JORGE ANDRÉ PARTÍCULAS E CAMPOS 1983 DEVERÃO

JORGE

ANDRÉ

PARTÍCULAS E CAMPOS 1983

JORGE

ANDRE

SWIECA

PARTÍCULAS E CAMPOS 1983

ESCOLA

DE VERÃO

Publicação da Sociedade Brasileira de Física. Subvencionada pelo

Con-selho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq),

Financiadora de Estudos e Projetos (FINEP) e Fundação de Amparo à

Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP).

í N D I C E

I n t r o d u ç ã o ã C r o m o d i n â m i c a Q u ã n t i c a

Ronald Cintra Shellard

Introdução ã Teoria da Gravitação 77

S. Ragusa

D u a l i d a d e e B o l a s d e G r u d e 1 3 9

Alberto F. S. Santoro

Espectroscopia Através das Regras úe Soma na QCD 2*»5

Carlos Ourivio Escobar

0 M é t o d o de M o n t e C a r l o em Teorias de Campos 3 0 6 C. Aragão de Carvalho Introdução â Grande U n i f i c a ç ã o e a S u p e r s i m e t r i a 3 2 7 A. H. Zimevman Solitons 3 5 3 Ivan Ventura

APRESENTAÇÃO

A S*ç"r.de Sessão de Partículas e Campos da Escola Jorge André Swleca re ' 7uu no Instituto de Física da USP entre os dias 22 de fevereiro e • ''» ...rço do 1983, tendo tido uma audiência de cerca de

100 part!-.:par. "s v.r.Jos de todo o Brasil.

A Escola Joroe André Swieca foi criada cem o objetivo de com-ple>nentar p-ou>anuc .3 pós-graduação, oferecendo cursos avançados ver-sando sobi 2 t-.'^icos 3 pesquisas atuais e que cubram uma gana ampla de assi-^tos.

A :('iú . 3. oroa.iizar uma Escola de Ve-ão regular no Brasil amadureceu <»c se9jnao «eirsstre de 1980 e > prof. Jorge A n d r é Swieca foi um dos < Í . Í ' * :>>i^Ms, tendo participado ativamente na sua con-cepção. 0 falecimento ^reinaturo de Jorge André Swieca, pouco antes do início da prlir^ir1 E«-k-la. foi um grande choque para toda a comunidade de fTsicos. Mo fina1 da primeira Escola, foi decidido por seus particj_ pantes adotar o nome Ho prof. Swieca para a Escola, como uma homenagem a CTI dos m£i^ brilhantes físicos da sua geração.

0 sucesso da Sejur.^a Sessão de Partículas e Campos da Escola Jorge André Swieca oeveu-se em particular so empenho de C A . Aragão de Carvalho, C G . B o i'ni, C 0.Escobar, J.J.GI.imoiagi, V . K u r a k , 0.0. Morrison, S. Ra-uij, A J. Santoro, I. Venturd e A.H. Zimerman, em mi-nistrar cursos e seminários excelentes. Gostaríamos de extender a to-dos eles, eu ro,-p ;-> cr-,ifz organizador, n^ssa profunda apreciação pe-lo seu trabalhe

A re.-'iz vi . ,:sta Escola não te. >a sido possível sem o apoio do CNPq e da .~ tf j. Agradecemos a estas agências pela expediência com que julgar.': t & rovaram os pejidos de auxílio. 0 apoio do Instít^j to de Física «d U P , "revendo toda a ínf»lestrutura necessária foi

es-sencial para o ',w<.e - • da Escola. A Escola recebeu também auxílio da l FINEP por intr^r»'.. .: di Sociedade Bras; cira de Física (S.B.F.). A » S.B.F. fornece. 3^bc: a estrutura secretarial para que a Escola fosse ; realizada. Gosca • ns de agradecer, e:r, particular, aos amigos Álvaro '\ Roberto de S O M / . l^raes e Conceição Vedovello, Secretários da S.B.F., • pela paciência, ec '.ação e entuolasmr pela realização da Escola, eles

Neusa P?~ia Hart in peia colaboração na p^sparação c'-ste texto para pu-blicaç"r>. Flr»!nente queremos expressar nosso reconhecimento aos cole_ gas pelo apoio e estítiuic, em particular 3 J?yne Tiomno, Zieli Dutra Thomé F? e Rolstd KoberIt pela participação m Comissão Organizadora dest.i Escola.

Gil da Costa Marques R o n a M Cintra Shetlard Nlcim Zagury

INTRODUÇÃO À CROMODINÂM1CA QUÂNTICA

RONALD CINTRA SHELLARD

DeptÇ. de Física

Pontifícia Universidade Católica Rua Marquês de São Vicente 225 22452 - Rio de Janeiro, RJ, Brasil

Instituto de Física Teórica Rua Pamplona 145

ÍNDICE 1. INTRODUÇÃO 2. TEORIA PERTURBATIVA 2.1 - Funcionais Geradores 2.2 - Cromodinámica Quântica 2.3 - Fantasmas de Faddeev-Popov 3. LIBERDADE ASSINTOTICA 3.1 - Regularização Dimensional 3.2 - Renormalização 3.3 " Subtração de Divergências 3.1» - Grupo de Renormal ização

k. MODELO DE PARTONS

V I - Partons

k.2 - Violação do Comportamento de Escala U.l - Aniquilação e e

b.k - Jactos

5. PROBLEMAS NAO PERTURBATIVOS 6. TEORIAS DE GAUGE NA REDE

6.1 - Definição

6.2 - Simulação Numérica 7. INSTANTONS E 0 ANGULO 6

7.1 - Instantons

7.2 - Angulo 9 •; 8. QUEBRA DA SIMETRIA QUIRAL ,{

I

8.1 - Simetria Quiral '

8.2 - Anomalias

I. INTRODUÇÃO

O advento das teorias de gauge para descrever as interações for tesl e e l e t r o f r a ç a s2 teve uma importância para nossa compreensão da nature

za da matéria, sõ comparável ã Revolução da Mecânica Quântica na década de 20. Estas teorias vieram s i m p l i f i c a r os conceitos sobre a natureza das inte_ rações, porém trouxeram no seu bojo toda uma gama de novos problemas,que aiji da estão longe de serem resolvidos. Neste curso vamos v i s i t a r alguns proble_ mas que estão presentes na Cromodinâmica Quântica (CDQ), mas que com frequêji cia são característicos de teorias de gauge mais gerais.

Durante a década de 6 0 , e - d a natureza das interações fortes teve um progresso muito lento. Por um lado, a maneira natural para descrever-se um problema quãntico r e l a t i v í s t i c o , segue via t e o r i a quântica dos campos, mas j á era c l a r o então, que as constantes de acop lamento típicas de processos de interações fortes nao permitiam fazer-se uso da teoria de perturbações. Por outro, só se saDia computar quantidades f í s i c a s , via te£ r i a oe perturbações. I s t o induziu várias abordagens do problema das intera ções hadrõnicasS, como o estudo da estrutura a n a l í t i c a da matriz S (que con_ têm a dinâmica das interações), pólos de Regge, cordas duais e mais uma deze_ na de modelos fenômeno lógicos. A f a l t a de uma linguagem que unisse conceitu a! men te os diferentes ataques ao problema, foi a maior causa desta lentidão. Ainda no f i n a l desta década alguns resultados experimentais, criaram parado xos que abriram o caminho para uma linguagem unificadora. 0 modelo a quarks com osciladores harmônicos ligando os c o n s t i t u i n t e s , bastante em voga nesta época, gera um espectro para os hadrons, que se não é s a t i s f a t ó r i o , é pelo menos p l a u s í v e l . Porém, o modelo formulado na sua versão mais simples está em contradição com a e s t a t í s t i c a de Fermi Oirr.c. Por exemplo, a função de qn_ da da ressonância A , tem sua parte de sabor (uuu), spin ( t t t ) e momento an_ guiar ( M ) ) todas s i m é t r i c a s , no entanto a função de onda t o t a l deve ser an_ tisimétrica(pois e l a é formada por 3 férmions). Para resolver este paradoxo, O.W. Greenberg introduziu a noção de cor dos quarks'*; propondo uma função de onda do A a n t i s i m é t r i c a em cor. 0 conceito de cor também foi necessário pa_ ra explicar a discrepância por um fator y entre o cálculo teórico do decaj_ men to n ^ y . baseado em álgebra de correntes e o resultado experimental5. No

i n í c i o da década de 70. a medida do fator R, ou seja a razão entre a seção de choque para a n i q u i l a ç ã o e e em hadrons e aniquilação e e em um par

cess idade da i d é i a de c o r , para c o n c i l i a r a predição t e ó r i c a com os dados ex_ p e r i m e n t a i s6.

