Unidade 02 (Aluno)Diagrama de Blocos, Mason e Espaço de Estados

Análise Dinâmica de

Sistemas Mecânicos e

Controle

Prof. Thiago da Silva Castro

thiago.castro@ifsudestemg.edu.br

Unidade 2

–

Representação de sistemas Através

1.

Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos

2.

Representação via Diagrama de Fluxo de Sinal

3.

Modelagem no Domínio do Tempo - Espaço de Estados

4.

Lista de Exercícios

 Um sistema de controle pode ter vários componentes.

 Para mostrar as funções que são executadas em cada um desses componentes

utiliza-se uma metodologia chamada Diagrama de Blocos.

 Verificando os modelos para sistemas complexos, pode-se notar que eles são

resultantes de subsistemas ou elementos, cada qual com sua função de transferência.

 Os diagramas em blocos podem ser usados para representar cada um destes

 O Diagrama de blocos de um sistema é a representação das funções

desempenhadas por cada um desses componentes, e o fluxo de sinais entre eles.

 Os diagramas descrevem o inter-relacionamento que existe entre esses componentes

 A operação funcional de um sistema pode ser melhor visualizada utilizando um

diagrama de blocos do que o próprio sistema físico.

 Fácil construção de todo o sistema pela interligação dos blocos componentes, de

acordo com o fluxo de sinais, e permite-se avaliar a contribuição de cada componente para o desempenho global.

 O diagrama em blocos contém vários itens na sua representação.

São estes:

1. Seta

 É usada para representar o sentido do fluxo de sinal.

 Normalmente o sentido de um bloco segue o sentido da esquerda para a

direita, onde as entradas estão a esquerda e as saídas a direita.

 Em alguns casos, realimentações, ou envio de informações para outro

ponto do sistema pode-se enviar o sinal em sentidos diferentes.

2. Bloco Funcional

 Um símbolo de operação matemática sobre o sinal de entrada do bloco

que produz a saída.

 Normalmente representado por uma função de transferência no domínio

de Laplace

 O sinal passa no sentido das setas.  Pode ter uma ou mais entradas.  Pode ter uma ou mais saídas.

Y(s) U(s)

3. Ponto de soma, somador ou detector de erro.

 O círculo com uma cruz é o símbolo que indica uma operação de soma.  O sinal mais ou menos determina se o sinal deve ser adicionado ou

subtraído.

 Deve se certificar que os valores somados devem estar na mesma

unidade de medida, ou dimensão.

 Pode-se representar também através de um bloco funcional de soma.

4. Ponto de junção

 É um ponto a partir do qual o sinal proveniente de um bloco vai para

outros blocos ou pontos de soma.

 A informação é replicada nas várias junções, ou seja, o sinal dividido

apresentará uma cópia do sinal original.

 A informação entra em um ponto de junção e é replicada para as outras

ramificações.

1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos 6 U(s)

R(s)

Y(s)

Ponto de Junção

U1(s)

U2(s)

1. Planta

 Modelo matemático de um elemento, ou de um sistema como um todo.  Normalmente um sistema a ser controlado.

2. Realimentação, ou Retroalimentação.

 Ação do sinal de saída sobre um sinal de referência ou um sinal de entrada  Positiva (+) ou Negativa (-)

3. Sistema de Malha Aberta

 A saída não interfere no sinal de entrada

 Não pode realizar compensações para quaisquer perturbações que sejam adicionadas ao

sinal de acionamento do controlador

 Não efetuam correções por causa das perturbações e são comandados simplesmente pela

entrada.

 Normalmente não Realimentado

3. Sistema de Malha Fechada

 Sinal de saída comparado com um sinal de referência, dando origem a um sinal de

comando.

 Apresentam realimentação de estados.

 A resposta é insensível a distúrbios externos e variações dos parâmetros.

SMA

 Sistemas Estáveis em Geral.

 Não apresenta problemas com estabilidade.  Mais simples de se construir.

 Necessário se conhecer o comportamento da

entrada.

 Facilmente afetados por distúrbios.  Necessário regulagem periódica.

SMF

 Controle preciso (mesmo com componentes

baratos)

 Robustos com distúrbios ou variações na

entrada.

