UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM
MATEMÁTICA
KIARA LIMA COSTA
G
RUPOS
C
OBERTOS POR
C
INCO
S
UBGRUPOS
M
AXIMAIS
G
RUPOS
C
OBERTOS POR
C
INCO
S
UBGRUPOS
M
AXIMAIS
Dissertacão submetida à Coordenação do Curso de Pós-Graduação em Matemática, da Universidade Federal do Ceará, para a obtenção do grau de Mestre em Matemática.
Área de concentracão: Álgebra
Orientador: Prof. Dr. José Robério Rogério
FORTALEZA
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação Universidade Federal do Ceará
Biblioteca do Curso de Matemática
C871g Costa, Kiara Lima
Grupos cobertos por cinco subgrupos maximais / Kiara Lima Costa. – 2013.. 162 f. : enc. ; 31 cm
Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Departamento de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza, 2013.
Área de Concentração: Álgebra
Orientação: Prof. Dr. José Robério Rogério.
Aos meus pais, Elias e Zilda, à minha irmã, Kélvia,
e aos meus familiares
Agradecimentos
Agradeço primeiramente a Deus, por ele ser minha força, fortaleza.
À minha família pelo apoio e compreensão nos momentos de ausência.
Ao meu orientador, professor Robério Rogério pelo seu exemplo de humildade, por suas palavras animadoras e por acreditar no meu esforço e potencial.
Aos meus professores do Departamento de Matemática da UFC, pela excelente formação.
Ao professor José Alberto Duarte Maia pela ajuda que foi de fundamental importância no desenvolvimento do Lema 5.3.
Aos membros da banca: Prof. Dr. Emanuel Augusto de Souza Carneiro e Prof. Dr. José Alberto Duarte Maia.
A toda minha turma de mestrado pela solidariedade e incentivo no decorrer do mestrado.
À Andréa Costa Dantas, pelo carinho e toda sua atenção.
Ao CNPq pelo apoio financeiro.
Resumo
Esta dissertação é baseado no artigo “Covering groups with subgroups” de R. A. Bryce, V. Fedri e L. Serena, onde caracterizam os grupos que admitem uma cobertura irredundante por cinco subgrupos maximais com interseção livre de núcleo. Além disso, a intersecção de uma cobertura irredundante porn subgrupos é conhecido por ter índice delimitada por uma função den, embora em geral, a limitação precisa não é conhecida. Aqui nós confirmamos um crédito de Tomkinson que a limitação correta é 16 quandoné 5.
Abstract
This dissertation is based on the article “Covering groups with subgroups” of R. A. Bryce, V. Fedra and L. Serena, which characterize groups that admit a cover by five maximal irredundant subgroups with free core intersection. The intersection of an irredundant cover bynsubgroups is known to have index bounded by a function ofn, though in general the precise bound is not known. Here we confirm a claim of Tomkinson that the correct bound is 16 whennis 5.
Sumário
Introdução p. 1
1 Resultados Básicos p. 5
1.1 Grupos e Subgrupos . . . p. 6
1.2 Classes Laterais . . . p. 10
1.3 Subgrupos Normais e Grupos Cíclicos . . . p. 16
1.4 Subgrupos Clássicos . . . p. 20
1.5 Homomorfismos de Grupos . . . p. 23
1.6 Ação de Grupos . . . p. 29
1.7 Teoremas de Sylow . . . p. 35
1.8 O Grupo SimétricoSn . . . p. 38
1.9 Produto Direto e Semidireto . . . p. 47
1.9.1 Produto Direto . . . p. 47
1.9.2 Produto Semidireto . . . p. 49
2 Preliminares p. 52
2.1 Séries . . . p. 53
2.2 Comutadores . . . p. 54
3 Cobertura por Classes Laterais p. 83
3.1 Grupos cobertos por classes laterais . . . p. 84
3.2 Sobre f1(n) . . . p. 88
4 Coberturas de Grupos p. 93
4.1 Lema Fundamental . . . p. 94
4.2 Características dos Grupos que possuem Coberturas por Subgrupos Próprios . p. 100
4.3 Os casosn=1,2,3 . . . p. 101
4.3.1 n=1. . . p. 102
4.3.2 n=2. . . p. 102
4.3.3 n=3. . . p. 103
4.4 Cota inferiores para f(n) . . . p. 107
4.5 Cotas Superiores para f(n) . . . p. 111
5 Caracterização dos grupos com3,4,5-cobertura p. 116
5.1 C3-cobertura . . . p. 117
5.2 C4-cobertura . . . p. 117
5.3 C5-cobertura . . . p. 117
6 O valor exato de f(5) p. 146
Introdução
Uma cobertura para um grupo Gé uma coleção de subgrupos próprios de Gcuja união é igual aG. Usamos o termon-cobertura para uma cobertura com nmembros. An-cobertura é irredundante se nenhuma subcoleção é ainda uma cobertura, ou seja, G=H1∪H2∪. . .∪Hn
ser uman-cobertura irredundante significa queHi̸⊆H1∪. . .∪Hi−1∪Hi+1∪. . .∪Hn. Quando
todos os membros da cobertura são subgrupos maximais, dizemos que a cobertura é maximal. Uma cobertura é dita ter interseção livre de núcleo quando o núcleo normal da interseção dos membros da cobertura é trivial.
Sabemos que a união de dois subgrupos é um subgrupo se, e somente se, um deles contém o outro. Dessa forma, não existe grupoGque admita uma 2-cobertura irredundante.
Agora desse simples resultado surgem perguntas tais como: Paran≥3, em que condições
um grupoGpose ser escrito como n-cobertura irredundante? Será possível caracterizar todos os gruposGque possui uman-cobertura irredundante?
Scorza (1926) [17] determinou a estrutura de todos os grupos tendo uma 3-cobertura irredundante com interseção livre de núcleo.
Proposição 0.1 (Scorza, 1926 [17]) Seja {Hi; 1 ≤ i ≤ 3} uma cobertura irredundante com interseção D livre de núcleo de um grupo G. Então D=1e G≃C2×C2.
D. Greco procurou estudar os casos pequenos. Ele conseguiu uma caracterização para os grupos que podem ser cobertos por 2,3 ou 4 subgrupos. Para o cason=5, sua caracterização
foi apenas parcial, o que mostrava a dificuldade do problema. Percebeu-se ali que talvez esta não fosse a abordagem mais interessante e outras idéias começaram a surgir.
Proposição 0.2 (Greco, 1956 [13]) Seja {Hi; 1 ≤ i ≤ 4} uma cobertura irredundante com interseção D livre de núcleo para um grupo G. Se a cobertura é maximal, então ou
1. D=1e G≃C3×C3ou G≃S3; ou
2. |D|=2,|G|=18e G é imerso em S3×S3.
Se a cobertura não é maximal, então ou
1. D=1e G≃C4×C2ou G≃C2×C2; ou
2. |D|=2e G≃D8×C2
No ano de 1954, B. H. Neumann publicou dois artigos: “Groups covered by permutable subsets”, “Groups covered by finitely cosets” relacionados com o assunto. Ele estudou o problema da cobertura de um grupo, não só por subgrupos, mas também por classes laterais. Um dos resultados mais importantes obtidos por Neumann nos diz que se um grupoGpode ser coberto por uma quantidade finita de classes laterais (à direita):
G=X1x1∪X2x2∪. . .∪Xnxn (1)
então pelo menos um dos subgruposXi deve ter índice finito em G, e as classes laterais dos
subgrupos de índice infinito podem ser omitidas da cobertura.
O resultado de Neumann pode então ser reescrito como:
Teorema 0.1 (Neumann) Se G admite uma cobertura irredundante por n classes laterais:
G=X1x1∪X2x2∪. . .∪Xnxn
então o índice
G:
n ∩
i=1
Xi
é finito.
Neumann (1954) [15] provou que seGtem uman-cobertura irredundante então o índice da interseção da cobertura emGpode ser limitado por uma função dene Tomkinson (1987) [19] melhorou esta limitação. Denotaremos por f(n)o maior índice|G:D|tomado sobre todos os gruposGtendo uman-cobertura irredundante com interseçãoD. Denotaremos ainda por f1(n)
como sendo o máximo valor do índice da interseção da cobertura pornclasses laterais.
Introdução 3
por cinco subgrupos maximais com interseção livre de núcleo. Mostraremos ainda que o valor exato de f(5) =16, confirmando a conjectura de Tomkinson feita em [19].
Neste trabalho,Cnrepresenta a classe de todos os gruposGtendo uman-cobertura maximal
irredundante com interseção D livre de núcleo. Para um grupo G em Cn, assumimos que
Σ={Mi; 1≤i≤5} é uma 5-cobertura maximal irredundante para G com interseção Dlivre
de núcleo, ou seja,DG=1.
Vamos agora explanar um pouco do que será feito em cada capítulo.
Nos Capítulos 1 e 2 desenvolvemos todos os pré-requisitos básicos nececssários no decorrer da leitura.
No Capítulo 3 trataremos do problema da cobertura de grupos por classes laterais. Provaremos ainda que f1(n) =n!, que é chamada de primeira parte do Teorema de Tomkinson.
Provamos também o Teorema de Neumann, que é indispensável no estudo das Coberturas de Grupos.
