Roteirização múltiplos depósitos para uma empresa de insumos agrícolas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO TECNOLÓGICO DE JOINVILLE

CURSO DE ENGENHARIA DE TRANSPORTES E LOGÍSTICA

GUILHERME LAUX KOLLING

ROTEIRIZAÇÃO MÚLTIPLOS DEPÓSITOS PARA UMA EMPRESA DE INSUMOS AGRÍCOLAS

Joinville 2019

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ROTEIRIZAÇÃO MÚLTIPLOS DEPÓSITOS PARA UMA EMPRESA DE INSUMOS AGRÍCOLAS

Trabalho apresentado como requisito para obtenção do título de bacharel no Curso de Graduação em Engenharia de Transportes e Logística do Centro Tecnológico de Joinville da Universidade Federal de Santa Catarina.

Orientadora: Dra. Silvia Lopes de Sena Taglialenha

Joinville 2019

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ROTEIRIZAÇÃO MÚLTIPLOS DEPÓSITOS PARA UMA EMPRESA DE INSUMOS AGRÍCOLAS

Este Trabalho de Conclusão de Curso foi julgado adequado para obtenção do título de bacharel em Engenharia de Transportes e Logística na Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico de Joinville.

Banca Examinadora:

________________________ Dra. Silvia Lopes de Sena Taglialenha

Orientadora Presidente

________________________

Dra. Christiane Wenck Nogueira Fernandes Membro

Universidade Federal de Santa Catarina

________________________ Dra. Elisete Santos da Silva Zagheni

Membro

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RESUMO

O agronegócio é um dos pilares da economia brasileira. Esta importância reflete no ambiente competitivo e de alta tecnologia empregada nas atividades do setor. Para se destacar neste meio, as empresas se esforçam cada vez mais na eliminação de ações que não geram valor ao cliente e na melhoria de processos com o objetivo de reduzir custos operacionais. Neste contexto, a aplicação da Pesquisa Operacional é estratégica na otimização de processos. Este trabalho apresenta um estudo de caso no qual se aplica um método heurístico baseado em programação matemática para resolver um problema de roteirização com múltiplos depósitos, no qual um conjunto de clientes localizados no estado do Paraná devem ter suas demandas por insumos agrícolas atendidas. Em comparação com um cenário observado na empresa, o método heurístico proposto neste trabalho determina uma solução que reduz 63,54% da distância percorrida nas rotas de distribuição de insumos e reduz 73,59% da capacidade ociosa dos veículos utilizados nas entregas. Ambos indicadores contribuem para a redução de custos operacionais, aumento da competitividade da empresa e melhora dos níveis de serviços ao cliente.

Palavras-chave: Pesquisa Operacional. Programação Linear Inteira. Roteirização Múltiplos Depósitos. Métodos Heurísticos. Agronegócio.

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ABSTRACT

Agribusiness is one of the pillars of the Brazilian economy. This importance reflects in the competitive and high-tech environment employed in the sector's activities. To stand out in this environment, companies are increasingly striving to eliminate actions that do not generate value to the customer and improve processes, with the aim of reducing operating costs. In this context, the application of Operational Research is strategic in the optimization of processes. This paper presents a case study in which a heuristic method based on mathematical programming applied to solve a multiple depot routing problem in which a group of clients located in the state of Paraná must have met their demands for agricultural inputs. Compared to an observed scenario in the company, the heuristic method proposed in this study determines a solution that reduces 63.54% of the distance travelled on the distribution routes of inputs and reduces 73.59% of the idle capacity of the vehicles used in deliveries. Both indicators contribute to reducing operating costs, increasing the company's competitiveness and improving customer service levels.

Key words: Operational Research. Integer Linear Programming. Multiple Depot Routing. Heuristic Methods. Agribusiness.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Etapas da metodologia utilizada ... 13

Figura 2 – Grafo não direcionado de um Problema de Caixeiro Viajante ... 16

Figura 3 – Solução para o exemplo do Problema do Caixeiro Viajante ... 17

Figura 4 – Representação do PRVMD ... 21

Figura 5 – Representação dos clientes ... 29

Figura 6 – Matriz de coordenadas origem/destino ... 30

Figura 7 – Matriz de distâncias ... 31

Figura 8 – Modelo matemático em AMPL ... 34

Figura 9 – Arquivo de dados em AMPL ... 35

Figura 10 - Arquivo de execução em AMPL ... 35

Figura 11 – Solução do conjunto de validação ... 37

Figura 12 – Grupo G3 ... 39

Figura 15 – Rotas determinadas no cenário observado ... 43

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Complexidade do PCV ... 24

Tabela 2 – Depósito fornecedor de cada cliente ... 33

Tabela 3 – Parâmetros do conjunto de validação ... 36

Tabela 4 – Rotas geradas no cenário proposto... 44

Tabela 5 – Análise comparativa de resultados entre cenários ... 45

Tabela 6 - Matriz de distâncias Grupo G1 (metros) ... 54

Tabela 9 - Distância de ida e volta do depósito j ao cliente i ... 57

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LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1 - Distância percorrida por rota ... 46 Gráfico 2 - Quantidade entregue por rota ... 47

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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS PO – Pesquisa Operacional

PRV – Problema de Roteirização de Veículos

PRVMD – Problema de Roteirização de Veículos com Múltiplos Depósitos PCV – Problema do Caixeiro Viajante

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SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ... 11 1.1 OBJETIVOS ... 12 1.1.1 Objetivo Geral ... 12 1.1.2 Objetivos Específicos ... 12 1.2 ESTRUTURA DO TRABALHO ... 12 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ... 14 2.1 AGRONEGÓCIO NO BRASIL ... 14

2.2 PROBLEMA DE ROTEIRIZAÇÃO DE VEÍCULOS ... 15

2.2.1 Modelagem matemática do PCV ... 16

2.2.2 Modelagem matemática do PRV ... 19

2.2.3 Problema de Roteirização de Veículos com Múltiplos Depósitos ... 20

2.3 COMPLEXIDADE COMPUTACIONAL ... 23 2.4 MÉTODOS DE SOLUÇÃO ... 24 2.4.1 Métodos exatos ... 24 2.4.2 Métodos aproximados ... 25 3 ESTUDO DE CASO ... 27 3.1 CARACTERIZAÇÃO DO PROBLEMA ... 27

3.2 COLETA E TRATAMENTO DE DADOS ... 28

3.2.1 Definição dos clientes ... 29

3.2.2 Matriz de distâncias ... 30

3.2.3 Levantamento da demanda ... 31

3.2.4 Capacidade dos veículos e depósitos ... 31

3.2.5 Cenário observado ... 32

3.3 MÉTODOS DE SOLUÇÃO UTILIZADOS ... 33

3.3.1 Método exato ... 33

3.3.1.1 Aplicação para 𝒏 = 𝟕 clientes ... 36

3.3.1.2 Aplicação do modelo para 𝒏 = 𝟒𝟐 clientes ... 37

3.3.2 Heurística proposta para 𝒏 = 𝟒𝟐 clientes ... 38

3.3.2.1 Composição intermediária de grupos ... 38

3.3.2.2 Composição final de grupos ... 39

4 RESULTADOS E ANÁLISES ... 42

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4.2 MÉTODO HEURÍSTICO PROPOSTO APLICADO AO MDVRP ... 43

4.3 ANÁLISES COMPARATIVAS DE RESULTADOS ... 45

4.3.1 Distância percorrida por rota ... 45

4.3.2 Capacidade ociosa dos veículos ... 46

4.3.3 Tempo gasto na operação ... 47

4.3.3.1 Utilização de mão de obra na operação ... 48

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 49

5.1 TRABALHOS FUTUROS ... 50

REFERÊNCIAS ... 51

APÊNDICE A – DADOS DE DISTÂNCIAS ... 54

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1 INTRODUÇÃO

A distribuição física de produtos, insumos e suprimentos é uma das principais funções dos sistemas logísticos, envolvendo o fluxo de produtos das fábricas ou centros de distribuição por meio da rede de transporte para consumidores. É uma função custosa, especialmente para as empresas de distribuição.

No ramo de distribuição de insumos agrícolas o grande desafio é atender os clientes localizados a grandes distâncias dos centros de distribuição, muitas vezes em lugares ermos e sem infraestrutura viária. Tais fatores acabam provocando altos custos logísticos e dificuldades de operação.

A localização dos depósitos é determinante na composição dos custos dos produtos, muitas vezes de baixo valor agregado, tonando-se um diferencial competitivo no setor agrícola. Contar com uma rede de distribuição e diversas filiais, pode ser determinante no sucesso da empresa em um ramo tão competitivo.

Os desafios, no entanto, crescem à medida em que aumenta o número de concorrentes. Sobressair-se neste mercado exige processos enxutos para reduzir tempo e custos na operação.