 Problemas com estabilidade

 Mais complexos (mais componentes)

 Pode-se construir um diagrama de blocos a partir de um conjunto de equações. Os

passos para a construção de um DB são os seguintes:

1. Escrever as equações do sistema no domínio de Laplace 2. Desenhar um DB para cada equação

3. Unir os diagramas obtidos.

 Dado o circuito abaixo, construí o respectivo DB

 Exercícios:

Entrada

Saída

Saída

Saída Entrada

 Um diagrama de blocos mais complexo, com um número maior de laços pode ser simplificado ou

reorganizado pela combinação de dois ou mais blocos em um só.

 Isto será feito sob regras que não alterem a dinâmica do sistema original.

 A medida que o diagrama vai sendo simplificado, o número de blocos funcionais vai diminuindo e a

complexidade das funções de transferência vai aumentando devido ao aparecimento de novos pólos e zeros.

REGRAS PARA REDUÇÃO DE UM DIAGRAMA DE BLOCOS

1. Alteração da ordem das parcelas, redução de somadores ou desmembramento:

2. Blocos em Cascata

3. Blocos em Paralelo

5. Mover um bloco para antes de um somador

6. Mover um bloco para antes de um ponto de junção

7. Mover um bloco para depois do ponto de junção

8. Forma Canônica de um sistema de realimentação

Definindo

 G(S) função de transferência de canal ou ramo direto.  H(S) função de transferência de realimentação.

 G(S).H(S) função de transferência de malha aberta – FTMA.

 Definindo: 𝐵 𝑠

𝐸 𝑠

= 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠

Chegamos a:

𝐹 𝑠 =

𝐶 𝑠

_{𝑅 𝑠 =}

_{1 ∓ 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠}

𝐺 𝑠

 Propriedade

Todo diagrama de blocos de um sistema monovariável pode ser reduzido a um único bloco funcional.

 Exemplo:

 Reduzir o DB abaixo a um único bloco funcional e determinar a função de transferência do

sistema

 As regras para redução de diagrama de blocos podem ser também, em alguns casos,

aplicadas em sistemas multivariáveis para simplificar o diagrama original.

 Em um sistema multivariável lidamos com matrizes de transferência e, portanto não é

possível reduzir o DB a um único bloco funcional.

 Exemplo: Dado o DB abaixo, determine a matriz de transferência:

 O diagrama de blocos de um sistema é um tipo de modelo matemático amplamente

usado no estudo dos sistemas de controle.

 Entretanto quando lidamos com sistemas com vários laços ou seja muitas

 Uma forma alternativa para se lidar com diagramas de blocos mais complexos é usar o

denominado diagrama de fluxo de sinal – DFS.

 Este tipo de diagrama é mais simples e mais adequado a operação computacional

(fórmula de Mason), que permite determinar a função de transferência de um sistema sem usar as regras de redução de DB já vistas.

 Um Diagrama de fluxo de Sinal – DFS, é então um DB simplificado e é basicamente

constituído por:

 NÓ

 É a representação gráfica de uma variável ou sinal.

 RAMO

 É a representação gráfica de uma operação, às vezes denominada de transmitância. O ramo

liga dois nós e é orientado. A transmitância corresponde à função de transferência de um bloco funcional.

1. Caminho ou percurso

É uma trajetória constituída por ramos e percorrida no sentido indicado pelas setas.

2. Nó de Entrada

É aquele que só possui ramos de saída.

3. Nó de Saída

É aquele que só possui ramos de chegada.

4. Nó Misto

É aquele que possui ramos de entrada e ramos de saída

5. Caminho Direto

É uma trajetória que liga um nó de entrada a um nó de saída e não cruza nenhum nó mais de uma vez

6. Ganho de um caminho

É o produto da transmitâncias ao longo do mesmo.

7. Laço

É um caminho que termina no mesmo nó que começou e não cruza nenhum nó mais de uma vez

8. Laços que não se tocam

2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais 24

 Caminhos: 1-2-3; 3-4-5-6

 Nó de entrada: 1

 Nó de saída: 7 e 8

 Nó misto: 2, 3 4 5 6.

 Caminho direto: 1-2-3-4-5-6-7, 1-2-3-8 e

1-2-6-7

 Laço 1: 2-3-2

 Laço 2: 4-5-4

 Laço 3: 2-3-4-5-2

 A fórmula de ganho de Mason tem como objetivo calcular a função de transferência, F(S) ,

entre um nó de entrada e um nó de saída em um diagrama de fluxo de sinal. Sendo assim, para sistemas multivariáveis, será aplicada m x r vezes onde m o número de entradas e r

1. Considere um nó de entrada e um de saída. Identifique os caminhos diretos e calcule os

respectivos ganhos.

