O MÉTODO DE GALERKIN DESCONTÍNUO APLICADO NA INVESTIGAÇÃO DE UM PROBLEMA DE ELASTICIDADE ANISOTRÓPICA

(1)

O MÉTODO DE GALERKIN DESCONTÍNUO APLICADO NA INVESTIGAÇÃO

DE UM PROBLEMA DE ELASTICIDADE ANISOTRÓPICA

Maria do Socorro Martins Sampaio1_{& Adair Roberto Aguiar}2

R e s u m o

Estuda-se o problema de equilíbrio de uma esfera anisotrópica sem força de corpo e sob compressão radial uniformemente distribuída no contexto da teoria da elasticidade linear clássica e aplica-se o Método dos Elementos Finitos utilizando Galerkin Descontínuo (MEFGD) para obter soluções aproximadas para este problema. Introduz-se uma formulação alternativa do MEFGD, onde o campo de deformação infinitesimal não é obtido diretamente da inversão do sistema de equações lineares resultante, mas por pós-processamento, a partir do campo de deslocamento. Os resultados numéricos obtidos empregando-se ambas as formulações do MEFGD são comparados com a solução analítica do problema da esfera e com resultados numéricos obtidos com o Método dos Elementos Finitos utilizando Galerkin Clássico (MEFGC). Análises de erros e de convergência são realizadas.

Palavras-chave: Elasticidade anisotrópica. Problema de equilíbrio. Método dos Elementos Finitos. Método de Galerkin Descontínuo.

THE DISCONTINUOUS GALERKIN METHOD APPLIED TO THE

INVESTIGATION OF AN ANISOTROPIC ELASTICITY PROBLEM

A b s t r a c t

The equilibrium problem without body force of an anisotropic sphere under uniform radial compression on the sphere’s boundary is investigated in the context of the classical linear elasticity theory. The Finite Element Method using Discontinuous Galerkin (MEFGD) is used to obtain approximate solutions for the unconstrained problem. An alternative formulation of the MEFGD is introduced, where the strain field is not obtained directly from the inversion of the resulting linear system of equations, but from a post-processing calculation using the approximate displacement field. The approximate solutions obtained with both formulations of the MEFGD are compared with the exact solution of the sphere problem without restriction and with approximate solutions obtained with the Finite Element Method using Classical Galerkin (MEFGC).

Keywords: Anisotropic elasticity. Equilibrium problem. Finite Element Method. Discontinuous Galerkin Method.

1 INTRODUÇÃO

O Método dos Elementos Finitos com Galerkin Descontínuo (MEFGD) é um método para resolução aproximada de equações diferenciais, no qual as funções aproximativas e ponderadoras adotadas são descontínuas entre elementos adjacentes, sendo, portanto, diferente do Método dos Elementos Finitos com Galerkin Clássico (MEFGC) em que se assume a continuidade destas funções admissíveis.

O método foi introduzido em 1973 por Reed e Hill para resolver a equação de transporte de nêutrons. Uma variedade de métodos de Galerkin descontínuo foi desde então proposta para a resolução de problemas hiperbólicos e quase-hiperbólicos (Reed; Hill, 1973; Lesaint; Raviart, 1974).

1_{Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, ssampaio@sc.usp.br} 2

(2)

Para equações diferenciais elípticas, o desenvolvimento dos métodos de Galerkin descontínuo deu-se de forma independente, sendo inicialmente chamado de Método das Penalidades Interiores (Arnold, 1976; Baker, 1977; Douglas; Dupont, 1976; Wheeler, 1978).

Os métodos de Galerkin descontínuo são localmente conservativos, estáveis, paralelizáveis, apresentam alta ordem de precisão, adaptam-se facilmente a geometrias complexas e malhas irregulares e suportam aproximações com polinômios de graus diferentes em elementos diferentes, tornando-os ideais para o uso em estratégias hp-adaptativas (Cockburn, 2003).

Neste trabalho, empregam-se duas formulações do MEFGD para obter soluções aproximadas para o problema de equilíbrio da esfera anisotrópica sob compressão radial uniformemente distribuída. A primeira formulação do MEFGD baseia-se no procedimento utilizado por Castillo (2003) e consiste em aproximar diretamente os campos de deslocamento e de deformação infinitesimal da esfera. A consideração do campo adicional de deformação infinitesimal na formulação variacional do MEFGD aumenta o número de graus de liberdade associados aos nós dos elementos finitos e, consequentemente, o custo computacional. Com o objetivo de reduzir o número de graus de liberdade, introduz-se uma formulação alternativa do MEFGD, onde o campo de deformação infinitesimal não é obtido diretamente da inversão do sistema de equações lineares resultante, mas por pós-processamento, a partir do campo de deslocamento.

