Aula 8: Composição e inversas

(1)

Aula 8: Composic

¸˜

ao e inversas

1. Fun¸

c˜

oes inversas. Ra´ızes.

Uma fun¸cão f : D → R diz-se injectiva se nunca tomar o mesmo valor duas vezes: Defini¸cão 1: Dizemos que uma fun¸cão f : D → R é injectiva num conjunto A ⊂ D se

x 6= y ⇒ f(x) 6= f(y) para quaisquer x, y ∈ A Se f for injectiva em D dizemos simplesmente que f ´e injectiva.

Naturalmente, qualquer fun¸cão monótona é injectiva. Geometricamente, uma fun¸cão é injectiva se qualquer linha horizontal não intersectar o gráfico de f mais que uma vez.

Exemplo 1. A fun¸cão f (x) = x2_{não é injectiva pois f (x) = f (−x). A fun¸cão}√_x

é injectiva pois é crescente. A fun¸cão g(x) = mx + b é injectiva para m 6= 0. Exemplo 2. A fun¸cão f (x) = 1

x é injectiva mas não é monótona.

Defini¸cão 2: Dada uma fun¸cão injectiva f : D → R com contradom´ınio f(D), chamamos inversa à fun¸cão f−1_{: f (D) → R que associa a cada y ∈ f(D) o único}

x ∈ D tal que f(x) = y.

Observação: É importante não confundir a fun¸cão inversa de f , f−1_{(y), com o}

inverso da fun¸cão f , 1/f (x). São fun¸cões completamente diferentes!

Exemplo 3. As tabelas seguintes representam uma fun¸c˜ao f : {0, 1, 2} → R injec-tiva com contradom´ınio f (D) = {2, 3, −5} e a sua inversa f−1_{: {2, 3, −5} → R:}

x f (x) 0 2 1 3 2 -5 y f−1_(y) 2 0 3 1 -5 2 x 1/f (x) 0 1/2 1 1/3 2 -1/5

As fun¸cões estão também representadas esquematicamente na figura 1.

2 3 −5 f−1 2 3 −5 2 1 0 2 1 0 f

(2)

Exemplo 4. _{A fun¸cão f (x) = mx + b é injectiva para m 6= 0. f}−1_{(y) é o ´}_unico

valor x tal que f (x) = y. Resolvendo

f (x) = mx + b = y

em ordem a x, obtemos x = y/m − b/m. Assim, f−1_{(y) = y/m − b/m.}

Exemplo 5. A fun¸cão f (x) = x2_{não é injectiva. No entanto f é injectiva no}

inter-valo [ 0, +∞[ pois é crescente nesse interinter-valo. Para encontrar a inversa resolvemos a equa¸cão y = x2_{obtendo x = ±}√_{y. No intervalo [ 0, +∞[ x é positivo logo x =}√_y.

Assim, g(y) = √y ´e a inversa da restri¸c˜ao de f (x) = x2 _{ao intervalo [ 0, +∞[ .}

f é também injectiva no intervalo ] − ∞, 0 ] pois é decrescente. Para encontrar a inversa resolvemos a equa¸cão y = x2_{. Neste intervalo x ≤ 0 logo a inversa de f vai}

ser a fun¸c˜ao h(y) = −√y.

Generalizando o exemplo 5 obtemos a no¸cão de raiz ´ındice n. Para n ´ımpar, a fun¸cão f (x) = xn _{é injectiva. Para n par, f (x) = x}n _n˜_{ao ´}_{e injectiva, mas a sua}

restri¸c˜ao ao intervalo [ 0, +∞[ ´e injectiva.

Defini¸cão 3 (Ra´ız ´ındice n): Para n ´ımpar chamamos raiz ´ındice n à fun¸cão f−1_{(y) =} √ny inversa de f (x) = xn:

y = xn_{⇔ x =} √n_y _{(n ´ımpar)}

Para n par chamamos raiz ´ındice n à fun¸cão g(y) = √n_{y inversa da restri¸cão de f}

ao intervalo [ 0, +∞[ .

Para n ´ımpar, y = √n_{x ´e equivalente a x = y}n_{. Em particular temos} n

√

xn = x e √n

xn_{= x}

Mas para n par ´e importante ter presente que √ny n˜_{ao ´}_{e a inversa} de xn:

x = 2k√ x ⇔ y = xn e x ≥ 0 y = x2k ⇔ x = 2k√_x _ou x = −2k√_x e temos 2k√_x2k _{= x mas} 2k√_x2k_{= |x|}

Para n par, xn_{≥ 0 logo a equa¸c˜ao y = x}n _s´_{o tem solu¸c˜ao para y ≥ 0. Assim, para}

n par, √ny s´o est´a definida quando y ≥ 0.

Os gr´aficos duma fun¸c˜ao f e da sua inversa f−1 _est˜_{ao relacionados: O gr´}_afico

de f−1 _{´e o conjunto dos pontos do plano da forma y, f}−1_(y)_{. Pondo y = f (x)}

obtemos

y, f−1_(y)_{= f (x), x}

Assim, os pontos do gr´afico de f−1 _{obt´em-se dos pontos do gr´}_{afico de f}

simples-mente trocando as suas coordenadas. Trocar as coordenadas dum ponto corres-ponde geometricamente `a reflex˜ao na recta y = x pelo que

(3)

Aula 8: Composi¸c˜ao e inversas 3

1 2

Figura 2. Gr´afico de f (x) = x2

para x ≥ 0 e da sua inversa f−1_{(x) =}√_x.

Exemplo 6. A fun¸c˜ao f (x) = 1

x tem a propriedade de ser igual `a sua inversa. J´a

t´ınhamos observado anteriormente que o seu gráfico é simétrico em rela¸cão à recta

y = x.

