Inatel. ANÁLISE DE SINAIS DE ECG USANDO TRANSFORMATA WAVELET COM PULSO DNAx MATHEUS CARDOSO MORAES. Instituto Nacional de Telecomunicações

(1)

MATHEUS CARDOSO MORAES

MAIO/ 2008

Inatel

Instituto Nacional de Telecomunicações

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ANÁLISE DE SINAIS DE ECG

USANDO TRANSFORMATA

WAVELET COM PULSO DNAx

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(3)

An´

alise de sinais de ECG usando

Transformada Wavelet com o Pulso

DNAx

Matheus Cardoso Moraes

Disserta¸cão apresentada ao Instituto Nacional de Telecomu-nica¸cões, como parte dos requisitos para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Engenharia Elétrica.

Orientador: Prof. Dr. Sandro Adriano Fasolo Santa Rita do Sapuca´ı

(4)

Disserta¸c˜ao defendida e aprovada em 28/05/2008, pela comiss˜ao julgadora:

Dra. Vera L´ucia da Silveira Nantes Button DEB - FEEC/UNICAMP

Dr. Carlos Alberto Ynoguti Inatel

Dr. Sandro Adriano Fasolo Inatel

(5)

ii

`

A minha m˜ae, minha primeira e grande professora.

(6)

Agradecimentos

A Deus por me dar sa´ude e inteligˆencia para que conseguisse come¸car e ter-minar essa etapa de minha vida.

Ao meu orientador professor Sandro Adriano Fasolo pela excelente orienta¸c˜ao fornecida durante a elabora¸c˜ao deste trabalho.

Aos Professores Carlos Ynoguti e Fabiano Valias de Carvalho pelos apoio fornecido.

A todos os colegas, professores e funcionários do Curso de Pós Gradua¸cão em Engenharia Biomédica e do curso de Mestrado do Instituto Nacional de Teleco-munica¸cões pela amizade.

A todos os meus familiares e amigos, em especial aos meus pais e minha namorada que sempre me apoiaram nos momentos dif´ıceis e entenderam a minha falta durante a elabora¸c˜ao deste trabalho.

(7)

´Indice

Lista de Figuras vi

Lista de Tabelas x

Lista de Abreviaturas e Siglas xii Lista de S´ımbolos xiv

1 Introdu¸cão 1 1.1 Objetivo . . . 2 2 Eletrocardiograma 4 2.1 Introdu¸cão . . . 4 2.2 Anatomia do cora¸cão . . . 4 2.2.1 A fisiologia do cora¸cão . . . 5 2.2.2 O ciclo card´ıaco . . . 6 2.3 Eletrocardiógrafo . . . 7 2.4 Banco de dados . . . 9 2.4.1 Physikalisch-Technische Bundesanstalt (PTB) . . . 9 3 A Técnica DNAx 14 3.1 Introdu¸cão . . . 14 3.2 Teoria fundamental . . . 15

3.3 Formato b´asico da equa¸c˜ao DNAx . . . 15

3.4 Forma geral da equa¸c˜ao DNAx . . . 17

3.4.1 Fun¸c˜ao arbitraria f (x) . . . 17

3.4.2 Fun¸c˜ao base x(t) da equa¸c˜ao DNAx . . . 18

4 Medidas de similaridade usando correla¸c˜ao temporal 20 4.1 Introdu¸c˜ao . . . 20

4.2 Filtragem do ECG . . . 20

4.3 Ciclo card´ıaco de referˆencia . . . 22 iv

(8)

´INDICE v

4.3.1 Correla¸c˜ao cruzada dos ciclos card´ıacos . . . 23

4.3.2 C´alculo das medidas caracter´ısticas . . . 25

4.4 Diferen¸ca de Confiabilidade . . . 29

5 Transformada Wavelet e ECG 30 5.1 Introdu¸cão . . . 30 5.2 Transformada Wavelet . . . 30 5.2.1 Transla¸cão . . . 31 5.2.2 Escala . . . 31 5.3 Fun¸cão de Transforma¸cão ou Mother Wavelets . . . 32 5.3.1 Wavelets Tradicionais . . . 32

5.3.2 O Pulso DNAx na gera¸c˜ao de Mother Wavelets . . . 33

5.4 Transformada de um ciclo card´ıaco . . . 36

5.4.1 Conte´udo espectral de um ciclo card´ıaco . . . 36

5.4.2 Determina¸c˜ao do vetor escala . . . 37

5.4.3 Calculando a TW de um ciclo card´ıaco . . . 39

6 Medidas de similaridade usando transformada Wavelet 44 6.1 Introdu¸c˜ao . . . 44

6.2 Correla¸c˜ao Cruzada Bidimensional . . . 45

6.3 C´alculo das medidas caracter´ısticas . . . 46

6.4 Diferen¸ca de Confiabilidade . . . 69

7 Conclus˜ao 75

(9)

Lista de Figuras

1.1 Representa¸cão das câmaras card´ıacas e do sistema de condu¸cão

el´etrica do cora¸c˜ao (extra´ıdo de [1]). . . 1

2.1 Representa¸cão das câmaras card´ıacas e do sistema de condu¸cão elétrica do cora¸cão (extra´ıdo de [1]). . . 5

2.2 Representa¸cão das atividades elétricas de várias regiões do cora¸cão (extra´ıdo de [7]). . . 6

2.3 Forma de onda de um ciclo card´ıaco (extra´ıdo de [1]). . . 7

2.4 Deriva¸c˜oes do Triˆangulo de Einthoven (extra´ıdo de [1]). . . 7

2.5 Disposi¸c˜oes das Deriva¸c˜oes Unipolares (extra´ıdo de [1]). . . 8

2.6 Exemplo das 15 deriva¸c˜oes de um ECG para um paciente saud´avel (extra´ıdo de Physionet). . . 8

2.7 Exemplos de Ciclos Card´ıacos da Deriva¸c˜ao i de pacientes com diferentes patologias. . . 12

2.8 Exemplos de Ciclos Card´ıacos da Deriva¸c˜ao i de pacientes com diferentes patologias. . . 13

3.1 Representa¸cões gráficas dos polinômios PD(x) e PN(x). . . 15

3.2 Representa¸cões gráficas de y(x) em fun¸cão de a e n. . . 16

3.3 Representa¸cões gráficas de y(x) em fun¸cão de f (x). . . 18

3.4 Representa¸cão de (3.10) para f (x) = 1 e fun¸cão base x(t) variando linearmente como uma rampa com diferentes inclina¸cões. . . 18

3.5 Representa¸cão de 3.9 para para f(x) = 1, a = 1 e n = 1 e a fun¸cão base x(t) variando em fun¸cão de um cosseno. . . 19

4.1 Representa¸cões de Sinais de ECG com e sem componentes de baixa freqüência. . . 21

4.2 Resposta em freq¨uˆencia do filtro passa-alta. . . 22

4.3 Procedimento para retirar um ciclo card´ıaco como amostra de cada paciente. . . 22

4.4 Ciclos card´ıacos de pacientes com Infarto do Mioc´ardio anterior. . 23 vi

(10)

LISTA DE FIGURAS vii

4.5 Correla¸c˜ao Temporal entre os ciclos card´ıacos do Paciente007 e do

Paciente014. . . 24

4.6 Ciclos card´ıacos do paciente104, paciente Saud´avel. . . 25

4.7 Correla¸c˜ao Temporal entre os ciclos card´ıacos do Paciente007 e do Paciente104 . . . 25

4.8 Procedimento para o cálculo da média de similaridade e desvio padrão dos valores máximos das correla¸cões entre pacientes. . . . 27

4.9 Gr´afico de similaridade com o grupo de pacientes com I.M anterior usando correla¸c˜ao temporal. . . 28

4.10 Procedimento para o c´alculo da diferen¸ca de confiabilidade. . . 29

5.1 Movimento de Transla¸c˜ao . . . 31

5.2 Varia¸c˜ao da escala da wavelet . . . 31

5.3 Exemplos de Fun¸c˜oes de Transforma¸c˜ao ou mother wavelets. . . . 32

5.4 Representa¸cões gráficas das equa¸cões (5.4) (5.7), (5.8) e (5.9). . . 34

5.5 Representa¸c˜oes gr´aficas de (5.10) e (5.12). . . 35

5.6 _{Representa¸c˜oes gr´aficas de (5.14), para i = {1, 2, 3, 4, 5}. . . .} 36

5.7 TF de ciclos card´ıacos de pacientes com patologias diferentes. . . 37

5.8 Freq¨uˆencia Central ou constante dependente. . . 38

5.9 Etapas de c´alculo de alguns coeficientes da TW de um ciclo card´ıaco. 41 5.10 Transformada Wavelet do ciclo card´ıaco do paciente007 usando diferentes wavelets. . . 42

5.11 Transformada Wavelet do ciclo card´ıaco do paciente007 usando diferentes wavelets. . . 43

6.1 Correla¸c˜ao Cruzada Bidimensional entre os coeficientes da TW dos ciclos card´ıacos dos pacientes 007 e 014 usando a Morlet. . . 47

6.2 Correla¸cão Cruzada Bidimensional entre os coeficientes da TW dos ciclos card´ıacos dos pacientes 007 e 014 usando Chapéu Mexicano. 47 6.3 Correla¸cão Cruzada Bidimensional entre os coeficientes da TW dos ciclos card´ıacos dos pacientes 007 e 104 usando Morlet. . . 48

