Modelagem, aproximação e simulações computacionais de impacto ambiental com difusibilidade variável : um estudo e caso

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE

CAMPINAS

Instituto de Matemática, Estatística e

Computação Científica

DANUZA BERMOND EQUER

MODELAGEM, APROXIMAÇÃO E

SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS DE

IMPACTO AMBIENTAL COM

DIFUSIBILIDADE VARIÁVEL: UM ESTUDO

DE CASO

Campinas

2017

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Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): CNPq, 143161/2015-6

Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Maria Fabiana Bezerra Muller - CRB 8/6162

Equer, Danuza Bermond,

Eq32m EquModelagem, aproximação e simulações computacionais de impacto ambiental com difusibilidade variável : um estudo de caso / Danuza Bermond Equer. – Campinas, SP : [s.n.], 2017.

EquOrientador: João Frederico da Costa Azevedo Meyer.

EquDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Equ1. Equação de difusão-advecção-reação. 2. Diferenças finitas. 3.

Coeficiente de difusão. 4. Modelagem. 5. Impacto ambiental. I. Meyer, João Frederico da Costa Azevedo,1947-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Modeling, approach and computational simulations of environmental impact with variable diffusibility : a case study

Palavras-chave em inglês: Diffusion-advection-reaction equation Finite differences Diffusion coefficient Modeling Environmental impact

Área de concentração: Matemática Aplicada Titulação: Mestra em Matemática Aplicada Banca examinadora:

João Frederico da Costa Azevedo Meyer [Orientador] Estevão Esmi Laureano

Rosana Sueli da Motta Jafelice Data de defesa: 23-02-2017

Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada

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Dissertação de Mestrado defendida em 23 de fevereiro de 2017 e aprovada

pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.

Prof.(a). Dr(a). JOÃO FREDERICO DA COSTA AZEVEDO MEYER

Prof.(a). Dr(a). ESTEVÃO ESMI LAUREANO

Prof.(a). Dr(a). ROSANA SUELI DA MOTTA JAFELICE

A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadêmica da aluna.

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Agradecimentos

Agradeço a Deus por ter me dado forças e não ter me deixado desanimar diante dos desafios emocionais enfrentados nesses dois anos e pelas maravilhosas pessoas que colocou no meu caminho.

Ao meu querido orientador Dr. João Frederico da Costa Azevedo Meyer, por toda paciência, tempo e sabedoria dedicados ao meu trabalho. Foi um grande prazer ser sua orientada. E a todos os professores que passaram no meu caminho e me despertaram o interesse em continuar estudando matemática.

A toda minha família do Espírito Santo, por me darem incentivo para continuar sempre estudando, em especial ao apoio dos meus pais e irmã. À minha prima Luciana por ter me indicado a Unicamp e sempre me mostrar bons caminhos.

Ao meu anjo Felipe, que enquanto esteve comigo, me fez muito bem e acreditar que eu conseguiria concluir esse trabalho, deixando grandes ensinamentos e saudades de momentos muito felizes. E a sua família tão especial, por terem me acolhido como filha e irmã.

Aos grandes e incríveis amigos que fiz durante o mestrado que me ajudaram nas disciplinas e no companheirismo de todos os dias, em especial à Livia, que me acompanha e incentiva em teorias sobre a vida o universo e tudo mais, à Nilmara pela companhia animada e sempre muito bem humorada de todos os dias e à Pammela por sempre estar presente desde o início do mestrado.

Ao acolhimento da Senhora Ademilde e de todos que conheci em seu pensionato, que faziam eu me sentir em família mesmo longe de casa.

Aos membros da banca examinadora pelas sugestões. Ao CNPq, pelo apoio financeiro.

E por fim, a todos que contribuíram para a conclusão e elaboração desta Dissertação de Mestrado. Muito obrigada!

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“Nas aflições do caminho, Na noite mais tormentosa

Vossa fonte generosa É o bem que não secará... Sois, em tudo, a luz eterna

Da alegria e da bonança Nossa porta de esperança Que nunca se fechará“ (C.XAVIER, Paulo e Estevão, 2014)

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Resumo

Esta pesquisa busca obter aproximações para a solução da Equação Diferencial Parcial de Difusão-Advecção-Reação, utilizando para a simulação computacional o estudo de uma parte específica do rio Doce, que passa pela cidade de Colatina. O objetivo é considerar o coeficiente de difusibilidade variável espacialmente na equação do modelo clássico, devido à vegetação aquática e terrestre presente nas margens do rio. A discretização espacial foi feita pelo Método das Diferenças Finitas, e a discretização temporal através do Método de Crank-Nicolson. A condição de contorno usada foi a de Robin. E foi feita a análise de cada tipo de fronteira considerada no domínio. Nas simulações variamos o coeficiente de perda de poluentes para as margens e a difusibilidade, considerando cenários com e sem fontes de poluição. O objetivo secundário é o de criar um instrumental que sirva de apoio ao estabelecimento de políticas públicas de contenção de impacto, seja no trecho do Rio Doce estudado, seja em outras regiões de características de circulação mais baixa.

Palavras-chave: Equação de Difusão-Advecção-Reação. Diferenças finitas. Coeficiente de

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Abstract

This research seeks to obtain approximations for the solution of the Partial Differential-Diffusion-Advection-Reaction Equation, using for computational simulation the study of a specific part of the Doce River, which passes through the city of Colatina. The objective is to consider the coefficient of diffusibility variable spatially in the equation of the classical model, due to the aquatic and terrestrial vegetation present in the river banks. The spatial discretization was done by the Finite Differences Method, and the temporal discretization by the Crank-Nicolson Method. In order to generalize the model, boundary conditions were those of Robin in order to include phenomena along the margins of the river. And the analysis of each type of frontier considered in the domain was made. In the simulations we varied the coefficient of loss of pollutants for the margins and the diffusibility, considering scenarios with and without sources of pollution. A secondary objective is that of creating na auxiliary tool to support decisions and strategies for public environmental policies for Diminisshing impact, be it in the Rio Doce regions, be it elswhere in situations of low circulation characteristics.

Keywords: Diffusion-advection-reaction equation. Finite differences. Diffusion coefficient.

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Lista de ilustrações

Figura 1 – Rio Doce antes da chegada da lama de rejeitos. Fonte:(VITóRIA, 2015). 3

Figura 2 – Rio Doce após a chegada da lama de rejeitos. Fonte: (MANTOVANI/G1,

2016). . . 4

Figura 3 – Lama de rejeitos nas margens do rio. Fonte: (GREENPEACE, 2016). . 5

Figura 4 – Região do domínio. Fonte: Google Earth. . . 5

Figura 5 – Domínio Aproximado. Fonte: Google Earth. . . 6

Figura 6 – Velocidade. . . 10

Figura 7 – Velocidade em todo domínio. . . 10

Figura 8 – Difusibilidade. . . 11

Figura 9 – Indicação da difusibilidade no domínio Ω. . . 12

Figura 10 – Malha de discretização.. . . 14

Figura 11 – Malha. . . 16

Figura 12 – Fronteiras. . . 20

Figura 13 – Cantos das Fronteiras. . . 20

Figura 14 – Nós para as fronteiras Γ3, Γ5 e Γ7. . . 21

Figura 15 – Nós para a fronteira Γ2. . . 22

Figura 18 – Nós para as fronteiras Γ6 e Γ8.. . . 25

Figura 19 – Fronteira Γ9. . . 26

Figura 22 – Fronteira Γ12 e Γ13. . . 27

Figura 24 – Localização dos nós e fontes de poluição. . . 32

Figura 25 – Simulação 1 após 10, 80, 160 e 600 passos no tempo o que corresponde a 120 horas. . . 33

Figura 26 – Acompanhamento dos nós para a Simulação 1. . . 33

(11)

Figura 35 – Simulação 6 após 1000 passos no tempo o que corresponde a 200 horas. 38

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Lista de tabelas

Tabela 1 – Valores da difusibilidade e coeficiente de perda de poluentes em cada simulação. . . 31

(13)

Lista de abreviaturas e siglas

cpx, y, tq Função de concentração de poluentes.

t Variável temporal.

