Erro de modelo e confiabilidade estrutural de vigas de concreto armado

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO TECNOLÓGICO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

Adriano Fürst

Erro de modelo e confiabilidade estrutural de vigas de concreto armado

Florianópolis 2020

i

Adriano Fürst

ERRO DE MODELO E CONFIABILIDADE ESTRUTURAL

DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO

Dissertação submetida ao Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal de Santa Catarina como requisito parcial para obtenção de título de Mestre em Engenharia Civil.

Orientador: Prof. Dr. Wellison José de San-tana Gomes

Florianópolis

2020

Ficha de identificação da obra elaborada pelo autor,

através do Programa de Geração Automática da Biblioteca Universitária da UFSC.

Fürst, Adriano

Erro de modelo e confiabilidade estrutural de vigas de concreto armado / Adriano Fürst ; orientador, Wellison José de Santana Gomes, 2020.

108 p.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Florianópolis, 2020.

Inclui referências.

1. Engenharia Civil. 2. Erro de modelo. 3.

Confiabilidade Estrutural. 4. Concreto Armado. 5. Modelos analíticos e numéricos. I. Gomes, Wellison José de Santana . II. Universidade Federal de Santa Catarina. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil. III. Título.

iv

Adriano Fürst

ERRO DE MODELO E CONFIABILIDADE

ESTRUTURAL DE VIGAS DE CONCRETO

ARMADO

O presente trabalho em nível de mestrado foi avaliado e aprovado pela banca examinadora composta pelos seguintes membros:

Prof. Ph.D. Roberto Caldas de Andrade Pinto. Universidade Federal de Santa Catarina

Prof. Dr. Marcos Souza Lenzi. Universidade Federal de Santa Catarina

Prof. Dr. Caio Gorla Nogueira.

Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho

Esta Dissertação é a versão original do trabalho de conclusão de curso que foi avaliada e julgada adequada para obtenção do Título de Mestre, aprovada em sua forma final pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil.

Profa. Dra. Poliana Dias de Moraes Coordenadora do Curso

Prof. Dr. Wellison José de Santana Gomes Orientador

Florianópolis, Março de 2020. Documento assinado digitalmente Wellison Jose de Santana Gomes Data: 26/03/2020 15:57:48-0300 CPF: 010.916.454-77

Documento assinado digitalmente Poliana Dias de Moraes Data: 27/03/2020 10:02:35-0300 CPF: 613.571.209-82

v

AGRADECIMENTOS

À minha família, por ser a base de tudo. Aos meus pais, Omair e Rosangela, por todo o apoio, carinho e confiança que sempre depositaram em mim, mesmo nos momentos difíceis, me motivando a não desistir. Aos meus irmãos, Gabriely e Rafael, pelos conselhos, atenção e por poder contar com vocês em qualquer situação.

Aos meus professores que fizeram parte da minha formação. Em especial, ao professor Wellison José de Santana Gomes, por todas as discussões e pela imensa dedicação, por reconhecer o meu esforço e acreditar no meu potencial, auxiliando no meu crescimento profissional e pessoal.

Aos meus amigos que estiveram ao meu lado durante essa jornada. Àqueles de longa data, Ana Karoline, Anderson, Marina e Ricardo; àqueles que se graduaram comigo e hoje são engenheiros civis, Lucas, Henrique, Hugo, Miryan, Rafael, Rodrigo, Sutter e Victor; e àqueles que chegaram há pouco tempo mas que já têm muita história para contar, Marcela, minha irmãzinha de mestrado e colega de sala, e Vinícius, meu colega de apartamento. Obrigado pelas tantas vezes que ouviram meus desabafos, pelo companheirismo, pelos momentos de descontração e por toda a importância que cada um teve ao longo dessa etapa.

À FAPESC, pelo auxílio financeiro disponibilizado para a produção deste trabalho de mestrado, realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001.

vii

RESUMO

A determinação da capacidade resistente de estruturas de concreto armado pode ser realizada a partir de modelos analíticos, presentes em normas ou na literatura específica, ou por meio de modelos numéricos mais refinados. Entretanto, qualquer modelo utilizado para estimar a resposta de um sistema estrutural está sujeito a hipóteses e simplificações e, portanto, a erros. Em um contexto probabilístico, o erro de modelo, também denominado incerteza de modelo, pode ser representado como uma variável aleatória, cuja distribuição e parâmetros são determinados, por exemplo, a partir de comparações entre ensaios realizados em laboratório e a resistência avaliada segundo modelos teóricos ou numéricos. Apesar dessa definição ser comum na literatura, informações a respeito de sua quantificação são pouco detalhadas, havendo poucas evidências quanto ao seu impacto sobre as análises de confiabilidade. Desse modo, ressalta-se a importância do desenvolvimento de investigações a respeito da determinação e da influência do erro de modelo na segurança das estruturas projetadas utilizando tais modelos. Nesse sentido, o presente trabalho objetiva avaliar a influência da aplicação da variável erro de modelo nas análises de confiabilidade estrutural, com foco em vigas de concreto armado e erros de modelo multiplicativos. Realiza-se a avaliação das resistências ao momento fletor e ao esforço cortante de vigas por meio de modelos numéricos em elementos finitos, elaborados no programa ANSYS, e de modelos analíticos, indicados nos procedimentos normativos do ACI 318-14 e ABNT NBR 6118:2014. Para a caracterização das estatísticas e probabilidades dos erros de modelo são considerados dados experimentais obtidos na literatura. As avaliações de confiabilidade estrutural são efetuadas em exemplos de vigas ensaiadas em laboratório, a partir do uso do método de Monte Carlo simples em conjunto com um metamodelo adaptativo, por meio de rotinas computacionais implementadas em ambiente MATLAB. Verifica-se que a consideração da variável erro de modelo pode não ser suficiente para corrigir os modelos avaliados, de maneira que, mesmo após a correção, os modelos podem levar a diferentes níveis de segurança. Isso pode estar associado à maneira como o erro de modelo é determinado e à variabilidade do mesmo frente a diferentes dados experimentais. Apesar do valor esperado do erro de modelo multiplicativo ser utilizado como uma medida de conservadorismo e indicar potencial conservadorismo dos modelos analíticos aqui investigados, a comparação entre estes modelos indicou que os mesmos podem levar, em alguns casos, a situações com respostas não conservadoras.

Palavras-chaves: Confiabilidade estrutural. Erro de modelo. Concreto armado. Modelos analíticos e numéricos de resistência. Vigas.

ix

ABSTRACT

The ultimate strength of reinforced concrete structures can be obtained by analytical models, which in turn can be found in standard codes and in the specific literature, or by numerical models. However, any model used to estimate the response of a structural system is subject to assumptions and simplifications, thus leading to errors. In a probabilistic context, a model error, also refered to as model uncertainty, can be represented as a random variable whose distribution and parameters are determined, for example, by comparing experimental tests with theoretical or numerical strength models. Information about model errors presented in the literature is usually limited, and the impact of these errors on reliability analyses is rarely addressed. Thus, it becomes necessary to develop studies regarding the determination and the influence of model uncertainties on the safety of structures designed using such models. In this sense, the present dissertation thesis proposes to evaluate the influence of multiplicative model errors in the structural reliability analysis of reinforced concrete beams. The ultimate flexural and shear strengths of beams are evaluated by finite element numerical models, developed in the ANSYS software, and by analytical models given by both the ACI 318-14 and the ABNT NBR 6118:2014 codes. Experimental data obtained from the literature is considered for the characterization of model error variables. Reliability analyses are performed on numerical examples based on experimental test beams from the literature, using Monte Carlo simulation, assisted by an adaptive surrogate model, both implemented in MATLAB environment. It is verified that the consideration of the model error variable may not be sufficient to correct the evaluated models. So, application of the models may lead to different levels of structural safety even after the correction. This may be associated with how the model error is determined and with its variability over the stochastic space. Although the bias factor associated to multiplicative model error is used as a measure of conservatism and indicates that the analytical models studied herein are potentially conservative, a comparison between the models indicates that they can lead, in some cases, to nonconservative results.

