7.1 Densidade de corrente elétrica

(1)

Capítulo VII

Relatividade e Eletromagnetismo

Embora a teoria eletromagnética baseada nas quatro equações formulada por Maxwell (1864) seja anterior à Relatividade Restrita, é uma teoria relativística por excelência, sendo inclusive uma das razões, se não a principal razão, do surgimento da Relatividade Restrita, apresentada em 1905 por Albert Einstein com o sugestivo título "Sobre a Eletrodinâmica dos

Corpos em Movimento". Isso porque as equações do eletromagnetismo violam a relatividade newtoniana, formalizada pelas transformações de Galileu, sendo covariantes por um outro conjunto de transformações atualmente conhecidas como as transformações de Lorentz.

7.1 Densidade de corrente elétrica

Um pressuposto fundamental na teoria eletromagnética é que a carga elétrica seja uma grandeza invariante. Desse modo, se num certo referencial inercial existe uma distribuição uniforme e rígida de uma carga elétrica numa região de volume tal que a sua densidade seja

=_{, (7.1)} num outro referencial inercial ′ a densidade de carga será

₌

(7.2)

onde é o volume da mesma região vista por . Em termos do volume próprio , = , = 1 1 − _/ ₌ , = 1 1 − _/ (7.3) onde e ′ são as velocidades das distribuições rígidas de carga nos referenciais inerciais e ′, respectivamente. Considere esses referenciais em movimento relativo uniforme, com velocidade , ao longo do eixo comum e, portanto, ligados pelas transformações de Lorentz, equação (6.33), _{= ( − )} _{= ( − )} ₌ ₌ ⟺ _{= (}₋"₎ "_{= (}"₋₎ ₌ #₌# . A componente temporal da quadri velocidade leva à transformação

= $1 −%& , (7.4)

de modo que a relação entre os volumes fica

₌ (1 − %) = (1 − % ) . (7.5)

(2)

Substituindo na densidade de carga, equação (7.2), resulta

₌

$1 −%& = $1 −%& (7.6)

e, considerando a densidade de corrente elétrica , = -, _{= $ −}.%

& . (7.7)

A lei de adição das velocidades, equação (5.82),

% =_{1 −}%− %/ , / ₌1 (1 − %//) , 0 ₌1 (1 − %0/) , (7.8)

leva às transformações das componentes da densidade de corrente,

2.%

₌_% _{= (}_%_{− ) = (.}_%_{− )}

./ = / = / = ./

.0 = 0 = 0= .0

. (7.9) As transformações (7.7) e (7.9) sugerem a construção do quadrivetor densidade de corrente elétrica

.4₌₅4_(7.10)

onde = / é a densidade própria e 54 a quadrivelocidade. Em termos das componentes temporal e espacial,

.4 _{= 7.}_{, .}8_{9 = 7,}8_{9 . (7.11)}

As transformações de Lorentz das componentes do quadrivetor densidade de corrente elétrica ficam : ; <_. = ( − .%) % = (.%− ) ./ = ./ .0 = .0 ⇔ : >; > < . = (.− .") ."_{= (.}"_{− .}₎ . _{= .} .# _{= .}# (7.12)

7.1.1 Fio condutor infinitamente longo

Cargas elétricas em movimento produzem campos magnéticos, de modo que é de se esperar que o campo magnético dependa do movimento relativo entre o observador e a carga elétrica. Como uma carga em repouso num determinado referencial é fonte do campo elétrico nesse referencial, num outro referencial ′ em movimento uniforme em relação a , a carga estará em movimento e, portanto, será fonte de campos elétrico e magnético. Isso sugere uma conexão entre os campos elétrico e magnético através das transformações de Lorentz.

Para compreender fisicamente como isso ocorre, considere um sistema simples, um fio condutor infinitamente longo alinhado ao longo do eixo e percorrido por uma corrente elétrica ?. Essa corrente é devida ao movimento dos elétrons de condução dos átomos constituintes do fio, sendo que a densidade de carga elétrica permanece neutra devido às

(3)

cargas positivas dos núcleos atômicos, que permanecem em repouso, enquanto os elétrons de condução fluem entre os átomos, percorrendo o fio condutor com uma velocidade média . Em termos da carga do elétron, = −@, e as densidades de cargas positivas e negativas do fio são

ABD= C@_{= C@}BD= C@ _{= −C@ , (7.13)}

onde C = E/ é o número de cargas por unidade de volume, a densidade de cargas total sendo nula,

= B₊D_{= 0 . (7.14)}

Como somente as cargas negativas é que se movem ao longo do fio, as contribuições das cargas positivas e negativas para a densidade de corrente são, respectivamente,

A.%B= 0

.%D= D = −C@ . (7.15)

resultando a corrente total

.% = .%D= −C@ . (7.16)

Nessa situação a lei de Biot-Savart prevê um campo magnético tangencial de intensidade

G =2?_{H IJ (7.17)} circundando o fio condutor (IJ é o versor tangencial ao fio), a corrente elétrica dada por

? = K .%LM

Integrada sobre a área transversal do fio. Como a carga elétrica total é nula, o campo elétrico deve ser nulo, N = O, em todo o espaço externo ao condutor.

