1ª Lista de Exercícios (ALI0001)1
Grupo Colaborativo de Pesquisa em Ensino de Álgebra Linear2
Legenda
Cálculos Conceitos Teoria Software
Questões
1. Classifique o sistema e exiba uma solução, caso ela exista: ⎧ ⎨ ⎩ 2𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 = −6 3𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧 = −38 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = −3
2. Resolva o sistema de equações, escrevendo a matriz ampliada do sistema inicial e escre-vendo o sistema final do qual se obterá a solução do sistema original:
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 11 4𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 0 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6 3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4
3. Determine 𝑘 para que o sistema admita solução ⎧ ⎨ ⎩ −4𝑥 + 3𝑦 = 2 5𝑥 − 4𝑦 = 0 2𝑥 − 𝑦 = 𝑘
4. Considere o sitema linear ⎧ ⎨ ⎩ 𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 2 𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 3 𝑥 + 3𝑦 + 𝑎𝑧 = 𝑏
. Para que valores de 𝑎 e 𝑏 o sistema
(a) tem uma infinidade de soluções? (b) tem única solução?
(c) é impossível?
5. Apresente todos os possíveis resultados na discussão de um sistema não-homogêneo de 6 equações lineares com 4 incógnitas.
6. Se 𝐴 é uma matriz 3 × 5, quais são os possíveis valores da nulidade de 𝐴? E se 𝐴 for 4 × 2?
7. Chamamos de sistema homogêneo de 𝑛 equações e 𝑚 incógnitas aquele sistema cujos termos independentes são todos nulos.
1 Este é um material de acesso livre distribuído sob os termos da licençaCreative Commons BY-SA 4.0 2 Professores participantes do grupo: Graciela,Helder,Ivanete, Katiane,MaísaeRogério
(a) Um sistema homogêneo admite pelo menos uma solução. Qual é ela? (b) Encontre os valores de 𝑘 ∈ R, tais que o sistema homogêneo
⎧ ⎨ ⎩ 2𝑥 − 5𝑦 + 2𝑧 = 0 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 2𝑥 + 𝑘𝑧 = 0
tenha uma solução distinta da solução trivial.
8. Se det 𝐴 = 0, então o sistema homogêneo 𝐴𝑋 = 0 tem infinitas soluções ? Justifique sua resposta. 9. Considere a matriz 𝐴 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 0 −1 0 0 −2 1 0 0 1 0 5 0 0 2 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦; e 𝐷 = ⎡ ⎣ 2 1 −3 −1 1 4 5 1 −10 ⎤ ⎦
(a) Discuta a solução do sistema linear homogêneo cuja matriz dos coeficientes é a matriz 𝐴.
(b) Construa um sistema linear não homogêneo cuja matriz dos coeficientes seja matiz 𝐷, tal que 𝑋 = ⎡ ⎣ 2 −1 −5 ⎤
⎦seja uma solução desse sistema. Existem outras soluções para esse sistema? Em caso positivo exiba duas soluções.
10. Considere o sistema de equações lineares {︃
2𝑥 − 3𝑦 = −4 5𝑥 + 𝑦 = 7 e utilize um software como o GeoGebra3 para:
(a) Plotar o conjunto 𝐴 formado pelos pontos (𝑥, 𝑦) cujas coordenadas satisfazem a primeira equação e o conjunto 𝐵 dos que verificam a segunda equação.
Dica: Não é preciso um comando especial para representar equações polinomiais no GeoGebra. Basta digitá-las diretamente (mesmo se forem como 5xyˆ2+2yˆ3xˆ2=1). (b) Alterar algumas vezes os números do segundo membro, e perceber o tipo de mudança
que ocorre na representação gráfica de 𝐴 e 𝐵.
(c) Verificar se com alguma escolha de valores os conjuntos se intersectam. Parece ser possível que isso não aconteça dependendo dos valores escolhidos? Dica: O comando Interseção[p, q] gera a interseção dos objetos p e q.
11. Repita o exercício anterior para o seguinte sistema, em uma janela de visualização 3D: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 𝑥 + 𝑦 + 5𝑧 = 7
12. Considere os seguintes sistemas lineares nas variáveis 𝑥, 𝑦 ∈ R:
{︃ 𝑥 + 2𝑦 = 6 2𝑥 − 𝑐𝑦 = 0 (1) {︃ 𝑥 + 2𝑦 = 6 −𝑐𝑥 + 𝑦 = 1 − 4𝑐 (2) (a) Determinar para quais valores de 𝑐 os sistemas lineares têm uma, nenhuma ou
infi-nitas soluções.
(b) Obtenha as mesmas conclusões sobre 𝑐 experimentalmente, usando o GeoGebra. Dica: defina por exemplo c=10 e use o botão direito do mouse para tornar o número visível como um “controle deslizante” e mova-o para ver o efeito deste parâmetro. 13. Determine para que valores de 𝑡 o sistema linear (𝐴 − 𝑡𝐼)𝑋 = 0 possui mais de uma
solução, sendo 𝐼 a matriz identidade, 𝐴 a matriz definida nos casos a seguir, (𝐴 − 𝑡𝐼) a matriz de coeficientes do sistema, e 0 uma matriz coluna de ordem apropriada.
(a) 𝐴 =[︂0 31 2 ]︂ (b) 𝐴 = ⎡ ⎣ 0 0 0 1 0 20 0 1 −1 ⎤ ⎦ (c) 𝐴 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 3 0 0 1 −2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
14. Obtenha a forma escalonada reduzida por linhas da matriz de coeficientes de cada um dos sistemas lineares a seguir, e partir dela determine as soluções dos sistemas:
(a) {︃ 5𝑠 − 5𝜋𝑡 = −5𝜋2 −𝑠 + (𝜋 + 3)𝑡 = 𝜋(𝜋 + 6) (b) ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 4𝑥1 + 4𝑥2 = 16 5𝑥2 − 15𝑥4 = 2 2𝑥1 + 2𝑥2+ 𝑥3 = 12 − 𝑥2 + 8𝑥4 = 3/5 (c) ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 3𝑥1− 12𝑥2− 6𝑥3 + 9𝑥5 = −21 −𝑥1 + 4𝑥2+ 2𝑥3 − 3𝑥5 = 7 1 2𝑥1− 2𝑥2− 𝑥3+ 𝑥4− 3 2𝑥5 = − 5 2 −7𝑥1 + 28𝑥2+ 15𝑥3 − 23𝑥5 = 53 (d) ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝑏 + 6𝑐 = 6 𝑎 + 6𝑏 − 5𝑐 = −3 3𝑎 + 20𝑏 − 3𝑐 = 1
15. Utilize matrizes inversas para resolver os sistemas anteriores, quando for possível. 16. Resolva os seguintes sistemas lineares sobre R, usando matrizes inversas:
(a) ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ − 𝑦 + 5𝑧 = 2 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 7 2𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 = 13 (b) ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ − 𝑣 + 5𝑤 = 0 𝑢 + 2𝑣 + 3𝑤 = 0 2𝑢 + 4𝑣 + 5𝑤 = 0 (c) ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ − 𝑞 + 5𝑟 = −2 𝑝 + 2𝑞 + 3𝑟 = 3 2𝑝 + 4𝑞 + 5𝑟 = 1 17. Seja 𝑀 =[︂𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ]︂
∈ 𝑀2×2(R) a matriz associada a um sistema linear homogêneo. Utilize
a eliminação de Gauss-Jordan para provar que se 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ̸= 0 então o sistema possui somente a solução trivial.