6.4 Correla¸cão Cruzada Bidimensional entre os coeficientes da TW dos ciclos card´ıacos dos pacientes 007 e 104 usando Chapéu Mexicano. 48 6.5 Gráfico de similaridade entre os coeficientes da TW usando Morlet dos ciclos do grupo de pacientes com I.M anterior e os outros grupos. 59 6.6 Gráfico de similaridade entre os coeficientes da TW usando Chapéu Mexicano dos ciclos do grupo de pacientes com I.M anterior e os outros grupos. . . 60

6.7 Gr´afico de similaridade entre os coeficientes da TW usando Waveletd-nax2 dos ciclos do grupo de pacientes com I.M anterior e os outros grupos. . . 61

(11)

LISTA DE FIGURAS viii

6.8 Gr´afico de similaridade entre os coeficientes da TW usando WaveletD-NAxQuadrada dos ciclos do grupo de pacientes com I.M anterior e os outros grupos . . . 62 6.9 Gr´afico de similaridade entre os coeficientes da TW usando

WaveletD-NAxCosJanelado dos ciclos do grupo de pacientes com I.M anterior e os outros grupos . . . 63 6.10 Gr´afico de similaridade entre os coeficientes da TW usando 1a

derivada do PulsoDNAx4 dos ciclos do grupo de pacientes com I.M anterior e os outros grupos. . . 64 6.11 Gr´afico de similaridade entre os coeficientes da TW usando 2a

derivada do PulsoDNAx4 dos ciclos do grupo de pacientes com I.M anterior e os outros grupos. . . 68 6.15 Gráfico da Diferen¸ca de confiabilidade usando Morlet. . . 69 6.16 Gráfico da Diferen¸ca de confiabilidade usando Chapéu Mexicano. 70 6.17 Gráfico da Diferen¸ca de confiabilidade usando WaveleDNAx2. . . 70 6.18 Gráfico da Diferen¸ca de confiabilidade usando WaveletDNAxQuadrada. 71 6.19 Gráfico da Diferen¸ca de confiabilidade usando

WaveletDNAxCos-Janelado. . . 71 6.20 Gr´afico da Diferen¸ca de confiabilidade usando 1a _{derivada do}

Pul-soDNAx4. . . 72 6.21 Gr´afico da Diferen¸ca de confiabilidade usando 2a _{derivada do}

Pul-soDNAx4. . . 74 7.1 Gr´afico da Diferen¸ca de confiabilidade no melhor caso para cada

(12)

LISTA DE FIGURAS ix

7.2 Gráfico da Similaridade entre pacientes com I.M anterior usando diferentes Métodos. . . 77 7.3 Gráfico da Similaridade entre o grupo com I.M anterior e o grupo

com I.M ântero-lateral usando diferentes Métodos. . . 77 7.4 Gráfico da Similaridade entre o grupo com I.M anterior e o grupo

com I.M ântero-septal usando diferentes Métodos. . . 78 7.5 Gráfico da Similaridade entre o grupo com I.M anterior e o grupo

com I.M inferior usando diferentes M´etodos. . . 78 7.6 Gr´afico da Similaridade entre o grupo com I.M anterior e o grupo

com I.M ´ınfero-lateral usando diferentes M´etodos. . . 79 7.7 Gr´afico da Similaridade entre o grupo com I.M anterior e o grupo

com I.M ´ınfero-póstero-lateral usando diferentes Métodos. . . 79 7.8 Gráfico da Similaridade entre o grupo com I.M anterior e o grupo

com Hipertrofia do Miocárdio usando diferentes Métodos. . . 80 7.9 Gráfico da Similaridade entre o grupo com I.M anterior e o grupo

com Problemas Válvulares usando diferentes Métodos. . . 80 7.10 Gráfico da Similaridade entre o grupo com I.M anterior e o grupo

de Pacientes Saudáveis usando diferentes Métodos. . . 81 7.11 Gráfico da Similaridade entre o grupo com I.M anterior e o grupo

(13)

Lista de Tabelas

2.1 Tabela de patologias e seus respectivos pacientes. . . 11 4.1 Tabela dos valores m´aximos das correla¸c˜oes temporais entre ciclos

da deriva¸cão I dos cinco pacientes com I.M. e os outros pacientes de diferentes patologias da Tabela 2.1. . . 26 4.2 Tabela de similaridade média e desvio padrão entre o grupo de

pacientes com I.M anterior e os outros grupos patol´ogicos usando correla¸c˜ao temporal. . . 28 5.1 Tabela das constantes dependentes kψ e suas wavelets. . . 39

5.2 Tabela dos limites m´ınimos e m´aximos dos vetores de escalas das wavelets. . . 40 6.1 Tabela de Similaridade entre os coeficientes da TW dos ciclos

card´ıacos dos pacientes da Tabela 2.1 usando Morlet. . . 49 6.2 Tabela de Similaridade entre os coeficientes da TW dos ciclos

card´ıacos dos pacientes da Tabela 2.1 usando Chap´eu Mexicano. . 50 6.3 Tabela de Similaridade entre os coeficientes da TW dos ciclos

card´ıacos dos pacientes da Tabela 2.1 usando a WaveletDNAx2. . 51 6.4 Tabela de Similaridade entre os coeficientes da TW dos ciclos

card´ıacos dos pacientes da Tabela 2.1 usando a WaveletDNAxQuadrada. 52 6.5 Tabela de Similaridade entre os coeficientes da TW dos ciclos

card´ıacos dos pacientes da Tabela 2.1 usando a WaveletDNAx-CosJanelado. . . 53 6.6 Tabela de Similaridade entre os coeficientes da TW dos ciclos

card´ıacos dos pacientes da Tabela 2.1 usando a 1a _{derivada do}

PulsoDNAx4. . . 54 6.7 Tabela de Similaridade entre os coeficientes da TW dos ciclos

PulsoDNAx4. . . 55 x

(14)

LISTA DE TABELAS xi

6.8 Tabela de Similaridade entre os coeficientes da TW dos ciclos card´ıacos dos pacientes da Tabela 2.1 usando a 3a _{derivada do}

PulsoDNAx4. . . 58 6.11 Tabela de Similaridade M´edia e Desvio Padr˜ao entre os coeficientes

da TW usando Morlet dos ciclos do grupo de pacientes com I.M anterior e os outros grupos patológicos. . . 59 6.12 Tabela de Similaridade Média e Desvio Padrão entre os coeficientes

da TW usando Chapéu Mexicano dos ciclos do grupo de pacientes com I.M anterior e os outros grupos patológicos. . . 60 6.13 Tabela de Similaridade Média e Desvio Padrão entre os coeficientes

da TW usando Waveletdnax2 dos ciclos do grupo de pacientes com I.M anterior e os outros grupos patológicos. . . 61 6.14 Tabela de Similaridade Média e Desvio Padrão entre os coeficientes

da TW usando WaveletDNAxQuadrada dos ciclos do grupo de pacientes com I.M anterior e os outros grupos patológicos. . . 62 6.15 Tabela de Similaridade Média e Desvio Padrão entre os coeficientes

da TW usando WaveletDNAxCosJanelado dos ciclos do grupo de pacientes com I.M anterior e os outros grupos patológicos. . . 63 6.16 Tabela de Similaridade Média e Desvio Padrão entre os coeficientes

da TW usando 1a_{derivada do PulsoDNAx4 dos ciclos do grupo de}

pacientes com I.M anterior e os outros grupos patológicos. . . 64 6.17 Tabela de Similaridade Média e Desvio Padrão entre os coeficientes

(15)

Lista de Abreviaturas e Siglas

avf avl avr Varia¸cão das Deriva¸cões dos Membros DC Tensão com corrente cont´ınua

DNAx Nome fantasia patenteado que reúne as letras usadas nas equa¸cões, sendo D a constante de deslocamento da fun¸cão geradora dos pulsos, N é o expoente da equa¸cão exponencial e define o tempo de subida dos pulsos, A é a constante que define a largura dos pulsos e x é a fun¸cão base, fun¸cão geradora dos pulsos. ECG Eletrocardiograma

FC Constante dependente ou freq¨uˆencia central da wavelet

Hz Hertz

I II III Deriva¸c˜ao dos Membros I.M Infarto do Mioc´ardio LSB Least Signal Bit

Nódulo AV Nódulo Átrio-Ventricular Nódulo SA Nódulo Sino-Atrial

PTB Physikalisch-Technische Bundesanstalt P Contra¸c˜ao Atrial do Sinal de ECG QRS Contra¸c˜ao Ventricular do Sinal de ECG RMS Root Mean Squared

(16)

xiii

TF Transformada de Fourier Ts Per´ıodo de amostragem TW Transformada Wavelet T Repolariza¸c˜ao Ventricular V(pp) Volts de pico a pico V1 - V6 Deriva¸c˜oes do Peitoral V Volt

(17)

Lista de S´ımbolos

a constante da equa¸c˜ao DNAx ai e bi Coeficientes do filtro recursivo

f Freq¨uˆencia

f (x) Fun¸cão arbitrária da equa¸cão DNAx

kψ Constante dependente ou freq¨uˆencia central da wavelet

n expoente da equa¸c˜ao DNAx n n´umero da amostra

N Total de similaridades ou correla¸c˜oes entre dois grupos patol´ogicos Ω Omega

Ψψ

x(τ, s) Transformada Wavelet de x com a fun¸c˜ao de transforma¸c˜ao ψ

ψ Fun¸cão de Transforma¸cão ou mother wavelet PD(x) Polinômio D de x

PN(x) Polinˆomio N de x

q(t) Representa¸c˜ao convencional de um pulso quadrado ¯

R Média das correla¸cões ou similaridade média entre dois grupos pa-tológicos

Rmax Valor m´aximo da correla¸c˜ao cruzada entre dois sinais

Rxy(t) Correla¸c˜ao cruzada entre x(t) e y(t)

Rxy(τ, s) Correla¸c˜ao cruzada bi-dimensional

Rx Auto-correla¸c˜ao de x(t)

Ry Auto-correla¸c˜ao de y(t)

s Escala na Transformada Wavelet

(18)

xv

σ Desvio padr˜ao σ2 _Variˆancia

t vari´avel de tempo τ Transla¸c˜ao

τ Vari´avel que indica deslocamento ou transla¸c˜ao no tempo T Wψ

x Transformada Wavelet de x com a fun¸c˜ao de transforma¸c˜ao ψ

ts tempo de transi¸c˜ao de subida e descida dos pulsos

V ar(·) Variˆancia

W Largura da janela operacional do Pulso DNAx x fun¸c˜ao base da equa¸c˜ao DNAx

x(t), x(n) Sinal no dom´ınio do tempo

x(T, E) matriz de valores da TW de ciclos card´ıacos y(t), y(n) Sinal no dom´ınio do tempo

y(T, E) matriz de valores da TW de ciclos card´ıacos y(x) Equa¸c˜ao DNAx

ya(x) Forma geral tipo a da equa¸c˜ao DNAx

yb(x) Forma geral tipo b da equa¸c˜ao DNAx

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Resumo

O propósito desse trabalho é avaliar os benef´ıcios do uso da Transformada Wavelet (TW) com o pulso DNAx como mother wavelets no reconhecimento de padrões em sinais de ECGs.

