1.1 Grupos e Subgrupos

(1)

Cap´ıtulo 1

Parte 1

1.1.1 Opera¸

c˜

oes bin´

arias

Defini¸cão 1.1.1. Umaopera¸cão binária∗ sobre um conjuntoSé uma fun¸cão deS×S

em S, ∗:S ×S → S. Para cada (a, b) ∈ S×S, denotaremos o elemento ∗((a, b)) de S

por a∗b.

Defini¸cão 1.1.2. Sejam∗uma opera¸cão binária sobre um conjuntoSeHum subconjunto de S. Dizemos que o subconjunto H é fechado pela opera¸cão binária ∗ se para todo

(a, b)∈H também vale que a∗b∈H. Nesse caso a opera¸cão binária sobre H dada pela restri¸cão de ∗ a H é a opera¸cão induzidade ∗ sobre H.

Defini¸cão 1.1.3. Uma opera¸cão binária∗ sobre um conjuntoS é chamada comutativa se

a ∗ b = b ∗ a para todo a, b∈S.

Defini¸cão 1.1.4. Uma opera¸cão binária∗ sobre um conjuntoS é chamadaassociativa se

(a∗b)∗c=a∗(b∗c) para todo a, b, c∈S.

Teorema 1.1.5. Sejam S um conjunto e f, g, h fun¸c˜os de S em S. Ent˜ao f ◦(g◦h) = (f ◦g)◦h.

1.1.2 Estruturas bin´

arias isomorfas

Uma estrutura binária algébricahS,∗ié um conjunto S junto com uma opera¸cão binária ∗ sobre S.

(2)

Defini¸c˜ao 1.1.6. SejamhS,∗iehS′

,∗′

iduas estruturas bin´arias alg´ebricas. Um isomor-fismo de S com S′

´e uma aplica¸c˜ao bijetora φ:S →S′

tal que

φ(x∗y) =φ(x)∗′

φ(y) para todo x, y∈S. (1.1)

Se talφexiste, ent˜aoSeS′

são estruturas binárias isomorfas. Denotamos isto porS ∼=S′ , omitindo as opera¸cões envolvidas.

A propriedade dada em (1.1) ´e chamadapropriedade do homomorfismo.

Defini¸cão 1.1.7. SejahS,∗iuma estrutura binária. Um elementoedeS é umelemento identidade para ∗ se e∗s=s∗e=s, para todo s∈S.

Teorema 1.1.8 (Unicidade do elemento identidade). Uma estrutura bin´aria hS,∗i tem no m´aximo um elemento identidade.

Teorema 1.1.9. Suponhamos quehS,∗item um elemento identidadeepara∗. Seφ:S → S′

´e um isomorfismo de hS,∗i com hS′

,∗′

i, então φ(e) é um elemento identidade para a opera¸cão binária ∗′

sobre S′ .

1.1.3 Grupos

Defini¸cão 1.1.10. Umgrupo hG,∗ié um conjunto G, fechado pela opera¸cão binária ∗, tal que os seguintes axiomas são satisfeitos:

1. Para todoa, b, c∈G vale

(a∗b)∗c=a∗(b∗c).associatividade de ∗

2. Existe um elemento e∈G tal que para todo x∈G,

e∗x=x∗e=x. elemento identidadee para∗

3. Para todo elemento a∈G, existe um elemento a′

∈G tal que

a′

∗a=a∗a′

=e. inversoa′ de a

Defini¸cão 1.1.11. Um grupo Gé abeliano se sua opera¸cão binária é comutativa.

(3)

1.1 Grupos e Subgrupos 3

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos quea∗b=a∗c. Ent˜ao, existe inverso dea,a′

, tal que

a′

∗(a∗b) =a′

∗(a∗c).

Pela lei associativa,

(a′

∗a)∗b= (a′

∗a)∗c.

Pela defini¸c˜ao de inverso a′

∗a=e, portanto

e∗b=e∗c.

Assim, pela defini¸c˜ao de elemento identidade segue que

b=c.

Similarmente, deb∗a=c∗apodemos deduzir que b=c.

A seguir provaremos que uma “equa¸cão linear” em um grupo tem umaúnica solu¸cão.

Teorema 1.1.13. Sejam G um grupo com opera¸cão binária ∗ ea, b elementos quaisquer de G. Então as equa¸cões lineares a∗x=b ey∗a=b tem solu¸cões únicas x e y em G.

Demonstra¸cão. Primeiro mostremos a existência de pelo menos uma solu¸cão mostrando que a′

∗b´e uma solu¸c˜ao de a∗x=b. Notemos que

a∗(a′

∗b) = (a∗a′

)∗b lei associativa,

=e∗b defini¸c˜ao de a′

=b propriedade de e.

Assim,x=a′

∗b´e uma solu¸c˜ao dea∗x=b. De forma similar pode-se provar quey=b∗a′

´e uma solu¸c˜ao dey∗a=b.

Para mostrar a unicidade dey, usamos o método de assumir que temos duas solu¸cões, digamos y1 e y2, tais que y1 ∗a = b e y2 ∗a = b. Então y1∗a = y2 ∗a, e assim pelo Teorema1.1.12 segue que y1=y2. A unicidade dex é provada de forma similar.

Teorema 1.1.14. Em um grupo G com opera¸cão binária ∗ existe um único elemento e

em G tal que

e∗x=x∗e=x

para todo x ∈ G. Similarmente, para todo a ∈G, existe um ´unico elemento a′

em G tal que

a′

∗a=a∗a′

(4)

Demonstra¸cão. O Teorema1.1.8mostra que um elemento identidade para uma estrutura binária é único.

Vejamos a unicidade do elemento inverso. Suponhamos que a ∈ G tem inversos a′

e a′′

tais quea′

∗a=a∗a′

=ee a′′

∗a=a∗a′′

=e. Ent˜ao

a∗a′′

=a∗a′

=e

e pelo Teorema 1.1.8

a′′

=a′

,

portanto o inverso ´e ´unico.

