Universidade Federal da Para´ıba
Centro de Inform´ atica
Programa de P´ os–Gradua¸ c˜ ao em Modelagem Matem´ atica Computacional
Mestrado em Modelagem Matem´ atica Computacional
O M´ etodo das Solu¸ c˜ oes Fundamentais com Expans˜ ao em Multipolos
Mois´ es Viana Felipe de Oliveira
Jo˜ ao Pessoa – PB
Outubro de 2016
Universidade Federal da Para´ıba Centro de Inform´ atica
Programa de P´ os–Gradua¸ c˜ ao em Modelagem Matem´ atica Computacional
Mestrado em Modelagem Matem´ atica Computacional
O M´ etodo das Solu¸ c˜ oes Fundamentais com Expans˜ ao em Multipolos
por
Mois´ es Viana Felipe de Oliveira
sob a orienta¸ c˜ ao de
Prof. Dr. Gerd Bruno Rocha Prof. Dr. Jairo Rocha de Faria
Jo˜ ao Pessoa – PB
Outubro de 2016
Aos meus pais, Maria Jos´ e
Viana de Oliveira e Beija-
min Felipe de Oliveira.
Agradecimentos
Agrade¸co aos meus orientadores, Professores Jairo Rocha de Faria e Gerd Bruno da Rocha,
pela confian¸ca e paciˆ encia com os meus repetitivos erros. Pela orienta¸c˜ ao de forma clara e direta,
contribuindo para o meu crescimento intelectual e profissional.
Resumo
Neste trabalho apresentamos uma implementa¸c˜ ao do M´ etodo das Solu¸c˜ oes Fundamentais (Method of Fundamental Solutions - MFS ) combinado com o M´ etodo dos Multipolos R´ apidos (Fast Multipole Method - FMM ) a qual denominamos de MFS-FMM. Alguns experimentos num´ ericos foram realizados considerando-se um problema de Laplace definido sobre um dom´ınio bidimensional, onde o algoritmo proposto apresentou precis˜ ao compat´ıvel com a obtida atrav´ es do MFS cl´ assico. Destacamos, duas vantagens da solu¸c˜ ao dada pelo algoritmo proposto sobre o MFS: 1) menor custo computacional e 2) o sistema linear resultante demonstrou-se bem condi- cionado, ao contr´ ario do que acontece com o MFS que necessita ser regularizado. Em particular, esta segunda vantagem ´ e bastante relevante na presen¸ca de dados com ru´ıdos, como ocorre no caso de problemas inversos, onde o MFS tem ocupado um papel de destaque em diversas aplica¸c˜ oes
Palavras-chave: M´ etodo das solu¸c˜ oes Fundamentais, M´ etodo dos multipolos r´ apidos, Problema
de Laplace. Regulariza¸c˜ ao.
Abstract
In this work we present an implementation of Method Fundamental Solutions (MFS) combi- ned with the method of Fast Multipole (FMM) which we call the MFS-FMM. Some numerical experiments were performed considering a Laplace problem defined in a two-dimensional do- main, where the algorithm presented accurately compatible with that obtained through the classic MFS. We highlight two advantages of the solution given by the algorithm on the MFS:
1) lower computational cost and 2) the resulting linear system proved to be well conditioned, the in contrest of what happens to the MFS that needs to be regularized. In particular, this second feature is and quite relevant in the presence of data with noise, as in the case of inverse problems, where MFS has played a prominent role in many applications.
Keywords: Method of Fundamental Solutions, Fast Multipole Method, Laplace Problems.
Regularization.