Foram usados 50 pacientes divididos em 9 grupos de patologias diferentes, mais um grupo de pacientes saudáveis. Apenas um ciclo card´ıaco correspondente à deriva¸cão I foi usado como referência para cada um dos pacientes.

No primeiro teste, o método da correla¸cão temporal foi empregado para men-surar a similaridade entre os ciclos do grupo de pacientes com Infarto do Miocárdio anterior e, depois, desse grupo com todos os outros grupos existentes nesse tra-balho.

No segundo teste, a similaridade foi estimada usando a correla¸cão cruzada bidimensional entre os coeficientes da TW dos ciclos card´ıacos. As transformadas foram calculadas usando as fun¸cões de transforma¸cão tradicionais e outras obtidas através de uma técnica chamada de DNAx, criada e patenteado por Caputo.

A compara¸c˜ao dos testes mostra que, quase na totalidade dos casos, a TW associada ao pulso DNAX obteve bons resultados e, em alguns casos, melhores do que as fun¸c˜oes tradicionais.

Palavras-chave: Transformada Wavelet, ECG, Processamento Digital de Sinais, T´ecnica DNAx.

(20)

Abstract

The purpose of this work is to measure and establish the benefits of the Wavelet Transform (WT) , using the DNAx pulses as mother wavelets at the patterns recognition in ECG signals.

It was used 50 patients divided in 9 different pathological groups, and one more group of health patients. Only one cardiac cycle from the lead I was used as a reference for each of the patient.

At the first test, time correlation was used to measure the similarity between the cardiac cycles of the group of patients with Myocardial Infarction anterior, and after between this group and every group of this work.

On the second test, the similarity was estimated using the bi-dimensional cross correlation between the WT coefficients of the cardiac cycles. The transfor-mations were calculated using the two traditional wavelets and others obtained by a technique called DNAx created and patentiated by Caputo.

The test comparison showed that, in almost the totality of the cases, the WT associated to the DNAx pulse obtained good results, and in some cases better than the traditional functions.

Keywords: Wavelet Trasform, ECG, Digital Signal Processing, DNAx Technique.

(21)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜

ao

O cora¸cão é o principal órgão do sistema circulatório de qualquer animal. No corpo humano ele é capaz de bombear em torno de 5 litros de sangue através de 60-80 batimentos por minuto quando está em repouso, e de 15 a 20 litros através de 120 a 160 batimentos em atividade, durante uma atividade f´ısica. A Figura 1.1 apresenta uma visão frontal do cora¸cão. As atividades de contra¸cão e relaxamento são controladas por est´ımulos elétricos gerados pelos nódulos, sinoatrial(SA) e atrioventricular(AV) [1], [2], [3].

Figura 1.1: Representa¸cão das câmaras card´ıacas e do sistema de condu¸cão elétrica

do cora¸c˜ao (extra´ıdo de [1]).

O eletrocardiograma(ECG) é uma representa¸cão gráfica das atividades elétricas de despolariza¸cão e repolariza¸cão das células card´ıacas, que resultam na contra¸cão e relaxamento de átrios e ventr´ıculos. Um cardiologista pode diagnosticar vários tipos de arritmias card´ıacas e outras patologias ao analisar visualmente o ECG de um paciente. Porém, em muitos casos a similaridade entre sinais de ECGs de diferentes patologias podem acarretar em diagnósticos imprecisos ou errôneos.

Devido a este fato, surge a necessidade de estudar novas ferramentas para auxiliar os profissionais de saúde. Supondo que um sinal card´ıaco possa ser repre-sentado por uma fun¸cão matemática, deduz-se então que uma análise matemática pode ser uma ferramenta de fundamental importância para um diagnóstico

(22)

1.1. OBJETIVO 2

quado. Através do processamento digital de sinais é poss´ıvel adquirir e manipular esses sinais para que, após processados, eles possam maximizar caracter´ısticas comuns para sinais de um mesmo grupo patológico, o que resultará em um au-mento de similaridade entre sinais de pacientes com a mesma patologia e uma diminui¸cão dessa similaridade entre sinais de pacientes com patologias diferentes, aumentando a confiabilidade nos diagnósticos automáticos.

Existem várias maneiras de maximizar caracter´ısticas comuns de sinais de ECG usando artif´ıcios matemáticos, no entanto, a Transformada Wavelet (TW) será a estudada nessa disserta¸cão. De acordo com Stark, o estudo da TW come¸cou na metade da década de 80, devido à necessidade de estudar sinais advindo de abalos s´ısmicos, terremotos, de uma maneira mais precisa do que era feita pela Transformada de Fourier (TF) [4]. A caracter´ıstica de fornecer não apenas as componentes de freqüência contidas em um sinal, mas também seus intervalos de ocorrência, fez da TW um sucesso na resolu¸cão de diversos tipos de problemas relacionados ao processamento de sinais.

Como foi mencionado, os sinais de ECGs representam o estado fisiológico de um cora¸cão. Porém,altera¸cões no tra¸cado de ECG, causadas por patologias, distingu´ıveis analisando esse sinal apenas no dom´ınio do tempo, onde padrões ou caracter´ısticas singulares de determinada patologia não são suficientemente relevantes para poder diferenciá-la de outras. No entanto, caracter´ısticas próprias da TW fazem com que caracter´ısticas particulares a determinadas patologias sejam exaltadas. Como resultado, as TWs dos sinais de ECG de um mesmo grupo patológico possuem maior semelhan¸ca, enquanto que, para grupo com patologias diferentes, essa semelhan¸ca diminui.

Além da caracter´ıstica de fornecer representa¸cões de sinais nos dom´ınios do tempo e da freqüência, a TW possui outra vantagem, que é a de permitir a escolha da fun¸cão de transforma¸cão. Cada fun¸cão de transforma¸cão valoriza ou maximiza diferentes caracter´ısticas do sinal a ser transformado, flexibilizando o resultado da transformada de qualquer sinal. Este trabalho visa estudar a aplica¸cão de uma técnica recente de gera¸cão de sinais ou pulsos, chamada de técnica DNAx criada por Caputo [5]. Nesta nova técnica, através da varia¸cão de seus parâmetros torna-se poss´ıvel a cria¸cão e manipula¸cão de pulsos, que com os devidos ajustes podem passar a ser usados como fun¸cões de transforma¸cão da TW.

1.1 Objetivo

O objetivo principal deste trabalho é desenvolver um método para melhorar a confiabilidade de pré-diagnósticos de doen¸cas card´ıacas. De acordo com o estado da arte foi verificado que a TW já vinha sendo aplicada em engenharia biomédica,

(23)

1.1. OBJETIVO 3

[4], [6], nas seguintes ´areas:

• Compress˜ao de dados, inclusive de sinais de ECG;

• Reconstru¸cão de imagens de Ressonância Magnética e Tomografia Com-putadorizada;

• Para maximizar certas caracter´ısticas particulares dos sinais durante sua an´alise, inclusive o ECG, podendo deixar sinais de mesmo grupo pa-tol´ogico com uma maior semelhan¸ca.

Considerando a hipótese de que a TW poderia atingir esse objetivo e que o pulso DNAx poderia maximizar os resultados, resolveu-se combinar estas duas técnicas. O próximo passo é aprender quais fatores eram importantes para fazer a TW de um ciclo card´ıaco e como conseguir fazer da Técnica DNAx uma fonte de wavelets. Após a obten¸cão desse objetivo empregou-se o método da Correla¸cão Bidimensional para medir a similaridade entre as representa¸cões das TWs dos ciclos card´ıacos. O método da correla¸cão temporal dos ciclos card´ıacos foi usado como referência para averiguar se a TW combinada com o pulso DNAx forneceu ou não alguma melhora, esse método foi escolhidos porque é o método mais usado para medir similaridades entre dois sinais. Independentemente de ser a melhor ou a pior deriva¸cão para essa ou aquela patologia, a deriva¸cão I do ECG foi a escolhida para a elabora¸cão desse trabalho pelo fato de ser a primeira e a mais comum, deixando a análise das outras deriva¸cões para trabalhos futuros.

O banco de dados empregado para realizar os testes de similaridades, entre os ciclos card´ıacos correspondentes à deriva¸cão I, continha ECGs de 294 pacientes, dos quais foram usados 50 pacientes divididos em 9 grupos de patologias difer-entes, mais um grupo de pacientes saudáveis. Apenas um ciclo card´ıaco foi usado como referência para cada um dos pacientes.

