- 1 - Matrizes e Sistemas Lineares
1. Três candidatos participaram de um processo seletivo que consistiu de 10 provas. Em cada prova, os candidatos foram ordenados de acordo com seu desempenho, recebendo a seguinte pontuação de acordo com sua posição:
Primeiro lugar: 3 pontos Segundo lugar: 2 pontos Terceiro lugar: 1 ponto
Assumiria o cargo quem obtivesse o maior número de pontos ao final das 10 provas. Todos cumpriram todas as provas e não houve classificação na mesma posição de dois ou mais candidatos em nenhuma prova.
A tabela a seguir apresenta a distribuição do número de vezes que cada candidato obteve em cada posição:
1° lugar 2° lugar 3° lugar
Francisco
Henrique
Gastão
Considerando que Gastão totalizou 18 pontos, é certo que, ao final do processo seletivo:
a) Francisco e Henrique obtiveram a mesma pontuação. b) Henrique e Gastão obtiveram a mesma pontuação.
c) Francisco obteve pontuação maior que Henrique e Gastão. d) Henrique obteve pontuação maior que Francisco e Gastão. e) Gastão obteve pontuação maior que Henrique e Francisco. Resposta: alternativa (a)
2. A matriz A abaixo apresenta o número de porções de arroz, carne e salada usadas na composição dos pratos P1, P2 e P3 no restaurante Coma Bem. A matriz B fornece o custo da produção, em reais, dos pratos P1, P2 e P3. Apresente a matriz X que fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada usadas para a composição de cada prato.
- 2 - 3 2 1
0
2
2
2
1
1
1
2
1
P
P
P
salada
carne
arroz
A
3 2 110
8
9
P
P
P
custo
B
z
y
x
X
Resposta:
50
,
1
50
,
2
50
,
2
X
3. (Exercício 22 – p.8 KOLMAN) Uma fábrica produz dois tipos de plástico: o normal e o especial. Cada tonelada de plástico normal necessita de 2 horas na máquina A e de 5 horas na máquina B; cada tonelada de plástico especial necessita de 2 horas na máquina A e de 3 horas na máquina B. Se a máquina A está disponível 8 horas por dia e a B, 15 horas por dia, quantas toneladas de cada tipo de plástico devem ser produzidas diariamente para que as máquinas sejam plenamente utilizadas?
Resposta: 1,5 toneladas de plástico normal e 2,5 toneladas de plástico especial. 4. (Exercício 31 – p.56 KOLMAN) Um fabricante de móveis produz cadeiras, mesinhas de
centro e mesas de jantar. Cada cadeira leva 10 minutos para ser lixada, 6 minutos para ser tingida e 12 minutos para ser envernizada. Cada mesinha de centro leva 12 minutos para ser lixada, 8 minutos para ser tingida e 12 minutos para ser envernizada. Cada mesa de jantar leva 15 minutos para ser lixada, 12 minutos para ser tingida e 18 minutos para ser envernizada. A bancada para lixar fica disponível 16 horas por semana, a bancada para tingir, 11 horas por semana, e a bancada para envernizar, 18 horas por semana. Quantos móveis devem ser fabricados (por semana) de cada tipo para que as bancadas sejam plenamente utilizadas?
Resposta: 30 cadeiras, 30 mesinhas de centro e 20 mesas de jantar.
5. (Prova Integrada 2009/1 Engenharia Elétrica) Uma empresa produz três tipos de equipamentos. O custo de montagem do equipamento A é R$ 5,00, o do tipo B é R$ 4,00 e do tipo C é R$ 1,00. O custo de acabamento do equipamento A é R$ 2,00, o do tipo B é R$ 4,00 e do tipo C é R$ 1,00. O custo de transporte do equipamento A é R$ 0,50, o do tipo B é R$ 1,00 e do tipo C é R$ 0,80. Sabendo que em uma semana o
- 3 - custo de montagem foi de R$ 270,00, o custo de acabamento foi de R$ 210,00 e o custo de transporte foi de R$ 80,00, quantos equipamentos do tipo B e C foram produzidos durante esta semana?