Sum´ ario
Introdu¸ c˜ ao 2
1 O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos 5
1.1 Fundamenta¸c˜ ao te´ orica do FMM . . . . 5
1.2 Expans˜ ao em Multipolos . . . . 6
1.3 Tradu¸c˜ ao . . . . 8
1.4 O algoritmo dos multipolos r´ apidos . . . . 11
1.4.1 Preliminares F´ısicas e Matem´ aticas . . . . 11
1.5 Descri¸c˜ ao da divis˜ ao hier´ arquica em caixas. . . . 18
2 M´ etodo das Solu¸ c˜ oes Fundamentais 24 3 Aplica¸ c˜ ao da metodologia proposta ao problema de Laplace 28 3.1 Solu¸c˜ ao Fundamental da equa¸c˜ ao de Laplace . . . . 29
3.1.1 Problemas Modelos . . . . 31
4 Experimentos Num´ ericos 34 4.1 MSF-FMM . . . . 35
4.1.1 Exemplo . . . . 36
4.1.2 Teste num´ erico 1 . . . . 37
4.1.3 Teste num´ erico 2 . . . . 38
4.1.4 Teste num´ erico 3 . . . . 38
4.1.5 Teste num´ erico 4 . . . . 39
5 Conclus˜ oes 41
A Apˆ endice 47
A.0.6 S´ erie de Taylor . . . . 47
Lista de Figuras
1.1 em 1) A a¸c˜ ao das part´ıculas (em azul), ´ e calculada no centro da caixa.(forma¸c˜ ao dos multipolos) 2) O centro de cada caixa-filha ´ e transladado para o centro da caixa-pai, o que caracteriza uma transla¸c˜ ao do tipo multipolo para multipolo (M2M). 3) C´ alculo da a¸c˜ ao do centro da caixa-pai sobre o centro (tradu¸c˜ ao mul- tipolo para local - M2L). 4) A¸c˜ ao do centro da caixa-pai obre os centros das caixas-filha (transla¸c˜ ao local para local - L2L), 5) avalia¸c˜ ao do centro de caixa
sobre as part´ıculas. . . . 10
1.2 Transla¸c˜ ao de uma expans˜ ao em multipolo. . . . 15
1.3 Convers˜ ao de uma expans˜ ao em multipolo para local. . . . 17
1.4 N´ıvel 0. . . . . 18
1.5 N´ıvel 1. . . . . 18
1.6 N´ıvel 2. . . . . 19
1.7 N´ıvel 3. As caixas em vermelho s˜ ao vizinhas de i. As caixas em cinza est˜ ao bem separadas da caixa i. . . . 19
1.8 As caixas de cor verde s˜ ao filhas dos vizinhos da caixa i. . . . . 20
1.9 Expans˜ ao no centro de uma caixa. . . . 20
1.10 Expans˜ ao multipolo para multipolo no centro da caixa-pai (passo-2). . . . . 20
1.11 Transla¸c˜ ao multipolo para local. . . . 21
1.12 Transla¸c˜ ao de local para local. . . . 21
1.13 Somat´ orio final (passo-5). . . . . 22
2.1 Disposi¸c˜ ao dos pontos de coloca¸c˜ ao (em vermelho) e pontos fontes (em azul) em um dom´ınio Ω. Φ(x, y i ) ´ e a solu¸c˜ ao fundamental. . . . . 25
3.1 Dom´ınio do problema. Em vermelho temos os pontos de coloca¸c˜ ao e em azul os pontos fontes. . . . 32
3.2 Vis˜ ao ampliada do furo no dom´ınio Ω. . . . . 33
4.1 Se a distˆ ancia entre o ponto fonte y e o ponto x ´ e menor do que αR, o c´ alculo ´ e feito
diretamente. Caso contr´ ario utiliza-se a expans˜ ao em multipolos considerando-se
o centro do dom´ınio. . . . 35
4.2 Solu¸c˜ ao de u N sobre ∂Ω 1 . No eixo x : 0 − 2π. Solu¸c˜ ao exata (-), solu¸c˜ ao do MFS (o), solu¸c˜ ao MFS-FMM (+). Resultado obtido com M = 40, R = 2, 0, N = 80, r = 0, 20 α = 1, 3 e λ = 10 −7 . . . . . 36 4.3 Fluxo ∂u D
n sobre ∂Ω 1 (-), fluxo via MFS (o), fluxo via MFS-FMM (+). Resultado
obtido com α = 1, 3, M = 40, R = 2, 0, N = 80, r = 0, 20 e λ = 10 −7 . Obs: No
eixo x : [0, 2π] . . . . 37
Introdu¸ c˜ ao
Iniciamos este trabalho com uma resenha do estado da arte dos algoritmos propostos na literatura para o problema dos n-corpos, que tem como objetivo a redu¸c˜ ao da complexidade computacional da simula¸c˜ ao de intera¸c˜ oes entre n part´ıculas. De fato, neste caso o custo compu- tacional do c´ alculo direto ´ e da ordem de n 2 , o que torna-se proibitivo para algumas aplica¸c˜ oes de interesse onde n ´ e grande, como em alguns problemas encontrados na f´ısica de plasma, dinˆ amica dos flu´ıdos, dinˆ amica molecular, mecˆ anica celeste, dentre outros.