Para um observador no referencial ′, o balanço das densidades de cargas e correntes elétricas positivas e negativas é diferente. Pelas transformações (7.12),

B _{= (}B_{− .}

%B) = B= −

para as cargas positivas e

D_{= (}D_{− .}_%D_{) =}D₋D

= ( − )D_{= −C@ + C@}

para as cargas negativas, resultando uma densidade volumétrica de cargas não nula),

₌B₊D₌

C@ . (7.18)

Quanto às densidades de corrente,

(4)

para as cargas positivas e

.%D = (.%D− D) = (D − D)

= ( − )D_{= −( − )C@}

para as cargas negativas, resultando na densidade de corrente total

.% = .%B+ .%D= −C@ . (7.19)

O resultado mais significativo é a presença de uma densidade de carga elétrica total não nula distribuída ao longo do fio condutor, dando origem a um campo elétrico radial ao longo do eixo definido pelo fio condutor,

P₌2Q

H (7.20)

além do campo magnético tangencial, em módulo, igual a

R ₌2?

H (7.21)

onde

Q _{= K}_{LM (7.22)}

é a densidade linear de cargas. Para uma densidade uniforme de cargas no condutor com secção transversal de área A,

Q_{= M}_{= M}

C@ . (7.23)

A presença de campos elétrico e magnético no referencial ′ enquanto que no referencial tem apenas o campo magnético mostra que campos elétrico e magnético misturam-se numa transformação de Lorentz sendo, portanto, manifestações de um mesmo fenômeno físico cuja fonte é a carga elétrica. No entanto, os campos elétrico e magnético, E e

B, respectivamente, são vetores de propriedades matemáticas diferentes, de modo que não

devem se misturar em simples combinações lineares. O campo elétrico E é um vetor polar enquanto que o campo magnético B é um vetor axial (ou pseudovetor).

Vetores polares e vetores axiais têm propriedades de transformação diferentes numa reflexão espacial S → −S. O vetor posição r é um vetor polar típico, assim como a velocidade, cuja transformação por reflexão é a mesma do vetor posição,

- =LS_{L → −- = −}LS_{L . (7.24)} Por outro lado, o momento angular é um vetor axial ou pseudovetor típico, transformando-se como

U = S × W → U (7.25) numa reflexão espacial.

(5)

7.2 Campo eletromagnético

No conjunto das quatro equações de Maxwell, duas são homogêneas,

HXN + YGY = 0

_{LZG = 0} , (7.26) e as outras duas são não homogêneas,

HXG − YNY = 4[

,

_{LZN = 4[} . (7.27) Devido às identidades matemáticas LZ ∙ HX ≡ 0 e HX ∙ ^H_L ≡ 0, as equações homogêneas permitem definir os campos magnético e elétrico como

G = HX`

N = −^H_LI − Y`_Y (7.28) onde A é uma função vetorial e φ uma função escalar, o potencial vetor magnético e o potencial escalar elétrico, respectivamente. Nesse contexto, as equações homogêneas podem ser consideradas como identidades matemáticas.

As equações dinâmicas são as não homogêneas, que podem ser obtidas de uma função lagrangeana através da equação de Euler-Lagrange.

Os campos potenciais não são univocamente definidos, admitindo as transformações ` → ` _{= ` + ^H_La}

I → I _{= I − Ya}

Y

(7.29) para uma função arbitrária a(, , , ), sem afetar os campos físicos E e B. São conhecidas como transformações de gauge do campo eletromagnético.

A estrutura das transformações sugere um quadri-vetor M4 com as componentes temporal M = I e espacial A,

M4 _{= (M}_{, `) = (I, `) , (7.30)}

as transformações de gauge resumindo-se a

M4→ M4 = M4+ Y4a . (7.31)

Em termos das componentes do quadri-vetor M4, o campo elétrico fica P8 _{= Y}₈_M_{+ Y}_M8

e o campo magnético

R8 _{= (HX`)}8 _{= Y}_b_Mc_{− Y}_c_Mb _{= d}8bc_Y₈_Mc

os índices espaciais eZ.fg tomados ciclicamente.

(6)

h4i = Y4Mi− YiM4 (7.32)

tal que

P8 _{= h}8_{e R}8 _{= h}_bc_{, (7.33)}

índices eZ.fg cíclicos no campo magnético.

O par das equações de Maxwell não homogêneas fica

Y4h4i =4[_.i , (7.34)

que pode ser obtida a partir da função lagrangeana

ℒ = −1_{4 h}4ih4i+4[_.i (7.35) e a equação de Euler-Lagrange Y4_YMYℒ i,4 = − Yℒ YMi= 0 . (7.36)

Na equação de Euler-Lagrange usa-se a notação para as derivadas Mi,4 = Y4Mi

útil para manter as equações numa forma mais compacta.

