Modelagem Matemática para Problemas de

(1)

Modelagem Matem´

atica

para Problemas de

Minimiza¸

c˜

ao

PTR 5926 Equil´ıbrio Demanda-Oferta na Engenharia de Transportes

Prof. Cassiano Isler 2020

Universidade de S˜ao Paulo Escola Polit´ecnica

(2)

(3)

Defini¸c˜

oes

Problema de Minimiza¸cão: escolher valores de um conjunto de I variáveis (x1, x2, · · · , xI) que minimizam uma fun¸cão

objetivo z (x1, x2, · · · , xI) segundo um conjunto de restri¸c˜oes

preestabelecidas.

Fun¸cão ditônica (ou unimodal): fun¸cão matemática que possui apenas um ponto de m´ınimo.

Região fact´ıvel (ou viável): conjunto de solu¸cões que satisfaz todas as restri¸cões de um problema de minimiza¸cão.

(4)

Nota¸c˜

oes

x = (x1, · · · , xI) = vetor de solu¸c˜ao vi´avel do modelo.

z(x) = valor da fun¸c˜ao objetivo do modelo de minimiza¸c˜ao em x.

ˆ

x = vetor de solu¸cão ótima de um problema de minimiza¸cão, ou o conjunto de valores (x1, x2, · · · , xI) que minimiza o valor de z(x).

z(ˆx) = valor da fun¸cão objetivo na solu¸cão ótima de um problema de minimiza¸cão.

(5)

Neste Curso

Sempre existirá pelo menos uma solu¸cão viável x.

A quantidade de solu¸c˜oes x ´e infinita.

A fun¸cão objetivo z(x) é não-linear, cont´ınua e diferenciável.

A região fact´ıvel dos problemas de minimiza¸cão é fechada e limitada pelas restri¸cões.

(6)

Neste Curso

A revis˜ao de modelagem para a disciplina compreende:

Modelagem matem´atica em uma vari´avel (unidimensional).

(7)

Condi¸c˜

oes de Otimalidade

Duas condi¸cões devem ser satisfeitas para garantir que uma solu¸cão é ótima para um problema de minimiza¸cão com fun¸cões cont´ınuas e diferenciáveis.

(1) Condi¸c˜ao de primeira ordem: ˆx ´e um m´ınimo local

(2) Condi¸c˜ao de segunda ordem: z(ˆx) ≤ z(x) ∀ x 6= ˆx

As condi¸cões são definidas para modelos sem restri¸cões (Irrestritos) e com restri¸cões (Restritos) para os valores de x admitidos como solu¸cão ótima, aplicáveis a fun¸cões cont´ınuas unidimensionais (uma variável) e multidimensionais (mais de uma variável).

(8)

MODELOS

UNIDIMENSIONAIS

IRRESTRITOS

(9)

Modelos Unidimensionais Irrestritos

Valor m´ınimo z(ˆx) ocorre quando a derivada de z(x) em ˆx ´e nula.

dz(ˆx)

(10)

Modelos Unidimensionais Irrestritos

A fun¸c˜ao z(x) ´e estritamente convexa na vizinhan¸ca de ˆx se

d2_z(x)

dx2 > 0 ∀ x |

dz(x)

(11)

MODELOS

MULTIDIMENSIONAIS

IRRESTRITOS

(12)

Modelos Multidimensionais Irrestritos

Valor m´ınimo z(ˆx) ocorre quando a derivada de z(x) ∀ x ∈ ˆx ´e nula. ∂z(ˆx)

∂xi

= 0 ∀ i = 1, 2, · · · , I

Sob outra forma de representa¸c˜ao, o vetor de derivadas parciais de z(x), representado por ∇xz(x), ´e nulo.

∇_xz(ˆx) = ∂z(ˆx) ∂x1 ,∂z(ˆx) ∂x2 , · · · ,∂z(ˆx) ∂xI = 0

(13)

Modelos Multidimensionais Irrestritos

Uma fun¸cão cont´ınua é estritamente convexa desde que a Hessiana (H) de z(x), a matriz das derivadas parciais de segunda ordem da fun¸cão, seja positiva semi-definida.

