Existência, unicidade e estabilidade de solução para um problema termoelástico hiperbólico com domínio não limitado em R

Texto

(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA. EXISTÊNCIA, UNICIDADE E ESTABILIDADE DE SOLUÇÃO PARA UM PROBLEMA TERMOELÁSTICO HIPERBÓLICO COM DOMÍNIO NÃO LIMITADO EM R. DISSERTAÇÃO DE MESTRADO. Christian Róger Vilela Pieper. Santa Maria, RS, Brasil 2019.

(2) EXISTÊNCIA, UNICIDADE E ESTABILIDADE DE SOLUÇÃO PARA UM PROBLEMA TERMOELÁSTICO HIPERBÓLICO COM DOMÍNIO NÃO LIMITADO EM R. Christian Róger Vilela Pieper. Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado da Pós-Graduação em Matemática, Área de Matemática Pura, da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática.. Orientadora: Profa . Dra . Celene Buriol. Santa Maria, RS, Brasil 2019.

(3) Pieper, Christian Róger Vilela Existência, unicidade e estabilidade de solução para um problema termoelástico hiperbólico com domínio não limitado em R / Christian Róger Vilela Pieper.- 2019. 81 f.; 30 cm Orientadora: Celene Buriol Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Maria, Centro de Ciências Naturais e Exatas, Programa de Pós-Graduação em Matemática, RS, 2019 1. Existência e unicidade de solução 2. Comportamento assintótico 3. Modelo Termoelástico 4. Lei de Cattaneo I. Buriol, Celene II. Título.. Sistema de geração automática de ficha catalográfica da UFSM. Dados fornecidos pelo autor(a). Sob supervisão da Direção da Divisão de Processos Técnicos da Biblioteca Central. Bibliotecária responsável Paula Schoenfeldt Patta CRB 10/1728..

(4) UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA. Christian Róger Vilela Pieper. EXISTÊNCIA, UNICIDADE E ESTABILIDADE DE SOLUÇÃO PARA UM PROBLEMA TERMOELÁSTICO HIPERBÓLICO COM DOMÍNIO NÃO LIMITADO EM R. Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado da Pós-Graduação em Matemática, Área de Matemática Pura, da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática. Aprovado pela comissão examinadora, abaixo assinada em 29 de agosto de 2019:. Celene Buriol, Dr a . (UFSM). (Presidente - Orientadora). Fidelis Bittencourt, Dr. (UFSM). (Examinador). Maurício Zahn, Dr. (UFPel). (Examinador). Santa Maria, RS, Brasil 2019.

(5) DEDICATÓRIA. A todos aqueles que estiveram comigo durante a elaboração deste trabalho e, de alguma maneira, contribuíram no mesmo. Em especial aos meus pais..

(6) AGRADECIMENTOS Ao nalizar este trabalho vejo que o mesmo nada mais é do que um reexo de tudo aquilo que foi realizado durante o período do mestrado, sejam eles momentos de estudo ou lazer. Com isto, gratidão é o sentimento que tenho a todos que estiveram presentes de alguma maneira pois sozinho não seria capaz de concretizar esta dissertação. Primeiramente, agradeço aos meus pais Francisco Rogerio e Maria Cristina por sempre apoiarem minhas escolhas e fazerem o possível para eu concretizá-las. Senão fossem eles, chegar ao nal deste não seria possível. Sou agradecido a minha namorada Jaíne por todo apoio e compreensão no tempo em que estive ausente e nos momentos difíceis pelos quais passei. Agradeço a minha orientadora, professora Dr.a Celene Buriol, por acolher-me e me mostrar a direção para a realização de um trabalho do qual tenho muito orgulho. Sou grato ainda por sua amizade, a qual se mostrou valiosa em inúmeros momentos. Aproveito também para expressar a importância do curso de Pós-Graduação em Matemática (PPGMat) da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e do seu corpo docente na minha formação. Não poderia esquecer dos amigos e colegas que junto comigo conviveram na sala dos alunos do PPGMat por todos os momentos compartilhados, tanto nos estudos, quanto nas ocasiões de lazer e descontração, as quais foram de suma importância nessa caminhada. Reservo uma parte destes agradecimentos para destacar não somente aqueles os quais estiveram comigo durante os anos de mestrado mas também, aqueles que zeram parte da minha caminhada. Antes disso, na Universidade Federal de Pelotas, os quais suas contribuições foram extremamente importantes para a elaboração deste trabalho. Entre eles as professoras Dr.a Lisandra de Oliveira Sauer e Dr.a Andrea Morgado e o professor Dr. Maurício Zahn o qual tive a honra de te-lô como examinador desta dissertação, e agradeço por suas preciosas contribuições. E ainda, agradeço ao professor Dr. Fidelis Bittencourt da UFSM por suas contribuições enquanto examinador deste trabalho. Por último, deixo aqui meu agradecimento a Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Brasil (CAPES), cujo o presente trabalho foi realizado com apoio da mesma Código de Financiamento 001..

(7) COMO NOSSOS PAIS Por: Renato Enoch. Não quero lhe falar, meu grande amor Das coisas que aprendi nos discos Quero lhe contar como eu vivi E tudo o que aconteceu comigo Viver é melhor que sonhar Eu sei que o amor é uma coisa boa Mas também sei que qualquer canto É menor do que a vida de qualquer pessoa Por isso cuidado, meu bem Há perigo na esquina Eles venceram E o sinal tá fechado pra nós que somos jovens Para abraçar meu irmão e. beijar quem se. , na rua. ama. É que se fez o seu braço, o seu lábio e a sua voz Você me pergunta, pela minha paixão Eu digo que estou encantado Como uma nova invenção Eu vou car nesta cidade, não vou ir pro sertão Pois vejo vir vindo no vento o cheiro da nova estação E eu sei de tudo na vida viva do meu coração Já faz tempo, eu vi você na rua....

(8) Cabelo ao vento Gente jovem reunida Na parede da memória Essa lembrança é o quadro que dói mais Minha dor é perceber Que apesar de termos feito tudo, tudo o que zemos Nós ainda somos os mesmos E vivemos... Nós ainda somos os mesmos E vivemos como os nossos pais Nossos ídolos, ainda são os mesmos E as aparências, elas não enganam, não Você diz: "Que depois deles, não apareceu mais ninguém" Você pode até dizer: "Que eu tô por fora Ou então que eu tô inventando" Mas é você, que ama o passado e que não vê É você, que ama o passado E que não vê, que o novo sempre vem E hoje eu sei, que quem me deu a ideia De uma nova consciência e juventude Tá em casa guardado por Deus, contando os seus metais Minha dor é perceber Que apesar de termos feito tudo Tudo, tudo o que zemos Nós ainda somos os mesmos E vivemos... Nós ainda somos os mesmos E vivemos... Nós ainda somos os mesmos E vivemos como os nossos pais... Antônio Carlos Belchior.

(9) RESUMO Dissertação de Mestrado Programa de Pós-Graduação em Matemática Universidade Federal de Santa Maria. EXISTÊNCIA, UNICIDADE E ESTABILIDADE DE SOLUÇÃO PARA UM PROBLEMA TERMOELÁSTICO HIPERBÓLICO COM DOMÍNIO NÃO LIMITADO EM R AUTOR: Christian Róger Vilela Pieper ORIENTADORA: Celene Buriol Data e Local: Santa Maria, 29 de agosto de 2019. Consideremos o Problema de Cauchy que descreve a dinâmica de vibrações de vigas linear em R sujeitas a efeitos térmicos modelados pela lei de Cattaneo. Concentraremos nossa atenção na obtenção de existência e unicidade de solução e na análise do comportamento assintótico de tal solução. Na primeira parte provaremos a existência e unicidade de soluções para o modelo termoelástico.     utt + uxxxx − µuxxtt + δθxx = 0, em R × [0, +∞) θt + kqx − δuxxt = 0, em R × [0, +∞).   . .. τ qt + q + kθx = 0, em R × [0, +∞). Com condições iniciais u(x, 0) = u0 (x); ut (x, 0) = u1 (x); θ(x, 0) = θ0 (x);. q(x, 0) = q0 (x). Na segunda parte encontramos uma taxa de decaimento para a energia total. Z 2 1 E(t) = ut + µu2tx + u2xx + θ2 + τ q 2 dx 2 R associada ao modelo descrito acima.. Palavras Chave:. Existência e unicidade de solução, Comportamento. assintótico, Modelo termoelástico, Lei de Cattaneo..

(10) ABSTRACT Dissertation Graduate Program in Mathematics Federal University of Santa Maria. EXISTENCE, UNICITY AND STABILITY TO SOLUTION FOR A HYPERBOLIC THERMOELASTIC PROBLEM WITH DOMAIN NOT LIMITED TO R AUTHOR: Christian Róger Vilela Pieper ADVISOR: Celene Buriol Consider the Cauchy Problem which describes the dynamics of linear rafters vibrations in R subjected to thermal eects modeled by the Cattaneo law. We will focus our attention on obtaining the existence and uniqueness of the solution and analyzing the asymptotic behavior of such a solution. In the rst part we will prove the existence and uniqueness of solutions for the thermoelastic model..     utt + uxxxx − µuxxtt + δθxx = 0, em R × [0, +∞) θt + kqx − δuxxt = 0, em R × [0, +∞).   . .. τ qt + q + kθx = 0, em R × [0, +∞). With initial conditions u(x, 0) = u0 (x); ut (x, 0) = u1 (x); θ(x, 0) = θ0 (x);. q(x, 0) = q0 (x). In the second part we nd a decay rate for total energy. 1 E(t) = 2. Z. 2 ut + µu2tx + u2xx + θ2 + τ q 2 dx. R. associated with the model described above.. Keywords:. Existence and uniqueness of solution, Asymptotic beha-. vior, Thermoelastic model, Cattaneo law..

