Uma Generaliza¸ c˜ ao do Teorema de Serre-Swan

Programa de P´ os–Gradua¸ c˜ ao em Matem´ atica Mestrado em Matem´ atica

Uma Generaliza¸ c˜ ao do Teorema de Serre-Swan

Adailton de Souza Pereira

Jo˜ ao Pessoa – PB

Julho de 2017

Programa de P´ os–Gradua¸ c˜ ao em Matem´ atica Mestrado em Matem´ atica

Uma Generaliza¸ c˜ ao do Teorema de Serre-Swan

por

Adailton de Souza Pereira

sob a orienta¸ c˜ ao do

Prof. Dr. Roberto Callejas Bedregal

e coorienta¸ c˜ ao do

Prof. Dr. Napole´ on Caro Tuesta

Jo˜ ao Pessoa – PB

Julho de 2017

Catalogação na publicação Setor de Catalogação e Classificação

.

P436g Pereira, Adailton de Souza.

Uma generalização do teorema de Serre-Swan / Adailton de Souza Pereira. – João Pessoa, 2017.

71 f.

Orientador: Roberto Callejas Bedregal Co-orientador: Napoleón Caro Tuesta

Dissertação (Mestrado) – UFPB/CCEN/PPGM

1. Matemática. 2. Teorema de Serre-Swan. 3. Espaços anelados. 4. Módulos projetivos. I. Título.

UFPB/BC CDU - 51(043)

Primeiramente, agrade¸co a Deus pela minha vida e por permitir que eu chegasse at´ e aqui, sempre me dando for¸cas e coragem para persistir na busca pela realiza¸c˜ ao de meus sonhos.

Aos meus pais, Maria Bezerra e Francisco Lopes por toda a educa¸c˜ ao e ensinamentos que me ofereceram, pelos os incentivos e por estarem sempre pr´ oximos a mim, por mais que eu estivesse longe.

Aos meus irm˜ aos, Welliton, ˆ Angela, Ang´ elica e Franci´ elio por sempre me apoiarem em todas as minhas escolhas e por fazerem parte dessa linda fam´ılia.

Aos meus av´ os, em especial, a minha querida v´ o Let´ıcia que sempre foi muito presente em minha vida, e nunca mediu esfor¸cos para me ajudar nos meus estudos, sempre com muito amor e bondade.

Ao meu tio Hermes, por todo o apoio e por sempre ter acreditado em mim.

A todos os meus familiares, por sempre estarem presente em minha vida e me apoirem em minhas escolhas.

A minha namorada Leila J´ essica, por ser a minha melhor amiga e companheira, e por sempre est´ a ao meu lado em todos os momentos, compartilhando todas as minhas alegrias e tristezas.

Aos meus grandes amigos, Daniel e Leandro, por todos os momentos e brincadeiras vivenciadas, amigos para vida toda.

A minha grande amiga Cr´ısia, que mesmo estando longe sempre torceu pelo meu sucesso, e me apoiou muito nos tempos de intercˆ ambio em Coimbra.

Aos amigos que conheci durante o mestrado, Lucas, Ricardo Bruno, Ricardo Dias, Breno, Sylvia, Djair, Esa´ u, Mauri, Diego, Marcius, Marcos Aur´ elio, Tony, Clemerson, Zeh, Pedro Pantoja entre outros, pelos ´ otimos momentos vivenciados.

Ao meu amigo Salatiel, por toda a convivˆ encia, conselhos, e ´ otimos momentos compartilhados.

Ao professor Roberto Bedregal, por sua orienta¸c˜ ao, paciˆ encia e boa vontade, per- mitindo um grande apredizado durante a elabora¸c˜ ao deste trabalho.

Ao professor Napole´ on Caro, por todo o ensinamento e orienta¸c˜ ao, pelos conselhos e momentos compartilhados.

Ao meu amigo Luis Alba, pela grande ajuda disponibilizada ao longo deste trabalho,

por sua boa vontade e gentileza oferecida em todos os momentos que necessitei de sua

No presente trabalho estudaremos uma generaliza¸c˜ ao dos teoremas cl´ assicos de Serre e de Swan. Determinaremos a classe dos espa¸cos anelados ( X, O X ) , de modo que a categoria dos feixes localmente livres de posto limitado sobre um espa¸co topol´ ogico X seja equivalente ` a categoria dos Γ ( X, O ^X ) -m´ odulos projetivos finitamente gerados.

Palavras-chave: Teorema de Serre-Swan, Espa¸cos anelados, M´ odulos projetivos.

In the present work we will study a generalization of the classical theorems of Serre and Swan. We will determine the class of ringed spaces ( X, O ^X ) , so that the category of locally free sheaves of bounded rank over a topological space X is equivalent to the category of Γ ( X, O ^X ) -modules finitely generated projective.

Keywords: Serre-Swan Theorem, Ringed spaces, Projectives modules.

Introdu¸ c˜ ao 1

1 Um pouco da teoria dos feixes 3

1.1 Feixes de M´ odulos . . . . 3

1.2 O funtor das se¸c˜ oes globais e seu adjunto . . . . 4

1.3 Feixes finos . . . . 10

1.4 O feixe dos morfismos Hom O

(F , G) . . . . 12

1.5 Feixes de tipo finito . . . . 17

1.6 Feixes quase-coerentes e apresenta¸c˜ ao finita . . . . 22

1.7 Feixes coerentes . . . . 24

1.8 Feixes localmente livres . . . . 29

2 O Teorema de Serre-Swan 32 2.1 Resultados preliminares . . . . 32

2.2 O Teorema Principal . . . . 38

3 Algumas aplica¸ c˜ oes 43 3.1 Teorema de Serre . . . . 43

3.2 Teorema de Swan . . . . 46

3.3 Espa¸cos C ^∞ -diferenci´ aveis . . . . 47

A Alguns resultados de m´ odulos 50

B Categorias Abelianas 52

C Resultados B´ asicos 55

Referˆ encias Bibliogr´ aficas 59

A seguir, listamos algumas nota¸c˜ oes utilizadas neste trabalho.

• X denota um espa¸co Topol´ ogico;

• O ^X denota um feixe de an´ eis no espa¸co topol´ ogico X;

• ( X, O ^X ) denota um espa¸co anelado ou localmente anelado;

• Id denota o morfismo identidade;

• F , G , H , M , I denotam feixes, e F ^x , G ^x , H ^x , M ^x , I ^x seus respectivos talos;

• H om O

(F , G) denota o feixe dos morfismos entre F e G ;

• Supp (F) denota o suporte do feixe F ;

• Supp ( ξ ) denota o suporte do morfismo de feixes ξ ∶ F Ð→ G ;

• rank (F) denota o posto do feixe F e rank x (F) denota o posto do talo F ^x , para todo x ∈ X;

• O ^X -Mod denota a categoria dos O ^X -m´ odulos;

• A -Mod denota a categoria dos A-m´ odulos, para qualquer anel A;

• Lfb ( X ) denota a subcategoria plena da categoria O X -Mod, consistindo dos O X -m´ odulos localmente livres de posto limitado;

• Fgp ( A ) denota a subcategoria plena da categoria A -Mod, consistindo dos A- m´ odulos projetivos finitamente gerados;

• Coh ( X ) denota a subcategoria plena da categoria O ^X -Mod, consistindo dos O X -m´ odulos coerentes;

• Qcoh ( X ) denota a subcategoria plena da categoria O ^X -Mod, consistindo dos

O ^X -m´ odulos quase-coerentes.

Neste trabalho, com base no artigo [15], estudamos o cl´ assico Teorema de Serre- Swan. Em 1955, Jean-Pierre Serre formulou a primeira vers˜ ao do Teorema de Serre [19, Section 50, Corollaire to Proposition 4, p. 242], que na vers˜ ao estudada neste trabalho garante, para um esquema afim ( X, O ^X ) , a existˆ encia de uma equivalˆ encia categ´ orica entre a categoria dos O X -m´ odulos de posto finito e a categoria dos Γ ( X, O X ) -m´ odulos projetivos finitamente gerados. Posteriormente, em 1962 Richard G. Swan apresentou uma nova vers˜ ao para esse teorema, que foi chamado o Teorema de Swan [20, Theorem 2 and p. 277], que na vers˜ ao estudada neste trabalho, garante a existˆ encia da mesma equivalˆ encia categ´ orica observada por Serre, mas com X sendo um espa¸co topol´ ogico paracompacto com cobertura de dimens˜ ao finita e O ^X o feixe das fun¸c˜ oes cont´ınuas de valores reais em X.

O objetivo deste trabalho ´ e generalizar esse resultado para a classe dos espa¸cos localmente anelados, que ´ e uma classe maior. Nesse intuito, o trabalho foi dividido em trˆ es partes al´ em do apˆ endice, que foi colocado com a finalidade de deixar a leitura mais agrad´ avel, apresentando alguns resultados que n˜ ao foram provados no decorrer do trabalho.

O primeiro cap´ıtulo foi dedicado ` a abordagem de um pouco da teoria de feixes, voltada principalmente para os resultados que ser˜ ao usados ao longo da disserta¸c˜ ao.

Esse cap´ıtulo ser´ a divido em oito se¸c˜ oes. Nas duas primeiras, ser˜ ao definidos fei- xes de m´ odulos, e o funtor das se¸c˜ oes globais Γ ( X, ●) junto como o seu adjunto ` a esquerda, o funtor S . Nas se¸c˜ oes seguintes ser˜ ao discutidos feixes finos, feixe de mor- fismos H om O

(F , G) , feixes de tipo finito, feixes quase-coerentes e apresenta¸c˜ ao finita, feixes coerentes e feixes localmente livres.

No segundo cap´ıtulo, ser´ a apresentada a demonstra¸c˜ ao do teorema de Serre-Swan.

