OTIMIZAÇÃO DE PARÂMETROS APLICADOS NO CONTROLE DE
VIBRAÇÕES DE ROTORES FLEXÍVEIS UTILIZANDO TÉCNICAS
HEURÍSTICAS
Marcus Vinicius Fernandes de Oliveira, marcusfernandesss@mestrado.ufu.br1
Lucas Altamirando de Andrade da Rocha, lucasaarocha@doutorado.ufu.br1
Edson Hideki Koroishi, edsonh@utfpr.edu.br2
Valder Steffen Jr, vsteffen@mecanica.ufu.br1
1 Universidade Federal de Uberlândia (UFU) – Faculdade de Engenharia Mecânica - Campus Santa Mônica, Av. João Naves de Ávila 2121, Bloco 1M, Uberlândia, MG, Brazil, CEP 38400-902
2 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) – Campus Cornélio Procópio, Av Alberto Carazzai 1640, Cornélio Procópio, MG, Brasil, CEP 86300-000
Resumo: A utilização de diversas técnicas de controle aplicadas em atuadores eletromagnéticos a fim de atenuar vibrações em máquinas rotativas tem apresentado resultados satisfatórios, porém a utilização deste tipo de atuadores exige certa quantidade de energia para seu funcionamento. Este trabalho tem como objetivo utilizar técnicas heurísticas de otimização para minimizar o consumo de energia dos atuadores enquanto se garante a maior redução possível dos níveis de vibração do sistema. Para tanto foi necessário usar técnicas de otimização, a partir da definição da função objetivo, assim como as variáveis de projeto associados ao sistema de controle, considerado o seu modelo. O modelo do sistema rotativo utilizado para representar o sistema completo (rotor-suportes-fundação) foi obtido utilizando o Método dos Elementos finitos. O presente trabalho propõe utilizar os métodos de otimização dos Algoritmos Genéticos e da Evolução Diferencial para resolver o problema acima descrito.
Palavras-chave: Controle Ativo de Vibrações, Máquinas Rotativas, Otimização, Algoritimos Genéticos, Evolução Diferencial.
1. INTRODUÇÃO
É de grande interesse para as indústrias encontrar maneiras de reduzir a vibração no conjunto rotor-eixo-mancal. Sabe-se que a vibração excessiva do sistema pode ocasionar dificuldades operacionais, perda de precisão e até a falha do sistema (Das et al, 2011).
Dentre os métodos utilizados para atenuar vibrações, destaca-se o chamado Controle Ativo de Vibrações (AVC -
Active Vibration Control), que consiste basicamente em um sistema de controle projetado para obter informações do
conjunto rotor-mancal e aplicar as ações corretivas necessárias (Abduljabbar et al, 1996). Segundo (Sadarriaga, 2007) as técnicas de controle ativos de vibrações em máquinas rotativas podem ser apresentadas em duas categorias: a primeira consiste em aplicar forças laterais para contrapor as forças causadas pela vibração; a segunda técnica consiste em redistribuir a massa ao longo do eixo com a ajuda de atuadores, de maneira a balancear o rotor.
A metodologia utilizada por (Simões, 2007) consiste em aplicar controle ótimo utilizando o Regulador Linear Quadrático para atenuar os quatro primeiros modos de flexão de um rotor flexível; para tanto, foi utilizado um atuador piezelétrico do tipo pilha.
No trabalho de (Morais et al, 2014) é desenvolvida uma metodologia de balanceamento de um sistema rotativo considerando as não-linearidades introduzidas pelo atuador eletromagnético utilizado no sistema, sendo aplicadas técnicas de otimização pseudorrandômica para identificar o desbalanceamento.
Diversas técnicas de otimização vem sido utilizadas em trabalhos envolvendo máquinas rotativas, uma vez que, com o avanço dos computadores pessoais, tornou-se possível o estudo de problemas mais complexos (Saruhan, 2006). Em muitos casos aplica-se otimização em problemas de máquinas rotativas para obter combinações entre variáveis de projeto a fim de obter o ponto ótimo de trabalho (Keshtkar et al, 2011).
Este trabalho se propõe a otimizar o desempenho do controle ativo de vibrações aplicado em um rotor flexível que utiliza atuadores eletromagnéticos. O processo de otimização consiste em encontrar uma configuração ótima do sistema de controle, resultando um satisfatório compromisso entre consumo de energia e atenuação do nível de vibração do rotor.