(11) Sumário Sumário. 11. Introdução. 13. 1 Notação e Resultados Preliminares. 17. 1.1. Notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 1.2. Denições e Resultados de Análise . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 1.3. Espaço das Distribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. Convergência em C0∞ (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. 1.3.1 1.3.2. Convergência e Derivação em. D. 0. (Ω) . . . . . . . . .. 23. 1.4. Espaços de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 1.5. Teoria de Semigrupos de Operadores Lineares . . . . . . . . .. 26. 1.6. Transformada de Fourier e o Teorema de Plancherel. 28. . . . . .. 2 Existência e Unicidade de Solução. 32. 2.1. Introdução e o Problema Principal . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 2.2. Resultados Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 2.3. Os Operadores b(·, ·) e F (·) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42. 2.4. Prova do Teorema 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49. 3 Decaimento da Energia Total. 52. 3.1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52. 3.2. Lemas Técnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53. 3.3. O Funcional H (ξ, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61. 3.4. Decaimento Exponencial da Energia Total . . . . . . . . . . .. 71. 11.

(12) 3.5. Relação Entre W (ξ, t) e E (t) . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73. 3.6. Prova do Teorema 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74. Conclusão e Considerações Finais. 78. Referências Bibliográcas. 80. 12.

(13) Introdução Atualmente, encontram-se na literatura vários artigos indicando a importância de se estudar modelos de evolução descrito por Equações Diferenciais Parciais em domínios não limitados. Dentre eles citamos Buriol and Menzala (2006), Da Luz and Charao (2009) e Racke and Ueda (2016) e suas respectivas referências. Em Buriol and Menzala (2006) os autores consideram o modelo quaselinear.  Z  2  utt + ∆2 u + u − M |5u| dx ∆u = 0, em Rn × [0, +∞) Rn   u(x, 0) = u0 (x); ut (x, 0) = u1 (x), para x ∈ Rn. (1). onde M é uma função real não decrescente satisfazendo. M ∈ C1 R+ e M (s), M 0 (s) > 0, ∀s > 0. Para n = 2 a função u = u (x, t) representa o deslocamento transversal de uma placa ocupando o domínio Ω = R2 , já para n = 1 o mesmo modela, por exemplo, o deslocamento de uma viga com domínio Ω = R. Usando multiplicadores foi mostrado que a solução u do modelo (1) satisfaz as seguintes propriedades. Z. u2 dx → 0 quando t → +∞, se n > 6 Ω. e. Z. |5u|2 dx → 0 quando t → +∞, se n > 5,. Ω. onde Ω é uma região qualquer limitada do Rn . Ressalta-se aqui, que o modelo (1) é conservativo..

(14) Da Luz and Charao (2009) consideram o problema dissipativo. (. utt − γ∆utt + ∆2 u + ut = f (ut ) , x ∈ Rn , t > 0. (2). u(0, x) = u0 (x); ut (0, x) = u1 (x), x ∈ Rn p. onde γ é constante e f (ut ) é um termo não linear da forma |ut | . Usando teoria de multiplicadores, os autores provaram que a energia total associada a (2), dada por. 1 E(t) = 2. Z Rn. h i 2 2 2 ut + |5u| + |∆ut | dx. −1. satisfaz E(t) 6 cI0 (1 + t) . Para tal taxa de decaimento foi considerado I0 < δ, δ > 0, onde. I0 = ku0 k2H 3 (Rn ) + ku1 k2H 2 (Rn ) . O qual, na terminologia matemática, signica que foram tomados dados iniciais pequenos. Nesse trabalho consideraremos a equação de placas utt − µuxxtt +. uxxxx , µ > 0, submetida a efeitos térmicos. No que diz respeito aos efeitos térmicos, a teoria clássica de Fourier para a propagação do calor apresenta uma controvérsia pois admite propagação térmica com velocidade innita, o qual não é o mais adequado para representar vários fenômenos físicos (mais detalhes em Chandrasekharaiah (1998)). Para contornar essa questão, uma alternativa é substituir a equação do calor parabólico (modelada pela lei de Fourier) por uma equação do transporte do calor que seja hiperbólica, o que pressupõe velocidade nita de propagação. Neste sentido, escolhemos a lei de Cattaneo, ver Cattaneo (1948), para representar a condução do calor no lugar da lei de Fourier. A seguir daremos uma ideia da construção do modelo de Cattaneo: É sabido da lei de Fourier que o uxo de calor q é proporcional ao derivada primeira da temperatura. Sendo assim, seja θ = θ (p, t) (temperatura em ponto no instante t); portanto. q + kθx = 0 14. (3).

(15) onde k > 0 representa a. condutividade térmica.. Se usarmos a lei de Fourier, teremos:. ρc θt + qx = 0. (4). onde ρ > 0 é a densidade de massa e c > 0 denota o calor especíco por unidade de massa. Substituindo (3) em (4) temos. θt −. k θx = 0, ρc. que é a equação clássica do calor. Se considerarmos a lei de Cattaneo usaremos no lugar de (3) a equação. αqt + q + kθx = 0. (5). onde α > 0 é uma propriedade termoelástica do material. Derivando (4) em relação a t e (5) em relação a x e substituindo uma na outra obtemos:. k θx = 0 ρc que é uma equação do tipo hiperbólica e com isso temos velocidade nita de αθtt + θt −. propagação. Levando em conta a discussão anterior onde as constantes τ = α e k estão denidas em (5) e (3), respectivamente, consideremos o modelo.     utt + uxxxx − µuxxtt + δθxx = 0, em R × [0, +∞) θt + kqx − δuxxt = 0, em R × [0, +∞)    τ q + q + kθ = 0, em R × [0, +∞) t. (6). x. onde u = u (x, t) , θ = θ (x, t) , q = q (x, t) são funções que representam o deslocamento transversal e a temperatura conforme mencionados respectivamente em (1), (3) e (5). Acrescentamos ao modelo (6) as condições iniciais. u(x, 0) = u0 (x); ut (x, 0) = u1 (x); θ(x, 0) = θ0 (x); q(x, 0) = q0 (x). 15. (7).

(16) Nesse trabalho utilizando a teoria de Semi-Grupos de operadores lineares obtemos a existência e unicidade de solução para o modelo (6)-(7). Além disso, usando a técnica considerada em Racke and Ueda (2016) mostramos que a energia total. 1 E(t) = 2. Z. 2 ut + µu2tx + u2xx + θ2 + τ q 2 dx. (8). R. associada ao modelo (6)-(7) possui a seguinte taxa de decaimento:. ˜ + t)− 12 + 2e−Ct E(0), ∀t > 0 E(t) 6 K(1 ˜ é dado em (3.39) e C = onde K. 1 τµ . 2730 6. Este trabalho é organizado da seguinte forma: No capítulo 1, introduzimos as notações, principais denições, proposições e teoremas da Teoria das Distribuições, Espaços de Sobolev e de Semigrupos de Operadores Lineares. No capítulo 2 é feita a transformação do sistema (6)-(7) para a forma matricial, obtendo-se um problema abstrato, possibilitando a utilização da teoria de semigrupos para mostrar a existência e unicidade de solução. Por último, no capítulo 3 é provado o decaimento da energia total associada ao sistema (6)-(7). Para isso, utilizaremos um funcional de Lyapunov adequado que é obtido através da pertubação da energia. Na conclusão apresentamos algumas possibilidades para trabalhos futuros.. 16.

(17) Capítulo 1 Notação e Resultados Preliminares Neste capítulo apresentaremos os principais conceitos e resultados que serão utilizados no decorrer do trabalho. Em muitos casos as demonstrações serão omitidas por se tratar de resultados conhecidos, mas citaremos as referências de onde estes, junto com as suas demonstrações, se encontram.. 1.1 Notação 1. |·| - valor absoluto ou norma. 2. h·, ·i = h·, ·iL2 (R) - produto interno em L2 (R). 3. k · k = k · kL2 (R) - norma em L2 (R). 4. L1loc (R) - espaço das funções localmente integráveis. 5. C (R+ ; K) - espaço das funções contínuas de R+ em K. 6. C ((0, +∞); K) - espaço das funções contínuas e derivadas contínuas de. (0, +∞) em K. 7. K0 - dual do espaço K. 8. fˆ representa a transformada de Fourier da função f .. 17.

