Análise de estruturas tridimensionais de edifícios altos considerando a rigidez transversal à flexão das lajes

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(1)ANÁLISE DE ESTRUTURAS TRIDIMENSIONAIS DE EDIFÍCIOS ALTOS CONSIDERANDO A RIGIDEZ TRANSVERSAL À FLEXÃO DAS LAJES. DERMIVAL PAULA BEZERRA. Dissertação apresentada à Escola de Engenharia de São Carlos, da Universidade de São Paulo, como parte dos requisitos para obtenção do Título de Mestre em Engenharia de Estruturas.. ORIENTADORA:. Prof~. Dr~. São Carlos 1995. Helena M. C. Carmo Antunes.

(2) f Class. ·~ cutt.. 'JisE" ,.. 1~. -)JJ5_bi--- .... ... i. _oel!lf__. \. : Tomb·. ....__...___.-....-_. ..,,.... _.,..,;-. r:" '. B46-9a. Bezerra, Dermival Paula Análise de estruturas tridimensionais de edifícios altos considerando a rigidez transversal à flexão das lajes I Dermival Paula Bezerra . São Carlos,1995. 138p.. Dissertação (Mestrado) -- Escola de Engenharia de São Carlos-Universidade de São Paulo, 1995 . Orientadora : ProfaDraHelena M. C . Carmo Antunes. 1. Edifícios altos. I. Título.

(3) Aos meus pais, Va~demir. e. ZiLar,. Aos meus irmãos, Miderva~,. Vanessa e. V~ á dia,. Ao meu sobrinho, Leonardo,. e Ana Rosa..

(4) AGRADECIMENTOS. À. seu. professora Helena M.. profissionalismo. permitiu. c. Carmo Antunes que com uma. orientação. segura. e. objetiva. A todos os colegas, professores e funcionários do Departamento. de. Estruturas. da. EESC/USP,. que. contribuíram. direto ou indiretamente na execução deste trabalho. À CAPES, pela bolsa de estudo concedida..

(5) SUMÁRIO. RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i ABSTRACT 1. ..................................................... i i. INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 GENERALIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. 2 TRABALHOS DESENVOLVIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. 3 OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. 4 RESUMO DOS CAPÍTULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. O1. 2. SISTEMA ESTRUTURAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 2 ELEMENTOS HORIZONTAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 2.1 VIGAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 2. 2 LAJES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 3 ELEMENTOS VERTICAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 PILARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 4 SUBESTRUTURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 SISTEMAS DE REFERÊNCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 SISTEMA DE REFERÊNCIA GLOBAL DO EDIFÍCIO . . . . . . . . . . 2.5.2 SISTEMA DE REFERÊNCIA DAS VIGAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 SISTEMA DE REFERÊNCIA DAS LAJES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 SISTEMA DE REFERÊNCIA DOS PILARES . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 SISTEMA DE REFERÊNCIA DA SUBESTRUTURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 COORDENADAS DESLOCAMENTOS DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS ...... 2.7.1 COORDENADAS DESLOCAMENTOS DAS VIGAS . . .. ... .. ... . 2.7.2 COORDENADAS DESLOCAMENTOS DAS LAJES . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3 COORDENADAS DESLOCAMENTOS DOS PILARES . . . . . . . . . . . . . 2.8 COORDENADAS DESLOCAMENTOS DA SUBESTRUTURA . . . . . . . . . . . . . . . .. OS 05 05 05 06 07 07 07 08 08 09 09 11 12 12 12 14 16 17. 3. MATRIZ DE RIGIDEZ DOS ELEMENTOS LINEARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 2 MATRIZ DE RIGIDEZ DAS VIGAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 MATRIZ DE RIGIDEZ DOS PILARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 EXCENTRICIDADES ENTRE PILARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19 19 19 24 30. 4. MATRIZ DE RIGIDEZ DOS ELEMENTOS DE PLACA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 CONSIDERAÇÕES INICIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 3 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 FORÇAS NODAIS EQUIVALENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 ESFORÇOS INTERNOS NO ELEMENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 ELEMENTO FINITO QUADRANGULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33 33 34 36 40 55 56 57. 5. MATRIZ DE RIGIDEZ DA ESTRUTURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . 1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . 2 NUMERAÇÃO DOS NÓS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 SUBESTRUTURAÇÃO EM PARALELO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 MÉTODO "CHOLESKI DECOMPOSITION" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 CONTRIBUIÇÃO DOS PILARES À RIGIDEZ DA SUBESTRUTURA ....... 5. 5 SUBESTRUTURAÇÃO EM SÉRIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 DESLOCAMENTOS LOCAIS DOS ELEMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 ESFORÇOS SOLICITANTES NOS ELEMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60 6O 61 61 62 66 69 73 74. 01 02 03 04.

(6) 5. 7. 1 VETOR DE FORÇAS NODAIS • . . . • . . . • • . . . . . . . . . . . . . . . . . • 7 4 5.7.2 FORÇAS NODAIS EQUIVALENTES DAS VIGAS ••...••....... 75. 6. IMPLEMENTAÇÃO DO PROGRAMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 6. 1 6.2 6. 3 6. 4 6. 5 6. 6 6. 7. 7. INTRODUÇÃO . . • . . . . . • • . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ENTRADA DE DADOS . . • . . . . • . . . • . . . . . • . • • . . . . . . . • • • . . . . . . . . . . APRESENTAÇÃO ...•.••..... :. • . . . . • . . . • • . . • • . . . . • . . . • . . . . . . . SUBPROGRAMAS . • • . • • . . . . . . . • . . • • . . . . • • . . • • . . . • • . . . . . . . . . . . . ARQUIVO DE DADOS • . . • . . . . . • • . . • . . . . • • . . . • . . . . • . . . . . . . . . . . . RESULTADOS . . • • . • • . • • . . . . • • . . • . . . • • . . • • • . . . • • . . • . . . . . • • . . . LIMITES DE PROCESSAMENTO • . . . • . . . • • . . • • • . . • • • • . • . . . . . • . . . •. 78 79 82 83 85 86 87. EXEMPLOS NUMÉRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 7 • 1 INTRODUÇÃO . . . • . . • . . . • . . . • • . . . • • . . . • • . . • • . . • . • . . . . • . . . • . . . 8 8 7. 2 PRIMEIRO EXEMPLO •••......••..•••...••...•...•••..•••....• 89 7. 3 SEGUNDO EXEMPLO • . . • • . . . • • . . • . . . . . • . . • . • . . . . • • . . . • . . . . . . . 108. 8. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134. BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.

(7) i. RESUMO. BEZERRA, D.P. Análise de Estruturas Tridimensionais de Edifícios Altos Considerando a Rigidez Transversal à Flexão das Lajes. São Carlos. 1995. 138p. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo.. Este trabalho apresenta o estudo do comportamento das às. estruturas ações. verticais. transversal processo. tridimensionais de edifícios altos,. à. dos. e. flexão. laterais, das. lajes.. deslocamentos. emprega-se o Método. dos. considerando-se A. para. Elementos. análise todos. é. suje i tos a. rigidez. feita. pelo. elementos,. Finitos. na. onde. discretização. das lajes e vigas em cada pavimento. O sistema estrutural não considera. a. presença. pilares-parede. dos. submetidos. núcleos à. estruturais,. flexo-torção.. As. pilares lajes. ou. também. funcionam como diafragmas infinitamente rígidos em seu plano, sendo. responsável. correspondentes e. pela. compatibilidade. pela transmissão das. dos forças. deslocamentos do vento. aos. pilares. Elaborou-se um programa de computador que automatiza o processo utilizado, e alguns exemplos são apresentados para comprovar sua validade.. Palavras-chave:. Edifícios. Altos. Método. dos. Elementos Finitos - Sistema Estrutural - Diafragmas (Lajes)..

(8) i i. .ABSTRACT. BEZERRA, D. P. Three Dimensional Analysi s o f Tall Buildings Considering the Transverse Bending Stiffness of Slabs. São Carlos. 1995. 138p. Dissertação (Mestrado) Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo.. This work presents a. study about the behavior of. three dimensional structures of tall buildings, vertical. and. lateral. considering. loads,. subjected to. the. transverse. bending stiffness of slabs. The analysis is done by stiffness method for all elements, and Finite Element Method is used in the. discretization. of. slabs. and. beams. of. structural system does not consider cores,. each. floor.. The. columns or shear-. walls that are subjected to warping effects. The slabs also act as diaphragms with an infinite stiffness in their plane, responsible displacements,. for. compatibility. and. so. transmit. the. of. the. wind. horizontal. forces. to. the. columns. A computer program is developed to get automatic the process. utilized. in. the. analysis,. and. some. examples. are. presented to check its validity.. Keywords: Tall Buildings -. Finite Element Method -. Structural System - Diaphragms (Slabs)..

(9) 1. CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO. 1.1. GENERALIDADES. Devido ao rápido. crescimento dos. grandes. centros. urbanos e aos elevados custos dos espaços disponíveis,. está. aumentando consideravelmente o número de edifícios cada vez mais altos e esbeltos. Pode-se definir edifícios altos sobre o ponto de vista estrutural, como sendo aquele que, pela sua altura,. os efeitos das forças laterais impostas pelos ventos. não podem ser desprezados. portanto. ser. considerada. A influência de tais ações deve durante. a. análise,. exigindo. dos. engenheiros estruturais técnicas de cálculo mais precisas e sofisticadas. Há. vários. aperfeiçoamento, mais. precisa. modelo. mais. o. na. modelos tentativa. comportamento. simples,. ainda. que de. em. representar. físico. utilizado. estrutura em lajes isoladas e. estão. vigas. real. constante. de. da. forma. estrutura.. atualmente, contínuas.. uma. di vide. O a. Outros mais. complexos, analisam de uma só vez todas as vigas que compõem o pavimento pela teoria das grelhas, e ainda quando se requer a. participação. das. lajes. no. conjunto,. pode-se.

