Estudo de metodologias para identificação dos parâmetros de motores de corrente contínua e imã permanente, e validação experimental do modelo dinâmico através de técnicas de controle moderno

(1)

DEPARTAMENTO ACAD ˆ

EMICO DE ENGENHARIA EL ´

ETRICA

CURSO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAC

¸ ˜

AO

WAGNER DE SOUZA CHAVES

ESTUDO DE METODOLOGIAS PARA IDENTIFICAC

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AO DOS

PAR ˆ

AMETROS DE MOTORES DE CORRENTE CONT´INUA E IM ˜

A

PERMANENTE, E VALIDAC

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AO EXPERIMENTAL DO MODELO

DIN ˆ

AMICO ATRAV ´

ES DE T ´

ECNICAS DE CONTROLE MODERNO.

TRABALHO DE CONCLUS ˜

AO DE CURSO

CORN ´ELIO PROC ´OPIO 2016

(2)

ESTUDO DE METODOLOGIAS PARA IDENTIFICAC

¸ ˜

AO DOS

PAR ˆ

AMETROS DE MOTORES DE CORRENTE CONT´INUA E IM ˜

A

PERMANENTE, E VALIDAC

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AO EXPERIMENTAL DO MODELO

DIN ˆ

AMICO ATRAV ´

ES DE T ´

ECNICAS DE CONTROLE MODERNO.

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao De-partamento Acadêmico de Engenharia Elétrica da Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Cam-pus Cornélio Procópio como requisito parcial para obtenção do t´ıtulo de Bacharel em Engenharia de Controle e Automação.

Orientador: Prof. Dr. Marcio Aur´elio Furtado Montezuma

Co-orientador: Prof. Dr. Alessandro do Nasci-mento Vargas

CORN ´ELIO PROC ´OPIO 2016

(3)

Departamento Acadêmico de Elétrica

Curso de Engenharia de Controle e Automação

FOLHA DE APROVAÇÃO

Wagner de Souza Chaves

Estudo de metodologias para identificação dos parâmetros de motores de corrente contínua e imã permanente, e validação experimental do modelo dinâmico através de técnicas de controle moderno

Trabalho de conclusão de curso apresentado às 18:00hs do dia 17/11/2016 como requisito parcial para a obtenção do título de Engenheiro de Controle e Automação no programa de Graduação em Engenharia de Controle e Automação da Universidade Tecnológica Federal do Paraná. O candidato foi arguido pela Banca Avaliadora composta pelos professores abaixo assinados. Após deliberação, a Banca Avaliadora considerou o trabalho aprovado.

______________________________________________

Prof(a). Dr(a). Marcio Aurelio Furtado Montezuma - Presidente (Orientador)

______________________________________________ Prof(a). Dr(a). Alessandro do Nascimeto Vargas - (Coorientador)

______________________________________________ Prof(a). Dr(a). Marcelo Favoretto Castoldi - (Membro)

______________________________________________ Prof(a). Dr(a). Emerson Ravazzi Pires da Silva - (Membro)

(4)

(5)

Primeiramente agradec¸o a Deus por ter me dado a oportunidade de chegar nesta etapa da minha vida e por me guiar durante todos esses anos.

Agradeço aos professores Márcio Aurélio Furtado Montezuma e Alessandro do Nas-cimento Vargas pela ótima orientação e comprometimento, além de acreditarem na realização deste trabalho.

Aos amigos Gabriel Baptista, Arthur Brandão , Thiago Breder, Marcos Felipe, Gabriel Nassar, Max Milliam, Lucas Covinha, Daiane Correia, V´ınicius de Paula, Marco Beteto, Thiago Murilo, Thainara Araujo, Júlio Cézar, Gabriel Graziano, V´ınicius Sutério e Marcelo Minoru que estiveram presentes nos anos de faculdade em Cornélio Procópio e pelo companheirismo que resultaram em amizade.

Ainda aos amigos Marcus Medeiros, Bruno Shimada, Lucas Niro, Joana Repinaldo, Matheus Mollon e Eduardo Hideki pela ajuda em muitos trabalhos no laborat´orio de sistema automatizados (LaSisC).

Aos amigos de rep´ublica Thiago Honorato Maclovin, Eduardo Shoiti, V´ınicius Ham-moud, Ricardo Corassa, Andr´e Anhainha e Caio Siqueira.

Aos companheiros de viagem William Marques, Murilo Gentil, Matheus Pereira, Pe-dro Leme, André Rodrigues, Renan Bollu, Rodrigo, Luis Guilherme e Thiago Drummond por tornarem inesquec´ıveis as viagens entre Piraju e Cornélio Procópio.

A minha namorada Karina Pereira e nossos amigos Cristian, Luis, Donavan, Amanda, Tica e J´essica por tornarem meus finais de semana mais divertidos.

Em especial agradeço aos meus pais Eloi Penha e Walfredo, fontes da minha inspiração e determinação. As minhas irmãs Valéria e Vanessa pelo apoio e carinho oferecido, e aos meus cunhados Cristiano e Bruno pelo incentivo.

(6)

(7)

CHAVES, Wagner. Estudo de metodologias para identificação dos parâmetros de motores de corrente cont´ınua e imã permanente, e validação experimental do modelo dinâmico através de técnicas de controle moderno.. 89 f. Trabalho de Conclusão de Curso – Curso de Engenharia de Controle e Automação, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Cornélio Procópio, 2016.

Este trabalho propõe o estudo de duas metodologias para identificação dos parâmetros do modelo dinâmico de motores de corrente cont´ınua de imã permanente. A primeira consiste na aplicação da técnica de identificação de parâmetros adaptativos, e a segunda consiste na aplicação da técnica de região de confiança para m´ınimos quadrados não lineares utilizando a ferramenta Parameter Estimation do MATLAB/Simulink. Neste trabalho aplica-se também dois projetos de controle de velocidade para avaliação dos modelos, o primeiro utilizando con-trole misto H2/H∞ e o segundo utilizando alocação de polos por atribuição de autoestrutura

completa. O erro entre os resultados obtidos experimentalmente do sistema real e os resultados obtidos através da simulação serão avaliados por meio da raiz normalizada do erro quadrático médio.

Palavras-chave: Identificação dos parâmetros; Modelo dinâmico; Motor de corrente cont´ınua, Controle de velocidade.

(8)

CHAVES, Wagner. Study of Methodologies for parameters identification of permanent magnet DC motors and experimental validation of dynamic model using modern control techniques.. 89 f. Trabalho de Conclusão de Curso – Curso de Engenharia de Controle e Automação, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Cornélio Procópio, 2016.

This paper proposes a study of two methodologies to identify parameters from the dynamic model of permanent magnet DC motors. The first one consists in the application of adaptive parameters identification techniques and the second one consists in applying trust-region for nonlinear least squares techniques using MATLAB/Simulink tool. This paper also applies two projects of velocity control for evaluation of the models. The first project is about using a mixed control H2/H∞ and the second one is about using poles allocation by complete auto-structure

attribution. The error between the results experimentally obtained from the real system and the ones obtained from the simulation will be evaluated through the normalized root mean squared error.

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–

FIGURA 1 Estrutura de um motor PMDC . . . 21 –

FIGURA 2 Princ´ıpio de funcionamento do motor PMDC . . . 22 –

FIGURA 3 Circuito el´etrico do motor PMDC . . . 23 –

FIGURA 4 Diagrama de blocos do motor PMDC . . . 25 –

FIGURA 5 Etapas do procedimento de identificac¸˜ao de sistemas . . . 27 –

FIGURA 6 Sa´ıdas estimadas ω0(k) e I_a0(k) . . . 28 –

FIGURA 7 Limite para o tamanho do passo . . . 31 –

FIGURA 8 Diagrama de blocos do sistema de controle seguidor . . . 33 –

FIGURA 9 Sistema incerto . . . 35 –

FIGURA 10 Bancada de experimentos . . . 40 –

FIGURA 11 Diagrama dos experimentos . . . 41 –

FIGURA 12 Motor Maxon F2140 . . . 42 –

FIGURA 13 DriveMaxon 4-Q-DC . . . 43 –

FIGURA 14 Sensores de corrente e tens˜ao . . . 44 –

FIGURA 15 Circuito do sensor de tens˜ao . . . 45 –

FIGURA 16 Circuito do sensor de corrente . . . 45 –

FIGURA 17 Placa PCI-6221 . . . 46 –

FIGURA 18 Pinos da placa PCI-6221 . . . 47 –

FIGURA 19 Esquema el´etrico dos experimentos . . . 48 –

FIGURA 20 Programa desenvolvido para aquisic¸˜ao de dados . . . 49 –

FIGURA 21 Algor´ıtmo para identificação de parâmetros adaptativos . . . 51 –

FIGURA 22 Sub-rotina para identificação de parâmetros adaptativos . . . 51 –

FIGURA 23 (a) Sinal chirp e (b) FFT do sinal . . . 52 –

FIGURA 24 Sinal aplicado u(t) . . . 53 –

FIGURA 25 Diagrama de blocos criado no MATLAB/Simulink . . . 54 –

FIGURA 26 Janela principal do Parameter Estimation . . . 55 –

FIGURA 27 Janela de configuração de parâmetros . . . 55 –

FIGURA 28 Janela de configurac¸˜ao de experimentos . . . 56 –

FIGURA 29 Janela de configurações da estimação . . . 57 –

FIGURA 30 Janela de uma estimac¸˜ao conclu´ıda . . . 57 –

FIGURA 31 (a) Onda quadrada (b) Sinal PRBS (c) Sinal aleat´orio . . . 58 –

FIGURA 32 Sistema seguidor para controle de velocidade do motor real . . . 59 –

FIGURA 33 Sistema seguidor para controle de velocidade do modelo matem´atico . . . 59 –