Teorema 0.2 (Neumann) Suponhamos que o grupo G é coberto por n subgrupos, G= n ∪
i=1
Hi.
Suponha que para certo i∈ {1,2,3, . . . ,n}tenhamos Hi*∪ j̸=i
Hj, então|G:Hi|é finito.
Note que o Teorema acima é consequência do Teorema 0.1, pois todo subgrupo é, em particular, classe lateral.
No Capítulo 4 abordamos o problema da cobertura de grupos por subgrupos. Analisamos quando um grupo pode ser coberto por dois ou três subgrupos. Haja vista a impossibilidade de cobrirmos um grupo irredundantemente por dois subgrupos. Temos que para coberturas com três subgrupos temos o seguinte resultado.
Proposição 0.3 Seja {Hi; 1≤i≤3} uma cobertura irredundante com interseção D livre de núcleo de um grupo G. Então D=1e G≃C2×C2.
Depois disso ainda no mesmo capítulo achamos cotas inferiores e superiores para f(n)que constituem a segunda parte do Teorema de Tomkinson.
Teorema 0.3 Seja G um grupo com cobertura irredundante maximal de cinco subgrupos com interseção livre de núcleo D. Então ou
(a) D=1e G é abeliano elementar de ordem16; ou
(b) D=1e G≃A4; ou
(c) |D|=3,|G|=48e G֒→A4×A4
Capítulo
1
Resultados Básicos
Conteúdo
1.1 Grupos e Subgrupos . . . p.6
1.2 Classes Laterias. . . p.10
1.3 Subgrupos Normais e Grupos Cíclicos . . . p.16
1.4 Subgrupos Clássicos . . . p.20
1.5 Homomorfismos de Grupos . . . p.23
1.6 Ação de Grupos. . . p.29
1.7 Teoremas de Sylow . . . p.35
1.8 O Grupo SimétricoSn . . . p.38
1.9 Produto Direto e Semidireto . . . p.47
1.9.1 Produto Direto . . . p.47
1.9.2 Produto Semidireto . . . p.49
1.1 Grupos e Subgrupos
Definição 1.1 Um conjunto G com uma operação
G×G → G
(a,b) → a·b
é um grupo se as condições seguintes são satisfeitas:
(i) A operação é associativa, isto é,
a·(b·c) = (a·b)·c, ∀a,b,c∈G
(ii) Existe um elemento neutro, isto é,
∃e∈G,tal que e·a=a·e=a, ∀a∈G
(iii) Todo elemento possui um elemento inverso, isto é,
∀a∈G,∃b∈G,tal que a·b=b·a=e
O grupo é abeliano ou comutativo se:
(iv) A operação é comutativa, isto é,
a·b=b·a, ∀a,b∈G
Observação 1.1
1) O elemento neutro é único.
De fato, suponhamos que existam dois elementos neutros de G, que indicaremos por e e e′. Desse modo teremos e=e·e′, visto que e′é elemento neutro e e′=e′·e, visto que e é
elemento neutro. Combinando as duas igualdades acimas, obtemos que e=e′.
2) O elemento inverso é único.
De fato, suponhamos que dado a ∈ G tenhamos para o mesmo dois elementos inversos, que denotaremos por b e b′. Sendo assim, temos que a·b=b·a=e
e a·b′=b′·a=e. Dessa forma, teremos:
1.1 Grupos e Subgrupos 7
Denotaremos o único inverso de a por a−1.
Definição 1.2 Seja G um grupo. Um subconjunto não vazio H de G é um subgrupo de G (denotamos por H ≤G) quando, com a operação de G, o conjunto H é um grupo, isto é, quando as condições são satisfeitas.
(i) h1·h2∈H, ∀h1,h2∈H.
(ii) h1·(h2·h3) = (h1·h2)·h3, ∀h1,h2,h3∈H.
(iii) ∃eH ∈H, tal que eH·h=h·eH=h, ∀h∈H.
(iv) Para cada h∈H, existe k∈H, tal que h·k=k·h=eH.
Observação 1.2
1) A condição (ii) é sempre satisfeita, pois a igualdade g1·(g2·g3) = (g1·g2)·g3é válida
para todos os elementos de G.
2) O elemento neutro eHde H é necessariamente igual ao elemento neutro e de G.
3) Dado h∈H, o inverso de h em H é necessariamente igual ao inverso de h em G.
Proposição 1.1 Seja H um subconjunto não vazio do grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, as duas condições são satisfeitas:
(i) a·b∈H,∀a,b∈H
(ii) a−1∈H,∀a∈H
Demonstração:
Vamos supor inicialmente que H é subgrupo deG. Sendo assim, da definição 1.2 temos que
H é fechado com a operação emG, logo,∀a,b∈H temos quea·b∈H. Agora dado qualquer
elementoa∈Htemos que existea′∈Htal quea·a′=e
H=e⇒a·a′=ee assima′é também
o inverso dea. Segue assim, da unicidade do elemento inverso, quea′=a−1e, dessa maneira,
a−1∈H. Portanto(i)e(ii)são satisfeitas.
Agora mostraremos queH é subgrupo deGassumindo a validade de(i)e(ii).
temos que a lei associativa é válida para os elementos deH. Agora dadoa∈H temos, por(ii), quea−1∈H. Logo, pori), segue-se que
a∈H
a−1∈H
⇒a·a
−1∈H⇒e∈H.
Proposição 1.2 Seja G um grupo, /0̸=H ⊆G um subconjunto finito de G. Mostre que
H≤G⇔ ∀a,b∈H vale a·b∈H.
Demonstração:
Segue-se da Proposição 1.1 que seHé um subgrupo deGentãoHé fechado para a operação em
G. Reciprocamente, da Proposição 1.1, basta mostrar que para todoa∈Htemos quea−1∈H.
Suponhamos que a ∈ H. Dessa forma, a2 = a · a ∈ H,a3 = a2 · a ∈ H, . . . ,
am =am−1·a ∈ H, . . . , haja vista H ser fechado. Assim, a coleção infinita de elementos
a,a2, . . . ,am, . . . está toda em H, que é subconjunto finito de G. Assim, concluímos que há
repetições nesta coleção de elementos, isto é, para certos inteirosres, comr>s>0, teremos
ar=as.
Agora, comoGsendoGum grupo temos que as leis de cancelamento são válidas. Assim
ar=as⇒al+s=as⇒al·as=as⇒al =e,
onder=l+se assim temosl=r−s.
Mase∈H e assimar−s∈H. Comor−s>0, tem-se quer−s−1≥0. Logoar−s−1∈H e,
portanto,a−1=ar−s−1, pois
a·a−1=a·ar−s−1=a1+r−s−1=ar−s=e⇒a·a−1=e.
Portanto,a−1∈H e assimHé subgrupo deG.
Definição 1.3 Sejam H,K⊂G. Definimos o conjunto HK como sendo
1.1 Grupos e Subgrupos 9
Proposição 1.3 Seja G um grupo.
(i) Seja{Hi;i∈I}uma família não vazia de subgrupos, então∩ i∈I
Hié um subgrupo de G.
(ii) Se H,K≤G, então HK≤G⇔HK=KH.
(iii) (Lei Modular de Dedekind) Sejam H,K e L subgrupos de um grupo G, então
(HK)∩L= (H∩L)K, se K≤L.
Demonstração:
(i):Observe inicialmente que∩
i∈I
Hié não-vazio pois cadaHié um subgrupo. Sejama,b∈∩ i∈I
Hi.
Então temos quea,b∈Hi,∀i∈I. Mas como cadaHi é subgrupo segue-se queab∈Hi,∀i∈I.
Portanto,ab∈∩ i∈I
Hi. Agora sejaa∈ ∩
i∈I
Hi. Então temos quea∈Hi,∀i∈I. Mas sendoHi um
subgrupo temos quea−1∈H
i,∀i∈I, ,ou seja,a−1∈∩ i∈I
Hi. Segue da Proposição 1.1 que∩ i∈I
Hi
é um subgrupo.
(ii)Considere inicialmente queHK=KH. Mostraremos que HKé um subgrupo deG. Desde quee=e·e∈HK, segue-se que HK é não-vazio. Sejam a,b∈HK. Dessa forma, temos que
a=h1k1,b=h2k2para algumh1,h2∈H ek1k2∈K. Logo,
ab−1=h
1k1k2−1k1−1h1k3h−21,
com k3 = k1k−21 ∈ K. Agora, como k3h−21 ∈ KH = HK. Portanto, podemos escrever
k3h−21=h3k4para algumh3∈H ek4∈K. Dessa forma,
ab−1=h
1h3k4=h4k4,
comh4=h1h3∈H. Segue-se assim queab−1∈HK, ou seja,HK é um subgrupo deG.
Agora, partiremos do fato de que HK é um subgrupo. Considere a∈KH, ou seja, a =kh
comk∈K,h∈H. Então a−1 =h−1k−1∈HK e sendo HK subgrupo, segue-se que a∈HK.
Provamos assim queKH ⊂HK. Agora, considereb∈HK. Mas, sendoHK subgrupo, temos b−1=h′k′∈HK para algumh′∈H ek′∈K. Consequentemente, temosb=k′−1h′−1∈KH.
Portanto,HK⊂KH. Segue-se assim o que queríamos demonstrar.