As propriedades de f−1 _est˜_{ao estritamente relacionadas com as propriedades de f :}

Teorema 4: Seja f uma fun¸c˜ao injectiva, f−1 _{a sua inversa. Ent˜}_ao

(1) Df−1 = D′_f e D′_f−1= Df;

(2) f−1 _{´e ´ımpar se e s´}_{o se f for ´ımpar;}

(3) f−1 _{´e crescente/decrescente se e s´}_{o se f for crescente/decrescente.}

Demonstrac¸˜ao. Deixamos (3) como exerc´ıcio.

(1) Por defini¸c˜ao, o dom´ınio de f−1 _{´e igual ao contradom´ınio de f . Por sua vez,}

x está no contradom´ınio de f−1 _{quando a equa¸cão x = f}−1_{(y) tem solu¸cão.}

Esta equa¸cão tem solu¸cão y = f (x) precisamente quando x está no dom´ınio de f .

(2) Seja x ∈ Df, y = f (x). Ent˜ao x = f−1(y). Portanto

f (−x) = −f(x) ⇔ −x = f−1 _{− f(x)}

⇔ −f−1_{(y) = f}−1_(−y)

portanto f−1 _{´e ´ımpar se e s´}_{o se f for ´ımpar.}

Exemplo 7. √3_{x ´e a inversa de x}3_{, cujo dom´ınio ´e R, logo o contradom´ınio de}√3_x

é também R. x3_{é ´ımpar e crescente logo} √3_{x é também ´ımpar e crescente.}

Exemplo 8. √a foi definida como a solu¸c˜ao positiva da equa¸c˜ao x2_{= a. Assim, a}

está no dom´ınio da raiz quadrada se existir uma solu¸cão positiva da equa¸cão x2_{= a,}

(4)

2. Composi¸

c˜

ao.

Dadas duas fun¸c˜oes f : Df → R e g : Dg→ R podemos produzir uma nova fun¸c˜ao

como se segue:

• Dado x ∈ Dg podemos calcular g(x).

• Se por sua vez g(x) estiver no dom´ınio de f podemos calcular f(g(x)). Chamamos a esta nova fun¸cão a fun¸cão composta e representamo-la por f ◦ g: Defini¸cão 5 (Fun¸cão composta): Dadas duas fun¸cões f : Df → R e g : Dg →

R, a fun¸cão composta (f ◦ g) é a fun¸cão definida por (f ◦ g)(x) = f(g(x))

com dom´ınio o conjunto Df ◦g= {x ∈ R : x ∈ Dg e g(x) ∈ Df}.

´

E comum representar a composi¸c˜ao f ◦ g por

x−→ g(x)g −→ f g(x)f Exemplo 9. Consideremos as fun¸c˜oes

g(x) = 1

x − 1 e f (x) = √

x . Ent˜ao Dg= R \ {1} e Df = [ 0, +∞[.

• f ◦ g ´e dado por

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) =»g(x) = …

1 x − 1 que podemos representar por

x−→g 1 x − 1 f −→ … 1 x − 1

O dom´ınio de f ◦ g ´e o conjunto dos pontos tais que x ∈ Dg e g(x) ∈ Df, ou

seja x 6= 1 e 1

x−1 ≥ 0. Portanto Df ◦g = ]1, +∞[ .

• g ◦ f ´e dado por

g ◦ f(x) = g(f(x)) = 1 f (x) − 1 =

1 √

x − 1 que podemos representar por

x−→f √x−→g √ 1 x − 1

O seu dom´ınio ´e o conjunto dos pontos tais que x ∈ Df e f (x) ∈ Dg, ou seja

x ≥ 0 e√x 6= 1. Portanto Dg◦f = [ 0, 1[ ∪ ]1, +∞[ .

(5)

Exemplo 10. A fun¸cão f (x) =√1 − x2_{é a composi¸cão das fun¸cões}

g(x) = 1 − x2 e h(u) =√u como podemos verificar:

h g(x)=»g(x) =p1 − x2

O dom´ınio de h ◦ g ´e o conjunto dos pontos x ∈ Dg tais que g(x) ∈ Dh. Como

Dg= R temos apenas a condi¸c˜ao g(x) = 1 − x2≥ 0. Portanto Dh◦g= [ −1, 1 ].

´

E útil pensar na composi¸cão de fun¸cões f ◦ g como uma substitui¸cão da variável x por uma nova variável u = g(x).

Exemplo 11. Voltemos à fun¸cão √1 − x2_{. Introduzindo uma nova variável u =}

1 − x2_temos √_{1 − x}2₌√_u.

Exemplo 12. Consideremos fun¸c˜ao

f (x) =1 + x √

x 1 +√4_x

Introduzindo uma nova vari´avel u =√x vemos que 1 + x√x

1 +√4_x =

1 + u3

1 +√u

Assim, f é a composi¸cão das fun¸cões g(x) =√x e h(u) = ₁₊1+u√3

u.

A introdu¸cão duma nova variável é frequentemente útil na resolu¸cão de problemas: Exemplo 13. Queremos achar os zeros de f (x) = x4_{− 3x}2_{+ 2. Para isso}

introdu-zimos a vari´avel u = x2_{. Ent˜}_ao

x4_{− 3x}2_{+ 2 = u}2_{− 3u + 2 (u = x}2₎

Podemos agora achar os zeros de u2_{− 3u + 2: obtemos u = 1, 2. Substituindo agora}

u = x2 _{obtemos as equa¸c˜oes x}2 _{= 1 e x}2 _{= 2. x}4_{− 3x}2_{+ 2 tem portanto quatro}

zeros: ±1, ±√2.

3. Exemplos de fun¸

c˜

oes

Polinómios e fun¸cões racionais são fun¸cões que se podem construir usando apenas as opera¸cões algébricas elementares.