A roteirização de entrega de produtos é um procedimento essencial na operação de um depósito de insumos. Atender todos os clientes no menor tempo ou com o menor custo, dependendo do nível de serviço desejado, é o objetivo principal envolvido.

Na literatura de Pesquisa Operacional (PO) esse problema é bastante pesquisado, chamando-o de PRV (Problema de Roteirização de Veículos), um nome genérico que se refere a uma classe de problemas de otimização combinatória nos quais os clientes devem ser atendidos por um número de veículos. Os veículos saem do depósito, atendem os clientes que possuem uma certa demanda e retorna ao depósito após a conclusão de suas rotas. Este problema foi proposto inicialmente na literatura por Dantzig e Ramser (1959).

Quando existe mais de um depósito envolvido no problema, trata-se de um PRVMD (Problema de Roteirização de Veículos com Múltiplos Depósitos), um

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problema derivado do PRV onde acrescenta-se a possibilidade de formação de rotas partindo de vários depósitos distintos. Este modelo é útil em empresas com mais de um centro de distribuição, já que é possível englobar todos os depósitos no modelo a ser otimizado.

Neste sentido, o presente trabalho busca aplicar um modelo de roteirização para uma empresa do ramo de insumos agrícolas com múltiplos depósitos. As rotas devem considerar restrições de capacidade de veículos, demanda dos clientes e capacidade dos depósitos.

1.1 OBJETIVOS

1.1.1 Objetivo Geral

Resolver um problema de roteirização com múltiplos depósitos para uma empresa de insumos agrícolas.

1.1.2 Objetivos Específicos

Para alcançar o objetivo geral proposto, se cumprirá os seguintes objetivos específicos:

 Analisar a empresa em estudo;

 Construir uma solução inicial para um cenário típico observado;

 Identificar um modelo matemático que contemple as restrições do problema e implementá-lo em linguagem de programação;

 Apresentar um método heurístico para solução do problema;

 Comparar solução heurística com a solução do cenário típico praticado na empresa;

1.2 ESTRUTURA DO TRABALHO

A metodologia adotada neste trabalho pode ser classificada como uma pesquisa aplicada, que, segundo Gil (2008, p. 27), “[...] tem como característica fundamental o interesse na aplicação, utilização e consequência prática dos conhecimentos”.

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Na Figura 1 ilustra-se as etapas da metodologia utilizada. Figura 1 - Etapas da metodologia utilizada

Fonte: O autor (2017)

O trabalho está organizado em cinco capítulos sequencialmente estruturados para melhor compreensão do problema e sua respectiva solução.

Assim, no capítulo 2 são apresentados conceitos inerentes ao PRV e PRVMD, principais bases teóricas do modelo utilizado, assim como as respectivas modelagens matemáticas. A complexidade computacional dos modelos mencionados é abordada em seguida. Os métodos de solução disponíveis são apresentados, finalizando a fundamentação teórica do trabalho.

No capítulo 3, apresenta-se a caracterização do problema, seguido da coleta de dados. Também são abordados dados de demanda de clientes, distâncias e capacidades. Os métodos de solução utilizados são discutidos no mesmo capitulo, assim como a validação do modelo de solução exata.

O capítulo 4 é reservado à apresentação dos resultados obtidos na aplicação do cenário típico e do método heurístico proposto, bem como as análises pertinentes.

As conclusões obtidas da aplicação do modelo são apresentadas no capítulo 5.

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2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Este capítulo é destinado a apresentar conceitos que serão tomados como base no desenvolvimento do trabalho.

2.1 AGRONEGÓCIO NO BRASIL

O agronegócio, segundo Batalha (2002), é, dentro do ponto de vista econômico, o conjunto de negócios relacionados à agricultura. Para Callado (2006), refere-se ao conjunto de propriedades rurais, empresas de processamento, produção de insumos agrícolas e distribuição.

No Brasil, o setor agrícola contribui para o desenvolvimento econômico na oferta de produtos para atender a demanda interna, no emprego de mão de obra nas atividades relacionadas e na geração de divisas provenientes de exportações (MARTHA JUNIOR; FERREIRA FILHO, 2012).

A maior parte da geração de renda do agronegócio, segundo Stefanelo (2002), está no suprimento de insumos, beneficiamento/processamento de matérias-primas e distribuição de produtos. É nesta última atividade que este trabalho está fundamentado.

Um dos grandes desafios do setor é a logística necessária para o transporte e armazenagem dos produtos. O setor ferroviário, embora tenha recebido investimentos nos últimos anos, não consegue atender a demanda do agronegócio como alternativa viável ao já consolidado modo rodoviário (LOURENÇO; LIMA, 2009).

Ainda segundo Lourenço e Lima (2009), as condições, como o amplo espaço territorial, novas tecnologias e questões de conjuntura internacional, seguem favoráveis para expansão do mercado agrícola brasileiro, tanto em âmbito interno como externo.

Assim, a alta competitividade deste importante setor econômico força às empresas do ramo buscarem aprimorar seus processos e otimizarem recursos. Nas

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próximas seções são apresentadas técnicas matemáticas baseadas em Pesquisa Operacional.

2.2 PROBLEMA DE ROTEIRIZAÇÃO DE VEÍCULOS

O Problema de Roteirização de Veículos (PRV) tem sido caracterizado como uma das grandes histórias de sucesso da pesquisa operacional, fornecendo e facilitando, por mais de cinquenta anos, soluções ideais de planejamento para frotas de veículos em um grande número de aplicações na vida real. Na sua forma mais simples, um PRV pode ser descrito como o problema de determinar rotas de menor custo de um depósito para um conjunto de clientes geograficamente dispersos, como cidades, lojas, armazéns, escolas, por exemplo (BOCHTIS; SØRENSEN, 2009).

O PRV foi proposto por Dantzig e Ramser (1959) para descrever uma aplicação no mundo real referente à determinação ideal de uma frota de caminhões de entrega de gasolina entre um terminal a granel e um grande número de estações de serviço fornecidas pelo terminal.

O próximo marco ocorreu alguns anos depois, quando Clarke e Wright (1964) propuseram um algoritmo heurístico guloso que melhorou a abordagem de Dantzig-Ramser.

Desde então foi produzida uma ampla literatura, incluindo extensas revisões (DESROCHERS et. al.,1990; BRAEKERS et. al., 2016; TOTH e VIGO, 2002), e inúmeras variações aplicadas do problema nos sistemas do mundo real foram abordadas, incluindo transporte público, movimentação de bens industriais, ao longo de uma cadeia de suprimentos, coleta de resíduos sólidos urbanos, limpeza de ruas, encaminhamento de ônibus escolar, encaminhamento de vendedores e serviços de coleta e entrega.

O PRV constitui um dos problemas de otimização combinatória mais desafiadores. Um grande número de abordagens diferentes foi desenvolvido ao longo dos anos e vários pacotes de softwares estão disponíveis no mercado.

Em situações práticas, são encontradas muitas restrições que demandam variações do modelo clássico. Estas podem ser restrições de tempo, capacidades, demanda, frota heterogênea, entre outros (GOLDEN; ASSAD, 1986).

Todavia, alguns modelos simplificados não exigem tais restrições, como por exemplo, o Problema do Caixeiro Viajante (PCV), considerado um clássico nos

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estudos de otimização matemática, sendo um dos mais estudados até hoje. Nesta versão do problema o caixeiro (entregador) deve visitar todos os clientes (nós) uma única vez e, então, retornar ao ponto de origem.

2.2.1 Modelagem matemática do PCV

A forma clássica do PCV pode ser representada por um grafo 𝐺(𝑉, 𝐴), em que 𝑉 = {1, … , 𝑛} representa o conjunto de 𝑛 cidades e 𝐴 representa o conjunto de arestas entre as cidades. Supondo 𝐺 um grafo completo, ou seja, para todo par de cidades 𝑖, 𝑗 ∈ 𝑉, 𝑖 ≠ 𝑗, existe uma aresta (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴, e que a distância entre a cidade 𝑖 e a cidade 𝑗 é denotada por 𝑑_𝑖𝑗. Quando 𝑑_𝑖𝑗 = 𝑑_𝑗𝑖, diz-se que o grafo é simétrico (CHRISTOFIDES, 1975).

O objetivo é atingir um caminho hamiltoniano de custo mínimo, ou seja, um circuito que passe por todos os nós apenas uma vez com o menor custo possível (GOLDBARG; LUNA, 2005).

Na Figura 2 apresenta-se um exemplo de grafo não direcionado para o Problema do Caixeiro Viajante.

Os nós do grafo de PCV, nomeados na Figura 2 por A a E, podem representar cidades, pontos de coleta ou tarefas a serem executadas, por exemplo. Já os arcos podem conter valores que representem distâncias, tempo de percurso ou execução, ou qualquer outro tipo de custo.