(iii): Considerex∈(HK)∩L. Então,x=hkcomh∈H,k∈K ex=hk∈L. Donde, obtemos
h=xk−1∈L(Usamos aqui o fato deK≤L). Logo,h∈H∩L⇒x=hk∈(H∩L)K. Portanto,
Agora mostramos a outra inclusão, ou seja,(H∩L)K ⊂(HK)∩Le, com isso, garantiremos a igualdade, isto é,(HK)∩L= (H∩L)K. Considere assim,y∈(H∩L)K. Logo, y=hk, com
h∈H∩Lek∈K, o que implica quey∈HK. Mas, como temos queH≤Lentãoy∈L. Assim y∈(HK)∩L.Logo, segue-se a inclusão desejada e assim, temos a igualdade.
Observação 1.3 •Sempre nos referiremos ao grupo G como sendo multiplicativo a menos que indiquemos no texto o contrário.
•Usaremos, de agora em diante, o símbolo1para indicar tanto o elemento indentidade de G como o subgrupo de G que contém apenas a identidade, tal subgrupo é denominado subgrupo trivial de G. De acordo com o contexto o significado do símbolo1será claro.
•Um subgrupo de um grupo G será denotado por H ≤G. Se H ̸=G, dizemos que H é um subgrupo próprio de G e denotamos por H<G.
Em princípio, falaremos sobre grupos quaisquer. Mais na frente, restringiremos a grupos finitos, pois estes são o centro do nosso trabalho.
1.2 Classes Laterais
Definição 1.4 Seja G um grupo com x,y∈G e H≤G. Dizemos que x está relacionado com y, denotamos por x∼y, se e somente se, x−1·y∈H.
Proposição 1.4 ∼define uma relação de equivalência em G.
Demonstração:
Para mostrar que ∼ é uma relação de equivalência, precisamos verificar as três condições seguintes. Para todosx,y,z∈G,
(a) x∼x;
(b) x∼yimplicay∼x;
(c) x∼yey∼zimplicax∼z.
1.2 Classes Laterais 11
(a):Para mostrar quex∼xprecisamos demonstrar quex−1x∈H. Mas comoH é um subgrupo
deG, segue-se que 1∈H e comox−1x=1 temosx−1x∈H.
(b): Suponha que x∼y, ou seja, x−1y∈H, a partir daí queremos obter que y∼x, ou seja,
y−1x∈H. Agora, como por hipótesex−1y∈HeHé subgrupo, segue-se que(x−1y)−1
∈H, ou seja,y−1x∈H, isto é,y∼x.
(c): Finalmente, exigimos que sex∼yey∼zimpliquex∼z. Por hipótese, temos que como
x∼yentãox−1y∈H. Da mesma forma, comoy∼zentãoy−1z∈H. Mas comoH é subgrupo
temos que(x−1y)(y−1z)∈H, ou seja,x−1z∈H, isto é,x∼z.
Definição 1.5 Dado x∈G, o conjunto
x={y∈G;x∼y}={y∈G;y∈xH}=xH
é chamada classe lateral à esquerda de x.
Observação 1.4 x∼y ⇔y−1x∈ H também define uma relação de equivalência em G. O
conjunto
x={y∈G;x∼y}={y∈G;y∈Hx}=Hx
é chamada classe lateral à direita de x.
Proposição 1.5 Existe uma bijeção entre o conjunto A das classes laterais à direita e o conjunto B das classes laterais à direita.
Demonstração:
Para isso basta definirmosφ :A→Bde modo que φ(Hx) =x−1H. Tal função é claramente
uma bijeção.
Definição 1.6 A cardinalidade do conjunto das classes laterais à esquerda é o índice de H em G que denotaremos por|G:H|.
Proposição 1.6 Todas as classes laterais de H em G têm a mesma cardinalidade, igual a cardinalidade de H.
Demonstração:
Para isso basta definirmosφ :H →xH de modo queφ(h) =xh. Tal função é claramente uma bijeção.
Definição 1.7 Seja H ≤G. Dizemos que T ⊆G é um transversal (à esquerda) de H em G se G= ∪
t∈T
tH, ou seja,∀g∈G,∃t∈T e h∈H tal que g=th e∀t,t′∈T,tH̸=t′H.
Definição 1.8 Se|X|é o número de elementos do conjunto X (finito ou infinito) então
(1) |X|=|Y|se existe uma aplicação bijetiva de X em Y ;
(2) |X| ≤ |Y|se existe uma aplicação injetiva de X em Y ;
(3) |X||Y|=|X×Y|.
Proposição 1.7 Se Ai,i∈I são conjuntos disjuntos com|Ai|=|A|, então
·
∪
i∈I Ai
=|I| · |A|
Demonstração:
Para ver isso denote porFi:A→Aiuma bijeção e definaφ :I×A→
·
∪
i∈I
Aiporφ(i,a) =Fi(a).
É fácil ver queφ é bijetiva.
Proposição 1.8 (Teorema do Índice) Sejam G um grupo, K≤H e H≤G com K não vazio. Então
|G:K|=|G:H||H:K|.
1.2 Classes Laterais 13
SejamT um transversal deH emGeU um tranversal deK emH. Dessa maneira, temos que
H=
·
∪
u∈U
uK eG=
·
∪
t∈T tH.
Inicialmente, nosso intuito é mostrar queG=
·
∪
t∈T u∈U
tuK.
Com efeito, considereg∈G, então temos queg=thondet∈T eh∈H. Mas comh∈Htemos
que existemu∈Uek∈Kde modo queh=uk. Portanto, teremos queg=tuk∈
·
∪
t∈T u∈U
tuK. Logo,
G⊂
·
∪
t∈T u∈U
tuK.
Por fim, mostraremos a inclusão contrária. Considerex∈
·
∪
t∈T u∈U
tuK. Dessa forma,x=tuk onde
t ∈T,u∈U ek∈K. Mas, temos que H =
·
∪
u∈U
uK temos que h=uk∈H e, portanto, x=th.
MasG=
·
∪
t∈T
tH e, assim,x∈G. Logo,
·
∪
t∈T u∈U
tuK ⊂G.
Assim,G=
·
∪
t∈T u∈U
tuK.
Assim, o conjuntoΩ=TU é um transversal deK emG, logo
|G:K|=|Ω|=|TU|=|T||U|=|G:H||H:K|.
Usamos acima que|TU|=|T||U|. Tal fato é verdadeiro. De fato, definaφ :T×U →TU dada porφ(t,u) =tu, o que é claramente uma bijeção.
Corolário 1.1 (Teorema de Lagrange) Se H ≤G, temos
|G|=|G:H| · |H|.
Segue diretamente do Teorema do Índice bastando considerarK={1}e notar que
|G:K|=|G:H||H:K| ⇔ |G|=|G:H||H|.
Corolário 1.2 Se|G|<∞e H ≤G então|H|||G|.
Demonstração:
Bastar ver que|G|=|G:H||H|pelo Teorema de Lagrange.
Proposição 1.9 Sejam G um grupo e H,K≤G. Se|G:H|,|G:K|<∞então
|G:H∩K| ≤ |G:H| · |G:K|<∞.
Demonstração:
Denotemos por(G:H)o conjunto das classes laterais deH emG. Montemos uma função que
será injetiva,
F :(G:H∩K)→(G:H)×(G:K)
dada por (H∩K)g7→(Hg,Kg). Vejamos que F é bem definida, ou seja, que independe do representante da classe:
(H∩K)g= (H∩K)g1 ⇒ gg−11∈H∩K
⇒ gg−1
1 ∈H;gg−11∈K
= Hg=Hg1;Kg=Kg1
Agora vejamos a sua injetividade:
(Hg,Kg) = (Hg1,Kg1) ⇒ gg1−1∈H;gg−11∈K
⇒ gg−1
1 ∈H∩K
⇒ (H∩K)g= (H∩K)g1
Corolário 1.3 (Teorema de Poincaré) Se A1,A2, . . . ,Ansão subgrupos de G com índice finito, então
n ∩
i=1
1.2 Classes Laterais 15
Demonstração:
Segue da Proposição anterior que:
G:
n ∩
i=1
Ai
≤
n
∏
i=1
|G:Ai|<∞.
Corolário 1.4 Sejam G um grupo e H,K≤G. Se(|G:H|,|G:K|) =1, então
|G:H∩K|=|G:H||G:K|.
Demonstração:
ComoH∩K≤H≤Gtemos, pelo Teorema do Índice, que
|G:H∩K|=|G:H||H:H∩K|=|G:K||K:H∩K|
e assim, segue-se que|G:H|||G:H∩K|e|G:K|||G:H∩K|. Mas, por hipótese, temos que
|G:H|e|G:K|são primos entre si. Logo,|G:H| · |G:K|||G:H∩K|. Em particular,
|G:H| · |G:K| ≤ |G:H∩K|.
Por outro lado, do Teorema de Poincaré, vale a desigualdade contrária. Portanto, segue-se a igualdade. (Observe que como(|G:H|,|G:K|) =1 só tem sentido se|G:H|,|G:K|<∞).
Proposição 1.10 Sejam H,K≤G. Então
|HK||H∩K|=|H||K|.
Demonstração:
Defina a seguinte relação de equialência emH×K:
(h,k)∼(h′,k′)⇔hk=h′k′⇔h′−1h=k′k−1∈H∩K.
