Capítulo 8
INTEGRAÇÃO DUPLA
8.1 Integração Dupla sobre Retângulos
Denotemos por R = [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} um
retângu-lo em R2. Consideremos P
1 = {x0, x1, ...., xn} e P2 = {y0, y1, ...., yn} partições de
ordem n de [a, b] e [c, d] respectivamente, tais que:
a = x0 < x1< . . . < xn= b e c = y0 < y1< . . . < yn= d e xi+1− xi = b − a n , yj+1− yj = d − c n . a b c d x x R i i+1 yj+1 yj Rij Figura 8.1: Partição de R.
O conjunto P1× P2é denominada partição do retângulo R de ordem n. Sejam os n2
sub-retângulos Rij = [xi, xi+1] × [yj, yj+1]e cij ∈ Rij arbitrário (i, j = 0, ...., n − 1).
Considere a função limitada f : R −→ R. A soma Sn= n−1 X i=0 n−1 X j=0 f (cij) ∆x ∆y, onde ∆x = b − a n e ∆y = d − c
n é dita soma de Riemann de f sobre R. 203
Definição 8.1. Uma função f : R −→ R limitada é integrável sobre R se
lim
n→+∞Sn,
existe independente da escolha de cij ∈ Rij e da partição; em tal caso denotamos este limite
por:
Z Z
R
f (x, y) dx dy,
que é denominada integral dupla de f sobre R.
Teorema 8.1. Toda f : R −→ R contínua é integrável.
A prova deste teorema pode ser vista em [EL].
8.2 Significado Geométrico da Integral Dupla
Se f é contínua e f(x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈ R, a existência da integral dupla de f sobre R tem um significado geométrico direto. Consideramos o sólido W ⊂ R3
definido por:
W = {(x, y, z) ∈ R3/ a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, 0 ≤ z ≤ f(x, y)}
Figura 8.2: O sólido W .
W é fechado e limitado superiormente pelo gráfico de z = f(x, y), inferiormente por R e lateralmente pelos planos x = a, x = b, y = c, y = d. Se denotamos por V (W )o volume de W , então:
V (W ) = Z Z
R
f (x, y) dx dy
De fato, escolhendo cij como o ponto onde f atinge seu máximo sobre Rij (pois R
é fechado, limitado e f é contínua), então f(cij) × ∆x × ∆y é o volume do
8.2. SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA INTEGRAL DUPLA 205
Figura 8.3: Partição e os paralelepípedos de W , respectivamente.
Sn= n−1 X i=0 n−1 X j=0 f (cij) ∆x ∆y
é o volume do sólido circunscrito a W . Analogamente se eij é o ponto onde f atinge
seu mínimo sobre Rij (pois R é fechado, limitado e f é contínua), então:
sn= n−1 X i=0 n−1 X j=0 f (eij) ∆x ∆y
é o volume do sólido inscrito em W . Como f é integrável, os limites das somas de Riemann Sne snindependem da escolha de cij e eij:
lim
n→∞Sn= limn→∞sn=
Z Z
R
f (x, y) dx dy.
Em outras palavras os volumes dos sólidos inscritos e circunscritos a W , tendem ao mesmo limite. Portanto, é razoável chamar este limite de volume de W .
Figura 8.5: Reconstrução do sólido.
Novamente notamos que é possível mostrar rigorosamente que o significado geo-métrico da integral dupla independe da escolha da partição e dos pontos cij e eij.
A integral dupla tem propriedades análogas às das integrais das funções de uma variável.
Proposição 8.1.
1. Linearidade da integral dupla. Se f e g são funções integraveis sobre R então para todo α, β ∈ R, α f + β g é integrável sobre R, e:
Z Z R α f (x, y) + β g(x, y)dx dy = α Z Z R f (x, y) dx dy + β Z Z R g(x, y) dx dy.
2. Se f e g são integráveis sobre R e g(x, y) ≤ f(x, y), para todo (x, y) ∈ R, então:
Z Z
Rg(x, y) dx dy ≤
Z Z
R
f (x, y) dx dy.
3. Se R é subdividido em k retângulos e f é integrável sobre cada Ri, i = 1, ..., kentão
f é integrável sobre R e, Z Z R f (x, y) dx dy = k X i=1 Z Z Ri f (x, y) dx dy.
8.3 Integrais Iteradas
Uma integral iterada de f sobre R é uma integral do tipo: Z d c Z b a f (x, y) dx dy.
Para calculá-la fixamos y e calculamos a integral Z b
a
f (x, y) dxcomo integral de uma veriável em x; o resultado é uma função de y que é novamente integrada em y, com limites de integração c e d. A integral Z b a Z d c f (x, y) dy
8.3. INTEGRAIS ITERADAS 207 Exemplo 8.1. [1] Calcule Z 2 0 Z 3 1 x2y dy dx. Z 3 1 x2y dy = x2 Z 3 1 y dy = 4x2 e Z 2 0 Z 3 1 x2y dy dx = Z 2 0 4x2dx = 32 3 . [2] Calcule Z π 0 Z π 0 cos(x + y) dx dy. Z π 0 cos(x + y) dx = sen(x + y) x=π x=0 = sen(y + π) − sen(y), e Z π 0 Z π 0 cos(x + y) dx dy = Z π 0 (sen(y + π) − sen(y)) dy = −4. [3] Calcule Z 1 −1 Z 1 −2 (x2+ y2) dx dy. Z 1 −2 (x2+ y2) dx = x 3 3 + x y 2 x=1 x=−2 = 3 + 3 y2 e Z 1 −1 Z 1 −2 (x2+ y2) dx dy = Z 1 −1 (3 + 3 y2) dy = 8. [4] Calcule Z π3 π 6 Z 4 0 ρ2eρ3 sen(φ) dρ dφ. Z 4 0 ρ2eρ3sen(φ) dρ = sen(φ) Z 4 0 ρ2eρ3dρ = sen(φ)e ρ3 3 4 0 = sen(φ)e 64− 1 3 e Z π3 π 6 Z 4 0 ρ2eρ3sen(φ) dρ dφ = e 64− 1 3 Z π3 π 6 sen(φ) dφ = (e 64− 1) (√3 − 1) 6 . [5] Calcule Z 1 0 Z √1−y2 0 p 1 − y2dx dy. Z √1−y2 0 p 1 − y2dx = 1 − y2, e Z 1 0 Z √1−y2 0 p 1 − y2dx dy = Z 1 0 (1 − y 2) dy = 2 3.
[6] Seja a função f : [0, 1] × [0, 1] −→ R definida por: f (x, y) = ( 1 se x ∈ Q 2 y se x /∈ Q. Então: Z 1 0 dy = Z 1 0 dy = 1 se x ∈ Q Z 1 0 2 y dy = 1 se x /∈ Q. Logo, Z 1 0 Z 1 0 dy dx = 1. Por outro lado
Z 1
0
f (x, y) dxnão existe, exceto quando y = 1 2; logo, Z 1 0 Z 1 0 dx dy
não existe. Em geral, nada garante a existência das integrais iteradas.
8.4
Teorema de Fubini
O seguinte teorema fundamental relaciona a integral dupla com as integrais itera-das, o que facilitará seu cálculo.
Teorema 8.2. (Fubini):Seja f : R −→ R contínua sobre R. Então:
Z Z R f (x, y) dx dy = Z d c Z b a f (x, y) dx dy = Z b a Z d c f (x, y) dy dx
Prova: Veja o apêndice.
Uma visualização geométrica do teorema de Fubini pode ser feita usando o princí-pio de Cavalieri: “ Dado um sólido, se denotamos por A(y) a área da seção trans-versal ao sólido, medida a uma distância y de um plano de referência, o volume do sólido é dado por: V = RcdA(y) dy, onde c e d são as distâncias mínima e máxima ao plano de referência”.
Se f é uma função contínua e f(x, y) ≥ 0 em todo R, então Z Z
R
f (x, y) dx dy repre-senta o volume do sólido W :
8.4. TEOREMA DE FUBINI 209 c R b d a Figura 8.6:
Se intersectamos o sólido por um plano paralelo ao plano yz a uma distância x da origem, obtemos uma seção plana que tem como área A(x) = Rd
cf (x, y) dy. Pelo
princípio de Cavalieri, o volume total do sólido é: Z Z R f (x, y) dx dy = Z b a A(x) dx = Z b a Z d c f (x, y) dy dx.
