UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

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Questões de Provas e Testes (Deformações na Flexão)

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS XI - Engenharia Mecânica – Prof. Pamplona 2004-01

L B e A w 1,0m 2,0m 1,0m A B C D d=100mm d=105mm d=100mm 5,0 kN 5,0 kN L/2 L/2 d A B C P 1,0m 1,0m 1,0m 1,0m 6,0kN

(1) 1a. Questão - Para a chapa triangular em balanço, submetida a uma carga uniforme w, pede-se calcular a flecha em seu vértice livre A, em função de suas dimensões (B, e, e L), de seu módulo de elasticidade E e da carga distribuída w.

(Bônus) Calcule a máxima tensão normal na chapa.

(2) 2a_{. Questão}_{- Para o eixo de aço (E =} 200GPa) com diâmetros escalonados como mostrado na figura, pede-se determinar as flechas:

a) nas seções de transição B e C; b) no meio do vão.

(Bônus): Calcule a máxima tensão normal no eixo;

(3) 3a. Questão - Para o vergalhão de material elástico (módulos de elasticidade E= 2,5 G), diâmetro d e comprimento L, dobrado a meio comprimento (em B), engastado na extremidade A e submetido a uma força P na extremidade livre C (como mostrado na figura), pede-se calcular a flecha nessa extremidade C.

(Bônus): calcule a maior tensão tangencial, considerando o estado duplo.

(4) 4a_{. Questão - Para as duas vigas} esquematizadas (perfil S 130x22 em aço (

σ

escoamento=250MPa, E = 200GPa) pede-se:

a) traçar os diagramas de momentos fletores; b) calcular a flecha na extremidade A.

(Bônus) – calcular o coeficiente de segurança do conjunto para o escoamento. Perfil S130x22 A 90º apoio móvel apoio móvel Área Altura Ix Wx rx Iy Wy ry 2800 mm2 127 mm 6,33 106mm4 99,7 103mm3 47,5 mm 0,695 106mm4 16,75 103mm3 15,75 mm

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS XI - Engenharia Mecânica – Prof. Pamplona

L w A 2,0m 1,0m B C d=110mm d=100mm 5,0 kN 5,0 kN L/3 L/3 d A C P

(5) 1a.Questão - Para a barra chata em balanço, submetida a uma carga linearmente distribuída, de zero a w, pede-se calcular a flecha em seu vértice livre A, em função de suas dimensões (b, h, e L), de seu módulo de elasticidade E e do valor máximo da carga distribuída w.

(Bônus) Calcule a máxima tensão normal na barra.

(6) 2a_{. Questão - Para o eixo de aço (E =} 200GPa) com diâmetros escalonados como mostrado na figura, pede-se determinar as flechas:

a) na seção de transição B; b) na extremidade livre C.

(7) 3a.Questão - Para o vergalhão de material elástico (módulos de elasticidade E= 2,5 G), diâmetro d e comprimento L, dobrado em três partes iguais (em B e C), engastado na extremidade A e submetido a uma força P na extremidade livre D (como mostrado na figura), pede-se calcular a flecha nessa extremidade.

(Bônus): calcule a maior tensão tangencial, considerando o estado duplo.

A 90º B 1,0m 1,0m 1,0m 6,0kN Perfil S130x15 b h A L/3 90º D 2ª avaliação – em 08/07/04

(8) 4a_{.Questão - Para as duas vigas} engastadas esquematizadas (perfil S 130x15 em aço,

σ

escoamento=250MPa, E = 200GPa)

pede-se:

a) traçar os diagramas de momentos fletores; b) calcular a flecha na extremidade A.

(Bônus) – calcular o coeficiente de segurança do conjunto para o escoamento.