Esta disserta¸cão consta de 7 cap´ıtulos. O 2º cap´ıtulo faz alguns comentários sobre o sinal de ECG, a fisiologia e o funcionamento do cora¸cão bem como so-bre o banco de dados. O 3º cap´ıtulo faz um resumo da técnica DNAx. No 4º cap´ıtulo é apresentado a técnica da correla¸cão temporal e os respectivos resulta-dos. No 5º cap´ıtulo são apresentados alguns conceitos básicos sobre a TW e a gera¸cão de mother wavelets à partir do pulso DNAx. No 6º cap´ıtulo são mostra-dos os resultamostra-dos da aplica¸cão das mother wavelets gerada no reconhecimento de padrões patológicos usando os dados dispon´ıveis. No 7º cap´ıtulo são feitas as conclusões através da apresenta¸cão e discussão dos resultados obtidos com os métodos pesquisados.

(24)

Cap´ıtulo 2

Eletrocardiograma

2.1 Introdu¸c˜

ao

O ECG é um registro gráfico das atividades elétricas card´ıacas [1]. Como a maio-ria das patologias estão diretamente relacionadas à forma temporal dessas ativi-dades, a análise gráfica do ECG tornou-se um dos mais úteis e eficazes métodos no aux´ılio do diagnóstico de disfun¸cões card´ıacas, podendo ser realizado em qualquer consultório médico.

2.2 Anatomia do cora¸c˜

ao

O cora¸cão é uma bomba muscular oca dividida em quatro câmaras chamadas de átrios direito e esquerdo e ventr´ıculos direito e esquerdo. O músculo card´ıaco é formado por tecidos especializados muscular (atrial e ventricular), nodal (nódulo sino-atrial e nódulo átrio-ventricular), de Hiz e de Purkinje. As respectivas jun¸cões são excitabilidade e contraibilidade (muscular), autointrincidade (NSA e NAV) e condutibilidade (His e Purkinje). A parede muscular do cora¸cão possui 4 camadas, que são o epicárdio, pericárdio, miocárdio, endocárdio [1], [2], [3].

O cora¸cão também possui um conjunto de 4 válvulas, denominadas, tricúspide, válvula da artéria pulmonar, válvula da artéria aorta, válvula bicúspide ou mitral, duas coronárias (direita e esquerda), e dois nódulos (sinoatrial(SA) e atrioven-tricular(AV)). O nódulo sinoatrial é uma pequena tira achatada de fibras sinusais localizada na parede lateral superior do átrio direito. O nódulo atrioventricular situa-se na parede posterior septal do átrio direito, desse sai o feixe AV ou de HIS como pode ser visto na Figura 2.1.

(25)

2.2. ANATOMIA DO CORAC¸ ˜AO 5

Figura 2.1: Representa¸cão das câmaras card´ıacas e do sistema de condu¸cão elétrica

do cora¸c˜ao (extra´ıdo de [1]).

2.2.1 A fisiologia do cora¸c˜

ao

Os átrios têm a fun¸cão de receber o sangue venoso ou arterial e enviá-los para os ventr´ıculos. O ventr´ıculo direito bombeia o sangue venoso do cora¸cão para os pulmões, enquanto o esquerdo bombeia o sangue arterial do cora¸cão para o restante do corpo [1].

As válvulas são responsáveis por impedir o refluxo sangü´ıneo entre suas câmaras internas, artérias e veias, enquanto as artérias coronárias têm a fun¸cão de nutrir o cora¸cão [1].

Os músculos atriais e ventriculares se contraem de forma bem semelhante aos músculos esqueléticos, porém com um tempo de contra¸cão maior. As fibras excitatórias e condutoras contraem de um modo fraco, pois como o próprio nome sugere, suas fun¸cões são a excita¸cão e a condu¸cão do potencial elétrico emitido pelos nódulos [2].

O nódulo SA têm a fun¸cão de gerar um potencial de a¸cão que será conduzido por todo o músculo atrial e resultando em sua contra¸cão; isto fará com que todo o sangue seja transferido para os ventr´ıculos. O nódulo AV recebe este impulso elétrico gerado pelo nódulo SA e produz um retardo temporal, tempo suficiente para que todo sangue seja transferido dos átrios para os ventr´ıculos. Após, este impulso é retransmitido para os ventr´ıculos através do feixe de HIS e da rede de Purkinje, resultando na contra¸cão dos ventr´ıculos [2].

(26)

2.2. ANATOMIA DO CORAC¸ ˜AO 6

2.2.2 O ciclo card´ıaco

O ciclo card´ıaco é uma seqüencia de fenômenos elétricos e f´ısicos, encadeados entre si, que acontece no cora¸cão a cada batimento. A Figura 2.2 mostra uma representa¸cão didática das etapas de forma¸cão de um ciclo card´ıaco do ponto de vista elétrico. Esse ciclo come¸ca com a gera¸cão de um potencial elétrico no nódulo SA, o qual é conduzido pelo átrio através das Vias Internodais e Interatriais e absorvido, retardado e retransmitido pelo nódulo AV, sendo conduzido por todo o ventr´ıculo pelo feixe de His e e pela rede de Pukinje e suas ramifica¸cões. Após a contra¸cão ventricular ocorre a repolariza¸cão do mesmo, deixando o cora¸cão no ponto inicial para um novo ciclo, [3].

Figura 2.2: Representa¸cão das atividades elétricas de várias regiões do cora¸cão

(ex-tra´ıdo de [7]).

Essa atividade elétrica é registrada através do ECG. O nódulo SA gera o potencial de a¸cão que despolariza as fibras dos átrios produzindo um sinal de-nominado de onda P. Este mesmo potencial ao passar pelos ventr´ıculos produz uma segunda forma de onda de maior complexidade, denominada de onda QRS. A última forma de onda é produzida pela repolariza¸cão ventricular, chamada de onda T. A repolariza¸cão atrial é mascarada pela despolariza¸cão ventricular [1], [2].

O intervalo entre o come¸co da onda P e o da onda QRS, chamado de intervalo P-Q ou P-R, devido a ausência da onda Q em alguns casos, é de no máximo 160 ms. O intervalo entre o come¸co da onda Q e o fim da onda T, chamado de intervalo Q-T, é de no máximo 360 ms [2] e [3]. Portanto, a dura¸cão de um ciclo card´ıaco completo é de no máximo 500 ms.

(27)

2.3. ELETROCARDI ´OGRAFO 7

Figura 2.3: Forma de onda de um ciclo card´ıaco (extra´ıdo de [1]).

2.3 Eletrocardi´

ografo

O eletrocardiógrafo é baseado em um galvanômetro, aparelho que mede a diferen¸ca de potencial entre eletrodos dispostos em pontos espec´ıficos na superf´ıcie da pele do paciente [1].

Os eletrodos de um eletrocardiógrafo podem ser dispostos em qualquer ponto da superf´ıcie do corpo humano. Porém, para haver uma padroniza¸cão nas medi-das e análise, alguns pontos foram definidos como padrão, e assim chamados de deriva¸cões do ECG. O primeiro grupo de pontos a ser usado é composto pelas deriva¸cões bipolares ou de membros, também chamado de triângulo de Einthoven, responsáveis pelas deriva¸cões i, ii e iii, como mostra a Figura 2.4.

Figura 2.4: Deriva¸c˜oes do Triˆangulo de Einthoven (extra´ıdo de [1]).

Geralmente, um ECG é obtido a partir de 12 deriva¸cões: • Três formadas pelo triângulo de Einthoven i, ii, iii;

(28)

2.3. ELETROCARDI ´OGRAFO 8

• Seis deriva¸c˜oes unipolares ou precordiais (V1, V2, V3, V4, V5, V6), que foram acrescentadas por Charles Wolferth e Francis Wood em 1932 como pode ser visto na Figura 2.5.

Figura 2.5: Disposi¸c˜oes das Deriva¸c˜oes Unipolares (extra´ıdo de [1]).

Cada deriva¸cão tem sua caracter´ıstica própria, sendo menos ou mais eficiente para a análise e o diagnóstico de determinada patologia. Como foi mencionado no Cap´ıtulo 1, independentemente de ser a melhor ou a pior deriva¸cão para essa ou aquela patologia, a deriva¸cão I do ECG foi a escolhida para a elabora¸cão desse trabalho, essa foi escolhida pelo fato de ser a primeira e a mais comum, deixando assim as outras para trabalhos futuros.

Figura 2.6: Exemplo das 15 deriva¸c˜oes de um ECG para um paciente saud´avel

(29)

2.4. BANCO DE DADOS 9

Além dos eletrocardiógrafos convencionais, o quais fazem aquisi¸cões das ativi-dades elétricas card´ıacas e as e imprimem, existem também eletrocardiógrafos interpretativos que usam algoritmos para pré-diagnosticar algumas patologias card´ıacas. Cada fabricante usa o seu algoritmo, onde o desempenho e o ´ındice de acertos variam de fabricante para fabricante e de doen¸cas a serem diagnosticadas. Dois exemplos de algoritmos são o Philips 12-Lead Algorithme o Holter PCH100. Como foi mencionado no Cap´ıtulo 1, o objetivo deste trabalho é testar e verificar se a TW com o auxilio do pulso DNAx oferecem uma confiabilidade boa para que possam vir a serem usados totalmente ou parcialmente em algoritmos interpretativos de ECGs.

2.4 Banco de dados

As amostras de ECGs conseguidas para a confec¸c˜ao desse trabalho foram obtidas pelo Departamento de Cardiologia do National Metrology Institute of Germany e pertencentes ao banco de dados Physikalisch-Technische Bundesanstalt (PTB).