(10) 2. utilizar. as. técnicas. do. Método. dos. Elementos. Finitos. ou. Método dos Elementos de Contorno.. A contribuição pilares,. pode. ser. dos. elementos. considerada. verticais,. quando. os. analisados como uma associação de painéis.. como. edifícios O modelo. os são. adotado. neste trabalho faz uma análise tridimensional da estrutura, onde a interação de esforços e deslocamentos é estudada nas três. direções.. O. subestruturas, elementos portanto. que. edifício. é. por. vez. horizontais um. pilares que. só. sua. como. andar,. dividido é. pelos. ou. seja,. em. formada. verticais, o. próprio. andares tanto. pelos. representando. pavimento. se ligam ao andar subseqüente.. ou. e. os. Por esta razão,. esse modelo envolve um número bem maior de graus de liberdade quando. comparados. ao. sistema. tridimensional. formado. por. conjunto de elementos no plano.. 1.2. TRABALHOS DESENVOLVIDOS. Diferentes edifícios. altos,. considerações, estudou. trabalhos. cada. podem. pela. um. ser. técnica. do. desenvolvidos. com. suas. de. peculiaridades. e. BARBOSA,. citados: meio. área. contínuo. na J.A.. e. (1977),. discreto,. os. edifícios formados por paredes de seção aberta submetidos às forças laterais,. contraventado por lintéis,. onde comparou os. resultados obtidos entre as duas técnicas utilizadas. PRUDENTE, tridimensionais painéis. M.. usuais. analisou. (1983),. de. edifícios. altos,. de. contraventamento. formado. rigidamente. conectados entre. si,. e. por. estruturas. constituídos vigas. pilares. e. de. pilares. individuais. que. não estão sujeitos aos esforços de flexo-torção. BECKER, E.P. (1985),. acrescentou. teoria. de. VLASSOV. os. núcleos (1962),. estruturais no. estudo. baseando-se da. na. interação. tridimensional entre os diversos elementos estruturais. RIOS,.

(11) 3. B.M.C. de. analisou a estrutura sem observar a formação. (1991),. painéis. e. excentricidades envoltórias. núcleos, entre. dos. os. entretanto. elementos,. esforços. p9ra. e. considerou calculou. diferentes. as. ainda. as. combinações. de. carregamento.. O que se observa de comum nos trabalhos citados, é que as lajes trabalham como diafragmas infinitamente rígidos em seu plano horizontal, e rigidez transversal desprezível na análise global da estrutura. ao. Entretanto,. seu comportamento de placa,. sabe-se que devido. essa rigidez. à. flexão. terá. alguma influência no comportamento estrutural. Paralelamente ao estudo de edifícios altos, lajes. funcionando. como. diafragmas,. trabalhos de CÂMARA JR. ,. U. F. pode-se. ainda. e CRUZ,. ( 197 8). Utilizando-se o Método dos Elementos Finitos, (1987). e. BALCAZAR,. tridimensionais, porém. com. E.A.S.G.. considerando a. aplicação. à. edifícios. os. (1979).. BRUNELLI,. A.C.. estruturas das. rigidez à flexão. apenas. citar. A.A.V.. analisaram. (1991),. com as. lajes,. em. plantas. de. análise. retangulares.. 1. 3. OBJETIVOS. Como. em. qualquer. outro. problema. estrutural,. este trabalho objetiva basicamente determinar os. esforços. deslocamentos. ações. e. laterais. e. em. verticais.. edifícios. altos. As. geralmente. lajes. submetidos. às. admitidas. como diaframas rígidos em seu plano,. também contribuirão com. sua. na. rigidez. transversal. à. flexão. as. técnicas. análise. global. da. estrutura. São. utilizadas. da. Análise. Matricial. para os elementos lineares e o Método dos Elementos propriamente. dito,. para os. processo dos deslocamentos.. elementos. de. placa,. Finitos. ambos. pelo.

(12) 4. 1.4. RESUMO DOS CAPÍTULOS. No. capítulo. elementos. considerados. Define-se. ainda. (subestrutura),. o. seguinte no. descrevem-se. sistema. sistema. de. estrutural. referência. todos. do. os. edifício.. local. e. global. de cada nó e suas coordenadas deslocamentos. correspondentes.. No terceiro capítulo rigidez de todos coordenadas. determinam-se as matrizes de. elementos de barra. locais. e. globais,. (vigas e pilares),. utilizando. nas. diretamente. as. técnicas da Análise Matricial. No elemento. quarto. finito. de. capítulo placa. pavimento,. responsável. transversal. das. adotado BATOZ. é. o. et. lajes. DKT. empregado pela. na. na. separadamente discretização. consideração. análise. (Discrete. a1(1980),. estuda-se. do. edifício.. Kirchhoff. trata-se. de. da. dos. do. rigidez. O elemento. Theory),. um. o. que. segundo. elementos. mais. eficientes para análise de placas delgadas. No. quinto. capítulo. montagem. matriz. de. todos. à. estrutura,. através. estrutural,. e ainda as técnicas de subestruturação. contribuição. rigidez. os. necessários. da. da. mostram-se de. utilizadas para a. determinação. deslocamentos. na. é. estrutura,. que. o. global. cada. em paralelo),. de. passos da. elemento (série e. esforços. e. objetivo. principal. do. uma. descrição. do. trabalho. No. sexto. capítulo. apresenta-se. sistema computacional implementado, dos. arquivos de entrada de dados.. dando ênfase à montagem E no sétimo capítulo são. feitos alguns exemplos numéricos para comprovar a validade do processo, e principalmente comparar os resultados obtidos com outros modelos..

(13) 5. CAPÍTULO 2. SISTEMA ESTRUTURAL. 2.1. INTRODUÇÃO. Devido à na. análise. elemento. da. do. aplicação do processo. estrutura,. sistema,. sem. estuda-se esquecer. dos. deslocamentos. individualmente. portanto. sua. cada. interação. tridimensional de esforços e deslocamentos com o restante da estrutura,. possibilitando. dessa. forma. compreender. melhor. o. comportamento global. Todos primeira. ordem,. os e. elementos. são. admitem-se. analisados que. as. em. teoria. deformações. de são. suficientemente pequenas para que se tenha uma relação linear entre tensões e deformações, permitindo então o comportamento elástico-linear dos materiais.. 2.2 2.2.1. ELEMENTOS HORIZONTAIS. VIGAS. As compostas. por. vigas. estudadas. elementos. no. lineares. presente. trabalho. contidas. no. são plano.

(14) 6. horizontal, ao nível das lajes. Suas extremidades podem estar conectadas tanto nos pilares como em outras vigas. trecho de viga são admitidas seções quaisquer, ainda variações discretas. ent~e. em relação. incluir. os. projeto. unidas. ao. trechos. Dessa aos. forma,. pilares. permitindo. os diversos elementos.. Pode-se também considerar as vigas. Para cada. excentricidades. centro de gravidade dos pilares, rígidos. ou. simula-se com. excentricidades o. grandes. comportamento seções. das para. reais das. de. vigas. transversais,. principalmente os pilares-parede.. FIGURA 2.1- Excentricidades de um trecho de viga em relação ao pilar.. 2.2.2. LAJES. Quando submetida ao forças. laterais do vento,. carregamento proveniente. admite-se que a. laje. das. comporta-se. como corpo rígido em seu plano horizontal, onde é responsável pela transmissão de tais forças aos elementos verticais, também. pela. compatibilização. dos. e. deslocamentos.

(15) 7. correspondentes. ao. seu movimento. de. diafragma. rígido,. para. todos os pontos pertencentes ao pavimento.. ~ajes. Neste trabalho, as. também contribuem com sua. rigidez transversal à flexão na análise de cada subestrutura, comportando-se como placas. As cargas verticais atuantes nas lajes são transmitidas a todos elementos conectados a mesma, sejam eles verticais ou horizontais.. Nesta etapa do estudo,. utilizam-se as técnicas do Método dos Elementos Finitos, onde as. lajes. são. discretizadas. em vários. elementos. de. placas,. triangulares ou quadrangulares.. 2.3. ELEMENTOS VERTICAIS. 2.3.1. PILARES. Os. pilares. que. interpõem-se. consecutivos devem apresentar trechos altura. admitem-se para. do. edifício,. sua. excentricidades. simular. as. seção. entre. reduções. de. dois. pavimentos. lineares verticais, entretanto,. também ter a mesma seção transversal da. a. pode. variar.. pilares suas. de. mesma. dimensões. e. ao longo Por. isso,. prumada, no. plano. transversal, comuns nos projetos de edifícios. Como na análise do sistema,. o edifício é dividido. em várias subestruturas independentes,. não é preciso que um. mesmo pilar esteja presente em todos andares, ocorrer. sua. interrupção. em. qualquer. podendo então. pavimento.. Não. são. considerados os pilares que sofrem o efeito do empenamento de suas seções transversais na torção.. 2 .4. SUBESTRUTURAS. Como definido anteriormente, cada andar do sistema estrutural. é. representado. pela. subestrutura.. Por. sua. vez,.