Área Altura h Ix Wx rx Iy Wy ry 1884 mm2 127 mm 5,12 106mm4 80,6 103mm3 52,1 mm 0,508 106mm4 13,37 103mm3 16,33 mm

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2a. Prova; em 18/11/2004 1,0m 1,0m 1,0m 1,0m 6,0kN

(9) 1a. Questão - Para a viga de madeira (E = 20GPa) seção retangular (b = 100mm x h = 200 mm), submetida ao carregamento indicado, pede-se calcular a flecha no meio do vão.

(Bônus)(0,3 p) Calcule a máxima tensão normal na viga.

(10) 3a_{. Questão} _{- Para as duas vigas} esquematizadas (perfil S 130x22 em aço (

σ

a) traçar os diagramas de momentos fletores; b) calcular a flecha no meio do vão da viga AB.

Perfil S130x22 A Área Altura Ix Wx rx Iy Wy ry 2800 mm2 127 mm 6,33 106mm4 99,7 103mm3 47,5 mm 0,695 106mm4 16,75 103mm3 15,75 mm 2,0kN 1,0 kN/m 1m 1m 2m B Perfil S130x22

(11) 4a. Questão - Mostre que a flecha no meio do vão de uma viga prismática (tendo produto de rigidez EI e comprimento L) submetida a uma carga P concentrada no meio do vão vale:

f = P L

3

/ 48 EI:

a) utilizando o método da integração; b) utilizando a analogia de Mohr; c) utilizando a energia elástica; d) utilizando o teorema de Castigliano.

(12) 1ª Questão – O eixo de aço, com 140mm de diâmetro e 6m de comprimento, apoiado sobre dois mancais B e C, espaçados de 4m e tendo um balanço de 2m, é submetido ao carregamento indicado. Pede-se determinar as flechas na extremidade A do balanço e no meio do vão BC entre os mancais.

Bônus - calcular a maior tensão de cisalhamento no eixo.

2,00m 1,00m 2,00m 1,00m

8,00kN 10,0 kN/m

A _B _C

(4)

2ª PROVA – Em 17/05/05

2ª PROVA (B) – Em 24/05/05 3,64m 3,64m 1,82m 1,82m 356kN 254 16 603 x W610x101

(13) 2ª Questão - Duas placas de aço (16x254x3640mm3) são aparafusadas como reforço às mesas do perfil W610x101 (com 603mm de altura e Ix = 762x106_mm4_{), também de aço, conforme} indica a figura. Determinar a flecha no meio do vão da viga, para a carga de 356kN.

Bônus - calcular a maior tensão normal no perfil. 1,8 m 1,8 m 1,8 m 1,8 m P=592 N

(14) 3ª Questão – Duas barras de aço com 3,6 m de comprimento e seção retangular de 12 x 24 mm2 são montadas ortogonalmente e bi-apoiadas para suportar a carga P = 592 N no meio do vão. A peça superior é posicionada deitada (com a dimensão 24mm na horizontal) enquanto a peça inferior é posicionada com a dimensão 24mm na vertical, uma tocando a outra no meio de seus vãos. Pede-se determinar o maior valor do momento fletor nas duas peças.

Bônus - calcular a maior tensão normal nas peças.

P P

a a a a

B

C

(15) 4ª Questão – Traçar o diagrama de momentos fletores para a viga contínua simétrica representada, indicando seus valores extremos, positivo e negativo, bem como as seções em que ocorrem as inversões de seus sinais.

E

aço

= 200

GPa

A

1,50m 1,50m 2,00m

12 kN 9,6 kN/m

(16) 1ª QUESTÃO - Traçar o diagrama de momentos fletores para a viga hiperestática esquematizada, indicando os valores extremos alcançados (positivo e negativo) bem como as seções onde ocorrem.

Bônus: determinar o módulo de resistência (W) admissível para a seção da viga supondo uma tensão normal de no máximo 100MPa.