18. Uma fábrica produz três produtos (banheiras, pias e tanques)e os envia para armazena-mento em dois depósitos. O número de unidades enviadas de cada produto para cada depósito é dado pela matriz 𝐴 =
⎡ ⎣ 200 75 150 100 100 125 ⎤
⎦(em que cada entrada da matriz é o número de unidades enviadas do produto para o depósito, e os produtos são colocados em ordem alfabética. O custo de remessa de uma unidade de cada produto, por caminhão, é 1, 50
por banheira, 1, 00 por pia, 2, 00 por tanque. Os custos unitários correspondentes ao envio por trem são 1, 75, 1, 50 e 1, 00. Organize esses custos em uma matrz 𝐵 e use essa matriz para mostrar como a fábrica pode comparar os custos de remessa - por caminhão e por trem - de seus produtos para cada um dos depósitos.
19. Imagine uma situação cotidiana e procure problematizá-la de tal forma que você possa fazer uso:
(a) da adição de matrizes (b) do produto de matrizes 20. Dadas as matrizes: 𝐴 = ⎡ ⎣ 1 −2 3 −1 2 −1 2 3 3 1 2 3 ⎤ ⎦ 𝐵 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 5 −2 2 1 1 3 3 4 2 4 −3 −1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ 𝐶 = ⎡ ⎣ 1 2 2 3 1 3 2 3 0 ⎤ ⎦ Determine, se possível: (a) 𝐴 + 3𝐵𝑇 (b) 𝐴𝐵 (c) 𝐴 + 𝐵𝐶
21. Exiba matrizes quadradas 𝐴 e 𝐵 de ordem 2 × 2 que exemplifiquem as situações a seguir. Compare com o que ocorreria se 𝐴 e 𝐵 fossem números reais.
(a) É possível que 𝐴2 = 𝐵2 mesmo que 𝐴 ̸= 𝐵 e 𝐴 ̸= −𝐵.
(b) (𝐴𝐵)2 ̸= 𝐴2𝐵2.
(c) Pode ocorrer que 𝐴2 = 0 apesar de 𝐴 ̸= 0.
(d) Há casos em que 𝐴𝐵 = 0 ao mesmo tempo em que 0 ̸= 𝐴 ̸= 𝐵 ̸= 0. (e) Mesmo que 𝐴 ̸= 𝐵 pode existir uma matriz 𝑃 tal que 𝐴 = 𝑃−1𝐵𝑃.
22. Justifique as afirmações verdadeiras e exiba um contra-exemplo para as demais: (a) A matriz nula é uma matriz na forma escalonada reduzida por linhas. (b) A matriz identidade 4 × 4 está na forma escalonada reduzida por linhas.
(c) Se uma matriz triangular superior é simétrica então ela é uma matriz diagonal. (d) Se 𝑈 e 𝑉 são matrizes diagonais, então 𝑈𝑉 = 𝑉 𝑈.
(e) Se 𝐴 é uma matriz antissimétrica, isto é, se 𝐴𝑇 = −𝐴, então 𝐴𝑇 é antissimétrica.
(f) Se 𝐴 é uma matriz 𝑛 × 𝑛 antissimétrica, então sua diagonal é igual a zero. (g) Nenhuma matriz 𝐴 𝑛 × 𝑛 pode ser simétrica e antissimétrica simultaneamente. 23. Se 𝐴 é uma matriz 𝑝 × 𝑞, 𝐵 uma matriz 𝑞 × 𝑟 e 𝐶 uma matriz 𝑟 × 𝑞, qual é o tamanho
da matriz 𝑀 = (𝐵 + 𝐶𝑇)((𝐴𝐵)𝑇 + 𝐶𝐴𝑇)?
24. Se 𝑋 é uma matriz 𝑚×𝑛, para que valores de 𝑚 e 𝑛 as operações a seguir fazem sentido? Quais os tamanhos das matrizes obtidas? Quais delas são simétricas? Justifique.
25. Uma matriz 𝐴 é considerada simétrica se 𝐴𝑇 = 𝐴 e antissimétrica se 𝐴𝑇 = −𝐴.
Levando em conta as propriedades da transposição de matrizes, justifique as afirmações que forem verdadeiras e exiba um contra-exemplo para as falsas:
(a) Todas as entradas da diagonal de uma matriz antissimétrica devem ser nulas. (b) Não existem matrizes simétricas que também sejam antissimétricas.
(c) Toda matriz simétrica é antissimétrica. (d) Toda matriz antissimétrica é simétrica.
(e) Se uma matriz não é simétrica, então ela é antissimétrica. 26. Calcule, se existir, a inversa de cada uma das matrizes a seguir:
(a) 𝐴 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 4 −1 2 −2 3 −1 0 0 2 3 1 0 0 7 1 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ , (b) 𝐵 = ⎡ ⎣ 1 0 𝑥 1 1 𝑥2 2 2 𝑥2 ⎤ ⎦ (c) 𝐷 = ⎡ ⎣ 1 −2 −3 1 −3 2 −2 4 5 ⎤ ⎦ (d) 𝑇 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 −1 1 1 −1 −2 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ (e) 𝑈 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 3 3 0 3 0 −3 3 3 −3 −6 0 0 3 6 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
27. Encontre os valores d 𝑘 para os quais a matriz
𝐴 = ⎡ ⎣ 𝑘 − 3 0 3 0 𝑘 + 2 0 −5 0 𝑘 + 5 ⎤ ⎦ é não inversível.