2. Identifique os laços do diagrama e calcule os respectivos ganhos;

3. Calcule

4. Calcule D.

5. Para cada caminho direto, calcule os respectivos cofatores

6. Calcule F(S) para o nós de entrada e saída considerados:

7. Se o sistema for multivariável determine as demais funções de transferência e escreva a

matriz de transferência G(S) .

NOTA : Os itens 2, 3 e 4 são calculados uma única vez se o sistema for multivariável.

2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais 26

 Para construir um diagrama de fluxo de sinal a partir de um diagrama de blocos observe

que :

1. Entrada e a saída de um bloco funcional transformam-se em nós;

2. Bloco funcional transforma-se em um ramo;

3. Somadores e pontos de junção transformam-se em nós mistos

 Exemplo 1

 Exemplo 3 – Sistema multivariável

 Exemplo 3 – Sistema multivariável (final)

 Duas abordagens estão disponíveis para análise e o projeto de sistemas de controle

com realimentação.

1. Abordagem clássica: Técnica no domínio da frequência

 Conversão das equações diferencias em funções de transferência  Representação algébrica

 Simplificação de subsistemas individuais

 Rápida análise de estabilidade e resposta transitória

 Limitação: aplicada a apenas sistemas lineares ou invariantes no tempo.

2. Abordagem moderna: técnica de análise no domínio do tempo.

 Representação de sistemas não lineares.

 Representação de sistemas variantes no tempo  Sistemas mutivariáveis

 Análise numérica dos resultados

 Além das análises permitidas pela abordagem clássica.

A representação no Espaço de Estados consiste em um modelo matemático de um sistema físico composto de um conjunto de variáveis de entrada, de saída e de estado relacionadas entre si por meio de equações diferenciais de primeira ordem.

Para abstrair-se do número de entradas, saídas e estados, as variáveis são expressas em vetores e as equações diferenciais e algébricas são escritas na forma matricial (esta

forma é possível somente quando o sistema dinâmico é linear e invariante no tempo). Adotando as seguintes abordagens:

 Será escolhido um subconjunto particular de todas as possíveis variáveis do sistema e

chamamos esse conjunto de variáveis de estado

 Para um sistema de ordem n, escreve-se n equações diferenciais simultâneas de

primeira ordem em função das variáveis de estado.

 Para resolver as equações diferenciais de forma simultânea é necessário conhecer a

 Considere o circuito ao lado:

 Entrada: F(t)  Saída: y(t)

 Desenvolvendo

 Isolando a derivada de mais alta ordem.

 Considerando agora as seguintes variáveis auxiliares:

36 3) Espaço de Estados

𝐹 𝑡 = 𝑀𝑑𝑦_𝑑𝑡22 + 𝐷𝑑𝑦_{𝑑𝑡 + 𝐾𝑦} 𝐹 𝑡 = 𝑀 𝑦 + 𝐷 𝑦 + 𝐾𝑦

𝑥₁ = 𝑦 𝑥₁ = 𝑦 𝑥₂ = 𝑑𝑦_{𝑑𝑡 𝑥2 =} 𝑑2𝑦

𝑑𝑡2 𝑥1 = 𝑥2

𝑦 = −_{𝑀 𝑦 −}𝐾 _{𝑀 𝑦 +}𝐷 _{𝑀 𝐹 𝑡}1

 Substituindo

 A equação fica:

 Escrevendo na forma de matriz:

𝑥₂ =𝑑𝑦_𝑑𝑡 𝑥₂ = 𝑑_𝑑𝑡2𝑦₂

𝑦 = −_{𝑀 𝑦 −}𝐾 _{𝑀 𝑦 +}𝐷 _{𝑀 𝐹 𝑡}1

𝑥₁ = 𝑦

𝑥

2 = −_{𝑀 𝑥}𝐾 1 − _{𝑀 𝑥}𝐷 2 + _{𝑀 𝐹 𝑡}1 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥1 = 𝑥2

𝑥₁ 𝑥₂ =

0 1

−_{𝑀 −}𝐾 _𝑀𝐷 𝑥𝑥12 +

0 1

𝑀 𝐹(𝑡) 𝑦 = 1 0

𝑥₁ 𝑥₂

Definição:

 ESTADO:

 Conjunto mínimo de informações que se deve ter a respeito do sistema em um instante 0 t para

que juntamente com o conhecimento da excitação a partir deste instante, seja possível determinar a resposta em um instante t > t₀.