FIGURA 34 Sistema ∆ . . . 61 –

FIGURA 35 Resultado da estimac¸˜ao . . . 64 –

FIGURA 36 (a) Erro de estimação para corrente de armadura (b) Erro de estimação para velocidade do rotor . . . 65 –

FIGURA 37 Identificação de parâmetros adaptativos - Validação sinal degrau . . . 66 –

FIGURA 38 Identificação de parâmetros adaptativos - Validação sinal senoidal . . . 66 –

FIGURA 39 Identificação de parâmetros adaptativos - Validação sinal triangular . . . . 66 –

FIGURA 40 (a) Velocidade real e simulada para onda quadrada (b) Corrente real e simulada para onda quadrada . . . 68

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–

FIGURA 42 Algoritmo de região de confiança para entrada de onda quadrada - Validação sinal senoidal . . . 69 –

FIGURA 43 Algoritmo de região de confiança para entrada de onda quadrada - Validação sinal triangular . . . 69 –

FIGURA 44 (a) Velocidade real e simulada para o sinal PRBS(b) Corrente real e si-mulada para o sinal PRBS . . . 71 –

FIGURA 45 Algoritmo de região de confiança para entrada do sinal PRBS - Validação sinal degrau . . . 72 –

FIGURA 46 Algoritmo de região de confiança para entrada do sinal PRBS - Validação sinal senoidal . . . 72 –

FIGURA 47 Algoritmo de região de confiança para entrada do sinal PRBS - Validação sinal triangular . . . 72 –

FIGURA 48 (a) Velocidade real e simulada para o sinal aleat´orio (b) Corrente real e simulada para o sinal aleat´orio . . . 74 –

FIGURA 49 Algoritmo de região de confiança para entrada do sinal aleatório - Validação sinal degrau . . . 75 –

FIGURA 50 Algoritmo de região de confiança para entrada do sinal aleatório - Validação sinal senoidal . . . 75 –

FIGURA 51 Algoritmo de região de confiança para entrada do sinal aleatório - Validação sinal triangular . . . 75 –

FIGURA 52 Controle misto H2/H∞- Sinal degrau . . . 80

–

FIGURA 53 Controle misto H2/H∞- Sinal de onda quadrada . . . 80

–

FIGURA 54 Controle misto H2/H∞- Sinal senoidal . . . 81

–

FIGURA 55 Atribuic¸˜ao de autoestrutura completa - Sinal degrau . . . 82 –

FIGURA 56 Atribuic¸˜ao de autoestrutura completa - Sinal de onda quadrada . . . 83 –

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–

TABELA 1 Variáveis utilizadas na descrição do motor PMDC . . . 26 –

TABELA 2 Parˆametros do motor fornecidos pelo fabricante . . . 42 –

TABELA 3 DriveMaxon 4-Q-DC . . . 43 –

TABELA 4 Pinos utilizados da PCI-6221 . . . 47 –

TABELA 5 Configurac¸˜oes dos chirps utilizados . . . 53 –

TABELA 6 Configurações iniciais de cada parâmetro . . . 56 –

TABELA 7 Configurações da estimação . . . 57 –

TABELA 8 Parˆametros identificados pelo m´etodo adaptativo . . . 64 –

TABELA 9 Configurações da identificação adaptativa . . . 64 –

TABELA 10 Identificação de parâmetros adaptativos - Comparação entre curvas reais e simuladas . . . 67 –

TABELA 11 Parˆametros estimados com sinal de onda quadrada . . . 67 –

TABELA 12 Comparac¸˜ao entre as curvas simuladas e as curvas reais para entrada de onda quadrada . . . 68 –

TABELA 13 Algoritmo de região de confiança para entrada de onda quadrada - Comparação entre curvas reais e simuladas . . . 70 –

TABELA 14 Parˆametros estimados com sinal PRBS . . . 70 –

TABELA 15 Comparac¸˜ao entre as curvas simuladas e as curvas reais para entrada PRBS . . . 71 –

TABELA 16 Algoritmo de região de confiança para entrada do sinal PRBS - Comparação entre curvas reais e simuladas . . . 73 –

TABELA 17 Parˆametros estimados com sinal aleat´orio . . . 73 –

TABELA 18 Comparação entre as curvas simuladas e as curvas reais para entrada aleatória . . . 74 –

TABELA 19 Algoritmo de região de confiança para entrada do sinal aleatório - Comparação entre curvas reais e simuladas . . . 76 –

TABELA 20 Comparação entre os parâmetros identificados e os parâmetros forneci-dos pelo fabricante . . . 76 –

TABELA 21 Comparação entre os métodos de identificação . . . 77 –

TABELA 22 Autovalores dos modelos matem´aticos obtidos . . . 78 –

(12)

LaSisC Laborat´orio de Sistemas de Controle

CC Corrente Cont´ınua

PID Proporcional, Integral e Derivativo PMDC Permanent Magnetic Direct Current

PE Persistent Excitation

LMIs Linear Matrix Inequalities

NRMSE Normalized root mean square error PRBS Pseudo-Random Binary Sequence FFT Fast Fourier Transform

(13)

Va Tensão de alimentação da armadura

Ia Corrente de armadura

e_b Forc¸a contra-eletromotriz

ω Velocidade do rotor

T_e Torque eletromagn´etico do motor

T_c Torque de carga

T_ω Torque originado pelo efeito do atrito viscoso T_ω0 Torque gerado pela in´ercia do rotor

B Atrito viscoso

J In´ercia do rotor

K_t Constante de torque

Ke Constante el´etrica

La Indutˆancia da bobina de armadura

Ra Resistˆencia de armadura

u(t) Sinal de entrada

θi Vetor de parˆametros desconhecidos

ˆ

θi Vetor de parˆametros estimados

λi Ajuste da lei adaptativa

e_i Erro entre a resposta simulada e a resposta real γi Ajuste da estimação de cada parâmetro

(14)

1 INTRODUÇ ÃO . . . 15 1.1 PROBLEMA . . . 16 1.2 JUSTIFICATIVA . . . 17 1.3 OBJETIVOS . . . 17 1.3.1 Objetivo Geral . . . 17 1.3.2 Objetivos Espec´ıficos . . . 18 1.4 ORGANIZAÇ ÃO DO TEXTO . . . 18 2 FUNDAMENTAÇ ÃO TE ÓRICA . . . 20

2.1 MOTOR DE CORRENTE CONT´INUA DE IM ˜A PERMANENTE . . . 20

2.1.1 O princ´ıpio de funcionamento . . . 21

2.1.2 Equações dinâmicas do motor de corrente cont´ınua . . . 22

2.2 IDENTIFICAÇ ÃO DE MODELOS MATEM ÁTICOS . . . 26

2.2.1 Identificação de parâmetros adaptativos . . . 28

2.2.2 Método de região de confiança para m´ınimos quadrados não lineares . . . 30

2.3 CONTROLE SEGUIDOR COM REALIMENTAC¸ ˜AO DE ESTADOS. . . 32

2.3.1 Controle misto H2/H∞por LMIs . . . 34

2.3.2 Alocação de polos por atribuição de autoestrutura completa . . . 37

2.4 RAIZ NORMALIZADA DO ERRO QUADR ´ATICO M ´EDIO . . . 39

3 DESENVOLVIMENTO . . . 40

3.1 BANCADA EXPERIMENTAL . . . 40

3.1.1 Motor Maxon F2140 com Encoder Digital acoplado . . . 42

3.1.2 Drive de acionamento Maxon 4-Q-DC . . . 43

3.1.3 Aparato com sensores de corrente e tens˜ao . . . 43

3.1.4 Placa de aquisic¸˜ao e controle PCI-6221 . . . 46

3.2 M ÉTODOS DE IDENTIFICAÇ ÃO . . . 48

3.2.1 Identificação de parâmetros adaptativos para um sistema linear de segunda ordem . 49 3.2.2 Identificação utilizando algoritmo de região de confiança para m´ınimos quadrados não lineares . . . 54

3.3 CONTROLE DE VELOCIDADE DO MOTOR DE CORRENTE CONT´INUA DE IM ˜A PERMANENTE . . . 58

3.3.1 An´alise de incertezas no modelo matem´atico . . . 60

4 RESULTADOS E DISCUSS ˜OES . . . 63

4.1 RESULTADOS DOS M ÉTODOS DE IDENTIFICAÇ ÃO . . . 63

4.1.1 Identificação de parâmetros adaptativos . . . 63

4.1.2 Identificação com o algoritmo de região de confiança para m´ınimos quadrados não lineares . . . 67

4.1.2.1 Onda quadrada . . . 67

4.1.2.2 Sinal PRBS . . . 70

4.1.2.3 Sinal aleat´orio . . . 73

4.1.3 Comparação dos resultados dos métodos de identificação . . . 76

(15)

5 CONCLUS ˜AO . . . 85 REFER ˆENCIAS . . . 87

(16)

1 INTRODUC¸ ˜AO

Nos últimos anos disseminou-se a utilização de sistemas de controle automáticos, o intuito é aperfeiçoar sistemas, ou seja, minimizar custos, tempo e maximizar a qualidade (BAYER; ARA ÚJO, 2012).