H =               ∂2z(x) ∂x2₁ ∂2z(x) ∂x1∂x2 · · · ∂ 2_z(x) ∂x1∂xI ∂2z(x) ∂x2∂x1 ∂2z(x) ∂x2₂ · · · ∂2z(x) ∂x2∂xI .. . ... . .. ... ∂2z(x) ∂xI∂x1 ∂2z(x) ∂xI∂x2 · · · ∂ 2_z(x) ∂x2_I               .

(14)

Modelos Multidimensionais Irrestritos

A Hessiana (H) de z(x) é positiva semi-definida quando h · H · hT é positivo para qualquer vetor h não nulo.

Ou, como é o caso da maioria dos problemas de equil´ıbrio em redes de transporte, H é positiva semi-definida quando é uma matriz diagonal cujos valores são todos positivos.

Lembrando que uma matriz diagonal ´e aquela em que apenas os valores da sua diagonal s˜ao diferentes de zero. Por exemplo:

  3 0 0 0 1 0 0 0 5 

(15)

MODELOS

UNIDIMENSIONAIS

COM RESTRIC

¸ ˜

OES

(16)

Modelos Unidimensionais com Restri¸c˜oes de Desigualdade

O modelo matemático com restri¸cões de desigualdade é definido por: minimizar z(x) sujeito a

x ≥ a0 x ≤ a” Esse modelo pode ser reescrito na forma padr˜ao como:

minimizar z(x) sujeito a

x ≥ a0 −x ≥ −a”

Considere as restri¸c˜oes representadas pelas duas fun¸c˜oes a seguir:

g1(x) = x g2(x) = −x

Nesse caso, as derivadas de primeira ordem dessas fun¸c˜oes s˜ao: dg1(x)

dx = 1

dg2(x)

dx = −1

(17)

Existem três casos de solu¸cão de m´ınimo global, tal que o gradiente da fun¸cão objetivo igual a zero [dz(x)/dx = 0] não satisfaz todos eles no intervalo das restri¸cões.

(18)

(1) Condi¸c˜ao de primeira ordem: ˆx ´e um m´ınimo local Para o caso (a):

dz(ˆx)

dx = 0 (equivalente ao modelo irrestrito) Para o caso (b): dz(ˆx) dx = dz(a0) dx > 0 dg1(ˆx) dx = 1 Para o caso (c): dz(ˆx) dx = dz(a”) dx < 0 dg2(ˆx) dx = −1

(19)

Observando os três casos anteriores é poss´ıvel generalizar a condi¸cão de otimalidade pela adi¸cão de uma condi¸cão que relaciona a derivada da fun¸cão objetivo e das restri¸cões.

dz(ˆx) dx = uj ·

dgj(ˆx)

dx ∀ j = 1, 2

onde uj é uma variável de decisão adicional ao problema, que admite

somente valores n˜ao-negativos, para que o sinal de dz(ˆx)/dx seja equivalente ao sinal de dgj(ˆx)/dx.

(20)

Para atender a condi¸cão de otimalidade de primeira ordem para todos os casos observados de modelos unidimensionais com restri¸cões de desigualdade, é poss´ıvel afirmar que:

dz(ˆx) dx = u1· dg1(ˆx) dx + u2· dg2(ˆx) dx

Se a solu¸cão ótima é ˆx = a0 então dz(ˆx)/dx > 0, u1 > 0 e u2 = 0.

Por outro lado, se ˆx = a00 ent˜ao dz(ˆx)/dx < 0, u1 = 0 e u2 > 0.

Finalmente, se a < ˆx < a00 ent˜ao dz(ˆx)/dx = 0, u1 = 0 e u2 = 0.

Logo, essa condi¸c˜ao por ser escrita genericamente por: dz(ˆx) dx = X j uj· dgj(ˆx) dx

(21)

Dada a solu¸cão ótima ˆx, considere “restri¸cões cr´ıticas”aquelas em que gj(ˆx) = bj e “restri¸cões não-cr´ıticas”aquelas em que gj(ˆx) > bj.