A i d é i a de s i m e t r i a de gauge l o c a l v e i o de forma mais s u t i l . Os re_ sultados experimentais do espalhamento i n e i ã s t i c o de e l e c t r o n s com grande energia em protons e n e u t r o n s , produzidos pela c o l a b o r a ç i o SLAC-MIT em 19b8 .indicavam a propriedade oe i n v a r i â n c i a de escala ( " s c a l i n g " ) na parte dinâmica da seção de choque. Observou-se, que a amplitude do processo depen_ de apenas da razão e n t r e o quadrado da massa do f ó t o n v i r t u a l e a energia t r a n s f e r i d a pelo f ó t o n ao hadron. Estas observações levaram Feynman e tíjorken, a proporem o modelo a p a r t o n s8. 0 quadro d e s c r i t o por e s t e modelo,

mostra os hadrons compostos por c o n s t i t u i n t e s pontuais que n l o interagem eji tre s i . Esta liberdade a s s i n t ó t i c a dos partons f o i o ponto c r u c i a l para o amadurecimento da Cromodinâmi ca Quântica (CDCi) como a t e o r i a aa i n t e r a ç ã o en_ t r e os quarks. Em 1973» P o l i t z e r e Gross e WHczek9 mostraram que as t e o r i a s

de campos do t i p o Yang M i l l s eram ass in t o t i camente l i v r e s , i s t o é a constar^ te de i n t e r a ç ã o e f e t i v a torna-se menor, quando a escala de massa associada ao processo c r e s c e . Este teorema é verdadeiro desde que o número de f a m í l i a s de f i r m i o n s não s e j a m u i t o grande, e em p a r t i c u l a r , a Cromodinâmica Quântica que tem como grupo de s i m e t r i a S0(3) , a c e i t a no máximo 16 f a m í l i a s de quarks (no presente conhecemos apenas 3 f a m í l i a s ) . Além d i s s o , Coleman e Gross rros_ traram logo em s e g u i d a1 0, que em k dimensões, as t e o r i a s de Yang Mi l i s são

as únicas t e o r i a s com a propriedade da liberdade a s s i n t ó t i c a . Algum tempo an_ t e s , G.11 Hooft e M. Veltman e B.W. Lee e J . Z i n n - J u s t i n mostraram que teorj_

as de yang M i l l s s i o r e n o r m a l i z á v e i s1 1, uma condição de decência necessária

para uma t e o r i a f í s i c a .

Vamos separar os problemas t í p i c o s da CDQ. em duas c a t e g o r i a s dis_ t i n t a s , por conveniência. Temos a fase p e r t u r b a t i v a ou u l t r a v i o l e t a , que ca r a c t e r i z a processos c u j a escala de massa s e j a muito grande quando comparada com a escala i n t r í n s e c a da CDQ (A-100 Mev). Esta fase é p e r t u r b a t i v a em co£ seqüência da l i b e r d a d e a s s i n t ó t i c a das t e o r i a s de gauge, e tipicamente envoj_ vem a a n á l i s e ou computação e x p l í c i t a de diagramas de Feynman. Exemplos ca r a c t e r í s t i c o s desta classe de problemas são: Espalhamento i n e i ã s t i c o profun_ do de léptons em hadrons ( f i g u r a 1 ) , onde a massa do f ó t o n v i r t u a l Q2 e a

energia t r a n s f e r i d a ao setor h a d r ô n i c o ,

E'-E ( - - ^ ) (1.1) m

são muito maiores do que a escala da CUQ, porém com sua razão, V/Q2 f i n i t a .

Figura I . Espalhamento i n e l ã s t i c o profundo lêpton-hadron.

Outro exemplo, ê a produção de um par u u em colisões hadrônicas(espalhamen_ to de D r e l | - Y a n1 2) com uma massa e f e t i v a muito grande ( f i g u r a 2 ) , ou ainda a

u u * H

Figura 2. Espalhamento tipo Drell Van.

produção de partículas com um grande momento transversal em colisões hadron-nadron. A i d e n t i f i c a ç ã o da escala de massas natural de um processo é muitas vezes uma t a r e f a não t r i v i a l ; não basta apenas haver energias grandes no pro cesso investigado. Por exemplo, no espalhamento d i f r a t i v o de hadrons com uma grande energia de centro de massa, são testadas apenas suas dimensões geomé, t r i c a s (dimensões transversais) e são tipicamente processos não perturbatj_ vos. Uma classe de problemas perturbativos onde os diagramas de Feynman não são muito relevantes é a do espectro de hadrons formados por pares de quarks pesados, como o sistema do charmônío ou ainda do bottomônio. A constante de

a (m r - 10 G e v ) « l

S DO

e portanto, neste problema é apropriado aplicar-se a teoria das perturbações. Na prática, em grande parte das análises deste problema, conputa-se o espejç tro de hadrons a p a r t i r de potenciais confinantes, usando-se Mecânica (Juântj_ ca convencional13.

Entre os problemas tipicamente não perturbativos, estão os do e^ pectro dos Dar ions e mésons, a computação da quantidade fn da álgebra de cqr_ rentes S dos fatores de forma aos hadrons e também a análise das funções de d i s t r i b u i ç i o (funções de estrutura) dos par tons nos hadrons. 0 fenômeno do ccnfinamento, ou seja, a observação de que a despeito de quarks e glúons S£ rem (quase) livres em altas energias, eles não são detectados como estados livres na natureza, ou o problema relacionado, de que hadrons não tem cor, são também, problemas característicos da fase não perturbativa. Os quarks u e d são muito leves (-10 Mev) quando examinados do ponto de vista de álgebra de correntes, no entanto, em estados ligados de hadrons, formam condensados com <uu> -300 Mev)3 (ou seja geram uma massa e f e t i v a ) . Este fenômeno, t í p i c o

de CDQ e teorias de gauge análogas, leva o epíteto de quebra espontânea da simetria quiral1 1*. Por outro lado, a simetria de gauge da Cüvi implica em mas

sa nula para glúons, no entanto, um conjunto deles podem se associar em esta_ dos ligados com massas -2UQU Mev, chamados bolas de glúons ("glue b a l l s " ou bolas de grude, como gostam os mais p u r i s t a s )3. As equações de movimento clãs

sicas das teorias de gauge tem soluções com energia f i n i t a e topologias não t r i v i a i s , os ins tan tons, que afetam de maneira essencial a estrutura do vá cuo quântico15. Todos estes problemas são tipicamente não perturbativos e pa

ra fazer-se progresso na sua análise é necessário introduzir-se novos mét£ dos de cálculo, ou então modelos fenômeno!ógicos que possam representar a teoria mais fundamental.

Neste curso vamos examinar alguns dos problemas da COQ, começando na secção 2 por uma discussão sobre a de teoria de perturbações em teoria de campos, usando-se o formalisno de integrais de t r a j e t ó r i a e funcionais gera dores das funções de Green. Nesta seção será derivada também a contribuição dos fantasmas de Faddeev-Popov â Lagrangeana efetiva de uma teoria de gauge. Na secção 3 discutimos o métoao de regularização dimensional no cálculo de diagramas de Feynman divergentes (na região u l t r a v i o l e t a ) e as diferentes prescrições de renormalização que são usadas na l i t e r a t u r a . Fazemos algumas considerações sobre o grupo de renormali zação e a função & de Cal lan Symanzik

e também sobre a escala de massas,A , da COQ. 0 modelo a partons simples e com violações de escala devido ã COQ serão vistos na secção k. Na seção 5 introdu zimos os loops de Wilson e os c r i t é r i o s para que uma teoria sofra o fenômeno de confinamento, seguindo-se na secção 6 , uma discussão sobre a discretização do espaço-tempo oe uma teoria de gauge, definindo-se a teoria numa rede seme I nan te a uina reoe c r i s t a l i n a , t s t a u i s c r e t i zação torna o problema acessível ã simulação numérica pelo nétoao ae rtonte Cario. Os instantons e algumas de suas conseqüências para a estrutura do vácuo quãntico são examinados na seççio 7- E por f i m , na secção.8 discutimos o problema da quebra de simetria q u i r a l , est_u dando as anomalias de Adler-oell e Jackiw e suas conseqüências para o problema do 0(1) e ainda as condições de ' t Hooft sobre os preons de quarks canpostos. Parte dos tópicos estudados neste curso j á foram apresentados na Escola de ve_ r i o Jorge André Swieca de 1981 e recomendamos sua l e i t u r a pelos estudantes mais ap I i ca dos.