Verifica-se facilmente que∼é uma relação de equivalência emH×K. Note que
(h,k) ={(hx−1,xk);x∈H∩K}
visto queh′−1h=k′k−1=x⇔hx−1=hek′=xk. Logo
Para toda classe(h,k)podemos tomar um único representante(h′,k′)de forma que o conjunto
I={representantes}é tal que
H×K=
·
∪
(h,k)
(h,k),
união disjunta. Pela Proposição 1.7 temos que
|H×K|=|I|(h,k)=|I||H∩K|.
Por fim, resta mostrar que|I|=|H||K|, o que é verdade pois basta definir a funçãoφ :HK→I
dada porφ(hk) = (h,k), o que é claramente uma bijeção.
Portanto, segue-se o resultado.
1.3 Subgrupos Normais e Grupos Cíclicos
Definição 1.9 Seja G um grupo. Um subgrupo N de G é chamado um subgrupo normal de G, e escrevemos N✂G, se xNx−1⊂N para todo x∈G.
Observação 1.6 {1}e G são normais em G.
Com efeito, mostraremos inicialmente que {1}✂G Devemos mostrar que xex−1 ∈ {1},
∀x∈G, o que é verdade, pois
x1x−1= (x1)x−1=xx−1=1∈ {1}.
Agora mostraremos que G✂G.
De fato, mostraremos que xGx−1⊂G,∀x∈G, o que significa provar que xgx−1∈G,∀x,g∈G.
Sendo assim, como G é grupo temos que xg∈G. Agora tendo x∈G segue que x−1∈G. Dessa
forma temos(xg)x−1∈G,ou seja, xgx−1∈G. Portanto, xGx−1⊂G.
Observação 1.7 Se G é abeliano, então todo subgrupo de G é um subgrupo normal.
De fato, seja H um subgrupo abeliano de G. Considere h∈ H. Queremos mostrar que ghg−1∈H,∀g∈G. Como H é subgrupo de G e h∈H temos h∈G. Dessa forma g,h∈G
1.3 Subgrupos Normais e Grupos Cíclicos 17
Logo,
ghg−1= (gh)g−1= (hg)g−1=h(gg−1) =h1=h∈H⇒ghg−1∈H.
Portanto, H✂G.
Observação 1.8 Um grupo G é simples se G e1são seus únicos subgrupos normais.
Teorema 1.1 Seja N um subgrupo de G. Então as seguintes afirmações são equivalentes:
(i) N✂G.
(ii) xNx−1=N para todo x∈G.
(iii) xN =Nx para todo x∈G.
(iv) (xN)(yN) =xyN para todo x,y∈G.
Demonstração:
(i)⇒(ii)Devemos mostrar quexNx−1⊂NeN⊂xNx−1. Do fato de termosN✂Ggarantimos
quexNx−1⊂N,∀x∈G. Resta, então, a segunda inclusão. Sejax∈Ge sendoGgrupo temos
quex−1∈G, e comoxNx−1⊂N vale para todox∈G, em particular, vale parax−1∈G. Logo,
x−1N(x−1)−1⊂N⇒x−1Nx⊂N.
Assim:
N=x(x−1Nx)x−1⊂xNx−1⇒N⊂xNx−1.
Portanto, segue-se quexNx−1=N,∀x∈G.
(ii)⇒(iii)Do item(ii)temosN=xNx−1. Logo,
Nx= (xNx−1)x=xNx−1x=xN1=xN⇒Nx=xN,∀x∈G.
(iii)⇒(iv)Do item(iii)temos quexN =Nx. Logo,
(xN)(yN) =x(Ny)N=x(yN)N= (xy)NN= (xy)N=xyN⇒(xN)(yN) =xyN.
Observe queNN=N.
De fato,NN⊂N, visto queN é um subgrupo e assim fechado sobre a multiplicação. Por outro lado,
Logo, das duas inclusões, segue queNN=N.
(iv)⇒(i)Do item(iv)temos que(xN)(yN) =xyN,∀x,y∈G. Logo,
xNx−1=xNx−1e⊂xNx−1N=xx−1N=1N=N⇒xNx−1⊂N.
Proposição 1.11 Seja NEG. O conjunto {xN;x∈G} é um grupo com a seguinte operação: (xN)(yN) = (xy)N.
Demonstração:
Primeiramente devemos mostrar que a operação está bem definida. Sendo assim, considere
xN=x′NeyN=y′N. Para mostrar que
(xN)(yN) = (x′N)(y′N)
é necessário e suficiente mostrar quey′−1x′−1xy∈N. Mas, comoxN=x′Nentãon=x′−1x∈N.
Assim,y′−1x′−1xy=y′−1ny∈N(poisNEG). Portanto, a operação está bem definida.
Além disso, temos:
(i) Associatividade:
(xN)[(yN)(zN)] = (xN)[(yz)N] = [x(yz)]N= [(xy)z]N= [(xy)N](zN)⇒
⇒(xN)[(yN)(zN)] = [(xN)(yN)](zN).
(ii) Elemento Neutro: Dadox∈G,(xN)(1N) =xN= (1N)(xN).
(iii) Elemento Inverso: Dadox∈G,(xN)(x−1N) =1N= (x−1N)(xN).
Denotamos por G
N ={xN;x∈G}, e o chamamos de grupo quociente.
Definição 1.10 Seja NEG. O índice de N em G é definido por
|G:N|=
G N
.
Proposição 1.12 Seja N≤G com|G:N|=2então NEG.
1.3 Subgrupos Normais e Grupos Cíclicos 19
De fato,G é a união disjuntaN∪Na=N∪aN, para todo a∈G−N. SeaN∩N ̸= /0, então
ax=x′, com xe x′ elementos de N, ou seja, a=x′x−1∈N, o que é uma contradição. Logo,
aN=Na. Portanto,N é subgrupo normal deG.
Proposição 1.13 Sejam G um grupo e H,N≤G. Se HEG então HN≤G.
Demonstração:
Seja H EG. Logo, dado n∈N temos que nH =Hn. Portanto, NH = HN. Segue-se da Proposição 1.3 queHN≤G.
Definição 1.11 Seja G um grupo e N⊆G. Definimos o subgrupo gerado por N e denotemos por⟨N⟩, o menor subgrupo de G que contêm N. Também podemos definir da seguinte forma
⟨N⟩= ∩ H≤G N⊆H
H.
Se N={a}denotamos simplesmente por⟨a⟩.
Definição 1.12 Seja G um grupo. Dado um elemento a∈G definimos a ordem do elemento a como o menor número inteiro positivo n tal que an=1(se existir). Se não existir tal número, dizemos que a ordem de a é infinita. Denotamos a ordem de a por o(a).
Proposição 1.14 Seja G um grupo e a∈G. Então
(i) o(a) =|⟨a⟩|, se o(a)não for infinita;
(ii) Se an=1então o(a)|n.
Demonstração:
(i):Note que o conjunto{1,a,a2, . . . ,ao(a)−1}é o menor grupo que contéma;
(ii):Suponha que tenhamosan=1. Pelo Algoritmo da Divisão temos que existem inteiros pe
rtais quen=o(a)p+r, onde 0≤r<o(a). Logo,
Mas, a ordem deatem a propriedade mínima. Segue-se assim, quer=0 eo(a)|n.
Definição 1.13 Seja G um grupo. Dizemos que G é um grupo cíclico se existe a∈G tal que G=⟨a⟩.
Proposição 1.15 Se G é um grupo cíclico qualquer subgrupo H de G também será cíclico.
Demonstração:
Seja G= ⟨a⟩. Se H ={1} então H é cíclico gerado pelo elemento 1. Suponha então que tenhamosH ̸={1}. Sendo assim existe um número inteiro d tal que ad ∈H. Mas sendo H
subgrupo, temos quea−d∈H. Assim podemos garantir que existedinteiro positivo para o qual
tenhamosad∈H. Considere agorano menor inteiro positivo tal quean∈H.
Afirmamos que⟨an⟩=H.Com efeito, comoan∈H então⟨an⟩ ⊂H. Para mostrarmos a outra
inclusão, considereal∈H. Pelo Algoritmo da Divisão temos que existem m,p∈Z de modo quel =n·m+p e 0≤ p<n. Assim, ap=al·(anm)−1∈H e, dessa maneira, temos p=0. Com isto fica provado queH=⟨a⟩, ou seja,H é cíclico.
Observação 1.9 O símbolo Cnrepresentará um grupo cíclico de ordem n. Como o(x) =|⟨x⟩|, para o(x) =n podemos escrever Cn=⟨x⟩.
1.4 Subgrupos Clássicos
Esta é uma seção especial para consolidarmos a notação a ser usada no texto. Vejamos as definições:
◮ Sex,g∈Go conjugado dexporgseráxg=g−1xg.
◮ Sex∈G, a classe de conjugação dexé o subconjunto:
1.4 Subgrupos Clássicos 21
◮ SeN≤G, um subgrupo conjugado aNé dado por:
Nx=x−1Nx={x−1nx;n∈N}.
QuandoNx=N,∀x∈Gvimos queN é normal emG.
◮ Se x∈G, o centralizador dex em G é o subgrupo formado pelos elementos emG que
comutam comx, indicado por:
CG(x) ={g∈G;xg=x}.