I Intervalo de tempo de 0 à T. αpyq Coeficiente de difusão. σ Coeficiente de decaimento. f Fontes de poluição.

V Velocidade.

k Coeficiente de perda de poluentes. η Vetor externo normal.

∆c Laplaciano de c.

∇c Gradiente de c.

divpα∇cq Divergente depα∇cq.

nx Número de subintervalos no eixo x.

ny Número de subintervalos no eixo y.

nt Número de intervalos no tempo.

∆x Tamanho dos subintervalos no eixo x.

∆y Tamanho dos subintervalos no eixo y.

∆t Tamanho dos subintervalos no tempo.

nn Número total de nós.

BΩ Fronteira de Ω.

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Sumário

Introdução . . . . 1 1 O PROBLEMA . . . . 3 1.1 Estudo de caso . . . 3 1.2 Domínio Ω . . . 5 1.3 O Modelo Clássico . . . 6 2 O NOVO MODELO . . . . 9

3 AS DISCRETIZAÇÕES ESPACIAL E TEMPORAL USANDO OS MÉTODOS DE DIFERENÇAS FINITAS CENTRADAS E CRANK-NICOLSON . . . 14

4 CONDIÇÕES DE CONTORNO . . . 20

4.1 Análise das Fronteiras Horizontais . . . 21

4.2 Análise das Fronteiras Verticais . . . 23

4.3 Análise dos Cantos . . . 26

5 SIMULAÇÕES . . . 30

5.1 Simulações com fontes de poluição . . . 32

5.2 Simulações sem fontes de poluição . . . 39

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . 47

REFERÊNCIAS . . . 48

I

ANEXOS

51

Anexo 1: Diferenças Finitas . . . 52

(15)

15

Introdução

Neste trabalho, pretendemos dar sequência a uma série de esforços de mode-lagem matemática da presença evolutiva de poluentes em meios aquáticos, levando em consideração, além da variável temporal, as variáveis espaciais.

Dentre os objetivos, buscamos explorar possibilidades de aproximação numérica para a solução da Equação Diferencial Parcial de Difusão-Advecção-Reação que vêm sendo desenvolvidas no grupo de Ecologia Matemática no IMECC, e ainda considerar o coeficiente de difusibilidade do poluente variável espacialmente, sendo este o aspecto

inovador desta pesquisa.

Com a modelagem proposta, apresentamos um algoritmo que visa obter, de modo confiável, aproximações para a solução da Equação Diferencial Parcial de Difusão-Advecção-Reação.

Como aplicação, optamos por analisar o caso de uma parte específica do Rio Doce, aquela que passa pela cidade Colatina no estado do Espírito Santo. Esse trecho do Rio Doce foi escolhido em Colatina porque sou desta cidade e por ter sido atingido de modo severo por um impacto de seríssimas proporções, fruto do rompimento de uma barragem de contenção de poluentes, principalmente argila e dióxido de ferro.

Foram grandes os impactos socioeconômicos e ambientais em todo o percurso do rio, dentre eles temos a interrupção do abastecimento de água, prejuízos à agricultura, indústria, produção de energia nas hidrelétricas, comprometimento da pesca em toda a extensão do rio e na transição com o ambiente marinho e do turismo, destruição das áreas de preservação, assoreamento e alterações morfológicas dos corpos hídricos, mortandade de organismos aquáticos e perturbações do equilíbrio dos ecossistemas aquáticos.

Há um enorme interesse, principalmente em termos de saúde pública, em saber a partir de que data podem ser iniciados testes para verificar a possibilidade do uso da água. Tais testes podem começar desde o presente, mas a modelagem da dispersão pode indicar uma data num futuro que pode ser a curto, médio ou até a longo prazo, contribuindo para o planejamento municipal e com evidente economia de recursos públicos.

O trabalho foi organizado da seguinte forma: no primeiro capítulo, apresentamos o estudo de caso que descreve o impacto ambiental causado pelo desastre, o domínio que adotamos na região de Colatina e o modelo clássico, no segundo capítulo desenvolvemos a equação do modelo dando destaque ao aspecto inovador da variação da difusibilidade, no terceiro capítulo, fazemos a discretização espacial e temporal usando os métodos de Diferenças Finitas Centradas e Crank-Nicolson explicando como esses métodos foram

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Introdução 16

aplicados na equação do nosso modelo, no capítulo 4 mostramos os casos especiais de todas as fronteiras utilizando a Condição de Fronteira de Robin e no capítulo 5 exibimos os resultados obtidos pelas simulações feitas, com todos os valores de parâmetros fixos e variáveis. Por fim, temos as considerações finais, nossas referências e em anexo temos mais detalhado alguns passos para o método de Diferenças Finitas e o nosso algoritmo criado.

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17

1 O Problema

Nesse primeiro capítulo, vamos mostrar em que a pesquisa foi fundamentada, apontando o impacto ambiental que ocorreu, a situação atual por meio de reportagens, o domínio da região que escolhemos como aplicação e o modelo clássico.

1.1 Estudo de caso

O trabalho é uma continuidade das pesquisas já realizadas sobre a presença evolutiva de poluentes em meios aquáticos. Com esse objetivo, optamos por estudar o caso da poluição de uma parte do rio Doce, que foi recentemente atingida pelo rompimento da barragem de rejeitos de mineração controlada pela empresa brasileira Samarco. No dia 5 de novembro de 2015, vazou um volume de aproximadamente 32 milhões de m3 de rejeitos provenientes da atividade minerária, atingindo um rio próximo às operações da Samarco (Gualaxo do Norte), percorreu o seu leito, desaguou no Rio Doce e chegou ao mar em 22

de novembro de 2015 .

Em Colatina, a onda de lama chegou no dia 10 de novembro de 2015. Apesar de a mancha de lama com o tempo estar se tornando um pouco mais clara, moradores ainda buscam alternativas para abastecer suas casas, como por exemplo, água de nascentes e bicas. Ou seja, aparentemente a poluição tem permanecido na região (Figura 2) .

A Figura 1mostra a região da ponte sobre o Rio Doce em Colatina antes da

chegada da lama de rejeitos e a Figura 2 mostra a região depois do desastre.

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Capítulo 1. O Problema 18

Figura 2 – Rio Doce após a chegada da lama de rejeitos. Fonte: (MANTOVANI/G1,2016).

Foram divulgadas, por meio de sites e jornais, alguns resultados de pesquisas feitas por pesquisadores de universidades e institutos brasileiros sobre o tamanho dos danos ambientais e sociais causados pelo desastre.

A notícia do dia 06 de novembro de 2016 do jornal A GAZETA, com o título "Um ano de lama" destaca que, aparentemente, o rio está se recuperando, aonde a água apresenta alguns pontos verdes e está translúcida, mas no fundo do rio ainda contém um gel de lama. Chama a atenção para resultados de algumas pesquisas feitas, que mostram que os níveis de metais estão acima dos limites estabelecidos pelo Conselho Nacional do Meio Ambiente. Em Colatina, por exemplo, existem pontos em que os níveis estão quase o dobro que o permitido (Sá RAQUEL LOPES,2016).