Nas ´ ultimas d´ ecadas, tem sido realizado um grande esfor¸co no sentido de reduzir a com- plexidade computacional do problema dos n-corpos cujas itera¸c˜ oes s˜ ao do tipo Coulomb ou gravitacionais. O problema de n-corpos consiste em predizer o movimento de um grupo de obje- tos que interagem entre si [33]. Uma motiva¸c˜ ao para a busca por uma solu¸c˜ ao de tal problema,
´
e entender o movimento de estrelas [36], comportamento de mol´ eculas [1] ou mesmo multid˜ oes [15]. Fenˆ omenos que envolvem a intera¸c˜ ao entre corpos ocorrem em muitos ramos da ciˆ encia. A for¸ca gravitacional entre estrelas e planetas, a for¸ca eletrost´ atica entre cargas pontuais s˜ ao alguns exemplos. Sabe-se que as gal´ axias s˜ ao influenciadas pela intera¸c˜ ao gravitacional que atua entre o conjunto de estrelas que a comp˜ oe. O c´ alculo direto das equa¸c˜ oes envolvidas ´ e impratic´ avel quando o sistema ´ e composto por um grande n´ umero de corpos. Ent˜ ao, como calcular a for¸ca de intera¸c˜ ao entre um grande n´ umero de part´ıculas pertencentes a um conjunto? O m´ etodo direto, conhecido como part´ıcula-part´ıcula [28], para calcular a intera¸c˜ ao entre n corpos, requer que para cada corpo seja computada a influˆ encia de todos os outros. Ou seja, todas as part´ıcula fazem parte do c´ alculo, n˜ ao importando a distˆ ancia entre elas. A t´ıtulo de exemplo, imaginemos o c´ alculo da for¸ca gravitacional entre um grupo de duzentas estrelas. Seriam necess´ arias algo em torno de 10 4 opera¸c˜ oes computacionais.
Nestes casos faz-se necess´ ario um m´ etodo, ou seja, um algoritmo que possibilite o c´ alculo com um menor custo computacional. Por algoritmo queremos dizer uma sequˆ encia ordenada, sem ambiguidade de passos que levem ` a solu¸c˜ ao do problema. Em um cen´ ario como o descrito anteriormente um algoritmo que venha acelerar tais simula¸c˜ oes ´ e muito desej´ avel.
Rockhlin e Greengard [25] em seu trabalho conjunto na d´ ecada de 80 apresentaram um
algoritmo que reduzia os c´ alculos dos problemas de simula¸c˜ ao de part´ıculas para campos de
Coulomb ou gravitacional. O algoritmo ficou conhecido como M´ etodo dos Multipolos R´ apidos
Fast Multipole Method (FMM). De uma forma resumida, o m´ etodo dos Multipolos R´ apidos
consiste em subdividir o dom´ınio em regi˜ oes denominadas de caixas, e uma vez fixada uma determinada caixa, a influˆ encia das caixas-vizinhas s˜ ao calculadas de forma direta. Duas caixas s˜ ao ditas vizinhas, quando compartilham um ponto limite (isto ´ e, tem pelo menos um ponto da fronteira em comum) Para as caixas que n˜ ao s˜ ao vizinhas ` a caixa fixada, suas influˆ encias s˜ ao computadas via expans˜ oes de multipolos que fornecem uma expans˜ ao assint´ otica para a fun¸c˜ ao que calcula a influˆ encia. As part´ıculas dentro das caixas-vizinhas s˜ ao avaliadas de forma exata, enquanto que caixas n˜ ao vizinhas tˆ em suas intera¸c˜ oes avaliadas de forma aproximada. Isso deve- se ao fato das part´ıculas contidas em caixas distantes contribu´ırem com uma parcela pequena no computo total, devido ao decaimento com o quadrado da distˆ ancia que ocorrem nos fenˆ omenos acima mencionados.
Desde ent˜ ao, o FMM tem sido utilizado com sucesso por v´ arios pesquisadores e em diversas outras aplica¸c˜ oes. No trabalho original acima citado, os autores usaram-no para calcular o potencial eletrost´ atico governado pela equa¸c˜ ao de Laplace, que tamb´ em ser´ a explorada neste trabalho.