◮ SeH⊆G,o centralizador deH emGé o subgrupo:
CG(H) ={g∈G;hg=h,∀h∈H}= ∩ h∈H
CG(h).
◮ O centro do grupo G é o subgrupo formado pelos elementos de G que comutam com todos os outrosZ(G) =CG(G).
Observação 1.10 O centro de um grupo G é um subgrupo normal de G.
Com efeito, devemos mostrar que gZ(G)g−1 ⊂ Z(G), ou equivalentemente,
gzg−1∈Z(G),∀g∈G e∀z∈Z(G).
Assim dado z′∈Z(G)temos que z′x=xz′,∀x∈G, ou ainda
xz′=z′x⇒x−1(xz′) =x−1(z′x)⇒(x−1x)z′=x−1z′x⇒
⇒1z′=x−1z′x⇒z′=x−1z′x.
Dessa maneira, dados g∈G e z∈Z(G)temos:
gzg−1=g(x−1zx)g−1=gx−1zxg−1= (gx−1)z(gx−1)−1.
Mas g,x∈G e G é grupo, logo gx−1∈G e assim(gx−1)−1∈G. Logo, usando o fato de z∈Z(G)temos que:
(gx−1)z(gx−1)−1=z(gx−1)(gx−1)−1=z1=z,
ou seja, gzg−1=z.
◮ SeH≤G, definimos o normalizador deH emGcomo sendo o subgrupo
NG(H) ={g∈G;Hg=H}.
Note queH✂NG(H)≤G.
Observação 1.11 Dado H ≤G,NG(H)≥H. Assim
|G:H|=|G:NG(H)||NG(H):H|.
◮ SeX⊂G, o subgrupo gerado porX será:
⟨X⟩={xα1
1 ·xα22·xα33·. . .·xnαn;xi∈X;αi=±1}.
Proposição 1.16 Seja G um grupo e seja Z(G)seu centro. Se G
Z(G) é cíclico, então Z(G) =G.
Demonstração:
Seja z um gerador do grupo G
Z(G). Então, ∀g∈G,∃i tal que g =zi. Logo g =zi·h com h∈Z(G). Seg1:=zi1·h1eg2:=zi2·h2são dois elementos quaisquer deG, temos:
g1g2=zi1·h1·zi2·h2=zi1+i2·h1·h2=zi2·h2·zi1·h1=g2g1,
poish1eh2comutam com qualquer elemento deG. Isto mostra que o grupoGé abeliano, isto
é,G=Z(G).
Definição 1.14 Se H ≤G definimos o núcleo normal de G, que denotaremos por HG como sendo
HG=⟨X;XEG,X ≤H⟩.
Proposição 1.17 Seja H≤G então HG= ∩ g∈G
Hg.
Demonstração:
Vamos ver inicialmente queHGé normal emG.
Sejax∈HG, temos quex=y1y2. . .yncomyi∈YiEGeYi≤H. Dessa maneira, para qualquer g∈Gteremos
g−1xg=g−1(y
1.5 Homomorfismos de Grupos 23
haja vista que caday′
i∈Yijá queYiEG. Logog−1HGg⊂HG⇒HGé normal.
SejaX = ∩ g∈G
Hg. ComoHGé normal emGtemos
gHGg−1=HG⊂H⇒HG⊂g−1Hg=Hg⇒HG⊂ ∩ g∈G
Hg=X.
Por outro lado, veja queX = ∩ g∈G
Hg é normal emG, pois sex∈X eg,g1∈G podemos usar
quex∈Hgg−11 para concluir que
g−1
1 xg1=g−11
(
g1g−1hgg−11
)
g1=g−1hg⇒xg1 ∈Hg,∀g∈G.
Logoxg1∈X ⇒Xg1 ⊂x⇒X é normal emG.
Por outro lado,X ⊂H1=H o que implicaX ⊂HG, e portanto,X=HG.
Observação 1.12 HG = ∩
g∈G
Hg é o núcleo normal do subgrupo H em G. Note que HG é o
maior subgrupo normal de G contido em H, ou seja, NEG,N≤H⇒N≤HG.
Em particular, se H✂G então H=HG.
1.5 Homomorfismos de Grupos
Definição 1.15 Considere G e H grupos. Uma aplicação φ : G → H que satisfaz
φ(xy) =φ(x)φ(y),∀x,y∈G é denominada um homomorfismo entre os grupos G e H. Além disso, seφ é bijetivo, entãoφ é denominado isomorfismo de G para H, e escrevemos G≃H e dizemos que G e H são isomorfos. Se além disso tivermos G=H, entãoφ é denominado um automorfismo de G. O conjunto de todos os automorfismos de G é, na realidade, um grupo com a operação de composição de funções. Denotamos este grupo porAutG.
Teorema 1.2 Sejam G e H grupos com identidades1Ge1H, respectivamente, e sejaφ :G→H um homomorfismo. Então:
(i) φ(1G) =1H.
(ii) φ(x−1) = (φ(x))−1para cada x
Demonstração:
Mostraremos inicialmente(i). Com efeito,
φ(1G) =φ(1G·1G) =φ(1G)·φ(1G)⇒φ(1G) =φ(1G)·φ(1G)⇒
⇒1H·φ(1G) =φ(1G)·φ(1G)⇒φ(1G) =1H.
Agora mostraremos(ii). Com efeito,
φ(1G) =φ(x·x−1) =φ(x)·φ(x−1)⇒φ(1G) =φ(x)·φ(x−1)⇒1H=φ(x)·φ(x−1)⇒
⇒φ(x−1) =1
H·(φ(x))−1⇒φ(x−1) = (φ(x))−1.
Definição 1.16 Sejam G e H grupos e seja φ :G→H homomorfismo. O kernel de φ, que denotamos porKerφ, é definido como sendo o conjunto
Kerφ ={x∈G;ϕ(x) =1H},
onde1H é a identidade de H.
Observação 1.13 Temos queKerφ é não vazio por conta de queφ(1G) =1H.
Observação 1.14 Seφ :G→H é um homomorfismo de grupos entãoKerφ✂G.
Com efeito, devemos mostrar que gKerφg−1 ⊂ Kerφ,∀g ∈ G, ou equivalentemente,
gkg−1∈Kerφ,∀g∈G e∀k∈Kerφ. Seja g∈G e k∈Kerφ. Para mostrarmos que gkg−1∈Kerφ,
devemos provar queφ(gkg−1) =1
H.
Para tanto usaremos o fato deφ ser homomorfismo e o fato de k∈Kerφ. Logo:
φ(gkg−1) =φ(g)φ(k)φ(g−1) =φ(g)1
Hφ(g)−1=φ(g)φ(g)−1=1H.
Portanto,Kerφ✂G.
Proposição 1.18 Um homomorfismo φ : G → H é injetivo se, e somente se,
Kerφ ={1G}.
1.5 Homomorfismos de Grupos 25
Suponha inicialmente que tenhamos φ injetivo. Considere x ∈ Kerφ e, desse modo, φ(x) =1H. Mas sabemos ainda que φ(1G) =1H. Sendo assim como φ é injetiva e temos
φ(x) =φ(1G)concluimos quex=1G. Logo, Kerφ ={1G}.
Agora suponhamos que Kerφ ={1G}. Mostraremos queφ é injetivo. Com efeito,
φ(x) =φ(y) ⇒ φ(x)·φ(y)−1=φ(y)·φ(y)−1⇒φ(x)·φ(y−1) =φ(y)·φ(y−1)
⇒ φ(x·y−1) =φ(y·y−1)⇒φ(x·y−1) =φ(1
G)
⇒ φ(x·y−1) =1
H ⇒xy−1∈Kerφ ⇒xy−1=1G ⇒ x=y.
Portanto,φ é injetivo.
Proposição 1.19 Sejaφ :G→H um homomorfismo de grupos. EntãoKerφ é um subgrupo de G eImφ é um subgrupo de H.
Demonstração:
Mostraremos inicialmente que Kerφ é um subgrupo deG. Com efeito, observe que Kerφ é não vazio poisφ(1G) =1H.
Agora dadosa,b∈Kerφ, temos que:
φ(ab−1) =φ(a)φ(b−1) =φ(a)φ(b)−1=1
H·1H−1=1H ⇒ab∈Kerφ.
Agora resta mostrar que Imφ é um subgrupo de H. Com efeito, observe que Imφ é não vazio pois 1H=φ(1G).
Agora dadosa,b∈Imφ temos que existex,y∈G, respetivamente, tal quea=φ(x)eb=φ(y). Sendo assim, teremos:
ab−1=φ(x)φ(y)−1=φ(x)φ(y−1) =φ(xy−1)∈Imφ,
visto quexy−1∈Gpor ser um grupo.
Teorema 1.3 (1oTeorema do Isomorfismo) Seja φ :G →H um homomorfismo de grupos.
Então
G
Kerφ ≃Im(φ).
Em particular, seφ é sobrejetiva, então
G
Kerφ ≃H.
Demonstração:
Denotemos porKo núcleo deφ, ou seja,K=Kerφ. Sabemos queK✂G. Considere a seguinte
aplicação
ϕ: G
K → Imφ gK7→ φ(g).
