Modelagem matemática da interação do rotavírus com o sistema imunológico

(1)

Modelagem matem´

atica da intera¸

c˜

ao do rotav´ırus

com o sistema imunol´

ogico

Andressa Pinheiro, Hyun M. Yang,

Depto de Matem´atica Aplicada, IMECC, UNICAMP, 13083-859 Campinas, SP

E-mail: andresssacvel@yahoo.com.br, hyunyang@ime.unicamp.br,

1 Introdu¸

c˜

ao

O rotav´ırus é considerado, atualmente, um dos mais importantes agentes causadores de gas-troenterites e óbitos em crian¸cas com menos de 5 anos no mundo. Ocorrem globalmente cerca de 125 milhões de episódios diarréicos por rotav´ırus a cada ano, causando entre 600.000 e 870.000 óbitos. Esses números alarmantes estimularam a busca por um controle desse v´ırus, mas para combatê-lo é necessário es-tudar seu comportamento, como ele penetra no organismo do ser humano, como age den-tro dele e como se espalha. Nesse trabalho apresenta-se um breve estudo sobre a biologia do rotav´ırus e os mecanismos de defesa apre-sentados pelo sistema imunológico. O princi-pal objetivo é, utilizando métodos quantita-tivos, estudar a intera¸cão entre o rotav´ırus e o sistema imunológico. Seguindo esse intuito apresenta-se um modelo matemático, composto de equa¸cões diferenciais ordinárias não lineares de primeira ordem que descreve a a¸cão do sis-tema imunológico inato, através de macrófagos, a fim de eliminar o rotav´ırus. O estudo quanti-tativo dessa infe¸cão microscópica será, posteri-ormente, útil em estudo microscópico da trans-missão de rotav´ırus em humanos.

2 Biologia do Rotav´ırus

O Rotav´ırus infecta praticamente todas as crian¸cas nos primeiros anos de vida. Provoca vômito, seguido de uma diarréia tão aguda que, se não houver tratamento, pode levar a desidrata¸cão grave seguida de choque.

A via fecal-oral se constitui na principal via de transmissão do rotav´ırus, com a elim-ina¸cão de até 1 trilhão de part´ıculas virais por mil´ımetro de fezes, sendo que a dose infectante

´

e de apenas 10 part´ıculas virais. O per´ıodo de incuba¸cão varia de 1 a 3 dias e o pico máximo de excre¸cão ocorre entre o terceiro e o quarto dia após o aparecimento dos primeiros sintomas. Uma caracter´ıstica interessante do rotav´ırus é a existência de uma sazonalidade de infeçcão que se manifesta nos meses mais frios e secos, no Brasil variando de abril a setembro. O rotav´ırus é um v´ırus da fam´ılia reoviri-dae, não possue envelope bilip´ıdico e é ex-tremamente resistente. A part´ıcula viral ex-ibe núcleo caps´ıdeo com simetria icosaédrica. As part´ıculas completas compreendem 3 ca-madas protéicas concêntricas: caps´ıdeo ex-terno, intermediário e interno. O genoma vi-ral é constitu´ıdo por 11 segmentos de RNA fita dupla, além da enzima transcriptase e das prote´ınas VP1, VP2 e VP3. Das 12 prote´ınas do rotav´ırus, 6 são estruturais, denominadas VPs(VP1-VP4, VP6 e VP7) e outras 6 não es-truturais, as NSPs(NSP1-NSP6). A camada in-termediária é constitu´ıda pela prote´ına VP6 e o caps´ıdeo externo é formado pelas prote´ınas VP7 e VP4.

Os rotav´ırus possuem tropismo natural por enterócitos maduros das vilosidades do in-testino delgado, particularmente da mucosa do jejuno. A replica¸cão ocorre no citoplasma das células absortivas diferenciadas, localizadas no ter¸co apical das vilosidades do intestino del-gado. As part´ıculas infecciosas são liberadas no lúmen intestinal e o processo replicativo tem continuidade na área distal do intestino del-gado. Estudos recentes demonstram que a en-trada dos rotav´ırus nas células se dá por meio de intera¸cões com receptores celulares contendo ´

acido siálico e integrinas no in´ıcio do processo de absor¸cão. Segundo [4], após a absor¸cão do v´ırus à célula hospedeira, sua penetra¸cão se dá por passagem direta através da