Dentre as diversas demandas para controle automático de processos está o controle de motores de corrente cont´ınua (CC) que é uma etapa necessária em diversos processos in-dustriais, por exemplo, processos de bobinamento na indústria de papel, na laminação das indústrias siderúrgicas e de alum´ınio, ou para acionamento de ve´ıculos de tração, bem como trens elétricos, carros de metrô e servomotores de manipuladores robóticos (FITZGERALD et al., 2006). Muitas aplicações que necessitam de controle de posicionamento, velocidade variável, torque constante, rápida aceleração e desaceleração ainda fazem uso de motores de corrente cont´ınua devido às suas caracter´ısticas (GONEN, 2011).

No geral, motores elétricos representam aproximadamente 30% de toda energia elétrica consumida no pa´ıs (ANEEL, 2015). Portanto, o aperfeiçoamento e aprimoramento dos motores e acionamentos elétricos têm importância não só do ponto de vista tecnológico-cient´ıfico, mas também, econômico-financeiro.

Com isso, motivos vinculados a qualidade, economia e segurança respondem perguntas relacionadas a por quê controlar sistemas (COELHO; COELHO, 2004). Porém, o grande pro-blema de controle é encontrar modelos dinâmicos que representem satisfatoriamente o sistema a ser controlado para poder projetar controladores que satisfaçam especificações de desempenho como rapidez da resposta e erro de regime nulo.

Com essa necessidade de conhecer a dinâmica de um processo, surgem estudos rela-cionados a identificação de sistemas que têm por objetivo obter um modelo, ou uma descrição matemática para um sistema dinâmico, a partir de dados, medições ou observações sobre este. Visto que este modelo é fundamental para fins de investigação cient´ıfica, projeto, previsão de comportamento, redução de custos e melhoria de desempenho (AGUIRRE et al., 2007b).

(17)

o mais pr´oximo poss´ıvel do comportamento real.

Neste contexto, o objetivo deste trabalho consiste em estudar, aplicar e validar duas técnicas de identificação para descrever o comportamento de motores CC de imã permanente. A primeira técnica é conhecida por identificação de parâmetros adaptativos e a segunda con-siste na estimação dos parâmetros utilizando o algoritmo de região de confiança para m´ınimos quadrados não lineares por meio da ferramenta Parameter Estimation do MATLAB/Simulink.

Para validação do modelo e dos parâmetros identificados utilizou-se a técnica hardware-in-the-looponde no lugar do modelo matemático utiliza-se a planta real. Foram feitos ensaios em malha aberta para vários tipos de entradas como senoidal, onda quadrada e triangular, onde avaliou-se as curvas de velocidade e corrente por meio da raiz normalizada do erro quadrático médio entre os valores resultantes da simulação e os valores obtidos experimentalmente através do sistema real.

No desenvolvimento do trabalho, para cada modelo identificado projetou-se um con-trole de velocidade utilizando o sistema seguidor com realimentação de estados (Veja a Figura 8). Para o modelo obtido com o método de identificação de parâmetros adaptativos determinou-se os ganhos da lei de controle utilizando um controle misto H2/H∞, e para o modelo

identi-ficado pelo algoritmo de região de confiança para m´ınimos quadrados não lineares os ganhos foram obtidos por alocação de polos por atribuição de autoestrutura completa. Em seguida os controladores projetados foram aplicados em um motor CC de imã permanente real para comparar os resultados obtidos de forma experimental com os obtidos por meio da simulação.

Dessa forma, é poss´ıvel comparar e tentar avaliar as vantagens e desvantagens de cada método de identificação utilizado.

1.1 PROBLEMA

Um sistema é um objeto cujo comportamento é determinado por variáveis internas que interagem e produzem sinais observáveis denominados sa´ıdas. As variáveis internas, denomi-nadas estados, representam a evolução temporal do sistema e sofrem est´ımulos externos através de entradas e perturbações (AGUIRRE et al., 2007b).

Um modelo matemático pode ser entendido como um conjunto de regras que represen-tam o comporrepresen-tamento do sistema descrevendo as relações de causa e efeito entre as variáveis de entrada e sa´ıda (AGUIRRE, 2004).

(18)

ba-seadas em modelo, por exemplo, realimentação de estados, estimador de estados, controlador proporcional, integral e derivativo (PID) ou compensadores de avanço e atraso de fase. Com isso, para projetar tais controladores e satisfazer critérios de desempenho é fundamental conhe-cer o modelo dinâmico do sistema. Para fins de controle não necessita-se encontrar um modelo matemático exato, mas é necessário um modelo que contemple a sua dinâmica principal.

Um dos grandes problemas em controlar motores CC é a inexistência de informações referentes aos seus parâmetros que fazem parte do modelo matemático, dificultando seu estudo. Ou, muitas vezes, o motor possui desgastes devido ao seu uso o que torna suas informações desatualizadas. Com isso, um modelo com parâmetros imprecisos pode causar a baixa eficiência de um sistema de controle (MOURA, 2014).

1.2 JUSTIFICATIVA

Com base no problema apresentado, a realização deste Trabalho de Conclusão de Curso torna-se interessante devido a necessidade da determinação dos parâmetros do modelo dinâmico de um motor CC, o que possibilita o estudo e análise de seu comportamento, assim como projeto e simulação de sistemas de controle baseados em modelo.

Além disso, o estudo de técnicas de identificação, assim como de sistemas de controle voltados a motores CC são importantes tanto no meio acadêmico, como também no meio indus-trial, devido a diversas aplicações e grande demanda por controladores de velocidade e posição, exigindo cada vez mais qualidade, eficiência e economia.

Outro ponto importante deste trabalho é devido ao aprendizado multidisciplinar ad-quirido durante o desenvolvimento do projeto, já que assuntos como sistemas de aquisição, máquinas elétricas, sistemas de controle, identificação de sistemas, eletrônica para condiciona-mento de sinais, acionacondiciona-mento de motores e programação são necessários para a realização dos experimentos.

1.3 OBJETIVOS

1.3.1 OBJETIVO GERAL

Este trabalho tem como objetivo estudar diferentes metodologias para identificação dos parâmetros do modelo dinâmico de um motor CC de imã permanente. Pretende-se avaliar os modelos em malha aberta e malha fechada aplicando sinais de validação para comparar as curvas de velocidade e corrente entre o sistema real e o sistema simulado. Para avaliação em

(19)

1.3.2 OBJETIVOS ESPEC´IFICOS

• Estudar a técnica de identificação de parâmetros adaptativos;

• Estudar a técnica de estimação de parâmetros pelo algoritmo de região de confiança; • Montar a bancada experimental;

• Projetar experimentos para aquisição dos dados de tensão, corrente e velocidade;

• Desenvolver um programa para aquisic¸˜ao de dados no MATLAB/Simulink em conjunto com a placa PCI-6221;

• Desenvolver um algoritmo para aplicar a técnica de identificação de parâmetros adaptati-vos;

• Estudar a ferramenta Parameter Estimation do MATLAB/Simulink;

• Desenvolver um programa para resolver o problema de otimizac¸˜ao do controle misto H2/H∞;

• Desenvolver um programa para calcular os ganhos a partir da alocação de polos por atribuição de autoestrutura completa;

• Aplicar os sinais de teste como onda quadrada, senoidal e triangular;

• Desenvolver um programa para calcular a raiz normalizada do erro quadr´atico m´edio entre as curvas reais e simuladas.

1.4 ORGANIZAC¸ ˜AO DO TEXTO

O trabalho está dividido em 5 cap´ıtulos e para melhor organização e compreensão são descritos a seguir:

• Cap´ıtulo 1: Introduc¸˜ao do tema abordado, a justificativa deste trabalho, os objetivos e os problemas enfrentados.

• Cap´ıtulo 2: Apresenta a descrição dos conceitos teóricos fundamentais para a realização deste trabalho, como motores de corrente cont´ınua de imã permanente, identificação de sistemas e técnicas de controle por realimentação de estados.

(20)

• Cap´ıtulo 3: Neste cap´ıtulo apresenta-se o desenvolvimento deste trabalho, sendo di-vidido entre os materiais utilizados nos experimentos em bancada, as metodologias de identificação de parâmetros do motor CC e as metodologias utilizadas para controle de velocidade.

• Cap´ıtulo 4: Neste cap´ıtulo são mostrados os resultados para as duas técnicas utili-zadas para identificação dos parâmetros do motor CC, assim como os resultados da aplicação das técnicas de controle para cada modelo. O objetivo deste cap´ıtulo é mostrar as comparações dos métodos de identificação e tentar mostrar as vantagens e desvanta-gens.

• Cap´ıtulo 5: Apresenta-se as considerações finais sobre o trabalho e também indicações para o desenvolvimento de trabalhos futuros.

(21)

2 FUNDAMENTAÇ ÃO TE ÓRICA

Nesta seção são apresentados os principais assuntos relacionados ao desenvolvimento deste trabalho, os quais são abordados na seguinte sequência: Motor de corrente cont´ınua de imã permanente (Seção 2.1), Identificação de modelos matemáticos (Seção 2.2) e Sistema de controle seguidor com realimentação de estados (Seção 2.3).