No site da organização global (GREENPEACE,2016) na reportagem "Desastre em Mariana: uma tragédia ainda em curso", também foi apresentado alguns estudos que revelam a dimensão dos impactos ambientais e sociais. O texto relata que, muitos poços artesianos que estão sendo utilizados por famílias e agricultores estão com alto nível de poluição, o que mostra que a contaminação já atingiu o subterrâneo. E que a lama acumulada nas margens (Figura 3) pode voltar a lançar mais poluentes em períodos de chuva. Outro foco é o acumulo de metais pelos animais, já que a contaminação na água pode se espalhar pelo ambiente através da cadeia alimentar.

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Figura 3 – Lama de rejeitos nas margens do rio. Fonte: (GREENPEACE,2016).

De acordo com a situação indicada, escolhemos um domínio que vamos indicar na próxima seção. A região deste domínio encontra-se na mesma região mostrada na

Figura 1 e na Figura 2.

1.2 Domínio Ω

A parte do rio Doce que escolhemos, passa pela cidade de Colatina no estado do Espírito Santo. Na Figura 4 temos o percurso do rio Doce na cidade de Colatina e podemos observar que o rio é estreito, com ilhas e curvas em toda sua extensão.

Figura 4 – Região do domínio. Fonte: Google Earth.

Analisando a região indicada inicialmente na Figura 4, a decisão foi a de usar uma figura geométrica como descrita na Figura 5. Esta região foi escolhida por não estar em uma parte tão curva e com um comprimento maior entre as margens do rio.

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Figura 5 – Domínio Aproximado. Fonte: Google Earth.

Observamos que, no nosso domínio (Figura 5) à esquerda, temos rio acima (a montante) e à direita, temos rio abaixo (a jusante) e que portanto, a onda de lama está chegando à esquerda do nosso domínio, isto é, na fronteira Γ1, como descrita naFigura 12

no capítulo 4.

Devido à presença de vegetação aquática e terrestre presente nas margens do rio (Figura 5), será apresentado um novo modelo com a tentativa de estudar o coeficiente de difusão variável espacialmente nas margens do domínio Ω.

1.3 O Modelo Clássico

Em problemas ecológicos que tratam da dispersão de poluentes, a equação de Difusão-Advecção-Reação vem sendo referência para a modelagem desses estudos, já que considera como a substância se espalha, é transportada, inserida no meio, descrevendo todo o processo de difusão que acontece com o tempo.

Desta forma, representamos o problema de dispersão da concentração de polu-entes com o modelo clássico de Difusão-Advecção-Reação num domínio Ω R2 e tP I

(MURRAY, 2013),(EDELSTEIN-KESHET,1988):

Bc

Bt div(fluxo) decaimento  fonte, (1.1)

em que c cpx, y, tq é a concentração de poluente com px, yq P Ω R2 e tP I p0, T s. A respeito dos termos do modelo (1.1), os autores (VÁSQUEZ,2005) e (GUACA,

2015) já haviam explicado que:

A dispersão de uma substância num determinado meio é a ação conjunta dos processos:

(21)

Difusão

O movimento Browniano das moléculas de uma substância constitui a difusão microscópica. Esta, mais a difusão macroscópica devida à tensão superficial, constituem a difusão chamada de efetiva por (OKUBO, 1980) e (MARCHUK, 1986). Pela lei de Fick assumimos que a matéria tem uma tendência a se espalhar de tal forma a ocupar o espaço físico da maneira mais regular possível, o que equivale a dizer que a matéria se movimenta de locais de maior concentração para os de menor concentração. Assim, é razoável supor que a variação da concentração se dá na clássica forma:

J1px, y, tq αpx, yq∇cpx, y, tq, px, yq P Ω e t P p0, T s. (1.2)

Sendo o gradiente de c considerado apenas em relação às coordenadas espaciais e αpx, yq representa o valor da difusibilidade efetiva no meio, na posição px, yq.

Advecção

A advecção é o movimento provocado por agentes externos, como o campo de velocidades do meio. No nosso caso específico, correntes induzidas por forçantes tais como ventos, marés e outros. Se o agente externo que provoca o movimento da substância é definido por um campo de velocidades V , em geral variável tanto na posição como no tempo, então o fluxo advectivo será proporcional à concentração (MARCHUK, 1986) e

(OKUBO; LEVIN, 2013):

J2px, y, tq V px, y, tqcpx, y, tq. (1.3)

Assim, o fluxo por difusão efetiva e transporte advectivo é modelado por:

Jpx, y, tq J1px, y, tq J2px, y, tq αpx, yq∇cpx, y, tq V px, y, tqcpx, y, tq. (1.4)

Decaimento

É um processo que ocorre a nível de partículas, constituído pelas alterações sofridas pela substância ao longo do tempo devido entre outras causas, a fotodegradação, biodegradação e precipitação. Em muitas situações, assume-se que a perda de substância é linearmente proporcional à própria quantidade presente no meio.

O algoritmo a ser apresentado permite, com poucas mudanças, usar um decai-mento que varia no espaço e no tempo. No entanto, nos ensaios, foi escolhido um valor constante e baixo, visando permitir a visualização dos resultados evolutivos.

Fontes

Fontes e sorvedouros são os meios pelos quais a substância é introduzida e retirada do meio, respectivamente. Por exemplo, os emissários (de material impactante não tratado) através dos quais é despejado o esgoto doméstico e industrial das cidades em

(22)

meios aquáticos são um caso específico de uma fonte (poluente).

Acidente

Há ainda os casos de acidentes (com ou sem a presença de fontes). É o que aconteceu na região com a chegada de material impactante vindo da introdução dessa mancha no meio.

Seguindo os trabalhos de (KRINDGES, 2006), (OLIVEIRA, 2003), (MISTRO,

1992), (WOLMUTH, 2009), (VÁSQUEZ, 2005), (DINIZ,2006) e (INFORZATO, 2008) do grupo de Biomatemática do IMECC, adotamos a formulação que será apresentada no próximo capítulo.

(23)

23

2 O Novo Modelo

O objetivo desse capítulo é desenvolver a equação do modelo a partir da equação do modelo clássico, explicando o perfil de velocidade adotado e como acontece a variação do coeficiente de difusão em todo domínio.

Temos como base a equação de difusão-advecção-reação: Bc

Bt divpα∇cq ∇cV σc f, (2.1)

com adequadas condições iniciais e de contorno, onde cpx, y, tq representa a função de concentração de poluentes na variável espacial (x, y) P Ω P R2, no tempo t P I, com I  p0, T s, α representa o coeficiente de difusão efetiva, que depende de y devido às vegetações nas margens, σ o coeficiente de decaimento, f a fonte e V  pu, vq a velocidade, sendo u e v as componentes horizontal e vertical da velocidade respectivamente. Ainda, as condições iniciais irão descrever a situação identificada acima como o cenário de um acidente.

Desenvolvendo a equação (2.1) apresentada, temos:

Bc Bt B Bx αpyqBc Bx B By αpyqBc By B Bxpcuq B Bypcvq σc f. Bc Bt Bαpyq Bx Bc Bx αpyq B2_c Bx2 Bαpyq By Bc By αpyq B2_c By2 c Bu Bx u Bc Bx c Bv By v Bc By σc f. Bc Bt αpyq B2_c Bx2 B2_c By2 Bαpyq_By _ByBc c Bu Bx Bv By uBc Bx v Bc By σc f. Bc Bt αpyq∆c Bαpyq By Bc By cpdivpV qq u Bc Bx v Bc By σc f. (2.2)

Agora, a partir da equação (2.2) precisamos fazer algumas considerações em relação à velocidade. Adotamos um perfil parabólico de velocidade, que é o de Poiseuille (BATSCHELET, 1978), como representado na Figura 6 .