a) Foram produzidos 30 equipamentos do tipo B e 50 do tipo C b) Foram produzidos 10 equipamentos do tipo B e 50 do tipo C c) Foram produzidos 30 equipamentos do tipo B e 40 do tipo C d) Foram produzidos 20 equipamentos do tipo B e 50 do tipo C e) Foram produzidos 40 equipamentos do tipo B e 10 do tipo C Resposta: alternativa (a)
6. (Exercício 35 – p.23 - Lay) Determine o polinômio interpolador p(t) = a0 + a1 t + a2 t2 para o conjunto de dados (1, 12), (2, 15), (3, 16). Isto é, determine a0, a1 e a2 tais que
a0 + a1 (1) + a2 (1)2 = 12 a0 + a1 (2) + a2 (2)2 = 15 a0 + a1 (3) + a2 (3)2 = 16 Resposta: p(t) = 7 + 6t – t2
7. (Exemplo 8 – p.6 – Kolman) (Planejamento de Produção) Um fabricante produz três tipos diferentes de produtos químicos: A, B e C. Cada produto deve passar por duas máquinas de processamento: X e Y. Neste processo, cada uma das máquinas é utilizada durante os seguintes intervalos de tempo:
1. Uma tonelada de A necessita 2 horas na máquina X e 2 horas na máquina Y. 2. Uma tonelada de B necessita 3 horas na máquina X e 2 horas na máquina Y. 3. Uma tonelada de C necessita 4 horas na máquina X e 3 horas na máquina Y.
A máquina X está disponível 80 horas por semana e a máquina Y 60 horas por semana. Como a administração não quer manter as dispendiosas máquinas X e Y paradas, ela gostaria de saber quantas toneladas de cada produto devem ser produzidas para que as máquinas sejam utilizadas de maneira ótima?
Resposta: Assumindo que x1, x2, x3 sejam os números de toneladas de A, B e C a serem produzidos, obtemos um sistema linear que tem infinitas soluções. Todas as soluções são dadas por x1 = (20 – x3 )/2, x2 = 20 – x3, x3 = qualquer número real tal que 0 ≤ x3 ≤ 20.
- 4 -
8. (Exercício 8 – p.109 - Poole) Faça o balanceamento da equação química para a reação CO2 + H2O → C6H12O6 + O2 ( Essa reação ocorre quando uma planta verde converte
dióxido de carbono e água em glicose e oxigênio durante a fotossíntese.) Resposta: 6CO2
+ 6H
2O → C
6H
12O
6+ 6O
2Espaços Vetoriais, Base e Dimensão
1. Verifique se o conjunto de vetores dado é l.i. ou l.d.: a)
{(
1
,
1
,
0
),
(
2
,
1
,
1
)}
b){(
1
,
1
,
0
,
0
),
(
0
,
2
,
1
,
1
),
(
1
,
1
,
1
,
1
),
(
4
,
7
,
5
,
5
)}
c){
t,
2
t}
e
e
d){(
1
,
1
,
0
,
0
),
(
0
,
2
,
0
,
0
),
(
1
,
1
,
0
,
0
),
(
0
,
0
,
1
,
1
)}
e){
2
2
3
1
,
2
2
,
2
2
3
}
t
t
t
t
t
f)
1
4
2
1
2
2
,
1
0
0
1
4
0
,
0
2
1
0
1
1
g){(
1
,
1
,
),
(
0
,
0
)}
h){
t
3
3
t
2
5
t
1
,
t
3
4
t
2
9
t
5
,
t
3
2
t
2
t
3
}
Resposta: Você pode montar uma matriz com as coordenadas/coeficientes/elementos, escaloná-la e verificar a existência de linhas nulas.
a) li b) ld c) ld d) ld e) ld f) ld g) ld h) ld
2. Verifique se o conjunto de vetores S forma uma base para o espaço vetorial V. Justifique a sua resposta. a) S=
{(
1
,
1
,
0
),
(
2
,
1
,
1
)}
V
R
3 b) S={(
1
,
1
,
0
),
(
2
,
1
,
1
),
(
1
,
2
,
1
)}
V
R
3 c) S=
1
2
2
3
,
1
1
0
0
,
0
1
2
1
,
0
0
0
3
V
M
4x1(
R
)
d) S={
2
t
2
3
t
1
,
2
t
2
,
2
t
2
3
}
V
P
2(
R
)
Resposta:a) S não é base para pois e o conjunto apresenta dois vetores.