2.4.1 Physikalisch-Technische Bundesanstalt (PTB)

Para fins de pesquisa e educa¸cão, o National Metrology Institute of Germany disponibiliza cópias digitalizadas de ECGs coletados de pacientes saudáveis e apresentando diferentes patologias. O banco de dados Physikalisch-Technische Bundesanstalt (PTB) que pode ser obtido gratuitamente no endere¸co:

http://www.physionet.org/physiobank/database/ptbdb/. O gravador de ECG do PTB possui as seguintes especifica¸c˜oes:

• Número de canais igual a 16 canais de entrada, (14 para ECGs, 1 para respira¸cão, 1 para tensão de alimenta¸cão de ECG);

• Tensão de entrada: ±16 mV, tensão de ajuste de compensa¸cão de até ±300 mV;

• Resistˆencia de Entrada: 100 Ω; • Resolu¸c˜ao: 16 bits com 0.5 µV/LSB; • Largura de Faixa: 0 - 500 kHz;

• N´ıvel de Ru´ıdo: m´aximo de 10 µV(pp) e 3 µV(RMS) com canal de entrada em curto-circuito;

(30)

• N´ıvel de ru´ıdo gravado durante a coleta do sinal;

No total, o banco de dados contém 549 grava¸cões de 294 pacientes, cada grava¸cão contém 15 sinais medidos simultaneamente: as 12 deriva¸cões conven-cionais (i, ii, iii, avr, avl, avf, v1, v2, v3, v4, v5, v6) e mais as 3 deriva¸cões de Frank (vx, vy, vz). Cada sinal foi amostrado a uma taxa de 1ksps, com 16 bits de resolu¸cão sobre um leque de ±16, 384 mV. Cada ECG possui um cabe¸calho contendo detalhes cl´ınicos do paciente como idade, sexo, diagnóstico, histórico médico, medica¸cão utilizada e interven¸cão.

Para esse trabalho foi usada a primeira deriva¸cão dos ECGs de 50 pacientes divididos em grupos patológicos, conforme listados na Tabela 2.1, onde um ciclo card´ıaco de um paciente de cada uma das patologias usadas estão exemplificadas nas Figuras 2.7(a), 2.7(b), 2.7(c), 2.7(d), 2.7(e), 2.7(f), 2.8(a), 2.8(b), 2.8(c), 2.8(d). A referência dada pelo banco de dados a cada paciente foi mantida para que futuras consultas possam ser feitas e uma breve descri¸cão de cada patologia esta dada abaixo.

• Infarto do Miocárdio é a morte das células do músculo card´ıaco (miocárdio), que ocorre quando o fluxo sangü´ıneo que irriga uma determinada região do cora¸cão sofre uma interrup¸cão súbita e intensa;

• Hipertrofia do Miocárdio é um aumento no tamanho do cora¸cão causando uma desconforto no peito e dor;

• Problemas Valvulares são disfun¸cões card´ıacas causadas por mal ou não funcionamento das válvulas;

• Bloqueio de Ramo é quando o impulso elétrico advindo do nódulo átrio-ventricular não passa através de um dos ramos do feixe de His.

(31)

Tabela 2.1: Tabela de patologias e seus respectivos pacientes.

PATOLOGIAS GRUPO DE PACIENTES

Infarto do Mioc´ardio anterior Paciente007, Paciente014, Paciente081

Paciente128, Paciente273

Infarto do Mioc´ardio ˆantero-lateral Paciente048, Paciente069, Paciente073

Infarto do Mioc´ardio ˆantero-septal Paciente013, Paciente036, Paciente039

Infarto do Mioc´ardio inferior Paciente012, Paciente035, Paciente066

Infarto do Mioc´ardio ´ınfero-lateral Paciente016, Paciente017, Paciente059

Infarto do Mioc´ardio ´ınfero-p´ostero-lateral Paciente003, Paciente065, Paciente080

Hipertrofia do Mioc´ardio Paciente159, Paciente212, Paciente216

Problemas Valvulares Paciente106, Paciente107, Paciente110

Saud´aveis Paciente104, Paciente117, Paciente121

Bloqueio de Ramo Paciente171, Paciente175, Paciente203

(32)

2.4. BANCO DE DADOS 12 100 200 300 400 500 600 −200 −100 0 100 200 300 400 500 600 Tempo(ms) i(uV)

(a) Ciclo do paciente 007

100 200 300 400 500 600 −100 0 100 200 300 400 500 600 700 Tempo(ms) i(uV) (b) Ciclo do paciente 048 100 200 300 400 500 600 −100 0 100 200 300 400 500 600 Tempo(ms) i(uV) (c) Ciclo do paciente 013 100 200 300 400 500 600 −200 −100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 Tempo(ms) i(uV) (d) Ciclo do paciente 012 100 200 300 400 500 600 0 200 400 600 800 1000 Tempo(ms) i(uV)

(e) Ciclo do paciente 016

100 200 300 400 500 600 −100 0 100 200 300 400 500 Tempo(ms) i(uV) (f) Ciclo do paciente 003

Figura 2.7: Exemplos de Ciclos Card´ıacos da Deriva¸c˜ao i de pacientes com diferentes

patologias.

(33)

2.4. BANCO DE DADOS 13 100 200 300 400 500 600 0 200 400 600 800 1000 1200 Tempo(ms) i(uV)

(a) Ciclo do paciente 159

100 200 300 400 500 600 −200 0 200 400 600 800 1000 Tempo(ms) i(uV) (b) Ciclo do paciente 106 100 200 300 400 500 600 0 100 200 300 400 500 600 Tempo(ms) i(uV) (c) Ciclo do paciente 104 100 200 300 400 500 600 −200 0 200 400 600 800 Tempo(ms) i(uV) (d) Ciclo do paciente 171

Figura 2.8: Exemplos de Ciclos Card´ıacos da Deriva¸c˜ao i de pacientes com diferentes

patologias.

(34)

Cap´ıtulo 3

A T´

ecnica DNAx

3.1 Introdu¸c˜

ao

A busca para alcan¸car n´ıveis tecnol´ogicos mais elevados, para o desenvolvimento da engenharia, produz a necessidade de criar novas ferramentas e avan¸car fron-teiras no conhecimento da matem´atica.

A técnica DNAx criada em 2006 por Robinson Gaudino Caputo. Pelo fato dessa permitir criar, representar e manipular sinais simples, complexos, periódicos ou não, usando um conceito simples e flex´ıvel, essa equa¸cão pode ser capaz de suprir muitos gargalos que a engenharia atual possui, podendo vir a ser muito ´

util em diversas aplica¸c˜oes, como exemplo:

• O pulso quadrado possui uma representa¸cão matemática, dada por q(t) =    1, se t1 ≤ t ≤ t2 0, caso contrário (3.1) o que acarreta na indefini¸cão de valores nas transi¸cões. Através da técnica DNAx, um pulso quadrado será aproximado por uma fun¸cão cont´ınua; • Na cria¸cão de equa¸cões que representam sinais que ainda não possuem

rep-resenta¸cão matemática definida, como por exemplo sinais biológicos, UWB, e muitos outros;

• Na cria¸cão de wavelets mães e suas derivadas, que servem de fun¸cão de transforma¸cão para a Transformada Wavelet.

(35)

3.2. TEORIA FUNDAMENTAL 15

Esses fatores, e muitos outros que podem vir a ser descobertos, fazem dessa uma técnica promissora e muito útil para diversas aplica¸cões.

3.2 Teoria fundamental

O ponto de partida para o desenvolvimento do pulso DNAx é através da razão entre dois polinômios, PD(x) e PN(x), respectivamente definidos por [8]:

PD(x) = 1 + (ax)2n (3.2)

PN(x) = 1 − (ax)2n (3.3)

onde n ∈ N∗_.

As Figuras 3.1(a) e 3.1(b) mostram os pulsos gerados através do uso dos polinômios dados por (3.2) e (3.3), usando diversos valores de n para a = 1. Quanto maior o valor de n, mais acentuada será a varia¸cão da amplitude do polinômio nas proximidades do ponto para x = ±1.

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 PD (x) x n = 1 n = 2 n = 4 n = 8 a = 1 (a) −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 x PN (x) n = 1 n = 2 n = 4 n = 8 a = 1 (b)

Figura 3.1: Representa¸cões gráficas dos polinômios PD(x) e PN(x).

3.3 Formato b´

asico da equa¸c˜

ao DNAx

A forma básica da equa¸cão DNAx foi desenvolvida a partir da divisão dos polinômios PN e PD, o que resulta em

(36)

3.3. FORMATO B ÁSICO DA EQUAÇ ÃO DNAX 16 y(x) = PN PD = 1 − (ax) 2n 1 + (ax)2n (3.4)

Esta equa¸cão representa um pulso cont´ınuo centrado na origem dos eixos com tempo de transi¸cões e largura variando em fun¸cão dos parâmetros n e a. O parâmetro a define os pontos onde a amplitude do sinal passa pelo zero, Pe(−1/a, 0) e Pd(1/a, 0), denominados de limites esquerdo e direito do pulso,

respectivamente, conforme mostram as Figuras 3.2(a) e (b).

O tempo de transi¸cão dos pulsos, idêntico na subida e descida, é dado por: ts =

1

a · n (3.5) e depende dos parâmetros a e n. Porém, na prática, como a já está definindo a largura do pulso, cabe ao n a fun¸cão de ajustar os tempos de transi¸cões, os quais aproximam-se de zero à medida que n → ∞, como mostrado na Figura 3.2(a).

A largura do pulso W , tamb´em chamada de largura da janela operacional, ´e dada por

W = 2

a (3.6)

conforme pode ser visto na Figura 3.2(b).