Devemos mostrar queϕestá bem definida e que é um homomorfismo bijetivo.
Mostraremos inicialmente queϕ está bem definida(⇒)e que é injetiva(⇐). De fato,
aK=bK⇔b−1a∈K⇔φ(b−1a) =1
H⇔φ(b−1)φ(a) =1H ⇔ ⇔φ(b)−1φ(a) =1H⇔φ(a) =φ(b)⇔ϕ(aK) =ϕ(bK).
Observe que da maneira como contruimosϕ, garantimos a sobrejetividade.
Por fim, resta provar queϕ é homomorfismo.
ϕ((aK)(bK)) =ϕ((ab)K) =φ(ab) =φ(a)φ(b) =ϕ(aK)ϕ(bK).
Concluimos assim queϕ é um homomorfismo.
Teorema 1.4 (2oTeorema do Isomorfismo) Sejam H e N subgrupos de G tal que N✂G.
Então N∩HEH e
H H∩N ≃
HN N
Demonstração:
Basta definirϕ:H→ HN
N porϕ(h) =hNe observar queϕ é um homomorfismo cujo núcleo é
1.5 Homomorfismos de Grupos 27
Teorema 1.5 (3oTeorema do Isomorfismo) Sejam H,N subgrupos normais em G, tais que
H≤N, então:
G H N H
≃ G N.
Demonstração:
Basta definirϕ : G
H → G
N dada porϕ(gH) =gN e notar queϕ é homomorfismo cujo núcleo é N
H.
Teorema 1.6 (Teorema da Correspondência) Sejam G um grupo e N EG, então existe uma correspondência biunívoca entre os subgrupos de G que contém N e os subgrupos de G
N. Por esta correspondência, subgrupos normais de G que contêm N correspondem a subgrupos normais de G
N e vale a recíproca
Demonstração:
SejamA ={H;H≤G,N≤H}eB=
{
H;H≤ G N
}
. Definaϕ:A →Beψ :B→A pondo
ϕ(H) ={hN;h∈H}eψ(H) ={h∈G;hN∈H}.
Observe inicialmente que dadoH ∈A o conjuntoϕ(H)pertenceB.
De fato, como 1 ∈ H temos que N ∈ ϕ(H). Agora dados h1N,h2N ∈ ϕ(H), temos que
(h1N)(h2N)−1=h1h−21N ∈ϕ(H)poish1h−21∈H.Segue-se assim queϕ está bem definida.
Obsere agora que dadoH∈Bo conjuntoψ(H)pertence aA.
Com efeito, note que temos N ⊆ φ(H) pois nN = N ∈ H para todo
n ∈ N. Em particular, 1 ∈ ψ(H). Agora, dados h1,h2 ∈ ψ(H) temos que
h1h−21N = (h1N)(h2N)−1 = H. Portanto, h1h−21 ∈ ψ(H) e provamos assim que ψ(H) é
um subgrupo deGque contémN.
Observe agora queφ eψ são uma inversa da outra e assim são bijeções.
Note que todo subgrupo de G
N é da forma H
N ondeH é um subgrupo deGque contémN.
SeHEG,N≤H então pelo Terceiro Teorema dos Isomorfismos
H N E
Suponha agora que tenhamos H
N E G
N. Queremos mostrar queH EG. De fato, dado x∈H
temos que(g−1xg)N= (gN)−1(xN)(gN)∈ G
N e portanto g
−1xg∈H,∀x∈G. Segue-se assim
queHEG.
Lema 1.7 (NC Lema) Sejam G um grupo e H≤G. Então NG(H)
CG(H)≃L,onde L é um subgrupo deAutH={Automorfismos de H}.
Demonstração:
Defina
ϕ:NG(H) → AutH
g 7→ ϕg: h7→ghg−1
.
Observamos que ϕ é homomorfismo e que Kerϕ =CG(H). Sendo assim, pelo Primeiro
Teorema do Isomorfismo, obtemos
NG(H)
CG(H) ≃Im(ϕ)≤AutH.
Exemplo 1.1 (i) Sejam H1,H2, . . . ,HnE G. A função Ψ :G→ HG
1×. . .×
G
Hn dada por
Ψ(g) = (gH1, . . . ,gHn) é um homomorfismo, com KerΨ =
( n
∩
i=1
Hi
)
G
. Pelo Primeiro
Teorema dos Isomorfismos
G
( n
∩
i=1
Hi
)
G
≃ImΨ≤ G
H1×. . .×
G Hn.
Em particular, se a interseção D dos Hi’s for livre de núcleo, podemos admitir que
G֒→ G
H1×. . .×
G Hn.
(ii) Se 1̸=x∈G é um p-elemento (p primo), NEG tal que|G:N|=n, onde p∤n. Então x∈N.
De fato, suponha que x∈/ N, sendo N EG, pelo Segundo Teorema dos Isomorfismos, temos que
1.6 Ação de Grupos 29
Absurdo, visto que p não divide n.
Definição 1.17 Um subgrupo H de G é característico, e denotamos por H ✁
carG, se ϕ(H) =H
para todoϕ∈AutG.
Proposição 1.20 Sejam G um grupo e H≤G. Então:
(i) H ✁
carG⇒H✂G;
(ii) H ✁
carK✂G⇒H✂G;
(iii) H ✁
carK
✁
carG⇒H
✁
carG;
(iv) Se H é o único subgrupo com ordem dada, então H ✁
carG;
Demonstração:
(i): Queremos mostrar que H ✂ G, ou seja, que g−1Hg = H para todo g∈G. Como H✁
carGtemos que ϕ(H) =H para todo ϕ ∈AutG. Sendo assim, considerando
ϕg(x) =g−1xgtemos queϕ(H) =H⇒g−1Hg=H para todog∈G, isto é,H✂G.
(ii): Queremos mostrar que H ✂ G, ou seja, que g−1Hg = H para todo
g ∈ G. Com efeito, considere ϕg como no item anterior. Como K E G segue que
ϕg|K ∈ AutK. Com isso e juntamente com o fato de H ser característico em K segue-se
queϕg(H) =ϕg|K(H) =H, ou seja,g−1Hg=H,∀g∈G.
(iii): Seja ϕ ∈ AutG. Como K ✁
carG, segue do item (i), que K E G. Dessa
maneira concluímos que ϕ|K ∈ AutK. Dessa forma ϕ(H) = ϕK(H) = H, ∀ϕ∈AutG. Portanto,H ✁
carG.
(iv): Seja ϕ ∈AutG. Sabemos que |φ(H)|=|H|. Mas, por hipótese, temos queϕ(H) =H. Portanto,H ✁
carG.
1.6 Ação de Grupos
SejamGum grupo eX um conjunto qualquer. Definimos o conjunto das permutações deX
porSX ={f :X →X;f é bijetiva}e dizemos que Gage sobreX se existe um homomorfismo
Observação 1.15 Em particular,
Sn={f :{1,2, . . . ,n} → {1,2, . . . ,n};f é bijeção}
é chamado o grupo simétrico.
No estudo de uma ação, destacam-se os seguintes conjuntos:
◮ Sex∈X, definiremos o estabilizador dexcomo sendo o subconjuntoE(x)deG:
E(x) ={g∈G;ϕg(x) =x};
◮ Sex∈X, definimos a órbita dexcomo sendo o subconjuntoO(x)deX dado por:
O(x) ={ϕg(x);g∈G};
◮ Seg∈G, o conjunto dos pontos fixos deϕgserá denotado por FixX(G), ou seja:
FixX(G) ={x∈X;ϕg(x) =x,∀g∈G}.
Podemos definir a seguinte relação de equivalência emX:
x∼y⇔y=ϕg(x), para algum g∈G.
Verificamos isto a seguir:
(i) x∼xpoisx=ϕ1(x).
(ii) Sex∼yentãoy=ϕg(x). Daíx=ϕg−1(y)⇒y∼x.
(iii) Sex∼yey∼z, entãoy=ϕg1(x)ez=ϕg2(y). Daí obtemos:
z=ϕg1(ϕg2(x)) =ϕg1g2(x)⇒x∼z.
Veja ainda que a classe de equivalência do elementoxé o conjunto
x={ϕg(x);g∈G}=O(x) (Órbita de X).
Teorema 1.8 Sejaϕ :G→SX uma ação de grupo G em um conjunto X. Então:
(i) X =
·
∪
x∈T
1.6 Ação de Grupos 31
(ii) E(x)≤G
(iii) |O(x)|=|G:E(x)|
Demonstração :
(i):Trivial!
(ii): Como ϕ1 = IdX e IdX(x) = x segue-se que ϕ1(x) = x,∀x ∈ X, e assim
1 ∈ E(x). Daí, E(x) ̸= /0. Dados g1,g2 ∈ E(x), temos: ϕg1(x) = x e
ϕg2(x) =x.
Assim,
ϕg
1g−21(x) =ϕg1
( ϕg−1
2 (x)
)
=ϕg1(x) =x.
Portanto,g1g−21∈E(x).
Comog1eg2foram tomados arbitrariamente emE(x), o resultado segue.
(iii):Definamos a funçãoΨpor:
{gE(x);g∈G} →Ψ O(x)
gE(x) 7→ ϕg(x)
Vamos provar que esta função está bem definida, ou seja, que independe do elemento da classe, e que é uma bijeção.