(16) 8. cada subestrutura engloba os elementos horizontais lajes),. contidos. verticais. no. (pilares. pavimento ou. superior,. pilares-parede),. (vigas e. e. os. elementos. que. se. ligam. ao. pavimento inferior.. Os pavimentos correspondentes a cada subestrutura podem. ser. diferentes. entre. si,. ocasionados. variação de seus elementos constituintes, e. interrupção. dos. pilares,. novas. alteração nas seções transversais,. por. alguma. tais como:. redução. disposições. das. excentricidades,. vigas, mudanças. nos carregamentos, etc.. 2.5. 2.5.1. SISTEMAS DE REFERÊNCIA. SISTEMA DE REFERÊNCIA GLOBAL DO EDIFÍCIO. A topologia. do. sistema estrutural. do. edifício. é. definida por um sistema cartesiano de eixos globais X, Y e Z, dextrorso, sendo Y e Z eixos horizontais e X o eixo vertical, positivo para cima,. com origem OG. plano. edifício.. da. base. do. É. em um ponto qualquer preferível. trabalhar. coordenadas positivas do sistema de referência,. do com. de forma que. o plano formado pelos eixos Üyz contenha o andar do edifício, em planta, no seu primeiro quadrante.. A. todos. os. lineares,. partir do sistema de eixos globais,. nós e. das os. discretizadores das. subestruturas, nós. dos. lajes,. os. elementos. nós. dos. finitos. visto em detalhe. definem-se elementos de. placa. no capítulo. 4.. Definem-se nós de viga,. ao encontro de dois ou mais trechos. de vigas;. ao encontro do pilar com a laje,. nós de pilar,. centro de gravidade da seção transversal do pilar.. no.

(17) 9. FIGURA 2.2 - Sistema de referência global.. 2.5.2. SISTEMA DE REFERÊNCIA DAS VIGAS. Para sistema. de. origem Ov. um. trecho. referência. de. local. viga xv,. qualquer,. Yv. e. no centro de gravidade da. uma de suas extremidades. O eixo Yv. zv,. seção. adota-se. dextrorso,. com. transversal,. em. é o eixo longitudinal da. peça e deve coincidir com a superfície média da laje, xv. é. um. paralelo ao eixo X do sistema global,. o eixo. sempre orientado. para cima.. 2. 5. 3. SISTEMA DE REFERÊNCIA DAS LAJES O sistema de referência das lajes é semelhante ao. sistema. de. referência. adotado. para. o. edifício,. mas. com. a.

(18) 10. origem OL pertencente ao seu plano horizontal,. também em um. ponto arbitrário.. FIGURA 2.3 - Sistema de referência local das vigas.. /'. FIGURA 2.4 - Sistema de referência das lajes..

(19) 11. 2.5.4. SISTEMA DE REFERÊNCIA DOS PILARES. Cada trecho de pilar tem seu sistema de referência local cartesiano xp, Yp e z.P, com origem OP no centro de gravidade da seção transversal na base inferior,. sendo Yp. e. Zp eixos horizontais coincidentes com os eixos principais de inércia. da. seção,. e. o. eixo. xp. seu. eixo. longitudinal,. positivo para cima.. LAJE k +l. FIGURA 2.5 - Sistema de referência local dos pilares..

(20) 12. 2. 6. SISTEMA DE REFERÊNCIA DA SUBESTRUTURA. O sistema de referência da subestrutura é o mesmo das. lajes,. ou. seja,. com. or~gem. 05. no. plano. do. pavimento. correspondente.. FIGURA 2. 6 - Sistema de referência da subestrutura.. 2.7. COORDENADAS DESLOCAMENTOS DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS. Coordenadas direção. dos. associados. deslocamentos. possíveis. aos. nós. ou. são. orientações. deslocamentos extremidades. de. na. independentes, cada. elemento. estrutural. Os deslocamentos são convencionados de acordo com o sistema de referência adotados para os elementos.. 2.7.1. COORDENADAS DESLOCAMENTOS DAS VIGAS. Os das vigas são:. deslocamentos. indeoendentes. nas. extremidades.

(21) 13. -. rotação em torno dos eixos Yv. e Zv. do sistema. local; - translação segunqo o eixo xv do mesmo sistema.. Então, seis. para cada trecho de viga estão associados. coordenadas. extremidade.. deslocamentos,. sendo. três. em. cada. Não se considerou as deformações axiais. por. não apresentar esforços normais devido a hipótese das lajes trabalharem como diafragmas rígidos. Dessa. forma,. a. transposta. do. vetor. de. deslocamentos da viga, {uv}T, em coordenadas locais, fica:. (2 .1). onde os índices 1 e 2 representam cada uma das extremidades da viga, e õ e. ~. as translações e rotações,. respectivamente.. FIGURA 2. 7 - Coordenadas deslocamentos locais de um trecho de viga..

(22) 14. 2 .7 .2. COORDENADAS DESLOCAMENTOS DAS LAJES. Comportando-se como diafragma rígido em seu plano, influenciado pelas forças. la~erais,. cada pavimento apresenta. três coordenadas deslocamentos associado as lajes: - translação segundo os eixos Y e Z do sistema de referência global ou da subestrutura; - rotação em torno do eixo X do mesmo 5istema. Então,. a. transposta. do. vetor. de. dEslocamentos. referente ao movimento de corpo rígido das lajes {JL}T, fica:. (2. 2). r y )lo. FIGURA 2.8 - Coordenadas deslocamentos de corpo rígido da 1aje.. Como. se. está. considerando. transversal à flexão da laje,. também. a. rigidez. tem-se ainda três coordenadas.

(23) 15. deslocamentos por nó,. pertencente a. cada elemento de placa. DKT (Discrete Kirchhoff Theory), que compõem a laje, que são: - translação segund9 o eixo X do sistema global; rotação. em torno. dos. eixos. Y e. Z,. também. já. associados ao mesmo sistema. A transposta. do. vetor. de. deslocamentos. de. cada. elemento finito de placa {un~}T, fica:. onde os números 1,. 2 e 3 representam os nós de vértice do. elemento finito, no caso, triangular.. X,w. := 6x. w. z. 9y. 9z 9z. w. eY 9z. CD w. ® 9y &z. FIGURA 2.9 - Coordenadas deslocamentos do elemento finito de placa DKT..

(24) 16. 2.7.3. COORDENADAS DESLOCAMENTOS DOS PILARES. Em cada extremidade do pilar, tem-se seis graus de liberdade, que são: translação. segundo. os. eixos. Xp,. Yp. e. zp. do. sistema local; -rotação em torno dos eixos xp, Yp e Zp do mesmo sistema. Então cada trecho de pilar isoladamente apresenta doze coordenadas.. 10. FIGURA 2.10 - Coordenadas. des~ocamentos. ~ocais. de um trecho de. pi~ar..

(25) 17. transposta. a. Portanto,. do. seu. vetor. de. deslocamentos {up}T, em coordenadas locais, fica:. ( 2. 4). zZJ... onde. os. índices. s. e. indicam as. i. extremidades. superior. e. inferior do pilar, respectivamente.. 2.8. COORDENADAS DESLOCAMENTOS DA SUBESTRUTURA. Como elementos,. suas. cada elemento elementos. cada. subestrutura. coordenadas. são. constituinte.. horizontais. composta. de. estabelecidas. As. (lajes. é. coordenadas e. em função. locais. são. vigas),. diferentes de. de. todos. colocadas. em. função das coordenadas independentes dos elementos verticais. Em. seguida,. compatibilizam-se. determinam o movimento. de. as. corpo. coordenadas. três. rígido. das. lajes,. para. que os. pilares. Então: -. para cada nó de pilar,. tem-se os deslocamentos. independentes que são: rotações em torno dos eixos Y e Z, e a translação. segundo. o. eixo. X. sistema. do. de. referência. da. subestrutura; para pavimento,. suas. cada. conjunto. coordenadas. movimento de corpo rígido,. de. lajes. deslocamentos. que. formam. referente. o ao. constituirá também as coordenadas. da subestrutura, que é único em cada pavimento. Observa-se elementos. DKT. que. portanto,. compõem as. que. lajes,. as. coordenadas. devem ser. dos. condensadas.

(26) 18. para. as. coordenadas. independentes. dos. pilares. através. da. subestruturação em paralelo, visto adiante.. /'. o,tt::. ~ ~, I. I. I. I. I. I. I I I. I I I I. I. FIGURA 2.11 - Coordenadas deslocamentos do nó de pilar na subestrutura..

(27) 19. CAPÍTULO 3. MATRIZ DE RIGIDEZ DOS ELEMENTOS LINEARES. 3.1. INTRODUÇÃO. Neste capítulo determina-se a matriz de rigidez de cada elemento linear (viga e pilar),. referente ao sistema de. coordenadas locais e globais (subestrutura), sem considerar a formação de painéis. Sabe-se calculando-se. os. que. a. esforços. matriz. de. necessários. rigidez. obtida. é. para. manter. o. equilíbrio do elemento, quando impõe-se sucessivos estados de deslocamentos unitários segundo suas coordenadas. -se. os. efeitos. das. deformações. por. força. Desprezam-. cortante. na. determinação das matrizes.. 3.2. MATRIZ DE RIGIDEZ DAS VIGAS. Em cada elemento de viga, à. torção,. força. cortante. e. consideram-se a rigidez. flexão. segundo. o. plano.