(5)

600 300 180 12 P 600 300 ₁₈₀ 12 P A A P (2/3)L (1/3)L

(17) 2ª QUESTÃO -As duas pranchas de madeira (E=20GPa) mostradas foram montadas aparafusadas (5 parafusos de diâmetro 10mm) e engastadas no reparo fixo A. Pede-se calcular a flecha na extremidade do balanço quando lá for aplicada a carga P = 100 N.

Bônus: determinar a máxima tensão de

cisalhamento nos parafusos de união das pranchas.

(18) 3ª QUESTÃO -As duas pranchas de madeira (E=20GPa) mostradas foram engastadas no reparo fixo A , espaçadas de uma distância d e estando encostadas através de um rolete de diâmetro d, ficando paralelas. Pede-se calcular a flecha na extremidade do balanço quando lá for aplicada a carga P = 100 N.

Bônus: determinar a máxima tensão normal nas pranchas.

d

(19) 4ª QUESTÃO -Deduza a expressão que dá a flecha no meio do vão da viga bi-apoiada submetida à carga P na seção assinalada (a 1/3 do comprimento da viga em ralação a um dos apoios) em função de P, L e do produto de rigidez EI da viga.

Bônus: repita a demonstração utilizando outro método.

5 parafusos de diâmetro 10mm

2ª avaliação – em 25/10/05

10 kN

24 kN/m

2,0m 4,0m

(20) 1ª QUESTÃO - Traçar o diagrama de momentos fletores para a viga prismática e homogênea esquematizada, indicando os valores extremos (+ e -)

(6)

2ª avaliação – em 20/06/06 16 kN / m 15 kN d = 126 mm 2,00 m 1,00 m 1,00 m 2,00 m 2,00 m 100 kN 250 15 10 10 100 Aba 228 x 14,9 mm2 Alma 573 x 10,5 mm2 L/4 L/4 L/2 P f

(22) 1ª QUESTÃO - Para o eixo de aço maciço esquematizado (d = 126 mm, L = 4,00 m, E = 200GPa), apoiado no mancal A e engastado no flange F, pede-se determinar:

(a) o momento fletor máximo;

(b) a flecha no meio do vão, entre o mancal e o flange.

A

F

(23) 2ª QUESTÃO - O perfil de aba larga W610x101, com 4 m de comprimento é engastado e reforçado na metade de sua extensão por duas barras chatas de mesmo material (250 x 15 mm2) soldadas ao longo das abas por 12 cordões como indicado na figura. Para a força de 100 kN aplicada na extremidade em balanço pede-se determinar a flecha máxima.

(E = 200GPa)

BÔNUS : calcular a tensão tangencial média nos cordões de solda.

(24) 4ª QUESTÃO - Mostre que a flecha no meio do vão de uma viga, de comprimento L e produto de rigidez EI, submetida a uma força concentrada P aplicada a ¼ L de um dos apoios vale:

f1/2 L = - (11/768) PL3/EI a) utilizando o método da integração; b) utilizando a analogia de Mohr;

BÔNUS: c) utilizando o teorema da reciprocidade (Maxwell). Ix 762 x 106 mm4 B 1,0m 1,0m 1,0m

1,0m _5,0kN (21) VS – 3/8/2004 Para as duas vigas

esquematizadas (perfil S 130x22 em aço (

σ

a) traçar os diagramas de momentos fletores; b) calcular o coeficiente de segurança do conjunto para o escoamento.

Perfil S130x22 A Área Altura Ix Wx rx Iy Wy ry 2800 mm2 127 mm 6,33 106mm4 99,7 103mm3 47,5 mm 0,695 106mm4 16,75 103mm3 15,75 mm

(7)

2,0m 2,0m B C d=120mm 100x100 mm2 5,0 kN 5,0 kN

(25) 2a_{. Questão - Para a peça de aço (E = 200} GPa) , pede-se determinar as flechas:

a) na seção de transição B; b) na extremidade livre C.

