aula10

Lógica de Primeira Ordem (LPO)

Visão Geral

I Por que LPO?

I Sintaxe e Semântica da LPO I Brincando com as sentenças I Mundo de Wumpus em LPO

Pós e Contras da Lógica Proposicional

I :) Lógica proposicional é declarativa: pedaços de sintaxe

correspondem a fatos

I :) Lógica proposicional permite informações

parciais/disjuntivas/negadas (diferente da maioria das estruturas de dados e base de dados)

I :) Lógica proposicional é composicional:

I Signicado de B_1,1∧P_1,2 é derivado do signicado de B_1,1 e de P1,2

I :) Signicado de lógica proposicional é independente de

contexto

I (diferente de linguagens naturais, onde o signicado depende do contexto)

I :( Lógica Proposicional tem um poder de expressão limitado

(diferente de linguagens naturais)

I Por exemplo: não podemos dizer poços causam briza em salas adjacentes, exceto por escrever uma setença para cada quadrado

Lógica de Primeira Ordem

I Enquanto a lógica proposicional assume que o mundo contém

fatos, a lógica de primeira ordem (assim como a linguagem natural) assume que o mundo contém:

I Objetos: pessoas, casas, números, teorias, Silvio Santos, cores, jogos de futebol, guerras, séculos ...

I Relações: vermelho, primo, irmão de, maior que, dentro de, parte de, tem cor, ocorreu após, próprio, está entre, ... I Funções: pai de, melhor amigo, m de, um mais dois, ... I ...

Sintaxe da LPO: Elementos Básicos

I Constantes: ReiJoao, 2, ... I Predicados: Irmao, >, ...

I Funções: RaizQuadrada, PernaEsquerdaDe, ... I Variáveis: x, y, a, b, ...

I Conectívos: ∧ ∨ ¬ ⇒ ⇔ I Iqualdade: =

Sentênças Atômicas

I Sentênça Atômica = predicado(termo₁, ...,termo_n) ou termo1 = termo2

I Term = fun¸c˜ao(termo₁, ...,termo_n) ou constante ou vari´avel

I Exemplos: Irmao(ReiJoao, RicardoCoracaoDeLeao),

> (Tamanho(PernaEsquerdaDe(Ricardo)), Tamanho(PernaEsquerdaDe(ReiJoao)))

Sentenças Complexas

I Sentenças complexas são feitas de sentenças atômicas

utilizando conectivos

I ¬S, S₁∧ S₂, S₁∨S₂, S₁⇒S₂, S₁⇔S₂

I Exemplo: Irmao(ReiJoao, Ricardo) ⇒ Irmao(Ricardo,

Verdade em Lógica de Primeira Ordem

I Sentenças são verdadeiras em relação a um modelo e a uma

interpretação

I Modelos contém ≥ 1 objetos (elementos do domínio) e

relações entre eles

I Especica referências para:

I Símbolos de constantes: objetos I Símbolos de predicados: relações I Símbolos de função: relações de função

I Uma sentença atômica predicado(termo₁, ..., termo_n) é verdadeira se e somente se os objetos referenciados por

Exemplo: Denição da Verdade

I Considere uma interpretação em que:

I Ricardo → Ricardo o coração de leão I Joao → o maldito rei João

I Irmao → a relação de irmandade

I Sob esta interpretação, Irmao(Ricardo, Joao) é verdade no

caso em que Ricardo o Coraçao de Leão e o maldito Rei João estão na relação de irmandade no modelo.

Modelos para LPO: Muitos!

I Consequência Lógica em Lógica Proposicional pode ser

calculada pela enumeração de modelos

I Podemos enumerar os modelos para LPO para um dado

vocabulário da base de conhecimento:

I Calcular consequência lógica pela enumeração de modelos da

Quanticação Universal

I ∀ <vari´aveis >< senten¸ca >

I Todo mundo na UVA é Inteligente:

I _∀x Na(x, UVA) ⇒ Inteligente(x)

I ∀x P é verdadeira em um modelo m se e somente se P é verdadeira com x sendo cada objeto possível no modelo

I Grosseiramente falando, é equivalente a uma conjunção de

instanciações de P

I (Na(ReiJoao, UVA) ⇒ Inteligente(ReiJoao)) I ∧(Na(Ricardo, UVA) ⇒ Inteligente(Ricardo)) I ∧(Na(UVA, UVA) ⇒ Inteligente(UVA)) I ∧...