O par das equações homogêneas pode ser obtido da identidade matemática

Y4_hil_{+ Y}i_hl4_{+ Y}l_h4i _{≡ 0 , (7.37)}

ou, na versão mais compacta,

dm4ilY4hil ≡ 0 . (7.38)

7.2.1 Transformações de Lorentz

Sendo um quadri-vetor, pelas transformações gerais de Lorentz

4 _{= Λ}4_ii_(5.51)

conectando os referenciais inerciais e ′ o campo M4 deve transformar-se da mesma forma, M4₍_{) = Λ}4

iMi () . (7.39)

No caso das transformações especiais de Lorentz, equação (6.33),

M _{= (M}_{− M}"₎ M" _{= (M}"_{− M}₎ M_{= M} M#_{= M}# . (7.40) Os campos elétrico e magnético no novo referencial ′ ficam,

P8 _{= Y}

8M+ YM8

(7)

R8 _{= Y}

bMc − YcMbo ,

(índices eZ.fg cíclicos). Usando as transformações do campo, equação (7.40), e dos operadores diferenciais, : ; <∂_∂ = (∂+ ∂") " _{= (∂} "+ ∂) ∂ = ∂ ∂# = ∂# (7.41) resultam as transformações 2 P% = P% P/ = 7E/− B09 P0 = 7E0+ B/9 (7.42) para as componentes do campo elétrico e

2

R% = R%

R/ = 7B/+ E09

R0 = 7B0− P/9

(7.43) para as componentes do campo magnético.

7.2.2 Campo de uma carga em movimento uniforme

Uma aplicação imediata das transformações do campo eletromagnético é a obtenção dos campos elétrico e magnético de uma carga elétrica em movimento uniforme. Por simplicidade, pode-se supor que o movimento seja ao longo do eixo com velocidade constante .

Se ′ for o referencial de repouso da carga, o campo magnético deve ser nulo,

G _{= O , (7.44)}

e o campo elétrico deve ser coulombiano,

P′ =H_H_# . (7.45) Em componentes retangulares fica

P% = H#/ , P/ = H#/ , P0 = H#/ e R% = R/ = R0 = 0 .

A figura 7.1 ilustra a configuração das linhas de campo de um campo elétrico coulombiano usando amostragem de 3 mil segmentos orientados na direção das linhas de campo, para efeito de comparação com as configurações dos campos elétricos de cargas a grandes velocidades (figura 7.2).

(8)

Figura 7.1

Representação de um campo elétrico coulombiano com uma

amostra de 3 mil segmentos orientados com distribuição

proporcional a |N|.

Para obter os campos no referencial de laboratório , pode-se recorrer às transformações inversas da equação (7.42) para as componentes do campo elétrico,

2

P% = P%

P/ = 7P/ + R09

P0 = 7P0 − R/9

, (7.46) e da equação (7.43) para as componentes do campo magnético,

2

R% = R%

R/ = 7R/ − P09

R0 = 7R0+ P/9

(7.47) mais as transformações diretas das coordenadas.

Para o campo elétrico resulta

P% = P% = H#/ =_[_{( − )}( − )₊₊_]#/ (7.48) para a componente , E/ = 7P/ + R09 = P/ = H#/ =_[_{( − )}₊₊_]#/ (7.49) para a componente e P0 = (P0− R0) = P0 = H#/ =_[_{( − )} ₊₊_]#/ (7.50)

para a componente , com = / e = 1/(1 − ²).

A figura 7.2 mostra as configurações das linhas de campo elétrico de cargas em movimentos uniformes ao longo do eixo (horizontal) a grandes velocidades indicadas por = / mostrando o efeito da contração do espaço sobre a configuração das linhas de campo. No limite da velocidade da luz, as linhas de campo se concentram no plano

(9)

perpendicular à direção da velocidade. Mostra que embora o campo eletromagnético não dependa da massa da partícula carregada, partículas carregadas devem ter massas não nulas, caso contrário a carga fonte teria velocidade igual à da luz e as linhas de campo se acumulariam sobre o plano transversal ao movimento onde o campo elétrico teria intensidade infinita, sendo nula fora do plano transversal que acompanha a carga.

= 0,9 = 0,99

= 0,999 = 0,999999

Figura 7.2: Configurações dos campos elétricos de cargas em movimentos uniformes a grandes velocidades indicadas por = /.

As componentes do campo magnético podem ser expressas em termos das componentes do campo elétrico,

2

R% = 0

R/ = 7R/ − P09 = −P0 = −P0

R0 = 7R0+ P/9 = P/ = P/

(7.51) ou, de uma forma geral,

(10)

como facilmente pode ser verificado para este caso, onde a velocidade tem apenas a componente _%= . A figura 7.3 ilustra a configuração do campo magnético, em corte tranversal à direção de movimento.

Figura 7.3 Configuração do campo magnético de uma carga em movimento uniforme, em corte

transversal à linha de movimento, em amostragem de

2 mil pontos.