(18) 1.2 Denições e Resultados de Análise Nessa seção introduziremos denições e resultados preliminares que embasarão os resultados apresentados nas seções seguintes:. Denição 1.1. Dado um espaço vetorial H sobre o corpo K (K = R ou C), uma função k · k : H −→ K é chamada norma se, satisfaz as seguintes propriedades: ∀x, y ∈ H e ∀α ∈ K, i) kxk > 0 e kxk = 0 ⇔ x = 0; ii) kαxk = |α|kxk; iii) kx + yk 6 kxk + kyk.. Denição 1.2. Seja H um espaço vetorial normado. Diz-se que H é completo, se toda sequência de Cauchy em H é convergente. Um espaço vetorial normado completo com a métrica induzida pela norma é chamado espaço de Banach. Denição 1.3. Seja H um espaço vetorial sobre o corpo K (K = R ou C). Um produto interno em H é uma aplicação h·, ·iH : H × H −→ K que satisfaz as seguintes propriedades: para todo x, y, z ∈ H e α ∈ K, tem-se i) hx + y, ziH = hx, ziH + hy, ziH ; ii) hαx, yiH = α hx, yiH ; iii) hx, yiH = hy, xiH ; iv) hx, xiH > 0 e hx, xiH = 0 ⇔ x = 0.. Denição 1.4. Dizemos que um espaço vetorial H munido com um produto interno h·, ·iH é um Espaço de Hilbert se H for completo com a norma induzida pelo produto interno.. 18.

(19) Denição 1.5. Uma aplicação linear T : X −→ Y, entre espaços de Banach X e Y, é uma imersão isométrica se kT (x)kY = kxkX , ∀x ∈ X. Uma imersão isométrica sobrejetiva T é dita um isomorsmo isométrico ou simplesmente isometria. Denição 1.6. Seja H um espaço vetorial real. Uma aplicação a : H×H −→ R é chamada forma bilinear se satisfaz, para todo u, u1 , u2 , v, v1 , v2 ∈ H e para todo λ ∈ R i) a (λu1 + u2 , v) = λa (u1 , v) + a (u2 , v); ii) a (u, λv1 + v2 ) = λa (u, v1 ) + a (u, v2 ).. Denição 1.7. Uma forma bilinear a : H × H → R, onde H é um espaço de Hilbert é dita i) contínua se existe constante C0 > 0 tal que |a (u, v)| 6 C0 kukH kvkH , ∀u, v ∈ H;. (1.1). ii) coerciva se existe constante C1 > 0 tal que a (u, u) > C1 kuk2H , ∀u ∈ H.. (1.2). Teorema 1.8 (Lax-Milgran). Seja H um espaço de Hilbert real e a : H×H → R uma forma bilinear contínua e coerciva sobre H. Se f ∈ H0 onde H0 denota o dual de H, então existe um único u ∈ H tal que a (u, v) = f (v), ∀v ∈ H.. Demonstração. Encontra-se em Kreyszig (1978).. Denição 1.9. Seja p um número real tal que 1 6 p < +∞ e Ω ⊆ Rn aberto. Representa-se por Lp(Ω) a classe de equivalência de todas as funções mensuráveis u, denidas em Ω tais que |u|p é integrável no sentido de Lesbegue, isto é, p. L (Ω) =. . u : Ω −→ R; u é mensurável e. Z. . |u| dx < +∞ . Ω. 19. p.

(20) Lema 1.10. Seja 1 6 p < +∞. O espaço Lp(Ω) é um espaço vetorial real. Além disso, a função Z kukp = kukLp (Ω) =. 1/p |u| dx , p. Ω. dene uma norma em Lp(Ω), que torna o mesmo um espaço de Banach. Demonstração. Encontra-se em Brezis (2010).. Lema 1.11. O espaço L2(Ω) é um espaço de Hilbert, munido com o produto interno Z uv dx, ∀u, v ∈ L2 (Ω),. hu, vi = hu, viL2 (Ω) =. Ω. e a respectiva norma. 1/2 u dx , ∀u ∈ L2 (Ω).. Z. 2. kuk = kukL2 (Ω) = Ω. Demonstração. Encontra-se em Brezis (2010).. Proposição 1.12 (Desigualdade de Young). Sejam a e b números reais não negativos. Se 1 < p < +∞ e 1 < q < +∞ são tais que p−1 + q −1 = 1, então ap b q ab 6 + . p q. Demonstração. Encontra-se em Medeiros and de Mello (1985).. Corolário 1.13. Se a e b são números reais não negativos e ε > 0, então: ab 6 εa2 + (4ε)−1 b2 .. Demonstração. Com efeito, aplicando a Proposição anterior, com p = 2, a = (2ε)1/2 a e b = (2ε)−1/2 b, segue o resultado.. Proposição 1.14 (Desigualdade de Hölder). Sejam u ∈ Lp(Ω) e v ∈ Lq (Ω), onde 1 < p < +∞ e 1 < q < +∞ são tais que p−1 + q −1 = 1. Então uv ∈ L1 (Ω) e tem-se a desigualdade Z. Z |uv|dx 6 Ω. 1/pZ 1/q q |u| dx · |v| dx . p. Ω. Ω. 20.

(21) Ou ainda, em termos de norma, podemos escrever kuvk1 6 kukp ·kvkq .. Demonstração. Encontra-se em Medeiros and de Mello (1985).. 1.3 Espaço das Distribuições Denição 1.15. Dada uma função contínua ϕ : Ω ⊆ Rn −→ R, onde Ω é um aberto, denomina-se suporte de ϕ o conjunto dado por supp(ϕ) = {x ∈ Ω; ϕ(x) 6= 0}. Representa-se por C0∞ (Ω) o espaço vetorial das funções de classe C ∞ em Ω, com suporte compacto em Ω.. Denição 1.16. Chama-se de multi-índice qualquer n-upla em Nn, ou seja, α = (α1 , α2 , · · · , αn ) é multi-índice, se αj ∈ N, j = 1, 2, · · · , n. Dene-se |α| =. n X. αj , onde α = (α1 , α2 , · · · , αn ).. 1. Denição 1.17. Seja x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn e α um multi-índice. Dene-se ∂ |α| α D = α α α . ∂x1 1 ∂x2 2 · · · ∂xnn. ∂α , onde α ∈ N. No caso n = 1 temos, por exemplo, D = ∂xα Assim, o número |α| representa a ordem de derivação, enquanto que α. cada coordenada αj representa a quantidade de derivadas na direção de xj que serão calculadas. Por exemplo, se α = (0, 0, · · · , 0), o operador derivação será igual ao operador identidade, isto é,. D0u = u, para todo u : Ω ⊆ Rn −→ R, onde Ω. é aberto.. 21.

(22) 1.3.1 Convergência em C0∞(Ω) Consideremos o espaço vetorial topológico C0∞ (Ω), onde Ω é um subconjunto aberto do Rn . Diz-se que uma sequência (ϕς )ς∈N de funções em C0∞ (Ω) converge para ϕ em C0∞ (Ω) quando forem satisfeitas as seguintes condições:. i) Existe K ⊆ Ω tal que supp(Ω) ⊆ K e supp(ϕς ) ⊆ K, ∀ς ∈ N;. (1.3). ii). Dα ϕς → Dα ϕ uniformemente em Ω. (1.4). para cada multi-índice α quando ς → +∞. O espaço vetorial C0∞ (Ω) munido da noção de convergência denida em (1.3) e (1.4), será denotado por. Funções Testes.. D. (Ω) e denominado de Espaço das. Denição 1.18. Uma distribuição T é um funcional linear contínuo sobre (Ω), isto é, dado uma função ϕ ∈ (Ω) associamos um valor T (ϕ) de tal modo que sejam satisfeitas as seguintes condições:. D. D. i) T (ϕ1 + ϕ2 ) = T (ϕ1 ) + T (ϕ2 ); ii) Se ϕς → ϕ, então T (ϕς ) → T (ϕ).. O conjunto de todas as distribuições sobre Ω é denotado por Ou seja,. D. 0. (Ω) =. Observação 1.19.. D. n 0. D. D. o. (Ω) → R; T é linear e contínuo .. (Ω) é dito Espaço das Distribuições sobre Ω.. 22. 0. (Ω)..

(23) 1.3.2 Convergência e Derivação em. D. 0. (Ω). Denição 1.20. Diz-se que uma função u : Ω → R é localmente integrável em Ω quando u é integrável a Lesbegue em todo compacto K ⊆ Ω. O espaço das funções localmente integráveis é denotado por L1loc(Ω), isto é, u∈. L1loc (Ω). Z ⇔. |u|dx < +∞, K. para todo compacto K ⊆ Ω.. Denição 1.21. A sequência de distribuições escalares (Tς )ς∈N converge para 0 a distribuição escalar T em (Ω) quando. D. hTς , ϕi −→ hT, ϕi em R , ∀ϕ ∈. D. (Ω).. D. 0. Observação 1.22. Com esta notação de convergência, (Ω) é um espaço vetorial topológico e temos a seguinte cadeia de imersões contínuas e densas. D. (Ω) ,→ Lp (Ω) ,→ L1loc (Ω) ,→. D. 0. (Ω), para 1 6 p < +∞.. (1.5). Mais detalhes sobre (1.5) encontra-se em Medeiros and Miranda (2000).. Denição 1.23. Dada uma distribuição T sobre Ω e dado um multi-índice α ∈ Nn , denimos a derivada distribucional ou derivada no sentido das distribuições de ordem α de T como sendo a distribuição. Dα T. :. D. (Ω) → R ϕ. 7→ hDα T, ϕi = (−1)|α| hT, Dα ϕi .. (1.6). 1.4 Espaços de Sobolev Denição 1.24. Denimos por W m,p(Ω), com m ∈ N e 1 6 p < +∞, o espaço vetorial de todas as funções u ∈ Lp(Ω) tal que, para todo |α| 6 m, Dα u ∈ Lp (Ω), sendo Dα u a derivada de u no sentido das distribuições, isto é, W m,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω);. Dαu ∈ Lp(Ω), ∀ α = (α1, α2, · · · , αn) ; |α| 6 m} . 23.