Notemos que em um grupoG, temos

(a∗b)∗(b′

∗a′

) =a∗(b∗b′

)∗a′

= (a∗e)∗a′

=a∗a′

=e.

Essa equa¸c˜ao junto com o Teorema1.1.14mostra queb′

∗a′

é o único inverso dea∗b. Isto é, para todoa, b∈Gtemos que (a∗b)′

=b′

∗a′

. Enunciamos isto como um corol´ario.

Corol´ario 1.1.15. Seja G um grupo. Para todoa, b∈G temos que (a∗b)′

=b′

∗a′ .

Dado que para todo elemento ade um grupo G o elemento inverso ´e ´unico o denota-remos por a−1_.

Sejanum inteiro positivo. Sea´e um elemento de um grupoG, escrito multiplicativa-mente, denotamos o produtoaaa· · ·a, denfatores dea, poran_{. Seja}_a0₌_e_{e denotemos} o produto a−1_a−1_a−1_{· · ·}_a−1_{, de} _n _{fatores de} _a−1_{, por} _a−n_{. Com isto ´e claro que as leis}

usuais de expoentes s˜ao v´alidas.

Defini¸cão 1.1.16. Seja G é um grupo. A ordem de G, denotada por |G|, é o número de elementos em G.

1.1.4 Subgrupos

Defini¸cão 1.1.17. Se um subconjunto H de um grupoG é fechado pela opera¸cão binária de G e se H com a opera¸cão induzida de G é por sua vez um grupo, então H é um subgrupo deG. Denotaremos isto porH ≤GouG≥H, eH < Gou G > H seH ≤G

eH 6=G.

Defini¸cão 1.1.18.SejaGé um grupo. O subgrupoGé chamado desubgrupo impróprio deG. Todos os outros subgrupos são chamados de subgrupos próprios. O subgrupo{e}

(5)

Teorema 1.1.19. Um subconjunto H de um grupo G´e um subgrupo de G se, e somente se,

1. H é fechado pela opera¸cão binária de G,

2. o elemento identidade ede G pertence a H,

3. para todo a∈H, a−1_∈_H_.

Demonstra¸c˜ao. Exerc´ıcio.

Subgrupos c´ıclicos

Vejamos como deve ser um subgrupoHdeZ12que contenha o elemento 3. Tal subgrupo deve conter o elemento identidade 0 e 3 + 3, que é 6. Então ele deve conter 6 + 3, que é 9. Notemos que o inverso de 3 é 9 e o inverso de 6 é 6. Pode-se verificar que H={0,3,6,9} é um subgrupo deZ12 e este é o menor subgrupo deZ12 que contém 3.

Teorema 1.1.20. Sejam G um grupo e a∈G. Ent˜ao

H ={an | n∈Z}

é um subgrupo deG e é o menor subgrupo deG que contéma, isto é, todo subgrupo de G

contendo a, tamb´em cont´em H.

Demonstra¸c˜ao. Vamos usar o Teorema1.1.19para provar que H´e subgrupo deG. Como ar_as₌_ar+s_para _{r, s}_∈ _Z _{vemos que o produto em}_G _{de dois elementos de}_H _{pertence a}

H. AssimHé fechado pela opera¸cão de grupo deG. Também vemos quea0₌_{e, portanto} e ∈ H, e para todo ar _∈ _H, _a−r _∈ _H _e _a−r_ar ₌ _{e. Logo, todas as propriedades são}

verificadas e assimH ≤G. Notemos que, se K ´e subgrupo de G e a∈K, ent˜ao an _deve

pertencer a K, com n∈Z. Logo,H ≤K.

Defini¸cão 1.1.21. SejamG um grupo e a∈G. Então o subgrupo {an _| _n_∈_Z_} _de_G _do Teorema 1.1.20é chamado o subgrupo c´ıclico de G gerado por a, denotado por hai.

Defini¸cão 1.1.22. Um elemento a de um grupo G gera G e é chamado um gerador para G se hai=G. Um grupoG é c´ıclico se existe algum elemento a∈G que gera G.

Exemplo 1.1.23. O grupo Z4 é c´ıclico enquanto o grupo 4 de Klein V não é c´ıclico.

Exemplo 1.1.24. O grupo Z, com opera¸cão soma, é um grupo c´ıclico. Os números 1

e −1 são ambos geradores para este grupo, e estes são os únicos geradores de Z. Para

n∈ Z+, o grupo Zn com opera¸cão soma módulo n é um grupo c´ıclico. Se n > 1 então 1 en−1 são ambos geradores, mas podem existir outros geradores.

(6)

1.1.5 Grupos c´ıclicos

Se o subgrupo c´ıclico haide Gé finito, então a ordem de aé a ordem do subgrupo c´ıclico |hai|. Caso contrário diremos queaé deordem infinita.

Teorema 1.1.26. Todo grupo c´ıclico ´e abeliano.

Demonstra¸c˜ao. SejamGum grupo c´ıclico e aum gerador deGtal que

G=hai={an | n∈Z}.

Seg1 eg2 s˜ao quaisquer dois elementos deG, ent˜ao existem inteirosr estais queg1=ar

e g2=as_{. Ent˜ao}

g1g2=ar_as₌_ar+s₌_as+r ₌_as_ar ₌_g2g1,

portanto G´e abeliano.

Algoritmo da divisão em Z. Se m é um inteiro positivo e n é qualquer inteiro, então existem únicos inteiros q e r tais que

n=mq+r e 0≤r < m.

Usando a nota¸cão do algoritmo da divisão chamamos q o quociente e r o resto (não negativo) quando né dividido por m.

Teorema 1.1.27. Um subgrupo de um grupo c´ıclico ´e c´ıclico.