28. Em cada item, use a informação dada para encontra a matriz 𝐴: (a) 𝐴−1 =[︂ 2 −1 3 5 ]︂ (b) (5𝐴𝑇)−1 =[︂ −3 −1 5 2 ]︂ (c) (7𝐴)−1 =[︂ 3 7 1 −2 ]︂ (d) (𝐼 + 2𝐴)−1 =[︂ −1 2 4 5 ]︂
29. Dê exemplos de matrizes 𝐴 e 𝐵 tais que
(a) 𝐴 + 𝐵 seja inversível, mas 𝐴 e 𝐵 não sejam (b) 𝐴 e 𝐵 sejam inversíveis, mas 𝐴 + 𝐵 não seja
(c) 𝐴, 𝐵 e 𝐴 + 𝐵 sejam inversíveis
30. Para que valor(es) de 𝑡 ∈ R a matriz 𝑇 = ⎡ ⎣ −1 9 1 −1 𝑡 3 −1 9 𝑡 + 1 ⎤
31. Existe algum 𝑡 ∈ R para o qual 𝑁 = ⎡ ⎣ 2 − 𝑡 0 −4 6 1 − 𝑡 −15 2 0 −4 − 𝑡 ⎤ ⎦∈ 𝑀3×3(R) não é inversível?
32. Quantas matrizes diagonais 𝐷 de ordem 2×2 satisfazem 𝐷2 = 𝐼, isto é, quantas matrizes
diagonais são “raizes quadradas” da matriz identidade de ordem 2? E se 𝐷 for 3 × 3? 33. Encontre todas as matrizes diagonais 𝐷 de ordem 3 × 3 tais que 𝐷2 − 7𝐷 + 10𝐼 = 0.
34. Mostre que se 𝑆 é uma matriz simétrica então 𝑆2 também é simétrica. Decida se vale o
mesmo para 𝑆𝑛, qualquer que seja 𝑛 ∈ N, e explique sua conclusão.
35. Se 𝑀 é uma matriz quadrada 𝑛 × 𝑛, a soma das entradas da diagonal de 𝑀 é chamada de traço de 𝑀, e denotada por 𝑡𝑟(𝑀) = 𝑚11+ 𝑚22+ . . . + 𝑚𝑛𝑛. Explique por que são
válidas as seguintes afirmações, para quaisquer matrizes 𝐴 e 𝐵 e todo 𝑐 ∈ R: (a) 𝑡𝑟(𝐴 + 𝐵) = 𝑡𝑟(𝐴) + 𝑡𝑟(𝐵) (b) 𝑡𝑟(𝑐 · 𝐴) = 𝑐 · 𝑡𝑟(𝐴) (c) 𝑡𝑟(𝐴𝑇) = 𝑡𝑟(𝐴) 36. Suponha que 𝑀 = ⎡ ⎣ −1 2 3 2 −4 5 −1 1 7 ⎤ ⎦e 𝑋 = ⎡ ⎣ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 ⎤
⎦∈ 𝑀3×3(R) são tais que 𝑀𝑋 = 𝐼3×3.
Determine 𝑋, por meio da comparação das entradas de 𝑀𝑋 e 𝐼, e depois calcule 𝑋𝑀. 37. Em um software de computação numérica (GNU Octave4, o Scilab5, MatLab, etc):
(a) Sortear ao acaso 10 matrizes de ordem 7 × 7 e verificar quantas delas são inversíveis. Dica: o comando rand(m,n) gera aleatoriamente uma matriz de ordem 𝑚 × 𝑛, e o comando det(A) calcula o determinante da matriz 𝐴.
(b) Repetir o experimento anterior com matrizes quadradas de algum outro tamanho. O que ocorre com a maioria das matrizes em cada uma das dimensões consideradas? (c) Escolher matrizes triangulares superiores 𝐴2, 𝐴3 e 𝐴4 de ordens 2 × 2, 3 × 3 e 4 × 4
respectivamente, todas com zeros na diagonal e então: i. Calcular as potências 𝐴2
2, 𝐴33 e 𝐴44.
ii. Com base nos resultados obtidos, formule uma conjectura a respeito da 𝑛-ésima potência das matrizes triangulares superiores 𝑛 × 𝑛, com zeros na diagonal. iii. Prove que o seu palpite é realmente válido para qualquer matriz nas condições
acima (pelo menos nos casos 2 × 2 e 3 × 3).
38. Encontre uma matriz triangular superior equivalente por linhas a cada matriz 𝑃 indicada a seguir, e utilize-as para calcular o determinante de 𝑃 .
(a) 𝑃 = ⎡ ⎣ 0 5 21 −3 −7 −13 1 2 3 ⎤ ⎦ (b) 𝑃 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 0 6 0 10 0 3 −1 5 0 9 −3 14 5 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ (c) 𝑃 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 2 0 2 4 2 0 0 3 0 3 0 0 1 2 −2 0 5 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 4https://www.gnu.org/software/octave/download.html 5http://www.scilab.org/download/latest
39. Supondo que a matriz 𝑀 =[︂𝑎 𝑏𝑐 𝑑 ]︂
satisfaz det 𝑀 = 9, calcule ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑎 + 𝑐 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 2𝑎 2(𝑎 + 𝑏) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒. 40. Dê exemplos de matrizes não nulas 𝐴 e 𝐵 de tamanho 𝑛 × 𝑛 (com 𝑛 ≥ 2) tais que:
(a) det(𝐴 + 𝐵) = det(𝐴) + det(𝐵) (b) det(𝐴 + 𝐵) ̸= det(𝐴) + det(𝐵)
(c) det(𝑐𝐴) = 𝑐 det(𝐴), para algum 𝑐 ̸= 0 (d) det(𝑐𝐴) ̸= 𝑐 det(𝐴), para algum 𝑐 ̸= 0
41. Verifique que as matrizes 𝑃 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 0 0 0 0 −2 0 0 0 1 1 0 2 −5 −1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ e 𝑄 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 0 −1 0 1 −1 2 0 −1 5 0 −1 2 0 7 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ satisfazem: (a) det(𝑃 𝑄) = det(𝑃 ) det(𝑄)
(b) det(𝑄𝑃 ) = det(𝑃 ) det(𝑄)
(c) det(𝑅𝑇) = det(𝑅), sendo 𝑅 = 𝑃 + 𝑄
(d) det(𝑃−1) = 1
det(𝑃 )
42. Calcule o determinante das seguintes matrizes:
(a) 𝑄 = ⎡ ⎣ 1 12 2 3 − 1 4 1 3 1 6 − 3 4 −1 12 1 6 0 ⎤ ⎦ (b) 𝑅 = ⎡ ⎢ ⎣ √ 3 2 √ 2 4 − √ 2 4 −1 2 √ 6 4 − √ 6 4 0 √ 2 2 √ 2 2 ⎤ ⎥ ⎦ (c) 𝑇 = 𝐷𝐷𝑇, sendo 𝐷 =[︂−1 1 1 0 2 2 0 −1 ]︂ (d) 𝑈 = 𝐷𝑇𝐷, sendo 𝐷 como no item anterior
(e) 𝐴 = 𝐿𝑈, sendo 𝐿 = ⎡ ⎣ 2 0 0 1/2 3 0 −5/4 9/2 1 ⎤ ⎦ e 𝑈 = ⎡ ⎣ −1 1/2 0 0 2 −3/2 0 0 1 ⎤ ⎦ (f) 𝑀 = 𝑃 𝑄𝑃−1, sendo 𝑃 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 5 0 0 1 0 3 0 0 −2 2 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ e 𝑄 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 −1 20 −7 3 1 21 −1 0 0 −3 1 −1 0 −7 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ 43. Calcule o determinante de 𝐴 onde