◮ Ψestá bem definida: SegE(x) =hE(x)⇒g=hz;z∈E(x). Daí teremos:
ϕg(x) =ϕhz(x) =ϕh(ϕz(x)) =ϕh(x)
◮ Ψé injetiva: Suponha queϕg(x) =ϕh(x). Com isso teremos:
ϕh−1(ϕg(x)) =x⇒ϕh−1g(x) =x⇒h−1g∈E(x)⇒gE(x) =hE(x).
◮ ObviamenteΨé sobrejetiva.
Concluimos portanto queΨé uma bijeção, logo|G:E(x)|=|O(x)|.
Teorema 1.9 Seja G um grupo. Então para cada x∈G,|G:CG(x)|=|xG|.
Demonstração:
Definamosϕ agora por:
ϕ : G→SG
g 7→ϕg: x→gxg−1
Dessa formaϕ será uma representação de permutações. Vejamos quem é O(x)nessa ação:
O(x) ={gxg−1;g∈G}={xg−1
;g∈G}=xG.
Além disso:E(x) ={g∈G;xg−1=x,∀x∈G}=CG(x). E pelo Teorema 1.8, segue o resultado.
Exemplo 1.2 (Ação de Classes) Seja H ≤ G com |G : H| = n. Defina ϕ : G → SX, X={xH;x∈G}pondoϕg(xH) =gxH.
•ϕg∈SX.
Suponha queϕg(xH) =ϕg(yH), então gxH =gyH e, portanto, xH=yH, provando-se assim queϕgé injetiva. Dado yH∈X,ϕg(g−1yH)=yH. Logoϕgé sobrejetiva.
•ϕgg′=ϕg◦ϕg′, ou seja,ϕ é um homomorfismo.
De fato,ϕgg′(xH) =gg′xH=ϕg(g′xH) =ϕg◦ϕg′(xH).
•Ker(ϕ) ={g∈G;ϕg=IdX}. Assim
g∈Ker(ϕ)⇔ϕg(xH) =gxH=xH,∀x∈G⇔x−1gx∈H,∀x∈G
⇔g∈xHx−1,∀x∈G⇔g∈H
G.
Portanto,Ker(ϕ) =HG. Portanto, pelo Primeiro Teorema dos Isomorfismo,
G
HG ≃Im(ϕ)≤SX ≃Sn.
Em particular,
1.6 Ação de Grupos 33
Corolário 1.5 Seja H≤G com|G:H|=p, com p primo e tal que é o menor primo que divide a ordem de G. Então H=HGEG.
Demonstração:
Do exemplo anterior, temos que
G
HG ≃L≤Sp.
Afirmamos que|H:HG|=1. De fato, se|H:HG| ̸=1, então existe um primoqde maneira que q||H :HG|. Mas, como|H:HG|||G|concluímos queq≥ p. Por outro lado, comoHG≤H≤G
e q||G:HG||p!. Sendo assim, temos q≤ p. Portanto, temos necessariamente q= p. Logo p2||G:HG|, haja vista que p!=|G:HG|=|G:H||H:HG|. Logo, teríamos que p2|p!,o que é
absurdo.
Portanto, segue-se o resultado.
Teorema 1.10
(i) Seja G um p-grupo finito (isto é,|G|=pn) e suponha que G age sobre X (ou seja, existe um homomorfismoϕ:G→SX), então
|FixX(G)| ≡ |X|(modp);
(ii) Sejam H,J≤G com|J|=pme|G:H|=r, onde p.r. Então existe x∈G tal que J≤Hx;
(iii) Se H≤G,|H|=pme p||G:H|, então p||NG(H):H|. Em particular, se|G|=pne H<G, então H <NG(H);
(iv) Seja H EG,G finito, e J≤G com |J|= pm. Se |H| ≡1(modp), então H∩CG(J)̸=1. Em particular, se|G|=pne H é normal próprio, então H∩Z(G)̸=1.
Demonstração:
(i):ComoGé finito,X =Ox
1∪Ox2∪. . .∪Oxr. Logo
|X|=|Ox
1|+|Ox2|+. . .+|Oxr|=|FixX)(G)|+|Ox2|+. . .+|Oxr|,
(ii): Considere J agindo nas classes de X, conforme foi feito no exemplo anterior. De (i)
segue-se que
|FixX(G)| ≡ |X|=r(modp).
Comop∤rtemos que p∤|FixX(G)|. Segue-se assim que FixX(G)̸= /0. Sendo assim, considere xH∈FixX(G). Logo
gxH=ϕg(xH) =xH,∀g∈J⇔gxH=xH,∀g∈J⇔
⇔x−1gx∈H,∀g∈J⇔g∈Hx−1
,∀g∈J.
Portanto,J≤Hx−1.
(iii):SejamX={xH,x∈G}eϕ:H→SX dada porϕh(xH) =hxH. Segue-se, do item(i), que |FixX(H)| ≡ |H|(modp)onde|X|=|G:H|. Temos ainda que
xH ∈FixX(H)⇔hxH=xH,∀h∈H⇔x−1hx∈H,∀h∈H
⇔x−1hx⊆H⇔x∈NG(H).
Logo, |FixX(H)|=|NG(H):H|. Em particular, se |G= pm| e H <G com p||G:H| então p||NG(H):H|. Portanto,H<G(H).
(iv): Seja ϕ : J → SH dada por ϕg(h) = ghg−1. Note que ϕ é uma
ação bem definida pois temos H E G. Agora, do item (i) temos que
|FixX(J)| ≡ |H|(modp), mas como |H| ̸≡ 1(modp) concluímos que |FixX(J)| ̸≡ 1(modp). Por outro lado, 1 ∈ FixX(H) (ou seja |FixX(H) > p|) e, portanto,
existeh̸=1 tal queh∈FixX(H). Logo, para todog∈Jtemosghg−1=he daí,h∈H∩CG(J).
Em particular, se|G|=pk eHEG,H ̸=1,tomeJ=Ge entãoH∩CG(G) =H∩Z(G)̸=1.
Corolário 1.6 Seja G um grupo com|G|= pm. Então
(i) Existe uma cadeia 1 < G0 < G1 < . . . < Gm = G, com Gi E G e |Gi| = pi para i∈ {0,1, . . . ,n};
(ii) Se H <G existe K≤G tal que H <K e|K:H|= p.
Demonstração:
(i):SejaHsubgrupo maximal deG. Então, pelo item(iii)do Teorema anterior temos queH▹G
1.7 Teoremas de Sylow 35
assim,Z(G)̸=1.
Dessa forma, considerez∈Z(G). Logo,o(z) =pk.
Caso tenhamosk=1 teremos queG1=⟨z⟩é normal emGcom|⟨z⟩|=p.
Agora, casok̸=1, entãow=zpk−1∈Z(G)eo(w) =p. Portanto,⟨w⟩▹Gcom|⟨w⟩|=p. Dessa
forma podemos trocarwporze assimN=⟨z⟩é normal com|N|= p. Dessa maneira, G= G N
tem ordem pm−1e, por indução, existe uma cadeia
1=G0<G1< . . . <Gn=G,
com Gi▹G e |Gi|= pi. Pelo Teorema da Correspondência Gi =Gi+1N, onde Gi+1 ▹G e
|Gi+1|=|Gi||N|= pi+1.
(ii):Se tivermosm=1, entãoH=1 eK=G. Suponhamos então quem>1. Então do mesmo modo que fizemos no item(i)obteremos queZ(G)̸=1. Assim, existez∈Z(G)como(z) =p. Analisemos dois casos a seguir:
•z∈H. Assim H
⟨z⟩ < G ⟨z⟩, onde
H
⟨z⟩ tem ordem pm−1. Sendo assim, por indução, existeK≤G
tal que H
⟨z⟩ <K e |K :H|= p. Pelo Teorema da Correspondência K < H
⟨z⟩, onde H ≤ K e |K:H|=p.
•z∈/H. Seja entãoK =⟨z⟩H. EntãoK ≤G, pois⟨z⟩EG, H<K e|K|= |H|⟨z⟩
|H∩ ⟨z⟩| =p|H|.
Portanto,|K:H|= p.
1.7 Teoremas de Sylow
Dizemos que um grupoGfinito é ump-grupo (pprimo), quando|G|=pn. Também,x∈G
é um p-elemento, seo(x)é uma potência de p. SejaGum grupo, um subgrupoH deGé dito ser ump-subgrupo de Sylow deGse existe um número primopde tal modo que todo elemento
x∈Htem ordem pα, ondeα≥0 depende do elementox, e neste caso escrevemosH∈Sylp(G).
Teorema 1.11 (1oTeorema de Sylow) Sejam p um número primo e G um grupo de ordem
pm·r com(p,b) =1, p primo e m≥1. Então existe um subgrupo H de G tal que|H|= pm.
SejamX ={U⊆G;|U|=pm}eϕ:G→SX dada porϕ(U) =gU. Note que temos obviamente
ϕuma ação. Além disso
|X|=
(pmr
pm
)
= p
mr!
pm!(pmr−pm)! = pmr
pm
pmr−1 pm−1 . . .
pmr−(pm−1) pm−(pm−1).