Demonstra¸cão. Sejam G um grupo c´ıclico gerado por a e H um subgrupo de G. Se H = {e}, então H é c´ıclico. Se H 6= {e}, então an _∈ _H _{para algum} _n _∈ _Z+_{. Seja} _m _o menor inteiro em Z+ _{tal que}_am_∈_H.

Provemos que H = ham_i ₌ _h_c_i_{, com} _c ₌ _am_{, isto ´e, provemos que} _c ₌ _am _gera _H.

Devemos provar que todob∈Hé uma potência dec. Comob∈H eH≤G, entãob=an

para algum inteiro positivon. Peloalgoritmo da divis˜ao existem inteirosq er tais que

n=mq+r com 0≤r < m.

Ent˜ao

an=amq+r = (am)qar

e assim

ar = ( am

|{z} ∈H

)−q

| {z } ∈H

an

|{z} ∈H

.

(7)

Comom´e o menor inteiro positivo tal queam_∈_H_{e 0}_≤_{r < m, ent˜ao necessariamente}

r = 0. Assim,n=qm e

b=an = (am)q =cq,

portanto b´e uma potˆencia de c.

Corol´ario 1.1.28. Os subgrupos de Z com a soma s˜ao precisamente os grupos nZ sob a soma, para n∈Z.

Demonstra¸cão. Pelo Teorema1.1.27 todo subgrupo de Zé c´ıclico e dado n∈Z qualquer o subgrupo hnié justamente nZ.

Sejam r e s inteiros positivos. Pode-se provar que H = {nr+ms | n, m∈Z} ´e um subgrupo deZ com a opera¸c˜ao usual de soma, +.

Defini¸c˜ao 1.1.29. Sejam r e s dois inteiros positivos. O gerador positivo d do grupo c´ıclico

H ={nr+ms | n, m∈Z}

sob a soma ´e o m´aximo divisor comum (mdc) der es. Escrevemos d=mdc(r, s).

Defini¸cão 1.1.30. Dois inteiros positivos são relativamente primosse seu mdcé 1.

Ser e ss˜ao relativamente primos e se r dividesm, ent˜aor deve dividirm.

Teorema 1.1.31. Seja G um grupo c´ıclico com gerador a. Se a ordem de G é infinita, então G é isomorfo ahZ,+i. Se G tem ordem finita n, então Gé isomorfo a hZn,+ni.

Demonstra¸c˜ao. Caso I Para todo inteiro positivo m, am ₆₌ _{e. Neste caso afirmamos}

que dois expoentes distintos h e k n˜ao podem dar elementos iguais ah _e _ak _de _{G. Por}

contradi¸c˜ao, vamos assumir queah₌_ak _{e sem perda de generalidade digamos que}_{k > k.}

Ent˜ao

aha−k =ah−k =e.

Mas isto contradiz nossa hipótese inicial. Logo, todo elemento deGpode ser escrito como am _{para um ´}_unico _m _∈ _Z_{. A aplica¸cão} _φ_:_G _→ _Z _{dada por} _φ(ai_{) =} _i _{é bem definida,}

injetiva e sobrejetiva. Al´em disso

φ(aiaj) =φ(ai+j) =i+j=φ(ai) +φ(aj),

e portanto a propriedade do homomorfismo ´e verificada eφ´e um isomorfismo.

Caso IIam₌_e_{para algum inteiro positivo}_{m. Seja}_n_{o menor inteiro positivo tal que}

an ₌_{e. Se} _s_∈ _Z _e _s₌_nq₊_{r, com 0}_≤ _{r < n, ent˜ao} _as ₌_anq+r _{= (a}n₎q_ar ₌ _eq_ar ₌_ar_.

Como no Caso I, se 0 < k < h < n e ah ₌ _ak_{, ent˜ao} _ah−k ₌ _e _{e 0} _{< h}₋_{k < n,}

contradizendo nossa escolha den. Assim, os elementos

(8)

s˜ao todos distintos e eles formam todos os elementos deG. A aplica¸c˜aoψ:G→Zn dada

por ψ(ai_{) =} _{i, para} _i _{= 0,}_1,_{2, . . . , n}₋_{1 ´e bem definida, injetiva e sobrejetiva. Como}

an₌_{e, vemos que} _ai_aj ₌_ak_{, com} _k₌_i₊

nj. Assim

ψ(aiaj) =i+nj=ψ(ai) +nψ(aj),

e portanto a propriedade do homomorfismo ´e verificada eψ ´e um isomorfismo.

Teorema 1.1.32. Seja G um grupo c´ıclico com n elementos e gerador a. Seja b ∈ G o elementob=as_{. Ent˜ao}_b _{gera um subgrupo c´ıclico}_H _de _G_contendo _n/d_{elementos, com}

d=mdc(n, s). Tamb´em vale que has_i₌_h_at_i_{se, e somente se,} _{mdc(s, n) =}_{mdc(t, n)}_.

Demonstra¸c˜ao. Pelo Teorema 1.1.20 sabemos que b gera um subgrupo c´ıclico H de G. Precisamos provar queHtemn/delementos. Seguindo a ideia da demostra¸c˜ao do Teorema

1.1.31 sabemos que H tem tantos elementos como o menor inteiro positivo m tal que bm₌_{e. Agora,} _b₌_as _e _bm₌_e_{se, e somente se, (a}s₎m₌_{e, ou se, e somente se,} _n_divide

ms. Seja d=mdc(n, s). Existem inteiros u e v tais que

d=un+vs.

Assim,

1 =u(n d) +v(

s d),

onde ambos n/de s/ds˜ao inteiros. Observe que mdc(n/d, s/d) = 1. Queremos encontrar o menor inteirom tal que

ms

n =

m(s/d)

(n/d) ´e um inteiro.