2 O PROBLEMA DA ESFERA

Os vetores que contêm as componentes de deslocamento, tensão e deformação infinitesimal de um ponto material de um sólido em um sistema de coordenadas esféricas,

( , , )

ρ φ θ

, são dados, respectivamente, por

{

}

T

u

=

u , u , u

_ρ _φ _θ ,

T

= σ σ σ σ σ σ

{

_ρρ

,

_φφ

,

_θθ

,

_θφ

,

_φρ

,

_ρθ

}

,

{

}

T

E

= ε ε ε ε ε ε

_ρρ

,

_φφ

,

_θθ

,

_θφ

,

_φρ

,

_ρθ . (1)

Neste sistema de coordenadas, as relações entre as componentes de deslocamento e as componentes de deformação são dadas por

u_ρ ρρ ∂ ε = ∂ρ , u u 1 cot u sen φ ρ φφ θ ∂ θ ε = + + ρ θ ∂φ ρ ρ , u u 1 θ ρ θθ ∂ ε = + ρ ∂θ ρ , u u 1 1 cot 2 u sen φ θ θφ φ ∂ ∂ θ ε = + − ρ θ ∂φ ρ ∂θ ρ , (2) u u u 1 2 ρ θ θ ρθ ∂ ∂ ε = + − ρ ∂θ ∂ρ ρ , u u u 1 2 sen ρ φ φ φρ ∂ ∂ ε = − + ρ θ ∂φ ρ ∂ρ .

Além disso, as equações de equilíbrio são dadas por

1 1 1 (2 cot ) b 0 sen ρρ θρ φρ ρρ θθ φφ θρ ρ ∂σ ∂σ ∂σ + + + σ − σ − σ + σ θ + = ∂ρ ρ ∂θ ρ θ ∂φ ρ ,

(3)

(

)

1 1 1 2 cot 3 b 0 sen ρφ θφ φφ θφ ρφ φ ∂σ ∂σ ∂σ + + + σ θ + σ + = ∂ρ ρ ∂θ ρ θ ∂φ ρ , (3)

(

)

1 1 1 cot 3 b 0 sen ρθ θθ φθ θθ φφ ρθ θ ∂σ ∂σ ∂σ _⎡ _⎤ + + + _⎣ σ − σ θ + σ _⎦+ = ∂ρ ρ ∂θ ρ θ ∂φ ρ ,

onde

b (b , b , b )

=

_ρ _φ _θ é a força de corpo por unidade de volume.

Considera-se que o comportamento do corpo é regido pela Lei de Hooke Generalizada, dada por

T CE

=

, (4)

onde

C [C ]

=

_αβ ,

α β =

,

1,...,6

, é uma matriz simétrica que contém as constantes elásticas

C

_αβ

=

C

_βα

do material.

Seja agora uma esfera homogênea de raio

ρ

_e radialmente comprimida ao longo do seu contorno externo por uma força normal

p

uniformemente distribuída por unidade de área. A esfera é constituída pelo material esfericamente uniforme investigado por Ting (1999), de modo que as constantes

C

_αβ da matriz

C

na Eq. (4) satisfazem as seguintes relações

13 12

C

=

C

,

C

₂₂

=

C

₃₃ e

C

_αβ

=

0

para 1≤ α ≤3 e

4 ≤ β ≤

6

. (5)

Além disto, estas constantes devem satisfazer as desigualdades

11

C

>

0

,

C

₂₂

>

0

, C₂₃ <C₂₂, 2 12 11 22 23

2C

C

>

+

(6)

para que o comportamento do sólido seja termodinamicamente admissível.

Assume-se que o campo de deslocamento é radialmente simétrico em relação ao centro da esfera (Ting, 1999; Aguiar, 2006), de modo que as componentes de deslocamento de um ponto da esfera no sistema de coordenadas esféricas são dadas por

u ( , , ) u( )

_ρ

ρ φ θ = ρ

,

u

_φ

=

u

_θ

=

0

. (7)

Desta forma, as relações deformação-deslocamento dadas pela Eq. (2) são expressas por

du

d

ρρ

ε =

ρ

,

u

φφ θθ

ε = ε =

ρ

,

ε = ε = ε =

θφ ρθ φρ

0

. (8)

Substituindo as Eqs. (1.a) e (1.c) na Eq. (4) e utilizando as Eqs. (8) juntamente com a Eq. (5), chega-se a

(4)

11 12

du

u

C

2C

d

ρρ

σ =

+

ρ

, 12 22 23

du

u

C

(C

C )

d

θθ φφ

σ = σ =

+

ρ

. (9)

Substituindo as Eqs. (9) nas Eqs. (3) e assumindo que b 0= , obtém-se uma única equação diferencial não-trivial para o problema da esfera anisotrópica sob compressão radial uniformemente distribuída, dada por

2 2 2 d u 2 du u 2 0 dρ +ρ ρd − γρ = ,

0 < ρ < ρ

e, (10) onde 22 23 12 11

C

+

−

γ ≡

. (11)

As condições de contorno essencial e natural deste problema são dadas, respectivamente, por

u(0) 0

=

,

σ ρ = −

_ρρ

( )

_e

p

, (12)

onde a tensão radial

σ

_ρρ é dada pela Eq. (9.a).

Deseja-se achar o campo de deslocamento

u : (0, )

ρ →

_e

R

que satisfaça a Eq. (10) juntamente com a Eq. (11) e as condições de contorno dadas pela Eq. (12), juntamente com a Eq. (9.a). A solução deste problema é dada por

e e

u( )

q

+ λ

⎛

ρ

⎞

ρ = − ρ ⎜ ⎟

_ρ

⎝

⎠

, (13) onde 11 12

p

q

C

+

2C

≡

λ +

,

1 ( 1 3 )

2

+

λ ≡

− + κ

,

1 1 8

3 κ ≡

+ γ

(14)

e

γ

é dado pela Eq. (11).

