SISTEMAS NUMÉRICOS
1) INTRODUÇÃO:
A dimensão de um certo conjunto ou seu número de elementos se traduz por um número. Para representar um número, podemos usar palavras, sinais ou símbolos que são chamados numerais. Assim, quando queremos representar a quantidade de elementos de um conjunto, podemos usar uma qualquer das representações.
Exemplo: os elementos do conjunto de letras do alfabeto (a, b, c, ..., x, z) são 23 ou vinte e três.
Conclui-se que um certo conjunto pode ser representado por diversos numerais. O numeral é a maneira de representar um conjunto de elementos, ao passo que o número nos dá uma idéia de quantidade.
2) SISTEMA DECIMAL:
Entre os sistemas numéricos existentes, o sistema decimal é o mais utilizado. Os símbolos ou dígitos utilizados são os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Os elementos são agrupados de dez em dez e, por essa razão, os números podem ser expressos por intermédio de potência de dez e recebem o nome de sistema de numeração decimal.
Exemplo:
486 = 400 + 80 + 6 = 4 x 100 + 8 x 10 + 6 x 1 = 4 x 102+ 8 x 101+ 6 x 100, ou seja, 210
486 = 4 x 102+ 8 x 101+ 6 x 100
Observe que o número 4 está numa posição tal que seu peso é igual a 2 e que o número 6 por sua vez tem o peso igual a zero. Então podemos concluir que o algarismo ou dígito, dependendo do seu posicionamento terá um peso. Note que aquele situado na extrema esquerda do número está sendo multiplicado pela potência de dez maior, ou seja, é o dígito mais significativo (most significant digit – MSD).
Analogamente, o que está situado na extrema direita será multiplicado pela menor potência, ou seja, é o dígito menos significativo (least significant digit – LSD)
NOTA: a) O princípio de posicionamento, que formula o expoente da base 10, pode ser estendido a qualquer sistema numérico, ou seja, independe da base numérica em que está representado.
b) Por ser o sistema padrão de uso (é o sistema que utilizamos em nosso dia-a-dia), o sistema decimal não necessita de representação de base, a fim de simplificação de escrita.
3) SISTEMA BINÁRIO:
Como o próprio nome já indica, tem base 2 e é o sistema de numeração mais utilizado em processamento de dados digital, pois utiliza apenas dois símbolos ou algarismos 0 e 1. Também vale ressaltar, que em processamentos digitais, que o dígito 1 também é conhecido por nível lógico
1, nível lógico alto, ligado, verdadeiro e energizado. Já o dígito 0 poder ser nível lógico 0, nível lógico baixo, desligado, falso e desernegizado.
Assim a cada posição de cada algarismo corresponde uma potência de 2, como foi exposto para número decimal ao qual correspondia uma potência de 10.
3.1) Conversão de Binário em Decimal:
É o mesmo processo já estudado para base 10, ou seja:
10111(2) = 1 x 24 + 0 x 23+ 1 x 22+ 1 x 21+ 1 x 20= 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 23 logo: 10111(2) = 23(10) ou 10111(2) = 23 ou 10111(2= 23
NOTA: devido a sua importância em sistemas digitais e processamentos de dados digitais, os dígitos binários são denominados de “bit” (da contração do inglês Binary Digit). Da mesma forma, o que falamos no sistema decimal, dependendo do posicionamento do algarismo ou bit, terá um peso; o da extrema esquerda será o bit mais significativo (most significant bit – MSB) e o da extrema direita o bit menos significativo (least significant bit – LSB).
4 3 2 1 0
Ex.: 11011(2= 1 x 24+ 1 x 23+ 0 x 22+ 1 x 21+ 1 x 20 = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27
MSB LSB
3.2) Conversão de Decimal em Binário:
Na conversão decimal-binário, podem ser utilizados dois métodos: o primeiro que é mais geral, dito das divisões sucessivas, consiste m dividir sucessivamente o número por 2 até obtermos o cociente 0 (zero). O resto dessa divisão colocado na ordem inversa corresponde ao número binário, resultado da conversão de decimal em binário de um certo número de dados.
Ex.: 54 = ?
(254 2 0 27 2
1 13 2 1 6 2
0 3 2 1 1 2
1 0
54 = 110110
(2O segundo método de conversão consiste em, começando como número decimal a ser convertido, extrair a maior potencia de 2 (menor ou igual) possível. Repetindo este processo para o resto dessa subtração até que o resto seja zero. Concluindo, marque com o dígito 1 os expoentes utilizados e com dígito zero os expoentes não utilizados.
Ex.: 54 = ?(2 64 32 16 8 4 2 1
54 – 32 = 22 22 – 16 = 6 6 – 4 = 2 2 – 2 = 0 Portanto nós utilizamos as potencias 32=25, 16=24, 4=22e 2=21, ou seja:
6 5 4 3 2 1 0
64 32 16 8 4 2 1 resposta = 1 1 0 1 1 0
(2Este método, evidentemente, exige um pouco mais de raciocínio, devido ao problema de memorização das potências de dois e subtrações.