1. Em 1990, Greengard e Strain [26] utilizaram o FMM para acelerar o c´ alculo da solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao do calor. Eles reduziram o custo que seria da O(n 2 m 2 ) para O(nm), onde m ´ e o n´ umero de caixas adotadas
2. Em 1994, usando 25600 part´ıculas, White et al., [54] generalizou o m´ etodo aplicando-o a um caso cont´ınuo de distribui¸c˜ ao de cargas, desta forma ele reduziu o tempo de 7 horas em um c´ alculo direto para cerca de 4 horas.
3. Em 1995, Peirce e Napier [43] aplicaram o FMM para reduzir o custo do M´ etodo dos Elementos de Contorno, da ordem de n 3 para n 2 log(n) opera¸c˜ oes.
4. Em 2006, C ¸ akir [9] utilizou o FMM para acelerar o produto entre matrizes e vetores, resul- tantes do c´ alculo das ondas de superf´ıcie s´ısmicas utilizadas em sismologia, para estudar as estruturas geol´ ogicas complexas da terra. O estudo matem´ atico da dispers˜ ao de tais ondas, envolve a solu¸c˜ ao de uma integral, do tipo convolucional, as fun¸c˜ oes de Hankel que aparecem nessas integrais foram expandidas em multipolos para que pudesse acelerar as intera¸c˜ oes e consequentemente o produto entre matrizes e vetores.
5. Em 2008, Van et al. [51] associaram o FMM ao M´ etodo das Diferen¸cas Finitas, com o objetivo de melhorar o desempenho de simula¸c˜ oes nos c´ alculos envolvendo campos mag- netost´ aticos.
6. Para estudar, e quantificar as propriedades estruturais da distribui¸c˜ ao interna da mat´ eria escura em um halo gal´ atico, os astrˆ onomos e astrof´ısicos dependem de simula¸c˜ oes num´ ericas.
Neste contexto, Stadel et al., [50] em 2009, efetuou uma s´ erie de simula¸c˜ oes em um super-
computador empregando o FMM com a finalidade e agilizar os c´ alculos.
7. Em 2013, Chau [13] aplicou o FMM em dinˆ amica molecular e aumentou a velocidade das simula¸c˜ oes envolvendo prote´ınas com at´ e 24000 ´ atomos.
No presente trabalho, apresentaremos uma proposta de uso do FMM como uma ferramenta vi´ avel, para a redu¸c˜ ao do custo computacional do M´ etodo das Solu¸c˜ oes Fundamentais [39].
O M´ etodo das Solu¸c˜ oes fundamentais (MFS) ´ e um m´ etodo sem malha de solu¸c˜ ao num´ erica de equa¸c˜ oes diferenciais que tem despertado um grande interesse na comunidade cient´ıfica por conta de suas vantagens sobre os m´ etodos de discretiza¸c˜ ao de dom´ınio, como o M´ etodo dos Elementos Finitos (FEM) e o M´ etodo das Diferen¸cas Finitas (FDM). Podemos citar: maior velocidade de computa¸c˜ ao, menor necessidade de mem´ oria, convergˆ encia exponencial e facilidade de imple- menta¸c˜ ao em problemas definidos sobre dom´ınios irregulares. Devemos ressaltar ainda que, por ser um m´ etodo de redu¸c˜ ao de dimens˜ ao (ao inv´ es de discretiza¸c˜ oes de dom´ınio, discretizamos a fronteira), as matrizes do MFS s˜ ao consideravelmente menores que as matrizes dos m´ etodos supracitados, embora sejam matrizes cheias. Por outro lado, quando comparado com o M´ etodo dos Elementos de Contorno - Boundary Element Method (BEM), que tamb´ em ´ e um m´ etodo sem malha, deve-se destacar que o MFS evita a necessidade de integra¸c˜ ao sobre a fronteira e a solu¸c˜ ao em pontos interiores do dom´ınio ´ e calculada sem a necessidade de quadraturas. Al´ em do mais, as derivadas da solu¸c˜ ao s˜ ao calculadas diretamente da combina¸c˜ ao linear de solu¸c˜ oes fundamentais, que gera a solu¸c˜ ao do MFS. Como desvantagens do MFS, podemos citar o fato de a solu¸c˜ ao fundamental ter de ser explicitamente conhecida, e que a matriz do sistema alg´ ebrico gerada pelo m´ etodo ser mal condicionada. A restri¸c˜ ao a problemas homogˆ eneos, foi superada recente- mente com o trabalho de Alves e Valchev [4] que introduziram uma metodologia denominada Kansa-type Method of Fundamental Solutions (KMFS).