2. TEORIA PERTURBATIVA

2 . 1 . Funcionais Geradores

Uma teoria de campos quantizada pode ser definida a p a r t i r da amplj_ tude de persistência do vácuo sob a i n f l u ê n c i a de fontes de campo externas, ou usando outro nome, funcionais geradores das funções de Green. Esta linguagem, usando os conceitos de integrais de t r a j e t ó r i a de Feynman, é particularmente adequada, ao estudo das teorias de gauge e tem uma aplicação mais abrangente que o forma lismo canônico1 6. As bases deste formalismo são tão s ó l i d a s , e ri go

rosas quanto as do canônico. Para i l u s t r a r este formalismo, vamos estudar te£ rias de campos escalares com uma componente; a generalização para situações mais complexas é d i r e t a . A amplitude de persistência do vácuo, para. uma t e o r i a com campos escalares, é definida por

< 0 + | O T > B W(J)

1 f ( i [ |) (2.1)

[

> j

As amplitudes de transição são constituídas a p a r t i r das funções de üreen de N-pontos, definidas pelas derivadas funcionais,

J-0

/.\n (n)

(2.2)

As funções de Green definidas em ( 2 . 2 ) , são desconexas, e portanto, é conveniente definir tamoêm, o funcional gerador das funções de Green conexas.

A função 2 ( j ) dada pela relação

W(J) 1

é a geratriz das funções de Ur ,. n conexas,

r ,_ _ ..) , ( ! ) " - ! 6( n )Z ( j )

j - Z(j)j

«JCX

Para que estas definições formais tenham sentido, torna-se necess£ rio definir-se a integração e diferenciação funcionais. Vamos começar pela de_ rivada, considerando um funcional E ( f ) da função f ( x ) , como por exemplo E(f) = = dx f ( x ) ou E(f) = f ( x ) . Definimos a derivada funcional por

E(f(x) * e 5 ( x - y ) - E ( f ( x ) ) E ( f ( x ) ) V

Esta definição da derivada funcional implica que

'2.5)

(2,6)

Antes de definir a integração funcional, vamos relembrer o resultado da integral gaussiana,

- — xax

J [dxje

' a

, (2.7)

1/

onde usamos como medida da i n t e g r a l , [dx] - d x / ( 2 t ) ^ . Podemos generalizar es_ ta fórmula para um espaço de N dimensões,

onde

[dx]

(2.9)

e a matriz a 0 a _(2.10) e a medida [dxj = |dxidx2..-dx^J. 0 resultado da i n t e g r a l ,

I = [a,.a

. . . a j

nos permite relaxar a condição de que M seja diagonal. Podemos generalizar a integral gaussiana mais um passo, considerando agora uma teoria de campos,

I[d4>] e = [det o] V2 (2.12)

Esta integral gaussiana tem uma versão fermiônica17 dada por jtd*][d**]e-/d'*xd'*y í (x)D(x,y)i|>(y) = fcet

A formula

[det exp/ \

(2.13)

(2.14) onde omitimos por simplicidade de notação, as integrais sobre o espaço-tempo , será ú t i l logo mais. Com estas regras de diferenciação e integração, podemos

afora derivar as regras de Feynman de urna teoria de campos. O teorema de Wick

é automaticamente levado em conta, com a derivada ( 2 . 6 ) . Para ilustrar a expap_ são das funções de Green em diagramas de Feynman vamos examinar uma teoria de_ finída pela ação c l á s s i c a

com o termo da interação

(2.15)

(2.16)

=Í^*N (2.17)

para

N>_3-0 gerador funciona], na notação s i m p l i f i c a d a , é agora

W(J) - N ' Qj^Je I ¥ V 9 le 7 2* ° FX 1 < >» ( 2 . 1 8 )

0 potencial V($) ê um polinômio em $, enquanto que a exponencial fun_ cional é definida pela sua expansão de Taylor. 0 termo e pode ser fa tora do para fora da integração, substituindo o campo 4> no p o t e n c i a l , pelo operador funcional .-. ,r > . Então,

1 ôj(x)

W(J) = N"'e l 6 J

-iV

Para derivar os diagramas de Feynman expande-se e em potências de g, toma-se as derivadas apropriadas em J e o l i m i t e J->018.

Associa-se ao propagador A(x-y) uma linha com r ó t u l o x e y nas extre_ midades. A cada termo de interação associa-se um vértice com N- linhas e a inte_ graçao soore todas as posições possíveis que ele possa ocupar, conforme está

ilustrado na figura

3-A ( x - y ) — ^ 5 1 g í - 3-A - j N - ^ t - ^ s Qjd

y

Figura 3- Diagramas de Feynman para uma teoria de campos escalares com intera

Para ganhar experiência, nada melhor do que fazer-se um exercfcio, e portanto, encorajamos o l e i t o r a demonstrar explicitamente, a expansão em po têncías de g e diagramas de Feynman, das funções de Ureen de 1 ponto e dois pontos, para uma teoria com

= ^ r *3 , (2.2Ü)

mostrados na figura k.

(todos ot gráficos d* vácuo 1PI)

ondt o — - 0 = o * 1 + 0 — 4 1 •

a)

o~e-—®

e

onde

o

Figure k. Expansão em potências de g das funções de Green desconexas de a) I ponto e b) 2 pontos.

Um outro exercício i l u s t r a t i v o da aplicação deste formalismo, é a de monstração e x p t í c i t a , por intermédio de diagramas de Feynman, de que Z(J) é a função geradora das funções de Green conexas, como as mostradas na figura 5.

6Z (J)

6J(x) ,J s 0

0K2(J)

i6J(x)ÔJ(y)lj*0

Figura 5- Funções de Sreen conexas.

2 . 2 . Cromodínâmi ca Cluãntica

As regras derivadas na secção anterior podem ser aplicadas a quaj_ quer teoria de campos, porém nem sempre este processo é d i r e t o . A integração funcional [d<Q deve ser f e i t a somente sobre graus físicos de liberdade, porém em teorias com simetrias locais, a restrição do domínio ae integração sobre o espaço apropriado, tem um Jacobiano não t r i v i a l . Nas teorias com simetria de gauge l o c a l , a imposição das condições de gauge induzirá em teoria de perturba^ ções ã presença oos fantasmas de Faddeev-Popov19. Mas antes de discutir estes

fantasmas, vamos apresentar a definição da Cromodinâmica Quãntica (CDQ), a teo ria das interações fortes entre os quarks. A CDQ é uma teoria de gauge, com S.U(3) como grupo de simetria e glúons como bósons de gauge, definida pela La grangeana L - - | Fa Fa p v + l í . (ip-m.H. - -ftl(x) (2.21) v v sabor ' ' ' onde Fa - a Aa - 3 Aa - g fa b c AbAc (2.22) e a derivada covariante D - 3 - i g ( ^ ) Aa (2.23) V W 2 y

sendo que X são as matrizes de Gell-Mann, 0 último termo da Lagrangeana(2,2 1)

e s t a .»*»ociado ã e s , • ira n j t r i v i a l <Jo vácuo da CDQ, e n e l e 4 ê um t r o a r b i t r ã r i o e

onde

(2.25)

é o oual de F . A origem Oei. .urino será discutida no capítulo V I I . A soma sobre os sabores i corre i j ú r e js diferentes tipos de quarks: u,d,s,c,b e qua_l_ quer outro que venha a ser descoberto. Os quarks além da qualidade de sabor, ã qual os glúons são cegos, ainda tem cargas coloridas.

Uma teoria de gauge pode ser e s c r i t a em uma forma um tanto mais eco nômica, aefininoo-se um campo vetor matricial

e

\ , -

T

F = S A - 3 A + i g f A ,A J . ( 2 . 2 8 )

A Lagrangeana f i c a e n t ã o

T r F F U y +

l

CDQ é invariante por transformações de gauge, definidas por

A' -• UA U"'+ - (3 ÜJü"1 (2.30)

u u g u

onde a matriz de transformação

U(w) - ei w ( x ) (2.31)

e a

w(x) ' ^-wa(x) (2.32)

sendo w [*) *:wr.ç<r:í "»oí t r i ias do espaço-tempo. A propriedade de i n v a r i à n c i a

por t rans to m« ;òg i ae go. \ig<í é c r u c i a l para a rerorn.«?! i zabi l i dade desta classe

de t e o r i j s , nas / r o t i t r i , lado, é a propriedade que torna nao t r i v i a l a deriva ção de suas ri(jr«r. J» K/nsian em t e o r i a de perturbações.