Analogamente, se intersectamos o sólido por um plano paralelo ao plano xz a uma distância y da origem obtemos uma seção plana de área A(y) = Rb
af (x, y) dxe pelo princípio de Cavalieri: Z Z R f (x, y) dx dy = Z d c A(y) dy = Z d c Z b a f (x, y) dx dy. Exemplo 8.2. [1] Calcule Z Z R dx dy, onde R = [a, b] × [c, d]. Z Z R dx dy = Z b a Z d c dy dx = Z b a (d − c) dx = (b − a) (d − c);
numericamente a integral dupla Z Z
R
dx dy, corresponde a área de R ou ao volume do paralelepípedo de base R e altura 1.
[2] Calcule Z Z
R
f (x, y) dx dy, onde R = [a, b] × [c, d] e f(x, y) = h, h constante positiva. Z Z R f (x, y) dx dy = h Z Z Rdx dy = h × A(R) = h (b − a) (d − c),
onde a última igualdade expressa o volume do paralelepípedo de base R e altura h. [3] Calcule Z Z R (x y + x2) dx dy, onde R = [0, 1] × [0, 1]. Z Z R (x y + x2) dx dy = Z 1 0 Z 1 0 (x y + x2) dx dy = Z 1 0 x2y 2 + x3 3 x=1 x=0 dy = Z 1 0 y 2 + 1 3 dy = 7 12.
O número 7
12 representa o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função f(x, y) = x y + x2e pelos planos coordenados. ((x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1]).
0 1 0 1 Figura 8.7: Exemplo [4]. [4] Calcule Z Z R x y2dx dy, onde R = [−1, 0] × [0, 1]. Z Z R x y2dx dy = Z 1 0 Z 0 −1 x y2dx dy = −1 2 Z 1 0 y2dy = −1 6. [5] Calcule Z Z R sen(x + y) dx dy, onde R = [0, π] × [0, 2π]. Z Z R sen(x+y) dx dy = Z 2π 0 Z π 0 sen(x+y) dx dy = Z 2π 0 (cos(y)−cos(y+π)) dy = 0.
[6] Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z = 1−y e inferiormente pelo retângulo definido por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1.
0.0 0.5 1.0 0.0 0.5 1.0 0.0 0.5 1.0
Figura 8.8: Sólido do exemplo [6].
O sólido está limitado superiormente pelo plano z = 1 − y e inferiormente pelo retângulo R = [0, 1] × [0, 1]; então, o volume V é:
V = Z Z R(1 − y) dx dy = Z 1 0 Z 1 0 (1 − y) dx dy = Z 1 0 (1 − y) dy = 1 2u.v.
8.4. TEOREMA DE FUBINI 211 [7] Calcule o volume do sólido limitado por z = x2+ y2e pelos planos x = 0, x = 3,
y = 0e y = 1.
Figura 8.9: Sólido do exemplo [7]. R = [0, 3] × [0, 1]. O volume é: V = Z Z R (x2+ y2) dx dy = Z 1 0 Z 3 0 (x2+ y2) dx dy = Z 1 0 (9 + 3y2) dy = 10 u.v. u.v. =unidades de volume.
[8] Calcule o volume do sólido limitado por z = 1−y2e pelos planos x = −1, x = 1,
y = −1 e y = 1.
Figura 8.10: Sólido do exemplo [8]. R = [−1, 1] × [−1, 1]. O volume é: V = Z Z R(1 − y 2) dx dy = Z 1 −1 Z 1 −1 (1 − y2) dx dy = 2 Z 1 −1 (1 − y2) dy = 8 3u.v.
8.4.1 Extensão do Teorema de Fubini
Antes de estudar a integral dupla em regiões mais gerais enunciaremos uma gene-reralização do teorema 8.1.
Definição 8.2. Seja A ⊂ R, R = [a, b] × [c, d]. O conjunto A ⊂ R tem conteúdo nulo se existe um número finito de sub-retângulos Ri ⊂ R, (1 ≤ i ≤ n) tais que A ⊂
R1∪ R2∪ . . . ∪ Rn−1∪ Rne: lim n→+∞ n X i=1 |Ri| = 0; onde |Ri| é a área de Ri. Exemplo 8.3.
[1] Se A = {p1, p2, ..., pm}, pi ∈ R, (1 ≤ i ≤ m). O conjunto A tem conteúdo nulo.
Utilizando uma partição de ordem n de R como antes, temos: |Ri| = (b − a) (d − c)
n2 ,
1 ≤ i ≤ n. Como cada ponto pode estar no máximo em quatro sub-retângulos, então: 0 < n X i=1 |Ri| ≤ 4 m (b − a) (d − c) n2 . Logo lim n→+∞ n X i=1 |Ri| = 0.
[2] ∂R tem conteúdo nulo.
b c d x x a i i+1 yj+1 y R Rij j Figura 8.11: ∂R.
Os pontos de ∂R estão distribuido em 4 n − 4 sub-retângulos Rij:
0 < n X i=1 |Ri| ≤ (4 n − 4) (b − a) (d − c) n2 ≤ 4 (b − a) (d − c) n , poisn−1 n < 1. Logo: lim n→+∞ n X i=1 |Ri| = 0.
É possível provar que o gráfico de uma função contínua f : [a, b] −→ R tem con-teúdo nulo.
8.5. INTEGRAÇÃO DUPLA SOBRE REGIÕES MAIS GERAIS 213
Figura 8.12: G(f).
Teorema 8.3. Se f : R −→ R é uma função limitada e o conjunto onde f é descontínua tem conteúdo nulo, então f é integra´vel sobre R.
Prova: Veja [EL] na bibliografia.
8.5 Integração Dupla sobre Regiões mais Gerais
Definiremos três tipos especiais de subconjuntos do plano, que serão utilizados para estender o conceito de integral dupla sobre retângulos a regiões mais gerais
8.6
Regiões Elementares
Seja D ⊂ R2.
Regiões de tipo I
Dé uma região de tipo I se pode ser descrita por:
D = {(x, y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b, φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x)}
sendo φi: [a, b] −→ R (i = 1, 2) funções contínuas tais que φ1(x) ≤ φ2(x)para todo
x ∈ [a, b]. a b D D b a φ φ φ φ 1 2 2 1
Regiões de tipo II
Dé uma região de tipo II se pode ser descrita por:
D = {(x, y) ∈ R2/c ≤ y ≤ d, ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y)}
sendo ψi: [c, d] −→ R (i = 1, 2) funções contínuas tais que ψ1(y) ≤ ψ2(y)para todo
y ∈ [c, d]. D d c ψ D ψ ψ 1 2 ψ 1 2
Figura 8.14: Regiões de tipo II.
Regiões de tipo III
Dé uma região de tipo III se pode ser descrita como região de tipo I ou de tipo II. As regiões de tipos I, II ou III são chamadas elementares. As regiões elementares são fechadas e limitadas.
Exemplo 8.4.
[1] A região limitada pelas curvas y = x2 e y = 4 x − x2pode ser descrita como de
tipo I:
A interseção das curvas é dada pela solução do sistema: (
y = x2 y = 4 x − x2,
do qual obtemos: x = 0 e x = 2; logo, D = {(x, y) ∈ R2/ 0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤
4x − x2}. 0.5 1.0 1.5 2.0 1 2 3 4 5
8.6. REGIÕES ELEMENTARES 215 [2] Seja a região D limitada pelas seguintes curvas: y2− x = 1 e y2+ x = 1.
A região pode ser descrita por:
D = {(x, y) ∈ R2/ − 1 ≤ y ≤ 1, y2− 1 ≤ x ≤ 1 − y2}; Dé uma região de tipo II.
- 1.0 - 0.5 0.5 1.0
- 1.0 - 0.5
0.5 1.0
Figura 8.16: Região de tipo II.