Comomdc(n/d, s/d) = 1 então necessariamente n/ddeve dividir m. Logo, o menor talm én/d. Assim a ordem deH én/d. Notemos queZn é um grupo c´ıclico de ordemn, e sed

é um divisor den, então o grupo c´ıclico hdideZn temn/d elementos e contém todos os

inteiros positivosm menores do quene tais quemdc(m, n) =d. Logo, existe unicamente um subgrupo de Zn de ordem n/d. Daqui segue que se G ´e um grupo de ordem n com

gerador a, ent˜ao has_i₌_h_at_i_{se, e somente se,} _{mdc(n, s) =}_{mdc(n, t).}

Exemplo 1.1.33. • hZ12,+12i, h3i={0,3,6,9}.

• hZ12,+12i, h8i={0,4,8}.

O pr´oximo corol´ario segue imediatamente do Teorema 1.1.32.

Corolário 1.1.34. Se aé um gerador de um grupo c´ıclico finito G de ordemn, então os outros geradores de G são os elementos da forma ar_{, com}_r _{relativamente primo a} _n_.

(9)

1.2 Grupos de permutac¸ ˜oes e o Teorema de Lagrange 9

Exemplo 1.1.36. Encontremos os subgrupos de Z18. Pelo Corol´ario 1.1.34 sabemos que

os elementos1,5,7,11,13e17s˜ao geradores de Z18. Assim, temos os seguintes subgrupos

de Z18. Notemos que h1i=Z18.

• h2i={0,2,4,6,8,10,12,14,16},|h2i|= 9e com poss´ıveis geradores2,4,8,10,14,16.

• h3i={0,3,6,9,12,15}, |h3i|= 6, poss´ıveis geradores3,15.

• h6i={0,6,12}, |h6i|= 3, poss´ıveis geradores6,12.

• h9i={0,9}, |h9i|= 2, gerador9.

A seguir mostramos o diagrama de subgrupos:

h1i

h2i h3i

h6i h9i

h0i

1.2 Grupos de permuta¸

c˜

oes e o Teorema de Lagrange

1.2.1 Grupos de permuta¸

c˜

oes

Defini¸cão 1.2.1. Uma permuta¸cão de um conjunto Aé uma fun¸cãoφ:A→A que é injetiva e sobrejetiva.

Vejamos como é a multiplica¸cão de permuta¸cões. Seja A um conjunto e sejam σ e τ permuta¸cões de A. Como composi¸cão de bije¸cões é por sua vez bije¸cão, então a fun¸cão composta σ◦τ:A→Aé uma permuta¸cão de A

A→τ A→σ A.

Exemplo 1.2.2. Consideremos A = {1,2,3,4,5} e a permuta¸c˜ao σ: A → A, dada por

17→4,27→2,37→5,47→3e57→1. Em geral é usada a seguinte nota¸cão mais estandar para permuta¸cões:

σ= 1 2 3 4 5

4 2 5 3 1

(10)

Consideremos a seguinte permuta¸c˜ao de A, τ, dada por

τ = 1 2 3 4 5

3 5 4 2 1

!

Isto ´e,τ(1) = 3, τ(2) = 5, etc. Sendo assim, temos que

στ = 1 2 3 4 5

4 2 5 3 1

!

1 2 3 4 5 3 5 4 2 1

!

= 1 2 3 4 5

5 1 3 2 4

!

Ou tamb´em(στ)(1) =σ(τ(1)) =σ(3) = 5, etc.

Teorema 1.2.3. Sejam A um conjunto na vazio e SA a cole¸cão de todas as permuta¸cões de A. Então SA é um grupo sob a multiplica¸cão de permuta¸cões.

Demonstra¸cão. Já vimos que SA é fechado sob a multiplica¸cão de permuta¸cões. Pelo

Teorema 1.1.5 sabemos que composi¸cão de fun¸cões é associativo. A permuta¸cão ι tal que ι(a) = a, para todo a ∈ A, é o elemento identidade. O elemento inverso de uma permuta¸cão σ:A→Aé a bije¸cão inversa, σ−1_:_A_→_A.

Observa¸c˜ao 1.2.4. Note queA n˜ao precisa ser finito.

Observa¸c˜ao 1.2.5. Alguns livros computam o produto de permuta¸c˜oes στ de esquerda a direita: (a)(στ) = ((a)σ)τ.

Vejamos na continua¸c˜ao alguns exemplos.

Exemplo 1.2.6. O grupo S3 de permuta¸c˜oes de3 elementos. Seja A={1,2,3}. Sejam

ρ0= 1 2 3

1 2 3

!

, ρ1= 1 2 3

2 3 1

!

, ρ2 = 1 2 3

3 1 2

!

µ1= 1 2 3

1 3 2

!

, µ2= 1 2 3

3 2 1

!

, µ3 = 1 2 3

2 1 3

!

tabela!!!

Observamos que este grupo não é abeliano e é o menor grupo com esta propriedade.

Observa¸cão 1.2.7. Existe uma correspondência natural entre os elementos de S3 e as formas em que duas cópias de um triângulo equilátero com vértices 1,2 e 3 podem ser superpostas, uma cobrindo a outra com vértices sobre vértices.

(11)

Exemplo 1.2.8. O quarto grupo dihedral, denotado por D4, formado pelas sime-trias de um quadrado. Se enumeramos os v´ertices do quadrado com os n´umeros 1,2,3,4

podemos listar os elementos de D4:

ρ0= 1 2 3 4

1 2 3 4

!

, ρ1 = 1 2 3 4

2 3 4 1

!

,

ρ2= 1 2 3 4

3 4 1 2

!

, ρ3 = 1 2 3 4

4 1 2 3

!

,

µ1= 1 2 3 4

2 1 4 3

!

, µ2= 1 2 3 4

4 3 2 1

!

,

δ1= 1 2 3 4

3 2 1 4

!

, δ2= 1 2 3 4

1 4 3 2

!

D4

{ρ0, ρ2, µ1, µ2} {ρ0, ρ1, ρ2, ρ3} {ρ0, ρ2, δ1, δ2}

{ρ0, µ1} {ρ0, µ2} {ρ0, ρ2} {ρ0, δ1} {ρ0, δ2}

{ρ0}

Notamos que D4 é um grupo não abeliano, de ordem 8, e não isomorfo aS4.