(a) 𝐴 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 3 −1 5 0 0 2 0 1 2 0 −1 3 1 1 2 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ , (b) 𝐴 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 3 0 0 0 0 19 18 0 0 0 −6 𝜋 −5 0 0 4 √2 √3 0 0 8 3 5 6 −1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
(c) 𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 9 1 9 9 9 9 0 9 9 2 4 0 0 5 0 9 0 3 9 0 6 0 0 7 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 44. Seja 𝐴 = ⎡ ⎣ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 ⎤
⎦. Supondo que 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = −7, obtenha: (a) det(3𝐴) (b) det(2𝐴−1) (c) det(2𝐴)−1 (d) det ⎡ ⎣ 4𝑎 − 3𝑔 4𝑏 − 3ℎ 4𝑐 − 3𝑖 2𝑑 2𝑒 2𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 ⎤ ⎦,
45. Sabendo que as matrizes 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são matrizes quadradas e que det 𝐴 = 3, det 𝐵 = −1 2 e det 𝐶 =√2, determine det 𝑋 sabendo que 𝐴𝑇(𝐵−1𝑋) = 𝐶−1𝐴.
46. Sejam 𝐴 e 𝐶 matrizes 𝑛 × 𝑛 tais que det(𝐼 + 𝐶−1𝐴) = 1
3 e det 𝐴 = 5. Sabendo-se que 𝐵 = 3(𝐴−1+ 𝐶−1)𝑇, determine det 𝐵.
47. Sejam 𝐴 e 𝐵 matrizes 𝑛 × 𝑛 e 𝑀 uma matriz inversível tais que 𝐴 = 𝑀−1𝐵𝑀. Mostre
Respostas
1. SPI 2. 𝑥 = −1, 𝑦 = 2 e 𝑧 = 5 3. 𝑘 = −6 4. (a) 𝑎 = 5 e 𝑏 = 4 (b) 𝑎 ̸= 5 e 𝑏 ̸= 4 (c) 𝑎 = 5 e 𝑏 ̸= 45. Se 𝑝𝐴= 𝑃𝐴𝐵 = 4 o sistema tem única solução. Se 𝑝𝐴= 𝑝𝐴𝐵 < 4 o sistema tem infinitas
6. No caso de uma matriz 𝐴3×5 a nulidade é pode ser 4,3 ou 2.
7. (a) solução trivial (b) 𝑘 = 2
8. Se det 𝐴 = 0 o sistema tem infinitas soluções (pense quando o det 𝐴 = 0 para justificar). 9. (a) Como a matriz 𝐴 é inversível, o sistema homogêneo só admite a solução trivial.
(b) (verfique o posto da matriz 𝐷)
10. (a) Digite 2x-3y=-4 para que o GeoGebra mostre a reta formada pelos pontos que satisfazem a primeira equação, e 5x+y=7 para representar a segunda reta.
(b) (dica: use um seletor para alterar os termos independentes da reta e veri-fique experimentalmente o que está acontecendo, graficamente- explique! (c) As retas, que inicialmente se intersectam em (1, 2), têm sempre um ponto em comum, independentemente dos valores atribuídos ao segundo membro das equações. Isso reflete o fato de que as duas equações correspondem a retas que não são paralelas entre si, e sua direção permanece inalterada mesmo quando o segundo membro é modificado.
11. (a) Digite x-y+z=1 para que o GeoGebra mostre o plano formado pelos pontos (𝑥, 𝑦, 𝑧) que satisfazem a primeira equação, e então 2x+y+z=4 e x+y+5z=7 para representar os planos correspondentes às demais equações.
(b) A trocar os valores do segundo membro de cada equação, o plano correspondente desloca-se no espaço mantendo-se paralelo à sua posição original.
(c) Como os planos se intersectam inicialmente no ponto (1, 1, 1), e sempre permanecem paralelos às suas posições iniciais, continua existindo um único ponto de interseção, quaisquer que sejam os valores do segundo membro do sistema.
12. (a) i. Se 𝑐 = −4 a segunda operação deixa de ser possível, e o sistema não tem solução. Por outro lado, se 𝑐 ̸= −4, todos os passos podem ser realizados e conclui-se que o sistema é possível e determinado, tendo como única solução o ponto (︀ 6𝑐
𝑐+4, 12 𝑐+4
)︀ . ii. Desta vez, se 𝑐 = −1/2 a segunda linha zera após a primeira operação elementar, e o sistema tem mais de uma solução. De fato, o escalonamento mostra que o sistema original é equivalente a um sistema formado pela primeira equação e por uma equação do tipo 0 = 0, que não impõe qualquer restrição sobre os valores
de 𝑥 e 𝑦. Assim, todo par da forma (6 − 2𝑦, 𝑦), com 𝑦 ∈ R, é solução deste sistema possível e indeterminado.
Por outro lado, nos casos em que 𝑐 ̸= −1/2, os três passos da eliminação de Gauss-Jordan podem ser realizados, e a conclusão é de que o sistema possui como única solução o ponto (4, 1), sendo então possível e determinado.
(b) i. Geometricamente, nota-se que conforme o valor de 𝑐 vai se aproximando de 𝑐 = −4 a reta que corresponde à segunda equação gira em torno da origem até ficar paralela à reta da primeira equação. Quando isso ocorre, não há um ponto de interseção. Nos demais casos, as retas se intersectam em um único ponto. ii. Geometricamente, ao variar o valor de 𝑐, uma das retas gira em torno do ponto
(4, 1), em que elas se intersectam, e em um caso específico (quando 𝑐 = −1/2) as duas retas coincidem, fazendo com que todos os seus pontos sejam pontos de interseção.