(2)

mem-brana celular e libera¸cão do nucleocaps´ıdeo no citoplasma. No fagossoma ocorre a perda do caps´ıdeo externo e conseqüentemente a lib-era¸cão de seu cerne no citoplasma celular. Os RNAs são transcritos pela RNA polimerase. Há produ¸cão de RNA (+) a partir do RNA (-) virais. As fitas de RNA (+) servirão de mRNA para a tradu¸cão das prote´ınas virais e assumem papel de molde para a produ¸cão de novas fitas de RNA (-), da´ı resultando RNA de dupla fita da progênie viral (Dipas). A mon-tagem das part´ıculas virais ocorre em estru-tura amorfa denominada viroplasma. Após a forma¸cão do cerne, o caps´ıdeo interno acopla ao redor do cerne viral e a part´ıcula viral in-completa deixa o viroplasma e passa para o interior do ret´ıculo endoplasmático rugoso por brotamento, onde adquire o caps´ıdeo externo juntamente com um envoltório transitório que depois se perde durante essa passagem. Essas são as part´ıculas virais maduras e finalmente o ciclo termina quando a progênie viral é liberada por lise da células hospedeira.

Por causa da morte das células infectadas como resultado da infeçcão pelo rotav´ırus, o sis-tema inato é rapidamente alertado para lidar com o ataque e o sistema adaptativo come¸ca a gerar produ¸cão de anticorpos protetores. Porém os mecanismos imunológicos que en-volvem todo o processo desencadeado por uma infeçcão de rotav´ırus não são ainda bem com-preendidos. Estudos têm demonstrado que an-ticorpos circulantes anti VP4 e VP7 são ca-pazes de neutralizar os rotav´ırus e proteger os hospedeiros suscet´ıveis. Estudos demonstram que várias citocinas estão implicadas na imu-nidade celular, entre elas: IFN-α, IFN-γ e TNF-α. Contudo, a fun¸cão que essas citoci-nas desempenham na patogênese e no controle do rotav´ırus ainda é indefinda.

3 Modelagem Matem´

atica

Depois de descrever com detalhes os mecan-ismos do rotav´ırus e sua intera¸cão com o sis-tema imunológico, vamos apresentar um mod-elo matemático para descrever a dinâmica da resposta imunológica humana diante de um est´ımulo antigênico pela introdu¸cão de um mi-croorganismo conhecido como rotav´ırus.

Neste caso, como vimos, a resposta imunol´ogica consiste, principalmente, na a¸c˜ao

do sistema inato, já que a estratégia de replica¸cão é oculta, o sistema imunológico passa a agir depois que ocorre a morte de células em grande quantidade .

O processo de desenvolvimento de um mod-elo matemático envolve o estudo da dinâmica do microorganismo invasor e do sistema imunológico inato isoladamente, para, então, obter um cenário quantitativo da complexa intera¸cão do sistema imunológico com o ro-tav´ırus.

Quando um micro-parasita invade o organ-ismo humano, ele busca um local apropriado para sua repli¸cão. O sistema imunológico pode ou não responder a essa presen¸ca estranha. Supondo que o sistema imunológico do hos-pedeiro seja incapaz de responder ao est´ımulo antigênico, é poss´ıvel estudar a dinâmica intr´ınseca do parasita e, após sua com-preensão, incorporar a¸cão do sistema imune nesta dinâmica. Quando se considera o sis-tema imunológico em estado de dormência, é de se esperar que o parasita cres¸ca sem ne-nhuma resistência, inicialmente. No entanto, `

a medida que sua concentra¸cão aumenta no organismo do hospedeiro, as células alvo fi-cam mais escassas, comprometendo sua capaci-dade de manuten¸cão. Assim, baseado em [1], a dinâmica dos micro-parasitas pode ser descrita por meio do sistema de equa¸cões diferenciais ordinárias          dR dt = (µ + α)cT − µRR dE dt = kE− γRE − µE dI

dt = γRE − βI − µI dT

dt = βI − (µ + α)T,

(1)

onde R, E, I e T denotam as concentra¸c˜oes por mm3_{, no instante de tempo t, de rotav´ırus,}

células epiteliais livres (que são as céluals alvo do rotav´ırus), células epiteliais infectadas pelo rotav´ırus e células epiteliais em estado ter-minal, respectivamente. As taxas per-capitas de crescimento (replica¸cão) dos rotav´ırus e de ataque a células epiteliais são, respectivamente, (µ + α)c e γ. Fazemos a taxa de replica¸cão dos rotav´ırus constante, pois quando uma célula ´

e invadida por micro-organismo, toda sua es-trutura celular é desviada para a replica¸cão do parasita, o que resulta na libera¸cão de um número muito grande de parasitas e a morte celular. A taxa de transferência das células epiteliais infectadas para o estado terminal é