3 MÉTODO

DE

GALERKIN CLÁSSICO

Utilizando o Teorema dos Trabalhos Virtuais (Gurtin, 1981), lembrando da Seção 2 que a força de corpo é nula e considerando que o volume de uma parte infinitesimal do sólido é dado por

2

_{sen d d d}

(5)

e 2 ₂ 2 2 0 d u 2 du u 2 v d 0 d d ρ ⎛ ⎞ + − γ ρ ρ = ⎜ _ρ _{ρ ρ} _ρ ⎟ ⎝ ⎠

∫

, ∀ ∈ v V, (16)

onde, aqui,

V

=

{

v C (0, ) : v(0) 0

∈

0

ρ

_e

=

}

e

γ

é dado pela Eq. (11).

Integrando-se a Eq. (16) por partes e utilizando-se as condições de contorno dadas pela Eq. (12), chega-se à formulação variacional fraca do problema da esfera, que consiste em achar u V∈ , tal que e ₂ e ₁₂ ₂ e e e e e 0 0 11 C du dv _ˆ d 2 uvd 2 u( )v( ) p v( ) 0 d d C ρ ρ ρ ρ + γ ρ + ρ ρ ρ + ρ ρ = ρ ρ

∫

, ∀ ∈ v V, (17) onde 11

ˆp p / C

=

. (18)

Seja agora

T

_h

= ρ

{ }

_{i i 1}n 1₌+ a partição de

[0, ]

ρ

_e :

0 = ρ < ρ

₁ ₂

...

< ρ

_{n 1}₊

= ρ

_e,

I

_i

= ρ ρ

( ,

_i _{i 1}₊

)

,

n

e i

i 1

[0, ]

I

=

ρ =

_∪

. Seja

V

_h um subconjunto de V dado por

{

0

}

h h e h

V

=

v

∈

C (0, ) : v (0) 0

ρ

=

, (19)

onde

v

_h é linear em cada sub-intervalo

I

_i e

v

_h é contínua em

(0, )

ρ

_e .

O problema variacional discreto correspondente à Eq. (17) consiste em achar

u

_h

∈

V

_h, tal que:

e _h _h ₂ e ₁₂ ₂ h h h e h e e e h e 0 0 11 du dv C _ˆ d 2 u v d 2 u ( )v ( ) p v ( ) 0 d d C ρ ρ ρ ρ + γ ρ + ρ ρ ρ + ρ ρ = ρ ρ

∫

,

∀

v

_h

∈

V

_h, (20)

onde

γ

é dado pela Eq. (11) e ˆp é dado pela Eq. (18). Uma função

v

_h

∈

V

_h pode ser escrita na forma

n 1 h i i i 1

v ( )

+

v ( )

=

ρ =

∑

φ ρ

,

ρ∈

(0, )

ρ

_e ,

∀

v

_i

∈

R

, (21) onde

v

_i são coeficientes arbitrários, o conjunto

{

φ_i: (0, )ρ →_e R,i 1,..., n 1= +

}

é uma base para o espaço finito-dimensional

V

_h e os elementos

φ

_i desta base satisfazem as condições de normalidade

(6)

i j

1 se i

j,

( )

i, j 1,...n+1

0 se i

j,

=

⎧

φ ρ =

_⎨

=

≠

⎩

. (22)

As funções base adotadas são lineares por partes e contínuas. Para os elementos intermediários do intervalo

(0, )

ρ

_e , ou seja, para

i 2,..., n

=

, as funções base são dadas por

i 1 i 1 i i i 1 i 1 i i i 1 i 1 i

,

( )

,

0,

de outra forma.

− − − + + +

ρ − ρ

⎧

_{ρ ≤ ρ ≤ ρ}

⎪ρ −ρ

⎪

ρ − ρ

⎪

φ ρ =

_{⎨ρ −ρ}

ρ ≤ ρ ≤ ρ

⎪

⎩

(23)

Para os elementos próximos às extremidades do intervalo, tem-se que

2 1 2 2 i 1 , 0 , ( ) 0, de outra forma, ρ − ρ ⎧ _{= ρ ≤ ρ ≤ ρ} ⎪ρ −ρ ⎪⎪ φ ρ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩ e n n n 1 e n 1 n n 1 , , ( ) 0, de outra forma. + + + ρ − ρ ⎧ _{ρ ≤ ρ ≤ ρ} _{= ρ} ⎪ρ −ρ ⎪⎪ φ _{ρ = ⎨} ⎪ ⎪ ⎪⎩ (24)

Substituindo-se a Eq. (21) na Eq. (20), levando-se em consideração as Eqs. (23) e (24) e uma vez que

v (0) 0

_h

=

, chega-se a

n 1 e _h ₂ e ₁₂ ₂ i ₀ i ₀ h i h e i(n 1) e e i(n 1) i 2 11 du C _ˆ v ( ) d 2 u ( )d 2 u ( ) p 0 d C + _ρ _ρ + + = ⎡ ⎤ ′ φ ρ ρ ρ + γ φ ρ ρ + ρ δ ρ + ρ δ = ⎢ _ρ ⎥ ⎣ ⎦

∑ ∫

∫

(25) i

v

R

∀

∈

, onde

δ

_ij é o Delta de Kronecker. Como

v

_i é arbitrário, tem-se que

e _h ₂ e ₁₂ ₂ i h i h e i(n 1) e e i(n 1) 0 0 11 du C _ˆ ( ) d 2 u ( )d 2 u ( ) p 0 d C ρ ρ + + ′ φ ρ ρ ρ + γ φ ρ ρ + ρ δ ρ + ρ δ = ρ

∫

, (26) onde

i 2,..., n 1

=

+

. Substituindo-se n 1 h j j j 1 u + u ( ) =

(7)

e e n 1 2 12 2 j ₀ j i ₀ j i j e i(n 1) e e i(n 1) j 2 11 C _ˆ u ( ) ( ) d 2 ( ) ( )d 2 ( ) p 0 C + _ρ _ρ + + = ⎡ _′ _′ ⎤ φ ρ φ ρ ρ ρ + γφ ρ φ ρ ρ + φ ρ δ ρ + ρ δ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∑ ∫

∫

, (27)

onde

i 2,..., n 1

=

+

. As expressões apresentadas na Eq. (27) fornecem um sistema de

n

equações com

n

incógnitas

u

_j, onde as funções

φ

_i,

i 2,..., n 1

=

+

, são dadas pelas Eqs. (23) e (24.b).