[3] A região D limitada pela reta x + y = 2 e pelos eixos coordenados, no primeiro quadrante, pode ser descrita como de tipo II:
D = {(x, y) ∈ R2/0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 2 − y}. 0.5 1.0 1.5 2.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Figura 8.17: Região de tipo III.
[4] A região D limitada pelas curvas y = x − 1 e y2 = 2 x + 6, pode ser descrita
como de tipo II.
A interseção das curvas é dada pela solução do sistema: (
y = x − 1 y2 = 2 x + 6, do qual obtemos: x = −1 e x = 5; logo:
D = {(x, y) ∈ R2/ − 2 ≤ y ≤ 4, y
2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
Figura 8.18: Região de tipo II.
[5] Seja D a região limitada pela curva x2+ y2= 1; esta região é do tipo III. De fato:
De tipo I: D = {(x, y) ∈ R2/ − 1 ≤ x ≤ 1, φ1(x) = − p 1 − x2 ≤ y ≤ φ 2(x) = p 1 − x2}. De tipo II: D = {(x, y) ∈ R2/ − 1 ≤ y ≤ 1, ψ1(y) = − p 1 − y2≤ x ≤ ψ 2(y) = p 1 − y2}.
8.7 Extensão da Integral Dupla
Seja D uma região elementar tal que D ⊂ R, onde R é um retãngulo e f : D −→ R uma função contínua (logo limitada). Definamos f∗: R −→ R por:
f∗(x, y) =
(
f (x, y) se (x, y) ∈ D 0 se (x, y) ∈ R − D.
f∗é limitada e contínua, exceto, possivelmente, em ∂D; mas se ∂D consiste de uma
união finita de curvas que são gráficos de funções contínuas, pelo teorema 8.1, f∗é
integrável sobre R.
D
R
R D
Figura 8.19: Gráficos de f e f∗, respectivamente.
Definição 8.3. f : D −→ R é integrável sobre D se f∗é integrável sobre R e em tal caso
definimos: Z Z D f (x, y) dx dy = Z Z R f∗(x, y) dx dy.
8.8. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 217 Se R1 é outro retângulo tal que D ⊂ R1 e f1∗ : R1 −→ R é definida como antes,
então: Z Z R f∗(x, y) dx dy = Z Z R1 f∗ 1(x, y) dx dy, pois f∗= f∗ 1 = 0onde R e R1diferem. R D R f* =f* =0 1 1 Figura 8.20:
Logo, RRDf (x, y) dx dynão depende da escolha do retângulo.
8.8
Integral Dupla e Volume de Sólidos
Proposição 8.2. Se f : D −→ R é uma função contínua e limitada sobre D, então: 1. Se D é uma região de tipo I:
Z Z D f (x, y) dx dy = Z b a Z φ2(x) φ1(x) f (x, y) dy dx
2. Se D é uma região de tipo II:
Z Z D f (x, y) dx dy = Z d c Z ψ2(y) ψ1(y) f (x, y) dx dy
Para a prova, veja o apêndice.
Corolário 8.4. Se f(x, y) = 1 em todo D, então:
Z Z
D
dx dy =Área(D)
De fato, se D é de tipo I, temos Z Z D dx dy = Z b a φ2(x) − φ1(x) dx = A(D).
Se f(x, y) ≥ 0 e é contínua em D, podemos novamente interpretar a integral dupla de f sobre D como o volume do sólido W limitado superiormente pelo gráfico de fe inferiormente por D.
W = {(x, y, z) ∈ R3/(x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ f(x, y)} Dé a projeção de W sobre o plano xy e:
V (W ) = Z Z D f (x, y) dx dy 8.8.1 Exemplos [1] Calcule Z 1 0 Z 1 y ex2dx
dy. A integral não pode ser calculada na ordem dada. Observe que: Z Z D ex2dx dy = Z 1 0 Z 1 y ex2dx dy.
A região D, onde está definida a integral, é de tipo II: 0 ≤ y ≤ 1 e y ≤ x ≤ 1.
1 1
1 1
Figura 8.21: A região D.
A região D é de tipo III; logo, D também é de tipo I. De fato: 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x e: Z Z D ex2dx dy = Z 1 0 Z x 0 ex2dy dx = Z 1 0 x ex2dx = 1 2(e − 1). [2] Calcule Z 1 0 Z 1 x sen(y) y dy dx.
A região D, onde está definida a integral é de tipo I: 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 1. Por outro lado, D é de tipo III, logo D também é de tipo II: 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ x ≤ y:
8.8. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 219 1 1 1 1 Figura 8.22: A região D. Z 1 0 Z 1 x sen(y) y dy dx = Z 1 0 Z y 0 sen(y) y dx dy = Z 1 0 sen(y) dy = 1 − cos(1). [3] Calcule Z Z D p
1 − y2dx dy, onde D é a região limitada por x2+ y2 = 1no
pri-meiro quadrante. 1 1 1 1 Figura 8.23: A região D. Consideramos D como região de tipo II:
D = {(x, y) ∈ R/0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤p1 − y2}. Pela proposicão: Z Z D p 1 − y2dx dy = Z 1 0 Z √1−y2 0 p 1 − y2dx dy = Z 1 0 (1 − y 2) dy =2 3. Note que se escrevemos D como região de tipo I, a integração é muito mais com-plicada.
[4] Calcule Z Z
D
(x + y)2dx dy, se D é a região limitada por y = x, 2 y = x + 2 e o eixo dos y.
1 2 1
1 2
1
Figura 8.24: A região D.
As retas se intersectam no ponto (2, 2). Escrevendo D como região de tipo I: 0 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ x2 + 1. Z Z D (x + y)2dx dy = Z 2 0 Z x2+1 x (x + y)2dy dx = 1 3 Z 2 0 3x 2 + 1 3 − 8x3 dx = 21 6 . [5] Determine o volume do sólido limitado por y − x + z = 1 e pelos planos coor-denados.
Para ter uma visão geométrica do problema, fazemos o desenho do sólido, que é li-mitado superiormente pelo plano que passa pelos pontos (0, 0, 1), (0, 1, 0), (−1, 0, 0) e inferiormente pelo plano z = 0.
-1
1
-1
1
Figura 8.25: O sólido e a região, respectivamente.
A integral dupla representa o volume do sólido limitado superiormente pelo grá-fico da função z = f(x, y) = 1 + x − y e, inferiormente pela região D projeção de W no plano xy.
W = {(x, y, z) ∈ R3/ (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ 1 + x − y},
onde D = {(x, y) ∈ R2/ − 1 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ x + 1} é região do tipo I. Seu
volume é: V (W ) = Z Z D(1 + x − y) dx dy = Z 0 −1 Z x+1 0 (1 + x − y) dy dx = 1 2 Z 0 −1 (x + 1)2dx = 1 6u.v.
8.8. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 221 [6] Determine o volume do sólido limitado por z = 2 x + 1, x = y2 e x − y = 2.
-2 0 2 4 -2 0 2 4 0 1 2 3 4 5 -2 0 2 4 0 1 2 3 4 -2 0 2 4 -2 0 2 4 0 1 2 3 4 5 -2 0 2 4
Figura 8.26: O sólido do exemplo [6].
1 2 -1 1 1 2 -1 1 Figura 8.27: A região D. Observe que z = f(x, y) = 2 x + 1 e V (W ) = Z Z D (2 x + 1) dx dy,
onde D é a projeção do sólido no plano xy. Considerando D como região do tipo II, ela é definida por:
D = {(x, y) ∈ R2/ − 1 ≤ y ≤ 2, y2 ≤ x ≤ y + 2}. O volume é: V (W ) = Z Z D (2x + 1) dx dy = Z 2 −1 Z y+2 y2 (2 x + 1) dx dy = Z 2 −1 (5 y + 6 − y4) dy = 189 10 u.v.
[7] Calcule o volume do sólido que está acima do plano xy e é limitado por z = x2+ 4 y2e x2+ 4 y2= 4.
O gráfico de z = x2+ 4 y2é um parabolóide elítico e o de x2+ 4 y2= 4é um cilindro elítico. -2 -1 0 1 2 x -0.5 0 0.5 1 y 0 1 2 3 z -2 -1 0 1 2 x -0.5 0 0.5 -2 -1 0 1 2 x -1 -0.5 0 0.5 1 y 0 1 2 3 z -2 -1 0 1 x -1 -0.5 0 0.5
Figura 8.28: O sólido do exemplo [7].