(3)

β. As taxas per-capitas de mortalidade natu-ral dos rotav´ırus, e de mortalidade natunatu-ral das células epiteliais livres e infectadas são, respec-tivamente, µR, e µ, e α é a taxa de morte das

c´elulas T por apoptose. Finalmente kE

repre-senta a taxa de matura¸cão das células epiteliais, um valor constante para manter constante a popula¸cão de células pela homeostasia. Na re-alidade quando muitas células morrem a taxa de homeostasia pode aumentar, mas ficamos com o caso mais simples em que kEé constante.

O corpo humano procura manter equil´ıbrio, por meio de homeostasia das células que par-ticipam da resposta imunológica, como os macrófagos, as células B, T e apresentadoras de ant´ıgenos. Essa homeostasia pode ser de-scrita por meio de um sistema dinâmico que considera uma taxa de produ¸cão constante kQ,

onde Q representa uma das células efetoras do sistema imunológico, e uma mortalidade per-capita µQ, onde µQ−1é o tempo médio de vida

das células tipo Q. Assim, a dinâmica do sis-tema imunológico em repouso é descrita por

dQ

dt = kQ− µQQ, (2)

onde Q representa as c´elulas do sitema imunol´ogico.

Quando um parasita invade o organismo hu-mano, o seu sistema imunológico é rapidamente estimulado, mas no caso do rotav´ırus, dev-ido a sua replica¸cão oculta, vimos que o sis-tema imune só se dá conta do que está acon-tecendo quando uma grande quantidade de células morre ou está morrendo. Assim, consid-eramos um compartimento T , que são as células epiteliais infectadas em estado terminal, e estas que vão ativar o sistema imunológico. Consid-eramos ainda a resposta imunológica represen-tada pelas células do sistema inato, principal-mente os macrófagos.

Agora utilizamos a dinâmica do sistema (1) montado com o sistema imunológico em ”dormência”, considerando que o comparti-mento T vai ativar o sistema inato e con-siderando, então, o compartimento S das células do sistema imunológico inato (cuja dinâmica em repouso está descrita em (2)), obtemos o seguinte modelo de intera¸cão do

ro-tav´ırus com o sistema imunol´ogico inato

             dR dt = (µ + α)cT − SR − µRR dE dt = kE − γRE − µE dI

dt = γRE − βI − µI dT

dt = βI − (µ + α)T − σST dS

dt = kS+ ϕT − µSS,

(3)

onde µR, µ e µS s˜ao as taxas de mortalidade

natural do rotav´ırus, das células epiteliais (em qualquer estado: livre, infectada, terminal) e das células do sistema imunológico inato, re-spectivamente. E α e são as taxas de mortal-idade das células T por apoptose (morte celu-lar programada) e de mortalidade dos rotav´ırus pela a¸cão do sistema inato, respectivamente. Note que a taxa de crescimento (replica¸cão) do rotav´ırus é representada por (µ + α)c, pois são as células em estado terminal T que, quando mortas, liberam novos rotav´ırus e c é a con-stante indicando a quantidade de novos v´ırus.

A quantidade de células epiteliais livres de-cresce a uma taxa proporcional a quantidade de encontros entre células epiteliais livres e ro-tav´ırus, descrito por −γRE. Enquanto que a quantidade de células epiteliais infectadas cresce a essa mesma taxa proporcional de en-contros, descrito por γRE. Temos ainda que β ´

e a taxa com que as células epiteliais infectadas I passam para o estado terminal T , σ é a taxa de morte das células no estado terminal T de-vido a a¸cão das células do sistema inato e ϕ é taxa de clonagem de células do sistema inato para responder rapidamente à infeçcão. Final-mente, kE e kSsão as taxas de homeostasia das

c´elulas epiteliais livres e das c´elulas do sistema inato, respectivamente.

4 An´

alise do Modelo

Apresentaremos a an´alise do sistema de equa¸c˜oes (3), determinando os pontos de equil´ıbrio e estudando a estabilidade destes pontos.