Key-words: Structural reliability. Model uncertainty. Reinforced concrete. Analytical and numerical models. Beams.

xi

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 – Sequência de etapas . . . 5 Figura 2.1 – Convergência da Pf usando o método de Monte Carlo simples para um

intervalo de confiança de 95% . . . 10 Figura 2.2 – Rede neural artificial perceptron de múltiplas camadas . . . 12 Figura 3.1 – Trajetória de tensões em uma viga biapoiada submetida a duas forças

concentradas . . . 22 Figura 3.2 – Equilíbrio da seção retangular de concreto com armadura simples . . . 23 Figura 3.3 – Diagrama dos domínios de deformação de ruína por flexão simples . . 26 Figura 3.4 – Esquema do modelo da Treliça Generalizada, considerando a

possibili-dade de variação nos ângulos das bielas de compressão do concreto e dos estribos . . . 28 Figura 4.1 – Elementos utilizados para definição dos materiais . . . 36 Figura 4.2 – Diagrama de tensão-deformação adotado para os materiais . . . 37 Figura 4.3 – Apresentação do modelo numérico tridimensional considerando-se dois

planos de simetria . . . 39 Figura 4.4 – Trajetória de tensão de compressão e os mecanismos que podem causar

tensões de tração no concreto . . . 42 Figura 5.1 – Esquema experimental dos tipos de ensaios de flexão . . . 47 Figura 5.2 – Comparação dos valores experimentais com os prescritos pelos modelos 51 Figura 6.1 – Vigas objetos de estudo . . . 58 Figura 6.2 – Gráficos de força total aplicada pelo deslocamento no centro do vão das

vigas em análise para a ruptura por flexão . . . 60 Figura 6.3 – Análise da distribuição de deformações totais equivalentes para

diferen-tes níveis de carregamento (flexão) . . . 61 Figura 6.4 – Vigas objetos de estudo . . . 62 Figura 6.5 – Gráficos de força total aplicada pelo deslocamento no centro do vão

para os dois exemplos considerando ruptura devido ao esforço cortante 64 Figura 6.6 – Análise da distribuição de deformações totais equivalentes para

diferen-tes níveis de carregamento (cortante) . . . 65 Figura 6.7 – Convergência das probabilidades de falha para os modelos de resistência

ao momento fletor para solicitação atuante MS = 22 kN.m . . . 69

Figura 6.8 – Índices de confiabilidade dos diferentes modelos de resistência ao mo-mento fletor . . . 70 Figura 6.9 – Índices de confiabilidade dos diferentes modelos de resistência ao esforço

xiii

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1 – Valores do coeficiente λ . . . 25 Tabela 3.2 – Valores dos coeficientes λ e αc . . . 26

Tabela 3.3 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas (As,min/Ac) . . . 27

Tabela 4.1 – Dimensões dos apoios e dos elementos finitos para análise do modelo numérico . . . 39 Tabela 4.2 – Parâmetros do modelo numérico de resistência ao momento fletor . . . 41 Tabela 4.3 – Parâmetros do modelo numérico de resistência à ruptura por esforço

cortante . . . 43 Tabela 5.1 – Resumo dos experimentos obtidos na literatura . . . 45 Tabela 5.2 – Equações para determinação da resistência teórica dos elementos de

viga de concreto armado segundo os modelos analíticos . . . 49 Tabela 5.3 – Parâmetros estatísticos referentes aos modelos de resistência . . . 50 Tabela 5.4 – Avaliação das distribuições que melhor representam os modelos de

resistência ao momento fletor . . . 52 Tabela 5.5 – Avaliação das distribuições que melhor representam os modelos de

resistência ao esforço cortante . . . 53 Tabela 5.6 – Caracterização da variável erro de modelo dos casos em estudo . . . 55 Tabela 6.1 – Descrição das variáveis dos casos de estudo (flexão) . . . 57 Tabela 6.2 – Parâmetros de entrada do modelo numérico de resistência ao momento

fletor . . . 58 Tabela 6.3 – Valores de momento resistente último . . . 59 Tabela 6.4 – Descrição das variáveis dos casos de estudo (esforço cortante) . . . 62 Tabela 6.5 – Parâmetros de entrada do modelo numérico de resistência ao esforço

cortante . . . 63 Tabela 6.6 – Valores de resistência última . . . 63 Tabela 6.7 – Variáveis aleatórias consideradas . . . 68

xv

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas

ACI American Concrete Institute

CG Centro de gravidade

CORE Center for Optimization and Reliability in Engineering ELU Estado Limite Último

EMV Estimador de Máxima Verossimilhança

FORM Método de Confiabilidade de Primeira Ordem

JCSS Joint Committee on Structural Safety

K-S Teste de aderência de Kolmogorov-Smirnov MPL Perceptron de múltiplas camadas

NBR Norma brasileira RNA Rede neural artificial

SMC Método de simulação de Monte Carlo V.A. Variável aleatória

xvii

LISTA DE SÍMBOLOS

As Área da seção transversal da armadura longitudinal de tração

Asw Área da seção transversal da armadura transversal

bw Largura da seção transversal

CV Coeficiente de Variação

d Altura útil da seção transversal

d0 Distância do centro de gravidade da armadura longitudinal de tração até o bordo mais tracionado

h Altura total da seção transversal Ec Módulo de elasticidade do concreto

Es Módulo de elasticidade do aço

Est Módulo de elasticidade tangente do aço

f_c0 Resistência característica à compressão do concreto (ACI 318-14)

fck Resistência característica à compressão do concreto (ABNT NBR 6118:2014)

fcd Resistência à compressão do concreto de cálculo (ABNT NBR 6118:2014)

fctd Resistência à tração do concreto de cálculo (ABNT NBR 6118:2014)

fctk,inf Resistência característica inferior do concreto à tração (ABNT NBR

6118:2014)

fctk,sup Resistência característica superior do concreto à tração (ABNT NBR

6118:2014)

fctm Resistência média à tração do concreto

fy Resistência característica ao escoamento da armadura (ACI 318-14),

tensão de escoamento da armadura

fyt Resistência característica ao escoamento da armadura transversal (ACI

318-14)

fyk Resistência característica ao escoamento da armadura (ABNT NBR

xviii

fyd Resistência de cálculo ao escoamento da armadura (ABNT NBR 6118:2014)

fywk Resistência característica ao escoamento da armadura transversal (ABNT

NBR 6118:2014)

fywd Tensão na armadura transversal passiva (ABNT NBR 6118:2014)

g Função de estado limite

G Parcela da solicitação correspondente à ação permanente I Função indicadora utilizada na simulação de Monte Carlo Mn Momento fletor resistente nominal da seção (ACI 318-14)

Mu Momento fletor solicitante majorado (ACI 318-14)

MRd Momento fletor resistente de projeto (ABNT NBR 6118:2014)

MSd Momento fletor solicitante de projeto da seção (ABNT NBR 6118:2014)

nf Número esperado de falhas

nsamp Número total de amostras ou simulações

nED Número de pontos de controle

Pf Probabilidade de falha

Q Parcela da solicitação correspondente à ação acidental Rcc Força resultante de compressão do concreto

Rst Força resultante de tração do aço

s Espaçamento entre eixos dos estribos, medido segundo o eixo longitudi-nal do elemento estrutural

UF BR Função de aprendizado relacionada à fração de classificações distintas

V ar Variância

Vn Esforço cortante resistente nominal da seção (ACI 318-14)

Vu Esforço cortante solicitante majorado (ACI 318-14)

VSd Esforço cortante solicitante de projeto (ABNT NBR 6118:2014)

VRd2 Força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais

xix

VRd3 Força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal

(ABNT NBR 6118:2014)

Vc Parcela da força cortante absorvida por mecanismos complementares

Vsw Parcela da força cortante absorvida pela armadura transversal

x Altura da linha neutra, evento de uma variável aleatória xd Vetor de escalares

X Variável aleatória

X Vetor de variáveis aleatórias

α Ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longi-tudinal do elemento estrutural