Essa demonstra¸c˜ ao foi dividida em v´ arios resultados. Por exemplo, ser´ a mostrado que

se ( X, O ^X ) ´ e um espa¸co anelado e C ´ e uma subcategoria abeliana plena da categoria

O ^X -Mod tal que O ^X pertence C , e todos os feixes em C s˜ ao finitamente gerados por

se¸c˜ oes globais, ent˜ ao, existe um isomorfismo entre S( Γ ( X, F)) e F , para todo feixe

F em C . A partir desse resultado, pode-se extrair um corol´ ario, onde ser´ a assumido

m´ odulo projetivo P finitamente gerado ´ e isomorfo a Γ ( X, S( P )) . Esses dois resultados constituir˜ ao um papel bem relevante na conclus˜ ao da demosntra¸c˜ ao do teorema.

O terceiro cap´ıtulo foi destinado a algumas aplica¸c˜ oes do Teorema de Serre-Swan.

Naturalmente, ser´ a observado que tanto o Teorema de Serre quanto o de Swan ser˜ ao

corol´ arios do teorema anterior. Al´ em disso, ainda ser´ a mostrado que o Teorema de

Serre-Swan tamb´ em ´ e v´ alido para espa¸cos C ^∞ -diferenci´ aveis.

Um pouco da teoria dos feixes

Neste cap´ıtulo ser´ a estudada a teoria de feixes, abordando algumas propriedades e defini¸c˜ oes. A parte inicial, ser´ a dedicada a definir os feixes de m´ odulos em espa¸cos anelados e os funtores Γ ( X, ●) e S . O restante do cap´ıtulo ´ e destinado ao estudo de algumas classes de feixes primordiais no desenvolvimento dos cap´ıtulos seguintes.

1.1 Feixes de M´ odulos

Defini¸ c˜ ao 1.1. Seja ( X, O ^X ) um espa¸co anelado. Um feixe de O ^X -m´ odulos (ou sim- plesmente, um O ^X -m´ odulo) ´ e um feixe F em X tal que para cada conjunto aberto U ⊆ X, dois morfismos u ∶ F × F Ð→ F e v ∶ O X × F de feixes sobre X, definidos por u ( s, s ^′ ) = s + s ^′ e v ( a, s ) = as, definem uma estrutura de O ^X ( U ) -m´ odulo em F( U ) . Al´ em disso, se V ´ e um subconjunto de U , ent˜ ao ( as )∣ ^V = a ∣ ^V s ∣ ^V para todo a ∈ O ^X ( U ) e s ∈ F( U ) . Denotaremos a categoria dos O ^X -m´ odulos por O ^X -Mod e para qualquer anel A, A -Mod denotar´ a a categoria dos A-m´ odulos.

Se F ´ e um O ^X -m´ odulo, ent˜ ao, para cada x ∈ X, podemos definir uma estrutura de O X,x -m´ odulo da seguinte forma:

⟨ U, s ⟩⟨ V, s ^′ ⟩ = ⟨ U ∩ V, s ∣ ^U∩V s ^′ ∣ ^U∩V ⟩ .

Um morfismo de O ^X -m´ odulos ´ e um morfismo de feixes φ ∶ F Ð→ G entre O ^X - m´ odulos, onde para cada aberto U ⊆ X, o morfismo φ ( U ) ∶ F( U ) Ð→ G( U ) ´ e um homomorfismo de O ^X ( U ) -m´ odulos, isto ´ e,

φ ( U )( s + s ^′ ) = φ ( U )( s ) + φ ( U )( s ^′ ) e φ ( U )( as ) = aφ ( U )( s )

para cada s ∈ F( U ) , s ^′ ∈ G( U ) e a ∈ O ^X ( U ) .

Observa¸ c˜ ao 1.1. Para cada x ∈ X, o morfismo φ ∶ F Ð→ G de O ^X -m´ odulos induz um homomorfismo de O ^X,x -m´ odulos φ _x ∶ F ^x Ð→ G ^x , definido por φ _x (⟨ U, s ⟩) = ⟨ U, φ ( U )( s )⟩ . De fato,

φ _x (⟨ V, s ⟩⟨ U, s ^′ ⟩) = φ _x (⟨ V ∩ U, s ∣ ^{V ∩U} s ^′ ∣ ^{V ∩U} ⟩)

= ⟨ V ∩ U, φ ( V ∩ U )( s ∣ ^{V ∩U} s ^′ ∣ ^{V ∩U} )⟩

= ⟨ V ∩ U, s ∣ ^{V ∩U} φ ( V ∩ U )( s ^′ ∣ ^{V ∩U} )⟩

= ⟨ V, s ⟩⟨ U, φ ( U )( s ^′ )⟩

= ⟨ V, s ⟩ φ _x (⟨ U, s ^′ ⟩) .

e

φ _x (⟨ V, s ⟩ + ⟨ U, s ^′ ⟩) = φ _x (⟨ V ∩ U, s ∣ ^{V ∩U} + s ^′ ∣ ^{V ∩U} ⟩)

= ⟨ V ∩ U, φ ( V ∩ U )( s ∣ ^{V ∩U} + s ^′ ∣ ^{V ∩U} )⟩

= ⟨ V ∩ U, φ ( V ∩ U )( s ∣ V ∩U ) + φ ( V ∩ U )( s ^′ ∣ V ∩U )⟩

= ⟨ V, φ ( V ∩ U )( s ∣ ^{V ∩U} )⟩ + ⟨ U, φ ( V ∩ U )( s ^′ ∣ ^{V ∩U} )⟩

= ⟨ V, φ ( V )( s )⟩ + ⟨ U, φ ( U )( s ^′ )⟩

= φ _x (⟨ V, s ⟩) + φ _x (⟨ U, s ^′ ⟩)

Se F e G s˜ ao dois O ^X -m´ odulos, denotaremos por H om _O

(F , G) , o conjunto de todos os morfismos de F para G . Dessa forma, para cada subconjunto aberto U ⊆ X, podemos definir uma estrutura de O ^X ( X ) -m´ odulo dada por ϕ + ψ = ( ϕ ( U )+ ψ ( U )) ^U⊆X e aϕ = ( a ∣ U ϕ ( U )) ^U⊆X , com a ∈ O X ( X ) e ( ϕ, ψ ) ∈ ( Hom O

(F , G) × Hom O

(F , G)) . Com isso, obtemos que a categoria O ^X -Mod ´ e O ^X ( X ) -linear ¹ .

Observa¸ c˜ ao 1.2. A categoria dos feixes de m´ odulos sobre um espa¸co anelado ´ e uma ca- tegoria abeliana. Com isso, podemos aplicar resultados cl´ assicos da ´ algebra homol´ ogica de grupos abelianos como o Lema dos Cinco, o Lema da Serpente, a Sequˆ encia Longa de Homologia, Teorema Fundamental do Isomorfismo, entre outros.

1.2 O funtor das se¸ c˜ oes globais e seu adjunto

O anel das se¸c˜ oes globais de O ^X , ser´ a denotado por Γ ( X, O ^X ) e usaremos A para denotar esse anel. Desse modo, podemos definir um funtor Γ ( X, ●) que a cada objeto da categoria O ^X -Mod corresponde a um objeto na categoria A -Mod, isto ´ e,

1

Seja R um anel. Uma categoria R-linear A ´ e uma categoria onde cada conjunto de morfismos tem

a estrutura de um R-m´ odulo, e a lei de composi¸ c˜ ao ´ e R-bilinear, isto ´ e, a composi¸ c˜ ao ´ e Z -bilinear e

ϕ ○ ( rψ ) = r ( ϕ ○ ψ ) e ( rϕ ) ○ ψ = r ( ϕ ○ ψ ) , para r ∈ R e ϕ, ψ ∈ A .

Γ ( X, ●) ∶ O ^X -Mod Ð→ A -Mod

definido por, Γ ( X, ●)(F) = Γ ( X, F) e para ϕ ∈ Hom _O

(F , G) , temos Γ ( X, ●)( ϕ ) = ϕ _X ∶ Γ ( X, F) Ð→ Γ ( X, G) . Este funtor ser´ a chamado o funtor das se¸ c˜ oes globais.

Proposi¸ c˜ ao 1.1. Sejam U um subconjunto aberto de X e Γ ( X, ●) o funtor das se¸ c˜ oes globais. Se a sequˆ encia de O ^X -m´ odulos

0 ^// F ^{′ ϕ //} F ^{ψ //} F ^{′′ //} 0 , (1.1)

´ e exata, ent˜ ao a sequˆ encia de O ^X ( U ) -m´ odulos

0 ^// Γ ( U, F ^′ ) ^ϕ

^// Γ ( U, F) ^ψ

^// Γ ( U, F ^′′ ) , (1.2)

´ e exata ` a esquerda, isto ´ e, o funtor Γ ( U, ●) ´ e exato ` a esquerda.