4 MÉTODO DE GALERKIN DESCONTÍNUO

4.1 Formulação

original

Introduzindo-se a variável

q

du

d

=

ρ

, a Eq. (10) pode ser escrita como um sistema de equações

de primeira ordem da forma

du

q

d

ρ

=

em

(0, )

ρ

e , (28) 2

dq

1 u

2q

2

0 d

ρ

+

ρ

− γ

ρ

=

em

(0, )

ρ

e , (29)

onde

γ

é dado pela Eq. (11) e as condições de contorno essencial e natural são dadas pelas Eqs. (12).

Seja

V

_i o conjunto de funções com suporte no intervalo

I

_i,

i 1,..., n

=

e seja

1 2 3 n

V U V xV xV x...xV

= =

. Considera-se que toda função

v V

∈

_i,

i 1,..., n

=

, é diferenciável em

I

_i. Seja novamente

T

_h

= ρ

{ }

_{i i 1}n 1₌+ a partição de

[0, ]:

ρ

_e

0 = ρ < ρ

₁ ₂

...

< ρ

_{n 1}₊

= ρ

_e,

I

_i

= ρ ρ

( ,

_i _{i 1}₊

)

, n e i i 1

[0, ]

I

=

ρ =

_∪

. Sejam

( )

t, v em VxU funções diferenciáveis por partes com suporte em

I

_i. Multiplicando-se as Eqs. (28) e (29) em cada elemento

I

_i pelas funções

_tρ

2_e

_vρ

2_{, respectivamente, e integrando-se}

sobre o intervalo

I

_i, obtêm-se as equações

i 1 i 1 i i 2 2

du

t d

qt d

d

+ + ρ ρ ρ

ρ

ρ ρ =

ρ

ρ ρ

∫

, (30) i 1 i 2 2 u dq 1 v 2q v 2 v d 0 d + ρ _ρ ρ ⎛ ⎞ + − γ ρ ρ = ⎜ _ρ _ρ _ρ ⎟ ⎝ ⎠

∫

. (31)

Utilizando integração por partes no lado esquerdo das Eqs. (30) e (31), chega-se às equações

( )( ) ( )( )

i 1 i 1 i i 2 2 2 2 i 1 i

dt

ut

u

2ut

d

qt d

d

+ + ρ ρ − + + _ρ _ρ

⎛

⎞

ρ

−

ρ

ρ −

_⎜

ρ +

ρ ρ =

_⎟

ρ ρ

ρ

⎝

⎠

∫

, (32)

(8)

(

)( ) (

)( )

i 1 i 2 2 2 i 1 i

dv

qv

q

2 uv d

d

+ ρ − + + _ρ

⎛

⎞

ρ

−

ρ

ρ =

_⎜

ρ + γ

_⎟

ρ

⎝

⎠

∫

. (33)

As equações (32) e (33) são bem definidas para quaisquer funções

( )

u,q e

( )

t, v em VxU. Aproxima-se a solução exata

( )

u,q por funções

(

u ,q_h _h

)

no espaço de elementos finitos

h h

U xV

⊂

UxV

onde

( )

i

h h p i

I

U

=

V

= ∏

P I

. O espaço de elementos finitos local P I_p

( )

_i é o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a

p

definidos sobre

I

_i.

Desta forma, a formulação variacional fraca do problema descrito pelas Eqs. (10)-(12) consiste em achar

(

u ,q_h _h

)

∈U xV_h _h para qualquer

( )

t, v ∈UxV que satisfaça

( )

i 1 i 1 i i 2 2 2 2 h h i 1 h i h h

dt

ˆ

q t d

u t

u

2u t

d

+ + ρ ₋ ₊ ρ + ρ ρ

⎛

⎞

ρ ρ =

ρ ρ

−

ρ ρ −

_⎜

ρ +

ρ ρ

_⎟

ρ

⎝

⎠

∫

, (34)

( )

i 1 i 2 2 2 h h h i 1 h i

dv

ˆ

q

2 u v d

q v

d

+ ρ ₋ ₊ + ρ

⎛

⎞

ρ + γ

ρ =

ρ ρ

−

ρ ρ

⎜

_ρ

⎟

⎝

⎠

∫

, (35)

onde

ˆu

_h e

ˆq

_h são fluxos numéricos. Para os nós pertencentes ao interior do intervalo

(0, )

ρ

_e , os fluxos numéricos

ˆu

_h e

ˆq

_h adotados neste trabalho são dados, respectivamente, por

( )

h i h i h i

u

ˆu ( )

2

− +

ρ +

ρ

ρ =

, (36)

( ) ( )

( )

h i h i h i h i h i i

q

u

ˆq ( )

2 h

− + − +

ρ +

ρ

ρ −

ρ

ρ =

−

, (37) onde

ρ

_i

, i 2,..., n

=

, e

h

_i

= ρ − ρ

_{i 1}₊ _i.