(24)

Capítulo 2. O Novo Modelo 24

Figura 6 – Velocidade.

De acordo com este perfil de velocidade, se tivermos um rio de comprimento L e largura H como na Figura 6 e tomarmos Vm como a velocidade máxima na calha do rio

(velocidade em H

2), então a mesma poderá ser aproximada em uma primeira instância por: V 4Vm H2 ypH yq, 0 , (2.3)

Como o domínio escolhido inclui partes do rio mais largas (Figura 5), a velo-cidade máxima na calha é alterada proporcionalmente, isto é, a velovelo-cidade máxima na calha é inversamente proporcional à largura, supondo uma profundidade constante.

Desta forma, partimos de Vm1 que é a velocidade inicial horizontal na calha do

rio, isto é, a componente horizontal u, para a primeira região de largura H1 e obtemos

Vm2 e Vm3, que serão as velocidades máximas nas calhas do rio nas regiões com largura H

e H2, respectivamente, como descrito naFigura 7.

Figura 7 – Velocidade em todo domínio.

Assim, por estarmos considerando a velocidade como uma grandeza inversa-mente proporcional à largura do rio, escrevemos Vm2 e Vm3 em função de Vm1. Assim,

(25)

Capítulo 2. O Novo Modelo 25 Vm2  Vm1 H1 H e Vm3  Vm1 H1 H2 .

No algoritmo criado (ver Anexo 2), a velocidade na calha e alturas do domínio são modificadas para retratar o perfil de velocidade parabólico.

Podemos observar também que Bu Bx

Bv

By 0, pelo perfil de velocidade adotado. Portanto divpV q 0 no domínio Ω para todo t. Temos também que v 0, por considerarmos apenas a velocidade no sentido horizontal.

Desse modo, a equação (2.2), torna-se: Bc Bt αpyq∆c Bαpyq By Bc By u Bc Bx σc f. (2.4)

e o novo modelo apresenta um termo a mais, de característica hiperbólica: Bαpyq

By Bc By

Esse termo não se anulou na equação pelo fato do coeficiente de difusão considerado ser variável espacialmente, conforme citado abaixo (Figura 8).

Essa variação de α refere-se à dispersão do material impactante e, no caso do rio Doce na região de Colatina, a vegetação aquática e terrestre localizada imediatamente junto às margens do rio (Figura 3), indica a possibilidade de se ter um αpyq variável espacialmente e constante no tempo, portanto, qualitativamente descrita como indicado na Figura 8:

Figura 8 – Difusibilidade.

Analiticamente, podemos interpretar esse comportamento aproximado da se-guinte forma: αpyq  $ ' ' ' ' & ' ' ' ' % D, d y H d, D dy, 0¤ y ¤ d, D dy D dH, H d ¤ y ¤ H. (2.5)

(26)

A Figura 9 mostra uma representação de como trabalhamos o coeficiente

de difusão em todas as partes do domínio, sendo representada pelo tracejado a forma trapezoidal. E portanto, apresenta um comportamento análogo em todas as partes, sendo variável nas margens e constante no interior como foi descrito analiticamente em (2.5).

Figura 9 – Indicação da difusibilidade no domínio Ω.

Buscando outros trabalhos desenvolvidos no próprio grupo de Ecologia Mate-mática no IMECC, que modelaram a dispersão de poluentes com a equação diferencial parcial de difusão-advecção-reação, utilizando métodos de discretização para as variáveis espaciais e a variável temporal, temos referências como Almeida (2010) que desenvolveu a implementação computacional para simular emissão de poluentes (óleos) em um trecho do rio Paraíba do Sul, considerando a absorção de poluentes nas margens em trechos deter-minados em função do seu comportamento. Guaca(2015) faz a modelagem e simulação computacional da poluição por esgoto que ocorre na Baía de Buenaventura no sudoeste do Pacífico Colombiano e a influência do poluente no convívio de duas espécies de peixes, considerando a absorção de poluentes nas margens. Mistro (1992) simula numericamente a presença de Mercúrio Metálico proveniente da mineração de ouro aluvionar em rios de características amazônicas, fazendo a análise em rios de pequeno e grande porte. Oliveira

(2003) modela a dispersão de manchas de óleo em região costeira e de circulação oceânica.

Prestes (2011) descreve a evolução de material impactante na Lagoa do Taquaral, impac-tada via rede de captação de águas pluviais e esgotos clandestinos existentes. Observamos que, em todos esses trabalhos citados o coeficiente de difusão efetiva é dado por um valor constante em todo domínio. Portanto, por diversos trabalhos na área não trazerem essa consideração a respeito do coeficiente de difusão, sua variabilidade espacial é o aspecto inovador desta pesquisa.

Observamos que este termo, a saber: Bαpyq By

Bc

By pode ser escrito como W ∇c sendo W

*

0,Bαpyq By

+

. Neste caso também vale que divpW q 0 em todo o Ω, @t P I. Como condição inicial, indicamos cpx, y, 0q c0px, yq, px, yq P Ω dada. E

(27)

como condição de contorno usaremos a condição homogênea de Robin1: kc αBc

Bη  0, para px, yq P BΩ e t P I.

Estamos finalizando a primeira parte, em que desenvolvemos a equação, através do modelo clássico e as variações da velocidade e coeficiente de difusão a partir do domínio. Agora na parte II, vamos enfatizar a discretização por Diferenças Finitas da equação do modelo em todo domínio.

1 _{O algoritmo numérico a ser apresentado permite a adoção de uma condição de Robin não homogênea}

(28)

28

3 As discretizações espacial e temporal

usando os Métodos de Diferenças Finitas

Centradas e Crank-Nicolson

Por diversos motivos, embora o problema (2.1) tenha solução analítica única

(MEYER, 1988), sua obtenção tem que ser por meio de aproximações numéricas. Para

isto, iremos determinar a discretização espacial e temporal recorrendo, respectivamente aos métodos de Diferenças Finitas Centradas e de Crank-Nicolson. Estes métodos exigem que a solução pertença a C4pΩTq em que ΩT  Ω p0, T s, pois se a derivada de ordem

4 for contínua em um intervalo fechado será limitada. No Anexo 1 temos mais detalhes sobre o método de diferenças finitas.

Acrescentando ao Ω uma malha regular, com vistas ao uso do Método de Diferenças Finitas, teremos esquematicamente, a malha dada na Figura 10:

Figura 10 – Malha de discretização.

A partir da Figura 10, o domínio ΩP R2 é dado por: r0, L1s x r0, H1s

¤

rL1, L2s x r0, Hs

¤

rL2, Lsxr0, H2s.

Dividimos o domínio finito r0, Ls em nx subintervalos er0, Hs em ny

subinter-valos, assim: 4x L nx e 4 y H ny ,

são os espaçamentos da malha nos eixos x e y respectivamente. Tais valores serão os mesmos em todas as partes do domínio com uma escolha adequada de parâmetros para discretização.

(29)

Capítulo 3. As discretizações espacial e temporal usando os Métodos de Diferenças Finitas Centradas e

Crank-Nicolson 29

Analogamente, definimos também uma malha temporal, discretizando o inter-valo p0, T s, em nt subintervalos da forma 4t

T nt

.