Demonstra¸ c˜ ao. Como ϕ ´ e injetiva, o morfismo induzido ϕ ( U ) tamb´ em ´ e injetivo para todo subconjunto aberto U de X, assim para mostrar que a sequˆ encia 1.2 ´ e exata, precisamos mostrar que Ker ( ϕ ( U )) = Im ( ψ ( U )) . Seja s ∈ F ^′ ( U ) . Consideremos a sequˆ encia induzida nos talos

0 ^// F x ^′

ϕ

// F ^{x ψ}

^// F x ^′′ . (1.3)

que ´ e uma sequˆ encia exata de grupos abelianos para todo x ∈ X, pois a sequˆ encia 1.1 ´ e

exata. Assim, ψ _x ( ϕ _x ( s _x )) = 0 para todo x ∈ U . Consequentemente, ψ ( ϕ ( s )) ^x = 0 para

todo x ∈ U . Por defini¸c˜ ao existe um subconjunto aberto V de U tal que o par ⟨ V, s ∣ ^V ⟩

representa o elemento s x ∈ F x ^′ , o par ⟨ V, ϕ ( s )∣ ^V ⟩ representa ϕ ( s ) ^x ∈ F ^x e ⟨ V, ψ ( ϕ ( s ))∣ ^V ⟩

representa ψ ( ϕ ( s )) x ∈ F x ^′′ . Al´ em disso, temos que ψ ( ϕ ( ρ ^′ _V,U ( s ))) = ψ ( ρ _V,U ( ϕ ( s )) =

ρ ^′′ _V,U ( ψ ( ϕ ( s ))) , por defini¸c˜ ao de morfismo de feixes, onde ρ ^′ , ρ e ρ ^′′ s˜ ao os mapas de

restri¸c˜ oes de F ^′ , F e F ^′′ , respectivamente. Para todo x ∈ U existe uma vizinhan¸ca

aberta V de x tal que ψ ( ϕ ( s ))∣ ^V = 0, assim pela condi¸c˜ ao de unicidade em feixes,

ψ ( ϕ ( s )) = 0, isto ´ e, Im ( ϕ ( U )) ⊆ Ker ( ψ ( U )) . Reciprocamente, seja t ∈ Ker ( ψ ) . Para

todo x ∈ U, existe s x ∈ F x ^′ tal que ϕ x ( s x ) = t x , pois a sequˆ ecia 1.3 ´ e exata. Assim,

existe uma cobertura aberta { V _i } ^i∈I de U e elementos s _i ∈ F ^′ tal que ϕ ( s _i ) = t ∣ V

. Como

ϕ ( s _i ∣ ^V

∩V

) = ϕ ( s _j ∣ ^V

∩V

) = t ∣ ^V

∩V

para todo i, j ∈ I, ent˜ ao pela injetividade de ϕ, temos

que s _i ∣ ^V

∩V

= s _j ∣ ^V

∩V

. Pela defini¸c˜ ao de feixe, existe s ∈ F ^′ ( U ) tal que s ∣ ^V

= s _i para

todo i ∈ I . Assim, pela condi¸c˜ ao de unicidade, segue que ϕ ( s ) = t. Logo, Ker ( ψ ( U )) ⊆

Im ( ϕ ( U )) . Portanto, a sequˆ encia 1.2 ´ e exata ` a esquerda, e consequentemente o funtor

Γ ( X, ●) ´ e exato ` a esquerda.

Defini¸ c˜ ao 1.2. Sejam F e G dois O ^X -m´ odulos. Ent˜ ao, podemos construir o produto tensorial entre esses O ^X -m´ odulos, considerando para cada aberto U ⊆ X, o O ^X ( U ) - m´ odulo F( U ) ⊗ ^O

(U) G( U ) , de modo que a associa¸c˜ ao

U ↦ F( U ) ⊗ ^O

(U) G( U )

define um pr´ e-feixe cujas restri¸c˜ oes s˜ ao os produtos tensoriais das respectivas res- tri¸c˜ oes de F e G . Entretanto, esse pr´ e-feixe, em geral, n˜ ao ´ e um feixe. Dessa forma, denotaremos por F ⊗ ^O

G a feixifica¸c˜ ao deste pr´ e-feixe. Portanto, F ⊗ ^O

G ´ e um O ^X -m´ odulo e (F ⊗ ^O

G) ^x = F ^x ⊗ ^O

G ^x para cada x ∈ X. Note que essa ´ ultima igualdade pode ser verificada observando a existˆ encia de um isomorfismo canˆ onico entre os O X,x -m´ odulos (F ⊗ ^O

G) x e F x ⊗ ^O

G x . De fato, considere os morfismos γ ∶ (F ⊗ ^O

G) x Ð→ F x ⊗ ^O

G x e θ ∶ F x ⊗ ^O

G x Ð→ (F ⊗ ^O

G) x definidos por γ (⟨ U, f ⊗ g ⟩) = f _x ⊗ g _x e θ ( f _x ⊗ g _x ) = ⟨ U ∩ V, f ∣ ^U∩V ⊗ g ∣ ^U∩V ⟩ respectivamente. ´ E f´ acil ver que γ e θ s˜ ao inversos.

Seja M um A-m´ odulo. Defina um pr´ e-feixe P( M ) em X dado por P( M )( U ) = M ⊗ ^A O ^X ( U ) para todo subconjunto aberto U de X com a restri¸c˜ ao ρ _V,U ∶ P( M )( U ) Ð→

P( M )( V ) dada por ρ _V,U ( m ⊗ s ) = m ⊗ s ∣ ^V para qualquer subconjunto aberto V ⊆ U , e elementos m ∈ M e s ∈ O ^X ( U ) . Observemos que O ^X ( U ) ´ e canonicamente um A- m´ odulo. De fato, basta notar que se f ∈ A e s ∈ O ^X ( U ) , temos que f ⋅ s = f ∣ ^U ⋅ s ∈ O ^X ( U ) . Portanto, podemos afirmar que P( M )( U ) ´ e um O X ( U ) -m´ odulo. Denotaremos por S( M ) o feixe associado a P( M ) . Da mesma forma, se temos um homomorfismo de A-m´ odulos v ∶ M Ð→ N , definimos para todo aberto U ⊆ X o morfismo de pr´ e-feixes

(P( M )( v )) U = v ⊗ 1 O

∶ M ⊗ A 1 O

Ð→ N ⊗ A 1 O

.

Logo, esse morfismo de pr´ e-feixe induz um morfismo de feixes S( v ) ∶ S( M ) Ð→ S( N ) . Assim, temos um funtor

S ∶ A -Mod Ð→ O ^X -Mod . (1.4)

Observa¸ c˜ ao 1.3. Seja ( X, O ^X ) um espa¸co anelado. Para todo O ^X -m´ odulo F , defini- remos o homomorfismo de A-m´ odulos

σ ∶ Hom _O

(O ^X , F) Ð→ Γ ( X, F) u z→ u _X ( 1 ) Observemos que σ ´ e um isomorfismo, com inverso

γ ∶ Γ ( X, F) Ð→ Hom O

(O ^X , F) ,

dado por γ ( s ) ^U ( h ) = h ⋅ ( s ∣ ^U ) , para s ∈ Γ ( X, F) , U ⊆ X aberto e h ∈ O ^X ( U ) . De fato, para todo u ∈ Hom _O

(O ^X , F) e s ∈ Γ ( X, F) temos

σ ○ γ ( s ) = σ ( γ ( s )) = σ ( u ) = u _X ( 1 ) = 1 ⋅ ( s ∣ ^X ) = s, por um lado, e por outro,

γ ○ σ ( u ) = γ ( σ ( u )) = γ ( u _X ( 1 )) = γ ( 1 ⋅ s ∣ ^X ) = γ ( s ) = u.

Portanto, temos que σ e γ s˜ ao aplica¸c˜ oes inversas entre si. Dizemos assim que o morfismo de O ^X -m´ odulos u = γ ( s ) ∶ O ^X Ð→ F ´ e definido pela se¸ c˜ ao s de F em X.

Deste modo, temos um isomorfismo de funtores

Hom _O

(O ^X , ●) Ð→ Γ ( X, ●) .

A observa¸c˜ ao anterior pode ser estendida para um caso mais geral. Para isso, precisaremos de um conjunto arbitr´ ario de ´ındices I e consideraremos a soma direta O X ^(I) = ⊕ ^i∈I O ^X e para cada i ∈ I, seja f _i ∶ O ^X Ð→ O ^(I) X a inje¸c˜ ao canˆ onica do i-´ esimo somando direto O ^X para O ^(I) X . Assim, de modo an´ alogo a observa¸c˜ ao 1.3, iremos definir para todo O ^X -m´ odulo F , o homomorfismo de A-m´ odulos

σ ∶ Hom _O

(O ^(I) X , F) Ð→ Γ ( X, F) ^I = ∑

i∈I

Γ ( X, F) u z→ (( u ○ f _i ) ^X ( 1 )) ^i∈I

onde σ ´ e um isomorfismo e seu inverso

γ ∶ Γ ( X, F) ^I Ð→ Hom _O

(O ^(I) X , F)

´ e dado por γ ( s ) ^U ( g ) = ∑ ^i∈I g _i ( s _i ∣ ^U ) para s = ( s _i ) ^i∈I ∈ Γ ( X, F) ^I , U ⊆ X aberto e g = ( g _i ) ^i∈I ∈ O ^(I) X ( U ) . Como g ∈ O X ( U ) ^(I) a soma acima ´ e uma soma finita e portanto segue que γ est´ a bem definida. Assim como na observa¸c˜ ao 1.3, temos o isomorfismo de funtores

Hom _O

(O ^(I) X , ●) Ð→ Γ ( X, ●) ^I (1.5) Desse modo, dizemos que o morfismo de O ^X -m´ odulos u = γ ( s ) ∶ O ^(I) X Ð→ F ´ e definido pela fam´ılia de se¸ c˜ oes s = ( s _i ) ^i∈I de F em X.

Agora, faremos a demonstra¸c˜ ao de uma importante proposi¸c˜ ao que relaciona o funtor das se¸c˜ oes globais Γ ( X, ●) com o funtor S .

Proposi¸ c˜ ao 1.2. Para cada espa¸ co anelado ( X, O ^X ) , o funtor S ´ e um adjunto ` a

esquerda de Γ ( X, ●) .

Demonstra¸ c˜ ao. Defina Γ ( X, O ^X ) = A. Sejam F um O ^X -m´ odulo e M um A-m´ odulo.