O equil´ıbrio trivial do sistema de equa¸cões, o qual corresponde a situa¸cão de ausência do rotav´ırus ou por não ter ocorrido infeçcão ou subsequente a uma resposta imunológica bem sucedida, é dado por P0 = (R, E, I, T , S) onde

E = kE

µ , S = kS

µS e R = T = I = 0, ou seja,

P0= (0,k_µE, 0, 0,k_µS_S).

A estabilidade de P0´e determinada pelos

(4)

associada ao sistema de equa¸c˜oes (3) calculada em P0, a qual ´e dada por

        −θ 0 0 (µ + α)c 0 −γ(kE µ ) −µ 0 0 0 γ(kE µ ) 0 −(β + µ) 0 0 0 0 β −η 0 0 0 0 ϕ −µ_S         onde θ = ((kS µS) + µR) e η = (µ + α + σ( kS µS)).

O polinˆomio caracter´ıstico dado por det(J |P0− λI) = 0 ´e −_µ1 S2µ((µS+ λ)(λ + µ)P (λ)) = 0, (4) onde P (λ) = (−cµS2kEβγ(α + µ)+ +(µS(θ + λ))µ(β + λ + µ)(µS(η + λ))).

Para verificar a estabilidade de P0

deve-mos deve-mostrar que os autovalores associados ao polinômio (4) são negativos (se reais) ou pos-suem parte real negativa (se complexos). Facil-mente vemos que duas ra´ızes para o polinômio (4) são λ1 = −µS e λ2 = −µ, que são reais

negativas, então para garantir a estabilidade do ponto precisamos analisar os outros três au-tovalores designados por λ3, λ4 e λ5, que são

dados pelas ra´ızes do seguinte polinˆomio carac-ter´ıstico:

P (λ) = a0λ3+ a1λ2+ a2λ + a3= 0,

para essa analise vamos recorrer ao Crit´erio de Routh-Hurwitz, como descrito em [3]:

Crit´erio de Routh-Hurwitz: Dada uma equa¸c˜ao caracter´ıstica da seguinte forma

λk+ a1λk−1+ a2λk−2+ . . . + ak = 0, (5)

defina k matrizes como segue: H1= (a1), H2 = a1 1 a3 a2 ! , H3 =    a1 1 0 a3 a2 a1 a5 a4 a3   , . . . , Hj =      a1 1 0 0 . . . a3 a2 a1 1 . . . a5 a4 a3 a2 . . . a2j−1 a2j−2 a2j−3 a2j−4 . . .      , Hk=       a1 1 0 . . . 0 a3 a2 a1 . . . 0 .. . ... ... ... 0 0 . . . ak       ,

onde o termo (l, m) na matriz Hj ´e

a2l−m para 0 < 2l − m < k,

1 para 2l = m,

0 para 2l < m ou 2l > k + m.

Então o estado estacionário é estável se, e somente se, os determinantes de todas as ma-trizes de Hurwitz são positivos.

Assim, através do Critério de Routh-Hurwitz, as condi¸cões necessárias para estabil-idade, tratando-se de um polinômio de ordem k = 3, são: a1 > 0, a3 > 0 e a1a2 > a3. Em

P (λ) = 0 temos os seguintes coeficientes:

a1 = µSµ[µs((α + µ) + (β + µ))+ +(µSµR+ kS) + kSσ], a2 = µSµ[(µSµR+ kS)((α + µ) + (β + µ))+ +µS(α + µ)(β + µ)+ +kSσ(µR+ (β + µ))] + kS2µσ, a3 = −cµS2kEβγ(α + µ)+ +[(µSµR+ kS)µ(β + µ)(µS(α + µ)+ +kSσ)].

Como a1 > 0,para que a1a2 > a3 basta ter

a3> 0, isto ´e, −cµS2kEβγ(α + µ)+ +(µSµR+ kS)µ(β + µ)(µS(α + µ) + kSσ) > 0, que equivale a cµS2kEβγ(α + µ) < (µSµR+ kS)µ(β + µ)(µS(α + µ) + kSσ), ou seja, γ < γ0, onde γ0 = (µSµR+kS_cµ)µ(β+µ)(µ_S2_k S(α+µ)+kSσ) Eβ(α+µ) .