Figura 2 – Grafo não direcionado de um Problema de Caixeiro Viajante

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No exemplo apresentado na Figura 2, tomando como ponto de partida o vértice A, deve-se percorrer os arcos que, na soma final, determinam os menores custos, tendo visitados todos os vértices.

Na Figura 3 representa-se a solução do exemplo, obtida após a enumeração de todas as possíveis soluções.

Figura 3 – Solução para o exemplo do Problema do Caixeiro Viajante

O resultado final, nesse caso, após sair do nó A e visitar todos os demais nós (𝐴 − 𝐶 − 𝐵 − 𝐸 − 𝐷 − 𝐴), gerou um custo total de 15 unidades, sendo este o menor custo possível.

Definindo-se a variável 𝑥_𝑖𝑗, 𝑖, 𝑗 ∈ 𝑉, da seguinte forma, 𝑥𝑖𝑗 = {

1, se o caixeiro vai diretamente da cidade i à cidade j, 0, caso contrário .

o PCV pode ser modelado matematicamente pelas equações (2.1) - (2.5) (Dantzig, Fulkerson e Johnson, 1954). Minimizar 𝑍 = ∑ ∑ 𝑑_𝑖𝑗𝑥_𝑖𝑗 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 (2.1) Sujeito à: ∑ 𝑥_𝑖𝑗 = 1 𝑛 𝑖=1 ∀ 𝑗, 𝑗 ≠ 𝑖 (2.2)

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∑ 𝑥_𝑖𝑗 = 1 𝑛 𝑗=1 ∀ 𝑖, 𝑖 ≠ 𝑗 (2.3) ∑ ∑ 𝑥_𝑖𝑗 𝑛 𝑖∈𝑆 𝑛 𝑗∈𝑆 ≤ |𝑆| − 1 ∀𝑆 ⊂ 𝑉, 2 ≤ |𝑆| ≤ 𝑛 − 2 (2.4) 𝑥_𝑖𝑗 ∈ {0,1} ∀ 𝑖, 𝑗, 𝑖 ≠ 𝑗 _(2.5)

A equação (2.1) define a função objetivo do problema, e minimiza a distância total percorrida. As restrições (2.2) e (2.3) garantem a unicidade das rotas de chegada e saída em cada cidade, respectivamente.

As restrições (2.4) impedem a formação de sub-rotas, onde |𝑆| indica a cardinalidade do subconjunto 𝑆. Por fim, as restrições (2.5) definem o tipo de variáveis consideradas no problema.

Uma variação do modelo (2.1) - (2.5) foi apresentada por Miller, Tucker e Zemlin (1960), a fim de reduzir o número de restrições de eliminação de sub-rotas, em que a restrição (2.4) pode ser substituída pelas equações (2.6) e (2.7) e o acréscimo de variáveis extras, 𝑢_𝑖, 𝑖 = 2, … , 𝑛.

𝑢_𝑖− 𝑢_𝑗+ (𝑛 − 1)𝑥_𝑖𝑗 ≤ 𝑛 − 2 ∀𝑖 e ∀𝑗 (2.6) 1 ≤ 𝑢𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ∀ 𝑖 = 2, … , 𝑛 (2.7) As restrições (2.6) garantem que a solução não contenha sub-rotas em um

conjunto de vértices 𝑆 ⊆ 𝑉\{1} e, portanto, nenhuma sub-rota que envolva menos de 𝑛 nós. As restrições (2.7) garantem que as variáveis 𝑢_𝑖 sejam definidas exclusivamente para qualquer tour possível.

Para entender como as restrições (2.7) operam, suponha que exista uma sub-rota {𝑖₁, 𝑖₂, … , 𝑖_𝑘, 𝑖₁} com 𝑘 < 𝑛. Então, escrevendo as restrições (2.7) para cada arco dessa sub-rota obtêm-se:

𝑢_𝑖1− 𝑢_𝑖2+ 𝑛 − 1 ≤ 𝑛 − 2, 𝑢_𝑖2− 𝑢_𝑖3+ 𝑛 − 1 ≤ 𝑛 − 2,

⋮

𝑢_𝑖𝑘− 𝑢_𝑖1+ 𝑛 − 1 ≤ 𝑛 − 2. E a soma dessas restrições resulta:

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𝑘(𝑛 − 1) ≤ 𝑘(𝑛 − 2),

o que é uma contradição, já que supomos 𝑘 < 𝑛 (LAPORTE, 1992b).

Ressalta-se que as restrições (2.6) e (2.7) são mais convenientes, pois são de ordem polinomial, ao passo que as restrições (2.4) são de ordem exponencial (Nemhauser e Wosley, 1988).

2.2.2 Modelagem matemática do PRV

A modelagem do PRV pode ser entendida como uma extensão ao Problema do Caixeiro Viajante, em que se mantêm a estrutura básica e adicionam-se restrições de capacidade dos veículos e tempos de viagens.

A modelagem proposta por Fisher e Jaikumar (1981) considera um conjunto de 𝑛 clientes com demanda 𝑞_𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑛, 𝑚 veículos com capacidade 𝑄_𝑗, 𝑗 = 1, … , 𝑚, e custo 𝑐_𝑖𝑗, de ir do cliente 𝑖 ao cliente 𝑗.

As variáveis são definidas por:

𝑥_𝑖𝑗𝑘 = {1, 𝑠𝑒 𝑜 𝑣𝑒í𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑘 𝑣𝑎𝑖 𝑖𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖 𝑎𝑜 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑗

0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 ; 𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛 e 𝑘 = 1, … , 𝑚.

𝑦𝑖𝑘 = {_{0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜.}1, 𝑠𝑒 𝑜 𝑣𝑒í𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑘 𝑣𝑖𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑜 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖; 𝑖 = 1, … , 𝑛 e 𝑘 = 1, … , 𝑚.

As inequações (2.8) - (2.15) representam o modelo de PRV proposto por Fisher e Jaikumar (1981). Minimizar 𝑍 = ∑ 𝑐_𝑖𝑗∑ 𝑥_𝑖𝑗𝑘 𝑘 𝑖,𝑗 (2.8) Sujeito à: ∑ 𝑦𝑖𝑘 = 1 𝑘 𝑖 = 2, … , 𝑛 (2.9) ∑ 𝑦_𝑖𝑘 = 𝑚 𝑘 𝑖 = 1,...,𝑛 (2.10)

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∑ 𝑞𝑖𝑦𝑖𝑘 𝑖 ≤ 𝑄𝑘 _{𝑘 = 1, … , 𝑚} (2.11) ∑ 𝑥_𝑖𝑗𝑘 𝑗 = ∑ 𝑥_𝑗𝑖𝑘 𝑗 = 𝑦_𝑖𝑘 _{𝑖 = 1, … , 𝑛 𝑘 = 1, … , 𝑚}_(2.12) ∑ ∑ 𝑥_𝑖𝑗𝑘 ≤ |𝑆| − 1 𝑗∈𝑆 𝑖∈𝑆 𝑆 ⊂ {2, . . , 𝑛} 𝑘 = 1, … , 𝑚 _(2.13) 𝑦_𝑖𝑘 ∈ {0,1} 𝑖 = 1, … , 𝑛 𝑘 = 1, … , 𝑚 _(2.14) 𝑥𝑖𝑗𝑘 ∈ {0,1} 𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛 𝑘 = 1, … , 𝑚 (2.15)

A função (2.8) tem como objetivo minimizar o custo total. As restrições (2.9) garantem que cada cliente seja visitado por um único veículo. As restrições (2.10) garantem a visita, ou retorno, de todos os veículos ao depósito. As restrições (2.11) procuram garantir que a capacidade 𝑄 de cada veículo 𝑘 não seja excedida, limitando a demanda 𝑞 em cada rota. As restrições de fluxos em rede, representada pelas equações (2.12), garantem que apenas uma aresta entre e uma aresta saia de cada vértice. As restrições (2.13) impedem a formação de sub-rotas. As restrições (2.14) e (2.15) informam o tipo das variáveis.

2.2.3 Problema de Roteirização de Veículos com Múltiplos Depósitos

Os problemas de roteirização de veículos apresentados até aqui consideram apenas um depósito em sua formulação. Embora estes tenham conquistado maior atenção por parte dos pesquisadores, são pouco aplicáveis em situações que envolvam vários depósitos.

Para estes casos, formula-se um Problema de Roteirização de Veículos com Múltiplos Depósitos (PRVMD), como ilustrado na Figura 4.

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Figura 4 – Representação do PRVMD

Em um PRVMD é necessário determinar, além das rotas que minimizem os custos totais, quais clientes serão atendidos por quais depósitos. Logo, o problema pode ser dividido em um problema de atribuição e posteriormente roteirização (Paneerselvam; Sai, 2011).