• Chamamos polin´omio a uma soma de fun¸c˜oes da forma f (x) = axn_:

P (x) = a0+ a1x + · · · + anxn

• Chamamos fun¸c˜ao racional a um quociente de dois polin´omios P, Q: f (x) = P (x)

(6)

Um polinómio de grau um é uma fun¸cão da forma P (x) = mx + b com m 6= 0. O gráfico de f é uma recta de declive m. |m| mede a inclina¸cão da recta e o sinal de m diz-nos se a fun¸cão é crescente ou decrescente. É importante recordar que o declive pode ser calculado do seguinte modo: Tomando quaisquer dois pontos x16= x2,

m = P (x2) − P (x1) x2− x1

Um polinómio de grau dois é uma fun¸cão da forma P (x) = ax2_{+ bx + c com}

a 6= 0. O seu gráfico é uma parábola. O leitor pode verificar que qualquer fun¸cão P (x) = ax2_{+ bx + c pode ser escrita na forma}

P (x) = y0+ a(x − x0)2 com x0= −

b

2a e y0= c − b2

4a

A constante a controla a concavidade da parábola, que será tanto mais acentuada quanto maior o valor de |a|. O sinal de a diz-nos se a concavidade está voltada para cima ou para baixo.

x0

y0

Figura 3. Gr´afico da par´abola f (x) = y0+ a(x − x0)2

Repare que para y0 > 0 a fun¸c˜ao n˜ao tem zeros, para y0 = 0 tem um zero e para

y0< 0 tem dois zeros.

Podemos aproveitar para esbo¸car o gráfico da fun¸cão Uma das fun¸cões racionais mais importantes é a hipérbole f (x) = 1_x:

• f ´e positiva para x > 0 e negativa para x < 0 • f ´e decrescente em ]0, +∞[ e em ] − ∞, 0[

• O gráfico é simétrico em rela¸cão à origem pois f é ´ımpar

• O gráfico é simétrico em rela¸cão à recta y = x pois se trocarmos as variáveis na equa¸cão y = 1_x obtemos a mesma equa¸cão.

(7)

x f (x) = 1

x

Figura 4. Gr´afico da fun¸c˜ao f (x) =1 x

Chamamos potˆencia a uma fun¸c˜ao da forma f (x) = xa_{. O exemplo mais simples}

de potência é um polinómio da forma f (x) = xn_{, com n ∈ N. Para p, q ∈ N primos}

entre si, temos

xpq =√qxp

o que inclui, para q = 1, o caso xp_.

Dom´ınio: Para q par, xp/q_s´_{o est´}_{a definida para x ≥ 0. Para q ´ımpar, x}p/q _est´_a

tamb´em definida para x < 0.

Paridade: Assumindo que q é ´ımpar temos • Para p par, xp/q _{é uma fun¸cão par}

• Para p ´ımpar, xp/q_{´e uma fun¸c˜ao ´ımpar}

Monotonia: xp/q _{´e crescente no intervalo [ 0, +∞[ . Para q ´ımpar, a paridade}

implica que,

• Para p par, xp/q _{´e decrescente em ] − ∞, 0 ]}

• Para p ´ımpar, xp/q_{´e crescente em todo o seu dom´ınio.}

Repare que no intervalo [ 0, +∞[ , as fun¸c˜oes xpq _{e x} q

p _s˜_{ao inversas uma da outra}

pelo que os seus gráficos são simétricos em rela¸cão à recta y = x.

1

1 a =13

a = 3

(8)

Figura 5. Gr´aficos de xa (x ≥ 0) para a =1 3, 1 2, 2 3, 1, 3 2, 2, 3

Para a < 0, a fun¸c˜ao xa _{n˜ao est´}_{a definida em x = 0. Para p, q ∈ N primos entre si}

temos x−p/q ₌ 1 q √ xp 1 1 a = −12 a = −2 Figura 6. Gr´aficos de xa (x > 0) para a = −1 2, − 2 3, −1, − 3 2, −2

Se uma fun¸cão f puder ser escrita como uma combina¸cão de polinómios, fun¸cões racionais e ra´ızes usando somas, produtos, quocientes e composi¸cão, dizemos que f é uma fun¸cão algébrica.

Exemplo 14. O polin´omio

x3+ 3x + 2a

tem exactamente uma raiz x ∈ R. Essa raiz é dada pela fun¸cão algébrica x = f (a) = 3

»

−a +pa2_{+ 1 +} 3

»

(9)

Aula 9: Fun¸c˜oes transcendentes 9

Aula 9: Func

¸˜

oes transcendentes

4. Fun¸

c˜

oes trigonom´

etricas e periodicidade

Antes de definirmos as fun¸cões seno e coseno comecemos por recordar a sua des-cri¸cão geométrica. Recorde que o c´ırculo trigonométrico C é a circunferência de raio um centrada na origem:

C = {(x, y) ∈ R2_{: x}2_{+ y}2_{= 1}}

A cada x ∈ R associamos um ponto Pxdo c´ırculo trigonom´etrico como se segue:

• Se x ≥ 0 partimos do ponto (1, 0) e percorremos uma distância x ao longo do c´ırculo trigonométrico no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. • Se x < 0 partimos do ponto (1, 0) e percorremos uma distância |x| ao longo

do c´ırculo trigonom´etrico no sentido dos ponteiros do rel´ogio.

θ = 5π/2 θ = −π/2 θ = −3π

θ = π

Figura 7. _{A cada x ∈ R associamos um ponto no c´ırculo trigonométrico} Então cos x e sen x são as coordenadas do ponto Px: Px= (cos x, sen x).