Temos, pelo modelo, que γ é a taxa de infeçcão, isto é, a taxa com que as células epiteliais livres se tornam infectadas ao encon-trarem um rotav´ırus. É ideal, para o controle da infeçcão, que γ0 seja grande para que a taxa

de infeçcão γ não ultrapasse o valor de γ0, pois

isso causaria uma infeçcão generalizada. Note que e σ, que são as taxas de mortalidade pela a¸cão das células do sistema imunológico inato sobre o rotav´ırus e as células epiteliais em es-tado terminal, respectivamente, influenciam di-retamente no crescimento de γ0, ou seja, se a

(5)

a¸cão do sistema inato é eficiente, γ pode não ul-trapassar γ0 e a infeçcão é debelada. Portanto

γ0 ´e o valor limiar, tal que, se γ se mantiver

abaixo desse valor limiar o equil´ıbrio trivial P0

é localmente e assintoticamente estável. O equil´ıbrio não trivial do sistema de equa¸cões (3), o qual representa a co-existência de todas as variáveis que compõem o modelo, ou seja, a presen¸ca de rotav´ırus juntamente com as células do sistema imunológico inato, é dado por P1 = (R, E, I, T , S), onde

             R = µ(β+α)(µ+α+σS)(µSS−kS) γ(kEβϕ−(β+α)(µ+α+σS)(µSS−kS)) E = (γkEβϕ−(β+α)(µ+α+σS)(µSS−kS)) µβϕ I = (µ+α+σS)(µSS−kS) βϕ T = (µSS−kS) ϕ , (6)

onde o valor de S não-trivial é obtido como ra´ızes da equa¸cão de segundo grau

a0∗S2+ a1∗S + a2∗ = 0, (7)

onde os coeficientes s˜ao dados por

             a0∗ = [ϕµ + µSγc(α + µ)][σ(β + µ)] a1∗ = [µSγc(α + µ)2+ ϕµµRσ+ +ϕµ(α + µ) − kSσγc(α + µ)][(β + µ)] a2∗ = [ϕµµR(β + µ)− −k_Sγc(α + µ)(β + µ) − ϕβkEγc][(α + µ)].

A natureza e número de solu¸cões biológicamente viáveis são determinados por estes coeficientes.

Referˆ

encias

[1] S. Barrozo, H.M Yang, Desenvolvimento de um modelo para resposta imunlógica primária célula-mediada, Tendências em Matemática Aplicada e Computacional, 7, No. 1 (2006), 31-41.

[2] S. Barrozo, H.M Yang, Mecanismos da intera¸cão ant´ıgeno-anticorpo em uma resposta primária célula T-mediada, Tendências em Matemática Aplicada e Computacional, 7, No. 1 (2006), 43-52.

[3] Edelstein-Keshet, Leah. Mathematical Models in Biology, Birkhauser Mathemat-ics Series, 1988.

[4] Mascarenhas, Joana DArc Pereira.Caracteriza¸c˜ao molecular de

genotipos de rotav´ırus do grupo A em Belém,Pará, no per´ıodo de 1990 a 2003: estudo em neonatos, crian¸cas diarréicas de 0 e 3 anos e ensaio cl´ınico com vacinas, Tese (Doutorado em Biologia Parasitária). Rio de Janeiro: Instituto Oswaldo Cruz, 2006.

[5] SECRETARIA DE ESTADO DA SAUDE DE SAO PAULO. Divisão de Imu-niza¸cão e Divisão de Doen¸cas de Trans-missão H´ıdrica e Alimentar. Centro de Vigilância Epidemiológica “Prof. Alexan-dre Vranjac”. Coordenadoria de Controle de Doen¸cas. Vaccine against rotav´ırus. Rev. Saúde Pública, Apr. 2006, vol.40, No.2, p.355-358. ISSN 0034-8910.

[6] C. Shirley, Rotav´ırus. http://www.drashirleydecampos.com.br. Acesso em: 2 set 2006.

[7] P.E. Maria Bernadete, Man-ual das doen¸cas transmitidas por alimentos e ´agua - Rotav´ırus. http://www.cve.saude.sp.gov.br/htm/hidrica /IF 63ROTA.htm. Acesso em: 2 set 2006.

[8] Kane, Erin M., Turcios, Reina M., Ar-vay, Melissa L. et al. The epidemiology of rotavirus diarrhea in Latin America: an-ticipating rotavirus vaccines. Rev Panam Salud Publica, Dec 2004, vol.16, no.6, p.371-377. ISSN 1020-4989

[9] S. Lauren, How Pathogenic Viruses Work, Janes and Bartlett. Canad´a, 2002.