(24) Proposição 1.25. Os espaços W m,p(Ω), com m ∈ N e 1 6 p < +∞, munido com a norma 1/p.  kukW m,p (Ω) = . X. k. Dαukp. ,. |α|6m. são espaços de Banach. Demonstração. Encontra-se em Medeiros and Miranda (2000).. Observação 1.26. No caso particular em que p = 2, o espaço W m,2(Ω) é um espaço de Hilbert, o qual é denotado por H 2 = H 2(Ω). Denição 1.27. O espaço W0m,p(Ω) é denido como sendo o fecho de em W m,p(Ω).. D. (Ω). Denição 1.28. O dual topológico W0m,p(Ω) é representado por W −m,p(Ω) onde 1 6 p < +∞ com p−1 + q −1 = 1. Observação 1.29. Quando p = 2, W0m,2(Ω) é denotado por H02(Ω), e seu dual é denotado por H −m(Ω). Observação 1.30. Dos teoremas de imersão, temos que: 0 H01 (Ω) ,→ L2 (Ω) = L2 (Ω) ,→ H −1 (Ω);. (1.7). Mais detalhes sobre os teoremas de imersão encontramos em Medeiros and Miranda (2000).. Lema 1.31. O operador. . ∂2 I −µ 2 ∂x. −1 : L2 (R) → H 2 (R) é limitado.. Demonstração. Devemos mostrar que existe M > 0 tal que: −1 . 2 ∂. I − µ 2 f 6 M kf k, para todo f ∈ L2 (Ω).. 2 ∂x H (R). 24.

(25) Consideramos daí a seguinte igualdade. u − uxx = f.. (1.8). Com isto, observemos que se kuk = 0 a desigualdade acima torna-se. −1 ∂2 válida. Nota-se que u = I − µ 2 f ∈ H 2 (Ω). Além disso, multiplicando ∂x (1.8) por u, integrando em R e usando a desigualdade de Hölder, obtemos: Z Z Z 2 2 u dx + µ ux dx = f udx 6 kf kkuk, R. R. R. logo. kuk2 + µkux k2 6 kf kkuk, segue daí e do fato de H 1 (R) ,→ L2 (R), ver Brezis (2010), que. kuk2H 1 (R) 6 kf kkuk 6 M1 kf kkukH 1 (R) , onde M1 > 0 é tal que kuk 6 M1 kukH 1 (R) . Consequentemente,. kukH 1 (R) 6 M1 kf k.. (1.9). No entanto, de (1.8), temos kuxx k 6 kf k + kuk. Logo, de (1.9) segue que. kuxx k 6 kf k + M1 kukH 1 (R) 6 kf k + M12 kf k 6 M kf k, onde M = 1 + M12 . Portanto,. kukH 2 (R) = kuxx k 6 M kf k,. (1.10). ∂2 onde (1.10) segue do fato de − 2 : H 2 (R) → L2 (R) ser uma isometria (veja ∂x Medeiros and Miranda (2000)), e portanto, −1 . 2 ∂. I − µ 2 f 6 M kf k.. 2 ∂x H (R). 25.

(26) 1.5 Teoria de Semigrupos de Operadores Lineares Apresentaremos nessa seção resultados importantes para a obtenção dos resultados do próximo capítulo.. Denição 1.32. Seja X um espaço de Banach e L(X) a álgebra dos semigrupos lineares limitados de X. Dizemos que uma aplicação T : R+ → L(X) é um semigrupo de operadores lineares limitados de X se: i) T (0) = I , onde I é o operador identidade de L(X); ii) T (t + s) = T (t)T (s), para todo t, s ∈ R+ .. Denição 1.33. Uma família {T (t)}t>0 de operadores lineares num espaço de Banach X, é chamado semigrupo fortemente contínuo se além de (i) e (ii) da Denição 1.32, é satisfeita a seguinte condição: para todo (x, t) ∈ X×[0, +∞), (x, t) → T (t)x ∈ X é contínua em cada ponto.. Observação 1.34. Chamamos de semigrupo de classe C0, ou ainda C0semigrupo, a um semigrupo fortemente contínuo. Denição 1.35. Seja X um espaço de Banach e {T (t)}t>0 um semigrupo de operadores lineares limitados em X . O operador linear A : DA ⊆ X → X denido em DA =. x ∈ X; lim+ t→0. T (t)x − x existe t. e dado, para cada x ∈ DA, por: Ax = lim+ t→0. T (t)x − x t. é chamado o gerador innitesimal de {T (t)}t>0.. Denição 1.36. Um operador linear A denido em um espaço de Hilbert H, se diz dissipativo se, para todo x ∈ DA , hAx, xiH 6 0. 26.

(27) Teorema 1.37 (de Lumer-Phillips). Seja A um operador linear numa espaço de Hilbert H com domínio DA denso em H. Se A é dissipativo e existe λ0 > 0 talque a imagem de λ0I − A é todo espaço H, isto é, Im(λ0I − A) = H (dito maximal), então A é gerador innitesimal de um C0-semigrupo de contrações em H. Demonstração. Encontra-se em Pazy (2012).. Teorema 1.38. Suponha que {T (t)}t>0⊆ L(H) é um C0-semigrupo. Então, existem M > 1 e ω ∈ R tais que kT (t)kL(H) 6 M eωt, para todo t > 0. Demonstração. Encontra-se Pazy (2012).. Teorema 1.39. Seja H um espaço de Banach e seja A o gerador innitesimal de um C0-semigrupo T (t) em H, satisfazendo kT (t)k 6 M eωt. Se B é um operador linear limitado em H então A + B é gerador innitesimal de um C0-semigrupo S(t) em H, satisfazendo kS(t)k 6 M e(ω+M kBk)t. Demonstração. Pazy (2012). O próximo teorema dá uma resposta quanto à possibilidade de se resolver o problema abstrato. (. d dt Z. = AZ , para todo t > 0 Z(0) = Z0 ∈ H,. (1.11). onde A : DA ⊆ H → H é um operador linear num espaço de Banach H. Antes disso, vejamos a seguinte denição:. Denição 1.40. Dizemos que uma função Z : R+ → H é uma solução clássica ou solução forte de (1.11) se Z ∈ C (R+ ; D(A)) ∩ C 1 ([0, ∞); H). e Z satisfaz (1.11).. Teorema 1.41. Assumindo que A é o gerador innitesimal de um C0semigrupo em H, então a seguinte condição é satisfeita: 27.

(28) para cada Z0 ∈ D(A), o problema de Cauchy (1.11) possui única solução clássica Z. Demonstração. Pazy (2012).. 1.6 Transformada de Fourier e o Teorema de Plancherel Nesta seção iremos apresentar a Transformada de Fourier e algumas propriedades que seguem do mesmo. Iremos também, enunciar o teorema de Plancherel. Ainda, apresentaremos alguns resultados para funções complexas. Os resultados aqui enunciados serão de extrema importância no último capítulo. Estes, juntamente com as suas justicativas, podem ser encontrados em Cavalcanti and Cavalcanti (2009), Figueiredo (2000), Rivera (1999) e Yosida (1965).. Denição 1.42. Uma função f denida em Rn é dita ser rapidamente decrescente no innito se f é innitamente diferenciável e pk (f ) = sup sup (1 + kxk2Rn )k |(Dα f )(x)| < +∞, ∀k ∈ N. |α|6K x∈Rn. O espaço das funções rapidamente decrescente no innito é denotado por S(Rn ) e este é um espaço vetorial com as operações de soma e produto por escalar de funções usuais. No espaço S(Rn ), denimos a seguinte noção de convergência:. Denição 1.43. Seja (fς )ς∈N uma sequência em S(Rn). Dizemos que fς → 0 em S(Rn) quando para todo k ∈ N, pk (fς ) → 0 em R. Ainda, fς → f em S(Rn) se pk (fς − f ) → 0 em R. As formas lineares denidas em S(Rn ), contínuas no sentido da convergência denida em S(Rn ) são denominadas 28. distribuições temperadas..

(29) O espaço vetorial de todas as distribuições temperadas com a convergência pontual de sequências é representado por S 0 (Rn ).. Denição 1.44. Se f ∈ S(Rn) ou f ∈ L1(Rn), então a Transformada de Fourier de f é dada por: 1 Ff = fˆ(ξ) = fˆ = (2π)n/2. Z. e−ixξ f (x)dx.. Rn. Observemos que F está bem denida pois. Z. e−ixξ f (x)dx 6. Z.