2.3- Fantasmas * rr\£s .-Popov

k< t ; inguageci oos i n t e g r a i s de t r a j e t ó r i a para quantizar uma t e o r i a de gauge, ã primeira v i s t a poderíamos simplesmente escrever

( 2 . 3 3 )

Porém, a i n v a r i à n c i a de gauge i m p l i c a que

j - v , - j u

Q —

com os campos A r e s t r i t o s por uma condição de gauge. Como Lrr.n independe de

W ( A ) , a i n t e g r a l ^dwíxíj gera um volume i n f i n i t o que deve ser removido. Por ou^ t r o lado, o propagador inverso d e f i n i d o pelo terno quadrãtico em A , na La grangeana ( 2 . 2 1 ) , nao tem inverso.1 0 termo quadrático em A na ação, tema f o ^

ma

% D = " I ^ " y \ ^ Í 9 > V O2 - 5U. 2 - U - y ) A ^ ( y ) ( 2 . 3 ^ )

de modo que a transformada de Fourier do propagador inverso,

A ~ > ) = - g k2 + k k . (2.35)

0 inverso deste tensor tem a forma A = Ag^u + ok k , e as cons tan uv , y v — tes A e B são determinadas a p a r t i r da condição A A u U = 5V. Porém, esta ccn

dição, tem como solução A = - l / k2 e A = 0, portanto i n c o n s i s t e n t e s .

. , A t a r e f a que temos então, é incorporar a condição de gauge no termo e e encontrar o Jacobiano da mudança de v a r i á v e i s ,

Es^a mudança e conveniente, pois e mais f á c i l integrar-se sobre to das as configurações de campo, do que ter una medida que carregue a restrição dos campos f í s i c o s . Na discussão sobre a incorporação da restrição da condição de gauge, vamos seguir os argumentos de Coieman na Escola de Erice de 1973 •

Considere um espaço com n+m variáveis r e a i s , onde as i, variáveis x correspondeu! aos graus independentes (ou físicos) de liberdade (campos trans_ versais em COQ) , enquanto que, as m variáveis y sio dependentes de gauge.0 con_ junto x+y denotamos por z. A ação S(z) não depende de y (é invariante por

transformações de gauge), ou seja

para qualquer y. Portanto, podemos escrever

f [ d x ] ei S ( z ) = [[dz]5(y)eiS (2.36)

Como a ação S(z) independe de y, podemos r e s t r i n g i r a integração ã superfície y=f(x), por meio de

f[dz]«(y - f ( x ) ) ei S (2.37a)

Esta s u p e r f í c i e pode ser generalizada para uma condição i m p l í c i t a co mo F(z) = f , ficando a i n t e g r a ) e n t i o ,

í[dz] det(|p)S(FU)-f)eiS . (2.37b)

f não depende de z por d e f i n i ç ã o , e portanto podemos m u l t i p l i c a r a i n t e g r a l por Nj [df^G(f) = l , escolnendo, por conveniência, G(f) como uma expone'icial gaus_ siana, _ _^_ , 2

G(f) = e 2 Ç . (2.38)

Recolhendo todos estes termos, escrevemos

][dx]ei S = N'|LdZ]det(g)e' S" 25 * . (2.39)

0 determinante pode ser colocado na forma gaussiana, usando a definj_ ção de integral gaussiana sobre campos que an t i comutam.

det A - j[dn*][dn>n*A n (2,13)

Se a matriz A for escalar, os campos n são esc?lares que antícomutam, enquanto que se A for espinorial (ou melhor, for uma matriz na álgebra de Grassman), como em teorias supersimétricas, então os n são férmions. Nas teori_ as de gauge, a variável z corresponde aos campos de gajge A , enquanto que as

variáveis y correspondem às funções a r b i t r a r i a s de gauge w ( x ) .

A COQ pode ser definida então a p a r t i r da integra) funcional

N'|[o,j.][dí][dn][dn*][dAj e '

- (2.M)

onde a Lagrangeana e f e t i v a é dada por

T b

6-1 Ôw

- n*(-£Í) ^ - el(x) (2.1.1) Uma condição de gauge bastante usual, a condição de Lorentz ê definj_ da pelo funcional

Fa = S V (2M)

A v a r i a ç ã o de F com w é dada por

,ca 6Aa

<5F U u

(2.43) onde o termo entre parênteses corresponde ã derivada covari ante na represent^ ção adjunta do grupo. 0 coeficiente ( - l / g ) pode ser jogado no fator de norma]j_ zação da integra) funciona). As regras de Feynman derivadas da Lagrangeana efe_ t i v a , com esta condição de gauge, estão ilustradas na figura 6 .

Os.fantasmas de Faddeev-Popov nio s i o exclusivos às teorias de gauge não abe l i anas, pois se formos bastante pedantes, podemos escolher uma condição de gauge em Eletrodinâmica Quãntica, que induza estes termos, como por exemplo

F = a^A + - L A Aw . (2.M»)

u m* v

Por outro lado, a condição de gauge

F - n V (2.45)

efect H U V a y gluon a K . 6 a 5 k2 <• - g q ua rk •- _l - m fantasma • - , ao quark-glúon fantasma glúon

V'b

(glúon)-(glúon) • 2 / i a c e , b d e , <*B y& «6 BY»_{' 9 ^f f ( 9 9 - g g )}

- gaYgBÔ)

Figura 6 . Diagramas de Feynman para Cromodinâmi ca Quântica. Os laços de fêr_ mions e fantasmas são multiplicados por um fator - 1 .

com n2 • - I

imposta a -ma t e o r i a não abe li ana, não írS induzir a presença de fantasmas de

Faddeev-Popov, cano pode ser facilmente v e r i f i c a d o . Porém, em certas aplica^ ções, a imposição de uma condição de gauge como (2,45) torna a computação de diagrarras de Fevnman bastante tediosa, sendo preferível computar diagramas aà\_ cionais com termos de Faddeev-Popov,

3. LIBERDADE ASSINTflTICA

3 . 1 . Regularização Dimensional

Vamos i l u s t r a r a aplicação das regras de Feynman computando o diagra ma do tensor «da polarizarão do vácuo da EDQ., exibido na figura 7»

AAAÍ YWV

Figura 7. Tensor da polarização do vácuo.

A generalização deste cálculo para uma teoria de gauge não abeiiana é t r i v i a l , envolvendo apenas a multiplicação do resultado obtido em EDQ,por um operador de Casimi r.

C tensor de polarização do vácuo,

parece ao primeiro exame, ser quadraticamente divergente pois a integral tem a estrutura A

Jdp p - A

.

Porém a condição de invariância de gauge exige que

PMW - PV1T - 0 , (3.2)

portanto, o tensor deve ser proporcional a (-g P2+P P ) e a integral toma a

forma

ou s e j a , é logaritmicamente divergente. Para poder computar então a i n t e g r a l , devemos r e g u l a r i z á - l a para isolar a divergência u l t r a v i o l e t a de modo não amb£ guo. No processo de regularização da integral divergente, a invariância de gajj ge dada pela condição ( 3 - 2 ) , deve ser mantida. A introdução de um corte u l t r a v i o l e t a no limite de integração sobre os momentos, dest rói esta invariância e portanto não é um método de regularização adequado. 0 método de regularização mais conveniente para uso em teorias de gauge, o método da regularização dimen_ si a n a l , foi inventado por B o l l i n i e Giambi a g i2 1. A integração sobre as k dinen_

soes do espaço~tempo é continuada anali ticarcente para n dimensões, isolando-se os pólos na quantidade n-4. Uma integração t í p i c a usada no método de regular^ zação dimensional, seria por exemplo,

Ji. 1 / na in" r(a-n/2) _{, ,,}

Esta integral é ú t i l na generalização para integrandos mais complica^ dos, que aparecem em diagramas de I laço, como

/ na . i rn / 2 / r(o^-n/2) 9yv r ( a - l - n / 2 )

T7T\

"

n /

[k2-2p.k-»2]« * T7T\PuPv (p2+m2)«-n/2 2 r ^

(3.5)

Uma teoria de gauge em k dimensões tem constantes de acoplamento adi mensioanis, no entanto, quando estendemos a dimensão do espaço, elas passam a

ter dimensão (em termos de massa)

4-d

&] - W " T

Late resultado pode ser derivado facilmente, pois como a dimensão da Lagrangeana é n, dos termos cinéticos (quadráticos) e x t r a i - s e a dimensão dos bósons de gauge, (n~2)/2 e a dos férmions, ( n - l ) / 2 . Torna-se conveniente então, parametrizar a constante de acop lamento, na forma

í»-n

(3.6)

onde Ho® un)a constante adimensional, enquanto que, p2 ê um parâmetro de reno£

malizaçio.