Nessas condi¸cões, considere a seguinte condi¸cão adicional ao problema para que sejam obtidos os valores das variáveis de decisão x e uj que

atendam a condi¸c˜ao de otimalidade de primeira ordem. uj · [bj − gj(ˆx)] = 0 ∀ j ∈ J

de tal forma que: (

Na restri¸c˜ao cr´ıtica: [bj − gj(ˆx)] = 0 e uj ≥ 0

(22)

Assim, de forma generalizada, as quatro restri¸cões a seguir são definidas para atender a condi¸cão (1)de otimalidade.

gj(ˆx) ≥ bj ∀ j ∈ J dz(ˆx) dx = X j uj· dgj(ˆx) dx ∀ j ∈ J uj· [bj− gj(ˆx)] = 0 ∀ j ∈ J uj ≥ 0 ∀ j ∈ J

Sob essas condi¸c˜oes: (

Na restri¸c˜ao cr´ıtica: [bj − gj(ˆx)] = 0 e uj ≥ 0

(23)

A convexidade da fun¸cão objetivo não é condi¸cão suficiente para garantir um m´ınimo global pois pode haver pontos de m´ınimo em intervalos distintos.

Para garantir a otimalidade da solu¸c˜ao ´

otima é necessário que as restri¸cões

definam um conjunto convexo de

solu¸c˜oes vi´aveis.

Assim, a condi¸c˜ao (1) requer a

convexidade da fun¸cão objetivo e da região fact´ıvel. No caso dos problemas de equil´ıbrio em redes de transporte, as restri¸cões são lineares e resultam em uma região fact´ıvel fechada e convexa.

(24)

MODELOS

MULTIDIMENSIONAIS

COM RESTRIC

¸ ˜

OES

(25)

Modelos Multidimensionais com Restri¸c˜oes de Desigualdade

O modelo matemático na forma padrão é definido por:

(26)

Analogamente ao caso unidimensional, as derivadas parciais iguais a zero [∇xz(x) = 0] não garantem que a solu¸cão x é um ótimo global.

Nesse caso, considere a condi¸cão adicional que relaciona as derivadas parciais da fun¸cão objetivo e das restri¸cões do modelo matemático analogamente ao caso unidimensional.

∂z(ˆx) ∂xi =X j uj · ∂gj(ˆx) ∂xi ∀ i ∈ I

onde uj é uma variável de decisão adicional ao problema, que admite

somente valores n˜ao-negativos, para que o sinal de ∂z(ˆx)/∂xi seja

(27)

Estendendo as condi¸cões que relacionam as variáveis uj às restri¸cões

do modelo matem´atico tem-se que:

uj· [bj− gj(ˆx)] = 0 ∀ j ∈ J

de tal forma que: (

Na restri¸c˜ao cr´ıtica: [bj− gj(ˆx)] = 0 e uj ≥ 0

Na restri¸c˜ao n˜ao-cr´ıtica: [bj− gj(ˆx)] > 0 e uj = 0

onde ujé uma variável não-negativa (uj ≥ 0) pois o sinal de ∂z(ˆx)/∂xi

´

(28)

A análise das restri¸cões cr´ıticas e não cr´ıticas pode ser realizada graficamente para um modelo multidimensional com duas variáveis x1 e x2, estendendo-se as conclusões aos poss´ıveis valores de uj.

Restri¸c˜oes n˜ao-cr´ıticas

1 g1(ˆx) > b1⇒ b1− g1(ˆx) < 0 ⇒ u1 = 0

4 g4(ˆx) > b4⇒ b4− g4(ˆx) < 0 ⇒ u4 = 0

5 g5(ˆx) > b5⇒ b5− g5(ˆx) < 0 ⇒ u5 = 0

(29)

Restri¸c˜oes cr´ıticas

2 g2(ˆx) = b2 ⇒ b2− g2(ˆx) = 0 ⇒ u2 ≥ 0

3 g3(ˆx) = b3 ⇒ b3− g3(ˆx) = 0 ⇒ u3 ≥ 0

Para satisfazer (1)tem-se que: ∂z(ˆx) ∂xi = u2· ∂g2(ˆx) ∂xi + u3· ∂g3(ˆx) ∂xi ∀ i ∈ I

(30)

Genericamente podemos escrever as restri¸c˜oes a seguir para satisfazer a condi¸c˜ao(1).