2.1 MOTOR DE CORRENTE CONT´INUA DE IM ˜A PERMANENTE

Nesta seção serão apresentados conceitos relacionados ao motor de corrente cont´ınua de imã permanente, assim como seu principio de funcionamento e suas equações dinâmicas.

O motor CC é uma máquina capaz de converter a energia elétrica em energia mecânica por meio da interação de um campo magnético com condutores de corrente elétrica (CHAP-MAN, 2013).

Sua construção é dada por elementos fixos e móveis, sendo que a parte fixa do motor é chamada de estator e a parte móvel é chamada de rotor. O motor CC apresenta um circuito de armadura encontrado no rotor e um circuito de campo encontrado no estator (CHAPMAN, 2013).

Os motores de corrente cont´ınua de imã permanente (PMDC - Permanent Magnetic Direct Current) possuem uma particularidade, o enrolamento de campo localizado no estator é substitu´ıdo por um imã permanente, resultando em uma construção mais simples. A vanta-gem é que os imãs permanentes não necessitam de excitação externa nem dissipam a potência correspondente para criar campos magnéticos na máquina (FITZGERALD et al., 2006).

Dessa forma, o espaço necessário para os imãs permanentes pode ser inferior ao exi-gido pelos enrolamentos de campo e, assim, as máquinas de imã permanente podem ser menores e, em alguns casos, de custo inferior aos similares com excitação externa (FITZGERALD et al., 2006).

(22)

permanen-tes não conseguem produzir uma densidade de fluxo tão elevada e além disso podem sofrer desmagnetização (CHAPMAN, 2013).

Al´em do rotor e do estator, o motor PMDC possui o comutador e as escovas como pec¸as fundamentais como podem ser vistas na Figura 1.

Rotor (Bobinas) Comutador Eixo Escova Estator (Imã)

Figura 1: Estrutura de um motor PMDC. Fonte: Adaptado de electrical4u (2016a).

2.1.1 O PRINC´IPIO DE FUNCIONAMENTO

O funcionamento do motor PMDC se baseia nas leis do eletromagnetismo. Quando a bobina é alimentada, a corrente que a percorre, gera um campo magnético em torno da arma-dura, e os ´ımãs do estator atraem ou repelem o rotor magnetizado, criando assim um binário de rotação como mostrado na Figura 2. No momento em que ocorre o alinhamento do rotor com o imã permanente, o comutador inverte o sentido da corrente na bobina fazendo com que esta seja repelida pelo estator (CHAPMAN, 2013). Devido a inércia do rotor e como a bobina já apresenta um momento angular, continua-se girando no mesmo sentido e o novo torque de-vido a força de atração ou repulsão colabora para manutenção da aceleração do movimento de rotação. Dessa forma, o ciclo se repete constantemente proporcionando a rotação do motor.

(23)

Comutador

Figura 2: Princ´ıpio de funcionamento do motor PMDC. Fonte: Adaptado de electrical4u (2016b).

O estator gera um campo magnético estático à volta do rotor. Para o motor PMDC este campo magnético é gerado através de imãs permanentes (CHAPMAN, 2013).

O rotor é constitu´ıdo por um ou mais enrolamentos. Quando estes enrolamentos são conectados a uma fonte de alimentação é gerado um campo magnético. Os pólos do campo magnético do rotor são atra´ıdos pelos pólos opostos gerados pelo estator, originando uma rotação no rotor. A medida que o motor gira, a alimentação nos enrolamentos é invertida para que os pólos magnéticos gerados pelo rotor não se alinhem com os do estator, permitindo assim uma rotação cont´ınua. Essa inversão na alimentação é denominada por comutação.

Os motores de corrente cont´ınua com escovas não necessitam de um controlador para alternar a corrente dos enrolamentos. Em vez disso, a comutação dos enrolamentos é efetuada mecanicamente. Enquanto o motor gira, as escovas deslizam sobre o comutador entrando em contato com seus segmentos. Estes segmentos são conectados a diferentes enrolamento do rotor e, consequentemente, é gerado um campo magnético, dinâmico no interior do motor.

2.1.2 EQUAÇ ÕES DIN ÂMICAS DO MOTOR DE CORRENTE CONTÍNUA

O objetivo desta seção é encontrar uma equação em espaço de estados que represente o comportamento de um motor PMDC em função de suas variáveis. Para isso, considere o circuito de armadura dado pela Figura 3.

(24)

Figura 3: Circuito el´etrico do motor PMDC. Fonte: Adaptado de Moura (2014).

Sendo que Va é a tensão de alimentação da armadura, Ra é a resistência de armadura,

L_a é a indutância da bobina de armadura e eb é uma tensão induzida que se opõe á tensão de

alimentação. A tensão induzida, ou força contra-eletromotriz é gerada através da rotação dos enrolamentos do motor por meio do campo magnético fixo gerado pelos ´ımãs permanentes.

Para obter a equação diferencial do circuito da Figura 3 é necessário fazer algumas suposições: o efeito da desmagnetização da armadura é desprez´ıvel, o circuito magnético é linear e o efeito de campo é constante já que é gerado por imãs permanentes (OGATA et al., 2003). Com isso, utilizando as leis de Kirchoff é poss´ıvel equacionar o circuito equivalente do motor:

V_a−V_Ra−V_La− e_b= 0. (1)

Reescrevendo VRae VLaem func¸˜ao da corrente Ia, tem-se:

Va− RaIa− La

d

dtIa− eb= 0, (2)

sendo que a força contra-eletromotriz e_b é diretamente proporcional á velocidade do rotor e pode ser escrita como:

e_b= K_eω , (3)

sendo Ke uma constante el´etrica.

Considere agora as caracter´ısticas mecânicas da Figura 3 sendo que ω é a velocidade do rotor, Te é o torque eletromagnético do motor, Tc é o torque de carga, J é a inércia do motor

(25)

Te− Tω0− Tω− Tc= 0, (4)

sendo que Te é proporcional a corrente da armadura, Tω0 é o torque gerado pela inércia do motor

quando o rotor sofre uma aceleração e Tω é o torque originado pelo efeito do atrito viscoso:

T_e= K_tI_a,

T_ω0= Jd

dtω ,

T_ω = Bω.

Substituindo então na Equação (4), obtém-se a seguinte equação diferencial:

K_tI_a− J d

dtω − Bω − Tc= 0, (5)

sendo Kt uma constante de torque.

Com as caracter´ısticas elétricas e mecânicas já equacionadas por (2) e (5), pode-se reescrevê-las para a corrente de armadura e velocidade angular:

d dtIa= − R_a L_aIa− K_e L_aω + V_a L_a, (6) d dtω = K_t J Ia− B Jω − T c J . (7)

Portanto, pode-se representar as Equações (6) e (7) na forma de espaço de estados:

˙x = Ax + Bu,

y = Cx + Du, (8)

sendo que x é o vetor de estados, o ponto indica a derivada temporal, u é o vetor de entradas, y é o vetor de sa´ıdas medidas e A, B, C e D são matrizes constantes para um sistema linear (OGATA et al., 2003).

(26)

" ˙ I_a ˙ ω # = " −Ra La − Ke La Kt J − B J # " I_a ω # + " ₁ La 0 0 −1 J # " V_a Tc # , " y1 y2 # = " 1 0 0 1 # " I_a ω # + " 0 0 0 0 # " V_a T_c # . (9)

Ou também, pode-se representar as Equações (6) e (7) na forma de diagrama de blo-cos. Para isto, basta aplicar a transformada de Laplace em ambas equações considerando as condições iniciais nulas.

I_a(s) =−keω (s) + Va(s) L_as+ Ra

, (10)

ω (s) =ktIa(s) − Tc(s)

Js+ B . (11)

Dessa forma, utilizando as informações das Equações (10) e (11) tem-se o diagrama de blocos que representa a dinâmica do motor PMDC.

Figura 4: Diagrama de blocos do motor PMDC. Fonte: Moura (2014).

´

E importante dizer que neste trabalho considerou-se o valor do torque de carga Tccomo

sendo nulo, já que nos experimentos para identificação dos parâmetros não serão aplicadas cargas no motor.

Na Tabela 1 encontram-se as vari´aveis utilizadas no equacionamento do modelo dinˆamico do motor PMDC e suas respectivas unidades.

(27)

S´ımbolo Descric¸˜ao Unidades

V_a Tensão de alimentação da armadura V

Ia Corrente de armadura A

e_b Forc¸a contra-eletromotriz V

ω Velocidade do rotor rad/s

T_e Torque eletromagn´etico do motor Nm

Tc Torque de carga Nm

T_ω Torque originado pelo efeito do atrito viscoso Nm

T_ω0 Torque gerado pela in´ercia do rotor Nm

B Atrito viscoso Nm.s/rad

J In´ercia do rotor Kg.m2

K_t Constante de torque Nm/A

K_e Constante el´etrica V.s/rad

L_a Indutˆancia da bobina de armadura H

Ra Resistˆencia de armadura Ω

Fonte: Autoria pr´opria.

2.2 IDENTIFICAÇ ÃO DE MODELOS MATEM ÁTICOS

Existem muitas formas de representar sistemas dinâmicos, sendo as mais comuns por equações diferenciais, funções de transferência e espaço de estados, podendo ser representadas no dom´ınio do tempo cont´ınuo ou do tempo discreto.