2. ROTOR FLEXÍVEL
A resposta dinâmica do sistema mecânico considerado pode ser modelado pelo uso do princípio da mecânica variacional, chamado Princípio de Hamilton. Para este propósito, a energia de deformação do eixo e as energias cinéticas do eixo e dos discos são calculadas. A utilização do Princípio de Hamilton Estendido torna possível incluir os efeitos da energia de dissipação. Os parâmetros dos mancais são considerados no modelo do sistema pelo uso do princípio do trabalho virtual. Para propósitos computacionais, o método dos elementos finitos é utilizado para discretizar a estrutura, sendo que as energias calculadas são concentradas nos pontos nodais. Funções de forma são utilizadas para conectar os pontos nodais. Para obter a rigidez do eixo, a teoria de viga de Timoshenko foi utilizada e a área da seção transversal foi atualizada conforme proposta por Hutchison, 2001. O modelo assim obtido é representado matematicamente por um conjunto de equações diferenciais (Lalanne, 1998) como dada pela Eq. (1), em sua forma matricial.
(1)
na qual, {x(t)} é o vetor de deslocamento generalizado; [M], [Cb], [Cg], [K] e [Kg] são as conhecidas matrizes de inércia,
rigidez, amortecimento viscoso do mancal (que pode incluir amortecimento proporcional), giroscópica (com respeito a velocidade de rotação) e os efeitos da variação da velocidade de rotação; 𝜑̇ é a velocidade angular que varia no tempo, e
são as forças devidas ao desbalanceamento e ao atuador eletromagnético, respectivamente. A Fig. (1) apresenta o modelo discretizado do rotor analisado.
Figura 1. Modelo discretizado do rotor flexível.
Os nós 13 e 22 correspondem à posição dos discos, os nós 8 e 27 aos sensores e os nós 4 e 31 aos mancais, sendo que o mancal do nó 4 corresponde à posição dos atuadores eletromagnéticos, constituindo o mancal híbrido (rolamento de esferas + atuadores), enquanto que o mancal localizado no nó 31 é um mancal de rolamento. Maiores detalhes sobre o rotor utilizado e sobre os atuadores eletromagnéticos são apresentados em Koroishi et al. (2013).
3. MÉTODOS HEURÍSTICOS DE OTIMIZAÇÃO
A otimização visa determinar a melhor configuração para um sistema sem ter que testar todas as possibilidades; assim, otimizar é melhorar o que já existe, aumentando a eficiência de seu desempenho e diminuindo os custos de projeto e operação (Lobato, 2008). Como limitações, têm-se o aumento do tempo computacional quando o número de variáveis de projeto cresce, o surgimento de funções descontínuas que apresentam lenta convergência, ou de funções com vários mínimos locais dificultando encontrar o mínimo global que raramente é obtido (Saramago, 1999).
Não existe nenhum algoritmo de otimização que possa ser aplicado eficientemente a todas as classes de problemas (Edgar et al., 2001). O método escolhido para um caso particular é fortemente dependente da natureza da função objetivo, das restrições e do número de variáveis dependentes e independentes (Lobato, 2008).
De forma conceitual, o problema de otimização é caracterizado pela função objetivo, variáveis de projeto e funções de restrição (Vanderplaats, 1999).
Função Objetivo: define a característica do sistema que se deseja melhorar. Matematicamente, esta característica é representada por uma equação matemática dependente (explicitamente ou não) das variáveis de projeto;
e
u EMA
Variáveis de Projeto: conjunto de parâmetros que podem influenciar os valores da função objetivo. Devidamente manipuladas, promovem modificações no sentido de aumentar ou diminuir os valores da função objetivo. São também denominadas variáveis de decisão ou de busca;
Restrições: são características que dependem matematicamente das variáveis de projeto e limitam os valores da função objetivo a certas regiões do espaço de projeto.
Os métodos heurísticos de otimização têm recebido especial atenção nas últimas décadas. Tais métodos são baseados nos princípios e modelos de evolução biológica, e se destacam principalmente pela sua simplicidade conceitual e versatilidade na resolução de problemas realísticos; além disso, o desenvolvimento de modelos computacionais, baseado em mecanismos evolutivos, caracteriza-se pela configuração de algoritmos de otimização robustos (Deb, 2000).