Para as extremidades do intervalo

(0, )

ρ

_e , os fluxos

ˆu (0)

_h ,

ˆq (0)

_h ,

ˆu ( )

_h

ρ

_e e

ˆq ( )

_h

ρ

_e adotados neste trabalho são dados, respectivamente, por

h 0

ˆu (0) u

=

0

, _h _h h

( )

1

u 0

ˆq (0) q (0 )

h

+ +

=

+

, (38) h e h e

ˆu ( ) u (

_{ρ =}

_ρ

−

)

_,

( )

₁₂ h

( )

e h e 11 11 e

u

C

p

ˆq

2 C

C

−

ρ

ρ = −

−

ρ

. (39)

Aqui, as funções

(

u ,q_h _h

)

são lineares por partes e descontínuas nas interfaces entre os elementos, sendo dadas, respectivamente, por

(9)

h i 1 h i h i 1 h i h h i i i 1 i i 1 i

u (

) u ( )

u (

) u ( )

u ( ) u ( )

+ −+ + −+ + + +

ρ

−

ρ

−

ρ

ρ =

ρ −

ρ +

ρ

ρ − ρ

, (40) h i 1 h i h i 1 h i h h i i i 1 i i 1 i

q (

) q ( )

q (

) q ( )

q ( ) q ( )

− + − + + + + + +

ρ

−

ρ

−

ρ

ρ =

ρ −

ρ +

ρ

ρ − ρ

, (41) onde

ρ∈ ρ ρ

( ,

_i _{i 1}₊

)

.

Similarmente, as funções

(t, v)

são polinômios de primeiro grau, de modo que

t a b

= + ρ

e

v c d

= + ρ

, onde a, b, c e d são coeficientes arbitrários.

Constroem-se então três sistemas de equações lineares, sendo um para os elementos intermediários do intervalo

(0, )

ρ

_e ,

I , i 2,..., n 1

_i

=

−

, um para o elemento

I

₁ e um para o elemento

I

_n.

Para obter o sistema de equações dos elementos intermediários substituem-se as funções

t a b

= + ρ

e

v c d

= + ρ

, a Eq. (36), a Eq. (37), a Eq. (40) e a Eq. (41) nas Eqs. (34) e (35). Agrupando-se os termos que possuem os coeficientes a e b em comum na equação resultante da Eq. (34) e procedendo-se de maneira semelhante com a equação resultante da Eq. (35) em relação aos termos associados aos coeficientes c e d, chega-se a um sistema de duas equações e doze incógnitas válidas para todo a, b, c e d. Uma vez que estes coeficientes são arbitrários, obtém-se um sistema de quatro equações em cada elemento

I

_i

= ρ ρ

( ,

_i _{i 1}₊

)

,

i 2,..., n 1

=

−

, para oito incógnitas.

Para obter o sistema de equações do elemento

I

₁ substituem-se as funções

t

e v, a Eq. (38), a Eq. (40) e a Eq. (41) nas Eqs. (34) e (35). Para o elemento

I

_n substituem-se as funções

t

e v, a Eq. (39), a Eq. (40) e a Eq. (41) nas Eqs. (34) e (35). Procedendo-se de maneira similar ao descrito para os elementos intermediários, obtém-se um sistema de quatro equações e seis incógnitas para o primeiro e para o último elemento.

Sendo

n

o número de elementos finitos utilizados para discretizar o domínio, tem-se um sistema de

4n

equações com

4n

incógnitas a serem determinadas. A solução deste sistema são os valores de

u

_h e

q

_h pela direita e pela esquerda dos nós intermediários e os valores de

u

_h e

q

_h sobre os nós das extremidades do intervalo

(0, )

ρ

_e .

Uma vez que as aproximações

u

_h e

q

_h são descontínuas sobre os nós aproximam-se a solução u e sua derivada u′, sobre os nós, pelos valores de

ˆu

_h e

ˆq

_h, respectivamente. Estes valores são calculados das Eqs. (36)-(39).

4.2 Formulação

alternativa

Considerando-se o elevado número de graus de liberdade associados aos nós da formulação anterior, introduz-se uma formulação variacional alternativa para a aplicação do MEFGD em que apenas os valores de

u

_h são obtidos diretamente da inversão do sistema de equações resultantes, sendo os valores de

q

_h obtidos por pós-processamento a partir dos valores de

u

_h.

Similarmente ao realizado na Seção 4.1, introduz-se a equação diferencial

du

q

d

ρ

=

e

reescreve-se a Eq. (10) no sistema de duas equações dado pelas Eqs. (28) e (29). Aqui, no entanto a Eq. (28) não é integrada, sendo o sistema de duas equações dado pelas Eqs. (30) e (31) substituído por

(10)

du

q

d

ρ

=

, (42) e ₂ 2 0 u dq 1 v 2q v 2 v d 0 d ρ ⎛ _ρ ⎞ + − γ ρ ρ = ⎜ _ρ _ρ _ρ ⎟ ⎝ ⎠

∫

. (43)

Integrando-se apenas a Eq. (43) por partes sobre

I

_i, chega-se ao sistema de equações

du

q

d

ρ

=

, (44)