Condi¸c˜oes de Kuhn-Tucker

∂z(ˆx) ∂xi =X j uj · ∂gj(ˆx) ∂xi ∀ i ∈ I uj· [bj− gj(ˆx)] = 0 ∀ j ∈ J gj(ˆx) ≥ bj ∀ j ∈ J uj ≥ 0 ∀ j ∈ J onde uj são denominados “multiplicadores de Lagrange”ou “variáveis duais”e as restri¸cões [bj− gj(ˆx)] = 0 são definidas

como “condi¸c˜oes de folga

(31)

Semelhante ao unidimensional, apenas a convexidade da fun¸cão objetivo não é suficiente para garantir o m´ınimo global e a condi¸cão de segunda ordem é satisfeita quando a região fact´ıvel é convexa. Na modelagem de equil´ıbrio em redes de transporte as restri¸cões são lineares e delimitam regiões fact´ıveis convexas.

Estritamente convexo

Não convexo Convexo com

(32)

MODELOS

UNIDIMENSIONAIS

COM RESTRIC

¸ ˜

OES

(33)

Modelos Unidimensionais com Restri¸cões de Não-negatividade O modelo com restri¸cões de não-negatividade é definido por:

minimizar z(x) sujeito a x ≥ 0

(34)

Modelos Unidimensionais com Restri¸c˜oes de N˜ao-negatividade

(1) Condi¸c˜ao de primeira ordem: ˆx ´e um m´ınimo local Para o caso (a):

dz(ˆx) dx = 0 Para o caso (b): ˆ x = 0 dz(ˆx) dx > 0 Genericamente: ˆ x ·dz(ˆx) dx = 0 e dz(ˆx) dx ≥ 0

(35)

Modelos Unidimensionais com Restri¸c˜oes de N˜ao-negatividade

As condi¸cões são análogas aos modelos unidimensionais com restri¸cões de desigualdade.

Portanto, d2z(ˆx)/dx2> 0 ∀ x | dz(x)/dx = 0 garante que a fun¸c˜ao objetivo z(x) ´e estritamente convexa.

Adicionalmente, a regi˜ao fact´ıvel deve cont´ınua quando limitada pelas restri¸c˜oes.

(36)

MODELOS

MULTIDIMENSIONAIS

COM RESTRIC

¸ ˜

OES

(37)

Modelos Multidimensionais com Restri¸cões de Não-negatividade O modelo matemático é: minimizar z(x) sujeito a x ≥ 0.

As conclus˜oes sobre os modelos unidimensionais podem ser

extensidades para os modelos multidimensionais: ˆ xi· ∂z(ˆx) ∂xi = 0 e ∂z(ˆx) ∂xi ≥ 0 ∀ i ∈ I

A fun¸c˜ao objetivo z(x) ´e estritamente convexa na vizinhan¸ca de ˆx.

As condi¸cões são análogas aos modelos unidimensionais restritos, portanto, a matriz Hessiana (H) deve ser positiva semi-definida (ou uma matriz diagonal positiva).

(38)

MODELOS

UNIDIMENSIONAIS

COM RESTRIC

¸ ˜

OES

(39)

Modelos Unidimensionais com Restri¸c˜oes de Igualdade

O modelo matemático com restri¸cões de igualdade é definido por:

minimizar z(x) sujeito a hj· x = bj

A solu¸cão é trivial pois todas as restri¸cões são combina¸cão linear de h · x = b, ou seja, x = b/h.

(40)

MODELOS

MULTIDIMENSIONAIS

COM RESTRIC

¸ ˜

OES

(41)

Modelos Multidimensionais com Restri¸cões de Igualdade O modelo matemático com restri¸cões de igualdade é definido por:

minimizar z(x) sujeito a X

i

hij · xi= bj ∀ j ∈ J

(1) Condi¸cão de primeira ordem: ˆx é um m´ınimo local As condi¸cões de Kuhn-Tucker são válidas, então:

∂z(ˆx) ∂xi =X j uj · ∂gj(ˆx) ∂xi ∀ i ∈ I onde gj(x) =Pihij · xi e, portanto, ∂gj(x)/∂xi = hij.