1 -1 2 -1 1 1 -1 2 -1 1
Figura 8.29: A região do exemplo [7].
Pela simetria do sólido, calculamos o volume no primeiro octante e multiplicamos o resultado por 4. 1 2 1 1 2 1 Figura 8.30: A região D.
Dé a projeção do cilindro no plano xy. D é do tipo I: 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ √
4 − x2
8.8. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 223 e, V = 4 Z Z D (x2+ 4y2) dx dy = 4 Z 2 0 Z √ 4−x2 2 0 (x2+ 4 y2) dy dx = 2 Z 2 0 x2p4 − x2+(4 − x2) 3 2 3 dx = 4 π u.v.
[8] Calcule a área da região plana limitada pelas curvas y = x2e y = 4 x − x2.
Os pontos de interseção das curvas são: (0, 0) e (2, 4).
0.5 1.0 1.5 2.0 1 2 3 4 5 Figura 8.31: A região D. Dé do tipo I: 0 ≤ x ≤ 2 e x2 ≤ y ≤ 4x − x2. A = Z Z D dx dy = Z 2 0 Z 4x−x2 x2 dy dx = 2 Z 2 0 (2x − x 2) dx = 8 3u.a.
[9] Calcule o volume do sólido obtido pela interseção dos cilindros: x2+ y2 = a2e
x2+ z2 = a2, a 6= 0.
Figura 8.32: Interseção dos cilindros.
Calculamos o volume da porção do sólido no primeiro octante e multiplicamos o resultado por 8.
Figura 8.33: O sólido no primeiro octante.
Claramente D é região do tipo I: 0 ≤ x ≤ a e 0 ≤ y ≤√a2− x2. A altura do sólido
W é dada por z = f(x, y) =√a2− x2e: V = 8 Z Z D p a2− x2dx dy = 8 Z a 0 Z √a2 −x2 0 p a2− x2dy dx = 8 Z a 0 (a2− x2) dx = 16 a 3 3 .
8.8. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 225 [10] Calcule o volume do sólido limitado por 3 x + 4 y = 10, z = x2+ y2 e situado
acima do plano xy, no primeiro octante.
0 1 2 3 0 1 2 3 0 2 4 6 8 0 2 4 6 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2
Figura 8.34: Sólido e região do exemplo [10], respectivamente. Dé uma região do tipo II: 0 ≤ y ≤ 5
2 e 0 ≤ x ≤ 10 − 4y 3 ; logo: V = Z Z D (x2+ y2) dx dy = Z 52 0 Z 10−4 y3 0 (x2+ y2) dx dy = −812 Z 52 0 [2 y − 5] [43 y 2− 80 y + 100] dy = −812 Z 5 2 0 [86 y3− 375 y2+ 600 y − 500] dy = 15625 1296 u.v.
[11] Calcule o volume do sólido limitado por z − x y = 0, z = 0, y = x2e y2− x = 0.
Figura 8.35: Sólido do exemplo [11]. Dé uma região do tipo I: 0 ≤ x ≤ 1 e x2≤ y ≤√x,
1 1 1 1 Figura 8.36: Região D. Logo: V = Z Z D x y dx dy = Z 1 0 Z √x x2 x y dy dx = 1 2 Z 1 0 [x2− x5] dx = 1 12u.v.
8.9 Exercícios
1. Calcule Z Z R f (x, y) dx dy, se: (a) f(x, y) = x2y3e R = [0, 1] × [0, 1] (b) f(x, y) = (x + y)2(x2− y2)e R = [0, 1] × [0, 1] (c) f(x, y) = x2+ 4 ye R = [0, 2] × [0, 3] (d) f(x, y) = x2 y2+ 1 e R = [−1, 1] × [−1, 1] (e) f(x, y) = ex y(x2+ y2)e R = [−1, 3] × [−2, 1] (f) f(x, y) = x y − y2 e R = [0, 5] × [0, 4] (g) f(x, y) = 5 x y2e R = [1, 3] × [1, 4] (h) f(x, y) = 2 x + c2ye R = [−2, 2] × [−1, 1] (i) f(x, y) = x2− y2e R = [1, 2] × [−1, 1].2. Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função e inferiormente pelo retângulo dado:
(a) z =p9 − y2e R = [0, 4] × [0, 2]
(b) z = x2+ y2e R = [−2, 2] × [−3, 3]
(c) z = y2− x2e R = [−1, 1] × [1, 3]
(d) z = 2 x + 3 y + 6 e R = [−1, 2] × [2, 3] (e) z = a cos(2 θ) + b sen(2 α) e R = [0,π
2] × [0, π 2]
8.9. EXERCÍCIOS 227 3. Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:
(a) Z 1 0 Z 1 y tg(x2) dx dy (b) Z 2 1 Z x 1 x2 y2 dy dx (c) Z 1 0 Z √1−x2 0 p 1 − y2dy dx (d) Z 1 0 Z 1 x sen(y2) dy dx (e) Z 1 0 Z y 3y ex2dx dy (f) Z 3 0 Z 9 y2 y cos(x2) dx dy
4. Calcule as seguintes integrais sabendo que D é limitada pelas curvas dadas: (a) Z Z D y dx dy; y = 2 x2− 2, y = x2+ x (b) Z Z D x y dx dy; xa22 + y2 b2 = 1, x, y ≥ 0 (c) Z Z D x dx dy; x − y2 = 0, x = 1 (d) Z Z D dx dy x2+ 1; y − x2= 0, y = 1 (e) Z Z D (x2+ y2) dx dy; y = 0, y = x − 1 e x = 1, x = 0 (f) Z Z D ex+ydx dy; y = 0, y = x e x − 1 = 0 (g) Z Z D x cos(y) dx dy; y = 0, y = x2e x = 1 (h) Z Z D 4 y3dx dy; y = x − 6 e y2 = x (i) Z Z D (y2− x) dx dy; y2= xe x = 3 − 2 y2 (j) Z Z D (x2+ 2 y) dx dy; y = 2 x2e y = x2+ 1 (k) Z Z D (1 + 2 x) dx dy; x = y2e y + x = 2 (l) Z Z D dx dy; y2 = x3 e y = x
Capítulo 9
MUDANÇA DE COORDENADAS
9.1 Introdução
Seja D∗ ⊂ R2uma região elementar no plano uv e:
x, y : D∗−→ R,
onde x = x(u, v) e y = y(u, v) são funções contínuas e com derivadas parciais contínuas num retângulo aberto R tal que D∗ ⊂ R. Estas duas funções determinam
uma transformação do plano uv no plano xy. De fato: T : D∗ −→ R2,
onde T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)). A transformação T é também denotada por: (
x = x(u, v)
y = y(u, v), (u, v) ∈ D∗.
Denotemos a imagen de D∗por T como D = T (D∗), contida no plano xy.
T D* D y x v u
Figura 9.1: Mudança de coordenadas.
Exemplo 9.1.
Seja D∗ = [0, 1] × [0, 2π] e T (r, t) = (r cos(t), r sen(t)), Determinemos D = T (D∗)
no plano xy.
(
x = r cos(t) y = r sen(t);
logo: x2+ y2= r2 ≤ 1; então D = {(x, y) ∈ R2/x2+ y2≤ 1}. π 2 L D t 1 r * D x y 1 T Figura 9.2:
Definição 9.1. Uma transformação T é injetiva em D∗se T (u
1, v1) = T (u2, v2)implica
em u1 = u2e v1 = v2, para todo (u1, v1), (u2, v2) ∈ D∗.
No exemplo 9.1, temos que:
D∗ = [0, 1] × [0, 2π] e T (r, t) = (r cos(t), r sen(t)).
A transformação T não é injetiva: De fato, T (0, t1) = T (0, t2) = (0, 0)para t1 6= t2.
Observe que:
T (L) = (0, 0), onde L = {(0, t)/0 ≤ t ≤ 2 π}. Mas se D∗ = (0, 1] × (0, 2π], T é injetiva.