Para definir rigorosamente as fun¸c˜oes seno e coseno come¸camos por notar que a x e a x + π correspondem pontos Px e Px+π do c´ırculo trigonom´etrico diametralmente

opostos. Portanto as suas coordenadas s˜ao sim´etricas pelo que deveremos ter cos(x + π) = − cos x e sen(x + π) = − sen x

Daqui segue facilmente que deveremos ter, para k ∈ Z,

cos(x + kπ) = (−1)kcos x e sen(x + kπ) = (−1)ksen x

Assim, uma vez conhecidos os valores do coseno no intervalo [ 0, π ], todos os outros valores ficam imediatamente determinados. Para definir o coseno em [ 0, π ] ´e mais simples observar que o coseno ´e injectivo neste intervalo e come¸car por definir a sua inversa, a que chamamos arco-coseno:

Defini¸cão 6 (Arco-coseno): Chamamos arco-coseno à fun¸cão arccos : [ −1, 1 ] → Rem que arccos(x) é o comprimento do arco na metade superior do c´ırculo trigo-nométrico unindo o ponto A = (1, 0) ao ponto P = x,√1 − x2_:

(10)

P

x

θ

A

Figura 8. A fun¸c˜ao arco-coseno A tabela seguinte mostra alguns dos valores do arco-coseno:

x −1 −√23 − √ 2 2 − 1 2 0 1 2 √ 2 2 √ 3 2 1 arccos x π 5π 6 3π 4 2π 3 π 2 π 3 π 4 π 6 0

Tabela 1. Alguns valores do arco-coseno Algumas propriedades do arco-coseno:

Teorema 7:

(1) O arco-coseno é decrescente. (2) arccos x + arccos(−x) = π. Demonstração.

(1) Dados x1, x2 ∈ [ −1, 1 ], queremos mostrar que arccos x1 > arccos x2 sempre

que x1< x2. Come¸camos por tomar os pontos

A = (1, 0), P1= x1, » 1 − x2 1 e P2= x2, » 1 − x2 2

na metade superior do c´ırculo trigonométrico. Por defini¸cão de arco-coseno, os comprimentos dos arcos AP1e AP2são

¯

AP1= arccos(x1) e AP¯2= arccos(x2)

Se x1< x2, o arco AP2 est´a contido no arco AP1 pelo que o seu comprimento

´e menor. Portanto

arccos(x2) = ¯AP2< ¯AP1= arccos(x1)

Concluimos que o arco-coseno ´e decrescente. (2) Come¸camos por tomar os pontos

A = (1, 0), P = x,p1 − x2_, _P

−= − x,

p

1 − x2 _e _{B = (−1, 0)}

na metade superior do c´ırculo trigonom´etrico. Ent˜ao ˜

(11)

Como o arco AB é a união dos arcos AP e P B temos (i) ÃB = ÃP + ˜P B logo π = arccos(x) + ˜P B

Basta agora observar que os arcos P B e AP− s˜ao a reflex˜ao um do outro no

eixo dos yy pelo que tˆem o mesmo comprimento: (ii) ˜P B = ¯AP₋ = arccos(−x)

Substituindo (ii) em (i) obtemos π = arccos(x) + arccos(−x). Podemos agora facilmente definir coseno. O arco-coseno é decrescente logo é in-jectivo, e o seu contradom´ınio é o conjunto dos ângulos entre 0 e π. No intervalo [ 0, π ] o coseno é a fun¸cão inversa do arccos:

x = cos φ ⇔ φ = arccos x (para ˆangulos φ ∈ [ 0, π ])

Para outros ˆangulos φ ∈ R, podemos escrever φ de maneira ´unica na forma φ = θ + kπ com θ ∈ [ 0, π[ e k ∈ Z: explicitamente

k = max{ m ∈ Z : mπ ≤ φ } e θ = φ − kπ Ent˜ao deveremos ter

cos φ = cos(θ + kπ) = (−1)k_{cos θ}

e como θ ∈ [ 0, π[ , cos θ = arccos−1_{θ. Resumindo:}

Defini¸c˜ao 8: Dado um ˆangulo φ ∈ R, escrevemos φ = θ + kπ com θ ∈ [ 0, π[ e k ∈ Z e definimos

cos φ = (−1)karccos−1_θ

Observação: Qual o dom´ınio do coseno? cos φ está definido desde que θ esteja no dom´ınio de arccos−1_{, que é igual ao contradom´ınio do arccos. A nossa intui¸cão}

diz-nos (e está correcta neste caso) que o contradom´ınio do arco-coseno é todo o intervalo [0, π] e que portanto o coseno está definido para qualquer φ ∈ R, mas este é um resultado dif´ıcil de provar nesta altura.

Procedemos agora de modo an´alogo para definir seno. No intervalo−π2, π 2

o seno é injectivo pelo que podemos come¸car por definir a inversa a que chamamos arco-seno. Os outros valores do seno ficam então determinados pela fórmula sen(θ+kπ) = (−1)ksen θ.