(30) −ixξ

(31)

(32) e f (x)

(33) dx 6. Z |f (x)|dx < +∞. Rn. Rn. Rn. Lema 1.45. Podemos provar que S(Rn) ,→ L2(Rn). Proposição 1.46. Se T e S são distribuições temperadas, então: F(αT + βS) = αFT + βFS, ∀α, β ∈ R.. Proposição 1.47. Se T ∈ S 0(Rn), então: F(Dα T ) = i|α| ξ |α| FT. O próximo resultado nos diz que a Transformada de Fourier F : L2 (Rn ) →. L2 (Rn ) é um isomorsmo isométrico:. Teorema 1.48. (de Plancherel).. D. A aplicação F : L2(Rn) → L2(Rn) satisfaz. E ˆ f , gˆ = hf, gi , para todo f, g ∈ L2 (Rn ).. Do Teorema de Plancherel segue o seguinte resultado:. Corolário 1.49. Para toda função f ∈ L2(Rn) temos kf k = kfˆk. Nos dois próximos Lemas, f, g juntamente com as suas Transformadas de Fourier fˆ, gˆ pertencem a L2 (Rn ). Estes resultados, assim como os demais desta seção, como já havíamos comentado, serão utilizados no capítulo 3. 29.

(34) Lema 1.50. Se fˆ = f1 + if2, então ∂ ∂t.

(35)

(36) o n

(37) ˆ

(38) 2 ¯ˆ ˆ

(39) f

(40) = 2Re f ft .. (1.12).

(41)

(42) 2 Demonstração. De fato, como sabemos

(43)

(44) fˆ

(45)

(46) = f12 + f22 assim, basta observarmos que. n o ¯ 2Re fˆfˆt = 2Re {(f1 + if2 ) (f1 t − if2 t )} = 2Re {(f1 f1 t + f2 f2 t ) + i (f2 f1 t − f1 f2 t )} = 2 (f1 f1 t + f2 f2 t )

(47)

(48) . ∂ 2 ∂

(49) ˆ

(50) 2 = f1 + f22 =

(51) f

(52) . ∂t ∂t. Lema 1.51. Se fˆ = f1 + if2 e gˆ = g1 + ig2, então e. n o n o ¯ ˆ ¯ Re f gˆ = Re gˆfˆ. (1.13). n o n o ¯ˆ ˆ ¯ Re if gˆ = −Re iˆ gf .. (1.14). Ainda,. n o n o ∂ h n ˆ¯oi ˆ ¯ Re f gˆ = Re ft gˆ + Re fˆg¯ˆt . (1.15) ∂t Demonstração. Com efeito, mostraremos primeiramente a validade de (1.13): n o Re fˆg¯ˆ = Re {(f1 + if2 ) (g1 − ig2 )} = Re {(f1 g1 + f2 g2 ) + i (f2 g1 − f1 g2 )} = Re {(g1 f1 + g2 f2 ) + i (g2 f1 − g1 f2 )} n o ¯ = Re {(g1 + ig2 ) (f1 − if2 )} = Re gˆfˆ . Ainda, analisando o lado esquerdo de (1.14), temos:. n o Re ifˆg¯ˆ = Re {i (f1 + if2 ) (g1 − ig2 )} = Re {i [(f1 g1 + f2 g2 ) + i (f2 g1 − f1 g2 )]} = Re {− (f2 g1 − f1 g2 ) + i (f1 g1 + f2 g2 )} = f1 g2 − f2 g1 . 30. (1.16).

(53) Agora,. n o ¯ −Re iˆ g fˆ = −Re {i (g1 + ig2 ) (f1 − if2 )} = −Re {i [(g1 f1 + g2 f2 ) + i (g2 f1 − g1 f2 )]} = −Re {− (g2 f1 − g1 f2 ) + i (g1 f1 + g2 f2 )} = g2 f1 − g1 f2 .. (1.17). Portanto de (1.16) e (1.17) segue a validade da igualdade (1.14). Por m, mostremos a última igualdade: Por um lado, temos. n o n o ¯ ˆ Re ft gˆ + Re fˆg¯ˆt = Re {(f1 t + if2 t ) (g1 − ig2 )} + Re {(f1 + if2 ) (g1 t − ig2 t )} = Re {(f1 t g1 + f2 t g2 ) + i (f2 t g1 − f1 t g2 )} + Re {(f1 g1 t + f2 g2 t ) + i (f2 g1 t − f1 g2 t )} = f1 t g1 + f2 t g2 + f1 g1 t + f2 g2 t .. (1.18). E por outro lado,. n o ∂ ∂ Re fˆg¯ˆ = Re {(f1 g1 + f2 g2 ) + i (f2 g1 − f1 g2 )} ∂t ∂t ∂ ∂ ∂ = (f1 g1 + f2 g2 ) = (f1 g1 ) + (f2 g2 ) ∂t ∂t ∂t = f1 t g1 + f1 g1 t + f2 t g2 + +f2 g2 t . Logo, de (1.18) e (1.19) segue (1.15).. 31. (1.19).

(54) Capítulo 2 Existência e Unicidade de Solução 2.1 Introdução e o Problema Principal Neste capítulo vamos obter a existência e unicidade de solução para o modelo (6)-(7), apresentado na introdução:.       . utt + uxxxx − µuxxtt + δθxx = 0, ∀ (x, t) ∈ R × [0, +∞).      . τ qt + q + kθx = 0, ∀ (x, t) ∈ R × [0, +∞). θt + kqx − δuxxt = 0, ∀ (x, t) ∈ R × [0, +∞) u (x, 0) = u0 (x), ut (x, 0) u1 (x), θ (x, 0) = θ0 (x), q (x, 0) = q0 (x), ∀x ∈ R (2.1). onde µ, δ, k e τ são constantes positivas dadas e u := u (x, t), θ := θ (x, t) e. q := q (x, t), com x ∈ R e t ∈ [0. + ∞). No que segue, vamos descrever o procedimento que será usado para provar a existência e unicidade do. problema de valor inicial (PVI) (2.1). acima: Primeiramente aplicaremos uma mudança de variável adequada em (2.1) com o objetivo de reescrevê-lo na forma. (. d dt Z. = (A + B) Z. Z(0) = Z0. ,. onde A e B são operadores lineares denidos num certo espaço de Hilbert H, 32.

(55) o qual será descrito posteriormente.. Teorema 1.37 (de Lumer-Phillips), provaremos que o operador A é dissipativo e maximal. Ainda, será provado que B é Após, a m de utilizar o. um operador linear limitado em H. Por m, de posse dos resultados acima descritos e fazendo uso da teoria de. Distribuições e Semi-Grupos será possível provar o seguinte resultado:. Teorema 2.1. O Problema de Cauchy descrito em (2.1) possui única solução Z = {u, v, θ, q}. Isto é, existe único Z ∈ C (R+ ; D) ∩ C 1 ([0, ∞); H). que seja solução de (2.1), onde D := H 3(R) × H 2(R) × H 1(R) × H 1(R).. 2.2 Resultados Preliminares Considerando a mudança de variável v = ut e aplicando uma pertubação u na primeira equação de (2.1), para quaisquer (x, t) ∈ R × [0, +∞), podemos reescrever tal PVI como.   ut = v   −1 −1  −1   v + I − µ ∂ 2 (u ∂2 ∂2 t xxxx + u) + δ I − µ ∂x2 θxx = I − µ ∂x2 u ∂x2 , (2.2)   θt + kqx − δvxx = 0     qt + τ −1 q + τ −1 kθx = 0 com condições iniciais dadas por. u(0, x) = u0 (x), v(0, x) = v0 (x), θ(0, x) = θ0 (x), q(0, x) = q0 (x).. Observação 2.2. Note que a forma naqual o PVI (2.1) foi reescrito está ∂2 bem posto já que o operador I − µ 2 é um isomorsmo (veja Medeiros ∂x. and Miranda (2000)) portanto,. . ∂2 I −µ 2 ∂x 33. −1. existe..

(56) T. Feito isto, ponhamos Z(x, t) := Z = [u v θ q] e. Z0 (x) := Z0 = [u0 (x) v0 (x) θ0 (x) q0 (x)]T , para todo x ∈ R e todo t > 0. E, além disso, sejam A e B duas matrizes dadas por:. . 0 I 0 0  −1 −1  − I − µ ∂2 ∂4 ∂2 + I 0 −δ I − µ 0 2 4  ∂x ∂x ∂x2 A=  ∂2 ∂ 0 δ 0 −k ∂x  ∂x2 ∂ 0 0 −τ −1 k ∂x −τ −1 I e. . 0.   I − µ ∂ 2 −1  ∂x2 B=  0  0.      (2.3)  .     .  . (2.4). Com o que temos em (2.3) e (2.4) podemos reescrever (2.2) como:. (. d dt Z. = (A + B)Z, ∀ (x, t) ∈ R × [0, +∞) Z(x, 0) = Z0 , ∀x ∈ R. .. (2.5). Antes de denirmos os operadores lineares A e B , os quais foram citados no início deste capítulo, tratemos de exibir o espaço H que estes estarão denidos, assim como o produto interno e norma em H. Seja assim, H o espaço dado por. H = H 2 (R) × H 1 (R) × L2 (R) × L2 (R).. (2.6). Em H denimos a forma bilinear h·, ·iH : H × H −→ R onde para T. T. quaisquer Z1 = [u1 v1 θ1 q1 ] , Z2 = [u2 v2 θ2 q2 ] pertencentes a H, temos:. hZ1 , Z2 iH = hu1 , u2 i+hu1xx , u2xx i+hv1 , v2 i+µ hv1x , v2x i+hθ1 , θ2 i+τ hq1 , q2 i , (2.7) onde h·, ·i é o produto interno do L2 (R) denido no 34. Lema 1.11..