13. O sistema (𝐴 − 𝑡𝐼)𝑋 = 0 possui mais de uma solução se, e somente se, a matriz (𝐴 − 𝑡𝐼) não for inversível, isto é, se det(𝐴 − 𝑡𝐼) = 0. Em cada um dos casos, esta condição resultará em uma equação polinomial na variável 𝑡, cujas soluções são dadas a seguir:
(a) 𝑡 = 3 ou 𝑡 = −1
(b) 𝑡 = −5 ou 𝑡 = 0 ou 𝑡 = 4 (c) 𝑡 = −3 ou 𝑡 = 0 ou 𝑡 = 1
14. (a) A matriz aumentada associada ao sistema dado é 𝐴 =[︂ 5−1 𝜋 + 3 𝜋(𝜋 + 6)−5𝜋 −5𝜋2 ]︂
e sua forma escalonada reduzida é obtida por meio das operações elementares sobre as linhas.
A matriz escalonada está associada às equações {︃
𝑠 = 𝜋2 𝑡 = 2𝜋 ,
e, portanto, 𝑆 = {(𝜋2, 2𝜋)} é o conjunto das soluções do sistema proposto.
(b) A redução à forma escalonada reduzida da matriz associada ao sistema é obtida através dasoperações elementares.
A matriz escalonada está associada às equações ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝑥1 = 3 𝑥2 = 1 𝑥3 = 4 𝑥4 = 1/5 ,
de modo que 𝑆 = {(3, 1, 4, 1/5)} é o conjunto das soluções do sistema proposto. (c) A redução à forma escalonada reduzida da matriz associada ao sistema é obtida
através das operações elementares. A matriz escalonada está associada às equações ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝑥1− 4𝑥2− 𝑥5 = 1 𝑥3− 2𝑥5 = 4 𝑥4− 3𝑥5 = 1 0 = 0.
Logo, o conjunto das soluções do sistema proposto é
𝑆 = {(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5) ∈ R5 | 𝑥1 = 1 + 4𝑥2+ 𝑥5, 𝑥2 = 4 + 2𝑥5, 𝑥4 = 1 + 3𝑥5}
= {(1 + 4𝑥2+ 𝑥5, 4 + 2𝑥5, 𝑥3, 1 + 3𝑥5, 𝑥5) | 𝑥3, 𝑥5 ∈ R}.
(d) A matriz aumentada associada ao sistema dado é [𝐴|𝐵] = ⎡ ⎣ 0 1 6 6 1 6 −5 −3 3 20 −3 1 ⎤ ⎦ e sua forma escalonada reduzida é obtida por meio das operações elementares sobre as linhas. Como a última linha corresponde a uma equação da forma 0 = 1, o sistema é impossível, ou seja, 𝑆 = ∅.
15. (a) Primeiro é preciso determinar a inversa de 𝐴, e para isso serão usadas as mesmas operações elementares que produziram a forma escalonada reduzida de 𝐴.
Assim, 𝐴−1 =[︂1/5 + 𝜋/15 𝜋/3 1/15 1/3 ]︂ = 151 [︂3 + 𝜋 5𝜋 1 5 ]︂ .
Sempre que 𝐴𝑋 = 𝐵 e 𝐴 é inversível, vale 𝑋 = 𝐴−1𝐵. Assim, para 𝐵 =
[︂ −5𝜋2 𝜋(𝜋 + 6) ]︂ , tem-se 𝑋 = 1 15 [︂3 + 𝜋 5𝜋 1 5 ]︂ · [︂ −5𝜋2 𝜋(𝜋 + 6) ]︂ = 1 15 [︂−5𝜋2(3 + 𝜋) + 5𝜋2(𝜋 + 6) −5𝜋2+ 5𝜋(𝜋 + 6) ]︂ =[︂ 𝜋 2 2𝜋 ]︂ . (b) Primeiro, determina-se 𝐴−1 usando as mesmas operações elementares que
produzi-ram a forma escalonada reduzida de 𝐴.
Assim, 𝐴−1 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1/4 −8/25 0 −3/5 0 8/25 0 3/5 −1/2 0 1 0 0 1/25 0 1/5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = 1 100 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 25 −32 0 −60 0 32 0 60 −50 0 100 0 0 4 0 20 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦e a solução 𝑋 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 ⎤ ⎥ ⎥
⎦ do sistema é obtida através da seguinte multiplicação:
𝑋 = 𝐴−1𝐵 = 1 100 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 25 −32 0 −60 0 32 0 60 −50 0 100 0 0 4 0 20 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ · ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 16 2 12 3/5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = 1 100 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 300 100 400 20 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 3 1 4 1/5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ (c) A matriz (não aumentada) associada ao sistema não é quadrada.
(d) A matriz associada ao sistema não é inversível, pois sua forma escalonada reduzida não é a matriz identidade.
16. Os três sistemas podem ser escritos na forma 𝐴𝑋 = 𝐵 com uma mesma matriz 𝐴 = ⎡ ⎣ 0 −1 5 1 2 3 2 4 5 ⎤
⎦, então será preciso calcular apenas uma matriz inversa.
𝐴−1 = ⎡ ⎣ 2 −25 13 −1 10 −5 0 2 −1 ⎤ ⎦.
(a) Se 𝑋 = ⎡ ⎣ 𝑥 𝑦 𝑧 ⎤ ⎦e 𝐵 = ⎡ ⎣ 2 7 13 ⎤ ⎦ então: 𝑋 = 𝐴−1𝐵 = ⎡ ⎣ 2 −25 13 −1 10 −5 0 2 −1 ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ 2 7 13 ⎤ ⎦= ⎡ ⎣ −2 3 1 ⎤ ⎦. (b) Se 𝑋 = ⎡ ⎣ 𝑢 𝑣 𝑤 ⎤ ⎦e 𝐵 = ⎡ ⎣ 0 0 0 ⎤ ⎦então 𝑋 = ⎡ ⎣ 0 0 0 ⎤ ⎦ pois 𝐴 é inversível. (c) Se 𝑋 = ⎡ ⎣ 𝑝 𝑞 𝑟 ⎤ ⎦ e 𝐵 = ⎡ ⎣ −2 3 1 ⎤ ⎦ então: 𝑋 = 𝐴−1𝐵 = ⎡ ⎣ 2 −25 13 −1 10 −5 0 2 −1 ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ −2 3 1 ⎤ ⎦= ⎡ ⎣ −66 27 5 ⎤ ⎦. 17. Há duas possibilidades, dependendo das entradas da primeira coluna:
(a) Se 𝑎 ̸= 0 então a redução à forma escalonada reduzida com as operações elementares, pode-se conlcuir que sistema 𝑀𝑋 = 0 só tem a solução trivial 𝑋 = 0.