9.1.1 Jacobiano da Mudança de Coordenadas
Seja T : D∗−→ D uma transformação definida por:
(
x = x(u, v)
y = y(u, v), (u, v) ∈ D∗.
Considere a seguinte matriz:
J = ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v
onde as derivadas parciais são calculadas nos pontos (u, v) ∈ D∗. J é chamada
matriz Jacobiana (de Jacobi) da transformação T .
Definição 9.2. O determinante da matriz J, dito jacobiano de T , é denotado e definido por: ∂(x, y) ∂(u, v) = det(J) = ∂x ∂u ∂y ∂v − ∂x ∂v ∂y ∂u
9.1. INTRODUÇÃO 231 A importância da matriz Jacobiana de uma transformação deverá ser estudada com mais rigor, em disciplinas mais avançadas. Por enquanto citaremos a seguinte pro-posição, sem prova:
Proposição 9.1. Se:
∂(x, y)
∂(u, v)(u0, v0) 6= 0, (u0, v0) ∈ D
∗,
então existe uma vizinhança do ponto (u0, v0)tal que a restrição de T a esta vizinhança é
injetiva.
Exemplo 9.2.
[1] No exemplo 9.1, temos que D∗ = [0, 1] × [0, 2π] e T (r, t) = (r cos(t), r sen(t)).
Logo,
∂(x, y) ∂(r, t) = r. Note que para todo (r, t) ∈ L temos ∂(x, y)
∂(r, t) = 0.
[2] Seja o quadrado D∗ = [0, 1] × [0, 1] e T (u, v) = (u + v, u − v).
(
x = u + v y = u − v.
Se u = 0, então y = −x; se v = 0, então y = x, se u = 1; então y = 2 − x e se v = 1, então y = x − 2. A região D = T (D∗)é a região do plano xy limitada pelas curvas
y = x, y = −x, y = x − 2 e y = 2 − x. O jacobiano: ∂(x, y) ∂(u, v) = −2. 1 1 1 2 - 1 1
Figura 9.3: Regiões D∗e D, respectivamente.
[3] Seja D∗a região limitada pelas curvas u2− v2 = 1, u2− v2= 9, u v = 1 e u v = 4
no primeiro quadrante, sendo T (u, v) = (u2− v2, u v). Determinemos T (D∗) = D,
fazendo:
(
x = u2− v2 y = u v;
se u2− v2= 1, então x = 1; se u2− v2 = 9, então x = 9, se u v = 1, então y = 1 e se u v = 4, então y = 4 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 5 9 1 4
Figura 9.4: Regiões D∗e D, respectivamente.
∂(x, y) ∂(u, v) = 2(u
2+ v2), que não se anula em D∗.
9.2 Mudança de Coordenadas e Integrais Duplas
O seguinte teorema nos ensina o comportamento das integrais duplas sob mudan-ças de coordenadas.
Teorema 9.1. Sejam D e D∗regiões elementares no plano, T uma transformação de classe
C1e injetiva em D∗. Suponha que T (D∗) = D. Então, para toda função integrável f sobre
Dtemos: Z Z D f (x, y) dx dy = Z Z D∗ f (u, v) ∂(x, y) ∂(u, v) du dv onde ∂(x, y) ∂(u, v)
é o valor absoluto do determinante Jacobiano e f(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)). Em particular a área de D é: A(D) = Z Z D dx dy = Z Z D∗ ∂(x, y) ∂(u, v) du dv
É possível mostrar que o teorema anterior é ainda válido se T não é injetiva num subconjunto de conteúdo nulo de D∗, como no caso de L, no exemplo 1.
Observe que podemos ir do plano uv ao plano xy e vice-versa, pois T é bijetiva.
9.3 Mudança Linear de Coordenadas
Consideremos a seguinte transformação:
x = x(u, v) = a1u + b1v
9.3. MUDANÇA LINEAR DE COORDENADAS 233 onde a1b2− a2b1 6= 0. Como: ∂(x, y) ∂(u, v) = |a1 b2− a2b1|,
do teorema anterior, segue:
Corolário 9.2. Se f(u, v) = f(a1u + b1v, a2u + b2v), então:
Z Z Df (x, y) dx dy = |a1 b2− a2b1| Z Z D∗ f (u, v) du dv Em particular, a área de D é: A(D) = |a1b2− a2b1| A(D∗) Note que: u = u(x, y) = b2x − b1y a1b2− a2b1 v = v(x, y) = −a2x + a1y a1b2− a2b1 , e que ∂(u, v) ∂(x, y) = ∂(x, y) ∂(u, v) −1 . Exemplo 9.3.
[1] Seja D a região limitada pelas curvas y = 2 x, y = x, y = 2 x − 2 e y = x + 1,
calcule: Z Z
D
x y dx dy.
A presença dos termos 2 x − y e y − x sugerem a seguinte mudança: (
u = 2 x − y v = y − x.
A nova região D∗ é limitada pelas seguintes curvas: u = 0, u = −2, v = 0 e v = 1.
1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 -2 1 1
Note que: ( x = u + v y = u + 2 v, logo, ∂(x, y) ∂(u, v) = 1e f(u, v) = (u + v) (u + 2 v) = u2+ 3 u v + 2 v2. Então: Z Z D x y dx dy = Z 1 0 Z 0 −2 (u2+ 3 u v + 2 v2) du dv = 1.
[2] Seja D a região limitada pela curva y + x = 2 e pelos eixos coordenados, calcule: Z Z
D
ey−xx+y dx dy.
A presença dos termos x + y e x − y sugerem a seguinte mudança: (
u = x + y v = y − x.
Dé limitada pelas curvas x = 0, y = 0 e x+y = 2; então, D∗é limitada pelas curvas
u = v, u = −v e u = 2, respectivamente. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 -2 2
Figura 9.6: Regiões D∗e D, respectivamente.
∂(u, v) ∂(x, y) = 2e ∂(x, y) ∂(u, v) = 1 2, f(u, v) = e v u; então: Z Z D ey−xx+ydx dy = 1 2 Z Z D∗ euvdu dv = 1 2 Z 2 0 Z u −u evudv du = 1 2 Z 2 0 u euv v=u v=−u du = e − e−1 2 Z 2 0 u du = e − e−1.
[3] Determine a área da região D limitada pela curva fechada (2 x − 4 y + 7)2+ (x − 5 y)2 = 16.
9.3. MUDANÇA LINEAR DE COORDENADAS 235 Considere a mudança:
(
u = 2 x − 4 y v = x − 5 y.
D∗é a região limitada pela curva (u + 7)2+ v2 = 16que é um círculo centrado em
(−7, 0) de raio 4. -10 -5 1 -3 1 -10 -5 1 -3 1 - 14 - 12 - 10 - 8 - 6 - 4 - 2 - 6 - 4 - 2 2 4 6
Figura 9.7: Regiões D∗e D, respectivamente.
∂(u, v) ∂(x, y) = 6; então ∂(x, y) ∂(u, v) = 1 6 e: A(D) = 1 6 Z Z D∗ du dv = 1 6A(D ∗) = 8 3πu.a.
[4] Seja D a região limitada pela curva y + x = 1 e pelos eixos coordenados, calcule: Z Z
D
cos x − y
x + y dx dy.
A presença dos termos x + y e x − y sugerem a seguinte mudança: ( u = x − y v = x + y. 1 1 1 1 1 -1 1 1 -1 1
Figura 9.8: Regiões D∗e D, respectivamente.
D∗é a região limitada pelas seguintes curvas: u = v, u = −v e v = 1,
∂(x, y) ∂(u, v) = 1 2 e
f (u, v) = cos u v ; então: Z Z D cos y − x x + y dx dy = 1 2 Z Z D∗ cos u v du dv = 1 2 Z 1 0 Z v −v cos u v du dv = 1 2 Z 1 0 v sen(1) − sen(−1) dv = sen(1) Z 1 0 v dv = sen(1) 2 .
[5] Seja D a região limitada pelas curvas y − 2 x = 2, y + 2 x = 2, y − 2 x = 1 e y + 2 x = 1, calcule:
Z Z
D
y + 2 x
(y − 2 x)2dx dy.