αc Parâmetro de redução da resistência do concreto na compressão

αv2 Coeficiente de cálculo da força cortante resistente de cálculo relativa à

ruptura das diagonais comprimidas de concreto αmic Degradação máxima do material

β Índice de confiabilidade βmic Taxa de evolução do dano

γc Coeficiente de ponderação da resistência do concreto (ABNT NBR

6118:2014)

γs Coeficiente de ponderação da resistência do aço (ABNT NBR 6118:2014)

γ₀mic Densidade crítica de energia de deformação equivalente

ty Deformação específica da armadura tracionada usada para definir uma

seção controlada por compressão (ACI 318-14)

yd Deformação específica de cálculo de escoamento da armadura (ABNT

NBR 6118:2014)

θ Variável erro de modelo

Θ Ângulo de inclinação das diagonais de compressão em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural

xx

λ Relação entre a profundidade y do diagrama retangular simplificado e a profundidade efetiva da linha neutra

λc Fator de redução das propriedades mecânicas de acordo com o tipo de

concreto (representado por λ no ACI 318-14) ν Coeficiente de Poisson

ρs Taxa de armadura longitudinal

ρsw Taxa de armadura transversal

σs Tensão na armadura

σsd Tensão de cálculo na armadura (ABNT NBR 6118:2014)

φ Fator de minoração da resistência (ACI 318-14) Φ Distribuição normal padrão acumulada

Ωf Domínio de falha

xxi

SUMÁRIO

de simulação de Monte Carlo . . . 11 2.3 Erro de modelo . . . 14 2.3.1 Incertezas de modelo e estruturas de concreto . . . 16 2.3.2 Comentários . . . 19 3 MODELOS ANALÍTICOS DE RESISTÊNCIA DE VIGAS DE

CONCRETO ARMADO . . . . 21 3.1 Momento fletor . . . 21 3.1.1 Formulação do ACI 318 . . . 24 3.1.2 Formulação da ABNT NBR 6118 . . . 25 3.2 Esforço cortante . . . 28 3.2.1 Formulação do ACI 318 . . . 29 3.2.2 Formulação da ABNT NBR 6118 . . . 30 3.2.2.1 Modelo I . . . 31 3.2.2.2 Modelo II. . . 32

4 MODELOS NUMÉRICOS DE RESISTÊNCIA DE VIGAS DE

CONCRETO ARMADO . . . . 35 4.1 Modelo numérico em elementos finitos . . . 36 4.2 Critérios de falha . . . 40 5 DADOS EXPERIMENTAIS E ERROS DE MODELO . . . . 45 5.1 Dados Experimentais . . . 45 5.2 Erros de modelo . . . 48 6 ANÁLISE COMPARATIVA DE CONFIABILIDADE . . . . 57 6.1 Descrição e formulação dos problemas . . . 57

xxii

6.1.1 Ruptura por momento fletor . . . 57 6.1.2 Ruptura devido ao esforço cortante . . . 61 6.1.3 Análise de confiabilidade . . . 65 6.2 Confiabilidade dos modelos analíticos e numéricos . . . 70 6.2.1 Ruptura por momento fletor . . . 70 6.2.2 Ruptura devido ao esforço cortante . . . 72 7 CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . . 75 7.1 Sugestões para trabalhos futuros . . . 76 REFERÊNCIAS . . . . 77

1

1 INTRODUÇÃO

Na avaliação da segurança de estruturas, diversos modelos podem ser aplicados para representar o comportamento de um sistema estrutural. Esses modelos são aproximados, uma vez que envolvem hipóteses e simplificações, não sendo capazes de representar a resposta da estrutura com exatidão. Devido a essas hipóteses e simplificações, os modelos empregados nos problemas de engenharia estão sujeitos às chamadas incertezas de modelo.

De maneira geral, as incertezas estão presentes em todos os parâmetros necessários à caracterização do comportamento de uma estrutura, sendo inerentes a estes parâmetros e/ou decorrentes do conhecimento incompleto a respeito da natureza das variáveis envolvidas. No caso das incertezas de modelo, estas estão usualmente associadas às simplificações adotadas devido à escassez de informações relacionadas ao problema ou à necessidade de reduzir o tempo e complexidade das análises. Havendo dados experimentais e/ou observacionais relacionados à resposta estrutural real, em qualidade e quantidade suficiente, é possível tentar corrigir os modelos, do ponto de vista probabilístico, por meio de variáveis aleatórias denominadas erros de modelo. Trata-se de uma tentativa de aproximar a distribuição de probabilidades da resposta do modelo à distribuição real de probabilidades.

Com o avanço tecnológico, o desenvolvimento de modelos estruturais mais complexos tem sido realizado por meio, por exemplo, da utilização de elementos finitos, considerando diferentes tipos de não-linearidade, na tentativa de melhor representar as estruturas reais. Robustez, fidelidade aos dados experimentais e precisão na previsão de determinados aspectos são as principais características avaliadas em um modelo (ALVIN et al., 1998). Entretanto, esse tipo de abordagem pode se tornar computacionalmente custosa, inviabili-zando sua aplicação prática. Nesse contexto, uma alternativa é a utilização de modelos mais simplificados (PLACAS, 1969; BENTZ et al., 2006; CHOI et al., 2015), mas com uma descrição probabilística melhorada dos parâmetros de entrada e do erro de modelo, atualizada condicionalmente às observações experimentais (SUDRET, 2007). As expressões analíticas comumente adotadas por normas técnicas, apesar de se tratarem de modelos semi-probabilísticos, buscam apresentar algo nesse sentido ao considerarem a aplicação de coeficientes de majoração/minoração em modelos com hipóteses mais restritivas. Es-tes coeficienEs-tes determinísticos são calibrados a partir de índices de confiabilidade alvo, buscando-se considerar a estimativa das incertezas relacionadas ao modelo e às suas variá-veis (BECK; SOUZA JR., 2010; STEENBERGEN et al., 2012; KOTES et al., 2017). Caso o erro de modelo possa ser bem caracterizado, considerando-se uma análise probabilística, a resposta esperada por esses modelos é melhorada, podendo ter precisão adequada e suficiente para uma determinada aplicação (SONG et al., 2019).

Tratando-se da análise de estruturas de concreto armado, os modelos comumente utilizados para avaliar a capacidade resistente de elementos estruturais, assim como outros

2 Capítulo 1. Introdução

modelos utilizados em engenharia, também estão sujeitos a incertezas de modelo. Como consequência, diversos estudos relacionados à avaliação do erro de modelo em estruturas de concreto armado têm sido desenvolvidos: Nowak & Szerszen (2003), Santos (2012), Sykora et al. (2013), Hirata (2013), Baji (2014), Ribeiro et al. (2016), Ferreira (2017), Cervenka et al.(2018), entre outros. Além disso, as distribuições e os parâmetros estatísticos obtidos para o erro de modelo (MIRZA; MACGREGOR, 1979; ELLINGWOOD et al., 1980; MACGREGOR et al., 1983) podem ser utilizados em estudos de confiabilidade estrutural (LU et al., 1994; DINIZ; FRANGOPOL, 1997; NOWAK et al., 2011).

Quanto à avaliação da variável erro de modelo, indica-se que esta pode ser determi-nada a partir da comparação entre ensaios experimentais e os valores obtidos via modelo de resistência proposto. Parte da literatura menciona que os parâmetros estatísticos do erro de modelo são determinados diretamente desta comparação (BECK et al., 2009; NOWAK et al., 2011; SYKORA et al., 2013). Por outro lado, alguns trabalhos apresentam os parâmetros do erro de modelo, juntamente com outras incertezas, como componentes da variável obtida da relação entre os valores experimentais e os calculados segundo o modelo de resistência em questão (ELLINGWOOD et al., 1980; MIRZA; SKRABEK, 1992; MOURA et al., 2018). Sendo assim, mesmo em se tratando de um tema bastante abordado pela literatura, detalhes a respeito da determinação do erro de modelo são escassos, não havendo consenso sobre como este deve ser medido e qual seu verdadeiro impacto nas aplicações em problemas de engenharia (NILSEN; AVEN, 2003).