Em algumas situações, mais de um objetivo é requerido no processo de otimização; neste caso, utiliza-se a otimização multiobjectivo ou multicritério. (Vanderplaats, 1999) apresenta uma técnica para realizar a otimização multiobjectivo chamada Compromise Programming (otimização de compromisso), conforme representada pela Eq.(2).
(2)
na qual,
é o vetor das variáveis de projeto;
é o fator peso de cada k-ésima função objetivo; é a k-ésima função objetivo;
é o melhor valor da k-ésima função objetivo;
é o pior valor da k-ésima função objetivo.
3.1. Evolução Diferencial (ED)
O método de Evolução Diferencial foi proposto pela primeira vez em 1995 por Price e Storn, o qual consiste em uma técnica de otimização que utiliza conceitos evolutivos para buscar o ponto ótimo (Zou et al, 2013). O fato do método da Evolução Diferencial utilizar vetores para a obtenção de novos potenciais candidatos a resolver o problema um otimização proporciona ao método algumas vantagens como: facilidade de uso, estrutura simples, velocidade, robustez e capacidade de escapar de ótimos locais (Silva et al, 2012). Para gerar uma nova população são utilizados operadores específicos de cruzamento, mutação e seleção para obter os melhores candidatos.
Observa-se na Fig. (2) um esquema gráfico do método de busca do algoritmo de ED, onde são selecionados aleatoriamente dois vetores (
x x
r2,
r3), dentre os três vetores (x , x , x
r1 r2 r3), para que seja realizada a subtração dos mesmos. O vetor resultante obtido com a subtração, (x
r2
x
r3), é então multiplicado por um escalar F, formando o vetorF
(
x x
r2
r3)
que, somado ao vetorx
r1, fornece um novo vetor,v
i. Sabe-se que, em termos da ED, esse vetori
v
indica uma nova posição no espaço, ou seja, um novo indivíduo (Lobato, 2008). Um algoritmo simplificado para implementação do método é apresentado na Fig. (3).Figura 2. Fundamentação teórica do algoritmo de Evolução Diferencial (Lobato, 2008).
2 1 2 1 * *
K k k worst k k k kX
F
X
F
X
F
X
F
W
X
F
X
kW
X
F
k
X
F
k*
X
F
kworstFigura 3. Algoritmo do método de Evolução Diferencial (Keshtkar et al, 2011) 3.2. Algoritmos Genéticos (AGs)
Esta técnica foi apresentada primeiramente por Holland em 1975 e estendido posteriormente por De Jong e Goldberg. A técnica de busca no método de AGs mostra-se bastante eficiente ao aplicar leis da genética para explorar o espaço de busca de diversos tipos de problemas, aplicados com sucesso em problemas científicos e de engenharia (Zhang et al, 2005). Isto se deve ao fato de que o método de AGs é um método de busca não determinística e não requer solução de equações diferenciais; sendo assim, consegue trabalhar com robustez em problemas complexos envolvendo descontinuidades e funções discretas (Saruhan, 2006).
Os Algoritmos Genéticos, assim como o método de Evolução Diferencial, opera com operadores biológicos, a saber, o cruzamento, recombinação e mutação, que têm a responsabilidade de gerar indivíduos cada vez mais aptos (Lobato, 2008).
A Fig. (4) apresenta um algoritmo básico do método dos AGs. A Fig. (4) pode ser descrita nas seguintes etapas (Long, 2013):
1. Inicialização
1.1. Entrada dos parâmetros inicias 1.2. Criação da população inicial 1.3. Geração = 1
2. Enquanto a população máxima for atingida 2.1. Selecionar os indivíduos mais aptos 2.2. Aplicar o operador de cruzamento 2.3. Aplicar o operador de mutação 3. Atualização da geração existente 4. Avaliação da função
5. Geração = Geração + 1 até a convergência estipulada previamente ser alcançada.
Figura 4. Fluxograma do método de Algoritmos Genéticos (Saruhan, 2006) 4. SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL
O primeiro passo na simulação computacional foi definir a função objetivo e as variáveis de projeto. Em termos das variáveis de projeto, foi observado que um controlador necessita tanto do deslocamento modal (𝑞) como da velocidade modal (𝑞̇) (veja a Fig. (5)) para garantir seu funcionamento. A componente da velocidade modal insere amortecimento ao sistema; desta forma, a variação do valor de 𝑞̇ permite aumentar ou diminuir a influência do amortecimento sobre o sistema e, sendo assim, foi utilizado um parâmetro 𝑐, permitindo a determinação de uma nova relação para 𝑞̇:
𝑞̇′= 𝑐 𝑞̇ (3)
na qual 0≤ 𝑐 ≤ 100 (espaço de projeto).