(28) 20. vertical, mas desprezam-se a rigidez à força axial e também à flexão seu plano transversal na elaboração da matriz.. A. matriz. de. rigiuez. sistema de coordenadas locais,. da. [Kv],. viga. associada. ao. seu. segundo a figura 2.7,. é. dada por:. 12EI2. o. f3. o. GJt. -6Elz -12EI2. f3. e. G. transversal. do. E. 4EI2. 6EI2. f. f2. o. 6EI 2. 12EI2. ~ o. o. 2EI2. o. f2. sendo. o. f. -6EI2. f3. o. -GJt. o. -12EI2. f2. o. f. f2. [Kv]. -6EI2. f. módulo. material,. de. o. -6EI2. f2. -GJt. o. f. f3. o. 2EI2. o. 6EI2. f. ~ o. GJt. o. f. 6EI2. 4EI2. o. ~. f. elasticidade. respectivamente,. longitudinal o. 12. momento. e de. inércia em relação ao seu eixo zv, f o comprimento do trecho, e Jt o momento de inércia à torção.. Em. seguida. deve-se. expressar. essa. matriz. de. rigidez em função das coordenadas deslocamentos independentes da. para. subestrutura,. transformação. de. isso,. coordenadas. é. necessário. através. de. uma. fazer matriz. urna de. incidência correspondente.. Considere. um trecho. esquematizado na figura 3.1 .. de. viga. entre. nós. de. pilar,.

(29) 21. X. FIGURA 3 1 - Trecho de viqa entre nós de pilar o. o. onde: eyvl. e. ezvl. são. as. excentricidades. do. nó. 1. em. nó. 2,. y. da. relação ao pilar em que se conecta; eyv2. e. ezv 2. são. as. excentricidades. do. relação ao pilar correspondente; ângulo. o. subestrutura e. formado. entre. o próprio eixo da viga,. o. eixo. positivo no sentido. anti-horário; O vetor. de. deslocamentos. {uv}. do. sistema. pode ser obtido a partir do vetor de deslocamentos subestrutura, através da seguinte expressão:. local, { Uv}. da.

(30) 22. (3 .1). onde. [Pv]. é. a matriz de inci?ência,. que pode ser escrita da. seguinte forma:. ( 3. 2). [Pv ]1. sendo pela. e. [Pv ]2. transformação. submatrizes de. coordenadas. de. ordem. das. 3x3,. responsável. extremidades. 1. e. 2,. respectivamente, e [O] a submatriz nula de mesma ordem. Sendo os nós de extremidade,. r ~o r ~o Agora,. Eõzvl. cos(av). l. -eyvl. sin(av). 1. (3. 3). -sin(av) cos(av). Eõzv 2. -eyv21. cos(av) sin(av) -sin(av) cos(av). ( 3. 4). se outro trecho de viga qualquer estiver compreendido. entre nós de viga, as. ;,.. nós de pilar, então:. [Pv ]1. [Pv ]2. =. r~. submatrizes correspondentes ficam:. o cos(av). sin~av) 1. -sin(av) cos(av). (3. 5).

(31) 23. 6. 3. xt. Y. L - -_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ) - · - - . . . .. FIGURA 3.2 - Trecho de viga entre nós de viga.. Os. números. circunscritos. coordenadas da subestrutura. há. mais. a. contribuição. dos. na. figura. acima. indicam. Observa-se nesse caso, trechos. rígidos. as. que não. horizontais,. devido a ausência dos pilares, conseqüentemente, são omitidas as excentricidades. Dessa forma, pode-se facilmente determinar a matriz de incidência [~v]r para diferentes casos de conectividade. Com a matriz de incidência determinada, de rigidez subestrutura. das. [Kv]G,. a. matriz. da vigas, em função das coordenadas é obtida através da seguinte expressão:. ( 3. 6). sendo [~v ]T a transposta da matriz [~v]..

(32) 24. 3.3. MATRIZ DE RIGIDEZ DOS PILARES. Como. admitindo. está. se. tridimensional dos pilares, flexão. e. à. previsto a. força. axial. um. comportamento. considera-se a rigidez à torção,. na. elaboração. da. matriz.. aplicação de carregamentos externos ao. Não. é. longo do. seu eixo longitudinal, pois admite-se que as resultantes das forças. do. vento. estão. aplicadas. apenas. no. plano. de. cada. pavimento. matriz de rigidez do pilar, em coordenadas segundo a figura 2.10, pode ser particionada em:. locais. (3. 7). onde. [KP 1], [Kpz]. [Kp 2 ]T,. e. [KP 3]. são. a transposta da matriz. EA --. [KP 2],. de. ordem. sendo:. o. o. o. o. o. o. 12 Elz h3. o. o. o. -6 Elz h2. o. o. 12 Ely h3. o. 6 Ely h2. o. o. o. o. GJt h. o. o. o. o. 6 Ely h2. o. o. -6 Elz. o. o. h. [Kpl]. submatrizes. h2. 4 Ely. h. o. o 4 Elz. h. 6x6,. e.

(33) ,. 25. !. -EA -h. [Kp2]. [Kp3]. o. o. o. o. o. o. -12 EI 2 h3. o. o. o. -6EI 2 h2. o. o. -12Eiy h<l. o. 6Eiy h2. o. o. o. o. o. o. o. o. -6Eiy h2. o. o. 6EI 2 h2. o. o. --. EA h. o. o. o. 12 EI 2 h3. o. -GJt. h. 2Eiy. o. h. o. 2EI 2 h. o. o. o. o. o. o. 6 EI 2 h2. o. 12 Eiy h3. o. -6 Eiy h2. o. o. o. o. o. o. o. o. -6 Eiy h2. o. 6 EI 2. o. ~. GJ t. h. o. 4 EI y. o. o. o. h. 4 EI 2 h. onde h é a altura do pilar, A a área da seção transversal, e I2 Yp. os momentos de inércia em relação aos eixos principais e. zp,. respectivamente.. associado. aos. eixos as. previamente. Como. a. principais. é. características. transversal. a. partir. previamente. adotados.. de. eixos. matriz. de. de. rigidez. necessário. geométricas referência. está. conhecer da. seção. quaisquer,. Também deve-se relacionar as coordenadas locais do pilar com suas coordenadas na subestrutura. As translações segundo os eixos horizontais, Õy e Õ2 , e a rotação em torno do eixo vertical <l>x,. que a. princípio se poderia. considerar.

(34) r. 26. para. todos. único. nó,. os. pilares,. devido. horizontal. das. a. são. compatibilizados. rigidez. lajes,. infinita. proporcionando. através. admitida portanto,. de. no os. um. plano mesmos. movimentos desses três graus ?e liberdade em cada pavimento. Assim,. as. coordenadas. em. cada. pilar. na. subestrutura. são:. rotações em torno dos eixos Y e Z e a translação segundo o eixo X, ao. (coordenadas independentes), mais as correspondentes. movimento. translações torno. do. de. corpo. segundo. os. eixo. vertical,. rígido eixos sendo. das. lajes,. horizontais todas. e. que a. associadas. são. rotação ao. as em. sistema. global (subestrutura).. PILAR"P". FIGURA 3.3 - Coordenadas deslocamentos do pilar na subestrutura..

(35) 27. sendo: e. Yp. ZP. as. coordenadas. do. nó. do. pilar. P,. em. relação ao sistema de referência da subestrutura; Õx,. ~Y. e ~z os deslocamentos independentes do nó. de pilar nas coordenadas da subestrutura; -. Õy,. ~x. Õz e. os deslocamentos de corpo rígido do. pavimento correspondente.. Portanto, do pilar,. {up}T,. A coordenadas. (Kp],. a. de. rigidez. subestrutura,. do. pilar. ser. obtida. pode. através de duas matrizes de incidência,. referentes. à. rotação. respectivamente.. deslocamentos. nas coordenadas da subestrutura, fica:. matriz. da. transposta do vetor de. Essas. e. translação matrizes. são. dos. associada a. partir. [13pr]. eixos. escritas. e. às. de. [13pt],. horizontais, da. seguinte. forma:. [13pr]. (3. 9). [13pt]. (3 .10). e. onde as submatrizes [ 13pr ]s dos. e. [ 13pr. ]i,. eixos principais da extremidade. representam as superior e. rotações. inferior. do.

(36) r. 28. I. pilar,. respectivamente,. e. as. [Apt P ]s. submatrizes. [APpt ]i '. e. representam as translações.. Para extremidade superior do pilar, tem-se:. o. o. coS:<Xp) -siri<Xp). sin<Xp) coS:<Xp). o o o. o o o. 1. [13pr]s. onde. ap. =. o o o o o. o o o. o o o. o o o. 1. o. o. o coS:<Xpl o -sin<Xpl. (3 .11). siri<Xp) coS:<Xpl. é o ângulo entre o e1xo Y do sistema de referência da. subestrutura e o eixo Yp do sistema local.. o o o o o 1 o o o o o o o o 1 o o o o 1 o. 1. [ J3pt. o o. ]s. O mesmo não. se. Portanto,. tenha a. deslocamentos. o. o o. -Zp. 1. Yp. o o o. 1. (3.12). o o. acontece para extremidade. variação. matriz. de. globais. deslocamentos locais,. da. seção. incidência. inferior,. transversal. [PP]'. (subestrutura). do. que. do. pilar.. relaciona. pilar. com. caso os seus. é dado por:. (3 .13). particionada em:.

(37) 29. ( 3.14). onde. são. e. extremidades superior e. as. submatrizes. inferior do pilar,. referente. às. respectivamente.. Efetuando-se o produto matricial da expressão (3.13), pode-se facilmente encontrar a expressão da submatriz [Pp]. : 5. 1. [. ~p ]s. o o o o o. o o o o. o o o o. cos(up). sin(up). -sin(up). cos(up). o. o. o. cos(up). sin(up). dyp. -sin(up). cos(up). dzp. o o o. o o o. 1. o o. A mesma expressão encontra-se para submatriz [Pp]i, e. dzp as distâncias dos eixos. Yp. e. Zp. (3 .15). sendo dyp. do pilar à origem do. sistema de referência da subestrutura.. (3 .16). dzp. (3.17).