Defini¸cão 9: Chamamos “arco-seno” à fun¸cão arcsen : [ −1, 1 ] → R em que arcsen y é o comprimento do arco na metade direita do circulo trigonométrico unindo os pontos A = (1, 0) e Q = p1 − y2_{, y}_{, afectada dum sinal algébrico}

negativo se y < 0:

arcsen(y) =

®_˜

AQ se y ≥ 0

(12)

y Q + A θ y Q − A θ

Figura 9. A fun¸c˜ao arco-seno A tabela seguinte mostra alguns dos valores do arco-seno:

x −1 −√23 − √ 2 2 − 1 2 0 1 2 √ 2 2 √ 3 2 1 arcsen x −π 2 − π 3 − π 4 − π 6 0 π 6 π 4 π 3 π 2

Tabela 2. Alguns valores do arco-seno Teorema 10:

(1) O arco-seno é uma fun¸cão ´ımpar. (2) A fun¸cão arcsen é crescente. (3) arcsen x + arccos x = π

2. Demonstrac¸˜ao.

(1) Dado y ∈ [ 0, 1 ] tomamos os pontos

A = (1, 0), Q = p1 − y2_{, y} _e _Q −=

p

1 − y2_{, −y}

Ent˜ao por defini¸c˜ao de arco-seno,

arcsen y = ˜AQ e arcsen(−y) = −˘AQ₋

Basta agora observar que o arco AQ−´e a reflex˜ao no eixo dos xx do arco AQ

portanto os dois arcos tˆem o mesmo comprimento: arcsen(−y) = −˘AQ−= −˜AQ = − arcsen y

(2) No intervalo [ 0, 1 ] o arco-seno é crescente. A demonstra¸cão é completamente análoga à que fizemos para o arco-coseno e fica como exerc´ıcio. Como arcsen é também positivo em [ 0, 1 ] e é ´ımpar, arcsen é uma fun¸cão crescente em todo o seu dom´ınio.

(3) Primeiro consideramos o caso em que x ∈ [ 0, 1 ]. Come¸camos por tomar os pontos

(13)

na metade superior do c´ırculo trigonométrico. Então os arcos AP e QB têm o mesmo comprimento pois são a reflexão um do outro na recta y = x. Por defini¸cão de arco-seno e arco-coseno temos

arccos x = ˜AP e arcsen x = ˜AQ = ˜P B

O arco AB é a união do arco AP com o arco P B. O seu comprimento é π/2 logo

π 2 = ˜AB

= ˜AP + ˜P B

= arccos x + arcsen x

como quer´ıamos demonstrar. Falta ver o caso em que x ∈ [ −1, 0 ]. Então −x ∈ [ 0, 1 ] logo já provámos que

(i) arcsen(−x) + arccos(−x) =π₂

Agora arcsen(−x) = − arcsen x e arccos(−x) = π − arccos x como vimos no teorema 7. Substituindo em (i) obtemos

(− arcsen x) + (π − arccos x) = π 2

de onde se deduz facilmente que arcsen x + arccos x = π₂. Podemos agora facilmente definir seno. O arco-seno é crescente logo é injectivo, e o seu contradom´ınio é o conjunto dos ângulos entre −π/2 e π/2. No intervalo [ −π/2, π/2 ] o seno é a fun¸cão inversa do arccos:

x = sen φ ⇔ φ = arcsen x para ˆangulos φ ∈ [ −π/2, π/2 ]

Os outros valores do seno s˜ao completamente determinados pela equa¸c˜ao sen(θ + kπ) = (−1)k_{sen θ:}

Defini¸cão 11: Dado um ângulo φ ∈ R, podemos escrever φ de maneira única na forma φ = θ + kπ com θ um ângulo em −π

2, π 2 e k ∈ Z. Definimos sen φ = (−1)karcsen−1_θ

Observação: A mesma observa¸cão que fizemos sobre o dom´ınio do coseno também se aplica aqui: o dom´ınio do seno é R mas para o provar precisamos primeiro de mostrar que o contradom´ınio do arco-seno é [ −π/2, π/2 ].

Algumas propriedades do seno e do coseno: Teorema 12:

(1) O arco-seno ´e a inversa da restri¸c˜ao do seno ao intervalo −π 2,

π 2

e o arco-coseno ´e a inversa da restri¸c˜ao do arco-coseno ao intervalo [ 0, π ].

(2) sen(φ + kπ) = (−1)k_{sen φ e cos(φ + kπ) = (−1)}k_{cos φ.}

(3) O seno ´e ´ımpar e o coseno ´e par. (4) sen2_{φ + cos}2_{φ = 1.}

(14)

Demonstração. Provaremos (1) e (2) apenas para o coseno pois a demonstra¸cão para o seno é completamente análoga.

(1) Basta provar para φ = π pois para φ ∈ [ 0, π[ , cos φ = arccos−1_{φ por defini¸c˜ao.}

Para φ = π, queremos mostrar que

cos π = arccos−1_{(π) = −1}

Para tal escrevemos π na forma π = θ + kπ. Ent˜ao θ = 0 e k = 1 logo cos π = (−1)karccos−1_(θ)

= − arccos−1_{(0) = −1}

(2) Dado φ ∈ R come¸camos por escrever φ = θ + nπ com θ ∈ [ 0, π[ e n ∈ Z. Ent˜ao φ + kπ = θ + (k + n)π logo, por defini¸c˜ao de coseno,

cos φ = (−1)narccos−1_θ

cos(φ + kπ) = (−1)n+karccos−1_θ

donde sai de imediato que cos(φ + kπ) = (−1)k_{cos φ.}

(3) Como arcsen é ´ımpar, a sua inversa também é ´ımpar. Assim, por (1), o seno é ´ımpar no intervalo − π2,

π 2

. Dado φ ∈ R escrevemos φ = θ + kπ com θ ∈ −π 2, π 2 . Ent˜ao sen(−φ) = sen(−θ − kπ) = (−1)ksen(−θ) por (2)

= −(−1)ksen θ pois o seno ´e ´ımpar em −π 2, π 2 = − sen(θ + kπ) por (2) = − sen φ

portanto o seno ´e ´ımpar em todo o seu dom´ınio.