O processo de identificação de sistemas consiste em determinar uma representação matemática de um sistema real com o intuito de obter uma noção de seu comportamento (BIT-TENCOURT et al., 2010), ou seja, o objetivo da identificação é determinar uma função de transferência, espaço de estados ou alguma outra forma de representar a dinâmica de um sis-tema.

Alguns livros como Aguirre (2004), Coelho e Coelho (2004), Söderström e Stoica (1988) e Ljung e Glad (1994) introduzem de forma semelhante que a identificação de sistemas consiste em algumas etapas, sendo elas basicamente: medidas do processo, determinação da estrutura, estimação do modelo e validação do modelo. Como apresenta-se na Figura 5.

(28)

Medidas de processo

Determinação da estrutura

Estimação do modelo

Validação do modelo

Figura 5: Etapas do procedimento de identificac¸˜ao de sistemas. Fonte: Adaptado de (COELHO; COELHO, 2004).

A etapa de medidas do processo consiste na realização do experimento, onde é ne-cessário definir o sinal de excitação que será utilizado, o tempo de aquisição dos dados e as variáveis do processo que precisam ser aquisitadas (COELHO; COELHO, 2004).

Na etapa seguinte, defini-se uma estrutura para o modelo a partir de algum conheci-mento a priori sobre o sistema observado. As estruturas podem ser lineares ou não-lineares, no tempo cont´ınuo ou discreto, entre outras classificações (COELHO; COELHO, 2004). Neste tra-balho, assumi-se que o modelo do motor PMDC possui uma estrutura linear de segunda ordem como mostra a Equação (9).

A próxima etapa consiste em determinar a ferramenta matemática a ser usada para estimação dos parâmetros do modelo, como m´ınimos quadrados, estimação recursiva, entre outras (COELHO; COELHO, 2004).

A última etapa consiste na validação do modelo de acordo com algum critério de avaliação, comumente compara-se as respostas do sistema real com a resposta obtida pelo mo-delo estimado (COELHO; COELHO, 2004).

O objetivo deste trabalho é utilizar métodos e técnicas para obtenção dos parâmetros que descrevem o modelo matemático do motor PMDC, com o objetivo de que as sa´ıdas estima-das ω0(k) e I_a0(k) sejam suficientemente semelhantes as sa´ıdas reais ω(t) e Ia(t) ao aplicar uma

(29)

Motor PMDC Modelo dinâmico u(t) ω(t) 𝐼_𝑎(t) ω'(k) 𝐼′_𝑎(k)

Figura 6: Sa´ıdas estimadas ω0(k) e I_a0(k). Fonte: Autoria pr´opria.

Para isto serão utilizados dois métodos para determinação dos parâmetros do motor PMDC: o primeiro conhecido por identificação de parâmetros adaptativos e o segundo utili-zando o algoritmo de região de confiança para m´ınimos quadrados não lineares da ferramenta Parameter Estimation.

2.2.1 IDENTIFICAÇ ÃO DE PAR ÂMETROS ADAPTATIVOS

Esta técnica para obtenção de parâmetros de modelos matemáticos foi apresentada por Fuh e Tsai (2007) e utilizada nos trabalhos de Pujol et al. (2015), Garrido e Miranda (2012), entre outros.

Para o entendimento do método, considere o sistema da Equação (12):

˙xi= θiTgi(x, u), i = 1, ..., n, (12)

sendo x = [x1...xn]T ∈ Rno vetor de estados; u ∈ Rpo sinal de entrada; θi∈ Rni, ni≥ 0, o vetor

de parâmetros desconhecidos e g_i_{(.) ∈ R}ni_{o vetor de funções.}

O método proposto por Fuh e Tsai (2007) especifica um estimador de parâmetros dado pela Equação (13):

˙ˆx_i(t) = ˆθ_iTg_i(x, u) − λiei, (13)

(30)

simulada e a resposta real. A lei de adaptação que descreve o ajuste do parâmetro ˆθi é dado por:

˙ˆ

θi= ˙φi= −γieigi(x, u), (14)

sendo γi> 0 o ajuste da estimação de cada parâmetro.

Fuh e Tsai (2007) mostram que a estabilidade do estimador de parˆametros pode ser analisada definindo um parˆametro de erro φ da seguinte forma:

φi= ˆθi− θi, (15)

e escolhendo uma função quadrática de Lyapunov, por exemplo:

V = 1 2 n

∑

i=1 e_i2+φi T φi γi . (16)

A derivada no tempo da Equação (16) ao longo das trajetórias das Equações (13) e (14) é dada por:

˙ V = n

∑

i=1 (−λiei2) < 0, (17)

isso implica que

lim

t→∞ei(t) = 0, i = 1, ..., n. (18)

A Equação (18) mostra que o erro ei(t) entre o estado real e o estado estimado tenderá

a zero ao longo do tempo. Quando ei(t) = 0, pode-se ver na Equac¸˜ao (14) que a derivada do

parâmetro estimadoθ˙î também será zero, isso significa que não há mais variação no valor do

parˆametro e o mesmo foi determinado.

No entanto, a estabilidade assint´otica do ponto (ei, φi) = (0,0) para i = 1, ..., n, n˜ao pode

ser conclu´ıda apenas com ˙V sendo negativa. Na pr´atica, a convergˆencia de φi(t) a zero depende

da propriedade do sinal de excitac¸˜ao gi (sinal de entrada u(t)). Esta propriedade, chamada de

Persistent Excitation(PE), é importante para identificação dos parâmetros.

Segundo Khalil e Grizzle (1996), a utilização de um sinal u(t) que seja suficientemente rico em frequências diferentes garante que gi satisfaça a condição PE. Por exemplo, se u(t) é

uma soma de diferentes senos, então este sinal terá pelo menos n frequências diferentes. O objetivo da condição PE é que o sinal de entrada u(t) seja suficiente para excitar todos os modos do sistema em estudo e caso a condição não seja satisfeita os parâmetros não irão convergir dentro de um tempo finito para uma faixa de valores identificáveis.

(31)

LINEARES

Seja uma func¸˜ao escalar y = f (xi). No caso vetorial, f (xi) depende de um vetor de

n parâmetros θ . Pode-se dizer então que a função f (xi) é parametrizada por θ e pode ser

representada na seguinte forma:

y= f (xi, θ ). (19)

Ao realizar N medidas, tem-se:

y(1) = f (x_i(1), θ ), y(2) = f (xi(2), θ ),

y(N) = f (xi(N), θ ).

(20)

Sendo conhecidos os conjuntos {y(1), y(2), ..., y(N)} e {xi(1), xi(2), ..., xi(N)}, ´e poss´ıvel

determinar o vetor θ de parˆametros (AGUIRRE, 2004).

Segundo Aguirre (2004), métodos de estimação de parâmetros para sistemas não line-ares podem ser aplicados a sistemas lineline-ares, isso é poss´ıvel pois a classe de sistemas lineline-ares é um subconjunto da classe de sistemas não lineares.

Neste sentido, utiliza-se para estimação dos parâmetros do motor PMDC o algoritmo de otimização Trust-Region (Região de Confiança) para m´ınimos quadrados não lineares por meio da ferramenta Parameter Estimation do MATLAB/Simulink.

O objetivo do método é encontrar um vetor ˆθ que minimize a seguinte expressão:

F(θ ) =

N

∑

j=1

(e( j)2) = eTe= ke(θ )k2. (21)

sendo F(θ ) o somat´orio do quadrado dos erros e e( j) o erro acometido ao tentar estimar θ :

e( j) = y( j) − f (xi( j), θ ) (22)

para j = 1, 2, ..., N.

O ajuste do vetor de parâmetros θ utilizando o algoritmo de região de confiança é realizado por meio de um processo iterativo partindo de um vetor inicial θ0.

(32)

então decidir sobre seu tamanho, já o método de região de confiança determina um limite supe-rior para o tamanho do passo a ser dado para depois encontrar a direção a ser tomada (FLET-CHER, 2013).

O tamanho do passo é restrito a cada iteração k, por um parâmetro hk, denominado raio da região de confiança centrado em θkcomo mostra a Figura 7.

θk

Figura 7: Limite para o tamanho do passo.

Fonte: Adaptado de Kelley (1999).

A direção do passo dk pode ser determinada minimizando a aproximação quadrática qk(.) na região de confiança com centro em θk e raio hk. Portanto:

dk∈ argmin{qk(d) : kdk ≤ hk}, (23)

da mesma forma

min qk(d) = F(θk) + gTd+1₂dTHd,

s.a. kdk ≤ hk, (24)

onde, g = F0(θk) ´e o gradiente e H = F00(θk) ´e a matriz hessiana.

Assim, depois de determinar dk deve-se avaliar F(θk+ dk) para verificar se θk+ dk ´e satisfat´orio (KELLEY, 1999). Para ser verdade

F(θk+ dk) < F(θk), (25)

ent˜ao pode-se assumir

θk+1= θk+ dk. (26)

Para melhor compreensão do método, segue o Algoritmo 1 com as variáveis θ0 e h0 dadas antes de iniciar as iterações:

(33)

dos não lineares. 1 in´ıcio 2 k← 0 3 repita 4 calcule gk 5 calcule Hk 6 ache dk∈ argmin{qk(d) : kdk ≤ hk} 7 se F(θk+ dk) < F(θk) então 8 θk+1← θk+ dk 9 aumenta hk 10 senão 11 θk+1← θk 12 diminui hk 13 fim 14 k← k + 1 15 até convergir; 16 fim

2.3 CONTROLE SEGUIDOR COM REALIMENTAC¸ ˜AO DE ESTADOS.

Como citado, o modelo dinâmico do motor PMDC será validado em malha fechada por meio de um controle de velocidade utilizando um sistema seguidor com realimentação de estados que em seguida também será aplicado na planta real para comparação dos resultados.