(42)

Modelos Multidimensionais com Restri¸c˜oes de Igualdade

As condi¸c˜oes de Kuhn-Tucker para esses modelos s˜ao:

∂z(ˆx) ∂xi =X j uj · hij ∀ i ∈ I uj· [bj− gj(ˆx)] = 0 ∀ j ∈ J X i hij · ˆxi = bj ∀ j ∈ J uj ∈ < Os multiplicadores de Lagrange (uj) podem assumir qualquer

valor (uj ∈ <) pois o sinal de

∂z(ˆx)/∂xi deve ser o mesmo de

∂gj(ˆx)/∂xi, que ´e igual ao sinal

de hij (ver slide 18).

Por exemplo, se ∂z(ˆx)/∂xi > 0,

hij < 0 e gj(ˆx) ´e uma restri¸c˜ao

(43)

Considere uma “Fun¸cão Lagrangeana” definida pela inclusão da restri¸cão uj· [bj− gj(ˆx)] na fun¸cão objetivo do problema original.

L(x, u) = z(x) +X j uj· [bj− X i hij · xi]

onde uj ∈ < s˜ao os multiplicadores de Lagrange.

´

E poss´ıvel demonstrar algebricamente que a solu¸cão do modelo irrestrito com fun¸cão objetivo Lagrangeana [minimizar L(x, u)] é equivalente à solu¸cão do problema multidimensional com restri¸cões de igualdade do slide41 pela aplica¸cão das condi¸cões de Kuhn-Tucker.

(44)

Lembrando que a condi¸cão (1) para modelos multidimensionais irrestritos é satisfeita quando as derivadas parciais da fun¸cão objetivo L(x, u) em rela¸cão às variáveis são iguais a zero.

Para o vetor de vari´aveis x: ∂L(ˆx, ˆu) ∂xi = 0 ⇒ ∂z(ˆx) ∂xi −X j ˆ uj· hij = 0 ⇒ ∂z(ˆx) ∂xi =X j ˆ uj· hij ∀ i ∈ I

(45)

(1) Condi¸cão de primeira ordem: ˆx é um m´ınimo local Para o vetor de variáveis u:

∂L(ˆx, ˆu) ∂uj = 0 ⇒ bj− X i hij· ˆxi= 0 ⇒ X i hij · ˆxi = bj ∀ j ∈ J

O resultado das derivadas parciais em rela¸cão à x e u igualadas à zero são equivalentes,respectivamente, à primeira e terceira condi¸cões de Kuhn-Tucker dos modelos restritos (ver slide 42).

Ainda, L(x, u) = z(x) para qualquer solu¸cão viável do problema irrestrito com a Fun¸cão Lagrangeana pois todas as restri¸cões são cr´ıticas [gj(x) = bj] e, portanto, uj poss´ıvel assumir qualquer valor

(46)

(2) Condi¸cão de segunda ordem: L(ˆx, û) ≤ L(x, u) ∀ x 6= ˆx e u 6= û

A fun¸cão Lagrangeana L(ˆx, û) é estritamente convexa na vizinhan¸ca de ˆx e de û.

As condi¸cões são análogas aos modelos multidimensionais irrestritos para o problema de minimiza¸cão de L(x, u).

Ou seja, a matriz Hessiana (H) deve ser positiva semi-definida (ou uma matriz diagonal positiva).

Adicionalmente, a regi˜ao fact´ıvel deve ser fechada e convexa quando limitada pelas restri¸c˜oes.