Em vista disso, o presente trabalho propõe avaliar a influência do erro de modelo associado a modelos analíticos apresentados nas normas ACI 318-14 e ABNT NBR 6118:2014 e a modelos numéricos, elaborados em elementos finitos, de resistência de vigas de concreto armado. Para isso, são analisadas as predições de resistência à ruptura por flexão e devido ao esforço cortante para esse tipo de elemento estrutural. Após caracterizados os erros de modelo, estes são aplicados aos modelos de resistência e empregados em análises de confiabilidade, considerando exemplos baseados na literatura.

1.1

Justificativa

Para representar a resistência de elementos lineares de concreto armado, diversos mo-delos são apresentados em normas técnicas e na literatura. Entretanto, cada modelo possui suas considerações e simplificações e, desta forma, podem levar a diferentes resultados.

Se a variável erro de modelo for bem caracterizada em termos estatísticos e tiver uma distribuição que represente adequadamente a relação entre resultados teóricos e resul-tados observados experimentalmente, espera-se que os modelos corrigidos, considerando situações de projeto, apresentem resultados semelhantes, em termos das estimativas das probabilidades de falha. Por outro lado, são poucos os estudos que descrevem detalhada-mente o procedimento de determinação do erro de modelo ou que realizam a avaliação do

1.2. Objetivos 3

efeito desta variável nos resultados de análises de confiabilidade. Muitos autores apenas adotam valores para o erro de modelo a partir de trabalhos anteriores, presumindo que a inclusão deste nas análises pode ser considerada suficiente para corrigir o modelo quanto às incertezas a ele associadas. Porém, existem aspectos relativos à solução dos problemas de confiabilidade estrutural envolvendo erro de modelo que necessitam de desenvolvimento.

Nesse contexto, o presente trabalho tem como principal motivação a busca por maiores detalhes a respeito da determinação do erro de modelo, bem como contribuir para o desenvolvimento de pesquisas envolvendo erro de modelo e confiabilidade de estruturas de concreto armado, considerando modelos analíticos e também modelos numéricos em elementos finitos.

1.2

Objetivos

1.2.1 Objetivo geral

O objetivo geral deste trabalho consiste em avaliar o efeito da aplicação da variável aleatória multiplicativa erro de modelo na confiabilidade estrutural de vigas em concreto armado, considerando diferentes modelos analíticos e numéricos de resistência estrutural.

1.2.2 Objetivos específicos

Os objetivos específicos desta pesquisa são listados a seguir:

a) Elaborar um banco de dados envolvendo resultados de ensaios experimentais de ruptura de vigas de concreto armado, obtidos a partir da literatura;

b) Implementar rotinas computacionais para avaliação dos modelos analíticos de resistência de elementos lineares de viga de concreto armado das normas técnicas ACI 318-14 e ABNT NBR 6118:2014;

c) Implementar modelos numéricos em elementos finitos para avaliação da resistência de vigas de concreto armado;

d) Determinar as variáveis erro de modelo associadas aos diferentes modelos de resis-tência estruturais considerados nesse trabalho;

e) Comparar e analisar os índices de confiabilidade obtidos em diferentes exemplos, considerando os modelos e seus respectivos erros de modelo.

4 Capítulo 1. Introdução

1.3

Procedimentos metodológicos

Primeiramente, realiza-se uma coleta de dados de ensaios experimentais da literatura, relativos à ruptura por flexão ou por cisalhamento em vigas de concreto armado.

Em seguida, os modelos de predição de resistência apresentados nas normas ACI 318-14 e ABNT NBR 6118:20318-14 são comparados aos valores experimentais para determinação dos parâmetros estatísticos das respectivas variáveis erro de modelo. O mesmo procedimento é realizado para dois modelos numéricos elaborados com o auxílio do programa comercial ANSYS, um modelo referente a cada modo de falha indicado anteriormente. Os modelos numéricos são definidos a partir de hipóteses e de especificações disponíveis na literatura, realizando-se um processo de calibração das variáveis do modelo de dano que descreve o comportamento do concreto. A partir da determinação do erro de modelo relacionado a cada experimento, são definidas as distribuições de probabilidade que melhor se ajustam aos resultados, utilizando o método da máxima verossimilhança, a partir de rotinas computacionais programadas em ambiente MATLAB.

Na sequência, após a caracterização dos erros de modelo, estes são aplicados na análise de confiabilidade para quatro exemplos de vigas. As análises são efetuadas utilizando redes neurais artificiais como um metamodelo adaptativo, em conjunto com o método de simulação de Monte Carlo. As rotinas são implementadas em ambiente MATLAB a partir de códigos computacionais disponibilizados pelo grupo de pesquisa Center for Optimization and Reliability in Engineering (CORE). O resumo esquemático das etapas da pesquisa está ilustrado na Figura 1.1.

1.4

Estrutura do trabalho

O Capítulo 2 expõe uma abordagem geral a respeito de confiabilidade estrutural, apontando trabalhos de literatura relacionados a erro de modelo que podem ser consultados para melhor compreensão acerca do tema.

No Capítulo 3 são apresentadas as considerações e simplificações dos modelos de resistência à flexão e ao esforço cortante de vigas de concreto armado. Além disso, são indicadas algumas recomendações das normas norte-americana e brasileira, ACI 318 e ABNT NBR 6118, respectivamente.

O Capítulo 4 caracteriza, brevemente, a teoria e as hipóteses associadas aos modelos numéricos de resistência. As propriedades dos modelos são definidas e os critérios de falha empregados são descritos.

O Capítulo 5 descreve e detalha o banco de dados obtido a partir da literatura e apresenta os parâmetros estatísticos relativos à variável erro de modelo para cada modelo analisado no presente trabalho.

1.4. Estrutura do trabalho 5

de estudo. Em seguida, os resultados de confiabilidade estrutural são apresentados e os modelos são comparados.

Por fim, o Capítulo 7 expõe as principais conclusões obtidas e as sugestões de estudos complementares futuros.

Figura 1.1 – Sequência de etapas Início Fim Coleta de dados de ensaios de vigas Escolha de modelos analíticos de norma Escolha e implementação de modelos numéricos Determinação dos parâmetros estatísticos das variáveis aleatórias erro

de modelo

Exemplos de viga obtidos da literatura considerando os erros de modelo

obtidos

Aplicação da confiabilidade estrutural e comparação dos diferentes modelos Grupo de ruptura devido

ao momento fletor

Grupo com ruptura devido ao esforço cortante

7

2 CONFIABILIDADE ESTRUTURAL

Diversos critérios são definidos e aplicados sobre os sistemas estruturais com o objetivo de garantir viabilidade, segurança e desempenho adequado à estrutura ao longo de sua vida útil. Na tentativa de compor um balanço entre economia e um nível adequado de segurança, faz-se necessário o conhecimento relacionado aos valores das ações atuantes, às características dos materiais empregados na composição da estrutura e aos modelos de cálculo representantes do comportamento do sistema. Sendo assim, os projetos estruturais devem atender a alguns requisitos básicos, que são usualmente equacionados na forma de estados limites. Os parâmetros que influenciam as funções de estado limite, devido às incertezas associadas a estes, são geralmente representados por variáveis aleatórias.

A definição de variável aleatória (V.A.) pode ser caracterizada como a função real X(ω) que atribui um número real para cada evento aleatório ω pertencente a um espaço amostral Ω, tal que o conjunto {X ≤ x} representa um evento para qualquer número real x (BUSSAB; MORETTIN, 2004). De uma forma mais simples, uma variável aleatória é uma variável que pode assumir um valor numérico diferente para cada evento de um espaço amostral.