Exemplo 1.2.9. O grupo dos quatˆernios, denotado por Q8, ´e um grupo com 8 ele-mentos

Q8={±1,±i,±j,±k}.

O elemento identidade é o 1. As opera¸cões no grupo são dadas por

(12)

Q8

{1, i,−1,−i} {1, j,−1,−j} {1, k,−1,−k}

{1,−1}

{1}

Observa¸cão 1.2.10. Os grupos D4 eQ8, de ordem 8, não são isomorfos (porque?). A menos de isomorfismo existem 5 grupos de ordem 8, entre os quais conhecemos os grupos Z8, D4 e Q8.

1.2.2 Orbitas, ciclos e grupos alternados

´

Defini¸cão 1.2.11. Sejam f: A→B uma fun¸cão qualquer eH um subconjunto de A. A imagem de H sobf é o conjunto{f(h)∈B | h∈H} e é denotado por f(H).

Lema 1.2.12. Sejam G e G′ _{grupos e} _ϕ_: _G_→ _G′ _{uma fun¸c˜ao injetiva tal que} _{ϕ(xy) =}

ϕ(x)ϕ(y), para todo x, y ∈ G. Ent˜ao ϕ(G) ´e um subgrupo de G′

e ϕ: G → ϕ(G) ´e um isomorfismo.

Teorema 1.2.13 (Teorema de Cayley). Todo grupo ´e isomorfo a um grupo de per-muta¸c˜oes.

Demonstra¸c˜ao. Seja G um grupo. Mostremos que G ´e isomorfo a um subgrupo de SG.

Pelo Lema 1.2.12 precisamos apenas definir uma fun¸c˜ao injetiva ϕ: G → SG tal que

ϕ(xy) =ϕ(x)ϕ(y), para todox, y∈G.

Dado x ∈G, seja λx:G →G a aplica¸c˜ao definida por λx(g) =xg, para todo g ∈G.

A equa¸c˜ao λx(x−1c) = x(x−1c) = c, v´alida para todo c ∈ G, mostra que λx(G) = G. Se

λx(a) = λx(b), ent˜ao xa = xb e portanto a = b, por cancelamento, assim λx ´e injetora.

Logo,λx´e uma permuta¸c˜ao de G.

Definimos ϕ: G → SG por ϕ(x) = λx, para todo x ∈ G. Vamos mostrar que ϕ ´e

injetora. Suponhamos que ϕ(x) = ϕ(y). Ent˜ao λx = λy como fun¸c˜oes de G em G. Em

particular,λx(e) =λy(e). Portantox·e=y·e, isto ´e,x=y, e portantoϕ´e injetora. Falta

mostrar que ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), isto ´e, mostrar que λxy = λxλy. Agora, para qualquer

g∈G, temos

(13)

Lembremos que multiplica¸cão de permuta¸cões é composi¸cão de fun¸cões, portanto

(λxλy)(g) =λx(λy(g)) =λx(yg).

Logo,λxy=λxλy.

SejamAum conjunto qualquer eσuma permuta¸c˜ao deA. Para todoa, b∈Adefinimos a seguinte rela¸c˜ao:

a∼b se, e somente se,b=σn(a) para algumn∈Z. (1.2)

∼é uma rela¸cão de equivalência:

• Reflexiva: a=σ0 ₌_{a, logo} _a_∼_a.

• Sim´etrica: Sea∼b, ent˜ao b=σn_{(a), para algum} _n_∈ _Z_{. Assim,}_a₌_σ−n_{(b), com}

−n∈Z. Logo b∼a.

• Transitiva: Suponhamos que a ∼ b e b ∼ c, ent˜ao b = σn_{(a) e} _c ₌ _σm_{(b), para}

alguns n, m∈Z. Substituindo:

c=σm(σn(a)) =σmσn(a) =σm+n(a).

Portanto, a∼c.

Defini¸cão 1.2.14. Seja σ uma permuta¸cão de um conjuntoA. As classes de equivalência em A determinadas pela rela¸cão de equivalência ∼ dada em (1.2) são asórbitas de σ.

Exemplo 1.2.15. Como a permuta¸cão identidade deA,ι, deixa todo elemento deA fixo, as órbitas de ιsão os subconjuntos unitários de A.

Exemplo 1.2.16. Considere a permuta¸c˜ao de S3

µ3= 1 2 3

2 1 3

!

Nesse caso as ´orbitas de σ s˜ao{1,2} e{3}.

Defini¸cão 1.2.17. Uma permuta¸cão σ ∈ Sn é um ciclo se tem no máximo uma órbita que contém mais do que um elemento. O comprimento de um ciclo é o número de elementos na sua maior órbita.

Exemplo de Nota¸c˜ao c´ıclica:

1 2 3 4 5 3 2 5 1 4

!

(14)

Note que

(1,3,5,4) = (3,5,4,1) = (5,4,1,3) = (4,1,3,5).

Defini¸cão 1.2.18. Dizemos que dois ciclos sãodisjuntos se eles não tem elementos em comum.

Exemplo 1.2.19. Uma permuta¸c˜ao de S8 descrita como produto de ciclos:

1 2 3 4 5 6 7 8

3 1 6 7 5 2 8 4

!

= (1,3,6,2)(4,7,8)(5).

Teorema 1.2.20. Toda permuta¸c˜ao σ de um conjunto finito ´e um produto de ciclos disjuntos.

Demonstra¸c˜ao. SejamB1, B2, , . . . , Br as ´orbitas deσ, e seja µi o ciclo definido por

µi(x) = (

σ(x), para x∈Bi

x, nos outros casos.

Claramenteσ=µ1µ2· · ·µr. Como as classes de equivalência de órbitasB1, B2, . . . , Br são

disjuntas (pois são classes distintas), então os ciclos µ1, µ2,· · ·, µr também são disjuntos.