(57) Observação 2.3. Note que a forma bilinear h·, ·iH : H × H −→ R denida acima é um produto interno de H. Proposição 2.4. Tem-se que H dado em o produto interno denido em (2.7).. (2.6). é um Espaço de Hilbert com. Demonstração. Ora, como H p(R) para p > 1 é um espaço de Hilbert. Logo, como o produto cartesiano nito de espaços de Hilbert e o L2 (R), são espaços de Hilbert, segue que H denido em (2.6) também o é. Ainda, em H denimos a norma abaixo:. kZk2H = kuk2 + kuxx k2 + kvk2 + µkvx k2 + kθk2 + τ kqk2 , ∀Z ∈ H. (2.8). à qual é induzida pelo produto interno (2.7). Agora, seja D ⊆ H dado por. n o T 3 2 1 1 D = [u v θ q] ∈ H; u ∈ H (R), v ∈ H (R), θ ∈ H (R) e q ∈ H (R) , ou ainda, (2.9). D = H 3 (R) × H 2 (R) × H 1 (R) × H 1 (R).. Assim, em D denimos o operador A : D ⊆ H −→ H o qual para qualquer Z ∈ D é dado por:. . v −1 −1  −1  − I − µ ∂2 u ∂2 ∂2 xxxx − I − µ ∂x2 u − δ I − µ ∂x2 θxx  ∂x2 AZ =   δvxx − kqx  −τ −1 q − τ −1 kθx.      . (2.10)  . Queremos denir também o operador B : D ⊆ H −→ H, onde. . . 0    I − µ ∂ 2 −1   ∂x2 u  BZ =   , ∀Z ∈ D.   0   0 35. (2.11).

(58) Observação 2.5. Note que, de. (2.3)-(2.4). e (2.10)-(2.11), segue que. (A + B)Z = AZ + BZ, para todo Z ∈ D. No que se segue, provaremos que o operador linear A denido em (2.10). teorema de Lumer-Phillips, isto é, iremos mostrar que A é dissipativo e maximal. Mas, inicialmente vejamos alguns Lemas técnicos. está nas hipóteses do. que irão auxiliar na prova destes resultados.. Lema 2.6. Para quaisquer f, g ∈ H, vale Z " R. −1 # Z ∂2 ∂ I − µ 2 f I − µ 2 g dx = (f g) dx. ∂x ∂x R 2. Demonstração. Sejam f, g duas aplicações quaisquer de H. Daí −1 # Z " 2 ∂ ∂2 I − µ 2 f I − µ 2 g dx ∂x ∂x R # " −1 Z ∂2 ∂2 = I − µ 2 f g − µ 2 g dx ∂x ∂x R " # −1 −1 # 2 Z Z " ∂2 ∂2 ∂ = I − µ 2 f g dx − µ g dx. I −µ 2 f ∂x ∂x ∂x2 R R Considerando a derivada no sentido das distribuições, observe que. Z " R. " −1 # 2 −1 # Z 2 2 ∂ ∂ ∂ ∂ I −µ 2 f g dx = −µ I − µ f g dx. 2 2 ∂x ∂x2 ∂x ∂x R 2. Assim:. Z ". −1 # ∂ ∂2 I − µ 2 f I − µ 2 g dx ∂x ∂x R " −1 # −1 # Z " Z ∂2 ∂2 ∂2 = I − µ 2 f g dx − µ I − µ 2 f g dx 2 ∂x ∂x R R ∂x 2. 36.

(59) Z ". −1 −1 # 2 2 ∂ ∂ ∂ = I − µ 2 f − µ 2 I − µ 2 f g dx ∂x ∂x ∂x R −1 # Z " Z ∂2 ∂2 = I −µ 2 I − µ 2 f g dx = (f g) dx. ∂x ∂x R R 2. Concluindo assim, a prova do Lema. Nos próximos dois Lemas iremos utilizar o resultado enunciado e proT. vado acima. Além disso, estaremos considerando [u v θ q]. um elemento. qualquer de D ⊆ H. Sendo assim, temos:. Lema 2.7. Sendo u e v funcionais quaisquer de H 3(R) e H 2(R), respectivamente, segue que −1 # Z " Z 2 ∂ −µ I − µ 2 uxxxx vx dx = − uxx vxx dx ∂x R R x " −1 # Z 2 ∂ + I − µ 2 uxxxx v dx. ∂x R. E ainda, −1# −1# Z " Z Z " 2 2 ∂ ∂ −µ I − µ 2 u vx dx = − uv dx + I − µ 2 u v dx. ∂x ∂x R R R x. Demonstração. Primeiramente, provemos a primeira igualdade. Z " −µ R. −1 # −1 # Z " 2 ∂ ∂ I − µ 2 uxxxx vx dx = µ I − µ 2 uxxxx vxx dx ∂x ∂x R x −1 # Z " ∂2 = − I − µ 2 uxxxx [−µvxx ] dx ∂x R 2. Somando e subtraindo adequadamente o operador identidade I , obtemos:. 37.

(60) Z " −µ = = + = =. −1 # ∂ I − µ 2 uxxxx vx dx ∂x R x# " Z −1 ∂2 ∂2 I − µ 2 uxxxx I − µ 2 − I v dx − ∂x ∂x R " # −1 Z ∂2 ∂2 I − µ 2 uxxxx − I − µ 2 v dx ∂x ∂x R " # −1 Z ∂2 I − µ 2 uxxxx v dx ∂x R −1 # Z Z " ∂2 I − µ 2 uxxxx v dx − uxxxx v dx + ∂x R R " −1 # Z Z 2 ∂ − uxx vxx dx + I − µ 2 uxxxx v dx. ∂x R R 2. Provando então, o que queríamos. Agora, mostraremos a validade da segunda armação deste lema. Assim,. Z " −µ = = = = + =. −1 # ∂ I − µ 2 u vx dx ∂x R x " −1 # Z 2 ∂ µ I − µ 2 u vxx dx ∂x R −1 # Z " ∂2 − I − µ 2 u [−µvxx ] dx ∂x R " −1 # Z 2 ∂ ∂2 − I −µ 2 u I − µ 2 − I v dx ∂x ∂x R " # −1 Z ∂2 ∂2 − I −µ 2 u I − µ 2 v dx ∂x ∂x R " # −1 Z ∂2 I − µ 2 u v dx ∂x R −1 # Z Z " ∂2 − uv dx + I − µ 2 u v dx. ∂x R R 2. 38.

(61) Concluindo a prova do lema.. Lema 2.8. Para todo v ∈ H 2(R) e todo θ ∈ H 1(R) temos que: −1 # −1 # Z " Z Z " 2 2 ∂ ∂ I − µ 2 θxx vx dx = −δ θvxx dx+δ I − µ 2 θxx v dx. −µδ ∂x ∂x R R R x. Demonstração. Nas hipóteses deste lema e utilizando o Lema 2.6 temos −1 # ∂ I − µ 2 θxx vx dx µδ ∂x R # x " Z −1 ∂2 µ I − µ 2 θxx vxx dx ∂x R " −1 # Z 2 ∂ − I − µ 2 θxx [−µvxx ] dx ∂x R " −1 # Z ∂2 ∂2 I − µ 2 − I v dx − I − µ 2 θxx ∂x ∂x R " # −1 Z ∂2 ∂2 − I − µ 2 θxx I − µ 2 v dx ∂x ∂x R " # −1 Z ∂2 I − µ 2 θxx v dx ∂x R −1 # Z Z " 2 ∂ − uxxxx v dx + I − µ 2 θxx v dx ∂x R R " −1 # Z Z ∂2 − θvxx dx + I − µ 2 θxx v dx. ∂x R R Z ". − = = = = + = =. 2. Mostrando, assim, o que queríamos. Tendo-se a validade dos. Lemas técnicos 2.7 e 2.8 estamos em con-. dições de enunciar e provar o seguinte resultado:. Teorema 2.9. O operador linear A dado em (2.10) é dissipativo, isto é, para todo Z ∈ D segue que hAZ, ZiH 6 0, onde tal produto interno é o que está denido em (2.7). 39.

(62) Demonstração. Seja Z = [u v θ q]T ∈ D qualquer. Daí, aplicando AZ e Z em h·, ·iH temos. hAZ, ZiH = hv, ui + hvxx , uxx i *" −1 −1 −1 # + 2 2 2 ∂ ∂ ∂ + − I − µ 2 uxxxx − I − µ 2 u − δ I − µ 2 θxx , v ∂x ∂x ∂x *" + −1 −1 −1 # ∂2 ∂2 ∂2 + µ − I − µ 2 uxxxx − I − µ 2 u − δ I − µ 2 θxx , vx ∂x ∂x ∂x x. −1 −1 + h[δvxx − kqx ] , θi + τ −τ q − τ kθx , q . Ou ainda, usando as propriedades de produto interno. hAZ, ZiH = hv, ui + hvxx , uxx i + * * −1 −1 + 2 2 ∂ ∂ I − µ 2 u, v − I − µ 2 uxxxx , v − ∂x ∂x + * + *" −1 −1 # 2 2 ∂ ∂ − δ I −µ 2 θxx , v − µ I − µ 2 uxxxx , vx ∂x ∂x x *" + # + *" −1 −1 # 2 2 ∂ ∂ − µ I − µ 2 u , vx − µδ I − µ 2 θxx , vx ∂x ∂x x. x. + δ hvxx , θi − k hqx , θi − hq, qi − k hθx , qi . Agora, aplicaremos no que está posto acima, a denição do produto interno em L2 (R), obtendo,. Z hAZ, ZiH =. Z. vudx + vxx uxx dx R −1 −1 Z Z 2 ∂ ∂2 I − µ 2 uxxxx v dx − I − µ 2 uv dx ∂x ∂x R R " −1 # Z Z −1 ∂2 ∂2 δ I − µ 2 θxx v dx − µ I − µ 2 uxxxx vx dx ∂x ∂x R R x# # " Z " Z −1 −1 ∂2 ∂2 µ I − µ 2 u vx dx − µδ I − µ 2 θxx vx dx ∂x ∂x R R x x Z Z Z Z δ vx θ dx − k qx θ dx − q 2 dx − k θx q dx. R. − − − +. R. R. R. 40. R.