Vamos agora ver que o coseno ´e par. Dado φ ∈ R escrevemos φ = θ + kπ com θ ∈ [ 0, π[ . Ent˜ao −φ = π − θ − (k + 1)π logo, usando (2),

cos φ = (−1)kcos θ e cos(−φ) = (−1)k+1cos(π − θ)

Para mostrar que cos φ = cos(−φ) basta portanto verificar que cos(π − θ) = − cos θ para θ ∈ [ 0, π[ . Como π − θ ∈ [ 0, π ], usando (1) temos

cos(π − θ) = − cos θ ⇐⇒ π − θ = arccos(− cos θ) Pondo x = cos θ obtemos

π − arccos x = arccos(−x) que ´e o que nos diz o teorema 7.

(4) Seja x ∈ [ 0, 1 ]. Por defini¸cão de arco-coseno e de arco-seno, o comprimento do arco unindo (1, 0) a (x,√1 − x2_{) é igual a arccos x mas é também igual a}

arcsen√1 − x2_{, logo}

(15)

Seja θ = arccos x = arcsen√1 − x2_{. Ent˜}_ao

x = cos θ e p1 − x2_{= sen θ}

o que mostra que cos2_{θ + sen}2_{θ = 1 no intervalo}_0,π

2]. Como cos

2_{θ + sen}2_θ

é uma fun¸cão par, esta igualdade permanece válida em−π2, π 2 . Dado φ ∈ R escrevemos φ = θ + kπ com θ ∈ −π2, π 2

. Ent˜ao, usando a al´ınea (2), cos2_{φ + sen}2_{φ = cos}2_{(θ + kπ) + sen}2_{(θ + kπ)}

= (−1)kcos θ2+ (−1)ksen θ2

= cos2_{θ + sen}2_{θ = 1}

Para k ∈ Z,

sen(θ + 2kπ) = (−1)2ksen θ = sen θ e cos(θ + 2kπ) = (−1)2kcos θ = cos θ Estas igualdades têm uma interpreta¸cão geométrica simples: aos ângulos θ e θ + 2π corresponde o mesmo ponto P sobre o c´ırculo trigonométrico.

Defini¸cão 13: Dizemos que uma fun¸cão f : D → R é uma fun¸cão periódica de per´ıodop se para qualquer elemento x do dom´ınio, x±p também estiver no dom´ınio e f (x ± p) = f(x).

As fun¸cões seno e coseno são exemplos de fun¸cões de per´ıodo 2π. Outra fun¸cão periódica importante é a tangente:

Defini¸c˜ao 14: tan θ = senθ cosθ

A tangente ´e peri´odica de per´ıodo π: tan(φ + π) = sen(φ + π)

cos(φ + π) =

− sen φ

− cos φ = tan φ Teorema 15: A tangente ´e crescente no intervalo −π

2, π 2

.

Demonstração. Come¸camos por ver que a tangente é crescente no intervalo 0,π 2 . Dados x, y ∈ 0,π 2

com x < y, queremos ver que tan x < tan y. Mas sen x < sen y e cos x > cos y logo

tan x = sen x cos x <

sen y

cos y = tan y

Como a tangente ´e tambem ´ımpar, e positiva em 0,π₂, segue que a tangente ´e crescente em todo o intervalo −π

2, π 2

.

Defini¸cão 16: Chamamos arctan à inversa da restri¸cão da tangente ao intervalo −π2, π 2 .

Podemos escrever o arco-tangente em termos do arco-seno. Para tal observemos a figura 10:

(16)

θ = arccos x = arcsen y = arctan t

x = cos θ y = sen θ t = tanθ

θ

x y

t P

Figura 10. Interpreta¸c˜ao geom´etrica do arctan.

Usando o teorema de Pit´agoras concluimos facilmente que sen θ = √t 1+t2.

Teorema 17: arctan t = arcsen√ t

1 + t2. Em particular, o dom´ınio de arctan ´e

R.

Demonstração. Como as fun¸cões

arctan t e arcsen√ t 1 + t2

s˜ao ambas ´ımpares, basta provar a igualdade para t ≥ 0. Seja θ = arctan t. Ent˜ao t = tan θ logo

t2_{= tan}2_{θ =} sen2θ

cos2_θ =

sen2_θ

1 − sen2_θ

Resolvendo em ordem a sen2_{θ obtemos}

sen2_{θ =} t2

1 + t2

Como t ≥ 0, θ = arctan t ∈0,π 2

logo sen θ ≥ 0. Assim, sen θ = √ t

1 + t2

No intervalo 0,π 2

, o seno ´e injectivo com inversa arcsen logo arctan t = θ = arcsen√ t

1 + t2

Logaritmo e exponenciais

Logaritmos desempenham um papel fundamental no cálculo e nas suas aplica¸cões. Chamamos logaritmo a uma fun¸cão log : ]0, +∞[ → R tal que

(17)

Dados a, x > 0 é comum definir logax como a fun¸cão inversa da fun¸cão f (x) = ax.

Esta defini¸c˜ao no entanto esbarra com o problema dif´ıcil de definir ax _quando

x /∈ Q.1

´

E mais simples introduzir os logaritmos directamente e depois us´a-los para definir ax_{. Para cada t consideramos a regi˜}_{ao do plano entre a hip´erbole y =} 1

x e o eixo

dos xx, limitada pelas rectas verticais x = 1 e x = t (ver figura 11). O logaritmo de t é a área desta região, afectada dum sinal algébrico negativo para t < 1.

t 1 y = 1 x − (t < 1) 1 t y = 1 x + (t > 1)

Figura 11. Defini¸c˜ao geom´etrica do logaritmo

Como calcular esta área? Esta questão vai nos conduzir à defini¸cão anal´ıtica do logaritmo. É conveniente considerar mais geralmente a região Ra,b por cima do

intervalo [ a, b ]:

Ra,b=(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b e 0 ≤ y ≤

1 x

Para calcular a área desta região procedemos do seguinte modo: dividimos [ a, b ] em n intervalos iguais e tomamos sobre cada um destes intervalos o maior rectângulo com base nesse intervalo que couber por baixo da hipérbole y = 1

x. A soma das

áreas destes rectângulos é, para n grande, uma boa aproxima¸cão da área de Ra,b.