7.3 Campo de uma carga em movimento arbitrário

O par das equações de Maxwell não homogêneas na forma (7.34) mais a condição Y4M4= 0 (gauge de Lorentz) resulta

Y4Y4Mi =4π_.i , (7.53)

uma equação de onda não homogênea tendo como fonte a densidade de corrente .4. Em termos dos campos ϕ e A,

xY_Y− ∇_{z { = 4π (7.54)}

e

xY_Y− ∇_{z ` = 4π, . (7.55)}

Para uma carga fonte puntiforme, as densidades de carga e de corrente , são nulas em todo o espaço exceto na posição 4 da carga no espaço-tempo. Deste modo, para determinar o campo eletromagnético em todo o espaço devido a esta carga fonte, deve-se resolver as equações homogêneas

xY_Y− ∇_{z { = 0 (7.56)}

(11)

xY_Y− ∇_{z ` = 0 (7.57)}

impondo condições de contorno devido à presença da carga fonte em

4_{(|) = (′,S}

}(′) . (7.58)

Devido às propriedades de propagação do campo eletromagnético, isotrópica e à velocidade da luz, o sistema tem simetria esférica, a cada instante t′, em torno da posição S}(′) da carga fonte. A equação de onda

xY_Y− ∇_{z M}4 _{= 0 (7.59)}

em coordenadas esféricas independente das coordenadas angulares, em razão da simetria esférica, fica 1 _{Y $}Y YM 4 Y & − Y _M4 _Y= 0 (7.60) onde ~ = S − S}(′) (7.61)

define a posição relativa do ponto de observação em relação à carga fonte, com a distância radial

= S − S}(′) = ( − ′) . (7.62)

Com a redefinição do campo escalar, = { a parte escalar da equação (7.60) fica Y

Y− Y

_Y = 0 , (7.63)

uma equação de onda unidimensional cuja solução deve ser uma combinação linear do tipo

= a"$ −_{& + a}$ +_{& .}

A função a_"( − /) representa uma onda propagando-se da origem ( = 0) para o infinito e a( + /) uma onda que se aproxima do infinito para a origem.

Se a carga fonte estiver em repouso,

M4 _{= ({, `) = (}

, 0) , (7.64) indicando que, de uma forma geral, o quadri-vetor M4 deve ser da forma

M4 _{= x}

S − S}(′) , `z (7.65)

de tal modo que se reduza ao caso estático quando a velocidade da carga fonte for nula, isto é, em termos da quadri-velocidade, 4(′) = (, 0). Isto se consegue para

(12)

M4 ₌ 4(′)

i i(′) (7.66)

onde

4 ₌4₋4_(|_{) = 7( − ′), S − S}

}(′)9 (7.67)

que deve satisfazer a condição

44= ( − )− S − S}()= 0 (7.68)

definida pela equação (7.62).

Derivadas temporais estão expressas em notação compacta

4_{() = L}4

L e 4() = L

4

L

para as derivadas de primeira e de segunda ordem em relação ao tempo, respectivamente. A condição (7.68) significa

₌_{( −}₎_,

isto é,

= ±( − _{) ,}

que define as duas possibilidades para ′, o tempo retardado e o tempo avançado em relação ao tempo t,

₌ _{= −}

e = = + , (7.69) respectivamente, que definem os potenciais retardado e avançado.

Por questões de causalidade o campo físico deve ser o retardado,

M4 = 4

, (7.70) originado pela carga fonte na posição 4= (, S()) e velocidade 4() no tempo passado ou retardado ′ = = − / < , = i i|= $( − ) −~ ∙ -_& = $ − ~ ∙ - & - . (7.71) O campo avançado M4 = 4 − (7.72) devido à carga fonte na posição 4= (, S()) no tempo futuro ′ = = + / > para

= i i| = − $ +~ ∙ -_&

(13)

As componentes { =_{( − ~ ∙ -/)} (7.73) e `=_{( − ~ ∙ -/)} - (7.74)

são os potenciais retardados de Liénard-Wiechert. Conhecidos os potenciais, os campos elétrico e magnético são obtidos da maneira usual, com uma precaução extra em relação às derivadas, que devem levar em conta a equação de vínculo (7.68), que pode ser reescrita na forma 44 = 4− 4(|)[4− 4(|)] = 0 (7.75) de cuja diferenciação 4[L4− 4L|] = 0 resulta a diferencial L| =Y|_Y₄ L4 =4 L 4 e a derivada Y| Y4 = Y4| =4 (7.76)

As derivadas de funções dependentes do tempo retardado devem se valer da regra de derivação

Y4Mi = Y4Mi+_L|LMi

Y|

Y4 = $Y4+4 _L|L& Mi (7.77)

onde Y₄M_i indica a derivada em relação às coordenadas 4 explícitas. Assim, Y4Mi = Y4$ _&i

= − i _YY47 9 = − 4 i e $LM_{L| &}i = $ L L| &i = $1 i− iL_L|& , onde $L_L|& = L7 9 L| = +L− L|(|) i = 7 − 9 . Resulta $4LM_{L| &}i = 1 4 i−1#4 i7 − 9 e