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 y(x) x n = 1 n = 2 n = 4 n = 50 a = 1 (a) −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 x y(x) a = 1 a = 2 a = 4 a = 8 n = 100 (b)

(37)

3.4. FORMA GERAL DA EQUAC¸ ˜AO DNAX 17

3.4 Forma geral da equa¸c˜

ao DNAx

Acrescentando uma fun¸cão f (x) arbitrária na equa¸cão básica dada em (3.4), obtém-se a equa¸cão DNAx na forma generalizada dada por

y(x) = f (x) − (ax)

2n

1 + (ax)2n . (3.7)

Após algumas manipula¸cões definidas em [5],[8] e [9] chega-se a três formas gerais completas , dadas por

ya(x) =f(x) + (ax)2n [1−(ax)2n] (3.8) yb(x) =1 + (ax)2n [1−(ax)2n] (3.9) yc(x) = f(x) + (ax)2n [−(ax)2n] (3.10) Estas pequenas varia¸cões entre as equa¸cões torna uma mais útil que a outra, dependendo da aplica¸cão.

3.4.1 Fun¸c˜

ao arbitraria f (x)

O emprego das equa¸cões (3.7), (3.8) e (3.10) tem como uma de suas carac-ter´ısticas representar fun¸cões arbitrárias dentro de sua janela de opera¸cão dada por (3.6). As Figuras 3.3(a) e 3.3(b) representam (3.7) para a = 1, n = 50 e f (x) = 1 + 0.2cos(2πx) e f (x) = 1, respectivamente, mostrando que qualquer fun¸cão arbitrária f (x) pode ser representada dentro da janela operacional. Este procedimento é análogo a opera¸cão de janelamento temporal.

(38)

3.4. FORMA GERAL DA EQUAC¸ ˜AO DNAX 18 −1.50 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 0.5 1 1.5 y(x) x a = 1 n = 50 f(x) = 1 + 0.2.cos(2.pi.x) (a) −1.50 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 0.5 1 1.5 y(x) x a = 1 n = 50 f(x) = 1 (b)

Figura 3.3: Representa¸cões gráficas de y(x) em fun¸cão de f (x).

3.4.2 Fun¸c˜

ao base x(t) da equa¸c˜

ao DNAx

Cada pulso é gerado em fun¸cão de x(t) ou x, fun¸cão base do pulso DNAx. O pico ou ponto de simetria de cada pulso é centralizado no instante em que a fun¸cão base atinge seu menor valor em módulo. As Figuras 3.4(a) e 3.4(b) representam pulsos DNAx que foram gerados usando rampas com inclina¸cões diferentes como fun¸cão base e f (x) = 1. −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 yc (x(t)) e x(t) t y c(x(t)) x(t) = t (a) −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 yc (x(t)) e x(t) t y c(x(t)) x(t) = 2t (b)

Figura 3.4: Representa¸c˜ao de (3.10) para f (x) = 1 e fun¸c˜ao base x(t) variando

linearmente como uma rampa com diferentes inclina¸c˜oes.

Qualquer fun¸cão, continua ou não, pode servir de fun¸cão base para gerar os pulsos DNAx. A Figura 3.5 mostra um pulso DNAx sendo gerado usando um cosseno como fun¸cão base. Neste caso, vários pulsos DNAx foram gerados isso porque a fun¸cão base é periódica.

(39)

3.4. FORMA GERAL DA EQUAC¸ ˜AO DNAX 19 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 yc (x(t)) e x(t) t y c(x(t)) x(t) = cos(2πt)

Figura 3.5: Representa¸c˜ao de 3.9 para para f(x) = 1, a = 1 e n = 1 e a fun¸c˜ao base

x(t) variando em fun¸c˜ao de um cosseno.

(40)

Cap´ıtulo 4

Medidas de similaridade usando

correla¸c˜

ao temporal

4.1 Introdu¸c˜

ao

A correla¸cão cruzada é uma opera¸cão matemática que entre muitas defini¸cões tem a fun¸cão de medir a similaridade entre duas variáveis ou sinais. Dado que as deriva¸cões de um ECG também são sinais que representam amplitudes no dom´ınio do tempo, e considerando que cada patologia possui caracter´ısticas próprias nesses dom´ınios, conclui-se que verificar a similaridade entre ciclos pode ser uma ferra-menta útil para medir a probabilidade de um paciente possuir ou não alguma disfun¸cão.

4.2 Filtragem do ECG

Segundo [3], mau contato de eletrodos, movimentos bruscos com bra¸cos e pernas e com o peito ao respirar, durante a aquisi¸cão do ECG podem acrescentar ru´ıdos de baixa freqüência ass´ım como acréscimo de tensão DC nesses sinais, conforme mostrado na Figura 4.1(a).

(41)

4.2. FILTRAGEM DO ECG 21 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 −1800 −1700 −1600 −1500 −1400 −1300 −1200 −1100 −1000 −900 tempo(ms) i(uV)

(a) Sinal de ECG com ru´ıdos de baixa freq¨uˆencia e

n´ıvel DC. 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 −200 −100 0 100 200 300 400 500 tempo(ms) i(uV)

(b) Sinal de ECG da Figura 4.1(a) depois de fil-trado.

Figura 4.1: Representa¸c˜oes de Sinais de ECG com e sem componentes de baixa

freq¨uˆencia.

Um filtro digital recursivo Butterworth do tipo passa alta com freqüência de corte 0,5 Hz de 3a _{ordem é suficiente para remover essas componentes com o}

m´ınimo de perda de informa¸c˜ao do sinal. Os sinais de todos os pacientes foram filtrados usando a seguinte equa¸c˜ao de diferen¸cas:

y[n] = a0x[n] + 3 X i=1 n≥i aix[n − i] − bix[n − i] (4.1)

e com a respectiva configura¸c˜oes para os coeficientes: a0 = 0, 9968633356971 a1 = −2, 990590007091 a2 = 2, 990590007091 a3 = −0, 9968633356971 b1 = −2, 993716817277 b2 = 2, 987453358243 b3 = −0, 9937365100571

A Figura 4.1(b) mostra o sinal de ECG depois de processado usando o filtro dado por (4.1), com sua resposta em Magnitude e Fase representada pelas Figuras 4.2(a) e 4.2(b). Note que a fase é linear na faixa de freqüência de interesse.

(42)

4.3. CICLO CARD´IACO DE REFER ˆENCIA 22 10−4 10−3 10−2 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 Freqüência (kHz) Magnitude (dB) (a) Magnitude. 10−4 10−3 10−2 −400 −350 −300 −250 −200 −150 −100 Freqüência (kHz) Fase (graus) (b) Fase.

Figura 4.2: Resposta em freq¨uˆencia do filtro passa-alta.

4.3 Ciclo card´ıaco de referˆ

encia

Depois de filtrar os ECGs, um ciclo card´ıaco de cada um dos 50 pacientes foi tomado como amostra, como mostra a Figura 4.3.

Figura 4.3: Procedimento para retirar um ciclo card´ıaco como amostra de cada

pa-ciente.

(43)

4.3. CICLO CARD´IACO DE REFER ˆENCIA 23

Um pico R de cada ciclo de ECG dos 50 pacientes foi tomado temporariamente como referˆencia, depois foram tomados 200 ms de amostras antes e 400 ms ap´os esse pico.

Esse procedimento foi tomado porque, como foi visto no cap´ıtulo 2, um ciclo card´ıaco é formado pelas ondas P, QRS e T, onde o intervalo P-R e Q-T é de no máximo 160 ms e 360 ms, respectivamente. Tomando 200 ms até o pico R e 400 ms depois do mesmo, tem-se a certeza de que todas as ondas P,Q,R,S e T estarão contidas no ciclo considerado. As Figuras 4.4(a) e (b) mostram os ciclos card´ıacos de dois pacientes com Infarto do Miocárdio anterior.

100 200 300 400 500 600 −200 −100 0 100 200 300 400 500 600 Tempo(ms) i(uV) (a) Paciente007 100 200 300 400 500 600 −200 0 200 400 600 800 1000 Tempo(ms) i(uV) (b) Paciente014

Figura 4.4: Ciclos card´ıacos de pacientes com Infarto do Mioc´ardio anterior.

4.3.1 Correla¸c˜

ao cruzada dos ciclos card´ıacos

A correla¸c˜ao temporal cruzada ´e definida por

Rxy(τ ) = E[x(t), y(t + τ )] (4.2)

onde x(t) e y(t) representam os ciclos card´ıacos das Figuras 4.4(a) e 4.4(b). A correla¸c˜ao temporal cruzada normalizada ´e dada por

Rxy(τ )normalizada =

Rxy(τ )

pRxRy

, (4.3) onde Rx e Ry, são os valores máximos das autocorrela¸cões de x e y. A correla¸cão

entre x e y está representada na Figura 4.5. Pelo fato desses dois pacientes possu´ırem a mesma patologia, a semelhan¸ca entre os ciclos card´ıacos resulta num valor máximo para a correla¸cão cruzada normalizada de Rmax = 0, 9658, o que

(44)

significa que esses dois ciclos possuem 96, 6% de similaridade.

Por outro lado, quando se compara o ciclo card´ıaco deste paciente com Infarto do Miocárdio anterior, Figura 4.4(a), com um paciente Saudável, Figura 4.6, o resultado mostrado na Figura 4.7 é quase tão alto quanto o anterior, Rmax =

0,87454, mesmo se tratando de pacientes com patologias diferentes.