Nos problemas de engenharia, as V.A.s que caracterizam o comportamento e o modo de falha de uma estrutura são denominadas variáveis básicas. As distribuições de probabilidade das V.A.s são descritas por meio dos parâmetros denominados momentos. Os dois primeiros e principais momentos são a média, ou valor esperado, e a variância. Estes momentos podem ser obtidos a partir da função de densidade de probabilidade da variável aleatória em análise, caso a mesma seja conhecida, sendo que a função de densidade descreve a probabilidade relativa da V.A. assumir um determinado valor (MELCHERS; BECK, 2018). O valor esperado (µX) é expresso por:

E(X) = µX =

Z ∞

−∞xfX(x)dx, (2.1)

onde fX é a função de densidade de probabilidade da variável aleatória X. A variância,

V ar(X), que é uma medida de dispersão dos valores da V.A. em torno de sua média, é avaliada segundo a Equação 2.2. A raiz quadrada da variância recebe o nome de desvio padrão (σX), sendo outra medida de dispersão bastante empregada (FABER, 2009).

E[(X − µX)2] = V ar(X) = σ2X =

Z ∞

−∞(x − µX)

2_f

X(x)dx (2.2)

Para facilitar a comparação de variáveis aleatórias que possuem diferentes médias, divide-se o desvio padrão pelo valor esperado, obtendo-se o coeficiente de variação (CV ),

8 Capítulo 2. Confiabilidade estrutural

sendo este adimensional, normalizado pela média e definido como: CV = σX

µX

. (2.3)

Para descrever um determinado modo de falha de um sistema estrutural, uma função de estado limite, g(X), é formulada. Sendo assim, o problema básico de confiabilidade estrutural, de modo geral, pode ser descrito segundo a equação:

g(X) = R(X) − S(X), (2.4)

onde R(X) e S(X) representam as funções de resistência e solicitação, respectivamente, e X é o vetor das variáveis aleatórias que caracterizam o problema. Caso sejam consideradas às incertezas associadas aos modelos, a Equação 2.4 passa a ser reescrita por:

g(X) = θRR(X) − θSS(X), (2.5)

onde θRe θSsão as V.A.s erro de modelo associadas às incertezas dos modelos de resistência,

R(X), e de solicitação, S(X), respectivamente.

Caso a função de estado limite assuma valores menores ou iguais a zero, considera-se que ocorreu a falha. Para situações contrárias, em que a função resulte em valores positivos, caracteriza-se não falha. Dessa forma, o domínio do problema pode ser dividido em domínio de falha (Ωf) e de não falha (Ωs), conforme apresenta a Equação 2.6.

Ωf = {x|g(x) ≤ 0}

Ωs= {x|g(x) > 0}

(2.6) A análise de confiabilidade estrutural tem como principal objetivo quantificar probabilidades de falha associadas aos diversos modos de falha do sistema estrutural, ou seja, obter medidas do nível de segurança das estruturas considerando as incertezas relacionadas às solicitações, às propriedades dos materiais e aos parâmetros geométricos do elemento, bem como aos modelos estruturais empregados. De acordo com Sorensen (2004), a probabilidade de falha (Pf) consiste no somatório do conteúdo de probabilidades

de todos os casos nos quais a solicitação excede a resistência, conforme a Equação 2.7. Pf = P [(R(X) − S(X) ≤ 0)] =

Z

Ωf

fX(x)dx (2.7)

As determinações da função de densidade conjunta de probabilidade das variáveis de projeto fX(x) e do domínio de falha em geral não são triviais. Na maioria das aplicações práticas, dificilmente consegue-se a representação destas por meio do uso de expressões matemáticas definidas, devendo-se buscar abordagens numéricas aproximadas (FABER,

2.1. Simulação de Monte Carlo 9

2009). Sendo assim, a solução da integral apresentada na Equação 2.7 é comumente obtida por métodos de transformação ou por métodos de simulação numérica. Dentre os quais, podem ser destacados o Método de Confiabilidade de Primeira Ordem (FORM), Método de Confiabilidade de Segunda Ordem (SORM) e o método de simulação de Monte Carlo (SMC). Na seção 2.1 são apresentados maiores detalhes a respeito do método de simulação de Monte Carlo, devido à sua fácil aplicação e ao seu amplo uso em problemas de confiabilidade.

Alternativamente, o índice de confiabilidade, β, pode ser utilizado como uma medida da segurança da estrutura, segundo a Equação 2.8 (CORNELL, 1969).

β = −Φ−1( ˆPf), (2.8)

onde ˆPf é a probabilidade de falha estimada e Φ−1 é a inversa da distribuição normal

padrão acumulada.

O índice de confiabilidade é um termo bastante utilizado para quantificar o nível de segurança em estruturas. Quanto maior for o valor de β associado a uma dada estrutura, maior o nível de segurança desta. Valores para o índice de confiabilidade geralmente encontrados em problemas de engenharia situam-se no intervalo de 1,3 a 5,2, correspondendo a probabilidades de falha na ordem de 10−1 _{a 10}−7_{, respectivamente (COELHO, 2011).} Além disso, em termos de projeto baseado em confiabilidade, muitas vezes são empregados valores mínimos aceitáveis para o índice de confiabilidade, conhecidos como índices de confiabilidade alvo. Maiores detalhes relacionados aos índices de confiabilidade alvo podem ser encontrados em JCSS (2002), EN 1990 (2002) e Melchers & Beck (2018).

2.1

Simulação de Monte Carlo

Metropolis & Ulam (1949) propuseram um método de cálculo de probabilidade baseado em simulações, que se utiliza de um grande número de valores aleatórios a serem assumidos pelas variáveis do problema. Este método tornou-se amplamente utilizado na área das engenharias devido a sua estimativa precisa (PULIDO et al., 1992; FABER, 2009) e também à sua simplicidade. O método de simulação de Monte Carlo (SMC) envolve, portanto, a amostragem aleatória para simular estatística e artificialmente um grande número de experimentos.

A estimativa da probabilidade de falha, obtida por meio do método de Monte Carlo simples, é tomada a partir da relação entre o número esperado de falhas nf e o total

de amostras ou simulações realizadas nsamp. Para isso, uma função indicadora, I(x), é

aplicada sobre cada realização do experimento, eliminando do processo de integração a contribuição de pontos não pertencentes ao domínio de falha e permitindo que a integração seja efetuada sobre todo o domínio estocástico. Nesse caso, atribui-se à função I o valor

10 Capítulo 2. Confiabilidade estrutural

unitário para os pontos pertencentes ao domínio de falha e o valor nulo, caso contrário. A função indicadora é representada por:

I(x) =      1, se g(x) ≤ 0, 0, se g(x) > 0. (2.9)

O valor estimado para probabilidade de falha é dado pela Equação 2.10. ˆ Pf = 1 nsamp nsamp X i=1 I(xi) = nf nsamp (2.10) Segundo Ditlevsen & Madsen (2007), não é uma tarefa fácil indicar, por meio de equações analíticas, o tamanho amostral mínimo necessário para obtenção de resultados dentro de um intervalo de confiança aceitável. Considerando uma probabilidade de falha de ordem 10−k _{e um coeficiente de variação máximo de 5%, uma estimativa aproximada} para o número de simulações necessário é dada pela Equação 2.11 (SUDRET, 2007).

nsamp >4 × 10k+2 (2.11)

A solução obtida para a probabilidade de falha converge para o valor da solução exata conforme aumenta-se o tamanho da amostra, como ilustra a Figura 2.1.

Figura 2.1 – Convergência da Pf usando o método de Monte Carlo simples para um

intervalo de confiança de 95%

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 Número de simulações n_samp

0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 Probabilidade de Falha P f Média i.c.

Fonte: Elaborada pelo autor.