3.3) Conversão de Números Binários Fracionários em Decimal:
A conversão segue o mesmo processo binário para decimal já visto, utilizando a mesma expressão, inclusive os dígitos após a vírgula em que as potências ficam com o expoente negativo.
Ex.: 110,11(2= 1 x 22+ 1 x 21+ 0 x 20+ 1 x 2-1+ 1 x 2-2= 4 + 2 + 0 + 1 x 1 + 1 x 1 21 22
= 4 + 2 + 0 + 0,5 + 0,25 = 6,75 110,11(2= 6,75 3.4) Conversão de Número Decimal Fracionário em Binário:
Neste tipo de conversão vamos dividir o processo de conversão em duas etapas: conversão da parte inteira (já estudada) e conversão da parte fracionária.
Exemplo: 6, 75 6 = parte inteira 0,75 = parte fracionária
A conversão da parte fracionária é efetuada por um processo inverso ao da parte inteira, ou seja, em vez de divisões sucessivas, são efetuadas multiplicações sucessivas, e a parte inteira que advier desse processo é isolada a cada operação.
Exemplo: 0,75 x 2 = 1,50 1
0,50 x 2 = 1,00 1 logo: 6,75 = 110,11(2
NOTA: Dependendo do número, chegar ao resultado zero na parte fracionário, às vezes, é muito extensa ou impossível (caso de dízima). Então teremos de definir o número de casas decimais que se quer após a vírgula, como acontece no sistema decimal.
3.5) Exercícios:
a) 111011(2) = ? b) 110111(2) = ? c) 10011(2) = ? d) 1011,101(2) = ? e) 102 = (2) f) 43 = (2) g) 45,675 = (2) h) 36 = (2)
4) SISTEMA OCTAL:
O sistema octal ou base 8 é composto por oito símbolos ou dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, e 7. Os números binários, como vimos, são longos demais para manipularmos; são muito apropriados para as máquinas ou computadores, mas para seres humanos são muitos trabalhosos.
Se considerarmos três dígitos binários, o maior que pode ser expresso por esses três dígitos é 111 ou em decimal 7. Como 0 7 é também o algarismo mais significativo do sistema octal,
conclui-se que com a combinação de três dígitos binários pode-se ter o algarismo octal
correspondente; daí também poder dizer que os números octais têm um terço do comprimento de um número binário e fornecem a mesma informação.
4.1) Conversão de Octal em Binário:
A conversão de uma base em outra é bastante simples, uma vez que se trata da operação inversa à já descrita, ou seja, basta converter individualmente cada dígito octal em três binários.
Ex.: 137(8= ?(2
O número 1 equivale a 001(2), o número 3 igual a 011(2) e o número 7 vale 111(2). Portanto:
137(8) = 001011111(2) ou seja 137(8) = 1011111(2) 4.2) Conversão de Binário em Octal:
É feita pela combinação de três dígitos binários, como vimos, podendo assim ter todos os algarismos octais:
Ex.: 11011011(2) = 11 011 011 = 3 3 3 (8) 11011011(2) = 333(8) 1011101(2) = 1 011 101 = 1 3 5 (8) 1011101(2) = 135(8) 4.3) Conversão de Octal em Decimal:
Esta conversão se passa pela conversão em binário e posteriormente em decimal, ou seja:
17(8) = ? 001 111 (2) 1 x 23+ 1 x 22+ 1 x 21+ 1 x 20 8 + 4 + 2 + 1 15 4.4) Conversão Decimal para Octal:
Conforme vimos anteriormente, também neste caso devemos passar pelo sistema binário.
22 = ?(8) 10110(2) 10 110 26(8) 4.5) Exercícios:
a) 45(8) = ?(2) = ? b) 1011(2) = ?(8) c) 56(8) = ? d) 101 = ?(8) e) 101(2) = ? f) 47 = ?(2) = ?
5) SISTEMA HEXADECIMAL:
O sistema hexadecimal (hexa) foi criado com o mesmo propósito do sistema octal, para
números em hexa como em octal são os meios de manipulação do homem, porém existirão sempre conversores internos à máquina que os converta em binário, com o qual a máquina trabalha.
Analogamente, se considerarmos quatro dígitos ou bits binários, o maior número que se pode ser expresso por esses quatro dígitos é 1111 ou em decimal 15, da mesma forma que 15 é o algarismo mais significativo do sistema hexadecimal, portanto com a combinação de 4 bits ou dígitos binários pode-se ter o algarismo hexadecimal correspondente.
Assim, com esse grupamento de 4 bits ou dígitos, podem-se definir 16 símbolos, o até 15.
Contudo, como não existem símbolos dentro do sistema arábico que possam representar os números decimais entre 10 e 15 sem repetir os símbolos anteriores, foram usados os símbolos A, B, C, D, E e F, portanto o sistema hexadecimal será formato por 16 símbolos alfanuméricos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F.
5.1) Conversão Hexa para Binário:
Basta converter cada dígito hexadecimal em seu similar binário, ou seja, cada dígito em hexa equivale a um grupo de 4 bits.