Observa¸cão 1.2.21. Multiplica¸cão de ciclos disjuntos é comutativo.

Defini¸cão 1.2.22. Um ciclo de comprimento 2é chamado de transposi¸cão.

Note que

(a1, a2, . . . , an) = (a1, an)(a1, an−1)· · ·(a1, a3)(a1, a2).

Corolário 1.2.23. Qualquer permuta¸cão de um conjunto finito, com pelo menos dois elementos, é um produto de transposi¸cões.

Exemplo 1.2.24.

1 2 3 4 5 6 7 8

3 1 6 7 5 2 8 4

!

= (1,3,6,2)(4,7,8)(5) = (1,3)(1,6)(1,2)(4,7)(4,8).

Teorema 1.2.25. Nenhuma permuta¸cão emSn pode ser descrita, simultaneamente, como um produto de um número par e um número ´ımpar de transposi¸cões.

Defini¸cão 1.2.26. Uma permuta¸cão de um conjunto finito é chamada de par (resp. ´ımpar) se pode ser descrita como um n´umero par (resp. ´ımpar) de transposi¸cões.

Exemplo 1.2.27. 1. ι= (1,2)(1,2)´e par.

(15)

3. (1,3,6,2)(4,7,8)(5) = (1,3)(1,6)(1,2)(4,7)(4,8)´e uma permuta¸c˜ao ´ımpar.

Teorema 1.2.28. Sejan≥2. O conjunto formado pelas permuta¸c˜oes pares de{1,2,3, . . . , n}

forma um subgrupo de ordem n₂! do grupo sim´etrico Sn.

Demonstra¸cão. Notemos que o produto de duas permuta¸cões pares é por sua vez par. Comon≥2 entãoSn contém (1,2) eι= (1,2)(1,2) é uma permuta¸cão par. Seσ é escrito

como um produto par de transposi¸cões, o produto das mesmas transposi¸cões tomadas na ordem reversa éσ−1_{. Assim, se}_σ _{é uma permuta¸cão par, então}_σ−1 _{deve ser também par.} Logo, o conjunto formado pelas permuta¸cões pares de{1,2,3, . . . , n} forma um subgrupo do grupo simétrico Sn.

Denotemos o conjunto formado pelas permuta¸c˜oes pares de {1,2,3, . . . , n} por An e

o conjunto formado pelas permuta¸c˜oes ´ımpares de {1,2,3, . . . , n} por Bn. Vejamos que

An tem ordem n₂!. Para provar isto, provemos que existe uma bije¸c˜ao entreAn e Bn. Seja

τ = (1,2)∈Sn. Definamosλτ: An →Bn, porλτ(σ) =τ σ. É fácil verificar queλτ é uma

bije¸c˜ao. Com isto temos que|An|= n₂!, pois |Sn|=n!.

Defini¸cão 1.2.29. O subgrupo de Sn formado pelas permuta¸cões pares é chamado de grupo alternado em n letras e é denotado por An.

1.2.3 O Teorema de Lagrange

Provavelmente já foi observado que a ordem de um subgrupo H, de um grupo finito G, divide a ordem do grupo G. Esse é o chamadoTeorema de Lagrange. Para provar isto precisaremos do conceito declasses laterais, que também será usado no estudo de grupos quocientes.

Classes laterais

Teorema 1.2.30. Seja H um subgrupo de um grupoG. Definamos a rela¸c˜ao ∼L sobre G por

a∼L b se, e somente se, a−1b∈H.

Definamos a rela¸c˜ao ∼R sobre G por

a∼Rb se, e somente se, ab−1∈H.

Então a∼L b ea∼Rb são, ambas, rela¸cões de equivalência sobre G.

Demonstra¸c˜ao. Exerc´ıcio (fa¸ca uso do fato que H≤G).

A rela¸cão de equivalência∼L do Teorema1.2.30define uma parti¸cão em G.

(16)

os x ∈ G tais que a−1_x _∈ _{H. Mas,} _a−1_x _∈ _H _{se, e somente se,} _a−1_x ₌ _h _{para algum} h ∈ H, ou equivalentemente, se, e somente se, x = ah para algum h ∈ H. Portanto a c´elula contendo a´e

aH ={ah | h∈H}.

Similarmente, para ∼R, donde

Ha={ha | h∈H}.

Notemos que como G não é necessariamente abeliano, então não necessariamente aH = Ha.

Defini¸c˜ao 1.2.31.SejaHum subgrupo de um grupoG. O subconjuntoaH ={ah | h∈H}

de G ´e a classe lateral `a esquerda de H contendo a, enquanto o subconjunto

Ha={ha | h∈H} de G´e a classe lateral `a direita de H contendo a.

Exemplo 1.2.32. Vamos exibir as classes laterais `a esquerda e `a direita do subgrupo3Z

de Z.

A nota¸cão é aditiva, portanto a classe lateral à esquerda de 3Z contendo mé m+ 3Z

m+ 3Z={· · · , m−9, m−6, m−3, m, m+ 3, m+ 6, m+ 9,· · ·}.

Observamos que comoZé abeliano então as classes laterais à esquerda e à direita são iguais.

Observa¸cão 1.2.33. Para um subgrupo H de um grupo abeliano G, a parti¸cão de G em classes laterais à esquerda de H e a parti¸cão de Gem classes laterais à direita de H são iguais.

Exemplo 1.2.34. As classes laterais (`a esquerda e direita) de H ={0,3} em Z6 s˜ao

H={0,3}, 1 +H ={1,4}, 2 +H ={2,5}.

Exemplo 1.2.35. As classes laterais `a esquerda de H=hµ1i={ρ0, µ1} em S3 s˜ao

H = {ρ0, µ1}

ρ1H = {ρ1ρ0, ρ1µ1}={ρ1, µ3} ρ2H = {ρ2ρ0, ρ2µ1}={ρ2, µ2}.