( )

i 1 i 2 2 2 i 1 i

dv

qv

q

2 uv d

d

+ ρ − + + _ρ

⎛

⎞

ρ ρ

− ρ ρ =

_⎜

ρ + γ

_⎟

ρ

⎝

⎠

∫

. (45)

Aproximando-se a solução exata

( )

u,q com funções

(

u ,q_h _h

)

no espaço de elementos finitos

h h

U xV

⊂

UxV

para qualquer

v V

∈

_h, tem-se que

h h

du

q

d

ρ

=

, (46)

( )

i 1 i 2 2 2 h h h i 1 h i

dv

_ˆ

q

2 u v d

q v

d

+ ρ ₋ ₊ + ρ

⎛

_{ρ + γ}

⎞

_{ρ =}

_{ρ ρ}

₋

_{ρ ρ}

⎜

_ρ

⎟

⎝

⎠

∫

. (47)

Observa-se das Eqs. (46) e (47) que apenas o fluxo numérico

ˆq

_h aparece nestas equações. Estes fluxos são os mesmos adotados na Seção 4.1, ou seja, para os elementos pertencentes ao interior do intervalo

(0, )

ρ

_e , utiliza-se a Eq. (37) e para os elementos próximos às extremidades deste intervalo, utilizam-se as Eqs. (38.b) e (39.b), respectivamente.

Sobre cada intervalo, a solução aproximada

u

_h é dada pela Eq. (40) e a solução aproximada da Eq. (42),

q

_h, é dada por

h i 1 h i h i 1 i

u (

) u ( )

q ( )

−+ + +

ρ

−

ρ

ρ =

ρ − ρ

,

ρ∈ ρ ρ

( ,

i i 1+

)

. (48)

De forma similar ao realizado na Seção 4.1, constroem-se três sistemas de equações lineares, sendo um para os elementos intermediários do intervalo

(0, )

ρ

_e ,

I , i 2,..., n 1

_i

=

−

, um para o elemento

1

I

e um para o elemento

I

_n.

Para obter o sistema de equações dos elementos intermediários substitui-se a função

v a b

= + ρ

, a Eq. (37), a Eq. (40) e a Eq. (48) na Eq. (47) e agrupam-se os termos que multiplicam os coeficientes a e b. Uma vez que estes coeficientes são arbitrários, obtém-se um sistema de duas equações lineares em cada elemento para seis incógnitas.

(11)

Para o elemento

I

₁, substitui-se a função v, a Eq. (38.b), a Eq. (40) e a Eq. (48) na Eq. (47) e para o elemento

I

_n substitui-se a função v, a Eq. (39.b), a Eq. (40) e a Eq. (48) na Eq. (47). Procedendo-se de maneira semelhante ao descrito para os elementos intermediários, obtêm-se duas equações e quatro incógnitas para o primeiro e para o último elemento.

Sendo n o número de elementos utilizados na discretização do domínio, tem-se um sistema de

2n 1

−

equações lineares com

2n 1

−

incógnitas a serem determinadas. A solução deste sistema são os valores de

u

_h à direita e à esquerda dos nós pertencentes ao interior do intervalo

(0, )

ρ

_e

juntamente com o valor de

u

_h pela esquerda do nó localizado em

ρ

_e. Os valores de

q ( )

_h

ρ

são calculados da Eq. (48).

Igualmente à formulação anterior, as aproximações

u

_h e

q

_h são descontínuas sobre os nós. Aproxima-se a solução u e sua derivada u′, sobre os nós, pelos valores de

ˆu

_h e

ˆq

_h, respectivamente. Estes valores são calculados das Eqs. (36)-(39).

5 RESULTADOS

OBTIDOS

Apresentam-se os resultados numéricos obtidos com a aplicação das formulações original e alternativa do MEFGD descritas nas Seções 4.1 e 4.2, respectivamente. Os resultados numéricos são comparados com a solução exata do problema dada pelas Eqs. (13), (14) e (11), e com resultados numéricos obtidos da formulação do MEFGC descrita na Seção 3.

Para a obtenção das soluções, foram utilizados os seguintes valores em unidades adimensionais:

ρ =

_e

1

,

κ =

0, 4

que fornece

γ =

0,055

da Eq. (11),

η ≡

C / C

₁₂ ₁₁

=

1/ 2

,

C

₁₁

=

10

5,

4 22

C

=

5x10

e, da Eq. (18),

ˆp 10

₌

−2_.

Na Figura 1 mostra-se o gráfico do campo de deslocamento u versus o raio

ρ

no intervalo

(0,1)

. A linha cheia representa a solução exata dada pelas Eqs. (13), (14) e (11), e as demais linhas, tracejadas, representam soluções numéricas obtidas com o emprego do MEFGC, MEFGD original e MEFGD alternativo para uma malha uniforme com 1024 elementos. Observa-se deste gráfico que todas as soluções numéricas aproximam bem a solução exata.