Agora, considere o homomorfismo θ ∶ M Ð→ Γ ( X, F) de A-m´ odulos. Al´ em disso, seja θ ^′ ∶ P( M ) Ð→ F o morfismo de pr´ e-feixes tal que para todo subconjunto aberto U de X

λ _θ ∶ M ⊗ A O X ( U ) Ð→ F( U )

´ e dado por λ _θ ( m ⊗ A f ) = f ⋅ θ ( m )∣ U , para m ∈ M e f ∈ O X ( U ) . Note que o diagrama M ⊗ ^A O ^X ( U ) ^λ

^//

ρ

F( U )

ρ

M ⊗ A O X ( V ) _λ

θ

// F( V )

(1.6)

´ e comutativo para toda inclus˜ ao V ⊆ U de abertos de X. De fato, seja m ⊗ f ∈ M ⊗ ^A O ^X ( U ) ent˜ ao ρ _V,U ( m ⊗ f ) = m ⊗ f ∣ ^V ∈ M ⊗ ^A O ^X ( V ) por sua vez, λ _θ ( m ⊗ f ∣ ^V ) = f ∣ ^V ⋅ θ ( m )∣ ^V ∈ F( V ) . Por outro lado, λ _θ ( m ⊗ f ) = f ⋅ θ ( m )∣ ^U ∈ F( U ) e ρ ^′ _V,U ( f ⋅ θ ( m )∣ ^U ) = ( f ⋅ θ ( m )∣ ^U )∣ ^V = f ∣ ^V ⋅ θ ( m )∣ ^V ∈ F( V ) . Portanto, o diagrama 1.6 ´ e comutativo e λ _θ ´ e um morfismo de pr´ e-feixes. Podemos assim considerar o morfismo de feixes λ ⁺ ( θ ) associado a λ _θ . Sejam α _θ ∶ S( M ) Ð→ F o morfismo de feixes associado a θ, σ ∶ M ^′ Ð→ M e γ ∶ F Ð→ F ^′ . Defina

λ ⁺ ∶ Hom _A ( M, Γ ( X, F)) Ð→ Hom _O

(S( M ) , F) (1.7) θ z→ α _θ

Agora, provaremos que λ ⁺ ´ e funtorial, isto ´ e, se existe

λ ⁺ ∶ Hom A ( M ^′ , Γ ( X, F ^′ )) Ð→ Hom O

(S( M ^′ ) , F ^′ ) ent˜ ao o diagrama abaixo ´ e comutativo para todo σ e γ.

Hom _A ( M, Γ ( X, F)) ^λ

^//

Hom(σ,Γ(X,γ))

Hom _O

(S( M ) , F)

Hom(S(σ),γ)

Hom _A ( M ^′ , Γ ( X, F ^′ )) _λ

// Hom _O

(S( M ^′ ) , F ^′ )

(1.8)

Seja θ ∈ Hom _A ( M, Γ ( X, F)) ent˜ ao temos que

Hom (S( σ ) , γ ) ○ λ ⁺ ( θ ) = γ ○ λ ⁺ ( θ ) ○ S( σ ) ∈ Hom O

(S( M ^′ ) , F ^′ ) e (1.9)

λ ⁺ ○ Hom ( σ, Γ ( X, γ ))( θ ) = λ ⁺ ( Γ ( X, γ ) ○ θ ○ σ ) ∈ Hom _O

(S( M ^′ ) , F ^′ ) (1.10)

Agora, para verificar que o diagrama 1.8 ´ e comutativo basta mostrar que os morfismos

1.9 e 1.10 coincidem no pr´ e-feixe P( M ^′ ) . Com efeito, seja U um subconjunto aberto de X e m ^′ ⊗ s ∈ M ^′ ⊗ O ^X ( U ) . Dessa forma,

γ _U ○ λ ⁺ ( θ ) ○ S( σ )( m ^′ ⊗ s ) = γ _U ○ λ ⁺ ( θ ) ○ ( σ ( m ^′ ) ⊗ s ) = γ _U ○ θ _U ^′ ( σ ( m ^′ ) ⊗ s )

= γ _U ( θ _U ^′ ( σ ( m ^′ ) ⊗ s )

= γ _U ( s ⋅ θ ( σ ( m ^′ ))∣ ^U )

= s ⋅ γ _U ( θ ( σ ( m ^′ ))∣ U )

= s ⋅ ( Γ ( X, γ )( θ ○ σ ( m ^′ )))∣ ^U

= λ _{Γ(X,γ)○θ○σ} ( m ^′ ⊗ s )

= λ ⁺ ( Γ ( X, γ ) ○ θ ○ σ )( m ^′ ⊗ s )

sempre que γ seja um morfismo de feixes. Da´ı temos γ _U ○ λ ⁺ ( θ ) ○ S( σ )( m ^′ ⊗ s ) = λ ⁺ ( Γ ( X, γ )○ u ○ σ )( m ^′ ⊗ s ) . Portanto, o diagrama 1.8 ´ e comutativo e consequentemente γ ´ e funtorial em F e M . Por fim, resta mostrar que λ ⁺ ´ e uma bije¸c˜ ao. De fato, defina ϕ ∶ Hom _O

(S( M ) , F) Ð→ Hom _A ( M, Γ ( X, F)) (1.11) dado por ϕ ( u )( m ) = u _X ( m ⊗ 1 ) para u ∶ S( M ) Ð→ F e m ∈ M . Mostremos que o morfismo ϕ ´ e inverso de λ ⁺ . Seja θ ∈ Hom A ( M, Γ ( X, F)) e λ ( θ ) ∶ M ⊗ ^A O ^X Ð→ F o morfismo de pr´ e-feixes associado a λ ⁺ ( θ ) . Assim, para todo aberto U de X, temos

λ ( θ ) ^U ∶ M ⊗ ^A O ^X ( U ) Ð→ F( U ) m ⊗ f z→ f ⋅ θ ( m )∣ ^U . Por outro lado, temos que

ϕ ( u ) ∶ M Ð→ Γ ( X, F) (1.12)

m z→ ϕ ( u )( m ) = u ˆ _X ( m ⊗ 1 ) onde ϕ ( u ) ´ e a feixifica¸c˜ ao de ˆ u _X . Agora, podemos observar que

ϕ ( λ ⁺ ( θ ))( m ) = λ ( θ ) ^X ( m ⊗ 1 ) = 1 ⋅ θ ( m )∣ ^X = θ ( m ) .

Assim, ϕ ○ λ ⁺ = 1 _Hom

_(M,Γ(X,F)) . Reciprocamente, tomemos π definido como o morfismo

de pr´ e-feixes associado a λ ⁺ ( ϕ ( u )) , para u ∈ Hom _O

(S( M ) , F) . Dessa forma,

π _U ∶ M ⊗ A O X ( U ) Ð→ F( U )

m ⊗ f z→ f ⋅ ( ϕ ( u )( m ))∣ ^U

para todo aberto U de X, m ∈ M e f ∈ O ^X ( U ) . Observe que pela equa¸c˜ ao 1.12 temos f ⋅ ϕ ( u )( m )∣ ^U = f ⋅ u ˆ _X ( m ⊗ 1 ))∣ ^U

= f ⋅ u ˆ _U (( m ⊗ 1 )∣ ^U )

= f ⋅ u ˆ _U ( m ⊗ 1 )

= u ˆ _U ( f ( m ⊗ 1 ))

= u ˆ _U ( m ⊗ f ) .

E assim, provamos que λ ⁺ ( ϕ ( u )) = u e consequentemente λ ⁺ ○ ϕ = 1 _Hom

X

(S(M ),F) . Portanto, λ ⁺ ´ e uma bije¸c˜ ao.

1.3 Feixes finos

Nesta se¸c˜ ao definiremos os feixes finos, que s˜ ao uma importante classe de feixes definidos sobre espa¸cos topol´ ogicos paracompactos. Esses feixes desempenham um papel muito relevante em alguns resultados ao longo do trabalho.

Um morfismo de feixes ϕ ∶ F Ð→ G sobre um espa¸co topol´ ogico X induz em cada ponto x ∈ X um homomorfismo de grupos ϕ _x ∶ F ^x Ð→ G ^x nos talos. O suporte do morfismo de feixes ϕ ´ e definido como

Supp ( ϕ ) = { x ∈ X ∣ ϕ _x ≠ 0 } .

Defini¸ c˜ ao 1.3. Sejam F um feixe grupos abelianos sobre um espa¸co topol´ ogico X e { U i } ^i∈I uma cobertura localmente finita sobre X. Uma parti¸ c˜ ao da unidade de F subordinada a { U _i } ^i∈I ´ e uma cole¸c˜ ao { ξ _i ∶ F Ð→ F} de morfismos de feixes tais que

(i) Supp ( ξ _i ) ⊂ U _i ;

(ii) Para cada ponto x ∈ X, a soma ∑ ^i∈I ξ _i,x = Id F

, onde Id F

´ e o morfismo identidade no talo F ^x .

Defini¸ c˜ ao 1.4. Seja F um feixe sobre um espa¸co topol´ ogico X. Dizemos que F ´ e suave se para qualquer subconjunto fechado U ⊂ X, o mapa

ρ ^U _X ∶ Γ ( X, F) Ð→ Γ ( U, F∣ ^U )

s z→ (( s ) ^x ) ^x∈U

´ e sobrejetivo. Em outras palavras, qualquer se¸c˜ ao de F sobre U pode ser estendida a uma se¸c˜ ao de F sobre X.

Defini¸ c˜ ao 1.5. Um feixe F sobre um espa¸co espa¸co topol´ ogico paracompacto X ´ e dito fino se para toda cobertura localmente finita { U _i } ^i∈I de X, o feixe F admite uma parti¸c˜ ao da unidade subordinada a { U _i } ^i∈I .

Proposi¸ c˜ ao 1.3. Seja X um espa¸ co topol´ ogico paracompacto. Ent˜ ao, todo feixe fino sobre X ´ e suave.