De acordo com Renaud, Laporte e Boctor (1996), pode ser descrito como um grafo 𝐺(𝑉, 𝐴), onde 𝑉 é o conjunto de vértices e 𝐴 o conjunto de arestas que conectam os vértices. O conjunto 𝑉 pode ser particionado em dois subconjuntos: 𝑉_𝑐 = (𝑣₁, 𝑣₂, … , 𝑣_𝑛), referente aos clientes a serem atendidos, e 𝑉_𝑑 = (𝑣_𝑛+1, 𝑣_𝑛+2, … , 𝑣_𝑚), referente aos depósitos.

A modelagem proposta por Paneerselvam e Sai (2011) considera os conjuntos 𝐼 = {1, … , 𝑚}, 𝐽 = {1, … , 𝑛} e 𝐾 = {1, … , 𝑁} como os conjuntos de depósitos, clientes e veículos, respectivamente. Como parâmetros, adota-se 𝑁 como número de veículos, 𝑉𝑖 como capacidade máxima do depósito 𝑖, 𝑑𝑗 como a demanda do cliente 𝑗, 𝑄𝑘 como a capacidade do veículo (rota) 𝑘 e 𝐶_𝑖𝑗 como a distância do nó 𝑖 ao nó 𝑗, para todo 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼 ∪ 𝐽.

Definem-se as variáveis de decisão: 𝑥𝑖𝑗𝑘 = {

1, 𝑠𝑒 𝑜 𝑣𝑒í𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑘 𝑣𝑎𝑖 𝑖𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖 𝑎𝑜 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑗 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 ; 𝑧_𝑖𝑗 = {1, 𝑠𝑒 𝑜 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑗 é 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑝ó𝑠𝑖𝑡𝑜 𝑖

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e

𝑈𝑙𝑘− 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟 𝑛𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑏 − 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑛𝑎 𝑟𝑜𝑡𝑎 𝑘.

O modelo (2.16) - (2.26) foi proposto por Paneerselvam e Sai (2011), e representam o modelo do PRVMD. Minimizar 𝑍 = ∑ ∑ ∑ 𝐶𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗𝑘 𝑘 ∈𝐾 𝑗 ∈ 𝐼∪𝐽 𝑖 ∈ 𝐼∪𝐽 (2.16) Sujeito à _{∑ ∑ 𝑥} 𝑖𝑗𝑘 𝑖 ∈𝐼∪𝐽 = 1 𝑘 ∈𝐾 𝑗 ∈ 𝐽 (2.17) ∑ 𝑑𝑗 ∑ 𝑥𝑖𝑗𝑘 𝑖 ∈𝐼∪𝐽 ≤ 𝑄𝑘 𝑗 ∈𝐽 𝑘 ∈ 𝐾 (2.18) 𝑈_𝑙𝑘− 𝑈_𝑗𝑘+ 𝑁𝑥_𝑖𝑗𝑘 ≤ 𝑁 − 1 𝑙, 𝑗 ∈ 𝐽, 𝑘 ∈ 𝐾 (2.19) ∑ 𝑥_𝑖𝑗𝑘 𝑗 ∈ 𝐼∪𝐽 − ∑ 𝑥_𝑗𝑖𝑘 𝑗 ∈ 𝐼∪𝐽 = 0 _{𝑘 ∈ 𝐾, 𝑖 ∈ 𝐼 ∪ 𝐽}_(2.20) ∑ ∑ 𝑥_𝑖𝑗𝑘 ≤ 1 𝑗∈𝐽 𝑖 ∈ 𝐽 𝑘 ∈ 𝐾 _(2.21) ∑ 𝑑_𝑖𝑧_𝑖𝑗 ≤ 𝑉_𝑖 𝑗 ∈𝐽 𝑖 ∈ 𝐼 _(2.22) −𝑧_𝑖𝑗+ ∑ (𝑥_𝑖𝑢𝑘+ 𝑥_𝑢𝑗𝑘) ≤ 1 𝑢 ∈ 𝐼∪𝐽 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽, 𝑘 ∈ 𝐾 (2.23) 𝑥_𝑖𝑗𝑘 ∈ {0,1} 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽, 𝑘 ∈ 𝐾 (2.24) 𝑧_𝑖𝑗 ∈ {0,1} 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽 (2.25) 𝑈_𝑙𝑘 ≥ 0 𝑙 ∈ 𝐽, 𝑘 ∈ 𝐾 (2.26)

A função definida em (2.16) tem como objetivo minimizar a soma dos custos das distâncias. As restrições (2.17) garantem que cada cliente seja atendido por apenas uma rota. As restrições (2.18) impedem que a capacidade dos veículos seja excedida. Já (2.19) elimina sub-rotas dentro de uma rota. As restrições (2.20) conservam o fluxo de entrada e saída dos nós, enquanto (2.21) garante que cada rota será utilizada no máximo uma vez. A capacidade dos depósitos não poderá ser ultrapassada, de acordo com (2.22). As restrições (2.23) são garantia de que os

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clientes só serão designados ao depósito caso haja uma rota saindo deste e atendendo aquele.

As restrições (2.24) e (2.25) informam o tipo das variáveis. Em (2.26), as variáveis auxiliares são restringidas como positivas. A variável 𝑙 não possui significado físico ou prático, enquadrando-se apenas como auxiliar.

Dessa forma é possível incluir mais de um depósito no problema a ser otimizado. Na prática, muitas empresas contam com várias filiais que devem atender juntas os clientes demandantes de produtos. Com o PRVMD é possível otimizar a distribuição de bens considerando um cenário mais amplo e abrangente.

Entretanto, por possuir outras características que devem ser consideradas na modelagem do problema, o PRVMD possui maior complexidade em sua solução. O próximo tópico aborda questões pertinentes às dificuldades encontradas na resolução de problemas de roteirização.

2.3 COMPLEXIDADE COMPUTACIONAL

Os problemas de roteirização de veículos, em especial o PCV, são problemas de natureza combinatória e que necessitam de grande esforço computacional, uma vez que o tempo de processamento cresce exponencialmente à medida que aumenta o número de vértices do problema.

Estes problemas são chamados de NP-difícil (ou NP-hard), uma vez que possuem complexidade de ordem exponencial (CORDEAU et al., 2007). O PCV, apresentado na seção 2.1.1, possui grau de complexidade 𝑅(𝑛) = (𝑛 − 1)!, onde 𝑅 é o número de rotas possíveis e 𝑛 o número de cidades que o caixeiro deve visitar.

No exemplo apresentado na seção 2.1, em que 𝑛 = 5, o número de rotas possíveis é dado por 𝑅(5) = 24.

Todavia, a medida que cresce o número de cidades, o número de rotas viáveis cresce exponencialmente, como ilustrado na Tabela 1.

Assim, encontrar a melhor solução para o PCV, e outros problemas de roteirização, requer estratégias que contornem a necessidade de enumeração de soluções, que em problemas com muitos vértices podem ser inviáveis.

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Tabela 1 – Complexidade do PCV 𝒏 𝑹(𝒏) = (𝒏 − 𝟏)! 4 24 8 40320 16 2,09 x 1013 32 2,63 x 1035 Fonte: O autor (2019)

Na próxima sessão serão introduzidas as metodologias de solução possíveis na resolução de problemas de roteirização.

2.4 MÉTODOS DE SOLUÇÃO

Como abordado na sessão anterior, o PCV é um problema combinatorial. Alguns softwares de otimização como o LINGO, SOLVER, CPLEX, GUROBI e outros podem resolver o modelo (2.1) - (2.5) de forma exata. Entretanto, com o incremento do número de cidades, quando resolvido por um método exato, possui limitações computacionais visto que o número de restrições é da ordem 𝑂 (2𝑛_{) (GOLDBARG;} LUNA, 2005).

Em problemas de pequeno porte, analisar exaustivamente todas as soluções possíveis pode ser uma alternativa válida para encontrar a melhor resposta. Todavia, como ilustrado na Tabela 1, para o PCV não é viável quando o número de clientes é grande, sendo necessária a aplicação de métodos mais eficientes de solução quando são considerados problemas de grande porte.

Assim, não existem algoritmos exatos que determinam a solução ótima em tempo polinomial para problemas de grande porte e é muito comum a utilização de métodos alternativos, ou aproximados, conhecidos na literatura especializada por métodos heurísticos ou meta-heurísticos, dependendo da estratégia de busca utilizada.

Neste sentido, este trabalho contempla dois métodos de solução os quais serão apresentados nas próximas sessões: os métodos exatos, baseados em programação matemática, e métodos heurísticos, ou métodos aproximados.