Se tomarmos a dimensão do espaço n*A-6 e extrairmos de n o termo que mantém explicitamente a invariancia de gauge,

wyv(p). = i ( - 9u vP2 + PpPv) ' ( p2) (3-7)

o resultado da integração fica sendo

-C2(R) óat> - S i - / | - Y + An <»» - £n ( ~ )

- ídx x(l-x)ínfx(l-x)- J - 1 ) . (3.8)

Jo L k 2 J /

onde j á foi f e i t a a generalização para teorias de gauge não abe l i anas. 0 coefj_ ciente C2 é definido pelo

t r ( tatb) = C2(R)6a b (3.9)

onde os geradores t estão na representação ã qual pertencem os férmions. A constante de Euler, y » 0 . 5 7 7 2 . . . , surge na expressão, devido ã expansão

= £ - Yc + a i E + • • • • (3.10)

e E

enquanto que os termos In Air + í n p2, vem da expansão de C*iru2) 2 = 1 +

+ y inC^ry2) + . . . . Estes termos são peculiares ã regularização dimensional e

não tem nenhum significado f í s i c o . Este diagrama é a única contribuição ao ten_ sor de polarização do vácuo da EDQ em ordem g2, porem, em teorias não abelia_

nas ha ainda contribuições dos diagramas mostrados na figura 8. ' !i As c o n t r i b u i ç õ e s d e s t e s diagramas em c o n t r a s t e com ( 3 . 8 ) , são depen^ ,'. dentes da e s c o l h a de gauge e s e u r e s u l t a d o j u n t a d o a ( 3 . 8 ) , tem a s e g u i n t e for_ í ma: i

ab ji, li f ? r V a2 / 2 k2 1

n (p) - 6 \rf " *)CA(G)- rj \ C2(R) / -a— t - " rF+in l»7r-en (- —)+ f ini.taK3.1l)

)

Figura 8. Contribuições adicionais ao tensor de polarização do vácuo (em ordem g2) em teorias não abeiianas.

0 operador de Casimir Cj do grupo (na representação adjunta) é definida por

C,(G)5a b - fa C dfb c d (3.12)

e vale N para o grupo SU(N). A soma sobre f na fórmula (3.11) corre sobre os sabores de férmions da t e o r i a .

3 . 2 . Renormaligação

Os diagramas divergentes em teorias de gauge não abe li anas podem ser agrupados num número f i n i t o de classes e a cada uma delas associamos uma cons_ tante de renormal ização para subtrair a divergência. Na tabela I exibimos to_ das as classes de diagramas divergentes, indicando a notação para as funções e constantes de renormalização associadas a e l e s . Nos diagramas, as bolas hachu radas indicam uma expansão de gráficos irredutíveis por uma partícula (ou seja gráficos que permanecem conexos quando removemos um propagador).

Nem todas as constantes de renormaIização são independentes, pois a invariância de gauge induz relações entre diagramas de classes diferentes, por intermédio das identidades de Ward (Takahashi, Taylor, Slavnov). Em parti cu_ l a r , podemos escrever as seguintes identidades

í h *i

h h h

Diagramas Função C t e . de Renorma1izaçao

VIVOU)

fantasma

TABELA 1. Classes de gráficos divergentes cem a notação para as funções e cons_ tantes de acoplamento associadas.

Estas identidades implicam que a constante de a cop lamento, associada a diferentes v é r t i c e s , seja a mesma depois de renorma 1ização, pois

9R = 2i Z3 9o

, F - i y,

= M *3 £2 90

= Z ' ^ 2 z3 g o . (3- 1*)

Por outro lado, a relação (3.13c) indica que o termo proporcional ao parâmetro de gauge Ç , no propagador do bóson vetorial não sofre renorma li za_ ção.

3.3. Subtração de Divergências

A definição das constantes de renormalização depende da prescrição para subtração das divergências, ou em outras palavras, depende de condições de contorno impostas âs quantidades renormalizadas. Vamos i l u s t r a r alguma das prescrições usadas na l i t e r a t u r a para renormalizar a CDQ, estudando a escolha da constante de renormal ização Zs. Esta constante está associada ã renormal iz_a

ção do campo de gauge, e é t a l que

A „ = z'^2 A . 0 propagador r e n o r m a I i z a d o , <T A A > • Z 31 <T A A > k k 1 7.Õ , (3.15) k2(l-Tr(k2))

permite-nos escrever a correção radiativa ao denominador, levando-se em conta termos de ordem g2, na forma (p/grupo SU(N))

+ m ^ - Jtn ( ~ ) + f i n i t o l - (Z3-I) (3.16)

Nesta fórmula, usamos implicitamente que o termo Z3-I é pelo menos de ordem g2.

As prescrições para subtração de divergências mais freqüentemente en^ contradas na l i t e r a t u r a são:

a) Subtração mínima (Mb). Esta prescrição, de vi da originalmente a 'tHooft2 2, ê a mais simples de todas. Por e l a , as Z's sao definidas de tal ma

neira, que somente o termo proporcional a l/e ê subtraído. Como exemplo,a cor\s tan te de renormali zação Z3 tem a forma

Z 3 m 1 *• * \—T- ~ T r ) N ~ " T - ) C 2 | — + \ Q ' ( 3 - 1 7 )

o i r ^ *- i J

b) Subtração mínima modificada (rtS) . Por esta prescrição, muito se_ melhante ã rtS, a subtração é f e i t a na constante

i. = i ( i . + jtn

k

)

(3 |8)

T 2 e E

0 termo y. ~ in % é uni a r t i f icialismo introduzido pela regularização dimensio_ nal, mas não tem nenhum significado f í s i c o .

c) Subtração no espaço de momentos (MOH)2 I\ A aplicação desta pres_

crição depende do processe em questão e por ela a subtração é definida numa re_ gião do espaço de momentos cuja escola é típica de tal processo- Por exemplo, esta prescrição pode ser implementada no propagador do bôson de gauge impondo a condição

*R( k2 - -v»2) = ° (3-19)

onde a nova escola introduzida, u2, é típica do processo onde o propagador es^

tá sendo usado. As prescrições MS e RS tornam os cálculos teóricos efetuados com regularização dimensional, simples e diretos. Por outro lado, £3 tem uma forma bem mais complicada, mas a f i l o s o f i a desta prescrição é definir as con_s tantes Z, de modo que propriedades desejadas de funções de Green renormali za_ das, numa escala de momento apropriada, sejam s a t i s f e i t a s .

As constantes de acoplamento da teoria, ou melhor os parâmetros de expansão perturbati va, dependem da prescrição de renormal ízação uti lizada. Por exemplo, se definirmos Zj e Z} em duas prescrições diferentes, elas estarão re

I aciona das por

Z{ - Z , ( l + a g2 + , . . )

( 3 . 2 0 )

l\ - Z3( l + b 3 2 j. # > <)

Como

9

- h %

e ( 3 . 2 1 )

H

' C # • •

podemos derivar

gR = 9 R [.I + (a- | t > ) gR 2 + . . . J (3.22)

As quantidades f í s i c a s são independentes do esquema de renormalização, porém esta invariãncia é apenas aproximada em teoria de perturbações. Isto é um re_ flexo do fato de que a escolha do parâmetro de expansão perturbativa não é ünj_ ca, ela depende de c r i t é r i o s de conveniência ou simplicidade do cal culo.Quant_i_ dades f í s i c a s computadas por esquemas diferentes, até ordem n em teoria de pe_r_ turbação, irão d i f e r i r em ordem n+1. Mesmo as escalas de renormalizaçio(pontos de subtração) não precisam ser iguais quando aplicadas a processos diferentes. Por exemplo, na aplicação da Eletrodinâmica Quintica a processos ocorrendo a 300 Gev, como aniquilação e e , a constante de estrutura hiperfina a(= 1/137) não é um oom parâmetro de expansão perturbativa, pois e l a é definida na escala da massa do e l é t r o n . Torna-se mais conveniente redefinir a constante a na esca Ia de 300 Gev. A liberdade de escolha do parâmetro de expansão perturbativa po de ser aproveitada de modo mais extenso, usando-se o Princípio da Sensitivida_ de Mínima, proposto por Stevenson25. Nesta prescrição o ponto de subtração vi

é de*' .;do para cada processo, de modo t a l que pequenas variações de u induzem uma variação mínima na quantidade calculada,

3.'». Grupo de Renormali zação26

0 processo de renormalização introduz um (ou mais) parâmetro de esca l a , com a dimensão de massa, porém, quantidades f í s i c a s não podem depender des_ ta escala. Esta invariãncia pode ser explorada, derivando-se as equações do grupo de renormalização.