Figura 12. Aproxima¸c˜ao da ´area para n = 5 e n = 10

O intervalo [ a, b ] tem comprimento b − a logo cada rectˆangulo tem largura b−an . A

altura de cada rectângulo é 1/xiem que x0, x1, . . . , xn são os vértices inferiores dos

1Uma vez definido ax

´

e também necessário mostrar que a fun¸cão obtida satisfazax+y

=ax_ay

, o que tamb´em ´e dif´ıcil.

(18)

rectângulos sobre o eixo dos xx. Assim, a área dos rectângulos é dada por ´

Area = (base) × (altura) = b − a

n ·

1 xi

Representamos por Sn(Ra,b) a soma das ´areas dos rectˆangulos:

Sn(Ra,b) = n X i=1 b − a n · 1 xi

A área de Ra,bé certamente maior que Sn(Rab) mas podemos obter aproxima¸cões

arbitrariamente boas tomando n suficientemente grande. Assim ´e natural escrever ´

Area(Ra,b) = sup{Sn(Rab) : n ∈ N}

Exemplo 15. Para calcular a ´area da regi˜ao R1,2dividimos o intervalo [ 1, 2 ] em

n intervalos iguais de comprimento 1

n. Tomamos para tal os pontos

x0= 1 , x1= 1 + 1/n , x2= 1 + 2/n , x3= 1 + 3/n , . . . , xn−2= 1 + (n − 2)/n , xn−1= 1 + (n − 1)/n, xn= 2 e calculamos as somas Sn(R1,2) = n X i=1 1 n· 1 1 + i/n = n X i=1 1 n + i Temos sucessivamente: S1= 1 2 = 0.5 S2= 1 3+ 1 4 = 0.5833 . . . S3= 1 4 + 1 5+ 1 6 = 0.6166 . . . A tabela seguinte mostra outras aproxima¸c˜oes:

n Sn

10 0.66877 . . . 100 0.69065 . . . 1000 0.69290 . . . 10000 0.69312 . . .

Para compara¸c˜ao, o valor exacto ´e 0.69315 . . ..

Observação: Este procedimento para calcular uma área, aproximando-a pela soma de áreas de rectângulos, é um exemplo de integral, uma das no¸cões fun-damentais do cálculo.

Podemos agora definir logaritmo

Defini¸c˜ao 18: Seja x ≥ 1. Chamamos logaritmo natural de x a ln x = ´Area(R1,x) = sup{Sn(R1,x) : n ∈ N}

Para 0 < x < 1 chamamos logaritmo natural de x a

(19)

Exemplo 16. O logaritmo natural de 2 é a área da região R1,2 que calculámos

aproximadamente no exemplo 15: ln 2 = 0.69315 . . ..

As propriedades do logaritmo são consequência da seguinte observa¸cão: Teorema 19: Para quaisquer t > 0 e s > 1,

´

Area(Rt,ts) = ´Area(R1,s)

Demonstração. A observa¸cão básica é a seguinte: se os pontos x0= 1, x1, . . . , xn−1, xn=

s dividem o intervalo [ 1, s ] em n intervalos iguais de comprimento c = (s − 1)/n, ent˜ao os pontos tx0= t, tx1, . . . , txn = ts dividem o intervalo [ t, st ] en n intervalos

iguais de comprimento (st − t)/n = t c. Sendo assim, Sn(R1,t) = n X i=1 c ·_x1 i e Sn(Rs,st) = n X i=1 t c ·_{t x}1 i = Sn(R1,t)

Portanto Sn(Rs,st) = Sn(R1,t) para qualquer n de onde sai de imediato que a ´area

de R1,sé igual à área de Rt,ts.

2/3 1 4/3 2

Figura 13. As duas regiões sombreadas têm a mesma área Teorema 20 (Propriedades do logaritmo):

(1) ln(s t) = ln s + ln t (2) ln(s/t) = ln s − ln t (3) ln 1 = 0 (4) ln(xn_{) = n ln x} (5) t − 1 t ≤ ln t ≤ t − 1. Demonstrac¸˜ao.

(1) Come¸camos por assumir que s, t ≥ 1. Ent˜ao ts ≥ s. Vamos usar o seguinte facto geometricamente ´obvio:2

´

Area(R1,ts) = Área(R1,s) + Área(Rs,ts) (ver figura 14) 2A demonstra¸cão é dif´ıcil nesta altura.

(20)

1 s ts R1,s Rs,ts

Figura 14. Demonstra¸c˜ao do teorema 20 Ent˜ao

ln(ts) = ´Area(R1,ts)

= ´Area(R1,s) + ´Area(Rs,ts)

= ´Area(R1,s) + ´Area(R1,t) (teorema 19)

= ln s + ln t

Para 0 < s < 1 ≤ t temos dois casos ilustrados na figura seguinte:

s st 1 t (st < 1) ln t − ln(st) s 1 st t (st > 1) ln(st) − ln s

Figura 15. Demonstra¸c˜ao do teorema 20 Para st < 1 temos

− ln s = ´Area(Rs,1) = ln t − ln(st)

e para st > 1 temos

ln t = ´Area(R1,t) = ln(st) − ln s

Em ambos os casos deduzimos de imediato que ln(st) = ln s + ln t. Deixamos o caso s, t < 1 como exerc´ıcio.

(2) Pela propriedade (2),

ln s = ln s_tt= lns_t+ ln t de onde tiramos que

lns

t = ln s − ln t

(21)

(4) Vamos provar o resultado por indu¸c˜ao. Para n = 0, ln x0 _{= ln 1 = 0.}

Assu-mindo por hip´otese que ln(xn_{) = n ln x obtemos}

ln(xn+1) = ln(xn· x) = ln(xn) + ln x = n ln x + ln x = (n + 1) ln x o que completa a demonstra¸c˜ao.