(14)

Y4Mi = − 4 i

+

1

4 i+1#4 i−

Com estas derivações, o tensor eletromagnético h_4i = Y₄M_i− Y_iM₄ fica h4i = 1_#[− (_)]74 i− i 49 +1 74 i− i 49

,

os campos elétrico e magnético definidos pelas componentes P8 = h8 e R8 = h_bc, equação (7.33). Assim,

P8 _{= h}8 ₌1

#[− (_)]78 − 89 +1 78 − 89 ,

Considere as componentes dos quadri-vetores velocidade e aceleração 7 _,8_{9 = 7,}8₉

e

7 _,8_{9 = x}- ∙

, _8+ (- ∙ ) 8z ,

respectivamente, equações (5.85-5.86), onde a é aceleração usual com as suas três componentes _8. Em termos dos parâmetros físicos usuais = -/, = e ~ = resultam [_{− (_)]7}8₋8_{9 = [}_{− (_)]7C}8₋8_{9 ,} 78₋8_{9 =}- ∙ 7C8− 89 − _8= 7 ∙ 97C8− 89 − (1 − )8 e = 44 = (1 − ∙ )| .

O campo elétrico, em forma vetorial, fica N = _#[_{− (_)]( − ) +}

(7 ∙ 9( − ) − (1 − )) ,

cujo termo dependente só da velocidade é

N-= ##( − )

=

( − ) _{(1 − ∙ ))}#

.

Os demais termos carregam dependência na aceleração,

N¡= −#[(_)]( − ) + 7 ∙ 9( − ) − (1 − )

. A primeira dependência ocorre no produto escalar

(15)

que pode ser posta na forma

(_) = _{7 ∙ 9(1 − ∙ ) −}_{7 ∙ 9}

ou

(_) = _{7 ∙ 9(1 − ∙ ) − (1 −}_{)7 ∙ 9}

e resulta nas contribuições

N¡(1) = −_#¢7 ∙ 9(1 − ∙ ) − (1 − )7 ∙ 9( − )

e

N¡(2) =_#¢ 7 ∙ 9( − ) − (1 − )(1 − ∙ )

cujos primeiros termos se cancelam, resultando

N¡ =7 ∙ 9( − ) − (1 − ∙ )_{(1 − ∙ )}_#

Veja que, como ∙ = 1

7 ∙ 9( − ) − (1 − ∙ ) = 7 ∙ 9( − ) − [ ∙ ( − )] , podendo-se recorrer à identidade vetorial

 × ( − ) × ) ≡ 7 ∙ 9( − ) − [ ∙ ( − )] para escrever o campo elétrico como

N = _{(1 − ⋅ )} − _#

+

× ( − ) × (1 − ⋅ )#

. (7.78)

O campo elétrico apresenta duas componentes, a primeira de velocidade e a segunda de aceleração. O campo de velocidade é solidário à carga e acompanha o seu movimento enquanto que o campo de aceleração é independente e corresponde à radiação eletromagnética.

O campo magnético tem as componentes R8 _{= h}

bc = − #[− (_)]7Cbc− Ccb9 +

− 7 ∙ 97Cbc− Ccb9 − 7Cbc− Ccb9 ,

que podem ser identificados as componentes do produto vetorial

G = [ × N] . (7.79)

7.3.1 Campo de uma carga em movimento uniforme

(16)

N = _{(1 − ⋅ C)} − _#

(7.80)

Se o movimento for ao longo do eixo , = @_% e a posição da carga, supondo na origem no instante = 0, é S_}() = @_% e, portanto,

=~₌_{S − S}S − S}() }() = ( − )@%+ @/+ @0 (7.81) e ( − ) = ( − − )@%+ @/+ @0 = ( − − ( − ))@%+ @/+ @0 = ( − )@%+ @/ + @0 . (7.82) Também (1 − ∙ ) = x1 −( − )z = (1 − _{) −}( − ) . (7.83) Figura 7.4

Nesta ilustração, P é a posição (x,y,z,t) do campo, Q′ é a posição da carga fonte no tempo retardado e Q é a posição atual da carga, em movimento uniforme ao longo

do eixo (horizontal).

A figura 7.4 ilustra uma carga elétrica inicialmente ( = 0) localizada no ponto O deslocando-se com movimento uniforme ao longo do eixo com velocidade constante . O campo eletromagnético na posição ¤, de coordenadas (, , ), foi gerado por esta carga fonte no tempo retardado na posição retardada ¥¦§§§§§ = H _}() = (sobre o eixo ). Ainda sobre o eixo , ¥¦§§§§ = H_}() = é a posição atual da carga fonte e ¦′¤§§§§§ = = ( − ) é a distância que o campo deve percorrer da carga fonte até a posição ¥¤¨¨¨¨¨© = H©.