Demonstra¸ c˜ ao. Seja Y ⊂ X um conjunto aberto e F um feixe fino sobre X. Se s ∈ Γ ( Y, F) , ent˜ ao para cada x ∈ Y , o germe de s em x ´ e representado por uma se¸c˜ ao definida em uma vizinhan¸ca de x, que coincide com s quando restringido a uma vizinhan¸ca intesectada com Y . Assim, podemos escolher uma cobertura aberta V de X e elementos s _V ∈ Γ ( V, F) tal que s ∣ V ∩Y = s _V ∣ V ∩Y para cada V ∈ V . Observe que um desses conjuntos abertos ser´ a o complementar de Y e ter´ a a se¸c˜ ao nula e os outros conjuntos ser˜ ao vizinhan¸cas de pontos de Y . Uma vez que X ´ e paracompacto, podemos assumir que V ´ e localmente finita. Agora, como F ´ e fino, existe uma fam´ılia de mor- fismos { ξ _i ∶ F Ð→ F} tal que o suporte Supp ( ξ _i ) ⊂ V _i , com V _i ∈ V e ∑ ⁱ ξ _i = Id _F

. Para cada i, tomemos ξ i s V

para ser uma se¸c˜ ao em todo ponto de X para estende-lo a 0 no complementar de V _i . Agora, defina s ^′ = ∑ ξ _i s _V

∈ Γ ( X, F) . Essa soma faz sentido, pois a cobertura ´ e localmente finita, isto ´ e, em uma vizinhan¸ca de qualquer ponto somamos somente uma quantidade finita de termos n˜ ao nulos. Temos tamb´ em que s ^′ _x = s _x em cada ponto x ∈ Y , assim s ^′ ´ e uma extens˜ ao de s para todo ponto de X. Da´ı segue que F ´ e suave.

Exemplo 1.1. O feixe das fun¸c˜ oes cont´ınuas de valores reais C X em um espa¸co to- pol´ ogico paracompacto X ´ e um feixe fino. De fato, como todo espa¸co topol´ ogico paracompacto ´ e normal, isso implica que o Lema de Urysohn [17, Theorem 33.1, p.

207] ´ e v´ alido. Assim, por [21, Lemma 1.3.2, p. 5] podemos usar esse lema para construir parti¸c˜ oes cont´ınuas da unidade subordinada a alguma cobertura aberta lo- calmente finita. Considere { U α } ^α∈I uma cobertura aberta localmente finita de X, isto

´ e, X = ⋃ ^α∈I U _α . Assim, existe uma fun¸c˜ ao cont´ınua f _α ∶ X Ð→ R tal que f _α ( x ) = 0, para todo x ∈ X K U _α e ∑ ^α∈I f _α ( x ) = 1 para todo x ∈ U _α . Defina η _α ∶ C ^X Ð→ C ^X , onde para todo aberto U de X temos

η α ( U ) ∶ C ^X ( U ) Ð→ C ^X ( U )

s z→ s ⋅ f _α ∣ ^U ∶ U Ð→ R

com s ⋅ f _α ∣ ^U ( x ) = s ( x ) f _α ( x ) . Se x ∈ X K U _α , ent˜ ao x ∈ X K Supp f _α , consequentemente, existe uma vizinhan¸ca aberta V de x tal que V ⊂ X K Supp f _α . Logo, f _α ( y ) = 0 para todo y ∈ V . Portanto, ⟨ X, f _α ⟩ = ⟨ X, 0 ⟩ . Sendo X um espa¸co topol´ ogico paracompacto, admite uma cobertura localmente finita X = ⋃ ^α U α . Logo, existe f α ∶ X Ð→ R tal que f _α ( x ) = 0 para todo x ∈ X K U _α , e para cada x ∈ X tem-se ∑ ^α f _α ( x ) = Id. Seja y ∈ U _α

∩ ... ∩ U _α

∩ U , com α ≠ α _i para todo i. Podemos demonstrar que f _α ( y ) = 0. De fato, se f _α ( y ) ≠ 0, ent˜ ao, y ∈ U _α e assim U _α ∩ U ≠ ∅ . Se α ´ e tal que f _α ( y ) = 0, ent˜ ao existe i tal que α = α _i . Seja U uma vizinha¸ca aberta de x tal que U ∩ U _α

≠ ∅ para todo i, assim para x ∈ X existem ´ unicos α _i , ..., α _n tais que x ∈ U _α

. Logo, se α ≠ α _i para todo i, ent˜ ao f α ( x ) = 0. Portanto, se α ≠ α i tem-se, ( η α ) ^x = 0. Por outro lado, temos

∑ α ( η _α ) ^x = ( η _α

) ^x + ... + ( η _α

) ^x ∶ C ^X Ð→ C ^X

⟨ U, s ⟩ z→ ⟨ U, s ⟩⟨ X, f _α

⟩ + ... + ⟨ U, s ⟩⟨ X, f _α

⟩

Note que

⟨ U, s ⟩(⟨ X, f _α

⟩ + ... + ⟨ X, f _α

⟩) = ⟨ U, s ⟩⟨ X, f _α

+ ... + f _α

⟩

= ⟨ U, s ⟩⟨ U α

∩ ... ∩ U α

∩ U, 1 ⟩

= ⟨ U, s ⟩ .

Assim, uma fun¸c˜ ao cont´ınua com suporte em um conjunto aberto define, por multi- plica¸c˜ ao, um endomorfismo de C ^X com suporte em um conjunto aberto. Logo, uma parti¸c˜ ao da unidade na ´ algebra das fun¸c˜ oes cont´ınuas em X define uma parti¸c˜ ao da unidade para o feixe C ^X , nas condi¸c˜ oes da defini¸c˜ ao 1.5. Portanto, C ^X ´ e um feixe fino.

1.4 O feixe dos morfismos Hom _{O X} (F , G)

Sejam ( X, O ^X ) um espa¸co anelado, e F e G dois O ^X -m´ odulos. Para todo subcon- junto aberto U de X, defina

(H om O

(F , G))( U ) = Hom O

(F∣ ^U , G∣ ^U ) , (1.13) Como ser´ a visto na proposi¸c˜ ao 1.4 abaixo, H om _O

(F , G) define um feixe, chamado o feixe dos O ^X -morfismos de F para G .

Proposi¸ c˜ ao 1.4. Sejam F e G dois O ^X -m´ odulos. Ent˜ ao, H om _O

(F , G) ´ e um feixe.

Demonstra¸ c˜ ao. Sejam f, g ∈ Hom _O

(F∣ ^U , G∣ ^U ) dois morfismos e U um subconjunto

aberto de X. Assim, definimos o morfismo f + g ∶ F∣ ^U Ð→ G∣ ^U de modo que para todo

aberto V ⊆ U tem-se

( f + g ) ^V ( s ) = f _V ( s ) + g _V ( s ) .

Para qualquer inclus˜ ao de conjuntos abertos W ⊆ V temos a igualdade ( f _W + g _W ) ○ ρ _W,V = ρ _W,V ○ ( f _V + g _V ) ,

onde ρ ´ e o morfismo de restri¸c˜ ao, pois a composi¸c˜ ao de homomorfismos ´ e distributiva com respeito a adi¸c˜ ao de grupos abelianos. Assim, f + g ´ e um morfismo de feixes.

O elemento identidade ´ e o morfismo 0 tal que 0 _V ( s ) ´ e o mapa zero para todo aberto V , e inverso de f ´ e o morfismo que leva um conjunto aberto V no mapa − f _V ( s ) . A comutatividade segue da comutatividade da adi¸c˜ ao de grupos abelianos. Assim, nota-se que Hom _O

(F∣ ^U , G∣ ^U ) possui uma estrutura natural de grupos abelianos induzida pela estrutura de grupos abelianos de Hom O

(F( V ) , G( V )) , para todo V ⊆ U . Note que, dado W ⊂ V ⊂ U , temos ρ _W,U = ρ _W,V ○ ρ _V,U . De fato, suponha f ∈ H om (F , G)( W ) ent˜ ao ρ _V,U ( f ) ∈ H om (F , G)( V ) assim para todo aberto V ₀ ⊂ V , ρ _V,U ( f ( V ₀ )) = f ( V ₀ ) . Dessa forma, para todo aberto W ₀ ⊂ W temos ρ _W,V ○ ρ _V,U ( f ( W ₀ )) = ρ _W,U ( f ( W ₀ )) = f ( W ₀ ) . Logo

ρ _W,V ○ ρ _V,U = ρ _W,U .

Portanto, H om _O

(F , G) ´ e um pr´ e-feixe de grupos abelianos. Agora, provaremos os axiomas de feixes:

Axioma 1: Seja { U i } ^i∈I uma cobertura aberta de um aberto U ⊆ X. Seja σ ∈ H om O

(F , G)( U ) uma se¸c˜ ao tal que σ _i ∶= σ _U

= 0, para todo i ∈ I. Seja s ∈ F( U ) uma se¸c˜ ao fixada. Consideremos os seguintes morfismos de grupos abelianos

σ _i ( U _i ) ∶ F( U _i ) Ð→ G( U _i )

definido por σ ( s _i ) = 0. Agora, como as se¸c˜ oes { s _i } ^i∈I coincidem em U _ij ∶= U _i ∩ U _j para todo i ≠ j , e F ´ e um feixe, temos que a se¸c˜ ao s satisfaz σ ( U )( s ) = 0. Como s foi tomada como uma se¸c˜ ao qualquer de F( U ) , temos que σ ( U ) = 0 e da´ı segue que σ = 0.