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Os métodos exatos determinam a solução ótima dos modelos de programação matemática que representam os problemas e necessitam de softwares específicos de otimização, que dependem da estrutura do modelo considerado.

Em geral, empregando linguagens específicas para modelagem matemática, como AMPL (A Mathematical Programming Language), é possível utilizar recursos computacionais (LINGO, GUROBI, CEPLEX, dentre outros) como ferramentas de solução de problemas gerais de otimização, em especial, para problemas de roteirização.

Segundo Laporte e Nobert (1987, apud Laporte, 1992a) os métodos exatos são classificados em três categorias para o PRV: métodos de busca direta em árvore, programação dinâmica e programação linear inteira.

Laporte (1992a) destaca ainda o Branch and Bound, que baseia-se na estrutura dinâmica de árvores de busca. Este algoritmo é inicializado através de um chute inicial sem considerar restrições no problema, e a cada interação o método subdivide em partes a fim de excluir ramos que não convergem para uma solução (COLIN, 2013).

Uma das ferramentas para a solução exata é o solver Gurobi. O Gurobi é capaz de solucionar problemas de programação linear, programação linear inteira mista, programação quadrática, entre outros (GUROBI, 2019).

2.4.2 Métodos aproximados

Os métodos heurísticos surgiram como uma alternativa aos métodos clássicos de otimização e seu uso tem sido muito disseminado, já que foram capazes de encontrar boas soluções viáveis, demandando menos esforço computacional.

Segundo Hillier e Lieberman (2013) heurísticas são procedimentos utilizados dentro da PO na busca de soluções viáveis para um problema. Estes métodos devem ser capazes de lidar com problemas de grande porte, muito embora não possuam garantia de otimalidade, sendo assim chamados de métodos aproximados.

As heurísticas podem ser classificadas como construtivas, de melhoria ou compostas (construtivas e de melhoria). A partir de informações previamente fornecidas, as heurísticas construtivas buscam construir a solução, enquanto heurísticas de melhoria têm por objetivo melhorar uma solução inicial por meio de métodos. Uma heurística composta une as anteriores, com o objetivo de melhorar uma solução construída (BODIN et al, 1983).

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Arenales et al. (2015) discorrem sobre os métodos heurísticos de busca local ou busca em vizinhança. Estes métodos buscam melhorar a solução inicial através da busca por uma solução na vizinhança que apresente melhora na função objetivo.

A heurística do vizinho mais próximo, proposta por Bellmore e Nemhauser (1968), pode ser aplicada ao PCV e se caracteriza como uma heurística construtiva que busca construir uma solução por meio de soluções ótimas locais.

Os algoritmos meta-heurísticos são procedimentos definidos para determinar boas soluções, eventualmente ótimas, consistindo na aplicação, em cada passo, de uma heurística subordinada que em geral é modelada para cada problema específico. Uma variada bibliografia sobre a teoria e aplicação de meta-heurística pode ser encontrada em (GLOVER; KOCHENBERGER, 2003).

Em (LAPORTE et al., 2000) apresentam-se vários métodos heurísticos e meta-heurísticos aplicados ao PRV. Braekers et al. (2016) classificam 277 artigos e analisam as tendências na literatura relacionadas ao PRV.

Segundo Hillier e Lieberman (2013) as meta-heurísticas tem como objetivo principal a fuga de ótimos locais.

Neste trabalho será apresentada uma heurística que considera o método exato e um procedimento de decomposição de grupos de clientes para diminuir a complexidade computacional.

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3 ESTUDO DE CASO

Este capítulo é dedicado à contextualização e detalhamento do problema considerado, além da definição do método de solução proposto. Inicialmente, serão apresentados os dados utilizados, como e onde foram coletados. Após, será explicado o modelo matemático escolhido e, por fim, a construção dos cenários a serem analisados.

3.1 CARACTERIZAÇÃO DO PROBLEMA

Durante o período de realização de estágio na área de logística em uma empresa de insumos agrícolas com sede no estado do Paraná, observou-se a ineficiência da metodologia adotada para entrega de insumos agrícolas. Tal situação gera incertezas quanto à transparência do processo e, possivelmente, custos extras. Esta foi a motivação para a realização de um estudo para aplicação de metodologias que pudessem tornar esses processos mais eficientes.

Os clientes da empresa em estudo, também localizados no estado do Paraná, são atendidos por consultores que prestam assistência técnica e vendem produtos necessários para o cultivo de cereais, como soja, milho e trigo. Após a realização da venda, os produtos são entregues pelas filiais que os clientes e consultores estão vinculados.

Apesar dos produtos terem sazonalidade muito bem definida, normalmente, não há urgência ou impedimentos para a entrega destes insumos e, em geral, é realizada de acordo com a disponibilidade e o desejo dos clientes em receber os produtos.

É de responsabilidade de cada filial – aqui denominados por depósitos – gerir o estoque próprio e as entregas correspondentes aos seus clientes. Como não há nenhum tipo de programação de entregas, os produtos são enviados sempre que os clientes os requisitam. Tal situação pode gerar custos de frete desnecessários, devido

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à necessidade de retornar várias vezes à mesma vizinhança, ou trafegar com veículos com capacidade ociosa.

Cada depósito é responsável por contratar a entrega dos produtos. A capacidade do veículo é determinante, já que a contratação é feita com base nas quantidades a serem distribuídas aos clientes. As capacidades dos veículos se tornam, então, uma relevante restrição do problema a ser resolvido.

Os tempos de percurso e entrega não são considerados limitantes neste problema, pois cada cliente demanda um volume de produtos considerado grande. Logo, em termos práticos, o número de visitas por rota é baixo e o tempo acaba não sendo um fator decisivo.

A demanda real dos clientes da empresa, por questões de sigilo e segurança de dados, não pôde ser utilizada na aplicação do problema. Deste modo, foi atribuído um valor a cada cliente baseado em uma proporção que é condizente à valores reais. Por existir flexibilidade na data de entrega, não há restrições de número de veículos na frota. Isto ocorre pois um mesmo veículo pode realizar várias rotas em dias diferentes.

São premissas consideradas para a formulação do modelo:  Todos os clientes devem ser atendidos uma única vez;  Os veículos possuem a mesma capacidade;

 As rotas devem terminar no depósito onde as mesmas iniciaram. Então, o objetivo deste trabalho é aplicar o PRVMD para determinar quais clientes serão atendidos por cada depósito, e quais as rotas de entrega dos produtos de cada um deles, minimizando a distância total percorrida no atendimento de todos os clientes.

3.2 COLETA E TRATAMENTO DE DADOS

Os dados iniciais foram fornecidos pelos consultores da empresa que, em visita aos clientes, coletaram as coordenadas geográficas dos mesmos, os quais foram processados e compilados pelo setor de Inteligência de Mercado da empresa, e disponibilizados para a realização deste trabalho.

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Foram escolhidas três filiais da empresa para a aplicação do PRVMD. Estas possuem características semelhantes e estão localizadas próximas umas das outras, além de serem estrategicamente importantes para a mesma.

3.2.1 Definição dos clientes

Junto à escolha dos três depósitos, considerou-se um conjunto de 42 clientes que, por estarem geograficamente dispostos próximos dos depósitos, podem ser atendidos por eles.

Com o auxílio do software QGIS foi possível georreferenciar os pontos e apresentá-los em uma imagem, como exposto na Figura 5. Os pontos em vermelho, numerados de 1 a 42 representam os clientes, enquanto os triângulos em verde, os depósitos D1, D2 e D3.

Figura 5 – Representação dos clientes

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Os demais clientes da empresa não foram considerados neste trabalho, por não estarem próximos o suficiente dos depósitos. Isto os inviabilizaria, na prática, de serem atendidos por estas filiais da empresa.

3.2.2 Matriz de distâncias

Devido ao elevado número de clientes a serem atendidos no problema, foi necessário utilizar uma ferramenta capaz de fornecer as distâncias de forma rápida. Assim, utilizou-se o suplemento GeodesiX para o software Microsoft Excel® (Geodesix, 2019).

O GeodesiX permite geocodificar, exibir mapas e calcular distâncias e tempos de viagem. A ferramenta dispõe de uma conexão com o Geocoding API do Google Maps™. Assim, é possível calcular de forma computacional a matriz de distâncias (Geodesix, 2019).

Em uma planilha são dispostas em cada célula dois pares de coordenadas geográficas (latitude, longitude) no formato origem/destino, conforme a Figura 6. Obtêm-se assim, uma matriz 𝑚 × 𝑚, em que 𝑚 é o número total de pontos considerados no problema, neste caso, clientes e depósitos. Quando a origem é igual ao destino, a célula recebe o número 0, já que não há distância a ser calculada.