b) S é base para pois S é formado por um conjunto de 3 vetores li e
c) S é base para pois S é formado por um conjunto de 4 vetores li e
- 5 - d) S é base para pois S é formado por um conjunto de 3 vetores li e
3. Determine o valor de para que o conjunto de vetores seja l.d. .
Resposta:
4. (Baseado em “Álgebra Linear e suas aplicações”. David C. Lay. LTC (Ex 23 p.235))
Os quatro primeiros polinômios de Hermite são . Esses polinômios surgem naturalmente no estudo de certas equações diferenciais importantes em física matemática. É fácil provar que os quatro primeiros polinômios de Hermite formam uma base para .
a) Verifique que forma uma base de .
b) Seja – um polinômio de . Determine o vetor das coordenadas de em relação aos vetores da base .
Resposta:
a) Basta verificar que o conjunto é li já que e B contém 4 vetores.
b) Escreva como combinação linear dos vetores de e obtenha
.
5. Uma situação importante na qual aparece um subespaço vetorial é obtida ao resolvermos um sistema de equações lineares homogêneo. Considere o sistema linear homogêneo:
0
4
0
3
2
0
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
O Conjunto de Soluções S desse sistema linear é um subespaço vetorial do . a) Escreva o conjunto de soluções S deste sistema linear.
b) Determine uma base e a dimensão desse conjunto de soluções S. Resposta:
a)
b) Base para S: e dimS=1.
6. (Boldrini – Álgebra Linear – 3 ed. 1980 – pág 131 – ex. 18 – adaptado) Considere o subespaço
W
[(
1
,
1
,
0
,
0
),
(
0
,
2
,
1
,
1
),
(
1
,
1
,
1
,
1
),
(
4
,
7
,
5
,
5
)]
de 4R
. a) O vetor pertence a W? Justifique.b) Exiba uma base para W. Qual é a dimensão?
c) 4
R
W
? Por que? Resposta:a) Sim, pois o vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores do sistema de geradores de W.
b) Base para W: e dim W=3 c) W não é igual a pois dimW ≠ dim .
- 6 - 7. Considere os planos , e do , dados respectivamente pelas equações:
O conjunto dessas equações forma um sistema de equações lineares homogêneo. Sabe-se que o Conjunto de Soluções desse sistema é um subespaço vetorial do . Assinale a alternativa correta:
a) Os planos , e interceptam-se numa reta. Esta reta é um subespaço gerado pelo vetor .
b) Os três planos interceptam-se num único ponto do e este ponto é .
c) Os planos , e interceptam-se num único ponto do e este ponto é .
d) Os planos , e não possuem ponto comum. e) Os três planos são paralelos coincidentes.
Resposta: alternativa (a)
8. Considere o conjunto de vetores . Determine o único valor de de forma que não seja um sistema de geradores do espaço vetorial .
Resposta: a=3
9. Em cada item, verifique se o conjunto de vetores é linearmente dependente (l. d.) ou linearmente independente (l. i.). Diga, também, se é uma base para o espaço vetorial . Não deixe de apresentar justificativa para as respostas.
a)
2
3
5
1
,
7
4
1
2
B
e
b) – – e
Resposta:a) B é l. i. , mas não é base de V uma vez que a dimensão de V é 4 e B contém apenas 2 vetores de V.
b) B é l. i. e é base de V uma vez que a dimensão de V é 3 e B contém 3 vetores (de V).
- 7 - Exercícios do livro texto (a partir da página 124):
ESPINOSA, Isabel Cristina de Oliveira Navarro; BISCOLLA, Laura Maria da Cunha Canto Oliva; BARBIERI FILHO, Plinio. Álgebra linear para computação. Rio de Janeiro: LTC, 2007-2010. viii, 286 p. (Fundamentos de informática) ISBN 9788521615521 (broch.)
Capítulo 1: 1, 2, 3, 4, 5 Capítulo 2: 1 e 2
Capítulo 3: 1, 5, 6, 7 e 8