(47)

MODELOS

MULTIDIMENSIONAIS

COM RESTRIC

¸ ˜

OES

DE IGUALDADE

(48)

Modelos Multidimensionais com Restri¸c˜oes de Igualdade e N˜ao-negatividade

O modelo matem´atico com restri¸c˜oes de igualdade e de

n˜ao-negatividade ´e definido por: minimizar z(x) sujeito a

( P

ihij · xi = bj ∀ j ∈ J

xi ≥ 0 ∀ i ∈ I

Reescrevendo o modelo sob a “Fun¸cão Lagrangeana” temos um problema restrito com restri¸cões de não-negatividade:

L(x, u) = z(x) +X j uj· [bj− X i hij· xi] sujeito a xi ≥ 0 ∀ i ∈ I

Observe que as restri¸cões de não-negatividade aplicam-se apenas às variáveis xi e não às variáveis Lagrangeanas uj, cujos valores

(49)

Conforme o slide37 para satisfazer essa condi¸c˜ao de otimalidade:

ˆ xi· ∂L(ˆx, û) ∂xi = 0 ⇒ xî·   ∂z(ˆx) ∂xi −X j ˆ uj· hij  = 0 ∀ i ∈ I ∂L(ˆx, û) ∂xi ≥ 0 ⇒ ∂z(ˆx) ∂xi −X j ˆ uj· hij ≥ 0 ∀ i ∈ I Adicionalmente: ∂L(ˆx, û) ∂uj = 0 ⇒ X i hij · ˆxi = bj ∀ j ∈ J

(50)

(1) Condi¸cão de primeira ordem: ˆx é um m´ınimo local A condi¸cão é satisfeita quando:

ˆ xi·   ∂z(ˆx) ∂xi −X j ˆ uj· hij  = 0 ∀ i ∈ I ∂z(ˆx) ∂xi −X j ˆ uj· hij ≥ 0 ∀ i ∈ I X i hij · ˆxi= bj ∀ j ∈ J ˆ xi ≥ 0 ∀ i ∈ I

(51)

(2) Condi¸cão de segunda ordem: L(ˆx, û) ≤ L(x, u) ∀ x 6= ˆx e u 6= û A fun¸cão Lagrangeana L(ˆx, û) é estritamente convexa na vizinhan¸ca de ˆx e de û.

As condi¸cões são análogas aos modelos multidimensionais irrestritos para o problema de minimiza¸cão de L(x, u).

Ou seja, a matriz Hessiana (H) deve ser positiva semi-definida (ou uma matriz diagonal positiva).

Adicionalmente, a regi˜ao fact´ıvel deve ser fechada e convexa quando limitada pelas restri¸c˜oes.

(52)

ROTEIRO PARA

(53)

Sugest˜

ao de Roteiro para Resolu¸c˜

ao de Exerc´ıcios

PASSO 1: Definir o modelo na forma padrão (minimizar fun¸cão objetivo sujeito a restri¸cões de desigualdade ≥ e igualdade)

PASSO 2: Verificar a condi¸c˜ao (1) admitindo que o modelo ´e irrestrito (mesmo que seja restrito)

Slide9- Modelos Irrestritos Unidimensionais Slide12 - Modelos Irrestritos Multidimensionais

PASSO 3: O PASSO 2 resolve o problema se o modelo original é irrestrito. Se o modelo original é restrito, verificar se a solu¸cão do PASSO 2 satisfaz as condi¸cões para modelos com desigualdade – slide 22 para unidimensionais ou slide 30 para multidimensionais (Kuhn-Tucker) – ou com igualdade e não negatividade (slide50).

(54)

Sugest˜

ao de Roteiro para Resolu¸c˜

ao de Exerc´ıcios

PASSO 4: Se as condi¸cões do PASSO 3 forem satisfeitas então o problema é resolvido.

Se as condi¸cões não forem satisfeitas, aplicar as condi¸cões do slide22

para modelos unidimensionais, as condi¸c˜oes de Kuhn-Tucker do slide

30 para modelos multidimensionais com restri¸cões de desigualdade ou as condi¸cões do slide 50 para modelos multidimensionais com restri¸cões de igualdade e não-negatividade.

Resolver o sistema de equa¸cões resultante para obter a solu¸cão ótima do problema e os valores dos multiplicadores de Lagrange.

Após obter a solu¸cão do problema, verificar se os valores satisfazem as condi¸cões estabelecidas em fun¸cão do tipo de modelo.