-0,01 -0,009 -0,008 -0,007 -0,006 -0,005 -0,004 -0,003 -0,002 -0,001 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 u ρ

Exata MEFGC MEFGD ORIGINAL MEFGD ALTERNATIVO

(12)

Na Figura 2 mostra-se o campo de deformação

ε =

_ρρ

u

′

versus o raio

ρ∈

(0,1)

. Similarmente ao exposto acima, a linha cheia representa a expressão exata de u′ e as demais linhas representam soluções numéricas obtidas com o emprego do MEFGC, MEFGD original e MEFGD alternativo para uma malha uniforme com 1024 elementos. Lembra-se do exposto nas Seções 3 e 4 que as aproximações de u′ obtidas de ambos, MEFGC e MEFGD alternativo, são constantes sobre cada elemento e que as aproximações de u′ obtidas do MEFGD original são lineares sobre cada elemento. Observa-se deste gráfico que todas as expressões numéricas aproximam bem a expressão exata de

u′. Observa-se ainda que as aproximações obtidas com todas as formulações tendem ao infinito à medida que

ρ

tende a zero.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 u' ρ

Figura 2 – Deformação infinitesimal u’ versus raio ρ no intervalo (0,1).

A Figura 3 mostra curvas de erros entre a solução exata u e as soluções aproximadas

u

_h

geradas pelas formulações do MEFGC, MEFGD original e MEFGD alternativo, utilizando-se malhas uniformes com 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 e 1024 elementos. Para o cálculo destes erros utilizou-se a norma Euclidiana

1 2 n 2 i 2 i 1

e

=

⎛

⎞

= ⎜

⎟

⎝

∑

⎠

, (49)

onde

e

_i é o erro da aproximação por elementos finitos definido por

( )

i i ˆh i

e =u ρ −u ρ . (50)

(13)

-5 -4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 lo g10 e log10n

MEFGC MEFGD ORIGINAL MEFGD ALTERNATIVO

Figura 3 – Curvas de erro obtidas de resultados gerados pelo MEFGC, MEFGD original e MEFGD alternativo.

As curvas mostradas na Figura 3 referem-se ao logaritmo na base dez do erro e dado pela Eq. (49) versus o logaritmo na base dez do número de elementos finitos utilizados para discretizar o domínio em todos os métodos. Observa-se destas curvas que os resultados gerados pelas formulações original e alternativa do MEFGD são bem mais precisos que os resultados gerados pelo MEFGC. Observa-se ainda que os erros obtidos com a formulação alternativa do MEFGD são um pouco maiores que os erros obtidos com a formulação original do MEFGD.

A Figura 4 mostra curvas de erros entre a solução exata u′ e as soluções aproximadas

q

_h

geradas pelas formulações do MEFGC, MEFGD original e MEFGD alternativo, utilizando-se malhas uniformes com 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 e 1024 elementos. Para o cálculo destes erros utilizou-se a definição de erro médio

n 1 m j j 1 1 e e n 1 + = = +

∑

, (51)

onde

n

é o número de elementos finitos e

e

_j é o erro dado por

( )

j j

ˆ

h j

e

=

u

′

ρ −

q

ρ

. (52)

Observa-se das Eqs. (37), (38.b) e (39.b) que

ˆq

_h

( )

ρ =

_j

q ( )

_h

ρ

_j no caso do MEFGC.

As curvas mostradas na Figura 4 referem-se ao logaritmo na base dez do erro médio dado pela Eq. (51) versus o logaritmo na base dez do número de elementos finitos utilizados para discretizar o domínio. Observa-se destas curvas que, à medida que se refina a malha de elementos finitos, o erro médio diminui para todas as formulações. Para uma dada malha, os resultados gerados pela formulação original do MEFGD são mais precisos que os resultados gerados pela formulação alternativa do MEFGD. Além disso, os erros obtidos com ambas as formulações do MEFGD são bem inferiores àqueles obtidos com o MEFGC.

(14)

-5 -4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 lo g10 e log10n

MEFGC MEFGD ORIGINAL MEFGD ALTERNATIVO

Figura 4 – Curvas de erro obtidas de resultados gerados pelo MEFGC, MEFGD original e MEFGD alternativo.

Analisa-se agora a convergência das aproximações de u em dois pontos do intervalo

(0,1]

. O primeiro ponto corresponde a

ρ =

1

e pertence a uma região onde a solução exata fornece um campo de deformação infinitesimal. O segundo ponto corresponde a

ρ =

1/ 256

e pertence a uma região onde não somente as deformações são grandes, mas também ocorre o fenômeno da auto-intersecção investigado por Aguiar (2006).

Mostra-se na Figura 5 um gráfico do deslocamento calculado em

ρ =

1

versus o logaritmo na base dois do número de elementos finitos. A linha cheia horizontal corresponde ao valor exato deste deslocamento e as outras linhas correspondem aos valores aproximados obtidos com o MEFGC, MEFGD original e MEFGD alternativo.

-0,0092 -0,0091 -0,009 -0,0089 -0,0088 -0,0087 -0,0086 -0,0085 -0,0084 -0,0083 -0,0082 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 u log2n

Figura 5 – Deslocamento u em ρ=1 versus logaritmo na base dois do número

n

de elementos finitos.

Observa-se da Figura 5 que os deslocamentos nodais obtidos com o MEFGC convergem assintoticamente para o deslocamento nodal obtido da solução exata à medida que se refina a malha de elementos finitos utilizada para discretizar o domínio. Os deslocamentos nodais obtidos com ambas as formulações do MEFGD aproximam melhor os deslocamentos nodais obtidos da solução exata do que os deslocamentos nodais obtidos com o MEFGC. Em particular, observa-se que para uma

(15)

discretização com apenas dois elementos ambas as formulações do MEFGD produzem aproximações da solução exata que são sensivelmente melhores do que a aproximação produzida com dois elementos do MEFGC. Observa-se ainda que a convergência do MEFGC é monótona conforme predito na literatura para métodos de elementos finitos conformes (Soriano, 2003).