Usamos o método de Crank-Nicolson (LEVEQUE,2007),(BURDEN; FAIRES,

2004) que é um método de um passo e implícito, pois encontra a solução resolvendo uma equação que envolve ambos estados do sistema, atual e posterior, começando a partir de um ponto inicial e com um passo no tempo. Discretiza a equação diferencial em um ponto intermediário

xi, yi, tk M t

2

que não faz parte da malha tridimensional.

Este método exige pouco trabalho computacional em relação a um método explícito com a vantagem de ser um incondicionalmente estável e os erros de truncamento não aumentarem à medida que a solução numérica avança, independentemente da largura do passo de integração (GILAT; SUBRAMANIAM, 2009). No entanto, iremos usar um passo temporal compatível numericamente com os passos espaciais, 4x e 4y.

Assim, com o objetivo de aplicar Crank Nicolson, usamos o polinômio de Taylor na variável temporal no tempo tk

4t 2  tk 12 dado por: ck_i  ck 1 2 i 4t 2 Bc Btpxi, yi, tk 1₂q p4t 2 q 2 2 B2_c Bt2pxi, yi, tk 12q Op4t 3_q. _(3.1) ck 1_i  ck 1 2 i 4t 2 Bc Btpxi, yi, tk 1₂q p4t 2 q 2 2 B2_c Bt2pxi, yi, tk 1₂q Op4t 3_q. _(3.2)

Subtraindo (3.1) de (3.2), encontramos uma aproximação para a derivada em relação ao tempo: ck_i ck 1_i  4 tBc Bt Op4t3q. Bc Bt ck 1_i ck i 4t . (3.3)

Por outro lado, somando as duas equações, temos:

ck_i ck 1_i  2ck 1 2 i Op4t2q. ck 1 2 i ck 1_i ck_i 2 , (3.4)

ambas as aproximações com um erro da ordem p4tq2. Também: Bc Bxpxi, yi, t_k 4t 2 q ck 1_i d c k 1 ie c k id c k ie 4 4 x , (3.5)

(30)

Capítulo 3. As discretizações espacial e temporal usando os Métodos de Diferenças Finitas Centradas e Crank-Nicolson 30 Bc Bypxi, yi, tk Mt₂ q ck 1_i_c ck 1_i b c k ic c k ib 4 4 y , (3.6) B2_c Bx2pxi, yi, tk 4t₂ q ck 1_i_e 2ck 1_i ck 1_i_d ck_i_e 2ck_i ck_i_d 2p4xq2 , (3.7) B2_c By2pxi, yi, tk 4t₂ q ck 1_i_b 2ck 1_i ck 1_i_c ck_i b 2c k i ckic 2p4yq2 , (3.8)

em que ie, ib, id e icsão os índices dos nós da malha respectivamente à esquerda,

abaixo, à direita e acima do nó pxi, yiq (Figura 11). No Anexo 1 apresentamos os cálculos

para as aproximações de (3.5) e (3.7).

Figura 11 – Malha.

Então usamos as fórmulas (3.3), (3.4), (3.5), (3.6), (3.7) e (3.8), para discretizar a equação do modelo: Bc Bt  αpyq B2_c Bx2 B2_c By2 Bαpyq By Bc By u Bc Bx σc f, obtendo: Bck 1 2 Bt ck 1_i ck_i 4t  αpyq ck 1_i_e 2ck 1_i ck 1_i_d ck_i_e 2ck_i ck_i d 2p4xq2 αpyq ck 1_i_b 2ck 1_i ck 1_i_c ck ib 2c k i ckic 2p4yq2 Bαpyq By ck 1_i_c ck 1_i_b ck ic c k ib 4 4 y u ck 1_i_d ck 1_i_e ck_i_d ck_i_e 4 4 x σ ck 1_i ck_i 2 fk 1 2 i .

(31)

Crank-Nicolson 31

Multiplicando por 4t e reorganizando a equação, temos:

ck 1_i_e αpyq 4 t 2p4xq2 u 4 t 4 4 x ck 1_i_b αpyq 4 t 2p4yq2 Bαpyq By 4t 4 4 y ck 1_i 1 αpyq 4 t p4xq2 αpyq 4 t p4yq2 σ 4t 2 ck 1_i d αpyq 4 t 2p4xq2 u 4 t 4 4 x ck 1_i c αpyq 4 t 2p4yq2 Bαpyq By 4t 4 4 y ck_i_e αpyq 4 t 2p4xq2 u 4 t 4 4 x ck_i_b αpyq 4 t 2p4yq2 Bαpyq By 4t 4 4 y ck_i 1αpyq 4 t p4xq2 αpyq 4 t p4yq2 σ 4t 2 ck_i_d αpyq 4 t 2p4xq2 u 4 t 4 4 x ck_i c αpyq 4 t 2p4yq2 Bαpyq By 4t 4 4 y fk 1 2 i 4 t. (3.9)

Obtemos assim um sistema linear da forma: Ack 1  BcK fk

1 2

i 4 t, (3.10)

sendo A e B matrizes esparsas, com uma diagonal principal e outras quatro diagonais secundárias, ck o vetor de componentes ck₁, ck₂, ..., ck_nn e fk 12 o vetor de componentes

fk 1 2 1 , f k 1₂ 2 , ..., f k 1₂

nn , onde nn representa o número total de nós.

Agora, vamos definir os valores que são multiplicados pelas concentrações (ou seja, os termos algébricos de (3.9)), para mostrarmos a forma das matrizes A e B:

e αpyq 4 t 2p4xq2 u 4 t 4 4 x, b αpyq 4 t 2p4yq2 Bαpyq By 4t 4 4 y, d αpyq 4 t 2p4xq2 u 4 t 4 4 x, c αpyq 4 t 2p4yq2 Bαpyq By 4t 4 4 y, e n αpyq 4 t p4xq2 αpyq 4 t p4yq2 σ 4t 2 .

(32)

Crank-Nicolson 32

Então, podemos reescrever a equação (3.9) da forma: ck 1_i_e peq ck 1_i b pbq c k 1 i p1 nq ck 1id pdq c k 1 ic pcq c k iepeq c k ibpbq c k ip1nq ckidpdq ck_i_cpcq fk 1 2 i 4 t. (3.11)

Para uma malha regular, as matrizes A e B vão ter uma forma semelhante a:

A p1 nq c d b p1 nq c d . .. e b p1 nq c d e b p1 nq c d . .. e b p1 nq c d e B p1 nq c d b p1 nq c d . .. e b p1 nq c d e b p1 nq c d . .. e b p1 nq c d .

Cada linha das matrizes é a representação de um nó na malha do domínio, e seus vizinhos acima, abaixo, à direita e esquerda. Como a região do domínio vai mudando de acordo com os retângulos que possuem altura H1, H, H2, os nós à esquerda e direita também mudam de posição nas linhas das matrizes. Nos nós que estão em alguma fronteira, não existirão alguns de seus pontos vizinhos, o que irá causar mudanças na equação e matrizes do sistema.

Para a elaboração do programa (ver Anexo 2), criamos uma malha de 1552 nós, isso quer dizer que as matrizes A e B possuem 1552 linhas e colunas por serem quadradas, sendo assim, temos uma matriz com aproximadamente 2 milhões de elementos, mas veja que, como cada linha das matrizes é a representação de um nó, então cada linha irá possuir

(33)

Crank-Nicolson 33

no máximo cinco elementos não nulos, portanto temos aproximadamente 7 mil elementos não nulos em cada matriz, o que mostra a esparsidade das matrizes A e B.

Chegamos nesse valor de 1552 nós, pelas escolhas que fizemos para as dimensões das diferentes regiões do domínio. Estes valores foram tirados da própria escala do Google Earth.