Axioma 2: Seja novamente { U _i } ^i∈I uma cobertura aberta de um aberto U ⊆ X e seja u _i ∶ F∣ ^U

Ð→ G∣ ^U

uma fam´ılia de se¸c˜ oes tais que u _i = u _j em U _ij . Precisamos provar que existe uma se¸c˜ ao u ∈ H om _O

(F , G)( U ) tal que u ∣ ^U

= u _i . Seja V ⊆ U ent˜ ao A _i ∶= U _i ∩ V , donde { A _i } ^i∈I ´ e uma cobertura aberta de V. Seja s ∈ F( V ) uma se¸c˜ ao fixada e seja o conjunto s _i ∶= s ∣ ^A

. Consideremos

u i ( A i ) ∶ F( A i ) Ð→ G( A i )

definido por u _i ( s _i ) = t _i . Da´ı, como G ´ e um feixe, existe uma se¸c˜ ao t ∈ G( V ) tal que t ∣ A

= t _i para todo i ∈ I. Assim, podemos definir

u ( V ) ∶ F( V ) Ð→ G( V )

dado por u ( s ) = t, para todo V ⊆ U . Portanto, u ∣ ^U

= u _i .

Observa¸ c˜ ao 1.4. (i) O feixe H om _O

(F , G) possui uma estrutura canˆ onica de O ^X - m´ odulo. De fato, seja U um subconjunto aberto de X, e seja u ∶ F∣ ^U Ð→ G∣ ^U um morfismo de O X ∣ U -m´ odulos. Para λ ∈ O X ( U ) , defina ( λu ) V ( s ) = λ ∣ V ⋅ u _V ( s ) , para todo V ⊆ U e s ∈ F( V ) .

(ii) Para todo ponto x ∈ X existe um homomorfismo canˆ onico de O ^X,x -m´ odulos

ψ _x ∶ (H om _O

(F , G)) ^x Ð→ Hom _O

(F ^x , G ^x ) (1.14) definido da seguinte forma: seja α ∈ (H om _O

(F , G)) ^x , tomemos uma vizinhan¸ca U de x e um morfismo de O ^X ∣ ^U -m´ odulos σ ∶ F∣ ^U Ð→ G∣ ^U tal que α ´ e igual ao germe de σ em x. Para cada ponto y ∈ U , seja σ _y ∶ F ^y Ð→ G ^y denotando o homomorfismo de O ^X,y -m´ odulo induzido por σ e defina

ψ x ( α ) = σ x .

Segue da defini¸c˜ ao que ψ _x ( α ) est´ a bem definida, pois independe da escolha de U e σ.

Observa¸ c˜ ao 1.5. O homomorfismo canˆ onico ψ _x ´ e funtorial. De fato, o diagrama a seguir ´ e comutativo.

(H om _O

(F , G)) ^{x ψ}

^//

Hom(σ,γ)

Hom _O

(F ^x , G ^x )

Hom(σ

,γ

)

(H om _O

(F ^′ , G ^′ )) ^x _ψ

^// Hom _O

(F ^′ x , G ^′ x )

.

Lema 1.5. Seja F um pr´ e-feixe, e G um feixe em um espa¸ co topol´ ogico X. Para cada ponto x ∈ X, seja α ^x ∶ F x Ð→ G x uma morfismo nos talos. Supondo que para todo x ∈ X e toda vizinhan¸ ca aberta U de x, e para toda se¸ c˜ ao s ∈ Γ ( U, F) , existe uma vizinhan¸ ca aberta V de x em U , e uma se¸ c˜ ao r ∈ Γ ( V, G) , tal que α ^z (( s ) ^z ) = ( r ) ^z para todo z ∈ V . Ent˜ ao, existe um ´ unico morfismo de pr´ e-feixes σ ∶ F Ð→ G tal que ( σ ) ^x = α ^x .

Demonstra¸ c˜ ao. Seja

U = ⋃

x∈U V x . Considere α ^y ( s _y ) = t _y , ∀ y ∈ V e defina

σ ( V _x )( s ∣ ^V

) ∶ F( V _x ) Ð→ G( V _x )

s ∣ ^V

z→ σ ( V _x )( s ∣ ^V

) = t ^x = ( t ^x _z ) ^z∈V

Observe que

σ ( V x )( s ∣ ^V

)∣ ^V

∩V

= (( t ^x _z ) ^z∈V

)∣ ^V

∩V

= ( t ^x _z ) ^z∈V

∩V

Assim, para todo x, y ∈ U temos

t ^x ∣ ^V

∩V

= σ ( V _x )( s ∣ ^V

)∣ ^V

∩V

= σ ( V _x ∩ V _y )( s ∣ V

∩V

) t ^y ∣ ^V

∩V

= σ ( V _y )( s ∣ ^V

)∣ ^V

∩V

= σ ( V _x ∩ V _y )( s ∣ ^V

∩V

)

Note ainda que para W ⊂ V x tem-se

σ ( W ) ∶ F( W ) Ð→ G( W )

s ∣ W z→ σ ( W )( s ∣ W ) = σ ( V _x )( s ∣ V

)∣ W , com o seguinte diagrama comutativo

F( U ) ^//

G( U )

F( V _x ) ^//

G( V _x )

F( W ) ^// G( W )

Dessa forma, existe t ∈ G( U ) tal que t ∣ ^V

= t ^x para todo x ∈ U . Portanto, temos σ ( U )( s ) = t. Da´ı,

σ _x ( s _x ) = σ _x (⟨ U, s ⟩)

= σ _x (⟨ V _x , s ∣ V

⟩)

= ⟨ V _x , σ ( V _x )( s ∣ ^V

)⟩

= ⟨ V _x , t ^x ⟩

= α _x (⟨ U, s ⟩)

= α ^x ( s _x ) .

Proposi¸ c˜ ao 1.6. Seja ( X, O ^X ) um espa¸ co anelado. Para todo O ^X -m´ odulo M , o funtor

Hom _O

(● , M) ∶ O ^X -Mod ^op Ð→ Γ ( X, O ^X ) -Mod

´ e exato ` a esquerda.

Demonstra¸ c˜ ao. Sejam F , G e H trˆ es O ^X -m´ odulos tais que a sequˆ encia F ^{α //} G ^{β //} H ^// 0

´ e exata. Ent˜ ao, precisamos mostrar que a sequˆ encia

0 ^// Hom _O

(H , M) ^Hom

^{(β,M) //} Hom _O

(G , M) ^Hom

^{(α,M) //} Hom _O

(F , M) tamb´ em ´ e exata. Seja σ ∈ Hom O

(H , M) tal que Hom O

( α, M)( σ ) = 0, isto ´ e, para todo x ∈ X e θ ∈ G x , σ _x ○ β _x ( θ ) = 0. Seja θ ^′ ∈ H x . Ent˜ ao existe θ ∈ G x tal que β _x ( θ ) = θ ^′ pois β ´ e epimorfismo. Portanto, σ _x ( θ ^′ ) = σ _x ( β _x ( θ )) = 0. Isso implica que σ _x = 0 para todo x ∈ X, ou seja, σ = 0. Deste modo, provamos que Hom _O

( β, M) ´ e injetiva.

Considerando que funtores preservam composi¸c˜ oes e Hom _O

(● , M) ´ e um funtor, temos Hom _O

( α, M) ○ Hom _O

( β, M) = Hom _O

( β ○ α, M) = 0.

Da´ı,

Im ( Hom O

( β, M)) ⊂ Ker ( Hom O

( α, M)) .

Agora, precisamos provar a inclus˜ ao reversa. Seja κ ∈ Ker ( Hom O

( α, M)) . Para todo θ ^′ ∈ H ^x , existe θ ∈ G ^x tal que β _x ( θ ) = θ ^′ pois β ´ e epimorfismo. Definamos,

f ^x ∶ H ^x Ð→ M ^x ,

dado por f ^x ( θ ^′ ) = κ _x ( θ ) . Uma vez que κ ∈ ker ( Hom _O

( α, M)) , segue que f ^x est´ a bem definida. Para concluir a prova, iremos aplicar o lema 1.5 ao morfismo f ∶ H Ð→ M . Para todo x ∈ X, e θ ∈ G x ,

( Hom O

( β, M)( f )) x ( θ ) = f _x ○ β _x ( θ ) = f ^x ○ β _x ( θ ) = κ _x ( θ ) . Assim, segue que Hom _O

( β, M)( f ) = κ. Isto mostra que

Ker ( Hom _O

( α, M)) ⊂ Im ( Hom _O

( β, M)) , e consequentemente,

Ker ( Hom _O

( α, M)) = Im ( Hom _O

( β, M))

Portanto, o funtor Hom _O

(● , M) ´ e exato ` a esquerda. A segunda parte segue imedia-

tamente da primeira, basta trocar X por um subconjunto aberto arbitr´ ario de X.

Observa¸ c˜ ao 1.6. Lembremos o isomorfismo 1.5 dado por Hom _O

_∣

(O ^(I) X , M) ≅ Γ ( U, M) ^I , visto na se¸c˜ ao 1.2. A partir desse isomorfismo, poderemos obter outro, que poder´ a nos auxiliar nas pr´ oximas se¸c˜ oes. Portanto, se o conjunto de ´ındices I ´ e finito, ent˜ ao

Hom _O

_∣

(O X ^I , M) ≅ Γ ( U, M) ^I . (1.15) Seja U um subconjunto aberto de X. Ent˜ ao, o isomorfismo anterior de Γ ( X, O ^X ∣ ^U ) - m´ odulos resulta em um ismomorfismo de O ^X -m´ odulos

H om _O

(O X ^I , M)( U ) = Hom _O

(O X ^I ∣ ^U , M∣ ^U ) ≅ Γ ( U, M) ^I = M( U ) ^I . (1.16) Assim, H om O

(O ^I X , M) ≅ M ^I para todo conjunto finito I.