(26) 3a_{.Questão - Para as duas vigas} engastadas esquematizadas (perfil S 130x15 em aço,

σ

escoamento=250MPa, E = 200GPa)

pede-se:

a) traçar o diagrama de momentos fletores da viga ABC

b) calcular a flecha na extremidade A.

A 1,5m 1,5m 1,5m 5,0kN Área Altura h Ix Wx rx Iy Wy ry 1884 mm2 127 mm 5,12 106mm4 80,6 103mm3 52,1 mm 0,508 106mm4 13,37 103mm3 16,33 mm A C B

(27) Questão Extra I – No estudo das tensões despertadas em peças submetidas a cargas dinâmicas (choque), foi dito que, em peças de seção uniforme, quanto maior o seu volume, menor a tensão máxima produzida.

Tal circunstância é aplicada, por exemplo, no fechamento de cilindros pneumáticos, onde são utilizados parafusos longos submetidos à tração (fig. a) ao invés da solução mais simples de parafusos curtos (fig.b).

Deve-se, no entanto, analisar com cautela tal propriedade, no caso de peças que têm seção variável. É o caso indicado nas figuras (c) e (d) abaixo:

- A máxima tensão alcançada na peça da fig. (d) devido ao choque é 26,5% maior do que aquela atingida na peça da fig. (c), apesar desta ter um menor volume do que aquela.

Perfil S130x15

d 2d d

L/2 L/2

(8)

Solução:

½ P

equiv

f

din

= U = ½

P

equiv

[P

equiv

L

3

/ 48 EI] = (P

equiv

)

2

L

3

/ 96 EI

U = ½ mv

2

= mgh

portanto

, P

equiv

= [ 96 EI mgh / L

3

]

1/2. No caso, I = 80 x 1003 / 12 – 60 x 803 / 12 = 4,107 x 106 mm4 = 4,107 x 10-6 m4.

P

equiv = [96 x 70 x 109 x 4,107 x 10-6 x 6,0 x 9,81 x 0,200 / 1,83]1/2 = 7,464 kN,

A máxima tensão normal, σmáx = [(Peq L/4)/I]ymáx = (7,464 x 103 x 1,8 / 4 x 4,107 x 10 –6 )x 0,050 =

= 40,9 MPa A deformação máxima valerá:

δ

dinâmico

= P

equiv

L

3

/ 48 EI =

3,15

mm

O fator de ampliação devido ao choque corresponde a 7,464 x 103 / 6 x 9,81

= 127

900 900 200 6kg 80 100 10

(28) QUESTÃO EXTRA II – O duto de alumínio (E = 70 GPa), de seção retangular 100 x 80 mm2 e espessura de parede 10 mm, com um comprimento de 1,80m, está bi-apoiado pelas extremidades, quando recebe o impacto decorrente da queda de uma placa de 6,0 kg de uma altura de 200 mm.

Pede-se determinar: 1º) a carga estática equivalente

2º) a máxima tensão normal despertada; 3º) a máxima deflexão produzida.

(29) QUESTÃO EXTRA III – Para os pórticos hiperestáticos representados, de seção uniforme ao longo dos tramos verticais (h) e horizontal (L), sendo h = ββββL, pede-se mostrar que os esforços solicitantes apresentados nos diagramas, correspondem aos valores indicados nas expressões abaixo (foram tomados como referência os valores de momentos fletores correspondentes a uma viga de comprimento L, bi-apoiada e bi-engastada)

h h h h ½ L ½ L _{½ L} _{½ L}

P

P/2

H

M*

M**

M

0

M

0 H = (3/8)[1/(3β+2β2)] (P) M* = ½ [3β/(3β+2β2)](PL/4) M**= ½ [(3β+4β2)/(3β+2β2)](PL/4) H = (3/8)[1/(2β+β2)] (P) M0 = [β/(2β+β2)](PL/8) M* = 2[β/(2β+β2)](PL/8) M** = 2[(β+β2)/(2β+β2)](PL/8)

M

0

M

₀