Para cada 1≤ j≤pm−1, escreva j=pkq, onde pnão divideq. Então
pmr−j pm−i =
pmr−pkq pm−pkq =
pm−kr−q pm−k−q,
ondepnão divide pm−kr−qe também não divide pm−k−q. Portanto, pnão divide|X|e como X=OV
1
˙
∪
. . .∪˙ OVs segue que p.|OV|para algumv∈X.
Agora, como p . |OV| = |G : EV| e pm||G| = |G : EV||EV|. Portanto pm||EV| e assim
pm≤ |E
V|, ondeEV ={g∈G;gV =V}.
Tomex∈V e defina θ :EV →V porθ(w) =wx. Entãoθ está bem definida, pois hV =V, e
injetiva. Dessa forma,|EV| ≤pme portanto|EV|=pm.
Corolário 1.7 Se G é um grupo finito com|G|= pmr, onde p é primo com(p,r) =1e m≥1, então para cada i∈ {1,2, . . . ,m}existe Hital que|Hi|= pi.
Demonstração:
Pelo Primeiro Teorema de Sylow, existe H ≤ G tal que
|H|=pme do Corolário 1.6 existeH
i≤Htal que|Hi|=pi.
Teorema 1.12 (2oTeorema de Sylow) Nas condições do Primeiro Teorema de Sylow, se H e
J são subgrupos de G com|H|=|J|= pmentão existe g∈G tal que|H|=Jg.
Demonstração:
Segue diretamente do item(ii)do Teorema 1.10.
1.7 Teoremas de Sylow 37
Teorema 1.13 (3oTeorema de Sylow) Nas condições do Primeiro Teorema de Sylow, se
np=|{H≤G;|H|= pm}|, então np=|G:NG(H)| com H≤G, |H|= pm, e np ≡1(mod p) onde np é o número de p-subgrupo de Sylow de G. Note que np=|G:NG(H)| implica que np||G:H|=r .
Demonstração:
Ficará a cargo do leitor.
O Teorema de Sylow possui inúmeras aplicações. Mostraremos, nesse momento algumas delas. Consideremos em cada umas delasGum grupo finito.
Corolário 1.8 Um p-subgrupo de Sylow de um grupo G é único se, e somente se, for normal em G.
Demonstração:
(⇒) Seja Po único p-subgrupo de Sylow deG. Ora, ∀g∈G, temos|Pg|=|P|, logoPg=P, dondeP✂G.
(⇐) Sejam PeP1 p-subgrupos de Sylow onde P✂G. Pelo 2oTeorema de Sylow, ∃g∈Gtal
queP1=Pg, comoP✂G, segue-se queP1=P. Logonp=1.
Corolário 1.9 Seja P um p-subgrupo de Sylow e|G:P|=q, onde q é o menor primo que divide |G|, então P✂G.
Demonstração:
Pelo Terceiro Teorema de Sylow, temos:
np≡1(modp) e npdivideq.
Logo,np=1+kp, ondek∈N, masnp≤q≤p. Logok=0 enp=1 e pelo Corolário anterior P✂G.
Corolário 1.10 (Argumento de Fratini) Seja G um grupo, N E G e P ∈ Sylp(N) então G=NNG(P).
Demonstração:
Note queG⊇NNG(P). Sejag∈GentãoPg⊆Ng=N. Logo,P,Pg∈Sylp(N)e assim, pelo
Segundo Teorema de Sylow temos quePePgsão conjugados emN, isto é, existex∈N tal que Px=Pg. Logo,P=Pgx−1 e portanto
gx−1∈N
G(P)⇒g= (gx−1)x∈NG(P)N=NNG(P).
Assim,G⊆NNG(P). Segue-se assim a igualdade.
Proposição 1.21 Se P∈Sylp(G)e P✂G, então Pcar✁G.
Demonstração:
SejaP∈Sylp(G)comPEG. Logo, pelo Teorema de Sylow,Pé o únicop-subgrupo de Sylow.
Portanto, segue da Proposição 1.20 do item (iv) queP✁
carG.
1.8 O Grupo Simétrico
S
nUma permutação α ∈ Sn é chamada ciclo, mais especificamente um k-ciclo,
2≤k≤n, se existemi1,i2, . . . ,ik∈In={1,2,3, . . . ,n}, distintos, tais queα(j) = j, para todo j∈ {i/ 1,i2, . . . ,in}, eα(il) =il+1, paral=1,2, . . . ,k−1 e α(ik) =i1. Se f ∈Sn é produto de
uma quantidade par (ou ímpar) de 2-ciclos, então f é dito par (ou ímpar).
Usaremos a notação abreviadaα = (i1i2. . . ,ik), onde{i1,i2, . . . ,ik}é chamado o conjunto
suporte deα. Denotaremos por(1)ou mais geralmente por(a),a∈In, a permutação identidade.
1.8 O Grupo Simétrico Sn 39
Proposição 1.22 Se dois ciclos α e β são disjuntos, então eles comutam, entre si, isto é,
αβ=β α.
Demonstração:
Supondo os ciclosα= (i1,i2, . . . ,ik)eβ = (j1,j2, . . . ,jm)disjuntos, temos
In={i1,i2, . . . ,ik}
·
∪
{j1,j2, . . . ,jm}
·
∪ J.
Para cadai∈Intemos:
1o)i∈ {i/
1,i2, . . . ,ik} ∪ {j1,j2, . . . ,jm}. Assim,
αβ(i) =α(β(i)) =α(i) =i=β(i) =β(α(i)) =β α(i).
2o)i∈ {i
1,i2, . . . ,ik}. Neste caso, temos:
α(β(i)) =α(i) =β(α(i)) =β α(i),
poisα(i) =ipnão é elemento do conjunto deβ.
Proposição 1.23 Toda permutação não trivial α ∈ Sn,n ≥ 3, pode ser escrita (de maneira única, a menos de ordenação) como um produto de ciclos disjuntos.
Demonstração:
Como α ∈ Sn e sendo α ̸= Id, temos que existe um
a1 ∈ {1,2, . . . ,n}, tal que α(a1) ̸= a1. Com isso obtemos a seguinte sequência
a1,α(a1),α2(a1), . . . ,αr1−1(a1), sendo quer1,2≤r1≤n, é tal que
a1,α(a1),α2(a1), . . . ,αr1−1(a1)
são todos distintos eαr1(a1) =a1.
Dessa forma, teremos que a restrição deα ao conjunto
{a1,α(a1),α2(a1), . . . ,αr1−1(a1)}
é tal que
γ1:=α|{a1,α(a1),α2(a1),...,αr1−1(a1)}=
(
Observe que γ1 é um r1-ciclo. Se tivermos que a restrição de α ao complementar de
{a1,α(a1),α2(a1), . . . ,αr1−1(a1)} é a identidade então α =γ1. Caso contrário, tomaremos
a2 ∈ {1,2, . . . ,n} − {a1,α(a1),α2(a1), . . . ,αr1−1(a1)} tal que α(a2) ̸= a2. Utilizando um
processo análogo ao anterior para um inteiror2≥2 teremos que
γ2:=α|{a2,α(a2),α2(a2),...,αr2−1(a 2)}=
(
a2,α(a2),α2(a2), . . . ,αr2−1(a2)).
Se a restrição deα ao complementar do conjunto
{a1,α(a1),α2(a1), . . . ,αr1−1(a1),a2,α(a2),α2(a2), . . . ,αr2−1(a2)}
for a identidade, comoγ1 eγ2 são disjuntos, entção α =γ1γ2=γ2γ1. Caso não seja verdade
tomaremos um
a3∈ {1,2, . . . ,n} − {a1,α(a1),α2(a1), . . . ,αr1−1(a1),a2,α(a2),α2(a2), . . . ,αr2−1(a2)}
tal queα(a3)̸=a3 e iremos fazer o mesmo processo anterior. Observe que agora teremos um
número finito de etapas para o processo anterior, pois o nosso conjunto é finito. Com isso, iremos obter que
α =γ1γ2. . .γt
ondeγ1,γ2, . . . ,γt são ciclos disjuntos de comprimento maior do que um.
Para a unicidade, tome α = σ1σ2. . .σs com σi,1 ≤ i ≤ s, ciclos
disjuntos com comprimento maior ou igual do que dois. Como
σ1. . .σs(a1) = α(a1) ̸=a1 e os ciclos σi’s são disjuntos então existe apenas um ciclo σj
tal queσj(a1) =α(a1). Já que os ciclos comutam entre si, sem perda de generalidade, suponha
que j= 1. Consequentemente σ(a1) = α(a1). Mostremos que σ1 =γ1. Como o ciclo σ1
não fixaα(a1), pois σ mandaa1 sobre α(a1), e os σi’s são ciclos disjuntos então, para todo j ≥2,σj deixa α(a1) fixo. Portanto α(α(a1)) =σ1(α(a1)), ou seja, σ1(α(a1)) =α2(a1).
De forma análoga obtemos que σ1(αk−1(a1))=αk(a1), para todok ≥0, e concluímos que
σ1=γ1. De forma semelhante, mas coma2, obtemosσ2=γ2. Continuando o processo teremos
ques=t e, a menos de ordem, queγj=σj, para 1≤ j≤t.
Corolário 1.11 Cada elemento de Sn pode ser escrito com um produto (não necessariamente disjuntos) de transposições.
