(2)− 5 fi 2h2− 1 12h2[2( f (xi) + (2h)2 2! f (2) i + (2h)4 24 f (4) i + (2h)6 720 f (6) i )] + 4 3h2[2( f (xi) + h2 2!f (2) i + h4 24f (4) i + h6 720f (6) i )] +Ci+ O(h 6₎ _⇒ T_i= − f_i(2)− 5 fi 2h2− 1 6h2fi−1 3f (2) i − h2 9 f (4) i − 2h4 135f (6) i + 8 3h2fi+4 3f (2) i + h2 9 f (4) i + h4 270f (6) i − R1_i 5

∑

m=1 (l_m+1h6_i+m+1− r_m+1h6_i−m)f (6) i 6! − R2_i 5

∑

m=1 (L_m+1h6_i+m+1− R_m+1h6_i−m)f (6) i 6! + O(h6) ⇒ T_i=h 4 9 f (6) i − (−(−523152.h5−137200.h4.(h + ) +280840.h3.(h+)2 −67340.h2.(h+)3+7350.h.(h+)4+1995.(h+)5)/(288.h)). f_i(6)+ O(h6) ⇒ T_i= K.h4. f_i(6)+ O(h6) (4.24)

De forma análoga podem-se obter o ETL para os pontos I = i − 1, I = i + 1 e I = i + 2. Nos pontos que ficam próximos à borda utiliza-se as seguintes discretizações

f₁(2)=50 f1−75 f2−20 f3+70 f4−30 f5+5 f6

60h2 + O(h5), (4.25)

f_N(2)= 50 fN−75 fN−1−20 fN−2+70 fN−3−30 fN−4+5 fN−5

(50)

48 Capítulo 4. Problemas bidimensionais

4.1.3 Diferenças de Alta Ordem

Para obtermos um esquema de sexta ordem vamos considerar a seguinte expressão

f_i(2)= 1 90h2fi−3− 3 20h2fi−2+ 3 2h2fi−1− 49 18h2fi+ 3 2h2fi+1− 3 20h2fi+2+ 1 90h2fi+3+CI, (4.27) com CI= −(R1IJα∗0+ R 2 IJα0+ R3_IJ_α∗∗0), onde                    R1_I = −_20h3₂ R2_I = 3 2h2 e R3I = 1 90h2 se I= i ou I= i +1, R1_I = _90h1₂ R2_I = −_20h3₂ e R3_I =0 se I= i −1 ou I = i + 2, R1_I =0 R2_I = 1 90h2 e R3I =0 se I= i −2 ou I = i + 3. (4.28)

Nestes esquemas, o salto ocorre em xi< xα < xi+1, então quando I = i +1, I = i +2 ou I = i +3,

nestes casos h+_{= x} i+1− xα, definimos Jα0∗∗ = 7 ∑ k=0 (2h + h+)k k! [ f (k)_]

α, sendo que os termos de

correção Jα0e Jα0∗ são os mesmo utilizados em (3.39).

Quando I = i, I = i − 1 ou I = i − 2, nestes casos h−_{= x}

α− xi−1, J_α∗∗₀= 7

∑

k=0 (−1)k+1(2h + h +₎k k! [ f (k)_] α

e os outros dois termos de correção Jα0 e J_α0∗ serão os utilizados em (3.43). Cada uma das

interpolações serão obtidas mediante o sistema (3.49).

Para calcular o ETL utilizam-se as fórmulas (3.54) e (3.56), e os coeficientes de cada somatórios serão os mesmo utilizados em (3.61), (3.62), (3.57) e (3.58). Desta forma o termo de correção deste método é dado por

C_i= − R1_i 7

∑

m=1 (lm+1h8_i+m+1− rm+1h8_i−m)f (8) i 8! + R3i 7

∑

m=1 (L∗_m+1h8_i+m+1− R∗_m+1h8_i−m)f (8) i 8! − R2_i 7

∑

m=1 (L_m+1h8_i+m+1− R_m+1h8_i−m)f (8) i 8! onde        L∗₁= ∑7 q=0cqα +, L∗_k = ∑7 q=0 (2h + h+)q q! cqi+k, k=2,...,8 (4.29)        R∗₁= ∑7 q=0cqα −, R∗_s+1= ∑7 q=0 (2h + h+)q q! cqi−s, s=1,...,7. (4.30)