Figura 6 – Matriz de coordenadas origem/destino

Com a matriz de coordenadas no formato origem/destino é possível aplicar uma função fornecida pelo suplemento GeodesiX, denominada de Travel, que possui como parâmetros:

 Request: informação requerida, neste caso é utilizada a opção “distance”;

 Start: local ou coordenada de origem;  Finish: local ou coordenada de destino;

Origem\Destino Ponto 1 Ponto 2 ... Ponto 45

Ponto 1 0 -24.94,-53.23; -25.08,-53.19 ... -24.94,-53.23; -24.86,-53.28

Ponto 2 -25.08,-53.19; -24.94,-53.23 0 ... -25.08,-53.19; -24.86,-53.28

... ... ... ... ...

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 Mode: modo de transporte utilizado, neste caso a opção “driving”. Em uma nova planilha, utilizando-se a função Travel gera-se a matriz de distâncias entre os pontos, conforme exemplificado na Figura 7.

Figura 7 – Matriz de distâncias

As distâncias são calculados na matriz com base nas rotas traçadas pelo Google Maps™. Ressalta-se que, em muitos casos, a distância entre um ponto 𝑥 e um ponto 𝑦 é diferente da distância entre 𝑦 e 𝑥, já que restrições de circulação em vias obrigam aos veículos tomarem rotas diferentes na ida e na volta. Logo, a matriz de distâncias obtida não é uma matriz simétrica.

3.2.3 Levantamento da demanda

Cada cliente possui uma demanda diferente que deve ser atendida em sua totalidade. Por questões de confidencialidade de dados, não foram utilizados valores reais na confecção do problema.

Para tornar o problema o mais próximo possível da realidade, foi atribuída uma demanda proporcional à encontrada na prática, garantindo assim a segurança das informações e aplicabilidade do modelo.

As demandas dos clientes são ilustradas na Tabela 10 do Apêndice B, e referem-se às demandas ocorridas nos períodos de safra, ou seja, de duas a três vezes ao ano.

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De acordo com os gestores da empresa não há restrições consideráveis quanto à capacidade dos depósitos. Estes são abastecidos sempre que há necessidade, de acordo com política de gestão de estoques.

No modelo considerado neste trabalho, as demandas de todos os clientes não trariam dificuldades operacionais. Então, considerou-se um valor suficientemente grande como a capacidade de todos os depósitos.

Todavia, a capacidade dos veículos utilizado nas entregas exerce grande influência nas decisões de roteirização, e definiu-se um único tipo de veículo, tipicamente utilizado para execução das entregas, com capacidade padronizada. Esta capacidade respeitou a proporcionalidade utilizada na definição das demandas dos clientes e foi determinada com base no veículo existente na frota da empresa.

3.2.5 Cenário observado

Os dados históricos de entrega de insumos revelam a ausência de padrão de comportamento na formação de rotas. Por isso é inconsistente definir um cenário como o típico adotado pela empresa.

Devido à necessidade de comparação de resultados, foi escolhido um cenário observado como base para análises de indicadores.

Neste cenário observado, as rotas de distribuição de produtos iniciam em um depósito, entregam os insumos solicitados por um cliente em um único local, e retornam ao depósito de origem.

Este trabalho considera a situação descrita acima, no qual há apenas uma entrega por rota. Os clientes são atendidos pelo depósito mais próximo, conforme indicado na Tabela 2, e suas demandas são supridas com apenas uma entrega.

O cálculo das distâncias totais por rota foi realizado com o auxílio de planilhas eletrônicas. Cada cliente é designado ao depósito mais próximo e é considerada a distância de ida e volta entre os dois pontos.

Ou seja, as rotas realizadas no cenário observado são definidas no formato 𝑑𝑒𝑝ó𝑠𝑖𝑡𝑜 − 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 − 𝑑𝑒𝑝ó𝑠𝑖𝑡𝑜.

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Tabela 2 – Depósito fornecedor de cada cliente Cliente Depósito Cliente Depósito

1 D2 22 D1 2 D1 23 D1 3 D2 24 D1 4 D1 25 D1 5 D1 26 D2 6 D2 27 D1 7 D2 28 D2 8 D3 29 D2 9 D3 30 D2 10 D3 31 D2 11 D2 32 D2 12 D2 33 D3 13 D2 34 D3 14 D2 35 D3 15 D2 36 D3 16 D2 37 D3 17 D2 38 D3 18 D2 39 D3 19 D2 40 D3 20 D2 41 D3 21 D1 42 D3 Fonte: O autor (2019)

3.3 MÉTODOS DE SOLUÇÃO UTILIZADOS

Utilizou-se o método exato e um método heurístico, para que todo o problema fosse contemplado, como detalhado nas próximas seções.

3.3.1 Método exato

O modelo matemático do MDVRP utilizado neste trabalho foi baseado no trabalho de Paneerselvam e Sai (2011), já citado na seção 2.2.3, descrito nas equações (2.16) – (2.26). Optou-se pela implementação do modelo na linguagem AMPL e utilizou-se o solver GUROBI disponível online no NEOS Server (https://neos-server.org) como ferramenta de solução.

A conversão do modelo algébrico descrito nas equações de (2.16) – (2.26) para a linguagem matemática AMPL está descrita na Figura 8.

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Figura 8 – Modelo matemático em AMPL

Primeiramente, definiu-se as quantidades de depósitos, clientes, veículos e a soma de clientes e depósitos. Na sequência define-se a capacidade de atendimentos dos depósitos, a capacidade de carga dos veículos, o tamanho das matrizes de demanda e de distâncias. Então, são descritas a função objetivo a ser minimizada e as restrições funcionais do problema.

Em complemento, é necessário fornecer o arquivo de dados e o arquivo de comandos de execução. No primeiro, são explicitados todos os elementos requisitadas pelo modelo para que o mesmo possa ser resolvido, como ilustrado na Figura 9. No segundo, são descritos os comandos solicitados ao solver para que, ao final de sua execução, retorne com as informações desejadas, como ilustrado na Figura 10.

No arquivo de dados é necessário fornecer todas as características individuais de cada problema, como o número de depósitos, clientes e veículos – 𝐼, 𝐽, e 𝐾, respectivamente.

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Figura 9 – Arquivo de dados em AMPL

Os parâmetros capacidade de depósitos, capacidade de veículos, demanda e distância são indicados, em sequência, por 𝑉, 𝑄, 𝑑 e 𝐶. Ressalta-se que no arquivo de dados atribui-se o valor de 99999999 para que o trajeto de 𝑖 para 𝑖 não seja considerado na execução.

Figura 10 - Arquivo de execução em AMPL

Enfatiza-se, também, que a matriz de distâncias possui ordem 𝑚 × 𝑚, onde 𝑚 é igual a 𝑆, ou seja, igual à soma do número de clientes e depósitos. A matriz de demanda, todavia, possui ordem 1 × 𝑛, onde 𝑛 é igual ao número de clientes 𝐽, já que os depósitos não possuem demandas a serem atendidas.

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3.3.1.1 Aplicação para 𝒏 = 𝟕 clientes

Para garantir a aplicabilidade do modelo gerado em AMPL, selecionou-se aleatoriamente sete clientes e dois depósitos para formar um conjunto de validação. Os parâmetros gerais do conjunto de validação são apresentados na Tabela 3.

Com estas informações, submeteu-se os arquivos de dados, modelo e saída na plataforma NEOS Server, considerando-se o solver GUROBI, o qual retornou as respostas após poucos segundos de processamento.

Tabela 3 – Parâmetros do conjunto de validação

Parâmetros Unidades

Número de clientes 7

Número de depósitos 2

Número de veículos 3

Capacidade dos depósitos 10.000 Capacidade dos veículos 300 Demanda de cada cliente 100

As informações solicitadas no arquivo de saída, resultado da função objetivo e matriz binária da variável de decisão, permitem analisar os resultados e verificar se os mesmos têm sentido prático.

Para observar as rotas apresentadas na solução, utilizou-se o software livre de georreferenciamento QGIS. Com as coordenadas dos clientes e depósitos e a sequência do atendimento de cada veículo, é possível construir linhas direcionadas que ilustram o encadeamento das rotas, conforme a Figura 11, ondeos pontos de 1 a 7 representam os clientes, enquanto os pontos 8 e 9, os depósitos.

Para facilitar a representação foram utilizadas retas na ligação entre os clientes. No entanto, deve-se destacar que as distâncias não são euclidianas, e sim fornecidas pelo Google Maps™.

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Figura 11 – Solução do conjunto de validação

As rotas formadas nesta solução foram 𝑟₁: 8 − 4 − 5 − 8, 𝑟₂: 8 − 6 − 7 − 3 − 8 e 𝑟₃: 8 − 1 − 2 − 8. Não houve nenhuma rota partindo do depósito indicado pelo número 9, já que o mesmo está a uma distância maior dos clientes em relação ao depósito indicado pelo número 8.