A probabilidade de falha obtida a partir da SMC é um estimador da probabilidade de falha exata, pois caso nsamp → ∞, obtêm-se ˆPf = Pf. Devido à baixa ordem de grandeza

associada às probabilidades de falha usuais de engenharia (Pf << 1) (SUDRET, 2007), na

prática, o número de simulações necessárias é bastante elevado. Caso o modelo utilizado para representar a resposta estrutural tenha um custo computacional elevado, a simulação

2.2. Redes neurais artificiais adaptativas em conjunto com o método de simulação de Monte Carlo 11

de Monte Carlo se torna proibitiva. Nesse contexto, com o intuito de evitar com que sejam necessárias milhões de avaliações da função de estado limite, e consequentemente, do modelo estrutural, metamodelos podem ser construídos para redução do custo computacional (KROETZ et al., 2017). Os metamodelos são aproximações da resposta de um determinado modelo, geralmente construídos a partir de algumas observações do modelo real. Dentre os diversos tipos de metamodelos, as redes neurais artificiais, apresentadas brevemente na seção 2.2, são um dos tipos usualmente empregados em problemas de confiabilidade (PAPADOPOULOS et al., 2012; CHOJACZYK et al., 2015; GOMES, 2018; GOMES, 2019).

2.2

Redes neurais artificiais adaptativas em conjunto com o

mé-todo de simulação de Monte Carlo

As redes neurais artificiais (RNA) são modelos computacionais baseados em uma analogia simplificada relacionada ao comportamento do cérebro humano, onde as in-formações são processadas por pequenas unidades de processamento, matematicamente representadas por funções relativamente simples (HAYKIN, 2009; CHOJACZYK et al., 2015). É comum realizar a separação dos dados de entrada e de saída em três grupos: treinamento, validação e teste. O primeiro grupo é utilizado para o ajuste dos parâmetros; o grupo de validação é usado entre iterações, com intuito de interromper o processo de treinamento caso o erro comece a aumentar devido ao sobre-ajuste dos dados; e o grupo de teste é usado para verificar a capacidade de previsão das redes ao final do treinamento (GOMES; BECK, 2013).

Um dos tipos de rede utilizado para problemas de aproximação é o perceptron de múltiplas camadas (MLP - Multilayer Perceptron). As redes MLP são construídas a partir de uma camada de entrada, havendo um neurônio para cada parâmetro de entrada, uma camada de saída, contendo um neurônio para cada um dos parâmetros de saída, e um determinado número arbitrário de camadas ocultas. Os neurônios de uma camada são conectados a cada um dos neurônios da outra camada, havendo o fluxo de informação somente na direção de entrada para saída (HAYKIN, 2009). Cada neurônio oculto recebe todos os dados de entrada multiplicados por um peso e somados a uma polarização, cujo objetivo é centralizar a curva de ativação, permitindo que ocorra a ativação do neurônio mesmo que seu valor seja nulo. Os valores resultantes são transmitidos para a camada de saída. A Figura 2.2 exemplifica uma rede MLP com duas entradas, três neurônios na camada oculta e uma saída. No presente trabalho, consideram-se os neurônios que aplicam uma combinação linear de suas informações de entrada, nas camadas de entrada e saída, e neurônios com função de ativação tangente-sigmóide, em uma única camada oculta.

12 Capítulo 2. Confiabilidade estrutural

Figura 2.2 – Rede neural artificial perceptron de múltiplas camadas

x

x

y

Fonte: Adaptada de Gomes (2019).

Considerando o peso entre o neurônio i da camada k e o neurônio j da camada k −1, w(k)_ji , e o fator de viés, ou bias factor, do neurônio i da camada k, θ_i(k), neste caso, a resposta de uma rede MLP com nk neurônios pode ser vista conforme a seguinte equação:

yRN A= tansig  θ (3) 1 + n2 X i=1  w (3) i1 tansig  θ (2) i + n1 X j=1 w(2)_ji xj      , (2.12)

onde x={x1, ..., xn1} é o vetor de dados de entrada e tansig(.) é a função tangente-sigmóide.

O treinamento das redes neurais consiste em determinar os parâmetros de viés e os pesos apresentados na equação anterior. Em geral, esses parâmetros são gerados com algum grau de aleatoriedade, pois cada vez que uma nova rede é inicializada, o resultado obtido tende a ser diferente.

Tratando-se da análise de estruturas sob incertezas, diversos estudos relacionados à aplicação de redes neurais artificiais são apresentados na literatura (FIROUZI; RAHAI, 2012; PAPADOPOULOS et al., 2012; GOMES; BECK, 2013; KROETZ et al., 2017; GOMES, 2018; AVAL; GHABDIAN, 2019). Neste trabalho, utilizou-se uma abordagem adaptativa, proposta por Gomes (2019), que é brevemente descrita a seguir.

Para um problema que depende de um vetor de V.A.s, X, uma realização i deste vetor resulta um vetor de escalares, representado por xi. Para a construção da RNA

adaptativa, primeiramente é necessário definir um conjunto (ED - Experimental Design) de pontos de controle e seus respectivos valores da função de estado limite. O conjunto consiste em nED realizações do vetor X, e os nED respectivos valores, cada um deles dado

por yi = g(xi). No caso do uso das RNAs juntamente a simulação de Monte Carlo, o

procedimento básico consiste em construir o metamodelo utilizando os pontos de controle, e depois avaliar a Pf substituindo a função de estado limite original pelo metamodelo nas

Equações 2.9 e 2.10. Nota-se que neste procedimento também é gerada uma população de nsamp realizações do vetor de V.A.s, entretanto, a função de estado limite original é

2.2. Redes neurais artificiais adaptativas em conjunto com o método de simulação de Monte Carlo 13

avaliada apenas nos nED pontos de controle. Nesse contexto, os modelos aproximadores

precisam ser precisos suficientes apenas na predição relativa à sobrevivência ou não da estrutura, que corresponde à região que mais contribui para a falha (ECHARD et al., 2011). Isso leva à adoção de procedimentos adaptativos, nos quais o conjunto de pontos é enriquecido iterativamente, incluindo pontos nas regiões mais importantes para o cálculo da probabilidade de falha, e melhorando o metamodelo ao longo do processo.

O procedimento iterativo aqui adotado foi implementado em ambiente MATLAB e pode ser resumido em sete etapas, descritas a seguir.

1. Geração de uma amostra de variáveis aleatórias para compor a população amostral da simulação, com um total de nsamp realizações, sendo que cada variável deve ser

gerada de acordo com sua distribuição de probabilidade;

2. Definição dos pontos iniciais de controle, selecionados a partir da população de Monte Carlo definida na etapa anterior. Esses pontos são determinados a partir da busca dos nED pontos mais distantes dentre os pontos que constituem a amostra,

considerando distâncias Euclidianas, e iniciando-se com a seleção do ponto mais próximo à média das V.A.s;

3. Geração de um total de B redes neurais distintas e treinamento das mesmas considerando-se os pontos de controle. Nota-se que as RNAs geradas tendem a ser diferentes entre si devido à aleatoriedade relacionada ao processo de inicialização destas;

4. Estimativa da probabilidade de falha a partir da população inicial, nsamp. Para cada

rede neural artificial, a probabilidade de falha é estimada de acordo com: ˆ

Pf =

nyRN A≤0 nsamp

, (2.13)

onde nyRN A≤0 é número de falhas obtido avaliando-se cada ponto amostral da população via metamodelo.

5. Avaliação do critério de convergência, baseado na estabilidade da probabilidade de falha estimada em cada iteração, conforme Equação 2.14 (SCHOBI et al., 2017).

maxPˆf (b) −min  ˆ Pf (b) ˆ Pf ≤ _Pˆ f, (2.14) onde ˆPf (b)

corresponde às probabilidades de falha de cada uma das B redes neurais e _Pˆ_f é a diferença máxima aceitável entre as probabilidades extremas.

14 Capítulo 2. Confiabilidade estrutural

6. Escolha de novos pontos a serem incluídos no conjunto de pontos de controle. Para isso, são avaliados os pontos amostrais onde existem mais incertezas por parte das RNAs. Se, por exemplo, para um determinado ponto, metade das redes indicam falha e a outra metade aponta não falha, esse ponto deve ser investigado. Para determinação desses pontos, utiliza-se uma função de aprendizado relacionada à fração de classificações distintas, UF BR(x), representada por:

UF BR(x) =      BS(x) − Bf(x) B      , (2.15)

onde Bf(x) e BS(x) são números que identificam a quantidade de redes que

conside-ram o ponto x como relacionado à falha ou à não falha, respectivamente. Se o valor da fração for próximo ao unitário, todas as redes apresentam a mesma classificação para o ponto, havendo, portanto, pouca incerteza quanto a este ponto e pouco aprendizado a se obter a partir do mesmo. Por outro lado, se a fração UF BR(x)

for aproximadamente zero, existe grande incerteza a respeito do ponto amostral x, sugerindo-se que este seja adicionado ao conjunto de pontos de controle;

7. Os pontos escolhidos na etapa anterior são adicionados ao conjunto de pontos de controle. Todas as redes são treinadas novamente, considerando o conjunto atual de pontos. O procedimento retorna para a quarta etapa, até que seja atingida a convergência.