O texto est´ a estruturado da seguinte forma. No primeiro cap´ıtulo, descrevemos os fundamen- tos matem´ aticos do FMM. No segundo cap´ıtulo, apresentamos o uso do algoritmo para campos potenciais do tipo Coulomb ou gravitavionais em duas dimens˜ oes, conforme o trabalho de Gre- engard e Rokhlin [25]. O terceiro cap´ıtulo apresentamos o MSF. No quarto cap´ıtulo expomos os fundamentos matem´ aticos da equa¸c˜ ao de Laplace e suas aplica¸c˜ oes. Finalmente no quinto cap´ıtulo, apresentamos nossos experimentos num´ ericos e fazemos algumas considera¸c˜ oes finais.
A proposta deste trabalho ´ e agregar uma expans˜ ao em multipolos ao MFS para reduzir o seu custo computacional. Para isso, observaremos os pontos fontes e de coloca¸c˜ ao como part´ıculas carregadas e a intera¸c˜ ao entre “part´ıculas”distantes ´ e realizada de modo aproximado.
Aplicamos a metodologia proposta em dois problemas de Laplace, devido a sua importˆ ancia na
modelagem de diversos fenˆ omenos f´ısicos estacion´ arios. Em particular, os exemplos explorados
est˜ ao relacionados ao problema da tomografia por impedˆ ancia, que tem importantes aplica¸c˜ oes
na medicina e na ind´ ustria [17].
Cap´ıtulo 1
O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos
1.1 Fundamenta¸ c˜ ao te´ orica do FMM
Em nosso algoritmo proposto, n˜ ao aplicamos todas as etapas do FMM, entretanto iremos apresentar neste cap´ıtulo todas as equa¸c˜ oes relacionadas ao FMM, por uma quest˜ ao de comple- tude de nosso trabalho.
Como mencionado, o M´ etodo dos Multipolos R´ apidos ´ e um algoritmo que foi desenvolvido por Rokhlin e Greengard [25] em 1987, sendo considerado por alguns como um dos grandes algoritmos do s´ eculo XX [19], junto do M´ etodo de Monte Carlo [40] e do M´ etodo Simplex [16].
O FMM apresenta-se como um m´ etodo eficiente para avaliar de forma r´ apida as ´ areas sujeitas a potenciais e campos de for¸ca envolvendo um grande n´ umero de part´ıculas, cujas intera¸c˜ oes podem ser do tipos Coulomb ou gravitacional. Um c´ alculo direto de todas as intera¸c˜ oes entre as part´ıculas requereria um custo computacional O(n 2 ), onde n ´ e o n´ umero de part´ıculas envolvidas, o que representa um limitador para aplica¸c˜ oes pr´ aticas, como no caso da qu´ımica quˆ antica, por exemplo, onde n pode ser associado ao n´ umero de el´ etrons, e sendo dessa forma, para uma mol´ ecula com muito ´ atomos (da ordem de 10 4 ) teremos muitos el´ etrons. Usando-se o FMM, o custo ´ e reduzido para O(n log n) ou mesmo para O(n). Uma analogia que pode ser feita para exemplificar o funcionamento do FMM ´ e imaginar a seguinte situa¸c˜ ao [53]:
Em um restaurante quatro clientes fazem seus pedidos.
Cliente 1: Vou querer uma salada, um bife e uma cerveja.
Cliente 2: Um copo de ´ agua, uma salada e um bife.
Cliente 3: Uma cerveja, uma pizza e um bife.
Cliente 4: Uma salada, uma cerveja e um bife.
O gar¸com anota os pedidos em grupos. Trˆ es saladas, quatro bifes, trˆ es cervejas, uma pizza e um copo com ´ agua e os envia a cozinha. Desta forma v´ arios pedidos de um mesmo alimento podem ser agrupados aumentando assim a eficiˆ encia. O FMM trabalha de forma semelhante.