Considere ent˜ao o seguinte diagrama de blocos da Figura 8.

Sendo que o sistema em malha aberta é dado pelo espaço de estados da Equação (27):

˙x = Ax + Bu, y = Cx = " E F # x, (27)

e o vetor w = Ex representa as sa´ıdas que s˜ao requeridas para seguir o vetor de entrada r (D’AZZO; HOUPIS, 1995).

(34)

𝑟 𝑧 𝑧 𝑢 𝑥 𝑥 𝑦𝑝= 𝑤 𝐾₂ _𝐵 𝐾1 𝐴 𝐸 + + + - 𝐹 𝑦𝑙−𝑝 + +

Figura 8: Diagrama de blocos do sistema de controle seguidor. Fonte: Adaptado de (D’AZZO; HOUPIS, 1995).

Esta abordagem de controle utiliza um integrador que fará com que o erro entre a referência e o estado controlado vá para zero quando o sistema estiver em regime permanente (D’AZZO; HOUPIS, 1995).

Portanto, para determinar os ganhos K1 e K2 que aloquem os autovalores do sistema

em malha fechada no semiplano complexo esquerdo é necessário adicionar na Equação (27) a dinâmica do integrador dada por:

˙z = r − w = r − Ex. (28)

Reescrevendo as Equações (27) e (28) na forma de espaço de estados tem-se:

" ˙x ˙z # = " A 0 −E 0 # " x z # + " B 0 # u + " 0 I # r, y =h C 0 i " x z # , (29) sendo que: u = K1x + K2z = h K1 K2 i " x z # . (30)

Substituindo a Equação (30) na Equação (29) tem-se o sistema em malha fechada dado por:

(35)

˙x ˙z = A 0 −E 0 + B 0 h K1 K2 i x z + 0 I r , (31) sendo que: ˙x0= ( ¯A + ¯B ¯K)x0+ ¯B0r, x0= " x z # , (32)

Portanto, as matrizes aumentadas s˜ao:

¯ A = " A 0 −E 0 # , ¯ B = " B 0 # , ¯ K = h K1 K2 i .

Basta então determinar o ganho de realimentação de estados ¯K que estabiliza o sistema aumentado ( ¯A, ¯B). No entanto, é poss´ıvel aplicar a lei de controle se, e somente se, o par de matrizes ( ¯A, ¯B) é controlável (D’AZZO; HOUPIS, 1995).

Neste trabalho serão utilizadas duas técnicas diferentes para determinação de ¯K, a primeira utilizando controle misto H2/H∞por LMIs (Linear Matrix Inequalities), e a segunda

utilizando alocação de polos por atribuição de autoestrutura completa.

2.3.1 CONTROLE MISTO H2/H∞POR LMIS

Todo modelo matemático é, na verdade, uma aproximação do sistema f´ısico real, con-sequentemente, o modelo matemático obtido pode apresentar diferentes tipo de incertezas, de-correntes de dinâmicas não modeladas ou ru´ıdos presentes no sistema. Dependendo de sua ori-gem estas incertezas podem ser classificadas como estruturadas, não estruturadas, paramétricas ou não paramétricas (TROFINO, 2000).

Por este motivo, é de muita importância que as incertezas no modelo sejam levadas em consideração na análise e projeto de controladores para o sistema. Para isso, é conveniente representar o modelo f´ısico por um sistema incerto, constitu´ıdo do modelo matemático (sistema

(36)

nominal) mais a incerteza ∆(s) em torno deste, como mostra a Figura 9, sendo a an´alise do projeto feita em torno do sistema incerto.

Figura 9: Sistema incerto.

Fonte: Adaptado de Aguirre et al. (2007a).

Considerando agora que existem incertezas no modelo matemático a representação em espaço de estados se diferencia do modelo convencional mostrado na Equação (8), assim a melhor representação é dada pela Equação (33).

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) + B1w(t),

y(t) = Cx(t) + Du(t) + D₁w(t), z(t) = Czx(t) + Dzuu(t) + Dzww(t).

(33)

Sendo z(t) uma sa´ıda controlada e w(t) uma entrada ex´ogena relacionada as incertezas do modelo (AGULHARI et al., 2013).

O processo de solucionar problemas de controle envolvendo o sistema nominal e incer-tezas em torno dele chama-se controle robusto. Seu objetivo ´e minimizar o efeito das incerincer-tezas sobre certas vari´aveis de forma a garantir a estabilidade do sistema.

Nesta abordagem, uma t´ecnica bastante difundida na literatura de controle robusto ´e o controle misto H2/H∞.

A principal vantagem do controle misto H2/H∞ consiste em levar em considerac¸˜ao

duas importantes caracter´ısticas de qualquer projeto de controle: otimizar o desempenho do sistema e garantir robustez. O projeto misto acomoda ao mesmo tempo estes dois aspectos atrav´es das normas H2e H∞(AGUIRRE et al., 2007a).

Seu objetivo ´e minimizar a norma H2respons´avel pela energia de controle do sistema,

e garantir que a norma H_∞seja menor que um valor γ definido no teorema do pequeno ganho como o inverso da incerteza.

(37)

k∆(s)k_∞= sup_Re(s)>0σmax[H(s)] = supωσmax[H( jw)]. (34)

Sendo σmax o valor singular m´aximo de H(s) e sup ´e o valor supremo.

A norma H∞ de um sistema estável com entradas e sa´ıdas unitárias é o maior fator de

amplificação poss´ıvel da resposta em estado permanente à excitação senoidal (OGATA et al., 2003).

Teorema 1 (Pequeno ganho) Seja H(s) um sistema internamente estável e a função de transferência entre a entrada w(t) e a sa´ıda z(t). então o sistema é internamente estável para todo ∆(s) que satisfaça uma das condições das Equações (35) e (36):

k∆(s)k_∞≤ 1

γ se, e somente se, kH(s)k∞< γ, (35)

k∆(s)k_∞< 1

γ se, e somente se, kH(s)k∞≤ γ. (36)

Assim é poss´ıvel dizer que se um sistema H(s) é internamente estável quando sua norma H∞ é menor que um valor γ, então a incerteza modelada como ∆(s) também será

inter-namente est´avel para valores menores que1

γ.

Norma 2 (H2)A norma H2de um sistema é definida pela Equação (37):

kH(s)k2₂= 1 2π Z +∞ −∞ Tr(H( jw)H( jw))dw = Z +∞ −∞ Tr(h(t)h(t))dt. (37)

A norma H2 corresponde a energia m´edia do sistema, assim quando encontrado um

ganho de realimentação que minimize esta norma, significa que o esforço de controle também é diminu´ıdo.

Para o controle misto H2/H∞, o sistema da Equac¸˜ao (33) deve ser reescrito na seguinte

forma:

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) + B2w2(t) + Biwi(t),

z2(t) = Cz2x(t) + Dzu2u(t) + Dzw2w2(t),

z_i(t) = C_zix(t) + D_zuiu(t) + D_zwiw_i(t).

(38)

O ganho de realimentac¸˜ao de estados K = ZG−1 minimiza a norma H2e garante que

kH(s)k_∞< γ se houver matrizes P2= PT2 > 0, Pi= PTi > 0, X = XT, Z, G, H2e Hie escalares

ζ2e ζique resolvam o problema de otimização da Equação (39).

min Tr(X)

X = XT > 0 (39)

Sujeito as restrições das Equações (40), (41) e (42):

" −X C_z2G + D_zu2Z ∗ P2− G − GT # < 0, (40)     AG + BZ + GTAT + ZTBT P2− GT + ζ2(AG + BZ) B2H2 ∗ ζ2(−G − GT) 0 ∗ ∗ I2− H2− HT2     < 0, (41)        AG + GTAT+ BZ + ZTBT ∗ ∗ ∗ P_i− G + ζi(AG + BZ)T −ζi(G + GT) ∗ ∗

CziG + DzuiZ ζi(CziG + DzuiZ) −µIi ∗

−HT_i Bi 0 −HTi DTzwi Ii+ Hi+ HTi        < 0 (42)

Sendo que o escalar µ definido na Equação (42) representa o valor de γ2e o s´ımbolo (*) representa um bloco simétrico.

As LMIs das Equações (40), (41) e (42) são obtidas a partir do Lema de Finsler de forma semelhante á Apkarian et al. (2001) e Oliveira et al. (2002).

As matrizes Cz2 e Dzu2 est˜ao relacionadas com o desempenho do controle, sendo a

matriz Cz2 relacionada ´a velocidade de assentamento da resposta do sistema e a matriz Dzu2

relacionada com a prioridade de minimizac¸˜ao da energia de controle.