Ao substituir um grande número de avaliações da função original por avaliações de um metamodelo com pequeno esforço computacional relacionado, o procedimento de metamodelagem torna possível a solução de problemas com funções de estado limite que apresentam significativo esforço computacional para serem avaliadas. Além disso, o procedimento adaptativo permite controlar melhor a precisão dos resultados obtidos, aumentando a eficiência do método. Isso tudo faz com que a metamodelagem adaptativa venha sendo empregada em várias aplicações em engenharia e outras áreas, ao longo dos últimos anos (MOUSTAPHA et al., 2016; MARELLI; SUDRET, 2016; SCHOBI et al., 2017; GOMES, 2019).

2.3

Erro de modelo

A formulação do projeto estrutural baseado em confiabilidade implica no reconheci-mento de que as variáveis físicas consideradas nos problemas de engenharia estão sujeitas à variabilidade. Segundo Guedes Soares (1997), o objetivo da análise de confiabilidade foi expandido, passando a incluir em sua formulação tanto a incerteza fundamental das

2.3. Erro de modelo 15

variáveis quanto a incerteza estatística dos parâmetros que as descrevem. No caso das in-certezas de modelo, segundo Zio & Apostolakis (1996), estas surgem devido à incapacidade de se caracterizar completamente o próprio sistema.

De acordo com Guedes Soares (1997), devido ao fato de um mesmo problema físico poder ser avaliado segundo diferentes teorias de engenharia, uma fonte adicional de incerteza deve ser incorporada em formulações de confiabilidade. Sendo assim, o erro de modelo diz respeito à incerteza na representação do comportamento físico de uma estrutura (NILSEN; AVEN, 2003; MELCHERS; BECK, 2018).

Em Ditlevsen (1982) e Sudret (2007) são apresentadas duas fontes para as incertezas relacionadas aos modelos. A primeira refere-se ao fato do número de variáveis físicas básicas do problema ser limitado a um número finito, deixando de fora possivelmente um conjunto infinito de parâmetros que foram considerados de importância secundária ou insignificante no processo de idealização do modelo. Em segundo lugar, a incerteza de modelo está associada à idealização de expressões matemáticas operacionais, relacionadas à falta de conhecimento sobre a interação detalhada entre as variáveis consideradas, como já mencionado anteriormente.

As incertezas de modelo podem ser incorporadas na análise de confiabilidade por meio da consideração de uma variável erro de modelo θ, com objetivo de representar a razão entre a resposta do modelo real e aquela que foi prevista. Existem dois tipos usuais de erro de modelo: o modelo multiplicativo (θm) e o aditivo (θa). A primeira forma de

tratamento é apresentada por Ang & Cornell (1974) e pode ser representada por:

YR = θmY∗(X), (2.16)

onde a variável erro de modelo θm opera na correção da predição do modelo aproximado

Y∗(X) para produzir uma estimativa melhorada da variável aleatória YR, sendo X o vetor

de variáveis aleatórias que caracterizam o modelo.

A segunda forma, apresentada, por exemplo, em Zio & Apostolakis (1996), é conhecida como modelo aditivo e pode ser descrita de acordo com:

YR = Y∗(X) + θa. (2.17)

A variável erro de modelo pode ser descrita como uma variável aleatória, definida por sua função de densidade de probabilidades ou por seus momentos. Uma realização da variável erro de modelo multiplicativo, ξi, pode ser obtida dividindo-se um valor real, yRi, pelo respectivo valor fornecido pelo modelo, y∗

i, conforme Equação 2.18. ξi = yRi y∗ i(x) , (2.18)

16 Capítulo 2. Confiabilidade estrutural

onde i o número do experimento e x é o vetor de realizações das V.A.s do problema. A média amostral do erro de modelo, também conhecida como bias factor, reflete, teoricamente, o viés conservativo do modelo, e o coeficiente de variação indica a precisão dos resultados. Caso os modelos em análise resultem em valores teóricos de resistência inferiores aos obtidos nos ensaios, o erro de modelo será, em média, superior ao valor ideal unitário, indicando conservadorismo. Caso contrário, há indicação contrária à segurança, sendo previstas resistências superiores às obtidas nos experimentos, em média. De acordo com Ditlevsen & Madsen (2007), é razoável afirmar que o modelo proposto só é capaz de representar os valores observados somente se a variável aleatória erro de modelo tiver um coeficiente de variação adequadamente pequeno.

Um caso especial de incerteza de modelo está relacionado ao tratamento dos erros humanos e aos efeitos da intervenção humana na estrutura. Se informações suficientes sobre esses efeitos forem conhecidas, a inclusão destes poderia, a princípio, ser feita na modelagem. Por causa de sua natureza especial, esse tipo de incerteza não será considerado neste trabalho. Mais informações a repeito podem ser encontradas em Nowak (1979), Lind (1983), Melchers (1995) e em Brown et al. (2008).

Muitos autores abordam o uso do modelo aditivo por este apresentar melhores resultados em relação ao multiplicativo (DITLEVSEN, 1982; MAHADEVAN; REBBA, 2006; SUDRET, 2007). Entretanto, as aplicações na engenharia civil utilizam parâmetros de incerteza comumente baseados no modelo multiplicativo. Isso está ligado ao fato de que as equações de verificação de projeto contêm tradicionalmente coeficientes parciais ou fatores de ponderação de natureza multiplicativa. Esse tipo de formato é o mais difundido na área de estruturas, pois sempre que incertezas específicas são identificadas no modelo, novos fatores multiplicativos são incorporados às variáveis de projeto, objetivando refletir em um maior nível de conservadorismo (MAES, 1996).

2.3.1 Incertezas de modelo e estruturas de concreto

A seguir são apresentados alguns trabalhos referentes à quantificação das incer-tezas existentes em diferentes modelos de resistência, destacando-se as suas principais contribuições.

Uma das principais referências quanto a erro de modelo em estruturas de concreto armado é o trabalho de Ellingwood et al. (1980). Utilizando dados experimentais, foram avaliados os erros de modelo de estruturas de concreto armado e protendido. A variabili-dade dos diferentes erros de modelo foi determinada a partir do coeficiente de variação obtido da comparação entre os valores prescritos e os medidos, sendo este CV composto pelas variabilidades do erro de modelo e de outras incertezas relacionadas aos ensaios experimentais, tais como aquelas associadas à imprecisão dos equipamentos de medição, à definição de falha escolhida para o ensaio e às dimensões do elemento estrutural. Para o

2.3. Erro de modelo 17

caso de vigas sujeitas à flexão ou de pilares sob flexão composta, a variável erro de modelo foi caracterizada pela média igual a 1,01 e pelo coeficiente de variação igual a 0,046. Valores semelhantes foram obtidos em MacGregor et al. (1983). Além disso, normas de projeto embasaram os métodos de análise e a determinação dos coeficientes de ponderação de acordo com os resultados de Ellingwood et al. (1980) (JCSS, 2002; NOWAK; SZERSZEN, 2003).

