População: totalidade de elementos que apresentam uma ou mais características em comum.

Noções de Estatística

Teoria

A estatística coleta, organiza e analisa dados usando tabelas ou gráficos.

População, amostra e variável

• População: totalidade de elementos que apresentam uma ou mais características em comum.

• Amostra: é uma parte da população de estudo.

• Variável: Dependendo da natureza dos dados (números ou atributos) uma variável pode ser quantitativa ou qualitativa. Se os dados são números, a variável é quantitativa.

Medidas de centralidade: média

As medidas de centralidade são usadas para representar toda uma lista de observações com um único valor.

Média aritmética simples

A média aritmética simples de um conjunto

 x x

1

, , ...,

2

x

_n



de n valores para a variável

x

, é dada pelo quociente entre a soma dos valores observados e o número total valores:

1 2 ...

X x x xⁿ

n + + +

=

Exemplo: Seja um grupo de 3 pessoas e

k

o conjunto das idades dessas 3 pessoas.

^{k =}  ^12,10,11 

^.

Calculando a média da idade desse grupo, temos:

12 10 11 33

X 11 anos

3 3

+ +

= = =

Média aritmética ponderada

A média aritmética ponderada de um conjunto

 x x

1

, , ...,

2

x

_n



de n valores para a variável

x

, onde cada valor tem seu peso p, é dada pela expressão:

1 1 2 2

1 2

X ...

...

n n n

x p x p x p

p p p

+ + +

= + + +

Exemplo: Para passar no curso de matemática devemos obter média 7, sendo que a

p

₁ tem peso 1 e a

p

₂

tem peso 2. Dessa maneira calculamos a média da seguinte maneira:

1.1 22

X 3

p + p

=

Medidas de centralidade: moda Moda

É o resultado obtido com maior frequência, ou seja, aquilo que mais se repete.

Exemplo: Alguns alunos fizeram a segunda chamada de uma prova de matemática. Suas notas foram tabuladas na tabela abaixo:

Aluno Nota Aluno 1 2 Aluno 2 7 Aluno 3 3 Aluno 4 4 Aluno 5 3 Aluno 6 3,5

A nota que mais aparece no conjunto de dados é a nota 3. Portanto, a moda é 3.

OPA!

1) Quando não tenho moda, ela se chama amodal.

2) Quando tenho duas variáveis que tem a mesma frequência e elas são as maiores frequências, então terei 2 modas e nesse caso se chama bimodal.

Medidas de centralidade: mediana Mediana

Ordenando as observações de uma variável de forma crescente ou descrescente (rol), a mediana é a observação que ocupa o valor central.

Exemplo: A quantidade de atrasos dos alunos de uma turma, registrados por mês, de março a novembro, formam o seguinte conjunto de dados: 23, 34, 21, 48, 51, 20, 38, 29, 13.

Ordenando esses dados de forma crescente, temos:

13 – 20 – 21 – 23 – 29 – 34 – 38 – 48 – 51

Como há 9 observações, a observação central é a quinta:

13 – 20 – 21 – 23 – 29 – 34 – 38 – 48 – 51 Portanto, a mediana é igual a 29.

Cuidado! E se a quantidade de elementos da amostra não for um número ímpar? Se o tamanho da amostra for par, então não terá um elemento central. Dessa maneira, precisamos fazer a média aritmética simples entre os dois termos centrais.

Exemplo: Seja uma amostra A = {1, 2, 7, 4}. Para calcular a mediana, precisamos colocar os elementos em ordem: 1, 2, 4, 7. Agora, fazemos a média aritmética simples entre os dois termos centrais:

+

Concluindo, sendo n o número de elementos, temos que:

• Para n ímpar: ₁

2

X

n₊

• Para n par: ^{2 2 1}

2

n n

X X

+

+

Medidas de dispersão: variância

As medidas de dispersão mostram o quão esticada ou espremida está uma distribuição de observações, isto é, o quão próximos ou afastados esses valores estão da média.

Variância

A variância é a média aritmética dos desvios (diferença de cada resultado obtido e a média) ao quadrado, ou seja, basta elevar os desvios ao quadrado e fazer a média.

( ) (

¹

^X ) (

^{2 2}

^X )

²

^... ( ^X )

²

Var x x x

ⁿ

x n

− + − + + −

=

Passo-a-passo:

1º) Encontre a média;

2º) Faça a diferença com cada elemento (Calcule os desvios);

3º) Eleve os resultados do passo 2 ao quadrado;

4º) Faça a média dos resultados do passo 3.

