AL aula12

Álgebra Linear

Cleide Martins

DMat - UFPE - 2019.2

Objetivos

Denir Autovetores e Autovalores de uma Transformação Linear

O que já sabemos

Sobre vetores FIXOS

No plano R2 _{e no espaço R}3_{, transformações lineares que são rotações ou reexões em torno}

de uma reta deixam vetores inalterados, ou seja, os vetores sobre a tal reta são mandados neles mesmos.

.

No espaço R3_{, transformações lineares que são projeções ou reexões sobre um plano deixam}

O que queremos saber

Dada uma transformação linear

T : V → V queremos saber se existem vetores v ∈ V tais que

T (v) = v

ou mais geralmente, se existem vetores v ∈ V e escalares λ ∈ R tais que T (v) = λv

Tais vetores, quando não nulos, são chamados

AUTOVETORES de T , associados ao número real λ que é chamado

Exemplo 1 : um exemplo em R

Vejamos se a transformação linear

T : R2 → R2 T (x, y) = (2x + y, −y) tem autovetores e autovalores.

Queremos determinar v = (x, y) 6= (0, 0) tais que T (x, y) = λ(x, y). Isso equivale a resolver o sistema homogêneo (?)  2x + y = λx − y = λy ⇐⇒  (2 − λ)x + y = 0 (−1 − λ)y = 0

Como todo sistema homogêneo é possível mas a solução trivial não nos interessa, precisamos determinar os valores de λ para os quais esse sistema é indeterminado. Estes serão os autovalores de T .

Exemplo 1 - continuação

O sistema (?) é indeterminado se e somente se o determinante de sua matriz de coecientes é igual a zero.     2 − λ 1 0 −(1 + λ)     = −(2 − λ)(1 + λ) = 0 ⇐⇒ λ = 2 ou λ = −1 Voltemos ao sistema (?) com λ = 2



y = 0

− 3y = 0 ⇒ y = 0

Concluímos que todos os vetores da forma (x, 0) com x 6= 0 são autovetores associados ao autovalor λ = 2

Exemplo 1: continuação

Voltemos ao sistema (?) com λ = −1 

3x + y = 0

0y = 0 ⇒ y = −3x

Concluímos que todos os vetores da forma (x, −3x) com x 6= 0 são autovetores associados ao autovalor λ = −1

Exemplo 1: continuação

Voltemos ao sistema (?) com λ = −1 

3x + y = 0

0y = 0 ⇒ y = −3x

Concluímos que todos os vetores da forma (x, −3x) com x 6= 0 são autovetores associados ao autovalor λ = −1

T (x, −3x) = (2x − 3x, 3x) = (−x, 3x) = −1(x, −3x) Observe que os autovetores da transformação linear

T (x, y) = (2x + y, −y) são

os vetores da forma (x, 0) com x 6= 0. Esse conjunto mais o vetor nulo é um subespaço vetorial de R2_{; o subespaço gerado por (1, 0)}

os vetores da forma (x, −3x) com x 6= 0. Esse conjunto mais o vetor nulo é um subespaço vetorial de R2_{; o subespaço gerado por (1, −3)}

Veremos que não é uma coincidência: o conjunto dos autovetores associados a cada autovalor de uma transformação linear em V união o vetor nulo de V é um subespaço vetorial de V .

Exemplo 2 : um exemplo em R

Vejamos se a transformação linear

T : R3 → R3

T (x, y, z) = (−2x + 8y + 4z, −x + 7y − z, 5x − 5y − z) tem autovetores e autovalores.

Queremos determinar v = (x, y, z) 6= (0, 0, 0) tais que T (x, y, z) = λ(x, y, z). Isso equivale a resolver o sistema homogêneo

()    −2x + 8y + 4z = λx −x + 7y − z = λy 5x − 5y − z = λz ⇐⇒    −(2 + λ)x + 8y + 4z = 0 −x + (7 − λ)y − z = 0 5x − 5y − (1 + λ)z = 0

Novamente temos um sistema homogêneo, a solução trivial não interessa e precisamos determinar os valores de λ para os quais esse sistema é indeterminado e estes serão os autovalores de T .