Pela configuração geométrica do sistema, _{= ( −}

)+ ª = [ − ( − )] + ª , (7.84)

onde ª= + , e pode ser rearranjada na forma de uma equação algébrica de segundo grau em ,

(17)

(1 − ₎_{− 2( − ) − ( − )}_{− ª}_{= 0 (7.85)}

cujas soluções são

= 2( − ) ± 4( − )_{2(1 −}+ 4(1 − ₎ )[( − )+ ª] . Considerando que R deve ser positivo, resta a solução

=( − ) + ( − )_{(1 −}+ (1 − ₎ )[( − )+ ª] que pode ser simplificada para

= ( − ) + ( − )_{(1 −}₎+ (1 − )ª (7.86) e rearranjada como

(1 − _{) − ( − ) =}( − )+ +

(7.87) Comparando com a equação (7.83),

(1 − ∙ ) =

_{( − )}₊₊

e

N = ₍( − )@_{( − )}%+ @₊/₊+ @₎_#/0 . (7.88) Este é exatamente o resultado obtido na secção (7.2.2) para o campo elétrico usando as transformações de Lorentz.

7.3.2 Campo de uma carga em movimento hiperbólico

O movimento hiperbólico de uma partícula, resultante da ação de uma força externa constante sobre a mesma (veja capítulo 6) pode ser descrito, usando as coordenadas 4 do espaço-tempo e considerando o movimento unidimensional ao longo do eixo z, por

( _{, ) =}

_ («@CℎQ|, X«ℎQ|) . (7.89) Descreve a partícula movendo-se do infinito, de → ∞ (velocidade =– ), uniformemente desacelerada até se anular em = ²/_ e retornando ao infinito, uniformemente acelerado, até atingir a velocidade limite c novamente em → ∞. Na equação acima, _ = h/¯ é a aceleração própria constante devido à ação da força externa constante h atuando sobre uma partícula com massa de repouso ¯ e Q = _/ é um parâmetro auxiliar. A quadri velocidade e a quadri aceleração resultam

(18)

e

( _{, ) = _(«@CℎQ|, X«ℎQ|) , (7.91)}

os pontos acima das coordenadas indicando derivadas em relação ao tempo próprio,

4₌L 4

L| = 4 e _4=L

4

L| = 4 .

Explicitando os campos elétrico e magnético em termos de parâmetros físicos usuais relacionados por

= -/, = 1

(1 − ²) e ~ = , (7.92) para

4_{= (7 −}_}_{9, 7S − S}_°_{9) ,}

onde S_°= S_°(±) é a posição da carga no tempo retardado (ou avançado) _} e

~ = S − S°7}9 . (7.93)

Os campos potenciais serão usados nos formatos {} =_{− ~ ⋅ -/)}

} (7.94)

e

`} =_{( − ~ ⋅ -/)}

-} (7.95)

são válidos para os campos retardados ou avançados. A condição ₄4 = 0 leva a _{7 −}

}9= 7S − S}9= (7.96)

onde S_} = S(_}) é a posição da carga no instante _}. Como = S − S_}, resulta

} = ∓_(7.97)

onde os sinais negativo ou positivo remetem aos tempos retardado ou avançado, respectivamente.

A equação (7.89) do movimento hiperbólico na forma paramétrica pode ser colocada na forma de trajetória em função do tempo. Para o movimento ao longo do eixo com as condições iniciais = ³ e = 0 fica

7}9 = ´³+ } (7.98)

com velocidade

7}9 = }

(19)

e aceleração _7}9 = ³ 7³₊_}₉#/ (7.100) para ³ = /_ = 1/Q. A equação (7.96) fica _{7 −}_}₉_{= 7 −}_}₉₊₊₌_(7.101) isto é, ₇_{− 2} }+ }9 = − 2 }+ }+ + =

e, usando a equação da trajetória (7.98),

_{− 2}_}₊_} _{= H}_{− 2 ´³}₊_}₊_7³₊_}_{9 ,}

que pode ser rearranjada para

2 ´³₊_}_{= (H}₊_³₋_{) + 2} } .

Quadrando os dois lados, resulta

4 _7³₊_}_{9 = (H}₊_³₋₎_{+ 4}_(H₊_³₋₎_}_{+ 4}_}_,

uma equação algébrica de segundo grau em _},

4₍₋₎_}_{− 4}_(H₊_³₋₎_}_{+ 4}_³_{− (H}₊_³₋₎_{= 0 ,}

cujas soluções são

} =(H ₊_³₋₎ 2( ₋₎ ∓ (H ₊_³₋₎_{− (}₋₎₄_³ 2( ₋₎ . (7.102) Considere _{= H}₋₌₊ e ∆= (H₊_³₋₎_{− (}₋₎₄_³ = (H₋_³₋₎_{+ 4}_³_. Então, para ¶ = (H₋_³₋₎_{+ 4}_³ = (H₊_³₋₎_{− (}₋₎₄_³ , (7.103) a equação (7.102) fica } =(H ₊_³₋_{) ∓ ¶} 2( ₋₎ .