Com relação à função objetivo, inicialmente foi necessário definir os parâmetros da função apresentada pela Eq. (2). No presente trabalho, o objetivo era encontrar uma boa relação entre consumo de energia e a atenuação de vibração. Para tanto, foram definidas duas funções objetivo: F1 (relacionada à resposta do sistema) e F2 (referente à corrente
elétrica). Busca-se uma solução ótima de compromisso envolvendo estas duas funções.
t xF1 (4)
Na qual, x(t) é a resposta de deslocamento do rotor, medida no nó 8.
Idt
F2 (5)
Utilizando as Eqs. (3) e (4), determinou-se a função de compromisso, a qual é apresentada pela Eq. (5).
2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 worst best best best worst best F F F c F W F F F c F W c FG (6)A Tab. (1) apresenta os valores de Wi, Fiworst e Fibest.
Tabela 1. Parâmetros utilizados na Função de Compromisso dada pela Eq. (5).
Parâmetros AG DE W1 0,01 a 0,99 W2 0,99 a 0,01 F1worst 1,80×10-3 5,70×10-3 F1best 8,73×10-5 8,65×10-4 F2worst 9,24×10+0 9,24×10+0 F2best 5,57×10-1 3,05×10-2
Deve-se esclarecer que a combinação dos pesos Wi foram feitas de forma que W1 +W2=1,00. 5. RESULTADOS NUMÉRICOS
A Fig. (6) apresenta os valores otimizados da variável de projeto, tanto para o método AG como para o algoritmo da DE, em função das combinações de W1 e W2. Vale ressaltar que o aumento do valor da abscissa, representa o
aumento de W1 e a diminuição de W2. Segundo os valores apresentados na Tab. (1), foram obtidas 99 combinações de
W1 e W2, (conforme mencionado acima, para cada combinação tem-se W1+W2.=1,00).
Figura 6. Variável de Projeto X Combinação W1 e W2: AG (vermelho) e ED (azul).
Através da Fig. (6), é possível observar que o valor da variável de projeto tende a aumentar com o aumento de
(5)) sobre a variável de projeto. Deste resultado, pode-se observar que a variável de projeto tende a aumentar à medida que se aumenta a influência da diminuição da resposta do sistema. A relação entre as funções objetivo F1 e F2 pode ser
avaliada através da Curva de Pareto apresentada pela Fig. (7).
Figura 7. Comparação da curva de Pareto de AG (vermelho) e ED (azul).
Através da Fig. (7), pode-se observar que as funções objetivo F1 e F2 seguem caminhos opostos com a variação da
combinação de W1 e W2. Este resultado demonstra que, conforme esperado, o aumento da diminuição da resposta do
sistema utilizando controle ativo de vibrações por meio de atuadores eletromagnéticos gera um aumento no consumo de energia demonstrado pela corrente elétrica utilizada por estes atuadores.
Desta forma, é necessário encontrar uma boa relação entre W1 e W2, de forma que o nível de vibração seja reduzido,
sem causar um consumo excessivo de energia.
A Fig. (8) apresenta os valores normalizados obtidos para as funções objetivo (F1 e F2) em função da variação de
W1 e W2. No gráfico apresentado pela Fig. (8) observa-se que o ponto de intersecção de F1 e F2 ocorre para W1=0,03 e
W2=97, utilizando tanto a método da evolução diferencial como os algoritmos genéticos.
(a) (b) Figura 8. Comparação da Função Global entre F1 e F2: (a) AG e (b) ED.
A Fig. (8) também apresenta o valor da função de compromisso (FG) normalizada em função da variação de W1 e
W2. A partir deste gráfico, é possível observar uma maior influência da função objetivo F2 (referente ao consumo de
energia) sobre a função de compromisso (FG).
As Figs. (9) e (10) apresentam as órbitas da resposta dinâmica do sistema controlado de acordo com o aumento da função de compromisso (FG). A órbita em destaque (vermelho) representa a órbita ótima, considerando um bom compromisso entre atenuação de resposta e consumo de energia.
W1= 0,03 W2= 0,97
W2
W1
W2
W1
W1= 0,03 W2= 0,97W
1W
2Figura 9. Deslocamento no nó 8 na evolução da orbita do sistema controlado em relação à função de compromisso – AG: azul, sem controle; cinza, com controle; vermelho, orbita ótima.