(51)

4.2. Equação de Poisson 2D 49

Substituindo cada uma das somas na expressão para o ETL temos

T_i=0.0018.h6. f_i(8)− (−(−687.h8−747.h7.(h+) +126171360.h7+1911.h6.(h+)2 −983283840.h6.(h+) +48718201.h6+4137.h5.(h+)3 +463228920.h5.(h+)2+93736650.h5.(h+) +2205.h4.(h+)4 +24696000.h4.(h+)3−649620615.h4.(h+)2−1113.h3.(h+)5 −146538000.h3.(h+)4+350061460.h3.(h+)3−1911.h2.(h+)6 +118409760.h2.(h+)5−280542045.h2.(h+)4−1701.h.(h+)7 −6136200.h.(h+)6+13930266.h.(h+)5+1470.(h+)8 +2469600.(h+)7−5856725.(h+)6)/(14400.h))f (8) i 8! + O(h8) ⇒ T_i= (K1.h5+ (0.0018 + K2).h6+ K3.h7) f_i(8)+ O(h8). (4.31)

Novamente observa-se que o esquema explícito da parte contínua da discretização dos pontos regulares é de sexta ordem, multiplicado pelo coeficiente 0.0018 e o termo de correção é de quinta ordem com um coeficiente K1, o coeficiente de sexta ordem é K2 e o coeficiente de sétima ordem é K3, os quais são suficientemente pequenos. De forma análoga podem-se obter o ETL para os pontos I = i −2, I = i −1, I = i + 1, I = i +2 e I = i + 3. Nos pontos que ficam próximos à borda utiliza-se as seguintes discretizações

f_j(2)=469 fj 90h2 − 223 fj+1 10h2 + 879 fj+2 20h2 − 949 fj+3 18h2 + 41 fj+4 h2 − 201 fj+5 10h2 + 1019 fj+6 180h2 − 7 fj+7 10h2 , (4.32) para j= 1,2, o qual é de ordem O(h6₎_{, e para M=N, N-1, também de O(h}6₎_{, a discretização}

f_M(2)=469 fM 90h2 − 223 fM−1 10h2 + 879 fM−2 20h2 − 949 fM−3 18h2 + 41 fM−4 h2 − 201 fM−5 10h2 + 1019 fM−6 180h2 − 7 fM−7 10h2 . (4.33)

4.2 Equação de Poisson 2D

Para a discretização da equação de Poisson 2D por diferenças finitas explícitas em pontos regulares utiliza-se os esquemas de segunda, quarta e oitava ordens que foram definidos na seção anterior. Para os pontos que ficam próximos à interface imersa, deve-se acrescentar termos de correção, então denota-se os esquemas da seguinte forma

f_{i, j}(2)= Ri, jfi, j+Ci, j, (4.34)

onde Ri, j serão os coeficientes de cada um dos 3 esquemas aplicados a cada uma das duas

(52)

50 Capítulo 4. Problemas bidimensionais Figura 6 – Ilustração do domínio contendo uma interface imersa circular.

0 0.0556 0.1111 0.1667 0.2222 0.2778 0.3333 0.3889 0.4444 0.5 0.5556 0.6111 0.6667 0.7222 0.7778 0.8333 0.8889 0.9444 1 0 0.0556 0.1111 0.1667 0.2222 0.2778 0.3333 0.3889 0.4444 0.5 0.5556 0.6111 0.6667 0.7222 0.7778 0.8333 0.8889 0.9444 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361

Fonte: Elaborada pelo autor.

Dependendo da posição do ponto será utilizado o estêncil em cada coordenada (i, j) e

Ci, j será o termo de correção de cada respectivo método em cada uma das duas direções, desta

forma

C_{i, j} = J_{α xI( j)}+ J_{α xJ(i)}, (4.35)

J_{α xI}= Rxx_I J_α0x, J_{α xJ}= Ryy_I J_α_0y,

Rxx_I e J_α0xcorrespondem a R2_i e J_α0na direção x. O mesmo vale para a direção y.

I=    i−1, se xi−1< xα < xi, i+1, se xi< xα < xi+1 J=    j−1, se xj−1< xα < xj, j+1, se xj< xα < xj+1

Note que I = I( j) e J = J(i), ou seja, as correções são feitas separadamente para cada direção usando o procedimento unidimensional.