(5) Deixamos a demonstra¸c˜ao como exerc´ıcio. Repare no entanto que a regi˜ao R1,t

está contida no rectãngulo com base t − 1 e altura 1 e contém o rectângulo com base t − 1 e altura 1t

1 t

1/t 1

Comparando ´areas, ´e geometricamente claro que (t − 1) · 1

t < ´Area(R1,t) < (t − 1) · 1

que ´e precisamente a propriedade (5).

Para s > t, s/t > 1 logo

ln s − ln t = ln(s/t) > 0

Assim, o logaritmo ´e crescente, e portanto ´e injectivo. Representamos a sua inversa por exp(y):

y = ln x ⇔ x = exp(y) Usando as propriedades do logaritmo podemos ver que Teorema 21: exp(x) exp(y) = exp(x + y).

Demonstração. Seja u = exp x e v = exp y. Então x = ln u e y = ln v logo exp(x + y) = exp(ln u + ln v)

= exp ln(uv) = uv

= exp(x) exp(y)

5. Exponenciais e o n´

umero de Nepper

Para a > 0 vamos agora ver como definir uma fun¸c˜ao f (x) = ax_{. Para x = n ∈ N}

temos

an= a · a · · · a_| _{z _}

(22)

e a0_{= 1. a}n _{satisfaz as rela¸c˜oes}

an+m= anam e anm= anm

Queremos agora definir ax _{para x = p/q ∈ Q. Tomamos para j´a p, q > 0. Para}

x = 1/q deveremos ter a1qq = a 1 qq pelo que a1qq = a logo a 1 q =√qa

Mais geralmente deveremos ter apq = (ap) 1

q pelo que

apq =√qap

Vamos agora ver como definir ax_{para x < 0. Deveremos ter a}−x_{· a}x_{= a}−x+x_pelo

que

a−x_{· a}x_{= 1} _logo _a−x₌ 1

ax

Chegamos assim `a defini¸c˜ao

Defini¸c˜ao 22: Sejam p, q ∈ N primos entre si. Ent˜ao definimos apq =√qap e a− p q = 1 q √ ap

Qual o significado de ax_{se x n˜ao for um quociente de inteiros? Por exemplo, o que}

entendemos por 2π_{? Poder´ıamos usar a expans˜ao decimal de π para aproximar o}

valor de 2π _{pela sucess˜}_ao

23_{= 8,} ₂3.1₌ 10√

231_{≈ 8.57,} ₂3.14 ₌ 100√

2314_{≈ 8.82,} _{. . .}

Tal procedimento ´e no entanto trabalhoso. ´E bastante mais simples definir ax

usando logaritmos. Come¸camos por observar que

Teorema 23: Seja x ∈ Q e a > 0. Ent˜ao ln(ax_{) = x ln a.}

Demonstração. Já mostrámos este resultado para x = n ∈ N. Seja x = pq ∈ Q

com p, q ∈ N. Ent˜ao q lnÄapq ä = lnÄÄapq äqä = lnÄapqq ä = ln (ap) = p ln a Dividindo por q obtemos ln apq = p

qln a. Falta ver o caso em que x < 0. Como

−x > 0, j´a vimos que ln(a−x_{) = −x ln a logo}

ln(ax) = ln Å ₁

a−x

ã

= − ln(a−x_{) = −(−x) ln a = x ln a}

o que termina a demonstra¸c˜ao.

Como ln(ax_{) = x ln a, a}x _{= exp(x ln a) para qualquer x ∈ Q. Mas a express˜ao}

exp(x ln a) faz sentido n˜ao apenas para x ∈ Q mas para qualquer valor de x. Po-demos portanto us´a-la para definir ax_:

Defini¸cão 24 (Exponencial): Seja a > 0. Chamamos exponencial de base a à fun¸cão

ax= exp(x ln a)

(23)

Teorema 25: ax_ay_{= a}x+y_{, a}x_bx_{= (ab)}x_{e a}xy_{= a}xy_.

A fun¸cão exp(x) é também uma fun¸cão exponencial, com base e = exp(1):3

ex= exp(x ln e) = exp(x) pois ln e = 1 Defini¸c˜ao 26: Chamamos n´umero de Nepper a e = exp(1).

Para calcular o número de Nepper temos que resolver a equa¸cão ln x = 1. Podemos aproximar a solu¸cão usando as sucessões

xn= Å 1 + 1 n ãn e yn= Å 1 −_n1 ãn Teorema 27: xn < e < 1/yn e 1 1 + 1/n < ln xn < 1 < ln(1/yn) < 1 1 − 1/n Demonstração. Partimos da rela¸cão

t − 1 t < ln t < t − 1 (t 6= 1) e substituimos t = 1 + 1/n e t = 1 − 1/n: 1/n 1 + 1/n ≤ ln(1 + 1/n) ≤ 1/n e −1/n 1 − 1/n≤ ln(1 − 1/n) ≤ −1/n

Agora basta multiplicar tudo por n ou −n, e usar as rela¸c˜oes n ln a = ln(an_{) e}

−n ln a = ln(1/an_{). A rela¸c˜ao x}

n< e < 1/yn segue de ln xn< 1 < ln(1/yn) pois o

logaritmo ´e crescente.

Alguns valores das sucess˜oes xn e yn:

n xn 1/yn

10 2.5937 . . . 2.8679 . . . 100 2.7048 . . . 2.7319 . . . 1000 2.7169 . . . 2.7196 . . . Para compara¸c˜ao, e = 2.7182 . . ..