1.5 Feixes de tipo finito

Defini¸ c˜ ao 1.6. Seja ( X, O X ) um espa¸co anelado e F um O X -m´ odulo. Dizemos que F ´ e localmente gerado por se¸ c˜ oes se para todo x ∈ X existe uma vizinhan¸ca aberta U de x tal que F∣ ^U ´ e globalmente gerado como um O ^X ∣ ^U -m´ odulo. Em outras palavras, existem um conjunto finito de ´ındices I e para cada i ∈ I uma se¸c˜ ao s _i ∈ F( U ) tal que o mapa associado

u ∶ ⊕

i∈I O ^X ∣ ^U Ð→ F∣ ^U seja sobrejetivo.

Defini¸ c˜ ao 1.7. Um O ^X -m´ odulo F ´ e dito de tipo finito se para todo ponto x ∈ X existe uma vizinhan¸ca aberta U de x tal que F∣ ^U ´ e gerado por uma fam´ılia de se¸c˜ oes ( s _i ) ^i∈I de F em U . Em particular, existe uma vizinhan¸ca aberta U para qualquer x ∈ X fixado, tal que existe um mapa sobrejetivo de feixes ϕ ∶ O X ⁿ ∣ U Ð→ F∣ U , para n ∈ N .

A seguir, apresentaremos uma proposi¸c˜ ao com algumas propriedades de feixes de tipo finito.

Proposi¸ c˜ ao 1.7. Seja ( X, O) um espa¸ co anelado. Ent˜ ao as seguintes propriedades s˜ ao verdadeiras:

(i) Se u ∶ F Ð→ G ´ e um morfismo sobrejetivo de O ^X -m´ odulos e se F ´ e de tipo finito, ent˜ ao G tamb´ em ser´ a de tipo finito. Assim, todo feixe quociente de um feixe de tipo finito tamb´ em ser´ a de tipo finito;

(ii) A soma direta e o produto tensorial (sobre O ^X ) de uma fam´ılia de O ^X -m´ odulos

de tipo finito tamb´ em ´ e de tipo finito;

Demonstra¸ c˜ ao. (i) Como u ∶ F Ð→ G ´ e sobrejetivo, segue que u _x ∶ F ^x Ð→ G ^x tamb´ em

´

e sobrejetivo. Al´ em disso, F ´ e de tipo finito por hip´ otese. Da´ı, para todo x existe uma vizinhan¸ca aberta U de x tal que F∣ ^U ´ e gerado por uma fam´ılia finita de se¸c˜ oes s 1 , ..., s n ∈ Γ ( X, F∣ ^U ) . Assim, para w ∈ F ^x temos,

w = ∑ ⁿ

i=1 a _i ⋅ ( s _i ) ^x , para a _i ∈ O ^X,x e s _i ∈ Γ ( X, F∣ ^U ) , i = 1, ..., n.

Pela sobrejetividade de u _x , para todo t ∈ G ^x existe w ∈ F ^x tal que u _x ( w ) = t.

Consequentemente,

u _x ( w ) = t ⇒ u _x ( ∑ ⁿ

i=1

a _i ⋅ ( s _i ) ^x ) = t ⇒ ∑ ⁿ

i=1

a _i ⋅ u _x (( s _i ) ^x ) = t.

Logo, G∣ ^U ´ e gerado pela fam´ılia u _x ( s ₁ ) , ..., u _x ( s _n ) ∈ Γ ( X, G∣ ^U ) . Portanto, G ´ e de tipo finito. Para a segunda parte, consideremos F ´ e H dois O ^X -m´ odulos, com F de tipo finito e H( U ) ´ e um subgrupo abeliano de F( U ) , para todo aberto U de X. Assim, podemos falar do feixe quociente F/H e da proje¸c˜ ao canˆ onica

π ∶ F Ð→ F/H ,

que ´ e naturalmente sobrejetiva. Logo, pela primeira parte segue que o quociente F/H ´ e de tipo finito.

(ii) Sejam F e G dois O ^X -m´ odulos de tipo finito, isto ´ e, para todo x ∈ X existe uma vizinhan¸ca aberta U de x tais que F∣ ^U e G∣ ^U s˜ ao gerados por s ₁ , ..., s _n ∈ Γ ( X, F∣ ^U ) e t ₁ , ..., t _m ∈ Γ ( X, G∣ ^U ) , respectivamente. Assim, para ( s, t ) ∈ (F ^x × G ^x ) temos

s ⊗ t = ∑ ⁿ

i=1 a i ⋅ ( s i ) ^x ⊗ ∑ ^m

j=1 b j ⋅ ( t j ) ^x = ^n,m ∑

i,j=1 a i b j ⋅ ( s i ) ^x ⊗ ( t j ) ^x = ^n,m ∑

i,j=1 a i b j ⋅ ( s i ⊗ t j ) ^x , para a _i , b _j ∈ O ^X,x . Assim, (F ⊗ ^O

G)∣ ^U ´ e gerado por s _i ⊗ t _j , i = 1, ..., n, j = 1, ..., m.

Portanto, o produto tensorial F ⊗ ^O

G ´ e de tipo finito. Consequentemente, se F 1 , ..., F n ´ e uma fam´ılia de O X -m´ odulos de tipo finito, ent˜ ao, procedendo por indu¸c˜ ao sobre n, temos que o produto tensorial F ¹ ⊗ ^O

... ⊗ ^O

F ⁿ ´ e de tipo finito.

A prova da soma direta segue de forma an´ aloga.

Proposi¸ c˜ ao 1.8. Seja F um O ^X -m´ odulo de tipo finito. Sejam x ∈ X e s ₁ , ..., s _n se¸ c˜ oes de F em uma vizinhan¸ ca aberta U de x, tal que a fam´ılia (( s i ) ^x ) ⁿ i=1 gera o talo F ^x . Ent˜ ao, existe uma vizinhan¸ ca aberta V de x em U tal que a fam´ılia (( s _y )) ⁿ j=1 gera F y

para todo y ∈ V .

Demonstra¸ c˜ ao. Como F ´ e de tipo finito, temos pela defini¸c˜ ao que existe uma vizi- nhan¸ca aberta U ₁ de x em U e se¸c˜ oes h ₁ , ..., h _m ∈ Γ ( U ₁ , F) tais que a fam´ılia (( h _i ) ^y ) ^m i=1

gera F ^y para todo y ∈ U ₁ . Como a fam´ılia (( s _j ) ^x ) ⁿ j=1 gera F ^x , temos que essa fam´ılia tamb´ em gera ( h i ) ^x , para i = 1, ..., m, isto ´ e, existem a ij ∈ O ^X,x tais que

( h _i ) ^x = ∑ ⁿ

j=1

a _ij ( s _j ) ^x , para i = 1, ..., m.

Uma vez que a fam´ılia ( a ij ) ^i,j ´ e finita, existe uma vizinhan¸ca aberta U 2 de x em U 1 , e se¸c˜ oes f _ij ∈ Γ ( U ₂ , O X ) tal que a _ij = ( f _ij ) x para todo i, j. Assim, podemos escrever ( h _i ) ^x como

( h _i ) x = ∑ ⁿ

j=1 ( f _ij ) x ( s _j ) x , para i = 1, ..., m.

Portanto, existe uma vizinhan¸ca aberta V de x em U tal que ( h _i )∣ ^V = ∑ ⁿ

j=1 ( f _ij )∣ ^V ( s _j )∣ ^V , para i = 1, ..., m.

Logo, temos

( h _i ) ^y = ∑ ⁿ

j=1 ( f _ij ) ^y ( s _j ) ^y , para todo y ∈ V e i = 1, ..., m.

Portanto, (( s _j ) y ) ⁿ j=1 gera F y para todo y em V .

Defini¸ c˜ ao 1.8. Sejam ( X, O ^X ) um espa¸co anelado e F um O ^X -m´ odulo. O suporte de F , denotado por Supp (F) , ´ e o conjunto dos pontos x ∈ X tais que F ^x ≠ 0, isto ´ e,

Supp (F) = { x ∈ X ∶ F x ≠ 0 }

Se s ∈ Γ ( X, F) ´ e uma se¸c˜ ao global, ent˜ ao, o suporte de s ´ e o conjuntos dos pontos x ∈ X tais que a imagem s _x ∈ F ^x de s ´ e diferente de zero.

Com a defini¸c˜ ao de supporte de um feixe, podemos enunciar e demonstrar uma s´ erie de importantes consequˆ encias da proposi¸c˜ ao 1.8.

Corol´ ario 1.9. Se F ´ e um O ^X -m´ odulo de tipo finito, ent˜ ao o conjunto Supp (F) ´ e um subconjunto fechado de X.

Demonstra¸ c˜ ao. Seja x ∈ X K Supp (F) . Logo, F ^x = 0, assim o germe 0 _x da se¸c˜ ao nula 0 ∈ Γ ( X, F) gera F ^x . Assim, pela proposi¸c˜ ao 1.8, existe uma vizinhan¸ca aberta V de x em U , tal que 0 _y gera F ^y , para todo y ∈ V , isto ´ e, F ^y = 0, para todo y ∈ V . Portanto, V

´ e uma vizinhan¸ca aberta de x em X K Supp (F) , isto ´ e, X K Supp (F) ´ e aberto. Portanto, Supp (F) ´ e um conjunto fechado.

Corol´ ario 1.10. Sejam F um O ^X -m´ odulo de tipo finito e u ∶ F Ð→ G um morfismo

de O ^X -m´ odulos. Seja x ∈ X e suponha que o homomorfismo nos talos u _x ∶ F ^x Ð→ G ^x ´ e

igual a zero. Ent˜ ao, existe uma vizinhan¸ ca U de x tal que u _z = 0 para todo z ∈ V .