2.3.2 ALOCAÇ ÃO DE POLOS POR ATRIBUIÇ ÃO DE AUTOESTRUTURA COMPLETA Esta metodologia consiste na obtenção da matriz ¯K a partir da seleção dos autovalores a serem atribu´ıdos à matriz da planta de malha fechada de ordem n na Equação (32):

(39)

v( ¯A + ¯B ¯K) = {v1, v2, ...vn}, (44)

que são selecionados a fim de se obter as caracter´ısticas de reposta no tempo desejadas. Pode-se relacionar os autovalores e os autovetores pela seguinte Equação:

[ ¯A + ¯B ¯K]vi= λivi, (45)

que pode ser reescrita na forma: h ¯ A − λiI B¯ i " vi g_i # = 0, (46)

para i = 1, 2, ...n, onde vi ´e o autovetor e:

g_i= ¯Kvi. (47)

Para satisfazer a Equac¸˜ao (46), o vetor [vT_i gT_i ]T deve pertencer ao kernel de:

¯ S(λi) = h ¯ A − λiI B¯ i , (48) para i = 1, 2, ...n.

A notação kerS(λi) é usada para definir o espaço chamado de nulo que contém todos

os autovetores [vT_i gT_i ]T para que a Equação (46) seja satisfeita (D’AZZO; HOUPIS, 1995). A Equação (47) pode ser usada para formar a igualdade matricial:

h

g₁ g₂ ... g_n i

=h _Kv¯ ₁ _Kv¯ ₂ _... _Kv¯ _n i, (49)

donde obt´em-se a matriz ¯K como segue: ¯ K =h g₁ g₂ ... g_n i h v1 v2 ... vn i−1 = QV−1. (50)

Observa-se que os autovalores podem ter valores repetidos de número igual as entradas do sistema. Isso se deve ao fato do espaço nulo ter dimensão igual ao número de entradas. Dessa forma, associa-se um autovalor repetido a um vetor da base do espaço nulo. Com isso, todas as colunas da matriz V continuam sendo linearmente independentes e, por isso, a matriz V−1 existe (D’AZZO; HOUPIS, 1995).

(40)

2.4 RAIZ NORMALIZADA DO ERRO QUADR ´ATICO M ´EDIO

Para avaliar quantitativamente os modelos matemáticos determinados serão compara-das as curvas de velocidade e corrente dos experimentos utilizando o motor PMDC real com as curvas obtidas por meio da simulação.

Para isso será utilizado o NRMSE (Normalized root mean square error) dado pela Equação (51). O valor encontrado dará uma noção em porcentagem de quanto a resposta do modelo simulado está próximo da resposta real do motor.

NRMSE= 100 1 − ky − ˆyk ky − media(y)k . (51)

Sendo y o vetor de dados reais do motor e ˆy o vetor de dados obtidos pela simulação. Observe na Equação (51) que quanto maior o valor de NRMSE, mais próximas serão as curvas comparadas, e portanto, melhor será o resultado. Com isso um valor de NRMSE = 100% significa que as curvas são exatamente iguais.

(41)

3 DESENVOLVIMENTO

3.1 BANCADA EXPERIMENTAL

Para realizar os experimentos foi utilizado um conjunto preparado para condiciona-mento de sinal e acionacondiciona-mento do motor PMDC, este conjunto cont´em os seguintes componen-tes:

• Motor Maxon F2140 de 6 Watt com Encoder digital. • Drive de acionamento Maxon 4-Q-DC.

• Aparato com sensores de corrente e tensão. • Bateria de 22,2v para alimentação do motor.

A Figura 10 mostra a disposic¸˜ao dos componentes na bancada.

Conector da PCI-6221 Motor PMDC Bateria 22.2V Drive de acionamento Sensores de tensão e corrente

Figura 10: Bancada de experimentos. Fonte: Autoria pr´opria.

(42)

Para aquisic¸˜ao de dados, assim como nos projetos dos controladores de velocidade, utilizou-se a placa PCI-6221 da National Instruments em conjunto com o ambiente de desen-volvimento MATLAB/Simulink.

Da mesma forma, todas as análises de dados, validação dos modelos e simulações foram feitas no software MATLAB.

Os experimentos de identificação realizados no motor seguem basicamente os mesmos procedimentos. Inicialmente é necessário criar um programa no MATLAB/Simulink que se comunica com a placa PCI-6221 para gerar o sinal que irá acionar o motor. Este sinal irá passar pelo drive de potência que irá regular a tensão da bateria e fornecer a corrente necessária para o acionamento do motor. Este programa também deve realizar a leitura dos sensores de corrente, tensão e converter os pulsos do Encoder em velocidade. A bateria é utilizada pois trata-se de um dispositivo revers´ıvel, ou seja, pode fornecer quanto receber os picos de tensão negativos gerados pelo motor, neste caso, uma tensão negativa em uma fonte não revers´ıvel poderia danificá-la.

A Figura 11 mostra a relac¸˜ao entre o MATLAB/Simulink, a PCI-6221, o motor PMDC, o drive de acionamento 4-Q-DC e os sensores utilizados.

Encoder Sensores de corrente e tensão PCI-6221 Drive de acionamento Motor de corrente contínua MATLAB/ Simulink

Figura 11: Diagrama dos experimentos. Fonte: Autoria pr´opria.

(43)

O motor PMDC utilizado é o modelo F2140 desenvolvido pela Maxon e pode ser visto na Figura 12. Possui uma potencia de 6 Watt e deve ser alimentado com tensão nominal de 12v. Sua rotação máxima quando não há carga pode chegar há 3980 RPM e 31,9 mNm de torque.

Figura 12: Motor Maxon F2140. Fonte: Autoria pr´opria.

Os valores de seus parâmetros fornecidos pelo fabricante são mostrados na Tabela 2. O F2140 já possui um encoder digital de dois canais, o qual gera 100 contagens por volta do rotor. Com as contagens do encoder é poss´ıvel conhecer a posição angular do rotor e consequentemente calcular a sua velocidade.

Tabela 2: Parˆametros do motor fornecidos pelo fabricante

Parˆametro Valor

L_a Indutˆancia de armadura (H) 0,00127 Ra Resistˆencia de armadura (Ω) 10,7

K_t Constante de torque (Nm/A) 0,0278 J In´ercia do rotor (Kg.m2) 2,30e-06

B Atrito viscoso (Nm.s/rad) —

Fonte: MAXON (2013).

(44)

originais conhecidos, já que são fundamentais para compará-los com os parâmetros identifica-dos.

3.1.2 DRIVE DE ACIONAMENTO MAXON 4-Q-DC

O Maxon 4-Q-DC é um amplificador linear de 4 quadrantes utilizado para controle de motores de até 50 Watt que são alimentados por imãs permanentes.

Suas caracter´ısticas elétricas são mostradas na Tabela 3 e o equipamento usado é mos-trado na Figura 13.

Tabela 3: Drive Maxon 4-Q-DC

Dados el´etricos Valor

Tensão de alimentação 12 á 30 Vcc Máxima tensão de sa´ıda 25 V Máxima corrente de sa´ıda 2 A Máxima potência de sa´ıda 50 W Fonte: MAXON (2011).

Figura 13: Drive Maxon 4-Q-DC. Fonte: Autoria pr´opria.

3.1.3 APARATO COM SENSORES DE CORRENTE E TENS ˜AO

Para as técnicas de identificação deste trabalho, além de conhecer a velocidade do motor é necessário também conhecer sua corrente. Para isso, será utilizado um equipamento adicional que contém sensores de corrente e tensão. Como o motor é alimentado por uma bateria, o sensor de tensão será usado para medir a tensão de entrada do motor, isto é necessário

(45)

garantir que a tensão no motor é a tensão de referência aplicada.

Para a alimentação dos sensores foi utilizado uma fonte linear de um gerador de funções que estava na sucata da universidade. O circuito da fonte linear foi identificado e então cortado para ser utilizado, a sa´ıda da fonte é de +/-16 V e foi utilizado um circuito para baixar a tensão para +/-12 V. Na Figura 14 é mostrado o equipamento final já com a ambos os sensores, a fonte linear e o circuito regulador de tensão.

Fonte Linear Sensor de corrente Sensor de tensão Regulador de tensão

Figura 14: Sensores de corrente e tens˜ao. Fonte: Autoria pr´opria.

O sensor de tensão utilizado é o LV 25-P, o esquemático do circuito é visto na Figura 15, utiliza-se um INA-121 para que a faixa de sa´ıda fique entre +/-10 V.

(46)

LV

2

5

-P

33kΩ

Figura 15: Circuito do sensor de tens˜ao. Fonte: Autoria pr´opria.

A curva de calibração para o circuito da Figura 15 é dado pela seguinte equação:

V_motor= 1, 3017(Vout1) − 0, 0511. (52)

sendo Vmotor a tens˜ao real da armadura do motor e Vout1 a sa´ıda do circuito que ser´a lida pela

placa de aquisic¸˜ao.

O sensor de corrente utilizado é o LA 25-NP, o esquemático do circuito pode ser visto na Figura 16, é utilizado um INA-121 para que a faixa de sa´ıda fique entre +/-10 V.

LA 25-NP

33kΩ

Figura 16: Circuito do sensor de corrente. Fonte: Autoria pr´opria.

(47)

Imotor= 0, 5369(Vout2) + 0, 0035. (53)

sendo Imotora corrente real da armadura do motor e Vout2a tens˜ao de sa´ıda do circuito que ser´a

lida pela placa de aquisic¸˜ao.