Ex.: B15(16) = ? (2) B 11 1011(2) 1 1 0001(2) 5 5 0101(2) Logo, B15(16) = 101100010101(2)
5.2) Conversão Binária para Hexa:
De maneira análoga, basta realizar o processo inverso de hexa para binário.
Ex.: 10011011(2) = ?(16) 1001(2) 9 9 (16) 1011(2) 11 B(16) Portanto, 10011011(2) = 9B(16)
5.3) Conversão Hexa nos demais sistemas e vice-versa:
Como podemos perceber para realizarmos a conversão nos demais sistemas basta passarmos pela binária e/ou pelo sistema decimal.
5.4) Exercícios:
a) 211 = ?(2) = ?(8) = ?(16) b) 1101011(2) = ?(16) = ? = ?(8) c) 3747(8) = ?(16) = ?(2) = ? d) AAE(16) = ? = ?(8) = ?(2)
e) Fazer um programa para sistema de conversão entre as diversas bases, somente números inteiros.
PORTAS LÓGICAS
1) INTRODUÇÃO:
Durante séculos os matemáticos sentiram que havia uma conexão entre a Matemática e a Lógica, mas ninguém antes de George Boole pôde achar este elo ausente. Em 1854 ele inventou a lógica simbólica, conhecida por álgebra booleana. Cada variável na álgebra booleana tinha
qualquer um de dois valores: verdadeiro ou falso. Após algumas décadas os engenheiros entenderem que a álgebra booleana podia ser aplicada à Eletrônica dos Computadores.
2) Portas Inversoras (NOT):
Uma inversora é uma porta com apenas um sinal de entrada e um sinal de saída, o estado da saída é sempre o oposto da entrada.
Simbologia:
A A
Tabela Verdade:
A A
1 0
0 1
Representação em Álgebra Booleana: S = A 3) Portas OU (OR):
A porta OR tem dois ou mais sinais de entrada (padrão 02 ou 03) mas somente um sinal de saída. Se qualquer sinal de entrada for alto (nível 1 - fechado), o sinal de saída será alto.
A
Nível 1 B Saída
C
Simbologia: A
S
Tabela Verdade:
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
Representação em Álgebra Booleana: S = A + B + C 4) Portas E (AND):
A porta AND tem dois ou mais sinais de entrada (padrão 02 ou 03) mas somente um sinal de saída. Se qualquer sinal de entrada for baixo (nível 0 - aberto), o sinal de saída será baixo.
Nível 1 A B C Saída
Simbologia:
Saída
Tabela Verdade:
A B S
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Representação em Álgebra Booleana: S = A . B 5) Exercícios:
a) Fazer o circuito de portas lógicas equivalente a seguinte equação booleana: S = (A + C) . B
b) Fazer a tabela verdade para porta AND com 3 entradas.
c) Fazer a tabela verdade para porta OR com 4 entradas.
d) Fazer o circuito de portas lógicas equivalente a S = ((A+B).C) + (A.C) + B
e) Fazer o circuito de portas lógicas para S = ((A.B)+C) . (A+B) . C
6) Portas Não OU (NOR):
As portas NOR apresentam as mesmas características das portas OR, com relação à entrada e saída. Sua diferença esta no fato de ter associado a sua saída uma porta NOT, o que inverte o resultado de S, ou seja, só teremos nível lógico 1 na saída quando todas as entradas forem de nível 0.
Simbologia:
A S
B
Representação em Álgebra de Boole: S = A + B 7) Portas Não E (NAND):
De maneira análoga às portas NOR, as portas NAND nada mais são que portas AND onde foram acrescentadas portas NOT em sua saída. Portanto, só obteremos nível 0 quando todos as suas entradas forem de nível 1.
Simbologia:
A S
B
Representação em Álgebra de Boole: S = A . B
Talvez esta porta seja a mais importante de todas pois através dela podemos implementar as demais:
7.1) Porta NOT:
A S
7.2) Porta AND:
A
B S
7.3) Porta OR:
A
S B
Tabela Verdade:
A B A B S
0 0 1 1 0
0 1 1 0 1
1 0 0 1 1
1 1 0 0 1
7.4) Exercícios:
Fazer as tabelas verdades para as portas NOT e AND implementadas com portas NAND de 02 entradas.
8) Portas OU Exclusivo – EXOU (EXOR):
Uma porta EXOR reconhece apenas quando houver um número impar de entradas em nível alto.
Simbologia:
Para figura (a) temos o circuito equivalente real e na fig. (b) temos a representação convencionada.
Representação em Álgebra de Boole: Y = A⊕B ou S = A⊕B Tabela Verdade:
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
9) Portas EXNOR:
Como mas demais portas, para obtermos uma porta EXNOR, basta adicionarmos ao final de uma porta EXOR uma porta inversora, o que provocará a inversão dos resultados na saída.
Simbologia:
Representação Booleana: S = A⊕B ou S = A ✁ B
10) Exercícios(Consultar na biblioteca o livroMicrocomputadores e Microprocessadoresdo autor Malvino)
a) Fazer os problemas 2-16 a 2-21 do livro b) Fazer os problemas 3-1 a 3-20 do livro