O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos consiste em subdividir o dom´ınio em caixas quadradas
e uma vez fixada uma determinada caixa, a influˆ encia das caixas adjacentes s˜ ao calculadas de
1. O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos
forma direta. Para as caixas que n˜ ao s˜ ao adjacentes a caixa fixada, suas influˆ encias s˜ ao compu- tadas via expans˜ oes de multipolos que fornecem uma expans˜ ao assint´ otica para a aproxima¸c˜ ao.
Entende-se por expans˜ ao assint´ otica uma express˜ ao que aproxima o resultado de um operador como uma soma de termos mais simples com um termo remanescente a ser estimado (e que em geral ´ e desprezado, de modo an´ alogo a uma expans˜ ao de Taylor para uma fun¸c˜ ao de classe C n ).
Atualmente, o FMM tem sido utilizado em um grande n´ umero de aplica¸c˜ oes, por exemplo, c´ alculo das intera¸c˜ oes entre v´ ortices, eletromagnetismo, dinˆ amica dos fluidos, estat´ıstica, dinˆ amica mole- cular e na resolu¸c˜ ao de sistemas lineares advindos de m´ etodos num´ ericos de solu¸c˜ oes de equa¸c˜ oes diferenciais, como o M´ etodo dos Elementos de Contorno e o M´ etodo das Diferen¸cas Finitas.
1.2 Expans˜ ao em Multipolos
Duas expans˜ oes s˜ ao fundamentais no desenvolvimento do FMM. A expans˜ oes do tipo S e expans˜ oes do tipo R.
Defini¸ c˜ ao 1.1. Uma expans˜ ao do tipo S, tamb´ em chamada de far-field [46], ´ e uma express˜ ao da forma,
Φ(x i , y) =
∞
X
m=0
b m (x i , x ∗ )S m (y − x ∗ ), (1.1) onde x ∗ ´ e o centro de um c´ırculo de raio r e a s´ erie acima converge desde que y esteja fora do c´ırculo, ou seja ||y − x ∗ || > r; b m s˜ ao os coeficientes da expans˜ ao e S m (y − x ∗ ) s˜ ao denominadas fun¸c˜ oes de base.
Vejamos um exemplo. Considere a fun¸c˜ ao Φ(y, x i ) = 1
y − x i
, definida para algum x ∗ ∈ R n , ||y − x ∗ || > r ≥ ||x i − x ∗ ||.
Temos que,
Φ(y, x i ) = 1
(y − x ∗ ) − (x i − x ∗ ) = 1
(y − x ∗ )[1 − x y−x
i−x
∗∗
] = 1 (y − x ∗ )
h
1 − x i − x ∗
y − x ∗
i −1
.
Sabendo-se que 1 1 − x =
∞
X
m=0
x m , ∀x tal que ||x|| < 1, podemos reescrever a express˜ ao anterior,
1. O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos
Φ(y, x i ) = 1 (y − x ∗ )
∞
X
m=0
(x i − x ∗ ) m
(y − x ∗ ) m (1.2)
=
∞
X
m=0
1 (y − x ∗ )
(x i − x ∗ ) m (y − x ∗ ) m
=
∞
X
m=0
b m (x i , x ∗ )S m (y − x ∗ ),
onde b m (x i , x ∗ ) = (x i − x ∗ ) m e S m (y, x ∗ ) = 1 (y − x ∗ ) m+1
Defini¸ c˜ ao 1.2. Uma expans˜ ao do tipo R, tamb´ em chamada de expans˜ ao local [46], ´ e definida por,
Φ(y, x i ) =
∞
X
m=0
a m (x i , x ∗ )R m (y − x ∗ ), (1.3) se a s´ erie converge para todo y ∈ R n , ||y − x ∗ || < r ≤ ||x i − x ∗ || com x ∗ ∈ R n , a m (x i , x ∗ ) s˜ ao os coeficientes da expans˜ ao R m (y − x ∗ ) e x ∗ ´ e o centro da expans˜ ao.
Tomemos como exemplo a fun¸c˜ ao gaussiana Φ(y, x i ) = e
−(y−xi)2
h2
onde h ∈ R − {0}. Neste caso, para algum x ∗ , temos
Φ(y, x i ) = e
−[(y−x∗)−(xi−x∗)]2 h2
= e
−(y−x∗)2h2e
−(xi−x∗)2 h2
e
2(y−x∗)(xi−x∗)
h2
. (1.4)
Sabendo-se que e x =
∞
X
n=0
x m
m! , ∀x ∈ R , podemos reescrever a express˜ ao anterior.