Para derivar as equações do grupo de renormalização, vamos cons ide rar uma função adimensional, função apenas do momento Euclideano Q. Nesta fun_ ção, qualquer variação no parâmetro de escala p2 deve ser compensada por uma

variação de a. Vamos denominar por \iz o parâmetro de escala usado oomo referêr^ c i a , e por q2 o momento quadrado adimensional,

(3.23) Quando fizermos una mudança de escala, indicaremos por \ o fator muitiplicatj_

vo desta mudança, ou seja

A constante de acoplamento a(sg2/<*ir) ê função de X e enquanto que a

função F = F [ q2A ; a U ) J . Vamos ainda introduzir outra variável definida por

t = Hn(q2/u2) = *n(q2/x) . (3.25)

A variação total de F com relação a \, permite derivar a equação

:( t , a ) - 0 (3.2Ó)

Vamos introduzir a função B de Callan Symanzik

B(g) E - ^ 3 - (3.27)

e redefinir a eq.(3.2t>) na forma

t . a ) - Ü (3.28)

Para resolver esta equação é conveniente d e f i n i r a função g ( t ) pela

integral g ( t )

(3-23)

com a condição de contorno.

g(42=w2) = g(t-O) = g . (3-30)

A solução da equação ê dada por

F ( t , g ) - F ( 0 , g ( t ) ) (3.31)

ou seja, a fundão F calculada numa escala de massas \ vezes a massa de referên_ cia y? é igual ã função computada com momento p2, porém usando-se a constante

de acoplamento e f e t i v a g ( t ) , definida pela equação ( 3 . 2 9 ) .

As funções de Green mais complicadas obedecem ã equação

(3.32)

onde y é a dimensão anômala de r, definida por

(g) - -;

Z

A solução da equação obedecida por r ê dada por

r ( t , X j , g ) - r ( U , X j , g ( t ) ) e

(3.33)

-g

(3.3*0

Para derivar-se a função BÍg) è necessário conhecer-se todas as cons^ tantes de renormal ização associadas ã constante de acop lairento, portanto,em or_ dem g3 é necessário computar-se todos os diagramas exibidos na f i g u r a 9 .

\

I >•

t / •

1 /

Figura 9 . Diagramas que contribuem para o coeficiente 60 do termo de ordem g

na função 8 ( g ) .

A função 0 ê daoa (até ordem g5) pela expressão

g3

6(9) * (3.35)

0 coeficiente 6n foi calculado por P o l i t z e r , Gross e Wi lczekq e tem

o valor

B o ' - y C ^ G ) - ~ C3( R ) (3.36) onde C^G) já foi definido em (3.12) e

R t V } - C3( R ) 6 (3.37)

a J J

A constante C3 está relacionada com o operador de Casimir C2, por

C3(R) = ^ 4 C2( R ) ' ( 3'3 8 ) 0 grupo SU(N) tem CjíSUtN)) = N, C3(fund) = (N2-1)/2N e C3(adj) = N, e portanto, em CDQ, desde que o número de sabores de quarks seja menor do que 17, o coeficiente 6o ê positivo. A propriedade de liberdade assintóíica da CHI está ligada ã positividade de 60, e isto é fácil verificar, examinando-se a equação (3.29).

0 coef i ciente

h - y Cf(G) - y C1(G)C3(R) - k C2(R)C3(R) (3.39)

foi calculado por Caswell e Jones27. A integração da eq. (3.29) ,mantendo-se ape_ nas o primeiro termo em 0 resulta na expressão para a "constante" de acoplameji

to move 1,

Esta expressão diverge quando 2 • A2 onde

A2 - M2 expl - 1 6"2 \ (3.41)

l 6e,92(u2)/

e é possível trocar o parâmetro g2(y2) em (}AQ) por A2 de modo que reescreve_

mos

g2( Q2) . )hl . (3,1,2) ( 2 2

(3. A inclusão da correção Bi na integração de (3.29), resulta em " 32fa2) * 1 / 1 - — ^UnÍQ^/A2)) + í 1 "

I6ir2 60 í.n(a2/A2) \ 02 im(H2/A2) [ f,n3(Q2/A2)

onde já foi usado o parâmetro que caracteriza a divergência redefinido por

.2 2 / I 6 *

^ = v* exp ( + - r - j,n > O . » » )

l 6

9

° 609

I

A "constante" de acoplamento móvel aplicada a CDQ. com k sabores de quarks,

í in(«n(»l2/A?))

L_ + (i/£n3(42/A7

j ) 1

0 índice i indica o esquema de prescrição da renormalização, pois ca da esquema tem uma escala A. diferente. Esta ê una outra maneira de refrasear a observação de que esquemas de prescrição diferentes têm constantes de acopla^ mento diferentes. Por exemplo, em CDQ cem k sabores de quarks,

A constante A é determinada experimentalmente, e uma compilação de dados experimentais extraídos do espalhamento inelástico profundo lepton-ha_ dron indi ca que28

<A — > = 160 ± 110 Mev

ms M

a — ( Q2= l 0 0 G e v2) - 0 . 1 A 8 ± 0 . 0 1 9 ( 3 . ^ 9 )

ms

A dependência do parâmetro A no esquema de renorma1izaçio torna-o um tanto inadequado para caracterizar a escala da CD!}, e por i s t o , t imperatj_ vo relacioná-lo com a constante de decaimento do pi on fir, esta sim uma escala de caráter fundamental da CDQ.

1». MODELO DE PARTONS

*». 1. Partons

Apresentamos até aqui, o desenvolvimento formal da CDQ sem muito con

tacto com o mundo r e a l . Porém, historicamente, a aceitação rápida que a CDQ encontrou entre os físicos teórico1 está ligada ã sua propriedade de l i b e r

-dade assintôtica, e conseqüente consistência com a fenomenologia do modelo a 18 2 9

par tons ' . No f i n a l dos anos 6Q, os experimentos de espalhamento inelást_i_ co profundo de elétrons em nucleons, realizados pela colaboração SLAC-MIT7,

indicavam que a parte dinâmica da secção de choque não dependia expli ei tarren_ te de variáveis com a dimensão de massa, mas apenas da razão entre a (massa do fóton v i r t u a l )2 e a energia transferida ao seeor hadrônico. Esta

proprie-dade de independência de escala dos dados experimentais foi interpretado te£ ricamente como sendo fruto do espalhamento do fõton v i r t u a l por constituintes livres e pontuais no i n t e r i o r do hadron. Esta interpretação, mostrada esquema ti camente na figura 10, levou o nome de modelo a par tons.

Figura 10. Modelo a partons

Os par tons foram logo i d e n t i f i c a d o s os quarks (de vôlência e domar de Fermi), carregando portanto spin 1/2. A secção de choque e s c r i t a de forma cor^ densada,

da- J j f V

pont

(4.,)

onde q . ( y ) é a densidade de par tons (quarks) de sabor i no h a d r o n , carregando uma f r a ç ã o y do momento P v i s t o no sistema de momento i n f i n i t o . 0 termo - ^ vem do espaço de f a s e , enquanto que a é a secção de choque do par ton e f õ t o n v i r t u a l . 0 momento q - ( U ; - Q , 0 ) , no sistema de momento i n f i n i t o , enquanto que o momento do h a d r o n ,

P - (E;E,O)

onde a v a r i á v e l de e s c a l a

e v é a e n e r g i a t r a n s f e r i d a ao hadron no seu sistema de repouso.