(38) 30. FIGURA 3. 4 - Distância dos eixos do pilar à origem do. si~: tema. de. referência da subestrutura.. Assim, a matriz de rigidez do pilar em função das coordenadas da subestrutura, [KP]G, é obtida por:. (3 .18). sendo. 3.3.1. [Ppt. a transposta da matriz. [Pp]·. EXCENTRICIDADES ENTRE PILARES. Como excentricidades pavimentos excêntrica,. em. pilares. consecutivos. a. anteriormente,. descrito. matriz. de. de. Quando rigidez. mesma. prumada. houver do. pilar. admitidas. são casos. entre de. dois. redução. será modificada,.

(39) , i.. 31. pois o nó da seção extrema inferior do pilar,. não é o mesmo. da extremidade superior.. LAJE k+l. r. C0JL0. ~0. I. I. I. I. I. I. I I. I. I. I. I. y. LAJE k. @. FIGURA 3.5 - Excentricidades entre pilares.. onde eYep e ezep são as excentricidades do centro de gravidade da seção inferior em relação ao sistema de eixos superior.. Com isso,. a matriz de. rigidez. do. do pilar. pilar de. seção.

(40) 32. reduzida,. nas. coordenadas. da subestrutura,. [ Kpe ]G'. é. obtido. por:. (3.19). onde [Ppe] é a matriz de incidência correspondente, escrita da seguinte forma:. (3.20). sendo a submatriz [Ppe]i, dada por:. 1. [ ppe. Jr. o o = o o o. - ezpe. eYpe. 1. o. o o o o. 1. o o o. o o o o o o o o o 1 o o o 1 o o o 1. (3.21).

(41) 33. CAPÍTULO 4. MATRIZ DE RIGIDEZ DOS ELEMENTOS DE PLACA. 4.1. INTRODUÇÃO. Quando. se. estuda. placas. considerando-as. como. um. meio contínuo, chega-se a um sistema de equações diferenciais cuja solução analítica é bastante restrita,. conhecida apenas. para alguns casos particulares. Entretanto, através de alguns métodos. com possibilidade de. Método. das. Finitos,. Diferenças. permite-se. implementação. Finitas. obter. ou. soluções. o. numérica. Método. dos. aproximadas. como. o. Elementos. para. vários. problemas reais. Dentre. esses. destaca-se. o. Método. dos. Elementos. Finitos (MEF), que consiste num método geral de discretização dos meios contínuos em vários elementos de dimensões finitas, onde sua solução recai na resolução de um sistema de equações lineares então. ao. invés. discretizada. de em. equações várias. diferenciais. subregiões. ou. A estrutura elementos. estão interconectados através de seus pontos nodais,. é. que. onde se. estabelecem relações definidas matematicamente entre esforços e deslocamentos..

(42) 34. Na análise de flexão de placas utilizando o MEF, BATOZ et al (1980), finitos. concluiu que dentre os vários. triangulares,. disponíveis. no. estudo. com de. pls;1cas. (Discrete Kirchhoff Theory) eficiente. sob. computacional. determina-se flexão,. ponto. o. Portanto,. também a. nove. de. delgadas,. o. liberdade, elemento. DKT. se apresentou como sendo o mais de. com. vista a. enfim. teórico,. formulação. contribuição. possibilitando. graus. elementos. a. da. numérico. desse. rigidez. implementação. elemento,. das de. e. lajes. à. um modelo. mais representativo do comportamento real da estrutura.. 4.2. CONSIDERAÇÕES INICIAIS. Observa-se na figura 2.9 que o elemento finito DKT classe dos elementos triangulares com três graus. pertence à de. liberdade. inicialmente. de. por. nó. na. teoria. vértice. de. Sua. formulação. Reissner-Mindlin,. baseia-se são. onde. consideradas as deformações por força cortante. Sabe-se da teoria clássica de placas delgadas. ou. teoria de Kirchhoff,. que essas deformações são desprezadas,. tendo. fundamental. como. plano. hipótese. médio. superfície. indeformado. média. após. a. da. que:. placa,. deformação",. "uma. reta. normal. ao. mantém-se. normal. à. sendo. portanto,. uma. generalização da hipótese de Bernoulli. Então,. pela teoria clássica,. as rotações. l3y. e. 13z. de uma reta normal à superfície média segundo os planos Y-X e Z-X,. respectivamente,. são. diretamente. relacionados. derivadas parciais dos deslocamentos transversais. w.y. com e. as w.z,. segundo os eixos de referência Y e Z das lajes.. -W•y. \}z. ( 4.1). ( 4. 2).

(43) 35. partir. A. Kirchhoff, força. cortante. (teoria. da. hipótese. de. de. Reissner-Mindlin),. tem. como. "uma reta normal ao plano médio permanece reta. deformação,. a. generalização. a teoria de placas que inclue as deformações por. hipótese que: após. da. mas. não. necessariamente. superfície média deformada". Nesse caso,. normal. as rotações. ~Y. e. à ~z. são funções independentes de w,y e w,z, respectivamente.. Kirchhoff. Posteriormente. na. sua. é. ao. longo. introduzida. discretamente nos seus pontos condição, são. formulação, dos. nodais.. a. lados Quando. hipótese do. de. elemento,. impõe-se essa. conseqüentemente as deformações por força cortante. desprezadas,. proporcionando. pois. assim,. afinal a. trata-se. convergência. de dos. placas. delgadas,. resultados. para. teoria clássica.. y. w. ~y=-w,Y. FIGURA 4.1 -. Des~ocamento. segundo a teoria de Kircbhoff..

(44) 36. ------- ---::=:::----3>• y. FIGURA 4.2 - Des1ocamento segundo a teoria de Reissner-M1nd1in.. 4.3. ENERGIA DE DEFORMAÇÃO Considerando-se. admitindo-se. pequenos. deslocamentos. horizontais. a. hipótese. deslocamentos, u. e. v,. de. Reissner-Mindlin as. componentes. de. um ponto. w. w(Y,Z). genérico. placa de coordenadas X, Y e Z, são:. u. X J3y ( Y , Z ) ;. v. X. Pz ( Y , Z) e. ( 4. 3). onde w é o deslocamento transversal na direção do eixo X.. e de da.

(45) 37. O vetor de deformação por flexão. {e}f é dado por:. àu. 8Y. av. au. az. X. {k}. ( 4. 4). av. -+az 8Y. onde. {k}. é o vetor curvatura.. X,w. X,w. --c. NOVA NORMAL. Z,v. Y,u. FIGURA 4. 3 - Convenções positivas das rotações f3y e f3z .. O vetor de deformação transversal devido à cortante,. {y}. {y},. força. é dado por:. ( 4. 5).

(46) 38. Observa-se. que. as. deformações. por. linearmente ao longo da espessura da laje, deformações constantes. transversais com. a. devido. mesma.. A. componente. desprezada por ser pequena em relação às. A relação homogêneo. e. tensão-deformação. isotrópico,. de. variam. enquanto que as. força. à. flexão. cortante. de. tensão. são crx. tensões cry e cr 2 na placa. comportamento. é. •. de material. elástico-linear. e. com espessura h constante, num ponto genérico é dado por:. v 1. v 1. o. o. x [o]{l<}. ( 4. 6). e. .E"'+ [1 o]{ }. {cr} c. 2(1. Os. termos. respectivamente. o. E. 0. V). e. módulo. v. y. 1. nas de. [E]{y}. equações. ( 4. 6). elasticidade. material e o coeficiente de Poisson, e. \jf. ( 4. 7). e. ( 4 . 7). longitudinal. são do. um fator de correção. para força cortante, geralmente adotado 5/6. Os índices f. e c. referem-se respectivamente à flexão e ao cisalhamento. Com as deformações e tensões definidas, de deformação total. onde:. a energia. pode ser escrita da seguinte forma:.

(47) 39. Uf. = ~f {E}~ { cr }f dV = ~f [X v. Uf. {J<}Jt [X [DJ{k}JdXdYdZ. v. = ~f {J<}t X2 [DJ{k}dXdYdZ. v. Uf. = ~f {J<}t [D]f {J<}dA. ( 4. 8). A. sendo:. h. f1 X2 [D]dX. v 1. =. o. 2. 1. ~v 1. ( 4. 9). e. Uc. = ~f{y}t{cr}. Uc =. 2. v. c. dV =. ~f{y}t[EJ{y}dXdYdZ 2. v. ~f {y }t[D]c{y }dA. ( 4 .10). A. onde: h ~. 2. f [E]dX. [D ]c =. =. -h. -. E h \jl [1 2(1 + v) o. 0] 1. 2. Efetuando-se (4.10), encontra-se:. as. operações. das. equações. (4.8). e.

(48) 40. importante. É. energia. de. primeiras. deformação derivadas,. transversais garantir. a. observar estão. escritas. sendo. em. que. rotações. ambas em em. continuidade. para. C. que. parcelas. função e. Uf. necessitando-se, 0. as. apenas. das. deslocamentos. portanto,. se. da. tenha. o. apenas elemento. conforme ou compatível.. 4.4. MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO DKT. Nas. placas. delgadas. a. parcela. da. energia. de. deformação devido à força cortante é desprezível comparada à energia. de. deformação. por. flexão.. Define-se. placa. delgada. quando a relação entre sua espessura e seu menor vão, estiver compreendido entre 1/5 e 1/100. Assim, a expressão da energia de deformação total U do elemento DKT fica:. u. ~f {J<}t[DJt{k}dYdZ. ( 4.11). A. Sua. formulação. no. estudo. de. placas. delgadas. baseia-se nas seguintes hipóteses: (1). As rotações. PY. e. Pz. variam quadraticamente no. elemento. Considere então o seguinte polinômio: ( 4. 12).