Com relação a estudos mais recentes, Ribeiro (2005) e Hirata (2013) realizaram a análise dos modelos de cálculo relacionados ao cisalhamento em vigas de concreto armado, segundo as prescrições da ABNT NBR 6118. Para selecionar o melhor modelo dentre os analisados, foi utilizado um método de análise que permite comparar o desempenho de diferentes equações de dimensionamento ao cisalhamento de elementos de concreto armado a partir de uma escala de demérito. Ribeiro (2005) indicou que a melhor correlação entre os valores previstos segundo os critérios da norma brasileira e os experimentos foi obtida para o modelo II com o ângulo das bielas igual a 30°. Hirata (2013), por sua vez, verificou que o modelo de prescrição da norma brasileira, de maneira geral, apresenta resultados satisfatórios nos intervalos usuais dos parâmetros de projeto.

Em Mahadevan & Rebba (2006) é proposta uma metodologia para quantificar os erros relativos à análise de confiabilidade e a aproximações numéricas. Posteriormente, estes são inclusos numa otimização baseada em confiabilidade. A avaliação do erro do modelo foi baseada na comparação da previsão do modelo com observações físicas usando uma abordagem de reamostragem, apresentando-se dois exemplos numéricos de aplicação.

O estudo de Oliveira et al. (2008), por sua vez, trata da verificação da segurança de pilares mistos de seção circular segundo normas brasileiras a partir da análise da confiabilidade. A variável erro de modelo é calculada a partir do comparativo com resultados de experimentos elaborados pelos autores. Entretanto, apresenta-se uma correção da variável por meio da utilização do fator de tendenciosidade, fazendo com que o erro de modelo corrigido apresente média unitária. Os resultados mostram a influência da aplicação do erro de modelo no índice de confiabilidade, ressaltando a necessidade de levar em consideração o erro de modelo nas análises.

Beck et al. (2009) investigaram as diretrizes de projeto para pilares compostos por aço e concreto, segundo quatro normas distintas. Chegou-se à conclusão que a variável erro de modelo é função do índice de esbeltez do elemento estrutural. Nesse caso, uma regressão não-linear foi proposta para caracterizar a variável erro de modelo. Nas análises de confiabilidade, o erro do modelo apresentou bastante impacto no nível de segurança estimado para os elementos estruturais. Além disso, devido ao conservadorismo do modelo de predição da norma ABNT NBR 8800, representado pela maior média para a V.A. erro de modelo entre os modelos analisados, a consideração do erro do modelo resultou no aumento do índice de confiabilidade de pilares curtos projetados de acordo com a norma brasileira.

18 Capítulo 2. Confiabilidade estrutural

Santos (2012) avalia as prescrições da ABNT NBR 6118 para os modelos de resistência de pilares de concreto armado. No estudo, realizou-se a busca pela distribuição probabilística que melhor se ajusta às variáveis, com o intuito de permitir estudos futuros de confiabilidade acerca dos modelos. A correlação entre o erro de modelo e as demais variáveis foi avaliada a partir de regressão linear simples, não sendo obtidos resultados conclusivos. Nesse mesmo contexto, avaliando os modelos de resistência de vigas de concreto protendido segundo esta mesma norma, em Moura et al. (2018) são apresentados resultados bastante próximos dos obtidos em ensaios, com diferença percentual em média na ordem de 5%.

O estudo de Sykora et al. (2013) realiza o comparativo dos modelos de predição de resistência ao esforço cortante segundo o Eurocode EN 1992. Uma ampla dispersão associada ao erro de modelo é apresentada de acordo com a taxa de armadura transversal adotada. Outras pesquisas relacionadas ao EN 1992 também indicam grande variabilidade para o erro de modelo dos modelos de resistência ao esforço cortante, conforme é exposto em Holicky et al. (2013), por exemplo.

Em Baji (2014) são avaliados os modelos de ductilidade, de resistência à flexão e de redistribuição de momentos em vigas de concreto armado. O autor observou que o modelo empregado nas normas de projeto para representar o diagrama de tensões na área comprimida de concreto, o diagrama de tensão retangular equivalente, apresenta resultados próximos aos valores obtidos experimentalmente. Além disso, mostrou-se que a incerteza na previsão da ductilidade das seções de concreto armado, referente às deformações, é mais de três vezes maior que a incerteza na predição da resistência última. A análise de confiabilidade de seções em concreto armado projetadas segundo os requisitos mínimos de ductilidade, mostrou que, embora as normas apresentem níveis de segurança dos estados limites últimos de resistência adequados, há uma dispersão notável quando se trata da confiabilidade dos estados limites relacionados às deformações.

Ferreira (2017) investigou cinco modelos analíticos de estimativa de resistência e de deformação última de pilares circulares de concreto armado confinados por plástico reforçado com fibras (PRF). Foram estimadas duas V.A.s erro de modelo, uma referente à resistência última e outra relacionada à deformação última da seção transversal. Avaliou-se a influência de parâmetros de projeto, como diâmetro do elemento estrutural, resistência do concreto e taxa de armadura, sobre o valor do índice de confiabilidade. A partir das análises, observou-se que os correspondentes índices de confiabilidade dos modelos estão de acordo com os valores alvo sugeridos pela norma norte-americana, ACI 318.

Muitas pesquisas realizaram análises comparativas dos modelos de predição de resistência com resultados de ensaios experimentais, sem fazer menção ao erro de modelo. Em grande parte dos trabalhos, apenas se avalia a média amostral da razão experimental-teórica e a dispersão dos resultados por meio do coeficiente de variação. O objetivo se resume em indicar quais os modelos de norma são mais conservadores, como encontrado

2.3. Erro de modelo 19

em Ribeiro et al. (2016), Godycka & Wisniowska (2017) e Samora et al. (2017), por exemplo, ou então, comparar os resultados destes aos obtidos segundo modelos de predição utilizando redes neurais, como proposto por Mansour et al. (2004) e Naderpour et al. (2018).

Com relação a modelos numéricos de previsão de resistência, Kadlec & Cervenka (2015) e Cervenka et al. (2018) apresentam recomendações de coeficientes globais de segurança para estruturas de concreto armado. Os fatores de segurança são determinados a partir do erro de modelo e da distribuição adotada para este, juntamente com o índice de confiabilidade alvo recomendado pela literatura. No trabalho de Kadlec & Cervenka (2015) são avaliados modelos de resistência à punção em lajes, enquanto Cervenka et al. (2018) apresentam, além de lajes, vigas sujeitas à falha por flexão ou por esforço cortante, com modelos em elementos finitos elaborados no software Atena. Os resultados indicam que, quanto mais frágil for o comportamento do material para o modo de falha analisado, maior é o erro de modelo associado. Além disso, no caso da punção e do cisalhamento, os modelos, em média, superestimam as resistências dos elementos ensaiados.

Em Evangeliou (2016) é realizada a avaliação da resistência de vigas de concreto armado sem armadura transversal de cisalhamento. Um modelo foi elaborado no programa de elementos finitos DIANA, onde, para cada realização de parâmetros estocásticos dos materiais, a capacidade estrutural e o modo de falha são fornecidos com precisão suficiente. Apesar de não realizar a quantificação do erro de modelo, este estudo aponta diversas fontes de incertezas associadas ao modelo utilizado. Ressalta-se a importância da consideração das incertezas de modelo em análises probabilísticas. Além disso, é reforçada a necessidade de que o erro de modelo seja caracterizado adequadamente para que as respostas de um determinado modelo possam ser melhores ajustadas à realidade.

Teshome (2019) investiga as incertezas relacionadas às análises não-lineares em elementos finitos de estruturas de concreto armado para situações de estado limite úl-timo. Oito diferentes estratégias de modelagem são desenvolvidas, categorizadas em três grupos, e usadas na avaliação do erro de modelo, considerando falha por flexão, esforço cortante e a atuação conjunta de ambos. Os modelos desenvolvidos apresentaram valores médios inferiores ao unitário para a variável erro de modelo. Isso indica que existe uma tendência de que esses modelos prevejam capacidades resistentes superiores às obtidas experimentalmente.

2.3.2 Comentários

A partir das referências apresentadas, constata-se que existem vários estudos a respeito das incertezas de modelo. Nota-se a preocupação em quantificar essas incertezas, com o intuito de incluí-las nas avaliações de segurança de estruturas, na tentativa de aproximar os modelos simplificados à realidade. Fica evidente a importância de que