(b) Se 𝑎 = 0 então uma troca da primeira linha com a segunda faz com que o problema recaia no caso anterior, em que a primeira entrada da primeira linha não é zero. Note que neste caso 𝑐 não será zero, pois senão ocorreria 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 0 · 𝑑 − 𝑏 · 0 = 0. Observação: Note que 𝑎𝑑−𝑏𝑐 é justamente a fórmula do determinante da matriz[︂𝑎 𝑏𝑐 𝑑
]︂ .
18. 𝐵 =[︂1.75 1 2 1.75 1.5 1 ]︂
; O caminho mais econômico é por trem, 1081, 3.
19. Existem várias situações cotidianas. Investigue situações relacionadas a sua área de atu-ação. 20. (a) ⎡ ⎣ 16 12 1 11 −4 2 14 −6 9 10 8 0 ⎤ ⎦ (b) ⎡ ⎣ 8 11 3 27 −6 2 34 −6 10 ⎤ ⎦
(c) Não é possível determinar, pois só podemos somar matrizes de mesma ordem. Ob-serve que o produto de 𝐵 × 𝐶 resulta numa matriz 𝐷3×3 e a matriz 𝐴 é de ordem
3 × 4.
21. Em todos os itens há uma infinidade de matrizes que exemplificam as afirmações feitas. (dica: use as propriedades das matrizes)
22. (lembre-se das definições dos tipos de matrizes) (a) Verdadeira (b) Verdadeira (c) Verdadeira. (d) Verdadeira (e) Verdadeira (f) Verdadeira (g) Falsa.
23. A matriz (𝐵 + 𝐶𝑇)((𝐴𝐵)𝑇 + 𝐶𝐴𝑇) tem tamanho 𝑞 × 𝑝.
24. (a) Para quaisquer 𝑚 e 𝑛, se 𝑋 é 𝑚×𝑛 então sua transposta 𝑋𝑇 é 𝑛×𝑚. Em particular,
o número de colunas de 𝑋 é sempre igual ao número de linhas de 𝑋𝑇, e estas matrizes
podem ser multiplicadas (nesta ordem), gerando um produto que é 𝑚 × 𝑚. Além disso, 𝑋𝑋𝑇 é simétrica pois
(𝑋𝑋𝑇)𝑇 = (𝑋𝑇)𝑇𝑋𝑇 = 𝑋𝑋𝑇.
(b) De forma análoga ao item anterior, o número de colunas de 𝑋𝑇 é sempre igual ao
número de linhas de 𝑋, e estas matrizes podem ser multiplicadas (nesta ordem), desta vez gerando um produto que é 𝑛 × 𝑛. Além disso, 𝑋𝑇𝑋 também é simétrica:
(𝑋𝑇𝑋)𝑇 = 𝑋𝑇(𝑋𝑇)𝑇 = 𝑋𝑇𝑋.
(c) Para que seja possível calcular 𝑋 + 𝑋𝑇, é necessário que 𝑋 e 𝑋𝑇 tenham o mesmo
tamanho. Como uma delas é 𝑚 × 𝑛 e a outra é 𝑛 × 𝑚, a adição só será possível se 𝑚 = 𝑛. Neste caso, a soma será uma matriz simétrica, pois
(𝑋 + 𝑋𝑇)𝑇 = 𝑋𝑇 + (𝑋𝑇)𝑇 = 𝑋𝑇 + 𝑋 = 𝑋 + 𝑋𝑇.
(d) Como no item anterior, para que 𝑋𝑇+ 𝑋 faça sentido é preciso que 𝑋 e 𝑋𝑇 tenham
o mesmo tamanho, isto é, que 𝑚 = 𝑛. Neste caso, a soma também será uma matriz simétrica, já que
(𝑋𝑇 + 𝑋)𝑇 = (𝑋𝑇)𝑇 + 𝑋𝑇 = 𝑋 + 𝑋𝑇 = 𝑋𝑇 + 𝑋.
(e) Novamente, é preciso que 𝑚 = 𝑛 para que a operação 𝑋 − 𝑋𝑇 seja possível. No
entanto, neste caso
(𝑋 − 𝑋𝑇)𝑇 = 𝑋𝑇 − (𝑋𝑇)𝑇 = 𝑋𝑇 − 𝑋 = −(𝑋 − 𝑋𝑇).
No entanto, 𝐷 = 𝑋 − 𝑋𝑇 só será igual a −(𝑋 − 𝑋𝑇)se 𝑑
𝑖𝑗 = −𝑑𝑖𝑗, para cada 𝑖, 𝑗, e
isso só é possível se todos os 𝑑𝑖𝑗 forem nulos. Em outras palavras, 𝑋 − 𝑋𝑇 só é uma
matriz simétrica se 𝑋 − 𝑋𝑇 = 0. 25. (a) Verdadeira. (b) Falsa (c) Falsa (d) Falsa (e) Falsa 26. (a) 𝐴−1 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ −1 −1 4 −2 −3 −4 12 −6 11 14 −43 22 10 14 −41 21 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ (b) 𝐵−1 ⎡ ⎣ 1 −2𝑥 𝑥1 −1 −1𝑥 (𝑥 − 2) 𝑥1(𝑥 − 1) 0 𝑥22 −1 𝑥2 ⎤ ⎦ (c) 𝐷−1 = ⎡ ⎣ −23 −2 −13 −9 −1 −5 −2 0 −1 ⎤ ⎦
(d) 𝑇−1 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 −1 2 −1 −1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 −1 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ (e) 𝑈−1 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1/3 −1/3 1/3 0 −1/3 1/3 0 1/3 2/3 0 0 −1/3 −1/3 0 0 1/3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ 27. 𝑘 = −2 ou 𝑘 = 0 28. (a) 𝐴 = [︂ 5 13 −11 13 −3 13 2 13 ]︂ (b) 𝐴 = [︂−2 5 1 −1 5 3 5 ]︂ (c) 𝐴 = [︂ 2 31 1 13 1 91 −3 91 ]︂ (d) 𝐴 = [︂−9 13 1 13 2 13 −6 13 ]︂
29. (dica: há vários exemplos, pode pensar em matrizes de ordem 2, para exem-plificar)
30. Temos que para 𝑡 = 9 ou 𝑡 = 0 a matriz não será inversível. Portanto, 𝑇 é inversível se, e somente se, 𝑡 ̸∈ {0, 9}. Aplicando a mesma sequência de operações elementares à matriz
identidade, o resultado é a inversa de 𝑇 : ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −𝑡2− 𝑡 + 27 (𝑡 − 9)𝑡 9 𝑡 − 9 𝑡 − 27 (𝑡 − 9)𝑡 2 − 𝑡 (𝑡 − 9)𝑡 1 𝑡 − 9 −2 (𝑡 − 9)𝑡 −1 𝑡 0 1 𝑡 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = 𝑇−1.