Tendo em vista que são ciclos card´ıacos de pacientes com patologias diferentes e qualquer variância no ciclo tomado poderia acarretar em um valor ainda mais alto, causando com isso um poss´ıvel erro de diagnóstico, tem-se uma primeira impressão de que esse método não é muito confiável. Porém, é necessário o uso de um número maior de correla¸cões, envolvendo mais pacientes de patologias diferentes para uma melhor conclusão.

200 400 600 800 1000 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Deslocamento Amplitude Normalizada R máx = 0,9658

Figura 4.5: Correla¸c˜ao Temporal entre os ciclos card´ıacos do Paciente007 e do

(45)

4.3. CICLO CARD´IACO DE REFER ˆENCIA 25 100 200 300 400 500 600 0 100 200 300 400 500 600 Tempo(ms) i(uV)

Figura 4.6: Ciclos card´ıacos do paciente104, paciente Saud´avel.

200 400 600 800 1000 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Deslocamento Amplitude Normalizada R máx = 0.87454

Figura 4.7: Correla¸c˜ao Temporal entre os ciclos card´ıacos do Paciente007 e do

Pa-ciente104

4.3.2 C´

alculo das medidas caracter´ısticas

A análise considerará a correla¸cão entre cada um dos ciclos card´ıacos do grupo de pacientes com I.M anterior e, destes, com todos os outros grupos patológicos. Após o cálculo da correla¸cão temporal entre os ciclos da Deriva¸cão I dos cinco pacientes com I.M anterior, pacientes 007, 014, 081, 128 e 273, com os ciclos dos

(46)

pacientes descritos na Tabela 2.1 obtém-se os resultados expressos na Tabela 4.1, que contém os valores máximos de cada correla¸cão temporal, Rmax.

Tabela 4.1: Tabela dos valores m´aximos das correla¸c˜oes temporais entre ciclos da

deriva¸c˜ao I dos cinco pacientes com I.M. e os outros pacientes de diferentes patologias

da Tabela 2.1.

Grupos Patol´ogicos I.M anterior

Pacientes Paciente007 Paciente014 Paciente081 Paciente128 Paciente273

Paciente007 1,000 0,966 0,939 0,928 0,941

Paciente014 0,966 1,000 0,948 0,908 0,921

I.M anterior Paciente081 0,939 0,948 1,000 0,918 0,924

Paciente128 0,928 0,908 0,918 1,000 0,967

Paciente273 0,941 0,921 0,924 0,967 1,000

Paciente048 0,892 0,839 0,891 0,930 0,944

Paciente069 0,886 0,881 0,849 0,831 0,888

I.M ˆantero-lateral Paciente073 0,884 0,884 0,910 0,936 0,906

Paciente096 0,932 0,913 0,943 0,946 0,961

Paciente265 0,769 0,729 0,837 0,869 0,807

Paciente013 0,896 0,901 0,894 0,920 0,903

Paciente036 0,926 0,914 0,907 0,937 0,976

I.M ˆantero-septal Paciente039 0,932 0,924 0,921 0,906 0,962

Paciente046 0,930 0,890 0,916 0,961 0,971

Paciente051 0,937 0,902 0,892 0,942 0,947

Paciente012 0,866 0,847 0,880 0,890 0,920

Paciente035 0,931 0,919 0,935 0,959 0,961

I.M inferior Paciente066 0,925 0,909 0,952 0,957 0,959

Paciente075 0,840 0,802 0,830 0,930 0,940

Paciente090 0,892 0,863 0,880 0,952 0,960

Paciente016 0,920 0,892 0,907 0,983 0,971

Paciente017 0,942 0,934 0,907 0,969 0,968

I.M ´ınfero-lateral Paciente059 0,905 0,899 0,895 0,962 0,968

Paciente086 0,930 0,916 0,944 0,974 0,973

Paciente089 0,927 0,939 0,920 0,912 0,941

Paciente003 0,763 0,726 0,744 0,808 0,859

Paciente065 0,816 0,779 0,827 0,872 0,889

I.M ´ınfero-p´ostero-lateral Paciente080 0,877 0,886 0,823 0,849 0,892

Paciente230 0,862 0,843 0,869 0,933 0,935

Paciente287 0,883 0,860 0,888 0,949 0,947

Paciente159 0,932 0,914 0,890 0,968 0,970

Paciente212 0,894 0,895 0,950 0,960 0,927

Hipertrofia do Mioc´ardio Paciente216 0,922 0,907 0,942 0,970 0,955

Paciente221 0,888 0,862 0,942 0,943 0,919

Paciente227 0,913 0,885 0,917 0,965 0,976

Paciente106 0,770 0,794 0,852 0,873 0,766

Paciente107 0,574 0,539 0,464 0,500 0,606

Problemas V´alvulares Paciente110 0,834 0,833 0,880 0,926 0,874

Paciente114 0,888 0,864 0,901 0,959 0,906

Paciente188 0,862 0,853 0,923 0,946 0,913

Paciente104 0,875 0,837 0,813 0,902 0,933

Paciente117 0,806 0,762 0,710 0,802 0,872

Saud´aveis Paciente121 0,898 0,873 0,825 0,875 0,936

Paciente122 0,825 0,780 0,757 0,871 0,915

Paciente150 0,722 0,655 0,661 0,775 0,853

Paciente171 0,548 0,498 0,502 0,580 0,655

Paciente175 0,568 0,502 0,417 0,537 0,635

Bloqueio de Ramo Paciente203 0,621 0,565 0,612 0,664 0,731

Paciente204 0,724 0,666 0,757 0,832 0,793

(47)

Após a obten¸cão dos valores de Rmax(i) é calculada a média aritmética e o

desvio padrão dos resultados obtidos entre os pacientes com I.M anterior e os pacientes de um respectivo grupo patológico, usando as seguintes expressões [10]:

¯ R = N P i=1 Rmax(i) N (4.4) e σ = v u u u t N P i=1 (Rmax(i) − ¯R)2 N (4.5) onde

• Rmax(i) ≡ Valor m´aximo da correla¸c˜ao entre dois ciclos.

• N ≡ Total de correla¸cões entre dois grupos patológicos. • ¯R ≡ Média das correla¸cões.

• σ ≡ Desvio padrão da média das correla¸cões.

A Figura 4.8 mostra o cálculo da média e do desvio padrão entre o grupo de I.M anterior com ele próprio e, após, com o grupo de pacientes Saudáveis.

Figura 4.8: Procedimento para o cálculo da média de similaridade e desvio padrão

dos valores m´aximos das correla¸c˜oes entre pacientes.

Ap´os realizar esse mesmo procedimento entre o grupo de pacientes com I.M anterior e os outros grupos patol´ogicos da Tabela 4.1, tem-se como resultado

(48)

a Tabela 4.2, que representa os percentuais de similaridade desses grupos pa-tol´ogicos com o grupo com I.M anterior, inclusive com o pr´oprio grupo com I.M anterior.

Tabela 4.2: Tabela de similaridade m´edia e desvio padr˜ao entre o grupo de pacientes

com I.M anterior e os outros grupos patol´ogicos usando correla¸c˜ao temporal.

Grupo Patológico Similaridade Média Desvio Padrão

I.M anterior 0,949 0,031

I.M ˆantero-lateral 0,882 0,057

I.M ˆantero-septal 0,924 0,025

I.M inferior 0,908 0,047

I.M ´ınfero-lateral 0,936 0,028

I.M ´ınfero-p´ostero-lateral 0,855 0,059

Hipertrofia do Mioc´ardio 0,928 0,032

Problemas V´alvulares 0,804 0,146

Saud´aveis 0,821 0,079

Bloqueio de Ramo 0,681 0,159

A Figura 4.9 apresenta os valores da Tabela 4.2 num gr´afico de barras, onde foram colocados os valores m´edios e o intervalo compreendido entre ¯_{R ± σ.}

Figura 4.9: Gr´afico de similaridade com o grupo de pacientes com I.M anterior usando

(49)

4.4. DIFERENC¸ A DE CONFIABILIDADE 29

4.4 Diferen¸ca de Confiabilidade

A diferen¸ca de confiabilidade é um parâmetro criado nesse trabalho, o qual mede o ´ındice de desempenho de cada método estudado, esse ´ındice indica de uma maneira geral o quão confiável é um método. Esse ´ındice é dado pela diferen¸ca entre o percentual de similaridade entre pacientes com I.M anterior e a média de similaridade entre todas as outras patologias, demonstrado na Figura 4.10. Portanto, como pode ser visto na Figura 4.10, o método da correla¸cão temporal dos ciclos da deriva¸cão I apresenta uma diferen¸ca de confiabilidade de 8, 9%.

(50)

Cap´ıtulo 5

Transformada Wavelet e ECG

5.1 Introdu¸c˜

ao

A transformada Wavelet é uma opera¸cão matemática que fornece uma repre-senta¸cão de sinais nos dom´ınios do tempo e da freqüência simultâneamente, esta ´

ultima denominada de escala. A transformada de Fourier Janelada, assim como outras transformadas, possui essas caracter´ısticas, porém com problemas de res-olu¸cão. Em muitos casos, determinadas componentes espectrais que ocorrem em instantes espec´ıficos podem ser de fundamental interesse. Por exemplo, a latência de um potencial relacionado a um evento em ECGs. Outra vantagem da trans-formada wavelet, é que ela possui incontáveis fun¸cões de transforma¸cão e, ainda, a possibilidade de criar outras.

5.2 Transformada Wavelet

De acordo com [4] e [6] a TW ´e definida por:

T Wψ x = Ψψx(τ, s) = 1 p|s| Z x(t)ψ∗ t − τ s dt, (5.1) onde τ significa transla¸cão, s escala e ψ é a fun¸cão de transforma¸cão, também chamada de mother wavelet. A mother wavelet é a responsável pelo janelamento temporal do sinal e, conseqüentemente, pela resposta em freqüência.