A presença dos termos y + 2 x e y − 2 x sugerem a seguinte mudança: (
u = y + 2 x v = y − 2 x.
D∗é a região limitada pelas seguintes curvas: u = 1, u = 2, v = 1 e v = 2.
-0.5 -1 0.5 1 1 2 -0.5 -1 0.5 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Figura 9.9: Regiões D∗e D, respectivamente.
∂(x, y) ∂(u, v) = 1 4 e f(u, v) = u v2; então: Z Z D y + 2 x (y − 2 x)2 dx dy = 1 4 Z Z D∗ u v2du dv = 1 4 Z 2 1 Z 2 1 u v2 du dv = 3 16.
9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS 237
9.4
Mudança Polar de Coordenadas
Um ponto P = (x, y) em coordenadas retangulares tem coordenadas polares (r, θ) onde r é a distância da origem a P e θ é o ângulo formado pelo eixo dos x e o segmento de reta que liga a origem a P .
r x y θ P’ r P
Figura 9.10: Mudança polar de coordenadas. A relação entre as coordenadas (x, y) e (r, θ) é dada por:
(r =px2+ y2 θ = arctg y x x 6= 0. Ou, equivalentemente: ( x = r cos(θ) y = r sen(θ). Esta mudança é injetiva em:
D∗ = {(r, θ)/r > 0, θ
0< θ < θ0+ 2π},
com θ0 =constante.
Note que a região circular D = {(x, y) /x2+ y2≤ a2} corresponde, em coordenadas
polares, à região retangular:
D∗ = {(r, θ) /0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2 π} = [0, a] × [0, 2 π].
Exemplo 9.4.
[1] A cardióide é uma curva de equação cartesiana x2 + y2 = px2+ y2 − y; em
-1 1
-1
-2
Figura 9.11: Cardióide.
[2] A lemniscata de Bernoulli é uma curva de equação cartesiana: (x2+ y2)2 = a2(x2− y2);
em coordenadas polares fica r2 = a2cos(2θ).
Figura 9.12: Lemniscata.
[3] O cilindro circular reto de raio a, em coordenadas cartesianas é definido como o seguinte conjunto:
C = {(x, y, z) ∈ R3/ x2+ y2= a2, a ≥ 0}; em coordenadas polares:
C∗ = {(r, θ, z) ∈ R3/r = a, 0 ≤ θ ≤ 2 π}.
Calculemos o jacobiano da mudança de coordenadas polares: ∂(x, y) ∂(u, v) = r > 0. Do teorema anterior, segue:
Corolário 9.3. Se f(r, θ) = f(r cos(θ), r sen(θ)), então:
Z Z D f (x, y) dx dy = Z Z D∗ r f (r, θ) dr dθ
Esta igualdade ainda é válida se D∗ = {(r, θ)/r ≥ 0, θ
0 ≤ θ ≤ θ0+ 2π}. Em particular a área de D é: A(D) = Z Z D dx dy = Z Z D∗ r dr dθ
9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS 239
9.4.1 Regiões Limitadas por Círculos
Seja a > 0. A região D, limitada pelo círculo x2+ y2= a2, em coordenadas polares
é dada por: D∗= {(r, θ) ∈ R2/0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2 π}. Figura 9.13: A região D. Neste caso: Z Z D f (x, y) dx dy = Z 2π 0 Z a 0 r f (r, θ) dr dθ
A região D, limitada pelo círculo (x − a)2+ y2 ≤ a2, em coordenadas polares é:
D∗= {(r, θ) ∈ R2/0 ≤ r ≤ 2 a cos(θ), −π 2 ≤ θ ≤ π 2}. Figura 9.14: A região D. Neste caso: Z Z D f (x, y) dx dy = Z π2 −π2 Z 2 acos(θ) 0 r f (r, θ) dr dθ
A região D, limitada pelo círculo x2+ (y − a)2 ≤ a2, em coordenadas polares é:
Figura 9.15: A região D. Neste caso: Z Z D f (x, y) dx dy = Z π 0 Z 2a sen(θ) 0 r f (r, θ) dr dθ Exemplo 9.5. [1] Calcule Z Z D
(x2+ y2) dx dy, onde D é a região limitada pelas curvas:
x2+ y2 = 1, x2+ y2= 4, y = x e y = √ 3 x 3 , no primeiro quadrante. 1 2 1 1 2 1 Figura 9.16: A região D.
Usando coordenadas polares, a nova região D∗no plano rθ é determinada por:
D∗ = {(r, θ) /1 ≤ r ≤ 2, π 6 ≤ θ ≤ π 4}. Como x2+ y2= r2, temos: Z Z D (x2+ y2) dx dy = Z Z D∗ r3dr dθ = Z π4 π 6 Z 2 1 r3dr dθ = 5 π 16. [2] Calcule Z Z D
ln(x2+ y2) dx dy, onde D é a região limitada pelas curvas: x2+ y2 = a2 e x2+ y2= b2, (0 < a < b).
9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS 241 Usando coordenadas polares temos que D∗ está determinada por: a ≤ r ≤ b e
0 ≤ θ ≤ 2π. Por outro lado, ln(x2+ y2) = 2 ln(r),
Z Z D ln(x2+ y2) dx dy = Z Z D∗ 2 r ln(r) dr dθ = 4 π Z b a r ln(r) dr = π (r2(2 ln(r) − 1)) b a = π (2 b2ln(b) − 2 a2ln(a) + a2− b2).
[3] Determine o volume do sólido situado acima do plano xy e limitado pelos grá-ficos de z = x2+ y2e x2+ y2 = 2 y.
O gráfico de z = x2+ y2é um parabolóide centrado na origem e o de x2+ y2 = 2y
é um cilindro circular reto centrado em (0, 1, 0) e de raio 1, pois, podemos escrever x2+ y2− 2 y = x2+ (y − 1)2− 1. -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 0 1 2 3 0 0.25 0.5 0.75 1 x 0 0.5 1 1.5 2 y 0 1 2 3 4 z 0.25 0.5 0.75 1 0 1 2 3
Figura 9.17: O sólido do exemplo [3].
Logo D = {(x, y) ∈ R2/x2+ (y − 1)2 ≤ 1}, em coordenadas polares é:
D∗ = {(r, θ) ∈ R2/0 ≤ r ≤ 2 sen(θ), 0 ≤ θ ≤ π}.
O sólido W é limitado superiormente pelo parabolóide. V = Z Z
D
(x2+ y2) dx dy. Utilizando coordenadas polares temos x2+ y2 = r2e:
V = Z Z D (x2+ y2) dx dy = Z Z D∗ r3dr dθ = Z π 0 Z 2sen(θ) 0 r3dr dθ = 4 Z π 0 sen4(θ) dθ = 4 Z π 0 3 8+ cos(4θ 8 − sen(2θ 2 dθ
= −sen3(θ) cos(θ) − 32cos(θ) sen(θ) + 3 θ 2 π 0 = 3π 2 u.v.
[4] Calcule o volume do sólido limitado externamente por x2 + y2 + z2 = 25 e internamente por x2+ y2= 9. 0 1 2 3 4 5 x 0 1 2 3 y 0 1 2 3 4 z 0 1 2 3 4 5 x 0 1 2
Figura 9.18: O sólido do exemplo [4].
3 5 3 5 3 5 3 5 Figura 9.19: A região D.
Pela simetria do sólido, calculamos o volume no primeiro octante e multiplicamos o resultado por 8. V = 8 Z Z D p 25 − x2− y2dx dy,
onde D é a projeção do sólido no plano xy. Usando coordenadas polares obtemos a nova região D∗definida por:
D∗= {(r, θ) / 3 ≤ r ≤ 5, 0 ≤ θ ≤ π 2} ep25 − x2− y2 =√25 − r2: V = 8 Z Z D p 25 − x2− y2dx dy = 8 Z π2 0 Z 5 3 rp25 − r2dr dθ = 256π 3 u.v. [5] Calcule o volume do sólido limitado pelo elipsóide:
9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS 243 x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1; onde a, b, c 6= 0.
Pela simetria do sólido calculamos o volume relativo ao primeiro octante; logo:
V = 8 c Z Z D s 1 − x 2 a2 + y2 b2 dx dy.
A região D é limitada pela porção de elipse x2 a2 +
y2
b2 = 1no primeiro quadrante.
Usemos primeiramente a seguinte mudança: (
x = a u y = b v;
o determinante Jacobiano da mudança é a b e D∗é limitada por u2+ v2 = 1. Temos:
V = 8 c Z Z D s 1 − x2 a2 + y2 b2 dx dy = 8 a b c Z Z D∗ p 1 − u2− v2du dv.
Agora, usamos coordenadas polares: (
u = r cos(θ) v = r sen(θ).
O determinante Jacobiano é r; √1 − u2− v2 =√1 − r2 e a nova região D∗∗é
defi-nida por 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ π 2: V = 8 a b c Z Z D∗∗ rp1 − r2dr dθ = 4 a b c π 3 u.v. Em particular, se a = b = c temos uma esfera de raio a e V = 4 π a3
3 u.v. [6] Calcule
Z +∞
0
e−x2dx.
Esta integral é muito utilizada em Estatística. Seja R = [−a, a] × [−a, a]. Então: Z Z R e−(x2+y2)dx dy = Z a −a Z a −a e−x2e−y2dy dx = Z a −a e−x2dx Z a −a e−y2dy . O gráfico de f(x, y) = e−(x2+y2)é:
Figura 9.20: Se denotamos por L(a) =
Z a
−a
e−u2du = 2
Z a
0
e−u2du, temos:
L2(a) = Z Z
R
e−(x2+y2)dx dy.
Sejam D e D1regiões elementares tais que D ⊂ R ⊂ D1onde D é a região limitada
pelo círculo inscrito em R e D1é a região limitada pelo círculo circunscrito a R:
R D1 D Figura 9.21: Como f(x, y) = e−(x2+y2)é contínua em D 1e e−(x 2+y2) > 0, para todo x, y, Z Z D e−(x2+y2)dx dy ≤ L2(a) ≤ Z Z D1 e−(x2+y2)dx dy.
Usando coordenadas polares, D é definida por 0 ≤ r ≤ a e 0 ≤ θ ≤ 2π, D1 é
definida por 0 ≤ r ≤√2 ae 0 ≤ θ ≤ 2π; e−(x2+y2)= e−r2 e: Z 2π 0 Z a 0 r e−r2dr dθ = π (1 − e−a2); então, q π (1 − e−a2) ≤ L(a) ≤ q π (1 − e−2a2). Como lim a→+∞ Z a 0 e−u2du = Z +∞ 0
9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS 245 Z +∞ 0 e−u2du = √ π 2 . [7] Se D = {(x, y) ∈ R2/1 ≤ (x − y)2+ (x + y)2≤ 4, y ≤ 0, x + y ≥ 0}, calcule: Z Z D ex+yx−y (x − y)2dx dy.
Usamos mudança linear:
(
u = x − y v = x + y.
Logo, a nova região D∗ é limitada pelas curvas u2+ v2 = 1, u2 + v2 = 4, v ≤ u e
0 ≤ v: 1 2 1 2 1 2 1 2 Figura 9.22: Região D. ∂(u, v) ∂(x, y) = 2então ∂(x, y) ∂(u, v) = 1 2 e Z Z D ex−yx+y (x − y)2dx dy = 1 2 Z Z D∗ euv u2 du dv.
Usando coordenadas polares obtemos a região D∗∗ definida por: 1 ≤ r ≤ 2 e
0 ≤ θ ≤ π4: 1 2 Z Z D∗ euv u2 du dv = 1 2 Z Z D∗∗ r etg(θ) r2cos2(θ)dr dθ = ln(2) 2 (e − 1). 9.4.2 Aplicação
Seja D região do tipo II, limitada por curvas de equações (em forma polar): r = g(θ) e r = h(θ) e definida por:
D = {(r, θ)/g(θ) ≤ r ≤ h(θ), θ1 ≤ θ ≤ θ2},
D h g y x θ1 θ2 r θ D* θ2 θ1 Figura 9.23: Então: Z Z D f (x, y) dx dy = Z θ2 θ1 Z h(θ2) g(θ1) r f (r, θ) dr dθ Em particular, a área de D é: A(D) = Z Z D dx dy = 1 2 Z θ2 θ1 (h(θ))2− (g(θ))2 dθ Exemplo 9.6.
[1] Calcule o volume do sólido limitado pelo cone z = px2+ y2 e pelo cilindro
r = 4 sen(θ), no primeiro octante.
Usando coordenadas polares temos que o cone escreve-se z = r; no plano r θ o cilindro projeta-se no círculo r = 4 sen(θ); logo 0 ≤ r ≤ 4 sen(θ) e 0 ≤ θ ≤ π
2. -2 -1 1 2 1 2 3 4 -2 -1 1 2 1 2 3 4 0 0.5 1 1.5 2 x 0 1 2 3 4 y 0 1 2 3 4 z 0 0.5 1 1.5 2 0 1 2 3 Figura 9.24: V = Z Z D∗ r2dr dθ = Z π2 0 Z 4 sen(θ) 0 r2dr dθ = 128 9 u.v.
[2] Calcule a área da região limitada pelo interior do círculo r = 4 sen(θ) e pelo exterior do círculo r = 2.
9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS 247 -2 2 -2 2 -2 2 -2 2 Figura 9.25: Os círculos se intersectam em: θ = π
6 e θ = 5π6 e: A(D) = 1 2 Z 5π6 π 6 (16 sen2(θ) − 4) dθ = 2π 3 + 2 √ 3 u.a. [3] Calcule a área da região limitada por r = 2(1 + sen(θ)).
-2 -1 1 2 1 2 3 4 Figura 9.26: 0 ≤ θ ≤ 2 π. Logo: A(D) = 2 Z 2π 0 (1 + sen(θ))2dθ = 6πu.a. [4] Calcule a área da região limitada por r = sen(3θ).
0 ≤ θ ≤ 2 π. Logo: A(D) = 1 2 Z 2π 0 sen2(3θ) dθ = π 2u.a.
9.5 Outras Aplicações da Integral Dupla
Como em uma variável, outras aplicações, além do cálculo de volumes, podem ser definidas através de integrais duplas, tais como, massa total, centro de massa e momento de inércia.
9.5.1 Massa Total
Suponha que uma lâmina fina tem a forma de uma região elementar D e conside-remos que a massa está distribuida sobre D com densidade conhecida, isto é, existe uma função z = f(x, y) > 0 em D que representa a massa por unidade de área em cada ponto (x, y) ∈ D. Se a lâmina é feita de material homogêneo, a densidade é constante. Neste caso a massa total da lâmina é o produto da densidade pela área da lâmina. Quando a densidade f varia de ponto a ponto em D e f é uma função integrável sobre D, a massa total M(D) de D é dada por:
M (D) = Z Z
D
f (x, y) dx dy
9.5.2 Momento de Massa
O momento de massa de uma partícula em torno de um eixo é o produto de sua massa pela distância (na perpendicular) ao eixo. Então, os momentos de massa da lâmina D em relação ao eixo dos x e dos y são respectivamente:
Mx= Z Z D y f (x, y) dx dy, My = Z Z D x f (x, y) dx dy x y (x,y) D Figura 9.28: 9.5.3 Centro de Massa
O centro de massa da lâmina é definido por (x, y), onde: x = My
M (D), y = Mx
9.5. OUTRAS APLICAÇÕES DA INTEGRAL DUPLA 249 Fisicamente (x, y) é o ponto em que a massa total da lâmina poderia estar concen-trada sem alterar seu momento em relação a qualquer dos eixos. Se f(x, y) = k, (k > 0) em todo D, (x, y) é chamado centróide de D. Neste caso o centro de massa é o centro geométrico da região D.
Exemplo 9.7.