Exemplo 2 - continuação

O sistema () é indeterminado se e somente se o determinante de sua matriz de coecientes é igual a zero.       −(2 + λ) 8 4 −1 (7 − λ) −1 5 −5 −(1 + λ)       = (2+λ)(7−λ)(1+λ)−40+20−20(7−λ)+5(2+λ)−8(1+λ) = (7 − λ)(λ2+ 3λ + 2) + (20 + 5 − 8)λ + (−20 − 140 + 10 − 8) = −λ3+ 4λ2+ (19 + 17)λ + 14 − 158 = −λ3+ 4λ2+ 36λ − 144 Precisamos determinar as soluções da equação

λ3− 4λ2− 36λ + 144 = 0

Pela natureza do polinômio, começamos procurando por raízes inteiras: se existir uma, será um divisor de 144

Exemplo 2 - continuação

Após algumas vericações, concluímos que λ = 4 é uma solução e fatoramos o polinômio λ3− 4λ2_{− 36λ + 144 = (λ − 4)(λ}2_{− 36) = (λ − 4)(λ − 6)(λ + 6)}

Portanto as soluções da equação

λ3− 4λ2− 36λ + 144 = 0 são os autovalores de T

λ = 4, λ = 6e λ = −6

Exemplo 2 - continuação

Já podemos observar que, nesse sistema, a primeira equação é a segunda menos a terceira, portanto, uma delas é redundante. Descartando a primeira equação e multiplicando a terceira por 1/5 camos com um sistema que tem grau de liberdade 1



−x + 3y − z = 0

x − y − z = 0 ⇒

2y − 2z = 0 ⇒ y = z x = 2z

Portanto, todos os vetores da forma (2z, z, z) com z 6= 0 são autovetores associados com o autovalor λ = 4.

Note que o conjunto desses vetores mais o vetor nulo é o subespaço vetorial de R3 _{gerado pelo}

Exemplo 2 - continuação

Observamos aqui que a primeira equação é a 3 vezes segunda menos a terceira, portanto, uma delas é redundante. Descartando a primeira equação camos com um sistema que, novamente, tem grau de liberdade 1



−x + y − z = 0

5x − 5y − 7z = 0 ⇒

12z = 0 ⇒ z = 0 x = y

Portanto, todos os vetores da forma (x, x, 0) com x 6= 0, são autovetores associados com o autovalor λ = 6.

Note que o conjunto desses vetores mais o vetor nulo é o subespaço vetorial de R3 _{gerado pelo}

Exemplo 2 - continuação

Observamos aqui que a segunda equação é primeira menos a terceira, portanto, uma delas é redundante. Descartando a segunda equação, multiplicando a primeira por 1/4 e a terceira por 1/5camos com um sistema que, novamente, tem grau de liberdade 1



x + 2y + z = 0

x − y + z = 0 ⇒

3y = 0 ⇒ y = 0 z = −x

Portanto, todos os vetores da forma (x, 0, −x) com x 6= 0 são autovetores associados com o autovalor λ = −6.

Note que o conjunto desses vetores mais o vetor nulo é o subespaço vetorial de R3 _{gerado pelo}

Tirando conclusões

Seja V um espaço vetorial de dimensão n e considere uma transformação linear T : V → V

Teorema

O conjunto dos autovetores de T associados a um autovalor juntamente com o vetor nulo de V é um subespaço vetorial de V .

Teorema

Os autovalores de T são as raízes da equação

det([T ] − λI) = 0

O lado esquerdo dessa equação é um polinômio de grau n em λ chamado de polinômio característico de [T ]

E mais conclusões

Teorema

Os autovetores de T associados ao autovalor λ são as soluções do sistema homogêneo ([T ] − λI)X = 0