Φ(y, x i ) = e
−(y−x∗)2h2e
−(xi−x∗)2 h2
∞
X
m=0
2 m m!
y − x ∗
h
m x i − x ∗
h m
(1.5a)
=
∞
X
m=0
h 2 m m! e
−(xi−x∗)2 h2
x i − x ∗
h
m i e
−(y−x∗)2 h2
y − x ∗
h m
(1.5b)
=
∞
X
m=0
a m (x i , x ∗ )R m (y − x ∗ ), (1.5c)
onde
a m = 2 m m! e
−(xi−x∗)2 h2
x i − x ∗
h m
e R m = e
−(y−x∗)2h2y − x ∗
h m
.
1. O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos
1.3 Tradu¸ c˜ ao
A tradu¸c˜ ao ou reexpans˜ ao, ´ e usada para reduzir ainda mais os passos requeridos no c´ alculo de uma expans˜ ao [53]. Sejam {F n (y − x ∗1 )} ∞ n=0 e {G m (y − x ∗1 )} ∞ m=0 dois conjuntos de fun¸c˜ oes de bases centradas em x ∗1 e x ∗2 tal que Φ(y, x i ) possa ser representada em duas s´ eries uniformemente e absolutamente convergente, dadas por
Φ(y, x i ) =
∞
X
n=0
a n (x i , x ∗ )F n (y − x ∗ ), ∀y ∈ Ω 1 ⊂ R n , (1.6) e
Φ(y, x i ) =
∞
X
m=0
b m (x i , x ∗ )G m (y − x ∗ ), ∀y ∈ Ω 2 ⊂ Ω 1 . (1.7) (F |G)(t) ´ e chamado de operador de tradu¸c˜ ao que relaciona os dois conjuntos de coeficientes da seguinte maneira, [46]
{b m (x i , x ∗2 )} = (F |G)(t){a n (x i , x ∗1 )}, t = x ∗2 − x ∗1 . (1.8) A tradu¸c˜ ao pode ser de trˆ es tipos, tradu¸c˜ ao R—R, tradu¸c˜ ao S—S e tradu¸c˜ ao S—R.
Tradu¸ c˜ ao R—R (Local para local)
Considerando uma expans˜ ao do tipo R de um potencial devido a um campo Φ(y, x i ) sobre um circulo de centro x ∗ ∈ R n ,
Φ(y, x i ) =
∞
X
m=0
a m (x i , x ∗ )R m (y − x ∗ ), ∀y ∈ B r (x ∗ ) = {y ∈ R n ; ||y − x ∗ || < r}.
Queremos reescrever a mesma fun¸c˜ ao com um deslocamento da base R m (y − (x ∗ + t)) para o centro (x ∗ + t) de uma expans˜ ao, (x ∗ + t) ∈ B r (x ∗ ), assim:
Φ(y, x i ) =
∞
X
n=0
a n (x i , x ∗ + t)R n (y − (x ∗ + t)), ∀y ∈ B r
1(x ∗ + t) ⊂ B r (x ∗ ), (1.9) onde B r
1(x ∗ + t) = {y ∈ B r (x ∗ ) : ||y − (x ∗ + t)|| < r 1 = r − ||t||}. A matriz do operador R|R(t) relaciona os coeficientes a m (x i , x ∗ ) e a n (x i , x ∗ + t) da seguinte forma,
a n (x i , x ∗ + t) =
∞
X
m=0
(R|R) nm (t)a m (x i , x ∗ ). (1.10)
Exemplo: [46]
Φ(y, x i ) =
∞
X
m=0
h 2 m m! e
−(xi−(x∗+t))2 h2
x i − (x ∗ + t) h
m i
e
−(y−(x∗+t))2 h2y − (x ∗ + t) h
m
=
∞
X
m=0
a(x i , x ∗ )R m (y−x ∗ ),
(1.11)
1. O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos
onde
a(x i , x ∗ ) =
∞
X
m=0
h 2 m m! e
−(xi−(x∗+t))2 h2
x i − (x ∗ + t) h
m i
, (1.12)
e
R m (y − x ∗ ) = e
−(y−(x∗+t))2 h2