Desta maneira, os valores foram: L1  0.7, L2  3.7 e L 4.8 as dimensões

de comprimento e H1  0.4, H2  0.6 e H 0.9 as de largura. Assim, o número de

subintervalos no eixo x foi dividido em n1  14, n2  59 e n3 22, que correspondem a

quantidade de subintervalos em L1, L2 L1 e L L2 L1 , respectivamente. E no eixo y

foram m1  8, m2  18 e m3 12, que correspondem a quantidade de subintervalos em

H1, H e H2, respectivamente. Sendo assim, o número total de nós é dado pela equação:

nn n1pm1 1q pn2 1qpm2 1q n3pm3 1q 1552. (3.12)

E para a malha temporal, definimos o tempo final tf 120, com o número de

(34)

34

4 Condições de Contorno

Feita esta discretização do domínio, neste capítulo vamos mostrar cada caso particular da discretização das fronteiras horizontais, verticais e dos cantos.

Dadas as condições na margens do rio, para poder descrever diversos fenômenos, adotamos a condição genérica de Robin que é obtida da combinação linear das condições de Dirichlet e Neumann, por esse motivo é considerada uma condição de fronteira mista, obtida pela combinação linear dos valores da função c e os valores de sua derivada na fronteira. Assim, teremos, conforme o tipo de margem:

α_BηBc  kc, px, yq P BΩ e t P I, (4.1) sendo η o vetor unitário externo normal e k o coeficiente de proporcionalidade da perda de poluente. É usada em sua forma homogênea 1.

As fronteiras horizontais, verticais e os "cantos" são nomeados e identificados de acordo com as Figuras 12 e13.

Figura 12 – Fronteiras.

Figura 13 – Cantos das Fronteiras. 1

Em sua forma não homogênea é dada por kc αBc

(35)

Capítulo 4. Condições de Contorno 35

Como as fronteiras estão na horizontal ou na vertical, temos: Bc Bη Bc By em Γ3, Γ5, Γ7; Bc Bη Bc By em Γ2; Bc Bη Bc Bx em Γ6, Γ8; Bc Bη Bc Bx em Γ1, Γ4.

Isto porque, nas fronteiras horizontais, ficamos com η  p0, 1q em Γ3, Γ5, Γ7e η

p0, 1q em Γ2 e nas fronteiras verticais, η  p1, 0q em Γ6, Γ8 e η  p1, 0q em Γ1, Γ4.

Nas fronteiras horizontais, verticais ou nos cantos, a equação discretizada (3.9) não será a mesma, pois quando há perda de poluente acima do nó ci, por exemplo, o nó

acima não pertence mais à equação passando a ser representado como um nó virtual que, de fato, irá aparecer apenas para completar os cálculos.

4.1 Análise das Fronteiras Horizontais

Nas fronteiras Γ3, Γ5 e Γ7, onde há perda de poluentes no sentindo vertical

acima do nó ci, temos o caso daFigura 14.

Figura 14 – Nós para as fronteiras Γ3, Γ5 e Γ7.

Assim, no sentido vertical teremos: Bc By kci α ñ c_Ey cib 2p4yq kci αpyq ñ cEy  cib 2kp4yqci αpyq ,

(36)

onde c_Ey  cic. Obtemos a equação para essas fronteiras como:

ck 1_i e αpyq 4 t 2p4xq2 u 4 t 4 4 x ck 1_i b αpyq 4 t 2p4yq2 ck 1_i d αpyq 4 t 2p4xq2 u 4 t 4 4 x ck 1_i 1 αpyq 4 t p4xq2 αpyq 4 t p4yq2 σ 4t 2 k 4 t 4y k 4 t 2αpyq Bαpyq By ck_i_e αpyq 4 t 2p4xq2 u 4 t 4 4 x ck_i b αpyq 4 t 2p4yq2 ck_i 1αpyq 4 t p4xq2 αpyq 4 t p4yq2 σ 4t 2 k 4 t 4y k 4 t 2αpyq Bαpyq By ck_i d αpyq 4 t 2p4xq2 u 4 t 4 4 x fk 1 2 i 4 t. (4.2)

Nota-se que não apareceu o termo cic.

Na fronteira Γ2 existe perda de poluentes no sentindo vertical abaixo do ponto

ci, como indica a Figura 15.

Figura 15 – Nós para a fronteira Γ2.

Procedemos analogamente, Bc By kci αpyq ñ cic cEy 2p4yq kci αpyq ñ cEy cib 2kp4yqci αpyq , onde c_Ey  cib. Assim obtemos:

ck 1_i_e αpyq 4 t 2p4xq2 u 4 t 4 4 x ck 1_i d αpyq 4 t 2p4xq2 u 4 t 4 4 x ck 1_i_c αpyq 4 t 2p4yq2

(37)

Capítulo 4. Condições de Contorno 37 ck 1_i 1 αpyq 4 t p4xq2 αpyq 4 t p4yq2 σ 4t 2 k 4 t 4y k 4 t 2αpyq Bαpyq By ck_i e αpyq 4 t 2p4xq2 u 4 t 4 4 x ck_i d αpyq 4 t 2p4xq2 u 4 t 4 4 x ck_i c αpyq 4 t 2p4yq2 ck_i 1αpyq 4 t p4xq2 αpyq 4 t p4yq2 σ 4t 2 k 4 t 4y k 4 t 2αpyq Bαpyq By fk 1 2 i 4 t. (4.3)

4.2 Análise das Fronteiras Verticais

O caso da fronteira Γ1 é diferente, visto que, no lado esquerdo não temos perda

de poluentes, pois não há vegetação (Figura 5), por isto, temos uma condição de contorno constante em todos os nós à esquerda da fronteira Γ1 que vamos chamar de cce (condição

de contorno à esquerda).

A equação discretizada (3.9) tem a forma:

ck 1_i_b αpyq 4 t 2p4yq2 Bαpyq By 4t 4 4 y ck 1_i 1 αpyq 4 t p4xq2 αpyq 4 t p4yq2 σ 4t 2 ck 1_i d αpyq 4 t 2p4xq2 u 4 t 4 4 x ck 1_i_c αpyq 4 t 2p4yq2 Bαpyq By 4t 4 4 y

(38)

Capítulo 4. Condições de Contorno 38 ck_i b αpyq 4 t 2p4yq2 Bαpyq By 4t 4 4 y ck_i 1αpyq 4 t p4xq2 αpyq 4 t p4yq2 σ 4t 2 ck_i d αpyq 4 t 2p4xq2 u 4 t 4 4 x ck_i_c αpyq 4 t 2p4yq2 Bαpyq By 4t 4 4 y cce αpyq 4 t 2p4xq2 u 4 t 4 4 x cce αpyq 4 t 2p4xq2 u 4 t 4 4 x fk 1 2 i 4 t. (4.4)

A fronteira Γ4 possui perda de poluentes à esquerda, assim temos, novamente

por analogia:

No sentindo horizontal: _BxBc kci αpyq ñ cid cEx 2p4xq kci αpyq ñ cEx  cid 2kp4xqci αpyq , em que c_Ex  cie. Obtemos: ck 1_i b αpyq 4 t 2p4yq2 Bαpyq By 4t 4 4 y ck 1_i d αpyq 4 t p4xq2 ck 1_i_c αpyq 4 t 2p4yq2 Bαpyq By 4t 4 4 y ck 1_i 1 αpyq 4 t p4xq2 αpyq 4 t p4yq2 σ 4t 2 k 4 t 4x uk 4 t 2αpyq ck_i b αpyq 4 t 2p4yq2 Bαpyq By 4t 4 4 y ck_i d αpyq 4 t p4xq2

(39)

Capítulo 4. Condições de Contorno 39 ck_i 1αpyq 4 t p4xq2 αpyq 4 t p4yq2 σ 4t 2 k 4 t 4x uk 4 t 2αpyq ck_i_c αpyq 4 t 2p4yq2 Bαpyq By 4t 4 4 y fk 1 2 i 4 t. (4.5)

A fronteira Γ6 possui perda de poluentes à direita, como mostra as Figuras5 e

12e indicaFigura 18:

Figura 18 – Nós para as fronteiras Γ6 e Γ8.