As classes laterais `a direita de H =hµ1i={ρ0, µ1} em S3 s˜ao

H = {ρ0, µ1}

(17)

Observa¸cão 1.2.36. Toda classe lateral (à esquerda ou à direita) de um subgrupo H

de um grupo G tem o mesmo número de elementos que H. Para provar isto (no caso de classe lateral à esquerda) basta definir a bije¸cão natural φ:H → gH, h 7→ gh, para qualquer g∈G.

A seguir apresentamos o Teorema de Lagrange.

Teorema 1.2.37 (Teorema de Lagrange). Seja H um subgrupo de um grupo finito G. Ent˜ao a ordem de H ´e um divisor da ordem de G.

Demonstra¸cão. Seja n a ordem de G e suponhamos que H tem ordem m. Em vista da Observa¸cão 1.2.36 toda classe lateral de H também tem m elementos. Seja r o número de células na parti¸cão de Gem classes laterais à esquerda de H. Entãon=rm, portanto mé de fato um divisor de n.

Note que este importante teorema é provado usando a contagem de classes laterais e o número de elementos de cada classe lateral. Não devemos subestimar resultados que contam algo!.

Corol´ario 1.2.38. Todo grupo de ordem prima ´e c´ıclico.

Demonstra¸cão. SejamG um grupo de ordem prima p e a∈G,a6=e. Então o subgrupo c´ıclicohaideGgerado poratem pelo menos dois elementos,aee. Pelo Teorema1.2.37, a ordemm ≥2 de haideve dividir o primo p. Portanto, necessariamentem=p ehai=G. Logo,Gé c´ıclico.

Como todo grupo c´ıclico de ordemp´e isomorfo aZp, ent˜ao segue do resultado anterior

que existe uma ´unica estrutura de grupo, a menos de isomorfismo, de ordem prima p.

Teorema 1.2.39. A ordem de um elemento de um grupo finito divide a ordem do grupo. Demonstra¸cão. Lembremos que a ordem de um elemento é igual à ordem do subgrupo c´ıclico gerado pelo elemento. Sendo assim, a prova desse teorema segue imediatamente do Teorema de Lagrange (Teorema1.2.37).

Defini¸cão 1.2.40. Seja H um subgrupo de um grupo G. O número de classes laterais à esquerda deH em Gé o´ındice de H em G, denotado por(G:H) ou às vezes também por [G:H].

Observemos que o ´ındice (G : H) pode ser finito ou infinito. Se G é finito, então obviamente (G : H) é finito e (G : H) = |G|/|H|, já que cada classe lateral de H contém|H|elementos.

(18)

Exemplo 1.2.42. Considere 6Z≤ 2Z ≤ Z. Nesse caso, (Z : 2Z) = 2, (2Z : 6Z) = 3 e

(Z : 6Z) = 6.

O Teorema de Lagrange (Teorema1.2.37) mostra que se existe um subgrupoH de um grupo finito G, então a ordem de H divide a ordem de G. A rec´ıproca será verdadeira? Veremos na seguinte se¸cão que isto é verdade no caso de grupos abelianos. No entanto, pode ser provado que A4 não tem subgrupo de ordem 6, fornecendo um contra-exemplo no caso de grupos não abelianos.

1.2.4 Produtos diretos e grupos abelianos finitamente gerados

Defini¸cão 1.2.43. Oproduto cartesiano dos conjuntos S1, S2,· · ·, Sn é o conjunto formado por todas asn-uplas ordenadas (a1, a2,· · ·, an), comai∈Si, parai= 1,2,· · · , n. O produto cartesiano é denotado por

S1×S2× · · · ×Sn

ou por

n Y

i=1 Si.

Teorema 1.2.44. Sejam G1, G2,· · · , Gn grupos. Para (a1, a2,· · · , an) e (b1, b2,· · ·, bn) em Qn_i₌₁Gi, definamos(a1, a2,· · ·, an)(b1, b2,· · · , bn) como sendo o elemento

(a1b1, a2b2,· · ·, anbn).

EntãoQn_i₌₁Gi é um grupo, oproduto direto dos gruposGi, sob esta opera¸cão binária.

Demonstra¸c˜ao. Notemos que, para todoi= 1, . . . , n, ai ∈ Gi, bi ∈Gi, eGi ´e um grupo,

temos que aibi ∈ Gi. Como consequência Qn_i₌₁Gi é fechado pela opera¸cão binária. A lei

associativa em Qn_i₌₁Gi é válida em cada coordenada poisGi é um grupo. Se ei ∈Gi é o

elemento identidade, ent˜ao emQn_i₌₁Gi o elemento (e1, e2, . . . , en) ´e o elemento identidade.

Finalmente, dado (a1, a2, . . . , an) ∈ Qn_i₌₁Gi, o elemento (a−11, a

−1 2 , . . . , a

−1

n ) ´e o elemento

inverso. Logo Qn_i₌₁Gi´e um grupo.

Observa¸cão 1.2.45. Caso a opera¸cão de cadaGiseja comutativa poderemos usar nota¸cão aditiva em Qn_i₌₁Gi e nos referimos a Qn_i₌₁Gi como a soma direta dos grupos Gi. A nota¸cão⊕n

i=1Gié usada as vezes, ao invés da nota¸cão Qn

i=1Gi, especialmente com grupos

(19)

Exemplo 1.2.46. Consideremos o grupoZ2×Z3, de ordem 6. Podemos ver queZ2×Z3

´e c´ıclico, gerado por (1,1). Este grupo ´e isomorfo a Z6.

Exemplo 1.2.47. Consideremos o grupoG=Z2×Z2. Note queGtem ordem 4. Podemos

ver que Z2×Z2 não é c´ıclico. Este grupo é isomorfo ao grupo 4 de Klein.

Teorema 1.2.48. O grupo Zm×Zn ´e c´ıclico e ´e isomorfo a Zmn se, e somente se, m e

n são relativamente primos, isto é, se omcd de m en é 1.