31. As operações elementares a seguir mostram que 𝑁 é equivalente por linhas à identidade, desde que seja possível dividir por 1 − 𝑡 e depois por 𝑡(𝑡 + 2). Isto significa que para 𝑡 ∈ {−2, 0, 1} a matriz 𝑁 não é inversível, pois apareceria uma linha nula em um dos passos da eliminação de Gauss-Jordan.
32. 𝐷 pode ser uma destas 4 matrizes: [︂1 0 0 1 ]︂ ,[︂1 0 0 −1 ]︂ ,[︂−1 0 0 1 ]︂ e [︂−1 0 0 −1 ]︂
No caso de matrizes 3 × 3, cada uma das três entradas da diagonal pode ser igual a 1 ou a −1, e consequentemente 𝐼 = 𝐼3 tem 8 raízes quadradas distintas.
33. Os escalares 𝑥1, 𝑥2 e 𝑥3 são soluções de 𝑥2𝑖 − 7𝑥𝑖+ 10 = 0, ou seja, de (𝑥𝑖− 2)(𝑥𝑖− 5) = 0.
Portanto, cada 𝑥𝑖 pode assumir os valores 2 ou 5, e há as seguintes possibilidades para 𝐷:
⎡ ⎣ 2 0 0 0 2 0 0 0 2 ⎤ ⎦, ⎡ ⎣ 2 0 0 0 2 0 0 0 5 ⎤ ⎦, ⎡ ⎣ 2 0 0 0 5 0 0 0 2 ⎤ ⎦, ⎡ ⎣ 2 0 0 0 5 0 0 0 5 ⎤ ⎦, ⎡ ⎣ 5 0 0 0 2 0 0 0 2 ⎤ ⎦, ⎡ ⎣ 5 0 0 0 2 0 0 0 5 ⎤ ⎦, ⎡ ⎣ 5 0 0 0 5 0 0 0 2 ⎤ ⎦ e ⎡ ⎣ 5 0 0 0 5 0 0 0 5 ⎤ ⎦.
35. (a) Usando a definição de traço e as propriedades da adição, resulta que: 𝑡𝑟(𝐴 + 𝐵) = [𝐴 + 𝐵]11+ [𝐴 + 𝐵]22+ . . . + [𝐴 + 𝐵]𝑛𝑛
= ([𝐴]11+ [𝐴]11) + ([𝐴]22+ [𝐵]22) + . . . + ([𝐴]𝑛𝑛+ [𝐵]𝑛𝑛)
= ([𝐴]11+ · · · + [𝐴]𝑛𝑛) + ([𝐵]11+ . . . + [𝐵]𝑛𝑛)
= 𝑡𝑟(𝐴) + 𝑡𝑟(𝐵).
(b) Segue da definição de traço e das propriedades da multiplicação por escalar que: 𝑡𝑟(𝑐𝐵) = [𝑐𝐴]11+ [𝑐𝐴]22+ . . . + [𝑐𝐴]𝑛𝑛
= 𝑐[𝐴]11+ 𝑐[𝐴]22+ . . . + 𝑐[𝐴]𝑛𝑛
= 𝑐([𝐴]11+ · · · + [𝐴]𝑛𝑛)
= 𝑐 · 𝑡𝑟(𝐴).
(c) Como a diagonal principal não é alterada pela transposição de matrizes, e o traço só depende destas entradas, tem-se:
𝑡𝑟(𝐴𝑇) = [𝐴𝑇]11+ [𝐴𝑇]22+ . . . + [𝐴𝑇]𝑛𝑛 = [𝐴]11+ [𝐴]22+ . . . + [𝐴]𝑛𝑛 = 𝑡𝑟(𝐴). 36. 𝑋 = ⎡ ⎣ 3 1 −2 19/11 4/11 −1 2/11 1/11 0 ⎤
⎦. Multiplicando esta matriz à esquerda de 𝑀, obtém-se:
𝑋𝑀 = ⎡ ⎣ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎤ ⎦.
Isto quer dizer que a matrix 𝑋 que atua como inversa à direita de 𝐴 também é uma inversa à esquerda de 𝐴, pois ambos os produtos (𝐴𝑋 e 𝑋𝐴) resultam na matriz identidade. 37. (a) Ao sortear 10 matrizes 7 × 7 aleatoriamente, é bem provavel que todas as
matri-zes obtidas sejam inversíveis (execute o comando mais de 10 vematri-zes se não estiver convencido).
(b) Repetindo o experimento com matrizes quadradas de qualquer outro tamanho, há grandes chances de não encontrar uma única matriz que não seja inversível. De fato, ao sortear aleatoriamente uma matriz quadrada, há probabilidade zero (não é só pequena, é zero!) de ser escolhida uma matriz não inversível. Elas são raras, mas pode se deparar com elas se estiver com sorte (ou se o sorteio não for realmente aleatório). (c) Sejam 𝐴2 = [︂0 5 0 0 ]︂ , 𝐴3 = ⎡ ⎣ 0 −2 1 0 0 5 0 0 0 ⎤ ⎦ e 𝐴4 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 0 −1 2 3 0 0 1 5 0 0 0 7 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ . Então:
i. 𝐴22 =[︂0 5 0 0 ]︂ ·[︂0 5 0 0 ]︂ =[︂0 0 0 0 ]︂ , 𝐴33 = ⎛ ⎝ ⎡ ⎣ 0 −2 1 0 0 5 0 0 0 ⎤ ⎦· ⎡ ⎣ 0 −2 1 0 0 5 0 0 0 ⎤ ⎦ ⎞ ⎠· ⎡ ⎣ 0 −2 1 0 0 5 0 0 0 ⎤ ⎦ = ⎡ ⎣ 0 0 −10 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎦· ⎡ ⎣ 0 −2 1 0 0 5 0 0 0 ⎤ ⎦= ⎡ ⎣ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎦, 𝐴44 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 0 −1 2 3 0 0 1 5 0 0 0 7 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ 2 · ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 0 −1 2 3 0 0 1 5 0 0 0 7 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ 2 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 −1 9 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ 2 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ .
ii. Com base nos exemplos anteriores, é natural suspeitar que a 𝑛-ésima potência de uma matriz triangular superior 𝑛 × 𝑛 qualquer, com zeros na diagonal, é sempre a matriz nula 𝑛 × 𝑛.
iii. As matrizes triangulares superiores de tamanho 2 × 2, com zeros na diagonal, têm a forma 𝐴2 =
[︂0 𝑐 0 0 ]︂
, em que 𝑐 pode ser qualquer escalar. Então:
𝐴22 =[︂0 𝑐 0 0 ]︂ [︂0 𝑐 0 0 ]︂ =[︂0 0 0 0 ]︂ Já no caso 3 × 3, tem-se 𝐴3 = ⎡ ⎣ 0 𝑎 𝑏 0 0 𝑐 0 0 0 ⎤ ⎦ e então: 𝐴33 = ⎡ ⎣ 0 𝑎 𝑏 0 0 𝑐 0 0 0 ⎤ ⎦ 2 · ⎡ ⎣ 0 𝑎 𝑏 0 0 𝑐 0 0 0 ⎤ ⎦= ⎡ ⎣ 0 0 𝑎𝑐 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎦· ⎡ ⎣ 0 𝑎 𝑏 0 0 𝑐 0 0 0 ⎤ ⎦= ⎡ ⎣ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎦. Mais geralmente, se 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) for uma matriz triangular superior de tamanho
𝑛 × 𝑛 com diagonal nula, então as primeiras 𝑖 entradas da linha 𝑖 são todas nulas. Ao elevar 𝐴 ao quadrado, a matriz obtida terá as primeiras 𝑖+1 entradas da linha 𝑖 iguais a zero. Analogamente, ao calcular 𝐴3, a matriz resultante terá
𝑖 + 2entradas da linha 𝑖 igual a zero. Como a matriz tem 𝑛 colunas, procedendo desta maneira até obter 𝐴𝑛o resultado final será uma matriz com zeros em todas
as 𝑛 colunas de cada linha.
𝐴 ⏞ ⏟ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 𝑎12 𝑎13 . . . 𝑎1𝑛 0 0 𝑎23 . . . 𝑎2𝑛 ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 𝑎𝑛−1,𝑛 0 0 0 . . . 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ → 𝐴2 ⏞ ⏟ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 𝑎13 . . . 𝑎1𝑛 0 0 0 . . . 𝑎2𝑛 ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0 0 0 0 . . . 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . . . → 𝐴𝑛 ⏞ ⏟ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0 0 0 0 . . . 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ O padrão acima também pode ser percebido ao calcular explicitamente as en-tradas dos produtos. Como a matriz 𝐴 é triangular superior e tem zeros na
diagonal, tem-se 𝑎𝑖𝑗 = 0 sempre que 𝑖 ≥ 𝑗. Consequentemente, se 𝑖 ≥ 𝑗 − 1 a
entrada 𝑖𝑗 de 𝐴2 é dada por
[𝐴2]𝑖𝑗 = [𝐴 · 𝐴]𝑖𝑗 = (𝑎𝑖1𝑎1𝑗 + . . . + 𝑎𝑖𝑖𝑎𝑖𝑗) + (𝑎𝑖,𝑖+1𝑎𝑖+1,𝑗 + . . . + 𝑎𝑖𝑛𝑎𝑛𝑗) = (0𝑎1𝑗 + . . . + 0𝑎𝑖𝑗) + (𝑎𝑖,𝑖+10 + . . . + 𝑎𝑖𝑛0) = 0. Do mesmo modo, [𝐴3] 𝑖𝑗 = 0 para 𝑖 ≥ 𝑗 − 2: [𝐴3]𝑖𝑗 = [𝐴2· 𝐴]𝑖𝑗 = ([𝐴2]𝑖1𝑎1𝑗 + . . . + [𝐴2]𝑖,𝑖+1𝑎𝑖+1,𝑗) + ([𝐴2]𝑖,𝑖+2𝑎𝑖+2,𝑗 + . . . + [𝐴2]𝑖𝑛𝑎𝑛𝑗) = (0𝑎1𝑗 + . . . + 0𝑎𝑖+1,𝑗) + ([𝐴2]𝑖+2,𝑗+10 + . . . + [𝐴2]𝑖𝑛0) = 0.
Procedendo da mesma maneira até a 𝑛-ésima potência de 𝐴, consegue-se todas as entradas iguais a zero.
38. (a) det 𝑃 = 1 (b) det 𝑃 = −30
(c) det 𝑃 = −324 39. −18
40. (há várias soluções. Relembre as propriedades de det 𝐴) 41. (a) det(𝑃 𝑄) = −32 = (−8) · 4 = det(𝑃 ) · det(𝑄)
(b) det(𝑄𝑃 ) = −32 = (−8) · 4 = det(𝑃 ) · det(𝑄)
(c) 𝑅 = 𝑃 + 𝑄 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 3 0 0 −1 0 −1 −1 2 0 0 6 0 1 −3 −1 9 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ e det(𝑅)𝑇 = −60 = det(𝑅). (d) det(𝑃−1 ) = −1/8 = 1 −8 = 1 det(𝑃 ) = det(𝑃 ) −1 42. (a) det(𝑄) = 5 144 (b) det(𝑅) = 1 (c) 𝑇 = 𝐷𝐷𝑇 =[︂3 0 0 9 ]︂ e det(𝑇 ) = 27 (d) 𝑈 = 𝐷𝑇𝐷 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 5 3 −1 −2 3 5 1 −2 −1 1 1 0 −2 −2 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ e det(𝑇 ) = 0 (e) 𝐴 = 𝐿𝑈 = ⎡ ⎣ −2 1 0 −1 2 25 4 − 9 2 5 4 67 8 − 23 4 ⎤
⎦e det(𝑇 ) = det(𝐿) det(𝑈) = (2 · 3 · 1) · (−1 · 2 · 1) = −12
(f) 𝑀 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 −1 0 1 0 1 0 −1 −2 0 −1 2 −1 0 1 −1 ⎤ ⎥ ⎥
⎦ e det(𝑀) = det(𝑃 ) det(𝑄) det(𝑃
−1) = det(𝑃 ) det(𝑄) det(𝑃 ) =
43. (a) 12 (b) 0 (c) −12 44. (a) −189 (b) −8/7 (c) −1/56 (d) −56 45. −√2 4 46. det 𝐵 = 3𝑛−1 5