Demonstra¸ c˜ ao. Tomemos I = Im ( u ) , donde I ´ e um O ^X -subm´ odulo do feixe G e o morfismo u induz uma sequˆ encia exata de O ^X -m´ odulos

F ^{̃ u //} I ^// 0 ,

isto ´ e, ̃ u ´ e sobrejetiva. Como o F ´ e de tipo finito, segue pelo item (i) da proposi¸c˜ ao 1.7 que I tamb´ em ´ e de tipo finito. Como ̃ u _y = u _y para todo y ∈ X, temos

̃

u _y = u _y ∶ F ^y Ð→ I ^y = Im ( u _y ) .

Da´ı, obtemos que I ^y = 0 se, e somente se Im ( u y ) = 0, isto ´ e, u y = 0. Assim, o suporte de I ´ e dado por

Supp (I) = { y ∈ X ∶ u _y ≠ 0 }

Para todo x ∈ X K Supp (I) , existe uma vizinhan¸ca aberta U de x totalmente contida em x ∈ X K Supp (I) , que ´ e aberto pelo corol´ ario 1.9. Portanto, u _y = 0 para todo y em U ⊂ X K Supp (I) .

Corol´ ario 1.11. Sejam F e G dois O ^X -m´ odulos de tipo finito. Seja u ∶ F Ð→ G um morfismo de O X -m´ odulos e x ∈ X. Se u _x ∶ F x Ð→ G x ´ e sobrejetiva, ent˜ ao existe uma vizinhan¸ ca aberta U de x tal que u ∣ U ∶ F∣ U Ð→ G∣ U ´ e sobrejetiva.

Demonstra¸ c˜ ao. Como G ´ e de tipo finito, ent˜ ao pelo item (i) da proposi¸c˜ ao 1.7, temos que o quociente Coker ( u ) = G/ Im ( u ) ´ e tamb´ em de tipo finito. Agora, pelo corol´ ario 1.9, temos que S = Supp ( Coker ( u )) ´ e um subconjunto fechado de X. Se o morfismo u _x

´ e sobrejetivo, ent˜ ao ( Coker ( u )) ^x = Coker ( u _x ) = 0, isso implica que x ∈ X K S. Portanto, tomando U = X K S, temos que U ´ e uma vizinhan¸ca aberta de x tal que o morfismo u ∣ U ∶ F∣ U Ð→ G∣ U ´ e sobrejetivo.

O homomorfismo visto no item (ii) da observa¸c˜ ao 1.4, em geral, n˜ ao ´ e nem injetivo, nem sobrejetivo. Por´ em, sob algumas condi¸c˜ oes podemos obter a injetividade e a sobrejetividade. No pr´ oximo corol´ ario, observaremos que se F ´ e um O X -m´ odulo de tipo finito, o homomorfismo 1.14 ser´ a injetivo.

Corol´ ario 1.12. Seja F um O ^X -m´ odulo de tipo finito. Ent˜ ao, para todo O ^X -m´ odulo G e para todo ponto x ∈ X, o homomorfismo de O ^X,x -m´ odulos,

ψ _x ∶ (H om _O

(F , G)) ^x Ð→ Hom _O

(F ^x , G ^x )

´ e injetivo.

Demonstra¸ c˜ ao. Seja σ ∈ (H om _O

(F , G)) ^x e suponhamos que ψ _x ( σ ) = 0. Ent˜ ao, para mostrar a injetividade de ψ _x , temos que provar que σ = 0. Seja u ∶ F∣ ^U Ð→ G∣ ^U tal que ψ _x ( σ ) = u _x . Ent˜ ao, u _x = ψ _x ( σ ) = 0 e pelo corol´ ario 1.10, existe uma vizinhan¸ca aberta V de x em U , tal que u z = 0 para todo z ∈ V . Portanto, precisamos verificar que o morfismo u ∣ V ∶ F∣ V Ð→ G∣ V ´ e igual a 0, o que resulta σ = 0. Para isso, seja W ⊆ V um aberto de V e ( u ∣ ^V ) ^W = u _W ∶ F( W ) Ð→ G( W ) um homomorfismo. Seja s uma se¸c˜ ao qualquer de F( W ) . Ent˜ ao,

( u _W ( s )) ^y = u _y (( s ) ^y ) = 0 para todo y ∈ W .

Como G ´ e um feixe, segue pelo axioma F1 da defini¸c˜ ao C.5 de feixe que u _W ( s ) = 0.

Portanto, u W = 0 para todo W em V , e assim temos u ∣ ^V = 0. Logo, σ = 0.

Corol´ ario 1.13. Seja ( X, O ^X ) um espa¸ co anelado tal que, X ´ e um espa¸ co topol´ ogico quase-compacto. Seja F um O X -m´ odulo de tipo finito. Ent˜ ao, F ´ e finitamente gerado por se¸ c˜ oes globais se ´ e gerado por se¸ c˜ oes globais.

Demonstra¸ c˜ ao. Seja ( s _i ) ^i∈I uma fam´ılia de se¸c˜ oes globais de F , tal que a fam´ılia (( s _i ) ^x ) i∈I gere F ^x para todo x ∈ X. Visto que, F ´ e de tipo finito, existe uma fam´ılia finita de se¸c˜ oes ( δ _j ) ^j∈J

que geram F ^x para x ∈ X. Como (( s _i ) ^x ) i∈I tamb´ em gera F ^x , temos que cada ( δ j ) ^j∈J

´ e gerado por essa fam´ılia, isto ´ e, existe um subconjunto finito I _x de I e a _ij ∈ O X,x , com i ∈ I _x e j ∈ J _x tal que

δ _j = ∑

i∈I

a _ij ( s _i ) ^x .

Dessa forma, a fam´ılia (( s _i ) x ) ^i∈I

gera F x . Pela proposi¸c˜ ao 1.8, existe uma vizinhan¸ca aberta U _x de x tal que a fam´ılia (( s _i ) ^y ) ^i∈I

gera F ^y para todo y ∈ U _x . Como X ´ e um espa¸co topol´ ogico quase-compacto, admite uma subcobertura finita, isto ´ e, existem x ₁ , ..., x _n tais que

X = ⋃ ⁿ

i=1 U _x

. Assim, a fam´ılia

(( s _i ) ^i∈I

) _1⩽σ⩽n

de se¸c˜ oes globais de F , geram o talo F x , para todo x ∈ X. Portanto, F ´ e finitamente gerado por se¸c˜ oes globais.

Proposi¸ c˜ ao 1.14. Seja ( X, O ^X ) um espa¸ co anelado quase-compacto e F um O ^X - m´ odulo de tipo finito. Supondo que para um conjunto totalmente ordenado T , existem subfeixes {F ^t } ^t∈T tal que ⋃ ^t∈T F ^t = F ² . Ent˜ ao existe t ∈ T tal que F ^t = F .

2

Isso pode ser pensado como sendo o feixe associado ao pr´ e-feixe U ↦ ⋃

F

( U ) .

Demonstra¸ c˜ ao. Para demonstrar esse resultado, precisamos provar que para todo x ∈ X, existe uma vizinhan¸ca aberta U de x tal que existe t tal que F ^t ∣ ^U = F∣ ^U . Assim, o resultado seguir´ a, pois o conjunto das vizinhan¸cas aberta de x (para todo x ∈ X) forma uma cobertura aberta de X, e X ´ e um espa¸co topol´ ogico quase-compacto.

Agora, observemos que o m´ odulo F x ´ e finitamente gerado e possui subm´ odulos (F ^t ) ^x ⊂ F ^x que cobrem todo o F ^x . Assim, existe t ∈ T tal que (F ^t ) ^x = F ^x . Consideremos s ₁ , ..., s _k geradores de F em alguma vizinhan¸ca aberta de x. Os germes desses geradores est˜ ao em F ^t , ent˜ ao existe uma vizinhan¸ca menor (o suficiente) U de x tal que s _i ∣ ^U ∈ F ^t ( U ) . Ent˜ ao, necessariamente os s _i ’s s˜ ao geradores, e portanto, F ^t ∣ ^U = F∣ ^U .

1.6 Feixes quase-coerentes e apresenta¸ c˜ ao finita

Defini¸ c˜ ao 1.9. Seja ( X, O ^X ) um espa¸co anelado. Dizemos que um O ^X ´ e quase-coerente se para todo x ∈ X existe uma vizinhan¸ca aberta U de X e conjuntos de ´ındices arbitr´ arios I e J tais que F∣ ^U ´ e o con´ ucleo de um morfismo de O ^X ∣ ^U -m´ odulos

α ∶ O ^(I) X ∣ ^U Ð→ O X ^(J) ∣ ^U .

Em outras palavras, existe uma sequˆ encia exata de O X ∣ U -m´ odulos O ^(I) X ∣ ^{U α //} O ^(J) X ∣ ^{U σ //} F∣ ^{U //} 0

para alguma vizinhan¸ca U de x, para qualquer x ∈ X. Em particular, se fixarmos m, n ∈ N , temos a sequˆ encia exata,

O ^m X ∣ ^{U α //} O X ⁿ ∣ ^{U σ //} F∣ ^{U //} 0 , e F ´ e dito de apresenta¸ c˜ ao finita.

Os feixes quase-coerentes comp˜ oem uma subcategoria plena da categoria O ^X -Mod e essa subcategoria ser´ a denotada por Qcoh ( X ) .

No corol´ ario 1.12, foi provado que se tivermos um O ^X -m´ odulo F de tipo finito, ent˜ ao o homomorfismo 1.14 ser´ a injetivo. Agora, garantiremos que esse homomorfismo ser´ a um isomorfismo quando o O ^X -m´ odulo F for de apresenta¸c˜ ao finita.

Proposi¸ c˜ ao 1.15. Sejam F e G dois O X -m´ odulos com F de apresenta¸ c˜ ao finita.

Ent˜ ao, o homomorfismo de O X,x -m´ odulos

ψ _x ∶ (H om _O

(F , G)) ^x Ð→ Hom _O

(F ^x , G ^x ) ,

´ e um isomorfismo para qualquer x ∈ X.