 O conhecimento do estado do sistema é então mais abrangente que o simples conhecimento

da saída.

 EQUAÇÕES DINÂMICAS:

 Equações que descrevem unicamente as relações entre entrada, estado e saída são

denominadas equações dinâmicas. Essas equações representam todas as idéias desenvolvidas no conceito de estado.

 Para o caso de sistemas lineares invariantes no tempo, as equações dinâmicas serão da forma:

38 3) Espaço de Estados

𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢

𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢

𝑥 0 = 𝑥

(1a)

 Definições:

1. A equação 1a é chamada de equação de estado 2. A equação 1b é chamada de equação de saída

3. Vetor de estados

 𝑥 𝑡 =

𝑥₁ 𝑡 𝑥2 𝑡 ⋮ 𝑥_𝑛 𝑡

4. Vetor de entradas

 u 𝑡 =

𝑢1 𝑡 𝑢₂ 𝑡 ⋮ 𝑢𝑚 𝑡

5. Vetor de saídas

 𝑦 𝑡 =

𝑦₁ 𝑡 𝑦2 𝑡 ⋮

6. 𝐴_𝑛×𝑛: matriz de evolução do sistema

7. 𝐵_𝑛×𝑚: matriz de entrada

8. 𝐶_𝑟×𝑛:matriz de saída

9. 𝐷_𝑟×𝑚:matriz de transmissão direta

10. Ao conjunto de todos os estados que podem caracterizar um

sistema denominamos de ESPAÇO DE ESTADOS

11. O Espaço de Estados é um espaço vetorial.

𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢

𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢

𝑥 0 = 𝑥

(1a)

 Considere agora o circuito ao lado:

 Entrada: e(t)  Saída: i(t)

 Desenvolvendo

(I) onde (II)

 Isolando a derivada

 Aplicando as variáveis estado em I e II

40 3) Espaço de Estados

𝑒 𝑡 = 𝑅𝑖 + 𝐿_{𝑑𝑡 + 𝑒}𝑑𝑖 _𝑐 𝑖 𝑡 = 𝐶 𝑑𝑒_𝑑𝑡𝑐

𝐿 _{𝑑𝑡 = 𝑒 𝑡 − 𝑅𝑖 − 𝑒}𝑑𝑖 _𝑐 𝑥1 = 𝑖 𝑡

𝑥₂ = 𝑒_𝑐 𝑡

𝑥₁ = _𝑑𝑡𝑑𝑖

𝑥₂ = _𝑑𝑡𝑒𝑐

Variáveis de estado

𝑦 = 𝑖(𝑡)

Saída

𝑥

1 = 1_{𝐿 𝑒 𝑡 −}𝑅_{𝐿 𝑥}1 − 1_{𝐿 𝑥}2

𝑥

2 = _{𝐶 𝑥}1 1

𝑥

1

𝑥

2 =

−𝑅_{𝐿 −}1_𝐿 1

𝐶 0

𝑥₁ 𝑥₂ +

1 𝐿

0 𝑒(𝑡)

𝑦 = 0 1 𝑥_𝑥1₂

 Considere agora o mesmo circuito.

 Entrada: e(t)  Saída: i(t)

 Desenvolvendo e isolando, escolhendo outras variáveis de estado

 Tem-se também:

 Substituindo

De (i) De (ii) De (ii) e (iii) 𝑒 𝑡 = 𝑒_𝑅 + 𝐿_{𝑑𝑡 + 𝑒}𝑑𝑖 _{𝑐 𝑖 𝑡 = 𝐶} 𝑑𝑒𝑐

𝑑𝑡

𝑥₁ = 𝑒_𝑅 𝑡 𝑥₂ = 𝑒_𝑐 𝑡

𝑥₁ = 𝑑𝑒_𝑑𝑡𝑅

𝑥₂ = _𝑑𝑡𝑒𝑐

𝑖 𝑡 = 𝑒_𝑅𝑅 𝑑𝑖 𝑡_{𝑑𝑡 = 𝑅}1 𝑑𝑒_𝑑𝑡𝑅 𝑑𝑖 𝑡_{𝑑𝑡 = 𝑅 𝑥}1 1

(i) (ii) 𝐿 ₁ (iii) 𝑥 1 𝑥 2 =

−𝑅_{𝐿 −}𝑅_𝐿 1

𝑅𝐶 0

𝑥₁ 𝑥₂ +

𝑅 𝐿

0 𝑒(𝑡)

𝑦 = 1 𝑅 0

𝑥₁ 𝑥₂

Conclusões e Discussões:

 Existem várias, (infinitas), possíveis escolhas de variáveis de estado para representar

um sistema.