(49) 41. (4.13). Observa-se então pqra que se tenha compatibilidade das rotações, o elemento deve possuir três nós por lado.. ~\. g. f,;\1_!...,2..) / @10,1) \::./ 2 2 1-------®11,0). z. l. 1-z•O). @. y. FIGURA 4. 4 - Disposição inicial dos pontos nodais no elemento DKT.. Escrevendo-se as equações (4.12) e. (4.13) na forma. matricial, em função das coordenadas homogêneas. se. ~'. tem-se. agora:. aí a2 =. {. 1s. ~. s2 s11. 2 ~ }. a). a4 a§. ai;. (4.14).

(50) 42. PÍ. P2 =. {1 s 11. s2 s11. 11. 2. } P4~. ( 4.15). Ps PÉ;. Os transformados. parâmetros para. os. generalizados parâmetros. {u'}. nodais. e {py}. {p'} e. são. {Pz},. respectivamente, particularizando-se a função para cada nó do elemento. Então:. 1. {py} =. PYI. 1. PY2. 1. PY3. =. PY6. o. 1. 1 1. 1. -. -. 2. 1. o. 2 1. "1. 1 -. PY4 Pys. o o o o o 1 o 1 o o. 2. 2. o. o o. 1. 1. 1 1. -. -. -. 4. 4. 4 1. o o 1 -. 4. {a'}. [A]{a'}. ( 4 .16). 4. o o. Da mesma forma, encontra-se:. Pz1 Pz2 {pz}. =. Pz3 Pz4 Pzs Pz6. então:. = (A ]{p'}. ( 4.17).

(51) 43. ( 4.18). ( 4 .19). onde:. 1 -3. [Arl =. -3 2. 4 2. o. o o o o -1 o o o 4 o -1 o 4 o 2 o o o -4 o o 4 -4 -4 o 2 o -4 o. Substituindo-se (4.14) e. as. equações. (4.18). e. (4.19). em. (4.15), respectivamente, obtém-se:. ( 4. 20). ( 4. 21). Efetuando-se. os. produtos. matriciais. das. equações. anteriores, encontra-se finalmente as rotações exclusivamente em função de seus parâmetros nodais.. ( 4. 22). ( 4. 23).

(52) 44. Sendo Ni(s,~) as funções de forma, dadas por:. (2). A. hipótese. de. Kirchhoff. é. imposta. discretamente ao longo dos lados do elemento nos seus pontos nodais,. possibilitando enfim,. relacionar as rotações com as. primeiras derivadas dos deslocamentos transversais. a) Nós de vértice (Nós 1,2 e 3).. [~]. {y}. (4.24). b) Nós de meio de lado (Nós 4,5,6).. Psk +. W•sk. =. O. onde o índice k representa os nós de meio de lado,. ( 4. 25). e s uma. coordenada que percorre cada lado, no sentido anti-horário em torno de cada lado..

(53) 45. G)/' ( yj n·. LJ. ,z j). s: /ij. 5=1 ( yk,zk). s = /ij/2. s = ll'l. s=o. 5=0. FIGURA 4.5 - Coordenadas dos nós do lado ij do elemento.. (3) A variação de w é cúbica ao longo dos lados do. elemento. Em coordenadas genéricas,. a. função w num lado ij. qualquer do elemento fica:. ( 4. 2 6). Passando para coordenadas adimensionais, tem-se:. ( 4. 27). logo:. wls. 1. I. 2. I. 3. I. ,.., + --2- " 'S - - "'1 "'2' S + - - - " "'3. lij. lij. lij3. 2. (4.28).

(54) r. 46. !. Para o nó inicial i, tem-se:. s. o. então:. 1 1·. l). I. --a.l. Para o nó central k, tem-se:. s. 1. lij. 2. então: I. Uo. 1. +-. 2. I. U1. 1. +-. 4. Uz. Para o nó final j, tem-se:. 1. então:. 1. +-. 8. I. U3.

(55) 47. Utilizando-se a formulação matricial, obtém-se:. o (1 I lij) 1 (1 I lijl. o. o. oO. 1. I. (2. 1. lijl. (31lij). ou. o o o. 1 1 1. 1 2. assim:. o 1 -2 1. o o 3. -2. então:. a'o. = W·l. a'1. = lij w'si. a2 a3. -3 wi - 2 lij W•si + 3 Wj = 2 W·l. +. lij W'si -. 2 W·. J. +. -. l i j W•sj. lij w'sj. l{aó} a2 a'1. a3.

(56) 48. Sabe-se que:. 1. 1. 3. lij. lij. 4lij<. - - a'1 + - - a'2 + - - a'3. Substituindo-se. os. valores. anteriormente. determinados,. na. expressão acima, encontra-se:. -3 1 3 1 -21 wi - -4 W•si + -21·. Wj - -4 W•sj. ij. (4). ( 4. 2 9). lJ. Impõe-se uma variação linear de. ~n. direção normal), ao longo dos lados. Dessa forma,. (rotação na a função. ~n. em coordenadas homogêneas fica:. ( 4. 30). Os parãmetros nodais ficam:. (4.31). então:. OJ{~n~} ~nJ. 1. (4.32).

(57) 49. Substituindo-se (4.32) em (4.30), encontra-se:. Para encontrarmos o valor da função no nó central k, basta igualar. A. s =-21. partir. e substituir na expressão acima:. ,. das. quatro. hipóteses. anteriormente. citadas e das relações geométricas existentes para cada lado do triãngulo, pode-se obter as rotações. PY e Pz. em função dos. nove graus de liberdade do elemento. As relações geométricas necessárias são:. ( 4. 34). e. ( 4. 35). onde c. cos(Y, nij) e s. As rotações em função dos parãmetros nodais {unKT}, já definido na equação escrita como:. ( 2. 3). do segundo capítulo,. pode ser.

(58) 50. ( 4. 3 6). f3z = [li){ Umcr}. sendo. [G]. [H],. e. ( 4. 37). matrizes. de. ordem. lx9.. Pode-se. ainda. reescrevê-las da seguinte maneira:. ( 4. 38). ( 4. 39). ambas as matrizes [G] e [H] são de ordem 6x9, dadas a seguir:. o o 1. [ G]T. o o o o o o. -6a. 6. -6a. 5. 6a 6. 4b6. 4b 5. -4b6. ( -3 - 4c ) 6 6a6. ( -3 - 4c ) 5. (2 + 4c6 ) -6a 6. 4b6 ( -1 - 4c ) 6. o o o. o o o 6a 5 4b 5 ( -1 - 4c ) 5. -6(a. - a ) 6 -4(b 5 + b 6 ) 4( 1 + c 5 + c 6 ) 5. -6(a 4 + a 6 ). -4b6. 3(b6 + b4). (2 + 4c6 ). 4( c 6 - c 4 ) 6( a 4 + a 5 ). o o o. 3(b 4 - b 5 ) 4( c 5 - c 4 ). -6a. 5 -4b 5. ( 2 + 4c5 ). o o o -6a 5 -4b 5 (2 + 4c5 ).

(59) 51. o -1. (3. o o o o o o o. [HY. -6d5. 6d6. (1. + 4e6 ). + 4e 5 ). (3. -4b6. -4b. -6d6. o o o. + 4e6 ) -4b6. o o. -6d6. 4b6. + e5 + e6 ) 4(b5 + b6). 6d6. 6(ct4. ( -2 - 4e ) 6. 5. (-io o o. + 4e 5 ) -4b. -4b6. 4e6 ). 4b6. 6d5 (1. 6(ct5 - ct6). 5. -4 ( 1. + ct6). 4(e4 - e 6 ) 3(b6 - b4) -6(ct4. + ct5). 4(e 4 - e 5 ) 3(b 5 - b ) 4. 6d5 (-2- 4e5 ) 4b5. o o o -6d5 ( -2 - 4e ) 5 4b5. onde:. y ... l]. ek =. l·. .2. l]. sendo k. {k},. (~4 =. 2 - ~2. 2 Z·l ]· -. (y . .2 l]. ~2. z ... .l]. 2) I. 2 Y·l ]· ). I. l· 2 l]. 2. l·l]. .2). + Z·l ]. 4,5,6 para os lados ij. 23,31,12, respectivamente.. Pode-se então agora escrever o vetor em função dos graus de liberdade do elemento.. curvatura.

(60) 52. ( 4. 40). onde. é. [B]. matriz. de. ordem. 3x9. que. relaciona. o. vetor. curvatura com o vetor deslocamento do elemento. Sabe-se que. {I<} =. [. ~y·y J3z•z. {1<}. da equação (4.4), é:. ]. ( 4. 41). J3y•z + J3z•y Derivando-se as expressões. ( 4. 36). e. (4.37). obtém-. se:. J3y•y. =. 1 -[1 2A. [ b2 ( G )2. ~. +. b3 ( G )3 ]. l1] 2 b 2 [ G ] 4 + b 3 [ G ]5 b 2 ( G ]5 + 2b 3 [ G ] 6. { UDKT }. ( 4. 42). sendo A a área do triângulo, bi. = ( Zj. - Zm) e. ci = ( Ym - Yj) com. i,j,m assumindo valores 1,2,3 ciclicamente. [G]i representa a i-ésima linha da matriz [G]. Analogamente, obtém-se os outros termos do vetor curvatura {k}.. J3z•z. 1 = -[1 2A ( 4. 43). onde:.