A distância total percorrida por todos os veículos foi de 0,29 quilômetros. Todas as restrições de capacidade foram atendidas, e, geograficamente, nota-se coerência na formação de rotas e na atribuição dos clientes aos depósitos.

3.3.1.2 Aplicação do modelo para 𝒏 = 𝟒𝟐 clientes

Utilizando-se o mesmo arquivo de modelo aplicado na seção 3.3.2 e alterando-se apenas o arquivo de dados, aprealterando-sentado na Figura 8, submeteu-alterando-se os arquivos no NEOS Server.

Devido à limitação de tempo de processamento, após oito horas de execução, o problema retornou sem solução, o que já era esperado, pois o problema é NP-Hard, como descrito na seção 2.3. O Gurobi considerou no processamento do modelo um total de 16.326 variáveis e 15.202 restrições.

Para contornar a dificuldade computacional de encontrar o valor ótimo através de modelo exato, definiu-se uma estratégia de partição do conjunto em subproblemas.

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Assim, cada subproblema pôde ser resolvido de maneira exata, com garantia de otimalidade, embora isto não possa ser assegurado para o problema como um todo.

Logo, este trabalho desenvolve o uso misto do método exato e de heurísticas, capaz assim de viabilizar a obtenção de uma solução boa o suficiente para melhorar as atuais condições operacionais da empresa.

3.3.2 Heurística proposta para 𝒏 = 𝟒𝟐 clientes

Utilizando-se da atribuição de clientes ao depósito mais próximo, visto na seção 3.2.5, segmentou-se os clientes em três grupos. Em um primeiro momento, com o objetivo de atingir melhores soluções, definiu-se que os clientes poderiam trocar de grupo, ou seja, serem atendidos por outro depósito que não seja o mais próximo. Esta liberdade permite que um cliente seja alocado em uma rota de outro depósito, caso isto melhore a solução final.

3.3.2.1 Composição intermediária de grupos

Durante o processo de formação de grupos, testou-se alternativas que auxiliaram na composição final dos mesmos. Tais alternativas mostraram-se inapropriadas por criarem um número grande de subproblemas com poucos clientes cada, que acabaram preteridos por subproblemas com mais clientes.

Devido à organização geográfica de alguns clientes gerar dúvidas quanto ao depósito de atribuição, estes clientes foram agrupados e submetidos ao modelo exato para a formação de rotas, com todos os depósitos disponíveis para atendê-los. Desta forma foi possível determinar que os clientes 22, 27, 9 e 2 seriam atendidos pelo depósito D1, e não por D3.

Os clientes que, geograficamente, estavam dispostos próximos a um determinado depósito foram diretamente atribuídos à ele. Os duvidosos, todavia, foram alocados em um grupo com dois depósitos, já que poderiam ser atendidos por rotas partindo de qualquer um dos dois.

Com a estratégia de manter grupos com o maior número de clientes possível, pretendeu-se priorizar o uso do modelo de solução exata em detrimento de heurísticas, a fim de encontrar os melhores resultados possíveis, dentro das limitações computacionais.

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3.3.2.2 Composição final de grupos

O depósito D3, por estar geograficamente isolado, integra o grupo G3. Devido à distância do grupo de clientes fixados inicialmente à D3 para D1 e D2, considerou-se que estes considerou-seriam atendidos por D3. O cliente 9, por estar próximo de outros clientes atendidos por D1, não integra o grupo G3.

Na Figura 12 ilustra-se os clientes e o depósito pertencentes ao grupo G3. A matriz de distâncias relativa ao grupo apresenta-se na Tabela 8 no Apêndice A.

Com doze clientes e um depósito, foi possível submeter o grupo G3 ao modelo de solução exata em AMPL.

Figura 12 – Grupo G3

Já ao grupo G2 designou-se o depósito D2. Geograficamente, definiu-se um conjunto de clientes para serem fixados ao depósito D2. Estes clientes apresentam-se próximos ao depósito em questão, e, por isso, apresentam-seriam provavelmente atendidos por ele. Na Figura 13 representa-se o conjunto de clientes que compõe o grupo G2. A matriz de distâncias relativa ao grupo apresenta-se na Tabela 7 no Apêndice A.

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Assim como G3, também com doze clientes e um depósito, submeteu-se os dados do grupo G2 ao modelo de solução exata em AMPL.

Os clientes que não foram atribuídos à G2 ou G3 foram alocados no grupo G1. Devido à incerteza sobre a origem das rotas que abrangeriam os clientes, adicionou-se ao grupo os depósitos D1 e D2, conforme ilustra-adicionou-se na Figura 14. A matriz de distâncias relativa ao grupo apresenta-se na Tabela 6 no Apêndice A.

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Assim, gerou-se a solução ótima com rotas partindo tanto do depósito D1 como D2. Submeteu-se G1 ao modelo em AMPL, com dezoito clientes e dois depósitos.

O próximo capítulo é reservado à apresentação e análise dos resultados obtidos ao se considerar os cenários discorridos nas seções 3.2.5 e 3.3.2.

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4 RESULTADOS E ANÁLISES

Este capítulo é destinado à apresentação dos resultados obtidos com a implementação do modelo. Será discutido o cenário observado, baseado na realidade atual da empresa, e confrontado com o cenário resultante da abordagem heurística utilizada neste trabalho.

4.1 CENÁRIO OBSERVADO

Conforme descrito na seção 3.2.5, o cenário analisado utiliza dados baseados em uma observação prática da metodologia utilizada na empresa estudada.

A atribuição dos clientes a um depósito se deu por meio da solução da Equação (4.1), que equivale à escolha do Depósito 𝑗 de menor distância na 𝑖-ésima linha da Tabela 9 para o 𝑖-esimo cliente.

Min∑ ∑𝑑𝑖𝑗+ 𝑑𝑗𝑖 3 𝑗 42 𝑖 . (4.1)

Assim, obteve-se à distância total de 1.916,06 quilômetros percorridos em 42 rotas, todas no formato (𝑑𝑒𝑝ó𝑠𝑖𝑡𝑜 − 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 − 𝑑𝑒𝑝ó𝑠𝑖𝑡𝑜).

A capacidade ociosa dos veículos foi em média de 83,3%. A configuração geográfica das rotas é ilustrada na Figura 15.

Embora seja um cenário possível, não é razoável afirmar que a situação é recorrente. Os resultados obtidos interessam, todavia, como base de comparação ao cenário proposto na próxima sessão.

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Figura 15 – Rotas determinadas no cenário observado

4.2 MÉTODO HEURÍSTICO PROPOSTO APLICADO AO MDVRP

Com a partição dos dados em três subproblemas definidos na seção 3.3.2.2, o primeiro grupo submetido ao modelo em AMPL foi o G3. A solução resultou na formação de três rotas, totalizando 281,83 quilômetros.

Já para o subproblema G2, as rotas totalizaram uma distância de 168,83 quilômetros, também em três rotas. Em ambos os grupos, o tempo de processamento no NEOS Server foi de poucos segundos.

Os resultados para o subproblema G1 resultaram na definição de duas rotas partindo do depósito D1 e uma rota partindo do depósito D2. Essas rotas totalizaram a distância de 247,96 quilômetros para o atendimento de todos os clientes do grupo. O tempo de processamento no NEOS Server foi de menos de um minuto.

As rotas geradas no método heurístico proposto, identificadas de R1 a R9, são detalhadas na Tabela 4. A soma das distâncias das nove rotas obtidas com aplicação do método heurístico proposto totalizou 698,62 quilômetros, como é possível observar

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na Tabela 4. Observa-se ainda na Tabela 4, que a capacidade ociosa média dos veículos foi de 22,0%.

Tabela 4 – Rotas geradas no cenário proposto

Grupo Rota Identificação percorrida Distância

(km) Capacidade ociosa G3 D3 - 8 - 10 - 40 - 38 - D3 R1 111,50 19,00% G3 D3 - 34 - 41 - 39 - 42 - D3 R2 84,58 11,80% G3 D3 - 37 -35 - 33 - 36 - D3 R3 85,75 62,00% G2 D2 - 12 - 19 - 7 - 17 - D2 R4 79,89 35,40% G2 D2 - 14 - 29 - 20 - 18 - D2 R5 43,28 19,60% G2 D2 - 15 - 6 - 11 - 16 - D2 R6 45,66 33,00% G1 D1 - 1 - 26 - 22 - 27 - 9 - 2 - D1 R7 106,10 8,80% G1 D1 - 4 - 24 - 5 - 23 - 21 - 25 - D1 R8 63,00 2,20% G1 D2 - 13 - 30 - 32 - 28 - 3 - 31 - D2 R9 78,86 6,20% Total: 698,62 Média: 22,0%. Fonte: O autor (2019)

Na Figura 16 ilustram-se as rotas entre os clientes do cenário proposto. As setas apontam a sequência tomada pelo veículo que realiza a entrega dos produtos.