 Uma representação no espaço de estado consiste nas equações diferenciais de primeira

ordem simultâneas a partir das quais pode ser obtida as soluções para equações de estado.

 Equação geral apresenta no espaço de estados

42 3) Espaço de Estados

𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢

𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢

𝑥 0 = 𝑥

(1a)

 É uma maneira de representar as equações que descrevem o comportamento de um

sistema através de diagrama de blocos.

 Composto basicamente por

a) Integrador Ideal

b) Amplificador Ideal

 Princípio básico para obter o diagram de simulação:

 Isolar e integrar sucessivamente a derivada de mais alta ordem da saída



Exemplo 1: Construir o diagrama de simulação para a função:

44 3) Espaço de Estados

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2 + 𝑎.

𝑑𝑦



Exemplo 2: Construir o diagrama de simulação para a expressão no espaço de

estados:



Sistemas multivariáveis. Exemplo

46 3) Espaço de Estados

𝑦

1 + 3 𝑦1 + 2𝑦2 = 𝑢1 + 𝑢1

𝑦



Mostrar a representação no espaço de estados para:

𝑦

1 + 𝑦2 = 𝑢1 + 𝑢2

𝑦

 Considere o seguinte sistema:

 Pela transformada de Laplace tem-se que:

 Logo

 Por substituição

48 3) Espaço de Estados

𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢

𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢

𝑥 0 = 𝑥

(1a)

(1b)

𝑠𝑋 𝑠 − 𝑥 0 = 𝐴𝑋(𝑠) + 𝐵𝑈(𝑠)

𝑌(𝑠) = 𝐶𝑋(𝑠) + 𝐷𝑈(𝑠) Se o sistema é relaxado, x0 = 0;

𝑠𝐼 − 𝐴 𝑋 𝑠 = 𝐵. 𝑈(𝑠) 𝑋 𝑠 = 𝑠𝐼 − 𝐴 −1𝐵. 𝑈 𝑠

 Logo, o sistema descrito no espaço de estados

tem sua resposta no domínio da frequência conforme equação abaixo:

 A matriz de transferência é a relação entre a saída e entrada de um sistema. Dessa

forma

𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢

𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢

𝑥 0 = 𝑥

(1a)

(1b)

𝑌 𝑠 = 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1𝐵 + 𝐷 . 𝑈(𝑠)

 Exemplo: Determinar a matriz de transferência do seguinte sistema:

50 3) Espaço de Estados



Exercícios 1: Dado o circuito ao lado, encontre:

 Representação no espaço de estados.  Diagrama de Simulação.

 Com auxílio do simulink, plote o gráfico de e₀ quando a

entrada for:

a) 𝑒_𝑖 𝑡 = 10. 𝑈₀ 𝑡 𝑚𝑉



Exercícios 2: Dado o sistema mecânico ao lado,

encontre:

 Representação no espaço de estados.  Diagrama de Simulação.

 Com auxílio do simulink, plote o gráfico de q(t) quando a

entrada for:

a) 𝑓 𝑡 = 0,5. 𝑈₀ 𝑡 𝑁 b) 𝑓 𝑡 = cos 2. 𝜋. 𝑡 𝑉

 Nesse capítulo serão tratados de ferramental algébrico que irão auxiliar a resolução de

problemas matriciais e operações lineares.

 A modelagem utilizando espaço de estados simplifica os problemas uma vez que reduz

a grau das equações diferenciais.

 Por se modelar na forma matricial, existem formas diferentes de representação, algumas

explicitando os pólos, e outras explicitando o polinômio característico.

 Como a modelagem é linear, será mostrado que a transformação linear sobre uma

modelagem no espaço de estados poderá permitir analises diretas na matriz de estados, envolvendo estabilidade, envolvendo controlabilidade do sistema.

 Sejam X e Y conjuntos arbitrários, onde “x” e “y” são elementos desse conjunto. É

possível associar cada elemento de A em B dessa forma:

 T é chamado de função de transformação de _A em _B, uma regra que associa esses dois

subespaços.

 Transformação linear é uma função de transformação sobre um corpo F de tal forma

que:

54 1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos



Livro NISE:



Diagrama de Blocos



Capitulo 5:



Diagrama de Fluxo de Sinal



Capítulo 5:



Espaço de Estados