(61) 53. (4.44). e. ( 4. 45). Sabe-se. da. equação. ( 4. 11). que. a. energia. de. deformação do elemento DKT, é dada por:. U. =. t f {J<}t. [D]f {k}dYdZ. ( 4. 4 6). A. onde:. {1<}. =. ~[f~[1 ~S. rt][x]j rt][Y] {umcr} rt][z]. ~rr~ ~S. rt][x]j. 2A. ( 4. 4 7). então:. [B] =. 2A. [1. rt][Y] rt][z]. Substituindo-se a equação (4.40) em (4.46), se:. ( 4. 48). obtém-.

(62) 54. U=. ~f {umcrF[B]T[o]f[B]{uDicr}dYdZ A. U. = ~f {unKT}T[B]T[D]f[B]{uD!<T}. 2A dÇd11. A. U. = ~{uDKT}T. 1 1-Ç,. f f 2A(B)T(D]f(B) dÇdll{unKT} o o. Sabe-se que a energia de deformação,. em função da matriz de. rigidez [k] do elemento, pode ser escrita como:. então: 1 1-Ç,. ( K) =. f f 2A( B]T ( D)f (B) dÇ,d11. (4.49). o o Efetuando-se determina-se elemento,. as. integrações. explicitamente. a. matriz. da de. equação rigidez. anterior, [K]. já em relação ao sistema de referência das lajes ou. da subestrutura.. =. onde:. do. ~ [t~~]T[~~~t~~ 2A (z] Du(RJ. D1z(R] D22 [R] D23 (R]. (4.50).

(63) 55. [R]. 4.5. -. 1 [124. 24. 4. FORÇAS NODAIS EQUIVALENTES. As. forças. nodais. equivalentes. no. elemento. triangular DKT para um carregamento uniformemente distribuído. q, segundo BATOZ et a1(1980), são dadas por:. qA{ 1 3. onde. {fDKT }T. equivalentes Portanto,. é. a. o o. o. 1. transposta. {fmcr},. e. A a. o. o}. vetor. de. o. do. 1. do. área. ( 4. 51). forças. elemento. nodais. triangular.. admitiu-se que as cargas uniformemente distribuída. q, ficam representadas apenas por cargas concentradas em cada. nó do elemento.. 4.6. ESFORÇOS INTERNOS NO ELEMENTO. Os esforços internos presentes no elemento DKT são os. momentos. fletores. My. e. Mz,. o. momento. vol vente. Myz,. e. também as forças cortantes Qy e Qz· Os momentos fletores e volvente podem ser obtidos através da seguinte equação:. h 2. j [D){k}x2ctx. -h 2. ( 4. 52).

(64) 56. onde. {M}. é. o. vetor. devido à flexão,. {1<}. dos. momentos,. {cr}f o vetor de tensões. o vetor de curvatura,. (D]f. relaciona tensões com deformações e. [D]. a matriz que. a matriz definida na. equação (4.9). Substituindo-se a equação (4.40) em (4.52), obtém-se. a. expressão. {M}. para. qualquer. ponto. no. interior. ou. contorno do elemento, em função de seus deslocamentos nodais.. {M}. ( 4. 53). ou. ( 4. 54). As forças cortantes. (Qy e Q2 ),. são obtidas através. das expressões da elasticidade que relacionam as mesmas,. com. os momentos fletores e volventes.. My•y. + Myz•y ·. ( 4 55). Mz•z. + Myz•y. ( 4. 56). Portanto, nodais,. pode-se. o. urna. vez. determinar. calculado. os. esforços. elemento, através das equações (4.54) a. 4.7. os. deslocamentos. internos. em. cada. (4.56).. ELEMENTO FINITO QUADRANGULAR. Geralmente as edifícios. apresentam. discretização. geometria. automática. quadrangulares,. lajes que. por. compõem os pavimentos. retangular.. malhas. principalmente. os. Nesse. compostas. caso. de urna. de. elementos. retangulares,. torna-se.

(65) 57. mais simples do que a por elementos triangulares.. Entretanto. o elemento quadrangular pode também ser utilizado em lajes de contorno. poligonal. qualquer,. da. mesma. forma. que. são. utilizados os elementos trianguJares.. O elemento quadrangular pode ser obtido facilmente pela composição de quatro elementos triangulares DKT, colocam-se os parâmetros. internos,. função dos seus parâmetros externos,. comum aos. quando. elementos,. em. através da condensação. estática.. FIGURA 4. 6 - Elemento quadrangular fo:cnado a partir de elementos DKT.. A relação entre forças nodais {f}* e deslocamentos {õ}*, do quadrilátero, pode ser escrito da seguinte forma:. (4.57).

(66) 58. onde. os. parâmetros. índices. e. externos. e e. i. referem-se. internos.. respectivamente. Efetuando-se. os. aos. produtos. matriciais da equação anterior, obtém-se:. ( 4. 58). ( 4. 59). Da equação (4.59), tira-se:. Substituindo-se agora a equação. (4.60). em. (4.58),. obtém-se:. ( 4. 61). Definindo:. a equação (4.61) fica:. ( 4. 62).

(67) 59. onde. [K1. representa. quadrilátero. de. a. matriz. ordem 12xl2,. de. função. rigidez apenas. condensada dos. do. parâmetros. externos. Deve-se observar que as forças nodais também foram modificadas..

(68) 60. CAPÍTULO 5. MATRIZ DE RIGIDEZ DA ESTRUTURA. 5.1. INTRODUÇÃO. A matriz. de. rigidez. global. do. edifício. é. obtida. através da contribuição das rigidezes de todos seus elementos estruturais componentes (elementos de placas e barras). Seria portanto,. trabalhosá. considerando-a deslocamentos. de. a. análise. uma. só. envolvidas,. vez devido. global todas ao. da. estrutura,. as. coordenadas. enorme. número. de. incógnitas presentes no sistema de equações correspondente. Para que se tenha um sistema computacional eficaz na resolução de estruturas de grande porte,. como edifícios,. utilizam-se as. subestruturação,. que. independentemente,. ao. rigidez. de. técnicas. cada. andar. de. estrutura global como um todo. Dessa forma, edifício. em. várias. subestruturas,. analisar. edifícios. tem-se a. repetitividade dos pavimentos,. com. qualquer. de. invés. da. com a divisão do. teoricamente. número. analisam a. é. andares.. Quando. necessário. a. composição da rigidez de cada um deles,. diminuindo assim,. o. esforço. de. computacional.. As. técnicas. não é. possível. utilizadas são feitas em série e paralelo.. subestruturação.

(69) 61. 5.2. NUMERAÇÃO DOS NÓS. do. partir. A. subestrutura,. definem-se. pavimento.. pontos. conectam aqueles. Os aos. que. pilares não. sistema. de. tod.os. nodais são. os. dos. nós. que. elementos. definidos. apresentam. referência. compõem. finitos. como. nós. conectividade. com. cada. de. que. o se. externos, os. e. elementos. verticais, são os nós internos.. A princípio a numeração dos nós dos elementos que discretizam. o. pavimento. independentemente. feita. é. da. numeração dos nós da subestrutura, mas posteriormente deve-se garantir uma perfeita incidência para os nós externos.. A matriz de rigidez e o vetor de forças nodais do pavimento, externos,. devem ser condensados para as coordenadas dos nós que. fazem parte. das. coordenadas. das. subestrutura. propriamente dita. Nessa primeira etapa de montagem da matriz de. rigidez. global. do. edifício,. é. utilizado. a. técnica. de. vetor. de. subestruturação em paralelo.. 5. 3. SUBESTRUTURAÇÃO EM PARALELO. Para. se. obter. a. matriz. de. rigidez. e. forças nodais do pavimento em função apenas dos nós externos, podem ser utilizados dois métodos de condensação estática,. o. método. O. tradicional. ou o método. "Choleski. Decomposi tion".. método tradicional utiliza a liberação total das coordenadas dos nós internos para se chegar à matriz de rigidez na forma condensada, como se fez por exemplo no item 4.7 na composição do. elemento. quadrangular,. enquanto. que. o. segundo. método. envolve apenas a liberação parcial das coordenadas internas..

(70) r. 62. 5.3.1. MÉTODO "CHOLESKI DECOMPOSITION". Seja. a. equação. matricial. de. equilíbrio. do. pavimento:. [Rn] [ [REI]. (5 .1). sendo: I:. índice. que. indica. os. parâmetros. internos. do. E:. índice. que. indica. os. parâmetros. externos. do. partir. da. pavimento;. pavimento. Este decomposição. método. da. pode. matriz. de. ser. formulado. rigidez. num. a. triplo. produto. matricial.. [ RrE ]] = [ REE]. (L] [ [RT]. [o]J[[D] [r]. (5. 2). [o]. sendo [L] uma matriz triangular inferior com termos unitários na diagonal principal; nula;. [RT] a matriz retangular;. [I] a matriz identidade;. [D]. [O] a matriz. a matriz diagonal e. [R*]. a. matriz simétrica condensada. Da. equação. (5. 2) '. obtém-se. as. seguintes. expressões:. (5. 3).