Um Erro Comum a Ser Evitado

I Tipicamente, ⇒ é o conectivo principal com ∀

I Um erro comum: utilizar ∧ como o principal conectivo com ∀

I ∀x Na(x, UVA) ∧ Inteligente(x)

Quanticação Existencial

I ∃ <variables >< senten¸ca >

I Alguém que está na UVA é Inteligente:

I ∃x Na(x, UVA) ∧ Inteligente(x)

I ∃x P é verdadeira em um modelo m se e somente se P é verdadeira com x sendo algum objeto possível no modelo

I Grosseiramente falando, é equivalente a uma disjunção de

Outro erro comum a ser evitado

I Tipicamente, ∧ é o principal conectivo com ∃

I Erro comum: utilizar ⇒ como principal conectivo de ∃:

I ∃x Na(x, UVA) ⇒ Inteligente(x)

Propriedade dos Quanticadores

I ∀x ∀y é o mesmo que ∀y ∀x (Por que?)

I ∃x ∃y é o mesmo que ∃y ∃x (Por que?)

I ∃x ∀y não é o mesmo que ∀y ∃x I ∃x ∀y Ama(x, y)

I Há uma pessoa que ama qualquer outra no mundo I ∀y ∃x Ama(x, y)

I Todo mundo é amado por ao menos uma pessoa

I Dualidade: um quanticador pode ser expresso por meio de

outro quanticador

I ∀x Gosta(x, Sorvete) ou ¬∃x ¬Gosta(x, Sorvete) I ∃x Gosta(x, Alface) ou ¬∀x ¬Gosta(x, Alface)

Brincando com Sentenças

Brincando com Sentenças

I Irmãos são Parentes

Brincando com Sentenças

I Irmãos são Parentes

I _∀x, y Irmao(x, y) ⇒ Parente(x, y)

Brincando com Sentenças

I Irmãos são Parentes

I ∀x, y Irmao(x, y) ⇒ Parente(x, y).

I Parentesco é simétrico

Brincando com Sentenças

I Irmãos são Parentes

I ∀x, y Irmao(x, y) ⇒ Parente(x, y).

I Parentesco é simétrico

I ∀x, y Parente(x, y) ⇔Parente(y, x).

Brincando com Sentenças

I Irmãos são Parentes

I _∀x, y Irmao(x, y) ⇒ Parente(x, y).

I Parentesco é simétrico

I ∀x, y Parente(x, y) ⇔Parente(y, x).

I Mãe de alguém é um progenitor feminino deste alguém

Brincando com Sentenças

I Irmãos são Parentes

I ∀x, y Irmao(x, y) ⇒ Parente(x, y).

I Parentesco é simétrico

I ∀x, y Parente(x, y) ⇔Parente(y, x).

I Mãe de alguém é um progenitor feminino deste alguém

I ∀x, y Mae(x, y) ⇔ (Feminino(x) ∧ Progenitor(x, y)).

Brincando com Sentenças

I Irmãos são Parentes

I ∀x, y Irmao(x, y) ⇒ Parente(x, y).

I Parentesco é simétrico

I ∀x, y Parente(x, y) ⇔Parente(y, x).

I Mãe de alguém é um progenitor feminino deste alguém

I _∀x, y Mae(x, y) ⇔ (Feminino(x) ∧ Progenitor(x, y)).

I Um primo legitimo é um lho de um irmão de um progenitor

I ∀x, y PrimoLegitimo(x, y) ⇔ ∃p, ps

Igualdade

I term₁=term₂ é verdadeiro sob uma dada interpretação

I Se e somente se term₁ e term₂ se refere a um mesmo objeto

I Exemplos:

I 1 = 2 e ∀x × (RaizQuadrada(x), RaizQuadrada(x)) = x são satisfatíveiss

I 2 = 2 é valido

I Por exemplo, denição de Irmão em termos de progenitores: I ∀x, y Irm˜ao(x, y) ⇔

[¬(x = y) ∧ ∃m, f ¬(m = f ) ∧ Progenitor(m, x) ∧ Progenitor(f , x) ∧ Progenitor(m, y) ∧ Progenitor(f , y)]

Interagindo com uma Base de Conhecimento em LPO

I Suponha que o agente do mundo de wumpus esteja utilizando

uma base de conhecimento em LPO e perceba um odor e uma brisa (mas não brilho) no instante t = 5:

I Tell(KB, Percept([Smell, Breeze, None], 5)) I Ask(KB, ∃a Action(a,5))

I Isto é, a base conhecimento (KB) permite alguma ação em

particular no instante t = 5?