Medidas de dispersão: desvio padrão

Quando o desvivo padrão tiver um valor alto entendemos que mais afastados estão os valores da média e mais heterogênea é a distribuição. E ao contrário, quando o desvio padrão estiver baixo teremos valores mais próximos da média e a distribuição é dita homogênea.

Desvio padrão

O desvio-padrão de um conjunto de dados é calculado tirando a raiz quadrada da sua variância.

( ) ( )

DP x = Var x

Exercícios

1.

Considere os resultados abaixo o QI (quociente de inteligência) de 10 pessoas:

96 – 95 – 101 – 102 – 97 – 99 – 100 – 103 – 101 – 98

Determine as medidas de tendência central (média, moda e mediana) dos dados acima.

2.

Em um grupo de pessoas, as idades são : 10, 12, 15 e 17 anos. Caso uma pessoa de 16 anos junte-se ao grupo, o que acontece com a média das idades do grupo?

3.

A distribuição de salários de uma empresa é fornecido pela tabela a seguir:

Calcule a média salarial dessa empresa.

4.

Para votar, cinco eleitores demoraram, respectivamente, 3min 38s, 3min 18s, 2min 46s, 2min 57s e 3min 26s. Qual foi a média do tempo de votação (em minutos e segundos) desses eleitores?

5.

Calcule a média, variância e o desvio padrão para os seguintes dados:

a) 12, 58, 67, 53, 48, 95, 46, 18 b) 9, 45, 78, 95, 43, 62, 51 c) 45, 7, 86, 94, 86, 61, 16

Gabaritos

1. A média de um conjunto de dados é dado pela soma deles e dividido pelo total.

QI Médio = (96 + 95 + 101 + 102 + 97 + 99 + 100 + 103 + 101 + 98) / 10 = 992 / 10 = 99,2 Portanto, o QI médio das pessoas é 99,2.

A moda é relacionada aos valores de maior frequência nos dados.

QI modal = 101

A mediana é o valor do meio do conjunto de dados.

QI mediano = (99 + 100) / 2 = 99,5 Portanto, o QI mediano é 99,5.

2. Média entre 10, 12, 15 e 17 M = 10 + 12 + 15 + 17

4 = 13,5

Média entre 10, 12, 15, 16 e 17 M = 10 + 12 + 15 + 16 + 17

5 = 14

A média das idades aumenta em menos de 1 ano.

3. M = 500 .10 + 1000 . 5 + 1500 . 6 + 2000 . 15 + 5000 . 8 + 10000 . 2

10 + 5 + 6 + 15 + 8 + 2

M = 5000 + 5000 + 9000 + 30000 + 40000 + 20 + + +

46

M = 109000 46 𝑀 = 2369,56

O salário médio dessa empresa é de R$2369,56

4. M = 3min 38s + 3min 18s + 2m 46s + 2min 57s + 3min 26s

5

M = 13min 185s

5 → 185s = 60s + 60s + 65s 120s = 2min 185s = 2min + 65s

M = 13 min + 2min 65s

5

M = 15min 65s

5 = 3min13s

5. a) Média = (12 + 58 + 67 + 53 + 48 + 95 + 46 + 18) = 397 / 8 = 49,625

Desvio padrão = √(((12 – 49,625 )² + (58 – 49,625)² + (67 – 49,625)² + (53 – 49,625)² + (48 – 49,625)² + (95 – 49,625)² + (46 – 49,625)² + (18 – 49,625)²) / 8) = √((1415,64 + 70,14 + 301,89 + 11,39 + 2,64 + 2058,89 + 13,14 +1000,14) / 8) = √(4873.87 / 8) = √609.23375 = 24.68

b) Média = (9 + 45 + 78 + 95 + 43 + 62 + 51) / 7 = 54.7

Desvio padrão = √(((9 – 54.7)² + (45 – 54.7)² + (78 – 54.7)² + (95 – 54.7)² + (43 – 54.7)² + (62 – 54.7)² + (51 – 54.7)²) / 7) = √650.49 = 25,5

c) Média = (45 + 7 + 86 + 94 + 86 + 61 + 16) / 7 = 56.43

Desvio padrão = √(((45 – 25,5)² + (7 – 25,5)² + (86 – 25,5)² + (94 – 25,5)² + (86 – 25,5)² + (61 – 25,5)² + (16 – 25,5)²) / 7) = √2012.25 = 44,86