A s e c ç i o de cnoque de espalnamento de um fôton v i r t u a l por um fé_r_ mi on p o n t u a ) ,

5(q2+2yP.q)

- e* Jll-x/y) ('•.'»)

e portanto do - e2x q ( x ) . A secção de choque para o espalnamento inelas tico

profundo

ao(x)cc l e ? / q " ( x ) +q H( x ) } - 2 F j ( x ) ( 4 . 5 ) i = l ' l ' ' >

onde q é a d i s t r i D u i ç i o de antiquarks de sabor i no hadron H. Várias hipóte ses não e x p l í c i t a s entram nestes cálculos: a massa dos quarks e o momento transverso dos quarks são desprezíveis, quando comparados cem a escala ae vi2, e tipicamente são menores ao que 3UÚ Mev.

No modelo a partons é possível derivar-se regras de soma para os momentos carregados pelos quarks, e logo observou-se que eles carregam ap£ nas metade do momento aos nadrons. A outra metade do momento dos hadrons é carregada pelos glúons (os bósons de gauge aa CD«i).

k.2. Violação do Comportamento de Escala

Pelo modelo de partons, os quarks no i n t e r i o r do hadron, quando examinados por provas com energia muito grande comportam-se como se fossem l i v r e s . A descoberta da propriedade da liberdade assintótica das teorias de gauge, levou os físicos a descreverem o modelo de partons em termos de uma teoria mais fundamental, a CDQ. Porém, numa teoria com interações mesmo que seja assintóticamente l i v r e , a propriedade de independência de escala não é

p e r f e i t a ; as interações mediadas pela CDQ. devem ter uma manifestação resicta ai em termos logarí tmicos (in t i2, onde vi2 é a escala de energia típica do

processo). Podemos fazer uma imagem deste processo, amplificando o diagrama de interação foton-parton, como está mostrado na figura 11.

fóton

Figura I1 g I uons.

. AmpIificação da interação fõton-parton, incluindo os efeitos de

Uma propriedade importante no modelo de partons é a fatorizaçlo da secção de choque e a densidade de quarks como mostrada na equação Ct. 1). Esta convolução é mantida quando CDQ é incorporada ao modelo, porém as cor reções r a d i a t i v a s do tipo mostrado na figura 12, devem ser levadas em con ta. Estas correções tem contribuições do tipo

Figura 12. Correções raa i a t i vas ao modelo de partons em CQQ,

com P2-U, vindas de configurações onde o glúon é aproximadamente paralelo

ao quark (singularidade de massa).

Depois de levar-se em conta as correções radiativas, Fj tem a se guinte estrutura

<* "0 • otf ,

com

a r

(x,Q2) = - ~ tP(x) + f(x)

e t=Hn (Q2/u2). A correção at P (x) deve ser somada em todas as ordens (apro_

ximação do logarítmo dominante). 0 resultado desta soma é equivalente, em primeira ordem, a absorver a dependência em O.2, na função de estrutura, ou

seja,

2F!(x,a2)= | - & q ( y , H2) e2 5(^-1) . (li. 8)

A variação de q(x,g.2) com Q2 ,

a

9 (!?.)

f o i derivada por A l t a r e l l i e P a r i s i3 0 e tem a forma

..2 1

C».9)

('•.IO)

P (z) é a probabilidade de um quark e m i t i r (ou desintegrar-se) em outro quark com fração z de seu momento, e está associada ao diagrama mostrado na

f i g u r a 13.

Figura 13, Gráfico relevante na computação de P (x)

A função

onde o denominador 1/(1-z) é d e f i n i d o por

f1

óz _U-2) Cl. 12)

desde que f ( z ) seja regular em z * l . O sobre Tndice N,S. i n d i c a uma f u n ç i o não s i n g l e t a em sabor.

Para analisar-se experimentalmente a dependência da função de es t r u t u r a qíx.Q2) em Q2 é conveniente i n t r o d u z i r - s e os momentos destas fun_

ções,

X1 4'1 Jo

Como a equação li 3q/3Q2 é uma convoluçao, podemos escrever,

<• MN(d2) as d í/i com (4.13) dz ZN~ ' P ( z ) (4.15) -se

Tornase simples agora i n t e i j r a r s e a equação ( ' • . I ' O , para o b t e r

-onde o expoente

2 "So~AN

e Bo ê o c o e f i c i e n t e da função de Callan SymanziK cuja expressão e x p l f c i 2 - "" ta j á f o i exibida em (3-3<>) (para CPU, gQ «• 11- — f , onde f é o número de

sabores). 0 momento

e a c o n s t a n t e A^ pooe ser c a l c u l a d a ana l i t i c a m e n t e usando-se a f ó r m u l a pa ra P , o b t e n d o - s e

1 . 1

A violação de escala pode ser testada, comparando-se a variação com i l2 de dois momentos diferentes, por exemplo

in

In Mh(42)

(4-19)

Os dados experimentais mais 1 Ímpios para esta comparação são extraídos do espalhamento i nelas tico profundo de neutrinos em alvos isoescalares, e es

tão exibidos na figura )k.

005 O 01

I 005

x A

/

/

F i g u r a Ht. Razão e n t r e ( l o g ) dos momentos r)6/Mi, e M5/M3 e x t r a í d o s dos expe

rimeníos de espalhamento i n e l ã s t i c o profundo v N3 1.

V á r i o s processos f í s i c o s são s u s c e p t í v e i s a e s t e t i p o de a n á l i s e , juntando o modelo de partons com CDQ. Em alguns processos a função de d i s t r i b u i ç ã o de quarks no hadron pode s e r i n v e r t i d a , i s t o é , v i s t a como a p r o

babilidade de um quark decair num hadron H e s p e c í f i c o e mais outras p a r t * cuias i n d i s t i n t a s , Quando v i s t a desta maneira, a função de d i s t r i b u i ç ã o ê chamada função de fragmentação. Na f i g u r a 15, fazemos uma l i s t a de proces sos onde esta analise pode ser a p l i c a d a . Nela a função f . ( x , H2) t a n t o pode

i n d i c a r a função de d i s t r i b u i ç ã o do quark i no hadron H com fração de momen_ t o x , como também a probabi l i uade de fragmentação de um quark i num hadron H com fração x do momento o r i g i n a l . Usamos também uma notação abreviada pa

ra a convolução,

A ( x ) 8 B ( x ) = — A(z)B(-) (!».2O) ••x z z

Note que A e B comutam na convolução.

a; 2.N -»• l'x

f?<x.C

D ) e e •+ H x

c) rtjri2 -+ u u x (processo Urell-Jan)

\

H - V\

a

.a

) a o .

If.

Figura 15. Processos analisados usando-se o modelo de partons num CDQ. A n_o taçio usada está explicada no texto.

k.3* Aniqui lação e e

0 processo de aniqui laçao elétron positron é particularmente ade_ quado para e5tudar-se experimentalmente as conseqüências da CÜQ. Há atuaj_ mente em operação, vários anéis de c o l i s i o e e que varrem energias de oen tro de massa até 'tQ Gev. 0 processo mais simples na aniqui lação e e é a produção de um par v u , tanto experimentalmente pois u' s tem uma assinatu_

ra única em detetores, quanto teoricamente, Este processo, apresentado pelo diagrama de Feynman na figura 16, tem

Figura 16. Aniquilaçio e e num par férmion-anti férmi on, que podem ser mú ons ou quarks.

A dependência angular (l+cos26) é característica do decaimento de

um fóton v i r t u a l (no CM) em um par de partfcuias de spin 1/2. Esta secção de choque integrada,

A produção de um par quark-antiquark é análoga â produção v p , exceto pe Ia carga e l é t r i ca, portanto, podemos escrever

o . V * q q - ! f ^

. J (4.23)

onde ij é a carga e l é t r i c a do quark medida em uniciaoes da carga eletrônica. 0 processo de produção de hadrons em colisões e e origina-se na formação de um par qq, portanto a secção de choque total para a produção de hâdrons

é igual â fórmula (4.23) somada sobre todos os possíveis quarks, Este fato nos permite definir a quantidade

ae e

ou seja, R é uma medida das cargas dos quarks. Esta fórmula é válida na a_ proximação de dorn, se incluirmos correções radiativas no vértice de prodjj çio dos quarks (correções radioativas devidas exclusivamente ã EUQ são de^ prezíveis) entaõ

R(<42) = l^{\ + d ( ^ ) + c2(^-)2 + . . . ) (4.25) onde a constante de acop lamento a , é tomada na escala vi2.A soma £ U? , dç_

pende da escala do processo, no sentido de que os sabores i levados em con ta, sio aqueles para os quais as massas efetivas sejam oem menores do que metade da energia de centro de massa. Na figura 17 mostramos os dados expe_ rimentais para R coletados por várias colaborações, tstes dados experimen_ tais são tomados como uma evidência para a existência de cor pois seu valor é três vezes maior do que se esperaria, somando o quadrado da carga dos quarks diretamente. Por exemplo, para E <2Gev, R - 2, enquanto que a soma do quadrado das cargas dos quarks u,a e s é 2/3- Jã o valor de R a 30 Gev é - 4, enquanto que, a soma sobre u,d,s,ce b é 1 l/á (=3.&7/3).