(20)

· = H₊_³₋_(7.104)

resulta

} =₂₍· ∓ ¶₋_{) . (7.105)}

Veja que, usando a definição (7.104), o parâmetro ¶ fica

¶ = ·_{− 4}_³₍₋_{) . (7.106)}

Para o movimento hiperbólico ao longo do eixo z, equações (7.98-7.100), o vetor (7.93) fica ~ = S − 7}9@0 = @%+ @/+ $ − ´³+ }& @0 (7.107) e, portanto, ~ ∙ - = x_³₊_}− z } . (7.108) Como ³₊_} ₌4³( − ) 4₍₋₎ + (· ∓ ¶) 4₍₋₎ e, da equação (7.106), 4_³₍₋_{) = ·}_{− ¶}_{, (7.109)}

então, após alguns cálculos, pode-se obter

³₊_}₌· + ¶∓ 2 ¶· 4₍₋₎ , ou seja, ³₊ }= (· ∓ ¶) 4₍₋₎ . (7.110)

Para o tempo retardado _} = ,

= ( − ) , e, das equações (7.105) e (7.108), −~ ∙ -_{= −} } ³₊_}= − ¸ 4( ₋₎ (· ∓ ¶) ₂₍· ∓ ¶₋_{) .} Das equações (7.106) e (7.109), ¶ > 0 e _>_{⇔ ·}_{> ¶} ou

(21)

_<_{⇔ ·} _{< ¶}_,

de modo que

−~ ∙ -₌ ±¶( _{(· ∓ ¶) .}− )

Substituindo nas equações (7.94) e (7.95), resulta a componente escalar

M =_{− ~ ⋅ -/)} =

(· ∓ ¶) ±¶( ₋₎

e a componente espacial não nula

M# =

( − ~ ⋅ -)¹}

= _±¶(∓ ¶ + ·₋_{) ,} que podem ser colocados nas formas

M = ±·_¶₍₋_{) −}₍₋₎

e

M# = ±·_¶₍₋_{) −}₍₋ _{) ,}

dependentes apenas das coordenadas atuais do espaço-tempo. Veja que, para

º =1_{2 ln|}₋_{| ,}

as componentes do potencial podem ser escritas como

M = ±_¶·₍₋_{) +}_YYº

e

M# = ±·_¶₍₋_{) −}Yº_{Y .}

Podem ser simplificadas considerando a transformação de gauge M4_{→ M}4_{− Y}4_{º ,}

resultando as expressões finais

M = ·_¶₍₋_{) (7.111)}

e

(22)

onde

·

¶ = H

₊_³₋

(H₊_³₋₎_{− 4}_³₍₋₎ , (7.113)

os sinais (±) absorvidos na carga.

Os campos elétrico e magnético podem ser obtidos calculando

P8 _{= h}8_{= Y}8_M_{− Y}_M8 _{= −}YM Y8 −YM 8 Y (7.114) e R8 _{= −h}bc _{= −Y}b_Mc_{+ Y}c_Mb₌YMc Yb−YM b Yc . (7.115)

A componente P_% do campo elétrico fica P% = −YM Y = Y $Y ¶&· ( ₋₎ onde Y Y $·¶& =2¶ −¶· = −8 _³₍₋₎ ¶# e, portanto P% =8 _³ ¶# . (7.116) De forma similar, P/ =8 _³ ¶# . (7.117) Para a componente P0 = −YM Y −YM # Y as derivações são mais trabalhosas. Assim,

YM Y = Y $Y ·¶&( ₋_{) +}_¶·_YY ₍₋₎ para Y Y $·¶& =4 _³₍₊₋₊₊_³₎ ¶# e Y Y ( ₋_{) = −} ( ₊₎ ( ₋₎ resultando

(23)

YM Y = 4 _³ ₍₊₋₊₊_³₎ ¶#₍₋₎ − ·_¶ ( ₊₎ ( ₋₎ . Para YM# Y = Y Y ·¶( ₋₎ = Y_{Y (}_¶)· ₍₋_{) +}·_¶_YY ₍₋_{) ,} usando Y Y $¶& = −· 4 #_³₍₊₋₊₊_³₎ ¶# e Y Y ( ₋_{) =} ( ₊₎ ( ₋₎ resulta YM Y = −4 _³₍₊₋₊₊_³₎ ¶#₍₋₎ + _¶· ( ₊₎ ( ₋₎ .

Somando as duas contribuições,

P0 = −4

_³₍₊₋₊₊_³₎

¶# . (7.118)

A equação (7.115) fornece as componentes do campo magnético,

: >> ; >> <R%= R"=YM # Y −YM Y R/ = R =YM " Y −YM # Y R0 = R#=YM Y −YM " Y .