(51)

5.2. TRANSFORMADA WAVELET 31

5.2.1 Transla¸c˜

ao

O movimento de Transla¸cão é a fun¸cão de deslocar temporalmente a mother wavelet por todo o sinal a ser transformado, como exemplificado na Figura 5.1. Em cada deslocamento é calculado uma transformada Wavelet.

Figura 5.1: Movimento de Transla¸c˜ao

5.2.2 Escala

A escala s é o processo de escalonar a wavelet no tempo, o que significa aumentar ou diminuir sua freqüência, onde para escalas baixas, 0 < s < 1, a freqüência do pulso é aumentada e, para escalas altas, s > 1, a freqüência é diminu´ıda, como está exemplificado na Figura 5.2.

(52)

5.3. FUNÇ ÃO DE TRANSFORMAÇ ÃO OU

MOTHER WAVELETS 32

5.3 Fun¸c˜

ao de Transforma¸c˜

ao ou

Mother Wavelets

A fun¸cão de transforma¸cão da TW é representado pela fun¸cão ψ() e, também, chamada de mother wavelet. O termo wavelet significa onda pequena pelo fato dela possuir comprimento limitado. O termo mãe indica que essa fun¸cão pode ser usada como referência na obten¸cão de uma série de outras fun¸cões, obtidas através de derivadas.

5.3.1 Wavelets Tradicionais

Dentre as wavelets já existentes, as mais conhecidas são a Morlet e o Chapéu Mexicano, dadas por:

• Morlet ψ(x) = e−x2/2cos(5x) (5.2) • Chapéu Mexicano ψ(x) = 2 √ 3π −1/4 1 − x2 e−x2_/2 (5.3) e mostradas nas Figuras 5.3(a) e (b), respectivamente. Note que essas fun¸cões não são versáteis, pois não possuem parâmetros que possam modificar seus formatos.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x ψ (x) (a) Morlet −5 0 5 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x ψ (x) (b) Chap´eu Mexicano

(53)

5.3. FUNÇ ÃO DE TRANSFORMAÇ ÃO OU

MOTHER WAVELETS 33

5.3.2 O Pulso DNAx na gera¸c˜

ao de Mother Wavelets

O fato do pulso DNAx possuir dura¸cão limitada e formato ajustável, faz deste uma excelente fonte de wavelets. Através da combina¸cão de valores de a, n, x e f (x) é poss´ıvel criar infinitos tipos de pulsos, como o que está sendo representado na Figura 5.4(a), o qual é obtido usando os parâmetros a = 2, n = 1 e f (x) = 1 em (3.10), resultando na equa¸cão

y(x) =1 + (2x)2[−(2x)2]

. (5.4)

Por´em, segundo [4], toda Mother Wavelets deve respeitar as seguintes condi¸c˜oes: • Oscilar em torno do eixo x de forma que:

+∞

Z

−∞

ψ(x)dx = 0. (5.5) • Sua amplitude deve tender a zero quando x tende para o infinito

ψ(x) → 0 para |x| → ∞. (5.6) Para que o PulsoDNAx2 definido por (5.4) atenda a essas condi¸cões é preciso subtrair um n´ıvel DC igual a 0, 5, assim o pulso cruzará o eixo x, conforme mostra a Figura 5.4(b), obtida por

y(x) =1 + (2x)2[−(2x)2]

− 0, 5. (5.7) Ainda, o pulsoDNAx2 deve ser multiplicado por outro pulso quadrado, obtido através da própria equa¸cão DNAx, usando os parâmetros a = 1, n = 1000 e f (x) = 1 em (3.10), representado na Figura 5.4(c) e dado por

y(x)quadrado =1 + (x)2000

[−(x)2000]

. (5.8) O fato da largura do PulsoDNAxQuadrado (5.8) ser 2 vezes maior que do Pul-soDNAx2 (5.4) permite que as condi¸c˜oes (5.5) e (5.6) sejam satisfeitas resultando na WaveletDNAx2, dada por

ψ(x) = 1 + (2x)2[−(2x)2] − 0, 5 × 1 + (x)2000[−(x)2000] (5.9)

(54)

5.3. FUNÇ ÃO DE TRANSFORMAÇ ÃO OU MOTHER WAVELETS 34 e ilustrada na Figura 5.4(d). −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x y(x) a = 2 n = 1 f(x) = 1 (a) PulsoDNAx2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x y(x) Pulso cruzando o eixo x (b) PulsoDNAx2 −0, 5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 x y(x) e y(x) quadrado y(x) y(x) quadrado w = 2 w = 2 w = 2 w = 2 w = 1 (c) PulsoDNAx2 −0, 5 e PulsoDNAxQuadrado −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x ψ (x) Satisfaz condição (5,6) Satisfaz condição (5,5) Satisfaz condição (5,6) (d) WaveletDNAx2

Figura 5.4: Representa¸cões gráficas das equa¸cões (5.4) (5.7), (5.8) e (5.9).

Assim como a largura do pulso, as transi¸cões de subida e descida desses pulsos também podem ser alteradas em fun¸cão de a e n. Usando os parâmetros a = 2, n = 1000 e f (x) = 1 em (3.10) obtém-se um Pulso DNAx Quadrado, onde, ao fazer o procedimento para satisfazer as condi¸cões (5.5) e (5.6) chega-se a equa¸cão

ψ(x) = 1 + (2x)2000[−(2x)2000] − 0, 5 × 1 + (x)2000[−(x)2000] (5.10) representada pela Figura 5.5(a).

A Figura 5.5(b) mostra um exemplo de um wavelet j´a com as condi¸c˜oes (5.5) e (5.6) satisfeitas, e conseguida substituindo f (x) = cos(2πx), a = 1 e n = 100

(55)

5.3. FUNÇ ÃO DE TRANSFORMAÇ ÃO OU MOTHER WAVELETS 35 em (3.7), a qual chega a y(x) = cos(2πx) − (x) 200 1 + (x)200 (5.11)

e multiplicado pelo pulso quadrado de (5.8) resulta em ψ(x) = cos(2.π.x) − (x) 200 1 + (x)200 × 1 + (x)2000[−(x)2000] . (5.12) −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x ψ (x) (a) WaveletDNAxQuadrada −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x ψ (x) (b) WaveletDNAxCosJanelado

Figura 5.5: Representa¸c˜oes gr´aficas de (5.10) e (5.12).

Além de poder criar wavelets manipulando as equa¸cões básicas dos pulsos DNAx, é também poss´ıvel obtê-las através de suas derivadas. As Figuras 5.6(b), 5.6(c), 5.6(d), 5.6(e), 5.6(f) são exemplos de wavelets criadas usando a 1a_{, 2}a_{, 3}a_,

4a_{e 5}a_{derivadas do PulsoDNAx4 representado pela Figura 5.6(a), obtido usando}

os parˆametros a = 4, n = 1, f (x) = 1 em (3.10), que resulta na equa¸c˜ao y(x) =(4x)2_{+ 1}[−(4x)2]

. (5.13) Portanto, a derivada i-´esima do PulsoDNAx4 para i = {1, 2, 3, 4, 5} resulta na equa¸c˜ao ψ(x) = d i dxi (4x) 2_{+ 1}[−(4x)2] . (5.14)

(56)

5.4. TRANSFORMADA DE UM CICLO CARD´IACO 36 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x y(x) a = 4 n = 1 f(x) = 1 (a) PulsoDNAx4 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 x ψ (x) (b) 1a derivada do PulsoDNAx4 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 x ψ (x) (c) 2a derivada do PulsoDNAx4 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800

Terceira Derivada do Pulso DNAx

(d) 3a derivada do PulsoDNAx4 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5x 10 4 x ψ (x) (e) 4a derivada do PulsoDNAx4 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5x 10 5 x ψ (x) (f) 5a derivada do PulsoDNAx4

Figura 5.6: Representa¸c˜oes gr´_{aficas de (5.14), para i = {1, 2, 3, 4, 5}.}

5.4 Transformada de um ciclo card´ıaco

5.4.1 Conte´

udo espectral de um ciclo card´ıaco

Todos os ECGs usados foram gravados com uma taxa de amostragem de 1 kHz. Segundo Nyquist, a máxima componente de freqüência que poderá ser encontrada

(57)

5.4. TRANSFORMADA DE UM CICLO CARD´IACO 37

nesses sinais será de 500 Hz. Porém, como mostram as Figuras 5.7(a), (b), (c), ao fazer a Transformada de Fourier (TF) dos ciclos card´ıacos da deriva¸cão i de patologias diferentes percebe-se que quase 100% da energia espectral está concentrada na faixa de 0 a 40 Hz. 0 20 40 60 80 100 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 freqüência (Hz) Amplitude Normalizada

(a) TF de um paciente com Infarto do Mioc´ardio anterior 0 20 40 60 80 100 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 freqüência (Hz) Amplitude Normalizada

(b) TF de um paciente com Hipertrofia do Mioc´ardio 0 20 40 60 80 100 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 freqüência (Hz) Amplitude Normalizada (c) TF de um paciente Saud´avel 0 20 40 60 80 100 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 freqüência (Hz) Amplitude Normalizada

TF de um ciclo de um Paciente com Bloqueio de Ramo

(d) TF de um paciente com Bloqueio de Ramo

Figura 5.7: TF de ciclos card´ıacos de pacientes com patologias diferentes.

5.4.2 Determina¸c˜

ao do vetor escala

Como foi mencionado anteriormente, a TW é dada em termos de escala, ao invés de freqüência. A rela¸cão entre essas grandezas é dada por:

s = kψ

f × T s (5.15) onde: