03 - espaço de estados

Modelagem no Espaço de Estados

O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis, tais que o conhecimento dessas variáveis em t = t0, junto ao conhecimento da entrada para t ≥ t0, determina completamente o comportamento do sistema para qualquer instante t ≥ t0.

Essas varáveis, chamadas de variáveis de estado, de um sistema dinâmico são aquelas que constituem o menor conjunto de variáveis capaz de determinar o estado desse sistema dinâmico. Se pelo menos n variáveis x1, x2, … , xn são necessárias para descrever todo o comportamento de um sistema dinâmico (de tal modo que, sendo dada a entrada para t ≥ t0 e especificado o estado inicial em t = t0, o estado futuro do sistema fique completamente estabelecido), então essas n variáveis formam um conjunto de variáveis de estado.

Essas variáveis de estado não necessitam ser quantidades fisicamente mensuráveis ou observáveis. As variáveis que não representam grandezas físicas e aquelas que não são nem mensuráveis nem observáveis podem ser escolhidas como variáveis de estado. Essa liberdade de escolha das variáveis de estado é uma vantagem dos métodos de espaço de estados. Na prática, entretanto, é conveniente escolher, para as variáveis de estado, grandezas que sejam facilmente mensuráveis, se isso for possível, porque as leis do controle ótimo requerem a realimentação de todas as variáveis de estado com ponderação adequada.

Essas n variáveis de estado poderão ser consideradas os n componentes de um vetor x. Esse vetor é chamado vetor de estado. Assim, um vetor de estado é aquele que determina univocamente o estado do sistema x(t) para qualquer instante t ≥ t0, uma vez que é dado o estado em t = t0 e a entrada u(t) para t ≥ t0 é especificada.

O espaço n-dimensional, cujos eixos coordenados são formados pelos eixos de x1, x2, … , xn, onde x1, x2, … , xn são as variáveis de estado, é denominado espaço de estados. Qualquer estado pode ser representado por um ponto no espaço de estados.

A análise no espaço de estados envolve três tipos de variáveis que estão presentes na modelagem de sistemas dinâmicos: variáveis de entrada, variáveis de saída e variáveis de estado. A representação de dado sistema no espaço de estados, entretanto, não é única, mas o número de variáveis de estado é o mesmo para qualquer uma das diferentes representações do mesmo sistema no espaço de estados.

Em um sistema de controle de tempo contínuo, integradores servem como dispositivos de memória, as saídas desses integradores podem ser consideradas variáveis que definem o estado interno do sistema dinâmico. Assim, as saídas dos integradores podem ser escolhidas como variáveis de estado. O número de variáveis de estado que definem completamente a dinâmica de um sistema é igual ao número de integradores existentes no sistema.

Suponha que um sistema com múltiplas entradas e múltiplas saídas envolva n integradores. Considere também que existam r entradas u1(t), u2(t), ... , ur(t) e m saídas y1(t), y2(t), … , ym(t). Defina as n saídas dos integradores como variáveis de estado: x1(t), x2(t), … , xn(t). Então o sistema pode ser descrito como:

˙ x1(t)=f1(x1, x2, …, xn, u1,u2,…, ur, t) ˙ x₂(t)=f₂(x₁, x₂, …, x_n, u₁,u₂,… ,u_r,t) ⋮ ˙ xn(t)=fn(x1, x2,…, xn, u1,u2,… ,ur,t )

As saídas y1(t), y2(t), … , ym(t) do sistema podem ser dadas por: y1(t)=g1(x1, x2,…, xn, u1,u2,…,ur,t)

y₂(t)=g₂(x₁, x₂, …, x_n, u₁,u₂,…,u_r,t) ⋮

ym(t)=gm(x1, x2,…, xn, u1,u2,…,ur,t )

Definindo, portanto, os vetores:

x(t )=

[

x₁(t) x2(t) ⋮ xn(t)

]

y (t )=

[

y1(t ) y₂(t ) ⋮ y_m(t)

]

u(t )=

[

u1(t ) u₂(t ) ⋮ u_r(t)

]

f (x , u , t)=

[

f1(x1, x2,…, xn,u1, u2,…, ur, t) f₂(x₁, x₂,…, x_n,u₁, u₂,…, u_r, t) ⋮ f_n(x₁, x₂,…, x_n,u₁, u₂,…, u_r, t)

]

g(x ,u ,t)=

[

g1(x1, x2,…, xn, u1, u2, …, ur, t) g₂(x₁, x₂,…, x_n, u₁, u₂, …, u_r, t) ⋮ g_m(x₁, x₂,…, x_n,u₁, u₂,…, u_r, t)

]

Podemos reescrever as equações anteriores como:

˙x(t )=f ( x , u ,t)

Onde a primeira das equações acima é a equação de estados, e a segunda é a equação de saída. Se as funções vetoriais f e/ou g envolverem explicitamente o tempo t, então o sistema será chamado sistema variante no tempo.

Se as equações forem linearizadas em torno de um ponto de operação, então teremos as seguintes equações de estado e de saída linearizadas:

˙x (t)=A(t ) x (t)+ B(t)u(t ) y (t )=C (t) x(t )+D(t)u(t)

A matriz A(t) é chamada de matriz de estados, B(t) de matriz de entrada, C(t) de matriz de saída e D(t) de matriz de transmissão direta.

Se as funções vetoriais f e g não envolverem o tempo t explicitamente, então o sistema será denominado de sistema invariante no tempo. Nesse caso, as equações acima podem ser simplificadas para:

˙x (t)=A x(t )+ B u( t) y (t )=C x (t)+D u(t ) Considere o sistema mecânico indicado na figura abaixo.

Admitimos que o sistema seja linear. A força externa u(t) é a entrada do sistema, e o deslocamento y(t) da massa é a saída. O deslocamento y(t) é medido a partir da posição de equilíbrio, na ausência

da força externa. Este é um sistema de entrada e saída únicas. De acordo com o diagrama, a equação do sistema é:

m ¨y +b ˙y+ky=u

Esse sistema é de segunda ordem, o que significa que contém dois integradores. Podemos então definir as variáveis de estados:

x1(t)= y (t ) x₂(t)= ˙y (t )

Assim, devemos escrever as equações de estado como funções que dependem das variáveis de estado e das entradas. Então:

˙ x₁=x₂ ˙x2= 1 m(−ky−b ˙y)+ 1 mu ou ˙x1 =x₂ ˙x2=− k mx1− b mx2+ 1 mu Devemos fazer o mesmo com a equação de saída:

y=x₁

Na forma matricial, as equações de estado são escritas na forma:

[

x˙1 ˙ x₂

]

=

[

0 1 −k m − b m

]

[

x₁ x₂

]

+

[

0 1 m

]

u

Enquanto que a equação de saída é escrita na forma:

y=[1 0]

[

x1 x₂

]

A=

[

0 1 −k m − b m

]

B=

[

0₁ m

]

C=[1 0] D=0

O diagrama de blocos que representa esse sistema é:

Correlação entre funções de transferência e equações no espaço de estados

É possível obter uma função de transferência de um sistema de entrada e de saída únicas a partir das equações no espaço de estados. Consideremos o sistema cuja função de transferência é dada por:

Y (s)

U (s)=G (s)

Esse sistema é representado no espaço de estados pelas equações:

˙x (t)=A x(t )+ B u(t ) y (t)=C x (t)+D u(t)

Repare que, como o sistema possui apenas uma entrada e uma saída, as funções u(t) e y(t) não estão em negrito, pois não representam um vetor (na verdade, são vetores de um único elemento).

A transformada de Laplace das equações de estado e de saída são:

s X (s )−x(0)=A X (s)+ BU (s)

Uma vez que a função de transferência foi previamente definida como a relação entre a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada quando as condições iniciais são nulas,. Então, temos:

s X (s)=A X (s)+BU (s) (s I− A)X (s)=B U (s)

Multiplicando ambos os lados dessa última equação por (sI – A)-1_{, obtemos:} X (s)=(s I− A)−1_{B U (s)}

Substituindo o resultado acima na equação de Y(s):

Y (s)=[C(s I − A)−1B+D]U (s) Portanto:

G(s)=Y (s)

U (s)=C (s I − A)

−1_{B+ D}

Considerando o termo (sI – A)-1_{, podemos reescrever a equação acima como:}

G(s)= Q(s) |s I − A|

Onde Q(s) é um polinômio em s. O interessante desse resultado é que |sI – A| é igual ao polinômio característico de G(s), ou seja, os auto-valores de A são os pólos de G(s).

Logicamente, se considerarmos um sistema com múltiplas entradas e múltiplas saídas, podemos chegar numa expressão semelhante, alterando somente os termos Y(s), D e U(s), que serão tratados como matrizes (e portanto, serão representados com negrito):

G(s)=Y (s)

U (s)=C (s I −A)

Para o exemplo anterior, da massa presa a uma mola e um pistão, podemos substituir cada uma das matrizes da expressão acima pelos valores encontrados:

G(s)=[1 0]

{

[

s 0 0 s

]

−

[

0 1 −k m − b m

]

}

−1

[

0 1 m

]

+0 G(s)=[1 0]

[

ks −1 m s + b m

]

−1

[

0 1 m

]

A inversa da matriz 2x2 pode ser vista como:

A=

[

a b c d

]

então A −1 = 1 ad−bc

[

d −b −c a

]

logo:

[

s −1 k m s + b m

]

−1 = 1 s2+b ms + k m

[

s+ b m 1 −k m s

]

Portanto: G(s)=[1 0] 1 s2 +b ms+ k m

[

s + b m 1 −k m s

]

[

0 1 m

]

Que resulta em:

G(s)= 1

ms2+bs+k