(71) 63. ( 5. 4). (5. 5). Relacionando-se. a. equação. (5.2). com. (5.1). f. encontram-se os seguintes sistemas desacoplados:. (D] ( 5. 6). [ [o]. onde:. (5. 7). (5. 8). A equação Choleski da submatriz. (5.3). (R Jrr.. representa a decomposição de Da equação ( 5. 4) f encontra-se a. expressão da submatriz [RT]f como sendo:. Da equação (5.5)f tira-se:. (5.10).

(72) 64. Das expressões. equações. genéricas. (5.9). dos. e. termos. (5.10), da. determinam-se. matriz. as. [RT]. respectivamente. j-1. 1. L RTi,k Lj,k Dk,k. --R· . D· . l+NI,]. RT·l,J·. ],]. (5. .11). k=l. e NI. R~. .. Ri+NI,j+NI -. l,]. L Li,k Dk,k. (5 .12). k=l. sendo. Ri,j. o termo da matriz de rigidez original e NI o número. de coordenadas internas.. Observa-se que a matriz. [R*],. pode. ser determinada a partir da triangularização de Gauss até a coluna referente a última coordenada interna.. Da equação (5.6), obtém-se:. (5 .13). lembrando-se que [R*] e [FE*] representam a matriz de rigidez e. o. vetor. de. forças. nodais,. em. função. externas, respectivamente. Da equação (5.7), conclui-se que:. das. coordenadas.

(73) 65. ( 5 .14). e da equação (5.8), encontra-se:. e (5 .16). então:. (5 .17). Uma vez. calculado{~*}. da equação. (5.15),. pode-se. obter {Dr*}, de acordo com a equação (5.6).. (5.18). A partir da equação (5.7), encontra-se a expressão do. vetor. deslocamento. das. coordenadas. internas. {Dr},. como. sendo:. (5.19). Analisando-se. as. equações. (5 .10). e. ( 5. 17). 1. observa-se que não é necessário inversões de matrizes para se obter. [R*]. e. { FE*},. resultando. assim,. num. método. de. menor. número de operações numéricas e menor esforço computacional.

(74) 66. que. o. método. neste. trabalho. tradicional. é. o. método. Portanto, "Choleski. o. método. utilizado. Decomposition". para. obtenção da matriz de rigidez condensada do pavimento.. FIGURA 5.1 - Subestruturação em paralelo.. 5.4. CONTRIBUIÇÃO DOS PILARES À RIGIDEZ DA SUBESTRUTURA. Devido a presença dos pilares, a matriz de rigidez de cada subestrutura relaciona-se com o pavimento superior e inferior. A contribuição da rigidez dos elementos horizontais à. subestrutura. estão. contidos,. fica. restrita. assim,. para. ao. próprio. pavimento. um pavimento. k,. a. em. matriz. que de. coordenadas da matriz [R]K K. ' Entretanto, os termos da matriz de rigidez dos pilares, são espalhadas nas matrizes [R]K,K' [R]K,K- 1 e [R]K- 1,K_ 1, onde o rigidez dos elementos horizontais, já subestrutura, são espalhadas apenas. nas na. índice k-1 representa o pavimento inferior ao k..

(75) 67. O endereçamento. dos. termos. da. matriz. de. rigidez. condensada de cada elemento contido no pavimento, à matriz de rigidez [R]K K da subestrutura, depende de suas conectividades f. com os nós dos pilares.. Sabe-~e. que as coordenadas envolvidas. são: -. coordenadas independentes do próprio pilar,. com. os respectivos endereçamentos:. <l>z. 3p. 2. 3p. 1. 3p. -. coordenadas dependentes,. referente ao movimento. de corpo rígido das lajes, que são: Oy. NT -. 2. Oz. NT -. 1. <i>x. NT. onde p. é. o. número. do. nó. do. pilar e. NT. o. número. total. de. coordenadas da subestrutura, que equivale ao triplo do número total dos pilares mais três.. 1,1. 1,2. 1,3. 1,4. 1,5. 1,6. 2,1. 2,2. 2,3. 2,4. 2,5. 2,6. <l>zs. 3,1. 3,2. 3,3. 3,4. 3,5. 3,6. Õys. 4,1. 4,2. 4,3. 4,4. 4,5. 4,6. 8zs. 5,1. 5,2. 5,3. 5,4. 5,5. 5,6. q,Xs. 6,1. 6,2. 6,3. 6,4. 6,5. 6,6. FIGURA 5.2- Endereçamento dos teDnos ij da matriz. [Rk k" f. [Kp]s. à matriz.

(76) Jt ,. 68. -. 1,7. 1,8. 1,9. hs. 2,7. 2,8. 2,9. 2,10. 2,11. 2,12. <l>zs. 3,7. 3,8. 3,9. 3,10. 3,11. 3,12. 4,7. 4,8. 4,9. 4,10. 4,11. 4,12. 5,7. 5,8. 5,9. 5,10. 5,11. 5,12. 6,7. 6,8. 6,9. 6,10. 6,11. 6,12. 1,10. 1,11. 1,12. FIGURA 5.3- Endereçamento dos termos ij da matriz [Kp]s à matriz. [R]K,K-1". ~Yi. 7,7. 7,8. 7,9. 7,10. 7,11. 7,12. 8,7. 8,8. 8,9. 8,10. 8,11. 8,12. 9,7. 9,8. 9,9. 9,10. 9,11. 9,12. 10,7. 10,8. 10,9. 10,10. 10,11. 10,12. 11,7. 11,8. 11,9. 11,10. 11,11. 11,12. 12,10. 12,11. 12,12. 12,7. 12,8. 12,9. FIGURA 5.4- Endereçamento dos termos da matriz [ Kp]s à matriz. [Rh:_ 1 ,k_ 1 ..

(77) 69. onde os índices s e i. representam as extremidade superior e. inferior do pilar, respectivamente.. 5.5. SUBESTRUTURAÇÃO EM SÉRIE. Como subestruturas. o. sistema. em. série,. estrutural a. matriz. é. de. dividido rigidez. em. várias. global. será. formada pela contribuição das matrizes de rigidez de todos os andares. já. na. forma. condensada,. observando. obviamente. sua. sequência de numeração. Assim, o sistema de equilíbrio global fica expresso por:. [RJN,N [R JN-1,N. [o]. [R]N,N-1 [R]N-1,N-1. [R )N-1,N-2 [R JK,K. [R]K,K+1. [RJK,K-1 [R )1,2. [R J1,1 [R Jo,1. [o]. [R J1,0 [R Jo,o. [D)N [ DJN-1. [F]N (F )N -1. [ D.lK. [dK. [ D]1 [ Dlo. [F\ [F lo. :. Os índices das submatrizes indicam os pavimentos a que se referem, sendo [D1 o vetor deslocamento e [F1 o vetor de forças nodais de um pavimento genérico k,. considerando-se. já as forças nodais equivalentes. A primeira linha da matriz corresponde. ao. último pavimento N do. linha refere-se a base do mesmo, Respeitando. essa. numeração,. edifício,. o. a. última. representado pelo número O.. observa-se. que. rigidez global é uma matriz simétrica em faixa Efetuando-se. e. produto. matricial. a. matriz. de. (banda) . da. primeira. linha, a equação de equilíbrio correspondente fica:. (5. 20).

(78) 70. o produto da segunda linha, fica:. (5.21) substituindo-se a expressão de [D]N que se obtém em. (5.20),. na equação acima, encontra-se:. (5. 22). definindo:. (5. 23). e. (5. 24). obtém-se: (5.25). Eliminando-se de maneira análoga os deslocamentos das. equações. de. equilíbrio. substituição para frente. subseqüentes,. num. processo. de. (método da eliminação em série),. na. K-ésima subestrutura, encontra-se:. ( 5. 2 6).

(79) 71. onde: (5.27). (5.28). As últimas eliminações da série, fica então:. ( 5. 2 9). (5.30). Conclui-se portanto,. que o processo de eliminação. em série, consiste na redução da matriz de rigidez e vetor de forças do sistema global às coordenadas da base do edifício, como se observa na equação (5.30).. SÉRIE. n '//. ///. /////,,-///. BASE. FIGURA 5.5 - Subestruturação em série..

(80) 72. o deslocamentos. vetor. deslocamento. nodais. na. ligação. que. contém. estrutura-fundação,. os podem. ser:. a) Deslocamentos nodais nulos, no caso de engaste;. b). Deslocamentos. nodais. impostos. ou. pré-fixados,. no caso de recalques diferenciais;. c). Deslocamentos. nodais. livres,. para. caso. de. deslocamentos incógnitos. No primeiro eliminação até a base. caso, não é da estrutura,. completamente conhecido.. Somente quando houver deslocamentos. necessário fazer pois o vetor [D1. a. é. incógnitos é que se faz uso da última equação. Explicitando-se. a. equação. de. ~. equilíbrio. (5.30),. tem-se:. Ru Rz1. R12 Rzz. Ru Rzi. Rln Rzn. Dz. Fl Fz. Ril. Rp. Ri i. R~n. D·l. F·l. Rnl. Rn2. Rni. Rnn. Dn. Fn. (5. 31). Caso seja necessário impor deslocamentos nulos ou conhecidos na base,. são feitas. altera c. ões. na matriz. [R l*Jo,o. e. [rt, de modo a se obter tais valores no vetor [D ]0 . Se D1 =a, onde a é um deslocamento conhecido, se. uma. F1 =a.. alteração A. vetor. de. forma. que. Ej_ =Fi. da. matriz. [Rt,o. conhecido serão. nulas,. exceto para o. linha. deslocamento. no. Jo [F l*. e. coluna. diagonal principal, equação (5.31) fica:. que. assume. faz-. -Ril.a. correspondente. valor unitário.. termo. Portanto,. e ao da a.