Figura 10. Deslocamento no nó 8 na evolução da orbita do sistema controlado em relação à função de compromisso – ED. Em azul, sem controle; cinza, com controle; vermelho, orbita ótima.
As Figs. (11) e (12) apresentam, respectivamente, a órbita destacada em vermelho nos gráficos das Figs. (9) e (10) e a corrente elétrica utilizada pelos atuadores eletromagnéticos. Vale destacar a proximidade entre os resultados obtidos utilizando tanto os algoritmos genéticos como a evolução diferencial.
Figura 12. Comparação da corrente do atuador eletromagnético no nó 8 para os dois métodos de otimização, AG e ED.
6. CONCLUSÕES
O presente trabalho teve como objetivo otimizar o controle ativo de vibrações em um rotor flexível que utiliza atuadores eletromagnéticos. Esta otimização consistiu em encontrar uma configuração ótima do sistema de controle, resultando um bom compromisso entre consumo de energia e atenuação do nível de vibração do rotor.
Com este propósito foi inserido um parâmetro (c) que multiplicava a componente de deslocamento modal utilizado pelo controlador, sendo que este parâmetro foi considerado como sendo a variável de projeto. Como o objetivo foi encontrar uma boa relação entre consumo de energia e atenuação da resposta do sistema, o presente trabalho considerava simultaneamente dois objetivos (F1 e F2) e, por isto, foi utilizada a técnica da otimização de compromisso.
Neste tipo de função, foi necessário estabelecer valores para os coeficientes de ponderação W1 e W2, que funcionam
como pesos para F1 e F2, respectivamente. Em termos de técnicas de otimização, foram utilizadas dois métodos
heurísticos conhecidos, a saber os Algoritmos Genéticos e a Evolução Diferencial.
Os resultados obtidos demonstraram a proximidade dos resultados obtidos utilizando ambos os métodos heurísticos considerados, fato que revela a convergência dos valores ótimos. Como a função de compromisso representa uma função multiobjetivo, que no presente caso possui dois objetivos, os resultados também permitiram verificar a influência que cada objetivo exerce sobre a função de compromisso. Este fato é evidenciado pela variação dos pesos W1
e W2.
De um modo geral, pode-se concluir que a metodologia proposta e as ferramentas utilizadas foram válidas, tornando possível sua utilização para melhorar o desempenho do controle ativo de vibrações em rotores flexíveis utilizando atuadores eletromagnéticos. O bom funcionamento da estratégia adotada aponta para aplicações mais complexas no futuro.
7. AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem o suporte financeiro da FAPEMIG, CNPq e CAPES para este trabalho através do INCT-EIE.
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9. RESPONSABILIDADE AUTORAL
Os autores são os únicos responsáveis pelas informações incluídas neste trabalho.
OPTIMIZATION OF PARAMETERS APPLIED IN VIBRATION CONTROL
OF FLEXIBLE ROTORS USING HEURISTIC METHODS
Marcus Vinicius Fernandes de Oliveira, marcusfernandesss@mestrado.ufu.br1
Lucas Altamirando de Andrade da Rocha, lucasaarocha@doutorado.ufu.br1
Edson Hideki Koroishi, edsonh@utfpr.edu.br2
Valder Steffen Jr, vsteffen@mecanica.ufu.br1
1 Universidade Federal de Uberlândia (UFU) – Faculdade de Engenharia Mecânica - Campus Santa Mônica, Av. João Naves de Ávila 2121, Bloco 1M, Uberlândia, MG, Brazil, CEP 38400-902
2 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) – Campus Cornélio Procópio, Av Alberto Carazzai 1640, Cornélio Procópio, MG, Brasil, CEP 86300-000
Abstract. The use of different control techniques applied in electromagnetic actuators to mitigate vibrations in rotating machinery has shown satisfactory results, however the use of this type of actuators require certain amount of energy for their operation. This work aims at using heuristic optimization techniques to minimize the power consumption of the actuators while ensuring the greatest possible reduction of the vibration level of the system. Therefore, we need to define the appropriate objective function together with constraint functions, as well as the design variables associated with the control system, as based on the model of the complete system. The model of the rotating system used to represent the complete system (rotor - support - foundation) was obtained by using the finite element method. This paper proposes the use of two methods of optimization, namely the Genetic Algorithms and the Differential Evolution proposed to solve the above multiobjective optimization problem.