3.1.4 PLACA DE AQUISIC¸ ˜AO E CONTROLE PCI-6221

Todos os experimentos de aquisição de dados e controle foram realizados com a placa PCI-6221 da National Instruments conectada ao barramento PCI de um computador desktop, onde o sistema realiza a aquisição dos dados por meio da ferramenta MATLAB/Simulink a uma taxa de 400 Hz.

Esta placa mostrada na Figura 17, possui 16 entradas analógicas com 16 bits de resolução e capacidade de aquisição de até 250kS/s, podendo também ser utilizada em um sistema opera-cional de tempo real (NI, 2014).

Figura 17: Placa PCI-6221. Fonte: Adaptado de NI (2014).

Sua comunicação com o sistema f´ısico é dada por meio de um cabo com um conector de 37 pinos, sendo a configuração de cada pino mostrada na Figura 18.

(48)

Figura 18: Pinos da placa PCI-6221. Fonte: Adaptado de NI (2014).

Os pinos utilizados da PCI-6221 podem ser vistos na Tabela 4 e o esquema el´etrico dos experimentos ´e mostrado na Figura 19.

Tabela 4: Pinos utilizados da PCI-6221.

Pinos Nome Descric¸˜ao

1 AI 0 Entrada anal´ogica para leitura do sensor de corrente

3 AI GND Referˆencia para entrada anal´ogica

21 AI 1 Entrada anal´ogica para leitura do sensor de tens˜ao

24 AI GND Referˆencia para entrada anal´ogica

14 D GND Referˆencia para os contadores

13 PFI 0/P1.0 Contador do canal A do encoder - CTR 0 A 33 PFI 2/P1.2 Contador do canal B do encoder - CTR 0 B

31 AO GND Referˆencia para sa´ıda anal´ogica

12 AO 0 Sa´ıda anal´ogica para o drive Maxon 4-Q-DC Fonte: Autoria pr´opria.

(49)

Figura 19: Esquema el´etrico dos experimentos. Fonte: Autoria pr´opria.

3.2 M ÉTODOS DE IDENTIFICAÇ ÃO

Nesta seção são apresentados os métodos de identificação utilizados para obter os parâmetros do modelo dinâmico de um motor PMDC.

Utilizou-se duas metodologias diferentes: 1. Identificação de parâmetros adaptativos;

2. Identificação com algoritmo de região de confiança para m´ınimos quadrados não lineares; sendo que, para o segundo método realizou-se três abordagens diferentes:

(50)

1. Aplicando na entrada um sinal de onda quadrada;

2. Aplicando na entrada um sinal de sequência binária pseudoaleatória (PRBS); 3. Aplicando na entrada um sinal aleatório;

Para cada representação em espaço de estados determinada, aplicou-se três sinais dife-rentes em malha aberta para validar e comparar as repostas de velocidade e corrente do modelo simulado com as respostas reais do motor. Os sinais de testes escolhidos foram: Sinal degrau, sinal triangular e sinal senoidal.

Dessa forma, avaliando os testes de cada modelo por meio do NRMSE foi poss´ıvel realizar uma análise quantitativa para saber quanto o comportamento de cada um está próximo do comportamento real do motor utilizado.

Para realizar a aquisição dos dados, foi necessário criar o programa da Figura 20 no MATLAB/Simulink que aplica os sinais de entrada desejados e realiza as leituras dos sensores de corrente e tensão, além da posição angular medida pelo encoder.

Eq. (53) Eq. (52) 400 Pulsos / Revolução Posição para Velocidade

Figura 20: Programa desenvolvido para aquisição de dados. Fonte: Autoria própria.

3.2.1 IDENTIFICAÇ ÃO DE PAR ÂMETROS ADAPTATIVOS PARA UM SISTEMA LI-NEAR DE SEGUNDA ORDEM

Para utilizar a metodologia apresentada na Seção 2.2.1 foi necessário adaptar as Equações (13) e (14) para um sistema linear de segunda ordem que represente o comportamento de um motor PMDC.

(51)

" ˙ x₁(t) ˙ x2(t) # = " −a11 −a12 a21 −a22 # " x₁(t) x2(t) # + " b 0 # u(t) y(t) = " 1 0 0 1 # " x₁(t) x₂(t) # + 0u(t) (54) Sendo x1= Ia, x2= ω, a11= R_La_a, a12= _LK_ae, a21 =K_Jt, a22= B_J, b =_L1_a.

Dessa forma, a Equac¸˜ao (13) deve ser reescrita como (55) para os estados x1e x2:

˙ˆx1(t) = − ˆa11x1(t) − ˆa12x2(t) + ˆbu(t) − λ1e1(t),

˙ˆx2(t) = ˆa21x1(t) − ˆa22x2(t) − λ2e2(t).

(55)

Portanto, os parâmetros â11, â12, â21, â22 e ˆb podem ser estimados a partir da lei de

adaptação da Equação (14): ˙â11(t) = γ11e1(t)x1(t), ˙â12(t) = γ12e1(t)x2(t), ˙ˆb(t) = −γbe1(t)u(t), ˙â21(t) = −γ21e2(t)x1(t), ˙â22(t) = γ22e2(t)x2(t), (56)

sendo e1(t) e e2(t) dados pela Equac¸˜ao (57).

e1(t) = ˆx1(t) − x1(t),

e₂(t) = ˆx₂(t) − x₂(t). (57)

O algoritmo desenvolvido no MATLAB/Simulink para realizar a identificação dos parâmetros adaptativos é mostrado na Figura 21. Observe que foi criado uma caixa de identificação que possui três entradas: o sinal aplicado u(t), a corrente de armadura x1(t) e a velocidade

an-gular do rotor x2(t), e em sua sa´ıda são adquiridos os valores estimados para â11, â12, â21, â22

e ˆb. Dentro da caixa de identificação foi criado uma sub-rotina referente as Equações (55), (56) e (57) que são responsáveis pelos cálculos da estimação dos parâmetros. Na Figura 22 pode-se visualizar a sub-rotina criada.

(52)

Caixa de identificação Parâmetros estimados Dados aquisitados

Figura 21: Algor´ıtmo para identificação de parâmetros adaptativos. Fonte: Autoria própria.

Eq. (xx)Eq. 57

(xx)

Eq. 56

Eq. 55

Figura 22: Sub-rotina para identificação de parâmetros adaptativos. Fonte: Autoria própria.

(53)

u(t) que satisfaça a condição PE. Nos trabalhos de Fuh e Tsai (2007) e Garrido e Miranda (2012) os melhores resultados são obtidos utilizando um sinal provido de um sistema caótico conhecido por gerador Duffing, porém na tentativa de reprodução deste sinal não obteve-se sucesso e foi necessário utilizar outro sinal. Escolheu-se então para u(t) um cosseno de frequência varrida de forma linear, também conhecido por chirp, sendo sua equação dada por (58).

u(t) = A cos(2π fi(t)t), (58)

onde:

f_i(t) = f0+ β t,

β = ( f1− f0)/t1,

(59) sendo A à amplitude do sinal, f0a frequência inicial do cosseno, f1a frequência final do cosseno

e t1o instante de tempo final.

Nas Figuras 23 (a) e (b) mostra-se um exemplo do sinal chirp e sua FFT (Fast Fourier Transform), respectivamente, para A = 12, f0= 1 Hz, f1= 10 Hz e t1= 10 s.

Tempo (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y(t) -20 -10 0 10 20 Sinal Chirp Frequência (Hz) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Amplitude 0 0.5 1 1.5 a) b)

Figura 23: (a) Sinal chirp e (b) FFT do sinal. Fonte: Autoria pr´opria.

Observe que utilizando este sinal pode-se atingir uma faixa muito grande de frequências para atuação do motor de corrente cont´ınua de imã permanente, porém apenas isso não garante

(54)

que a condição PE seja satisfeita e que os parâmetros venham a convergir dentro de um tempo finito. Segundo Slotine et al. (1991), para sistemas lineares, a convergência da estimação de mparâmetros necessita de pelo menos m₂ senos ou cossenos no sinal de excitação u(t). Dessa forma, como deseja-se determinar 5 parâmetros: â₁₁, â₁₂, â₂₁, â₂₂ e ˆb, o sinal utilizado será a soma de três sinais chirp sendo suas configurações mostradas na Tabela 5.

Tabela 5: Configurac¸˜oes dos chirps utilizados.

Sinal Amplitude (V) f0(Hz) f1(Hz) t1(s)

Chirp1 4 1 25 1200

Chirp2 4 1 15 1200

Chirp3 4 1 11 1200

Fonte: Autoria pr´opria.

A vantagem da utilização do chirp é que a frequência de seu sinal varia ao longo do tempo dentro de uma faixa escolhida, dessa forma o sinal de excitação será muito mais rico do que utilizando cossenos.

Aplicou-se ent˜ao o sinal resultante mostrado na Figura 24 no motor de corrente cont´ınua de im˜a permanente e realizou-se a leitura de sua corrente Ia(t) e de sua velocidade ω(t).

Posteri-ormente, os dados aquisitados foram importados pelo programa de identificação de parâmetros adaptativos mostrado na Figura 21 e obteve-se os resultados.

Tempo (s) 100 100.5 101 101.5 102 102.5 103 103.5 104 104.5 105 u(t) -15 -10 -5 0 5 10 15

Figura 24: Sinal aplicado u(t). Fonte: Autoria pr´opria.