Assim, continuamos no sentindo horizontal, mas o nó que não existe está no lado direito, por isso:

_BxBc kci αpyq ñ c_Ex cie 2p4xq kci αpyq ñ cEx  cie 2kp4xqci αpyq , onde c_Ex  cid. Então, obtemos:

ck 1_i_e α_p4xqpyq 4 t₂ ck 1_i b αpyq 4 t 2p4yq2 Bαpyq By 4t 4 4 y ck 1_i_c αpyq 4 t 2p4yq2 Bαpyq By 4t 4 4 y ck 1_i 1 αpyq 4 t p4xq2 αpyq 4 t p4yq2 σ 4t 2 k 4 t 4x uk 4 t 2αpyq ck_i_e αpyq 4 t p4xq2 ck_i b αpyq 4 t 2p4yq2 Bαpyq By 4t 4 4 y ck_i 1αpyq 4 t p4xq2 αpyq 4 t p4yq2 σ 4t 2 k 4 t 4x uk 4 t 2αpyq

(40)

Capítulo 4. Condições de Contorno 40 ck_i_c αpyq 4 t 2p4yq2 Bαpyq By 4t 4 4 y fk 1 2 i 4 t. (4.6)

Na fronteira Γ8, não existe perda de poluentes no lado direito (rio a jusante,

como mostra a Figura 5), então fazemos k 0 (Figura 18).

_BxBc 0 ñ cEx cie 2p4xq  0 ñ cEx  cie, logo cid  cie. Assim: ck 1_i_e αpyq 4 t 2p4xq2 ck 1_i b αpyq 4 t 2p4yq2 Bαpyq By 4t 4 4 y ck 1_i 1 αpyq 4 t p4xq2 αpyq 4 t p4yq2 σ 4t 2 ck 1_i c αpyq 4 t 2p4yq2 Bαpyq By 4t 4 4 y ck_i_e αpyq 4 t 2p4xq2 ck_i_b αpyq 4 t 2p4yq2 Bαpyq By 4t 4 4 y ck_i 1αpyq 4 t p4xq2 αpyq 4 t p4yq2 σ 4t 2 ck_i_c αpyq 4 t 2p4yq2 Bαpyq By 4t 4 4 y fk 1 2 i 4 t. (4.7)

Como já observamos os casos das fronteiras horizontais e verticais, na próxima seção, basta olhar os casos específicos dos cantos, que vão possuir restrições específicas no sentido horizontal e vertical ao mesmo tempo.

4.3 Análise dos Cantos

Para a fronteira Γ9, como mostra a Figura 13, temos a condição de contorno à

esquerda (cce) que usamos na fronteira Γ1 e perda de poluentes para baixo (Figura 19).

(41)

A fronteira Γ10, também possui a condição de contorno à esquerda usada na

fronteira Γ1 e também perda de poluentes acima (Figura 20).

Figura 20 – Fronteira Γ10.

Já a fronteira Γ11, possui perda de poluentes à esquerda e acima (Figura 21).

As fronteiras Γ12 e Γ13, podem ser representadas pela Figura 22, porém na

fronteira Γ13 não existe perda de poluentes no lado direito, assim na equação fazemos

k 0 (rio a jusante).

(42)

A fronteira Γ14, sofre perda de poluentes abaixo e como não existe perda à

direita, fazemos k 0 (rio a jusante).

Para ilustrar a composição das matrizes A e B, colocamos aqui a equação apenas referente ao último caso citado (Γ14), considerando análogo para os demais, respeitando as

características de cada canto:

Como não existe um nó no sentido horizontal à direita e um nó na vertical abaixo, precisamos fazer a análise para os dois casos.

No sentindo horizontal vamor ter: Bc

Bx kci

αpyq, como k 0, então

c_Ex cie 2p4xq  0 ñ cie  cid. E no sentido vertical: c_Ey  cic 2kp4yqci αpyq , onde cEy  cib.

Assim, substituindo cid e cib na equação (3.9), teremos:

ck 1_i_e αpyq 4 t p4xq2 ck 1_i_c αpyq 4 t p4yq2 ck 1_i 1 αpyq 4 t p4xq2 αpyq 4 t p4yq2 σ 4t 2 k 4 t 4y Bαpyq By k 4 t 2αpyq ck_i_e αpyq 4 t p4xq2 ck_i_c αpyq 4 t p4yq2 ck_i 1αpyq 4 t p4xq2 αpyq 4 t p4yq2 σ 4t 2 k 4 t 4y Bαpyq By k 4 t 2αpyq fk 1 2 i 4 t. (4.8)

Observe que, na equação (4.8) não existem os termos cid e cib e que isto causou

(43)

Agora, vamos mostrar o formato da linha correspondente a fronteira Γ14 das

matrizes A e B, para isto, vamos chamar os termos que acompanham cie, cic e ci de:

p αpyq 4 t p4xq2 , q αpyq 4 t p4yq2 e r αpyq 4 t p4xq2 αpyq 4 t p4yq2 σ 4t 2 k 4 t 4y Bαpyq By k 4 t 2αpyq.

Então, a linha correspondente as matrizes ficam na forma:

A p1 nq c d b p1 nq c d . .. e b p1 nq c d e b p1 nq c d . .. p p1 rq q . .. e b p1 nq c d B p1 nq c d b p1 nq c d . .. e b p1 nq c d e b p1 nq c d . .. p p1 rq q . .. e b p1 nq c d .

Que, como previsto, possuem apenas três elementos nas matrizes.

Assim, terminamos a segunda parte do trabalho com as discretizações. Agora, na próxima parte, faremos as considerações necessárias para cada simulação e vamos apresentar os resultados e conclusões que tivemos.

(44)

44

5 Simulações

Nesse capítulo, vamos apresentar os resultados obtidos a partir do algoritmo criado em ambiente MATLAB 7.10, com os valores adequados para o problema. No anexo 2 encontra-se o algoritmo usado.

Consideramos cenários com e sem fontes de poluição, pois ainda está sendo desenvolvido um sistema de tratamento de esgoto em Colatina.

O desenvolvimento do modelo matemático para as simulações e todos os parâmetros foram fundamentados nas pesquisas de (KRINDGES, 2006), (PRESTES,

2011), (WOLMUTH,2009), (GUACA, 2015), e (VIEIRA, 2016).

Para implementação foi usada uma mesma condição inicial em todo domínio, mas o algoritmo comporta facilmente situações de heterogeneidade espacial.

De acordo com o domínio (Figura 5) e pela nomeação das fronteiras (Figura 12), observa-se que em Γ1 é por onde chega a poluição, isto é, rio a montante.

Vamos estudar nas simulações, a variação do coeficiente de perda de poluentes, isto é, o k da condição de fronteira de Robin e a difusibilidade α.

Não temos valores precisos para α, mas considerando o impacto sofrido pelo rio, decidimos realizar ensaios com valores distintos para a difusibilidade α.