Demonstra¸cão. Suponhamos que o grupo Zm×Zn é c´ıclico e é isomorfo a Zmn.

Supo-nhamos por absurdo que mdc(m, n) =d > 1. Entãomn/d é divis´ıvel por m e porn e é menor do quemn. Portanto, para qualquer par ordenado (r, s)∈Zm×Zn temos

(r, s) + (r, s) +· · ·+ (r, s)

| {z }

mn/dsomandos

= (0,0).

Portanto, nenhum elemento (r, s) emZm×Zn pode gerar o grupo inteiro. Logo,Zm×Zn

não é c´ıclico e não é isomorfo a Zmn o que é uma contradi¸cão.

Suponhamos quemdc(m, n) = 1. Consideremos o subgrupo c´ıclico deZm×Zn gerado

por (1,1). Lembremos que a ordem deste subgrupo c´ıclico ´e o menor inteiro positivo r tal que quando operarmos (1,1) com ele mesmo r vezes obtemos o elemento identidade (0,0). Notamos que o primeiro 1 no par ordenado (correspondente a Zm) ´e zero (0)

quando operado com ele mesmo (um m´ultiplo de) m vezes. Similarmente, o segundo 1 no par ordenado (correspondente a Zn) ´e zero (0) quando operado com ele mesmo (um

múltiplo de) n vezes. Portanto, para obter 0 de forma simultánea devemos operar (1,1) com ele mesmo um número de vezes que deve ser um múltiplo de me n. O menor inteiro positivo que é um múltiplo de m e n é mn se, e somente se, mdc(m, n) = 1. Como por hipótese mdc(m, n) = 1, então (1,1) gera um subgrupo c´ıclico de ordem mn, que é a ordem do grupoZm×Zn. PortantoZm×Zné c´ıclico de ordemmn e isomorfo aZmn pois

m e ns˜ao relativamente primos.

Este teorema pode ser estendido a um produto de mais de dois fatores usando o mesmo tipo de argumento. Escreveremos isto como um corol´ario.

Corolário 1.2.49. O grupo Qn_i₌₁Zmi é c´ıclico é isomorfo a Zm₁m₂···mn se, e somente se,

os números mi parai= 1, . . . , n são tais que omcd deles, dois a dois, é igual a 1.

Exemplo 1.2.50. O Corolário 1.2.49 mostra que se n é escrito como um produto de potências de números primos distintos, digamos

n= (p1)n1_(p2)n2_{· · ·}_(p

r)nr,

ent˜ao Zn ´e isomorfo a

Z(p₁)n 1Z(p₂)n

(20)

Em particular, por exemplo, Z72 ´e isomorfo a Z8×Z9.

Observamos que mudando a ordem dos fatores em um produto direto obtemos um grupo isomorfo ao inicial.

Defini¸cão 1.2.51.Sejamr1, r2, . . . , rn inteiros positivos. Seum´ınimo múltiplo comúm (abreviado pormmc) é o gerador positivo do grupo c´ıclico formado por todos os múltiplos comuns dosri, isto é, o grupo c´ıclico formado por todos os inteiros divis´ıveis por todos os

ri, para i= 1,2, . . . , n.

Teorema 1.2.52. Seja(a1, a2, . . . , an)∈Qn_i₌₁Gi. Se ai tem ordem finitari em Gi, ent˜ao a ordem de (a1, a2, . . . , an) ∈

Qn

i=1Gi ´e igual ao m´ınimo m´ultiplo comum de todos os ri.

Demonstra¸cão. A prova segue repetindo o argumento usado na prova do Teorema1.2.48. Para que uma potência de (a1, a2, . . . , an) seja (e1, e2, . . . , en), a potência deve ser

simul-taneamente: um m´ultiplo de r1 que levaa1 no e1, um m´ultiplo de r2 que leva a2 no e2, etc.

Exemplo 1.2.53. A ordem de (8,4,10) emZ12×Z60×Z24 ´e 60. De fato, a ordem de 8

em Z12 é 12/4 = 3. De forma similar vemos que a ordem de4 em Z60 é 15e a ordem de 10emZ24 é12. Portanto, a ordem de (8,4,10)em Z12×Z60×Z24émmc(3,15,12) = 60.

A seguir enunciaremos o importante resultado que descreve a estrutura dos grupos abelianos que tˆem um n´umero finito de geradores.

Teorema 1.2.54(Teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente gerados). Todo grupo abeliano finitamente gerado G´e isomorfo a um produto direto de grupos c´ıclicos da forma

Z(p1)r1 ×Z(p2)r2 × · · · ×Z(pn)rn ×Z×Z× · · · ×Z,

ondepi são números primos, não necessariamente distintos, e osri são inteiros positivos. O produto direto é único exceto por poss´ıveis re-arranjos dos fatores; isto é, o número (n´umero de Betti de G) de fatores Z é único e os números (pi)ri são únicos.

Exemplo 1.2.55. Todos os grupos abelianos de ordem 360, a menos de isomorfismo, s˜ao:

1. Z2×Z2×Z2×Z3×Z3×Z5

2. Z2×Z4×Z3×Z3×Z5

3. Z2×Z2×Z2×Z9×Z5

4. Z2×Z4×Z9×Z5

(21)

6. Z8×Z9×Z5

Observa¸cão 1.2.56. Um grupo é chamadodecompon´ıvelse é isomorfo a um produto di-reto de dois subgrupos próprios não triviais. Caso contrário é chamadoindecompon´ıvel. Os seguintes fatos sobre grupos abelianos podem ser provados sem dificuldade usando o Teorema Fundamental dos Grupos Abelianos Finitamente Gerados (Teorema 1.2.54).

• Os grupos finitos abelianos indecompon´ıveis s˜ao exatamente os grupos c´ıclicos com ordem uma potˆencia de um primo.

• Se m divide a ordem de um grupo abeliano finito G, ent˜ao G tem um subgrupo de ordem m.