Como a única componente espacial não nula do potencial vetor é M#, equação (7.112), resultam R% = _{Y $}Y ·_¶&₍₋_{) = −}8 _³ ¶# (7.119) e R/ = −_{Y $}Y _¶&· ₍₋_{) =}8 _³ ¶# . (7.120) A componente z é nula, R0 = 0 . (7.121)

(24)

O campo elétrico, em componentes cilíndricas não nulas (P_¾ = 0), fica Pl = 8 _³ ¶# P0 = − 4 _³₍₊₋₊₊_³₎ ¶# (7.122) e o campo magnético, G = − 8³_¶#J + 8 _³ ¶# J = −8_³_{(«@CIJ − X«IJ)} ¶# ou, simplesmente, G = 8_³ ¶# IJ (7.123) para + > 0 e ¶ = (H+ ³− )− 4³( − ) .

A restrição (7.124) leva em conta a velocidade finita de propagação do campo eletromagnético, que deve ocorrer à velocidade da luz. Os campos E e B aqui considerados são devidos a uma carga descrevendo um movimento hiperbólico, percorrendo o eixo z de → +∞ no instante → −∞ quando a velocidade é → −, desacelerando até o instante = 0 quando a velocidade se anula, = 0, na posição = ³ > 0, retornando para → +∞.

A figura 7.5 ilustra a evolução temporal do campo elétrico de uma carga em movimento hiperbólico no intervalo −15 ≤ ≤ 20, para a aceleração própria _/² = 0,5 em unidades de À⁻¹, onde À é uma unidade arbitrária de distância. Em → −∞, a carga fonte está praticamente à velocidade da luz e o campo elétrico está confinado no plano . O movimento é desacelerado entre −∞ ≤ ≤ 0 e a frente plana do campo elétrico avança à velocidade da luz. Em = 0 a carga reverte o movimento, acelerado entre 0 ≤ ≤ ∞, iniciando o movimento de retorno para → +∞. A frente do campo elétrico continua avançando à velocidade da luz, desvinculando-se da carga, configurando o campo de aceleração. Outra parte do campo permanece solidária à carga fonte, acompanhando o seu movimento, característica do campo de velocidade.

Nota técnica:

As configurações espaciais dos campos elétricos das figuras 7.1 a 7.3 e dos quadros da figura 7.5 foram obtidas através de simulações baseadas no Método de Monte Carlo e a técnica de rejeição de Neumann para obter as distribuições proporcionais às intensidades dos campos. As orientações espaciais são indicadas por segmentos de reta de igual comprimento Ã«, as extremidades ancoradas nos pontos (, ) e ( + Ã, + Ã ) para Ã = Ã« ∙ «ZCÄ e Ã = Ã« ∙ X«Ä, o ângulo Ä dado pela relação P_%/P₀ = _CÄ. Cada quadro contem da ordem de três mil pontos, as cores atribuídas aleatoriamente para encobrir os efeitos de saturação no entorno do ponto de divergência do campo elétrico. As simulações são configuradas em quadros de

(25)

dimensões 40À × 40À, onde À é uma unidade arbitrária de distância. As acelerações são dadas em _/², cuja unidade é À⁻¹.

= −15 = −10 = −5

= 19 Evolução temporal = 0

= 15 = 10 = 5

Figura 7.5: Evolução temporal do campo elétrico de uma carga em movimento hiperbólico no intervalo −15 ≤ ≤ 20, aceleração própria _/² = 0,5 em unidades de À⁻¹,

onde À é uma unidade arbitrária de distância.

Exercícios

1. Mostre que a equação de movimento baseada na força de Lorentz, LW

L = N + - × G , é uma equação relativisticamente covariante.

(26)

2. O campo elétrico devido a um fio infinitamente longo e eletrizado com densidade linear de carga λ é, em módulo,

P =2Q_{H ,}

onde r é a distância radial ao longo do fio. Deduza, a partir desta informação, a lei de indução do campo magnético devido a uma corrente I em um fio reto infinito (Vá a um outro referencial, que se mova paralelamente ao fio).

3. Obtenha a trajetória de uma partícula com carga elétrica q após penetrar, com velocidade v, uma região com campo magnético uniforme B, em trajetória perpendicular ao campo.

4. Determine a trajetória, relativística, de uma partícula com carga elétrica q na presença de um campo elétrico uniforme E, supondo a velocidade inicial nula.

5. Obtenha os campos elétrico e magnético de uma carga pontual em movimento retilíneo uniforme, usando a expressão dos campos retardados. Compare com os campos obtidos usando as transformações de Lorentz.

6. Obtenha os campos elétrico e magnético de uma carga pontual executando um movimento hiperbólico.

Bibliografia

1. H. A. Lorentz, A. Einstein e H. Minkowski, Textos Fundamentais da Física Moderna, I volume - O Princípio da Relatividade (3^{a.} edição), Editora da Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa (1958).

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5. P. G. Bergmann, Introduction to the Theory of Relativity, Dover Publications, NY, (1976). 6. John David Jackson, Classical Electrodynamics (third edition), John Wiley & Sons (1999). 7. F. Rohrlich, Classical Charged Particles - Foundations of Their Theory, Addison-Wesley (1964).

8. A. O. Barut, Electrodynamics and Classical Theory of Fields and Particles, Dover, NY (1980).