[1] Calcule o centro de massa do retângulo [0, 1] × [0, 1] se a densidade é dada pela função: f(x, y) = ex+y. A massa total de D = [0, 1] × [0, 1] é: M (D) = Z 1 0 Z 1 0 ex+ydx dy = e2− 2e + 1. Os momentos de massa respectivos são:
Mx = Z 1 0 Z 1 0 y ex+ydx dy = e − 1 e My = Z 1 0 Z 1 0 x ex+ydx dy = e − 1 e o centro de massa de D é ( 1 e − 1, 1 e − 1).
[2] Determine o centro de massa da região limitada por um semicírculo D de raio acentrado na origem, sabendo que sua densidade em cada ponto é proporcional à distância do ponto à origem.
Figura 9.29:
f (x, y) = kpx2+ y2. Calculamos a massa total usando coordenadas polares. A
nova região D∗é definida por: 0 ≤ r ≤ a e 0 ≤ θ ≤ π;px2+ y2 = r:
M (D) = k Z π 0 Z a 0 r2dr dθ = k π a 3 3 . Os momentos de massa respectivos são:
Mx= Z a 0 Z π 0 r3cos(θ) dθ dr = 0 e My = Z a 0 Z π 0 r3sen(θ) dθ dr = a 4 2 ; o centro de massa de D é (0, 3 a 2 k π).
[3] Determine o centróide da região limitada pelas curvas y = x2e y = 4 x − x2. 1 2 4 2 1 2 4 2 Figura 9.30: Neste caso f(x, y) = 1 para todo (x, y) ∈ D, onde:
D = {(x, y) ∈ R2/0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4 x − x2} e M(D) = A(D) = 8
3. Esta área já foi calculada anteriormente.
Mx = Z 2 0 Z 4x−x2 x2 y dy dx = 16 3 e My = Z 2 0 Z 4x−x2 x2 x dy dx = 8 3; o centróide de D é (2, 1).
[4] Determine o centro de massa da região limitada pelas curvas y = x + x2, y = 0
e x = 2 se a densidade em cada ponto é f(x, y) = y 1+x. M (D) = Z 2 0 Z x(x+1) 0 y 1 + xdy dx = 1 2 Z 2 0 (x3+ x2) dx = 10 3 , Mx= Z 2 0 Z x(x+1) 0 y2 1 + xdy dx = 1 2 Z 2 0 (x4+ x3) dx = 412 45 , My = Z 2 0 Z x(x+1) 0 x y 1 + xdy dx = 1 3 Z 2 0 (x5+ 2 x4+ x3) dx = 26 5 ; o centro de massa de D é (39 25, 206 75 ). 9.5.4 Momento de Inércia
Sejam L uma reta no plano, D uma lâmina como antes e δ(x, y) = d((x, y), L), onde dé a distância no plano e (x, y) ∈ D.
9.5. OUTRAS APLICAÇÕES DA INTEGRAL DUPLA 251 D L (x,y) δ Figura 9.31:
Se f(x, y) é a densidade em cada ponto de D, o momento de inércia da lâmina em relação à reta L é:
IL=
Z Z
D
δ2(x, y) f (x, y) dx dy Em particular, se L é o eixo dos x:
Ix= Z Z D y2f (x, y) dx dy Se L é o eixo dos y: Iy = Z Z D x2f (x, y) dx dy O momento de inércia polar em relação à origem é:
I0 = Ix+ Iy =
Z Z
D
(x2+ y2) f (x, y) dx dy
O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo é sua capacidade de resistir à aceleração angular em torno desse eixo.
Exemplo 9.8.
[1] Determine o momento de inércia polar da região limitada pelas curvas y = ex,
x = 1, y = 0 e x = 0, se a densidade em cada ponto é f(x, y) = x y. Ix= Z Z D xy3dx dy = Z 1 0 Z ex 0 x y3dy dx = 1 64(3 e 4+ 1), Iy = Z Z D yx3dx dy = Z 1 0 Z ex 0 y x3dy dx = 1 16(e 2+ 3);
logo, o momento de inércia polar é: I0 = Ix+ Iy =
1 64(3 e
4+ 4 e2+ 13).
[2] Uma lâmina fina com densidade constante k é limitada por x2 + y2 = a2 e
Usando coordenadas polares, a nova região é definida por: a ≤ r ≤ b e 0 ≤ θ ≤ 2 π e o momento de inércia polar é:
I0 = k Z 2 π 0 Z b a r3dr dθ = k (b 4− a4)π 2 .
9.6 Exercícios
1. Determine o volume dos seguintes sólidos:
(a) Limitado superiormente por z = x2 + y2 e inferiormente pela região
limitada por y = x2e x = y2.
(b) Limitado superiormente por z = 3 x2 + y2 e inferiormente pela região
limitada por y = x e x = y2− y.
(c) Limitado por y2+ z2 = 4, x = 2 y, x = 0 e z = 0, no primeiro octante.
(d) Limitado por z = x2+ y2+ 4, x = 0, y = 0, z = 0 e x + y = 1.
(e) Limitado por x2+ y2= 1, y = z, x = 0 e z = 0, no primeiro octante.
2. Calcule a área da região limitada pelo eixo dos y e as curvas y = sen(x) e y = cos(x).
3. Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas: (a) y = x2, y = 2x + 5 4 (b) y = −x2− 4, y = −8 (c) y = 5 − x2, y = x + 3 (d) x = y2, y = x + 3, y = −2, y = 3 (e) y3 = x, y = x (f) y = −x2− 1, y = −2x − 4 (g) x = y2+ 1, y + x = 7 (h) y = 4 − x2, y = x2− 14
4. Determine o centro de massa da lâmina plana R, no plano xy e densidade dada f:
(a) R é limitado por x2+ y2= 1no primeiro quadrante e f(x, y) = x y
(b) R é limitado por y = x e y = x2e f(x, y) = x2+ y2
5. Definimos o valor médio de f sobre a região D por: VM = 1 A Z Z D f (x, y) dx dy, onde A é a área de D. Calcule VM se:
9.6. EXERCÍCIOS 253 (a) f(x, y) = x2, e D do retângulo de vértices (0, 0), (4, 0), (4, 2) e (0, 2)
(b) f(x, y) = x2y2e D do retângulo de vértices (0, 0), (4, 0), (4, 2) e (0, 2)
(c) f(x, y) = x2y2e D do triângulo de vértices (0, 0), (4, 0), e (0, 2)
(d) f(x, y) = x2y2e D do triângulo de vértices (−1, 0), (1, 0), e (0, 1)
Mudanças de Variáveis
1. Utilizando a mudança de variáveis: x = u + v e y = u − v, calcule: Z 1 0 Z 1 0 x2+ y2 dx dy.
2. Utilizando a mudança de variáveis: x + y = u e x − y = v, calcule: Z Z
D
x + y2
(x − y)2dx dy,
onde D é limitado pelo quadrado de vértices (1, 0), (2, 1) e (0, 1). 3. Utilizando a mudança de variáveis: u = x − y e v = x + y, calcule:
Z Z
D
x2− y2 sen2(x + y) dx dy,
onde D = {(x, y)/ − π ≤ x + y ≤ π, −π ≤ x − y ≤ π}.
4. Utilizando coordenadas polares, calcule as seguintes integrais duplas: (a) Z Z D ex2+y2dx dy, sendo D = {(x, y)/x2+ y2 ≤ 1} (b) Z Z D ln(x2+ y2) dx dy, sendo D = {(x, y)/x ≥ 0, y ≥ 0, a2 ≤ x2+ y2 ≤ b2} (c) Z Z D sen(px2+ y2)
px2+ y2 dx dy, sendo D limitadas por x
2+y2= π2
4 e x2+y2=
π2
5. Calcule a área da região limitada pelas seguintes curvas: x = 4−y2e x+2 y −
4 = 0.
6. Utilizando coordenadas polares, calcule a área da região limitada pelas cur-vas: (a) r = 1 e r = 2cos(θ)√ 3 (fora a circunferência r = 1). (b) r = 2 (1 + cos(θ)) e r = 2 cos(θ). (c) r = 2 (1 − cos(θ)) e r = 2. 7. Calcule Z Z D
sen(x2+ y2) dx dy, sendo D o disco unitário centrado na origem. 8. Sendo dadas a parábola y2 = x + 1e a reta x + y = 1, calcule o momento de