Figura 16 – Rotas formadas no método heurístico proposto

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Os resultados obtidos permitem estabelecer comparações quantitativas entre o cenário atual e o cenário proposto. Indicadores como distância percorrida, capacidade ociosa, número de rotas e tempo de operação podem ser utilizados como estratégicos na gestão de entrega de produtos e serão analisados na próxima sessão.

4.3 ANÁLISES COMPARATIVAS DE RESULTADOS

O método heurístico proposto neste trabalho mostrou-se eficaz na resolução do problema abordado. Destacam-se, como ilustrado na Tabela 5:

 Menor número de rotas necessárias para o atendimento de todos os clientes;  Redução de 63,54% na distância percorrida destas rotas;

 73,59% de redução da capacidade ociosa dos veículos utilizados. Tabela 5 – Análise comparativa de resultados entre cenários

Indicador Cenário observado Cenário proposto Diferença (%) Número de rotas 42 9 -78,57%

Distância total percorrida (km) 1.916,06 698,62 -63,54% Capacidade ociosa dos veículos 83,29% 22,00% -73,59%

4.3.1 Distância percorrida por rota

Um dos indicadores mais importantes na composição dos custos de frete é a distância percorrida. No método heurístico proposto, reduziu-se 1.217,44 quilômetros na soma de todas as rotas em comparação com o cenário observado, correspondendo a 63,54% de redução.

Partindo do depósito D1 – responsável por atender doze clientes – as rotas R7 e R8 percorrem 169,10 quilômetros no cenário proposto. No cenário observado, serão percorridos 423,51 quilômetros no atendimento de nove clientes deste mesmo depósito.

Tendo o depósito D2 como origem das rotas R4, R5, R6 e R9 geradas pela heurística, os dezoito clientes serão atendidos em 247,69 quilômetros percorridos. No

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cenário observado, vinte clientes serão atendidos após os veículos percorrem 764,90 quilômetros.

No cenário proposto, as rotas R1, R2 e R3 partem do depósito D3 para atender doze clientes, com a distância total de 281,83 quilômetros. No cenário observado, treze clientes serão atendidos em rotas que percorrem 727,65 quilômetros.

No Gráfico 1 ilustram-se as distâncias percorridas por rota determinada pela aplicação do método heurístico proposto, no qual é possível observar que cada rota possui, em média, 77,62 quilômetros.

Gráfico 1 - Distância percorrida por rota

4.3.2 Capacidade ociosa dos veículos

Ocupar a maior capacidade possível do veículo utilizado na entrega evita a necessidade de novas rotas para distribuir produtos remanescentes. Assim, a capacidade ociosa dos veículos é um indicador relevante que influencia os custos operacionais da empresa.

No cenário observado, a média de ocupação dos veículos é de 16,71%, como pode ser observado no Gráfico 2.

As rotas partindo do depósito D1 possuem média de ocupação de 16,20%. Aquelas com origem no depósito D2 têm média de ocupação de 17,00%. As rotas partindo do depósito D3 possuem 16,63% de ocupação de carga.

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Gráfico 2 - Quantidade entregue por rota

No Gráfico 2 ilustram-se as quantidades de produtos entregues por rota. A média é de 390,00 unidades entregues em cada rota, 366,67% maior que a média do cenário observado, de 83,57 unidades. A ocupação média é de 78,00%.

4.3.3 Tempo gasto na operação

O tempo gasto na entrega de mercadorias pode ser fundamental no nível de serviço prestado por uma empresa. Na empresa estudada, no entanto, este indicador, não é considerado pelos gestores.

Muito embora o tempo seja atualmente desconsiderado, ele compõe os custos de distribuição na mão de obra e depreciação de veículos, por exemplo. Assim, analisar o custo do tempo pode trazer benefícios financeiros à empresa.

A operação típica da distribuição de insumos que será analisada nesta seção é composta pelo tempo de manobra do veículo para carregamento, tempo de carregamento, tempo de deslocamento, tempo de manobra de descarregamento e tempo de descarregamento.

Considerando velocidade média dos veículos de 50 km/h, no cenário observado utiliza-se cerca de 38,32 horas apenas no deslocamento para o atendimento dos 42 clientes. Já no método heurístico proposto, esse tempo cai para cerca de 13,97 horas.

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O tempo total de manobras dos caminhões nos depósitos diminui no cenário proposto, uma vez que existem apenas 9 rotas, em comparação com as 42 rotas do cenário observado. Considerando um tempo médio de manobra de 0,16 horas, reduz-se 5,50 horas com o método heurístico proposto.

Logo, é possível reduzir 63,54% nos tempos de viagem e 78,57% nos tempos de manobra nos depósitos. Tais dados são relevantes em casos onde a escassez de veículos afeta a operação de entregas de insumos.

4.3.3.1 Utilização de mão de obra na operação

Outro ponto que pode ser analisado a partir dos tempos de operação é a mão de obra necessária para atendimento dos clientes. Os custos de mão de obra são importantes compositores de custos de frete.

Tendo em conta um tempo de manobra para descarga similar ao tempo de manobra de carregamento, em ambos os casos analisados têm-se o tempo total gasto de 7 horas.

Para os tempos de carregamento e descarregamento, considera-se uma média de 0,5 horas para cada cliente atendido. O tempo total de carregamento e descarregamento, então, é de 21 horas para ambos cenários.

Assim, pode-se estimar o tempo total gasto nas operações de distribuição de insumos. No cenário observado, o tempo total é de 73,32 horas. Com o método heurístico proposto, o tempo para atendimento dos mesmos clientes é de 43,47 horas. A redução de, aproximadamente, 40,71% no tempo de operação é valorosa, uma vez que reduz custos e não afeta o nível de serviço oferecido ao cliente.

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5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

A necessidade de manter-se competitivo em um universo de alta concorrência força às empresas a buscarem melhorar seus processos a fim de reduzir custos e oferecer maior nível de serviço aos clientes. O mercado de insumos agrícolas não é diferente, e as empresas precisam otimizar processos para perpetuar-se em um mercado de margens cada vez menores.

A distribuição destes insumos é custosa e influencia diretamente no preço e na competitividade da empresa perante os concorrentes. Buscar reduzir custos é o foco principal neste cenário.

Este trabalho propôs apresentar um método heurístico baseado em programação matemática com o objetivo de otimizar rotas de entregas em uma empresa de insumos agrícolas com múltiplos depósitos. Para isso, realizou-se uma revisão bibliográfica onde abordou-se os principais conceitos necessários para compreensão e desenvolvimento do trabalho.

A modelagem matemática, em linguagem de programação apropriada, foi utilizada para determinar a solução exata. Recorreu-se a um solver disponível em nuvem, com maior capacidade de processamento, para a solução dos problemas. Mesmo assim, devido à complexidade do modelo, não foi possível utilizá-la no conjunto completo de dados do problema.

Assim, desenvolveu-se uma heurística capaz de contornar as limitações computacionais, a fim de obter uma solução viável ao problema, considerando a partição do problema inicial em três subproblemas. Estes, por sua vez, foram submetidos à uma ferramenta online de solução exata.

Com a solução ótima dos três subproblemas, os dados foram novamente compilados e puderam ser comparados a um cenário observado na empresa estudada.

O método de solução proposto reduziu em 63,54% a distância total das rotas e diminuiu em 73,59% a capacidade ociosa dos veículos na operação.

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Os resultados obtidos são satisfatórios, uma vez que indicam a possibilidade de redução de custos dos atuais processos de distribuição de insumos. O modelo pode ser replicado às demais filiais da empresa, observando sempre as limitações computacionais.

Os ganhos nesta atividade logística reflete em uma cadeia de suprimentos com maior competitividade em âmbito global, já que as commodities agrícolas representam importante parcela das exportações brasileiras.

Com isso, conclui-se que os métodos adotados são eficazes para este conjunto de dados, e, embora sem garantia de otimalidade, como em todo método heurístico, oferecem ganhos na redução de distâncias, rotas, capacidade ociosa e tempo. Estes indicadores refletem diretamente nos custos da empresa e no nível de serviço oferecido aos clientes.

5.1 TRABALHOS FUTUROS

Para trabalhos futuros, sugere-se:

 Utilizar algoritmos de clusterização para composição dos grupos de clientes a serem atendidos pelos depósitos;

 Aplicação de meta-heurísticas na solução do conjunto de dados apresentado e em problemas equivalentes, e análise comparativa com a heurística proposta;  Análise do impacto ambiental dos cenários observado e proposto.