I Resposta: Sim, {a, Shoot} ← substituição (lista de ligação)

I Dada uma sentença S e uma substituição σ, Sσ denota o

resultado de aplicar σ em S; por exemplo: I S = Esposa(x, y)

I σ = {x/Hillary, y/Bill) I Sσ = Esposa(Hillary, Bill)

Base de Conhecimento para o Mundo de Wumpus

I Percepção

I ∀b, g, t Percept([Smell, b, g], t) ⇒ Smell(t) I ∀s, b, t Percept([s, b, Glitter], t) ⇒ AtGold(t) I Reexivo: ∀t AtGold(t) ⇒ Action(Grab, t)

I Reexivo com estado interno: nós já temos o ouro? I ∀t AtGold(t) ∧ ¬Holding(Gold, t) ⇒ Action(Grab, t) I Holding(Gold, t) não pode ser observado

Deduzindo Propriedades Ocultas

I Propriedades de localização

I ∀x, t At(Agent, x, t) ∧ Smelt(t) ⇒ Smelly(x) I ∀x, t At(Agent, x, t) ∧ Breeze(t) ⇒ Breezy(x)

I Quadrados próximos de um poço são ventilados:

I Regra de diagnóstico  infere causa do efeito I ∀y Breezy(y) ⇒ ∃x Pit(x) ∧ Adjacent(x, y) I Regra Causal  infere efeito da causa

I ∀x, y Pit(x) ∧ Adjacent(x, y) ⇒ Breezy(y) I Nenhuma destas e completa

I Denição para o predicado Breezy:

Matento o Histórico de Mudanças

I Fatos acontecem em situações, em vez de eternamente:

I Exemplo: Holding(Gold, Now) em vez de Holding(Gold)

I Cálculo de situações é uma forma de representação de

mudanças em LPO:

I Adicione um argumento de situação para cada predicado não-eterno

I Por exemplo: Now em Holding(Gold, Now) denota uma situação

I Situações estão conectadas pela funçao Result

Descrevendo Ações I

I Axioma de Efeito  descreve mudanças devido a ações

I ∀s AtGold(s) ⇒ Holding(Gold, Result(Grab, s))

I Axioma do Quadro  descreve não-mudanças devido a ações:

I ∀s HaveArrow(s) ⇒ HaveArrow(Result(Grab, s))

I Problema do Quadro: encontrar uma forma elegante para

controlar não-mudanças:

I representaçao: evitar axioma do quadro

I Inferência: evitar repetidas ações copia-sobre para manter histórico de estados

I Problema de Qualicação: descriçoes verdadeiras de ações

reais requerem innitas advertências

I O que fazer se o ouro está escorregadio ou preso com pregos ...

I Problema da Ramicaçao: ações reais tem muitas

Descrevendo Ações II

I Axioma do estado sucessor resolve o problema do quadro

representacional

I Cada axioma é sobre um predicado (não uma ação por si):

I P true subseqüentemente ⇔ Uma ação faz P verdadeiro ∨ P já é verdadeiro e nenhuma ação faz P falso

I Para agarrar o ouro:

I ∀a, s Holding(Gold, Result(a, s)) ⇔ [(a =

Fazendo Planos

I Condição inicial da base de conhecimento:

I At(Agent, [1, 1], S₀) I At(Gold, [1, 2], S₀)

I Consulta: Ask(KB, ∃s Holding(Gold, s))

I Isto é, em qual situação estarei agarrando o ouro?

I Resposta: {s/Result(Grab, Result(Forward, S₀))} I Isto é, vai para frente e então agarra o ouro

I É assumido que o agente está interessado em planos

começando em S0 e que S0 é a única situaçao descrita na base

Fazendo Planos: Um caminho melhor

I Representação de planos como sequências de ações:

[a₁,a₂, ...,a_n]

I PlanResult(p, s) é o resultado de executar p em s I Então, a consulta

Ask(KB, ∃p Holding(Gold, PlanResult(p, S0)))tem a solução

{p/[Forward, Grab]}

I Denição de PlanResult em termos de Result:

I ∀s PlanResult([], s) = s

I ∀a, p, s PlanResult([a|p], s) = PlanResult(p, Result(a, s))

I Sistemas de planejamento são sistemas de raciocínio de

propósito especial para fazer este tipo de inferência mais ecientemente do que sistemas de raciocínio de propósito geral.