As contribuições para o coeficiente c\ da primeira correção radia_ t i v a , vem dos diagramas exibidos na figura 18. Este coeficiente foi calcula_ do em 1950 por Jost e Luttinger32 em EDQ e pode ser usado em CDQ com peque

nas modificações, tendo o valor

e i - | c2( R ) . (4.26)

Aplicado ã CDQ, com os quarks na representação fundamental, q = 1 ( c j ( f und)=V3) • 0 coeficiente C2 , calculado no esquema de renorma I i zação ms" para f sabores, ê dado por33

c2 - 1.» " 0.12f (4,27)

A média dos valores experimentais de R na região 30 Qev ' Ecm < 36.7 Gev,

R(E = 34 Gev) = 3.96 ± 0.1C ( 4 . 2 8 )

cm

nesta regiãoi o "(i.2 = 3.67 e portanto podemos e x t r a i r ao resultado experimental,

a (E = 3A Gev) = 0.21 ± O.

s cm

C* a

K

\

Figura 18. Contribuições ao coeficiente c1 da e q . f t . 2 5 ) .

t.í». Jatos

ürande parte dos eventos hadrônicos na região de a l t a energia de colisão e e tem a estrutura de dois jatos ao longo de um mesmo eixo. Uma re_ presentaçio esquema t i ca oeste tipo de evento está mostrada na figura 19.

A estrutura de jatos pode ser medida por quantidades como "thrust":

onde a soma soore i corre todas as partículas carregadas em um evento e a d." reçio do vetor unitário e é variada até encontrar-se um mínimo para a soma . A quantidade T varia entre 1/2, onde o evento tem uma configuração e s f é r i c a , até 1 ruando todas as partículas carregadas estão alinhadas ao longo de uma única direção. Portanto, quanto mais definido o evento, como dois jatos em direções contrárias, mais próximo de I estará o valor de T. t possível compjj tar-se o valor médio de T dado por CDQ, que é dado por

i—i—?—i r I i—i—r YYV i—i—i—i—|—i—i—i—i—|—i—i—i

a*

**•

ft

fit

»il

fs CGeVJ

Figura 17, Fator R na produção de hadrons na aniquilaçio e e

- T> = (4.30

Os valores desta quantidade medidos experimentalmente estão exibidos na figu^ ra 2ú.

Figura l j . Representação de eventos com dois j a t o s . As setas indicam a magni tude e direçio dos hadrons produzidos na colisão.

Caracteristi camente, CDQ. prevê a existência de uma fração aos eventos, com a estrutura de três j a t o s . Es

ser caracterizados pelo diagrama de Feynman da figura 21.

dem a (Q2) aos eventos, com a estrutura de três j a t o s . Estes eventos

da o_r podem 10, THRUST 0 . 5 r 0.2; 0.11 r T- r r r 07' Oi' Figura 2 U , V a l o r experimenta) de <1T> e < T > . P r e v i s ã o da CflQ e s t i i n c l u í -da no g raf i co 35

Figura 2 1. Diagrama de Feynman para eventos de três jatos (o glúon pode sair da 1 inha q ou q)

Para separar estes eventos, os físicos experimentais estabelecem um corte no T dos eventos, pois esta classe terá um T '«nor que os que sao tipicamente dois jatos. Com a r e s t r i ç i o adicional de que os eventos devem ser quase planos ( i . e . , com elasticidade pronunciada), os eventos são proje_ tados nos diagramas òe fluxo de energia, formando os chamados "padrões de an_ tena". A estrutura de três jatos é particularmente transparente nestes d i ^ gramas (veja figura 22) e a observação desta estrutura é uma das evidências

(indiretas) notáveis para a existência do glúon.

9 0 * M0:Or 90¥ Mr W

TWuíl j ^

-f " »

160'

7 7 0 " ?'<0*

Figura 22, Padrão de antena dos eventos com estrutura de três jatos e dois j a t o s ^ .

5. PROBLEMAS NÃO PERTURBATIVOS

Até aqui, examinamos problemas que tem um caráter essencialmente perturba t i vo, que sio os processos onde escalas de massas grandes e s t i o pre_ sentes. Estes problemas envolvem essencialmente a computação de diagramas de Feynman (por vezes bastante intrincados). Para análise de processos de baixa energia ou nio perturbativos são necessários novos métodos de computação,

Um dos problemas mais importantes em CDO. é demonstrar a sua (pre_ sumível) propriedade de conf inamento. Este problema pode ser abordado heuris_ ricamente, investigando o potencial e f e t i v o entre dois quarks pesados, de m<> do que e f e i t o s associados à (quebra de) simetria quiral sejam irrelevantes , Modelos de potências para o sistema cc ou bb indicam que quando são separa dos estes quarks pesados, o potencial torna-se l i n e a r , como se fosse um elájs t i c o . Uma representação pi ctõri ca da densidade de campos entre os dois quarks é mostrado na figura 23.

Figura 23- Potencial e f e t i v o ( l i n e a r ) entre dois quarks pesados.

0 potencial e f e t i v o comporta-se então, para grandes distâncias co mo

V(R) = o R (5,1)

onde a é a constante de tensão e l á s t i c a ou constante de tensão da corda, com dimensão [ L ] , e R, a separação entre os quarks.

Wilson36 sugeriu que se examinasse a quantidade

W(c) - <Tr P exp[ig í A

A- * " ] > / <Tr 1> (5.2)

, funcional ue um perímetro í r o i t r ã r i o c, ê computado mantendo-se c fixo e tomando a méaia sobre todas as configurações do campo A . 0 operador P na formula (5*2) indica que a média ou produto esperado no vácuo aeve ser ton«_ ao de modo que na expansão da exponencial, os campos A sejam ordenados ao longo da t r a j e t ó r i a . W(c) é uma quantidade invariante por transformações de gauge e oescreve a n i s t ô r i a de um par de quark-anti quark pesa aos, tomados co mo campos externos, Se o perímetro c for tomaoo de tal maneira que a dimen_ são T vá para i n f i n i t o , enquanto se mantêm a direção espacial f i n i t a , o laço oe Wilson estará medindo o potencial entre os quarks, pois (veja figura 2k).

Um w(c) - e (i.3)

Figura 24. Perímetro c medindo o potencial e f e t i v o entre dois quarks pesados,

Wilson estabeleceu c r i t é r i o s para medir-se a propriedade ae confi_ namento de una teoria de gauge:

Se:

a) a quantidade m W(c) for proporciona) a are» do perímetro c,ou

seja

W ( c ) - e- o a r e a

o) in W(c) for proporciona] ao perímetro P de c então não ná con_ finamento,

A formulação deste proolema no espaço Euclioeano, tomando a média soore as configurações dos campos, ê equivalente ao problema da mecânica es_ t a t i s t i c a dos laços oe Wilson. 0 problema da mecânica e s t a t í s t i c a é susceptí veI de análise numérica e isto levou Wi Ison a formular teorias de gauge numa reae ( c r i s t a l i n a )3 6.

o. TtURIAS DE üAUtiE NA Ktüt

o . l . Definição

Vamos formular uma teoria de gauge na rede37 definindo uma matriz,

• * (n)

U (n) = e u ( o . l )

M

no espaço dos elementos ao grupo Sü(N), associada ã ligação e n t r e o s í t i o n e o s í t i o rt+ií da rede (veja a f i g u r a 2 i ) .

n rup

t.

Figura 25. Elemento oe ligação na rede ao qual está associada a matriz U (n)

Podemos parametrizar a matriz ti (n) na itornva

Bp(n) - 5 a g \l AJ(n) (t>,2)