Foram usados valores iguais de k para as fronteiras Γ2,Γ5,Γ7,Γ9,Γ10,Γ13 e Γ14,

que são as fronteiras horizontais e os cantos. A fronteira Γ3 vai receber um valor maior de

k, comparado com o valor das outras fronteiras horizontais, por existir areia nessa parte do domínio. As fronteiras verticais Γ4 e Γ6 receberam valores diferentes. Já Γ11 e Γ12 por

estarem entre uma fronteira horizontal e vertical, Γ11recebe o valor da fronteira horizontal

no nó acima e o valor de Γ4 no nó à esquerda, já Γ12 recebe o valor da fronteira horizontal

no nó acima e o valor de Γ6 no nó à direita (Tabela1).

Resumimos os valores da difusibilidade α e do coeficiente de perda de poluentes k usados para cada simulação na Tabela 1. Esses parâmetros foram utilizados de modo a garantir uma visualização qualitativa dos resultados com vistas a verificar se o algoritmo correspondia ao que aconteceu no rio Doce em Colatina.

Para ser feita a variação do coeficiente de difusão, primeiro atribuímos o mesmo valor de α em todos os nós do domínio, que são os valores dados na Tabela 1, correspondentes ao D da Figura 8. Então corrigimos esses valores nas beiradas do nosso domínio, fazendo α igual a zero em todos os nós das fronteiras e variável apenas em um nó abaixo e acima das fronteiras com o valor α

(45)

Capítulo 5. Simulações 45 Simulações Difusibilidade α k k3 k4 k6 1 0.02 0.005 0.006 0.001 0.005 2 0.005 0.005 0.006 0.001 0.005 3 0.02 0.01 0.02 0.008 0.0144 4 0.005 0.01 0.02 0.008 0.0144 5 0.02 0.05 0.06 0.02 0.025 6 0.005 0.05 0.06 0.02 0.025

Tabela 1 – Valores da difusibilidade e coeficiente de perda de poluentes em cada simulação. Em que k corresponde ao coeficiente de perda de poluentes nas fronteiras Γ2, Γ5, Γ7, Γ9, Γ10, Γ13e Γ14. E k3, k4 e k6 correspondem ao coeficiente de perda de poluentes

em Γ3, Γ4 e Γ6 respectivamente.

E os valores fixos para todas as simulações com fontes e sem foram: • Decaimento σ = 0.000001;

• Condição de contorno à esquerda cce = 0.05; • Condição inicial cpx, y, 0q = 0.025;

• Velocidade1 _u_{0, 0925925 km{h;}

• Fonte f  0.125.

Usamos a velocidade horizontal u na calha do rio, que foi calculada no rio usando a técnica adotada por (ALVES, 2009), tendo sido realizada por Equer, S. H. B.. Como foi explicado no capítulo 2, essa velocidade corresponde a Vm1 da primeira região de

largura H1 e depois alterada proporcionalmente de acordo com a mudança de largura do

rio (Figura 7).

As fontes de poluição foram calculadas utilizando o valor f vezes o tamanho do subintervalo no tempo ∆t. A diferença entre as duas fontes é que a localizada no nó 215 é duas vezes maior que a localizada no nó 1255.

Na Figura 24 mostramos a localização dos nós e fontes de poluição que vamos acompanhar em todas as simulações. A marcação com X representa a localização dos nós (36, 68, 526 e 1239) e as bolinhas das fontes (215 e 1255).

(46)

Capítulo 5. Simulações 46

Figura 24 – Localização dos nós e fontes de poluição.

As fontes ficaram localizadas em nós fora das fronteiras, porque escolhemos as fontes como emissários. E a escolha dos nós que acompanhamos foi feita tentando observar o comportamento da poluição em nós nas fronteiras que é o caso dos nós 36 e 526, na primeira região (nó 68) e perto de pelo menos uma fonte (nó 1239).

Agora nas próximas sessões mostramos todas as simulações feitas com e sem fontes de poluição.

5.1 Simulações com fontes de poluição

Primeiro, vamos observar cenários com fontes de poluição, que estão localizados como descrito na Figura 24.

(47)

Figura 25 – Simulação 1 após 10, 80, 160 e 600 passos no tempo o que corresponde a 120 horas.

Figura 26 – Acompanhamento dos nós para a Simulação 1.

O eixo das abcissas, para os gráficos que estão acompanhando os pontos identificam neste (Figura 26), e em todos os subsequentes, o número de passos no tempo, isto é, as iterações, mantendo na vertical os valores do impacto.

Na Simulação 2 mudamos apenas a difusibilidade α de 0.02 para 0.005, lem-brando que, essa difusibilidade refere-se ao D da Figura 8 e que o programa corrige essa valor nas beiradas.

(48)

(49)

Como mantivemos neste cenário as condições no contorno, podemos verificar (como nos cenários seguintes) que há, para ambos os valores da difusibilidade α um comportamento assintótico não nulo da presença de poluentes, o que de fato vem ocorrendo no local.

Nesta simulação 3, foram modificados os valores dos k1_is (ver Tabela1), voltando a trabalhar com α 0.02.

(50)

Para uma difusibilidade menor, mantendo os valores dos k_i1s obtemos:

(51)

A seguir temos novos valores para os parâmetros que caracterizam as perdas para as margens.

(52)

Nesta última simulação, como anteriormente, reduzimos o valor da difusibilidade α mantendo as perdas na borda (perdas nas margens, caracterizadas pelos valores dos k1_is).

(53)

Com as simulações das Figuras 25, 27,29, 31, 33 e35 foi possível perceber que para valores maiores de α, isto é, para α  0.02 o gráfico apresenta maior difusão e para α  0.005 o processo de difusão foi mais lento, mostrando regiões claras nas proximidades das fronteiras e fontes. E ainda apresentando maior concentração de poluentes na condição de contorno à esquerda (fronteira Γ1).

Pelos pontos acompanhados, observa-se que a poluição do rio Doce permanece na região de Colatina, mesmo com a difusão mais rápida com valores maiores de α, estabilizando mais rapidamente após os primeiros passos de tempo.

Foi possível perceber também em todas imagens que acompanhamos os pontos, que no nó 526 localizado na fronteira Γ2 como mostra a Figura 24, a concentração de

poluição torna-se estável depois de mais passos no tempo em relação aos outros nós que foram acompanhados.

Observamos, como era esperado, que menores valores de perda para as margens levam a uma presença assintótica de mais impacto nessas regiões. Mostrando, nas simulações com menores valores de k as margens mais claras, por exemplo, aFigura 27que corresponde à simulação 2. Novamente, isto condiz ao que vem acontecendo na região.

5.2 Simulações sem fontes de poluição

Nesta seção vamos estudar os mesmos casos, isto é, diferentes valores para difusibilidade α e o coeficiente de perda de poluentes k. Que serão os mesmos casos organizados na Tabela 1. Assim, teremos a mesma modelagem, apenas com a ausência das fontes de poluição.

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(55)

Na simulação 2, usaremos os mesmos valores dos k1_is e diminuimos a difusibili-dade α (ver Tabela 1).

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Já nessas duas primeiras simulações foi possível constatar menor difusão para um menor valor de α, e o comportamento assintótico da presença de poluentes em ambas.

Agora, na simulação 3, foram usados novos valores para os k_i1s.

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Na simulação 4, mantivemos os valores anteriores para os k1_is e como nos outros casos, usamos um valor menor para difusão α.

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Para a simulação 5, usamos novos valores para o coeficiente de perda de poluentes, como mostra a Tabela 1.

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Agora, apenas diminuímos o valor da difusibilidade α.