(63) Lema 2.7 e Lema 2.8. Por m, do. podemos reescrever a igualdade. anterior como. Z hAZ, ZiH =. Z. vudx + vxx uxx dx R −1 −1 Z Z 2 ∂ ∂2 I − µ 2 uxxxx v dx − I − µ 2 uv dx ∂x ∂x R R Z Z −1 ∂2 I − µ 2 θxx v dx − uxx vxx dx δ ∂x R R # Z " −1 ∂2 I − µ 2 uxxxx v dx ∂x R −1# Z Z " ∂2 I − µ 2 u v dx uv dx + ∂x R R " −1 # Z Z 2 ∂ δ θvxx dx + δ I − µ 2 θxx v dx ∂x R R Z Z Z Z 2 δ vx θ dx − k qx θ dx − q dx − k θx q dx. R. − − + − − +. R. R. R. R. Portanto,Zfazendo os devidos cancelamentos concluímos que. q 2 dx, ou seja, hAZ, ZiH 6 0.. hAZ, ZiH = − R. Logo, de fato A é um operador linear dissipativo. Na próxima seção vamos obter elementos que nos ajudem a mostrar que o operador linear A denido em (2.10) é maximal, ou de maneira mais formal, T. T. queremos provar que, dado U = [f g h p] ∈ H existe Z = [u v θ q] ∈ D tal que (2.12). (I − A) Z = U.. A existência de tal elemento Z ∈ D será consequência da aplicação do teorema de Lax-Milgran em operadores b(·, ·) e F (·) adequados, denidos em um determinado Espaço de Hilbert K. Veremos que, de acordo como serão denidos, b será uma forma bilinear contínua e coerciva sobre K e F pertencerá ao dual de K. T. Analisando então a igualdade (2.12) temos que Z = [u v θ q] deverá satisfazer o seguinte sistema 41.

(64)   u−v =f     u xxxx + u + δθxx + v − µvxx = g − µgxx .  kq − δv + θ = h  x xx     (1 + τ )q + kθ = τ p. (2.13). x. Daí, isolando v e q na primeira e quarta linha de (2.13) temos, respectivamente, que. τ k p− θx . 1+τ 1+τ Substituindo então (2.14) em (2.13), segue que ( uxxxx − µuxx + 2u + δθxx = f + g − µgxx − µfxx v =u−f e q =. θ − δuxx −. k2 1+τ θxx. =h−. kτ 1+τ px. + δfxx. (2.14). (2.15). Observação 2.10. Veja que tendo-se as igualdades dadas em (2.14), temos que encontrar Z que satisfaça (2.13), o qual é equivalente a solucionar o sistema (2.15).. 2.3 Os Operadores b(·, ·) e F (·) Considere o espaço K dado por. K = H 2 (R) × L2 (R). Note que com argumentos semelhantes aos usados na Proposição. 2.4. concluímos que K é Espaço de Hilbert com o produto interno proveniente dos espaços H 2 (R) e L2 (R). No que segue vamos denir os operadores b(·, ·) e F (·), os quais nos referimos anteriormente. Seja b : K × K −→ R, onde para quaisquer V =. [ω η]T , J = [u θ]T ∈ K, temos. b(J, V ) = huxx , ωxx i + µ hux , ωx i + 2 hu, ωi k2 − δ hθx , ωx i + hθx , ηx i + δ hux , ηx i + hθ, ηi . 1+τ 42. (2.16).

(65) Abrindo o produto interno de L2 (R) dado no. Lema 1.11,. temos o. operador b possui a forma integral. Z. Z. b(J, V ) =. Z. uxx ωxx dx + µ. ux ωx dx + 2 uω dx R R R Z Z Z 2 Z k − δ θx ωx dx + θx ηx dx + δ ux ηx dx + θη dx. 1+τ R R R R. Por m, dena o operador F : K −→ R por. Z. Z. (f + g)ω dx − µ (f + g)ωxx dx (2.17) R Z Z kτ hη dx + pηx dx + δ fxx η dx, ∀ V = (ω, η) ∈ K. 1+τ R R R. F (V ) =. ZR +. Antes de tratarmos das propriedades à cerda dos operadores b e F denidos acima, veja que se multiplicarmos a primeira equação de (2.15) por. ω e a segunda por η , e após integrarmos ambas as equações em R teremos ainda um novo sistema equivalente a (2.15), o qual é dado por:. R R R R  u ω dx − µ u ωdx + 2 uω dx + δ  xxxx xx  R R R R θxx ω dx  R R R   = R (f + g)ω dx − µ R gxx ω dx − µ R fxx ω dx . R R R k2  θη dx − δ u η dx − θ η dx  R R xx 1+τ R xx   R R R   = hη dx − kτ p η dx + δ f η dx R x. 1+τ. R. R xx. E mais, somando as suas duas equações, o novo sistema dado acima, pode ser escrito como. " b. u θ. # " ,. ω η. #!. " =F. ω. #!. " ,∀. η. u θ. # " ,. ω η. # ∈ K.. (2.18). Passaremos agora a provar algumas propriedades dos operadores b(·, ·) e F (·) que serão importantes para aplicarmos o Teorema de. 43. Lax-Milgran..

(66) Lema 2.11. O operador b : K × K −→ R denido em bilinear e F : K −→ R dado em (2.17) é linear.. (2.16). é uma forma. Demonstração. O resultado segue da forma na qual os operadores b(·, ·) e F (·) estão denidos. Pois, o produto interno em L2 (R) é uma forma bilinear e , portanto, b(·, ·) também será. Já F (·) é uma soma nita de integrais sobre R, e portanto linear. Os próximos dois resultados tratam de importantes propriedades de. b(·, ·) e F (·).. Proposição 2.12. A forma bilinear b(·, ·) denida em coerciva.. (2.16). é contínua e. Demonstração. Provaremos primeiramente a continuidade de b(·, ·). Pelas desigualdades triangular e de Hölder (Proposição 1.14), vem |b(J, V )| 6 | huxx , ωxx i | + µ| hux , ωx i | + 2| hu, ωi | + δ| hθx , ωx i | k2 | hθx , ηx i | + δ| hux , ηx i | + | hθ, ηi | + 1+τ 6 kuxx kkωxx k + µkux kkωx k + 2kukkωk + δkθx kkωx k (2.19) k2 + kθx kkηx k + δkux kkηx k + kθkkηk. 1+τ k2 Tomando, C0 = max 2, δ, µ, , obtemos a seguinte majoração: 1+τ b(J, V )| 6 C0 (kuxx kkωxx k + kux kkωx k + kukkωk + kθx kkωx k + kθx kkηx k + kux kkηx k + kθkkηk) 6 C0 (kuxx k + kuk + kθx k + kθk) (kωxx k + kωk + kηx k + kηk) = C0 (kukH 2 + kθkH 1 ) (kωkH 2 + kηkH 1 ) = C0 kZkK kV kK , ∀Z, V ∈ K. Portanto, |b(J, V )| 6 C0 kZkK kV kK , para qualquer (J, V ) ∈ K × K e pela. Denição 1.7, b(·, ·) é contínuo.. 44.

(67) k2 temos que Ainda, pondo C1 = min 1, 1+τ b(J, J) = huxx , uxx i + µ hux , ux i + 2 hu, ui − δ hθx , ux i k2 + hθx , θx i + δ hux , θx i + hθ, θi 1+τ k2 kθx k2 + kθk2 = kuxx k2 + µkux k2 + 2kuk2 + 1+τ 2 2 2 > C1 kuxx k + kuk + kθx k + kθk2 = C1 kuk2H 2 + kθk2H 1 = C1 kZk2K , ∀V ∈ K. Logo, b(J, J) > C1 kJk2K , para todo V ∈ K. Donde pela. Denição. 1.7 (ii), segue que b(·, ·) é coerciva. Concluindo assim a prova.. Proposição 2.13. O funcional linear F denido em (2.17) pertence ao dual de K. Demonstração. Como por denição F (·) é linear, para que F ∈ K0 é suciente que F (·) seja contínuo. Então, vamos mostrar tal continuidade. T. Seja V = [ω, η] ∈ K e considere a constante. C2 = max Daí, |F (V )| 6. + 6 + 6 + 6. kτ kf + gk, (khk + δkfxx k), µkf + gk, kpk . 1+τ

(68) Z

(69) Z

(70)

(71) Z

(72)

(73)

(74)

(75)

(76) (f + g)ω dx

(77) + µ

(78) (f + g)ωxx dx |+| hη dx

(79)

(80)

(81)

(82)

(83) R R R

(84) Z

(85)

(86) Z

(87)

(88)

(89)

(90) kτ

(91)

(92)

(93) + δ

(94) fxx η dx

(95) p η dx x

(96)

(97)

(98) 1+τ

(99) R Z Z R Z |(f + g)ω| dx + µ |(f + g)ωxx | dx + |hη| dx R R Z ZR kτ |px η| dx + δ |fxx η| dx 1+τ R R kf + gkkωk + µkf + gkkωxx k + khkkηk (2.20) kτ kpkkηx k + δkfxx kkηk 1+τ C2 (kωxx k + kωk + kηx k + kηk). = C2 (kωkH 2 + kηkH 1 ) = C2 kV kK . 45.