Mostra-se na Figura 6 um gráfico do deslocamento calculado em

ρ =

1/ 256

versus o logaritmo na base dois do número de elementos finitos. A linha cheia horizontal corresponde ao valor exato deste deslocamento e as outras linhas correspondem aos valores aproximados obtidos com o MEFGC, MEFGD original e MEFGD alternativo. Observa-se da Figura 6 que a curva obtida com o MEFGC indica tendência de convergência assintótica para a solução exata. Os deslocamentos nodais obtidos para ambas as formulações do MEFGD convergem para os deslocamentos nodais obtidos da solução exata. Os erros obtidos com ambas as formulações do MEFGD são bem menores do que os erros obtidos com o MEFGC.

-0,0053 -0,0052 -0,0051 -0,005 -0,0049 -0,0048 -0,0047 -0,0046 -0,0045 -0,0044 -0,0043 8 9 10 11 u log2n

Figura 6 – Deslocamento u em ρ=(1/256) versus logaritmo na base dois do número

n

A Figura 7 mostra uma ampliação da Figura 6 na vizinhança do valor exato

u(1/ 256)

para as soluções aproximadas obtidas com ambas as formulações do MEFGD. Observa-se que ambas convergem de forma não-monótona para a solução exata do problema.

-0,00525 -0,005245 -0,00524 -0,005235 -0,00523 -0,005225 -0,00522 -0,005215 8 8,5 9 9,5 10 10,5 11 u log2n

Exata MEFGD ORIGINAL MEFGD ALTERNATIVO

(16)

Mostra-se na Figura 8 um gráfico da deformação calculada em

ρ =

1

versus o logaritmo na base dois do número de elementos finitos. A linha cheia horizontal corresponde ao valor exato desta deformação e as outras linhas, tracejadas, correspondem aos valores aproximados obtidos com o MEFGC, MEFGD original e MEFGD alternativo. Observa-se desta figura que as deformações obtidas das soluções aproximadas pelo MEFGC convergem assintoticamente para o valor exato de deformação e que ambas as formulações do MEFGD fornecem aproximações mais precisas do que as aproximações obtidas com o MEFGC.

-0,003 -0,0025 -0,002 -0,0015 -0,001 -0,0005 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 u' log2n

Figura 8 – Deformação u’ em ρ=1 versus logaritmo na base dois do número

n

A Figura 9 mostra uma ampliação da Figura 8 na vizinhança do valor exato

u (1)

′

para destacar as curvas das deformações aproximadas obtidas com ambas as formulações do MEFGD. Observa-se que as deformações nodais obtidas com ambas as formulações do MEFGD convergem assintoticamente para o deslocamento nodal obtido da solução exata do problema à medida que se refina a malha de elementos finitos. As aproximações obtidas com a formulação original do MEFGD são melhores do que as aproximações obtidas com a formulação alternativa do MEFGD.

-0,00092 -0,000918 -0,000916 -0,000914 -0,000912 -0,00091 -0,000908 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 u' log2n

(17)

Mostra-se na Figura 10 um gráfico da deformação calculada em

ρ =

1/ 256

versus o logaritmo na base dois do número de elementos finitos. A linha cheia horizontal corresponde ao valor exato desta deformação e as outras linhas correspondem aos valores aproximados obtidos com o MEFGC, MEFGD original e MEFGD alternativo. Observa-se da Figura 10 que a curva obtida com a formulação do MEFGC indica tendência de convergência assintótica para o valor exato de deformação. Observa-se também que ambas as formulações do MEFGD fornecem resultados numéricos que estão de muito bom acordo com o valor exato de deformação e que estes resultados são mais precisos do que os resultados obtidos com o MEFGC. Com o objetivo de melhor visualizar as soluções aproximadas obtidas com ambas as formulações do MEFGD, mostra-se na Figura 11 uma ampliação da Figura 10 na vizinhança do valor exato de

u (1/ 256)

′

.

-0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 8 9 10 11 u' log2n

Figura 10 – Deformação u’ em ρ=1/256 versus logaritmo na base dois do número

n

Observa-se da Figura 11 que aqui também os valores nodais de deformação obtidos com ambas as formulações do MEFGD indicam tendência de convergência assintótica para o valor exato

u (1/ 256)

′

. Os erros obtidos com a formulação original do MEFGD são menores do que os erros obtidos com a formulação alternativa do MEFGD. Observa-se também que ambas as formulações do MEFGD fornecem resultados numéricos que estão de muito bom acordo com o valor exato de deformação e que estes resultados são mais precisos do que os resultados obtidos com o MEFGC.

-0,1385 -0,1375 -0,1365 -0,1355 -0,1345 -0,1335 8 9 10 11 u' log2n

(18)

6 CONCLUSÕES

A partir dos resultados obtidos neste trabalho observa-se que ambas as formulações do MEFGD fornecem melhores aproximações tanto para o campo de deslocamento quanto para o campo de deformação do que as aproximações obtidas com o MEFGC.

Os erros entre a solução exata e as soluções aproximadas obtidas com a formulação alternativa do MEFGD são um pouco maiores do que os erros correspondentes obtidos com a formulação original do MEFGD. Este aumento nos erros é compensado pelo menor esforço computacional exigido pela formulação alternativa.

7 AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem ao CNPq e à FAPESP, Proc. No. 2008/03706-3 pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não se realizaria.

8 REFERÊNCIAS

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(19)

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