(100) Note que a validade de (2.20) é devido a. Desigualdade de Hölder.. Portanto, como visto acima, |F (V )| 6 C2 kV kK , para todo V ∈ K. O que implica na continuidade da F (·). Tendo-se provado as duas Proposições anteriores enunciaremos o seguinte teorema:. Teorema 2.14. Existe único J = [u θ]T ∈ K tal que a igualdade " b. u θ. # " ,. ω. #!. η. " =F. ω. #!. η. " ,∀. ω η. #. ∈ K.. é satisfeita para todo V = [ω η]T ∈ K. Demonstração. Pela Proposição 2.12 temos a continuidade e coercitividade da forma bilinear b(·, ·). Já pela Proposição 2.13 obtemos que o funcional linear F (·) pertence a K0 (espaço dual de K). Logo estamos nas hipóteses do. Teorema 1.8 (de Lax-Milgran ).. Por-. tanto existe único J ∈ K tal que. b(J, V ) = F (V ), ∀V ∈ K, provando assim o que queríamos. O teorema acima já nos garante a existência de u ∈ H 2 (R) e θ ∈ L2 (R). Além disso, nos garante a unicidade dos mesmos. T. Porém, para que estes componham tal Z = [u v θ q] , que satisfaz (2.13), é necessário que u ∈ H 3 (R), v ∈ H 2 (R), θ ∈ H 1 (R) e q ∈ H 1 (R). E am de obtermos isto que temos o próximo resultado.. Proposição 2.15. Temos que J = [u θ]T dado pelo Teorema 2.14 é tal que u ∈ H 3 (R) e θ ∈ H 1 (R). Além disso, existem e são únicos v ∈ H 2(R) e q ∈ H 1(R) de tal modo que Z = [u v θ q]T satisfaz o sistema (2.13). 46.

(101) Demonstração. Consideremos aqui, J = [u θ]T dado pelo Teorema 2.14. Em (2.18) tomando ω ≡ 0 e aplicando J dado acima, segue que. k2 1+τ. Z. Z. Z. θx ηx dx + δ ux ηx dx + θη dx (2.21) R RZ Z Z R kτ pηx + δ fxx η dx, ∀η ∈ L2 (R) = hη dx + 1+τ R R R. Em particular, assumindo η uma aplicação qualquer em. D. (R) e ana-. lisando cada parcela da equação (2.21) como a derivada de uma distribuição fundamental (já que θ, θx , ux , h, p, fxx ∈ L1loc (R)), obtemos. k2 − 1+τ. Z. Z. Z. θxx η dx − δ uxx η dx + θη dx R RZ Z Z R kτ px η + δ fxx η dx, ∀η ∈ = hη dx − 1 + τ R R R. D. (R). Segue daí e da igualdade de funções no sentido das distribuições, que. kτ k2 θxx − δuxx + θ = h − px + δfxx em − 1+τ 1+τ. D. 0. (R).. Com isto, segue que θ é solução da equação. kτ k2 θxx = δuxx − θ + h − px + δfxx ∈ H −1 (R). (2.22) 1+τ 1+τ ∂2 : H 1 (R) → H −1 (R) é isometria e, por Como o operador I − 2 ∂x −1 (2.22) temos, θxx ∈ H (R) segue que (2.23). θ ∈ H 1 (R).. Considerando agora em (2.18) η ≡ 0 e com argumentos análogos aos utilizados acima, segue que. Z. Z. Z. uxxxx ω dx − µ ZR =. uxx ω dx + 2 ZR. uω dx + δ R. (f + g)x ω dx, ∀ω ∈. (f + g)ω dx + R. Z. R. 47. D. θxx ω dx R. (R).. (2.24).

(102) Donde,. uxxxx − µuxx + 2u + δθxx = f + fx + g + gx em. D. 0. (R).. Assim, U é solução da equação. uxxxx = µuxx − 2u − δθxx + f + fx + g + gx ∈ H −1 (R). (2.25) ∂2 : H 1 (R) → H −1 (R) e por (2.25) Portanto, da isometria I − 2 ∂x −1 concluímos que uxxxx ∈ H (R). Daí, (2.26). u ∈ H 3 (R).. Agora, como por (2.14) v = u − f , tendo-se que f ∈ H 2 (R) e por (2.26) temos u ∈ H 3 (R) ⊆ H 2 (R), concluímos que (2.27). v ∈ H 2 (R). Por m, de (2.14) e (2.13), temos que. q=. τ k p− θx e qx = k −1 δvxx − k −1 θ + k −1 h 1+τ 1+τ. das quais segue que q ∈ L2 (R) e qx ∈ L2 (R), respectivamente. Portanto, (2.28). q ∈ H 1 (R). Logo, por (2.26), (2.27), (2.23) e (2.28) obtemos a existência de. Z = [u v θ q]T ∈ H 3 (R) × H 2 (R) × H 1 (R) × H 1 (R) = DA . Além disso, por construção segue que Z é único. Finalmente, tendo-se provado o resultado anterior estamos em condições de provar o seguinte teorema:. Teorema 2.16. O operador linear A denido em. 48. (2.10). é maximal..

(103) Demonstração. Dado U = [f g h p]T ∈ H temos pela Proposição 2.15 que T. existe único Z = [u v θ q] ∈ DA que satisfaz o sistema (2.13). Mas, dizer que Z satisfaz (2.13) é equivalente a dizer que. (I − A) Z = U. T. Logo, em resumo, dado U = [f g h p]. ∈ H, existe único Z =. [u v θ q]T ∈ DA tal que (I − A) Z = U , ou ainda Im(I − A) = DA . Portanto, A é maximal.. 2.4 Prova do Teorema 2.1 O que faremos agora, é provar o resultado principal deste capítulo apresen-. Teorema 2.1, ou seja, mostrar a existência e unicidade de solução para o Problema de Cauchy (2.1).. tado no. Para isso, veremos uma sequência de resultados que nos levará a concluir o que queremos.. Proposição 2.17. Seja A : DA −→ H o operador linear dado em (2.10). Então, A é gerador innitesimal de um C0-semigrupo de contrações em H. Demonstração. Pelo Teorema 2.9, A é dissipativo e pelo Teorema 2.16 o mesmo é maximal. Ainda, observando que DA é denso em H. Portanto, o operador linear. A está nas hipóteses do. Teorema 1.8 de Lax-Milgran.. Logo, A é gerador innitesimal de um C0 -semigrupo de contrações em. H, como queríamos provar. Antes de prosseguirmos obtendo resultados que nos levem a provar o. Teorema 2.1, vejamos um resultado a cerca do operador B dado em (2.11). Lema 2.18. O operador linear B denido em. (2.11). é limitado.. Demonstração. Com efeito, o fato de B ser limitado é uma consequência do Lema 1.31. 49.

(104) Proposição 2.19. O operador linear A + B : D −→ H é gerador innitesimal de um C0-semigrupo S(t) em H. Demonstração. De fato, pela Proposição 2.17 segue que A é gerador innitesimal de um C0 -semigrupo em H, digamos que tal semigrupo é denotado por {T (t)} ⊆ L(H). Pelo. Teorema 1.38, temos que existem M > 1 e β ∈ R tais que kT (t)kL(H) 6 M eβt , para todo t > 0.. Lema 2.18 temos que B é um operador linear limitado. segue do Teorema 1.39 que A + B é gerador innitesimal. Ainda, pelo Logo,. de um C0 -semigrupo S(t) em H. Ainda, tal semigrupo satisfaz kS(t)k 6. M e(β+M kBk)t . De posse dos dois últimos resultados, estamos aptos a apresentar uma prova do Teorema. 2.1 e de um resultado complementar, os quais dizem que:. O Problema de Cauchy descrito em (2.1) possui única solução Z = {u, v, θ, q}. Isto é, existe único Z ∈ C (R+ ; D) ∩ C 1 ([0, ∞); H) que seja solução de (2.1), onde D := H 3 (R) × H 2 (R) × H 1 (R) × H 1 (R).. Além disso,. Proposição 2.20. Se tomarmos Z0 = (u0(x), u1(x), θ0(x), q0(x)) ∈ D A2 em (2.1), isto é, Z0 ∈ H 4 × H 3 × H 2 × H 2 temos que (2.1) possui uma única solução forte . Z ∈ C R+ ; D A2. . ∩ C 1 ([0, ∞); D (A)) .. Demonstração. (Teorema 2.1 e Proposição 2.20) 50. (2.29).