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O M´ etodo das Solu¸ c˜ oes Fundamentais com Expans˜ ao em Multipolos

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Academic year: 2021

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(1)

Universidade Federal da Para´ıba

Centro de Inform´ atica

Programa de P´ os–Gradua¸ c˜ ao em Modelagem Matem´ atica Computacional

Mestrado em Modelagem Matem´ atica Computacional

O M´ etodo das Solu¸ c˜ oes Fundamentais com Expans˜ ao em Multipolos

Mois´ es Viana Felipe de Oliveira

Jo˜ ao Pessoa – PB

Outubro de 2016

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Universidade Federal da Para´ıba Centro de Inform´ atica

Programa de P´ os–Gradua¸ c˜ ao em Modelagem Matem´ atica Computacional

Mestrado em Modelagem Matem´ atica Computacional

O M´ etodo das Solu¸ c˜ oes Fundamentais com Expans˜ ao em Multipolos

por

Mois´ es Viana Felipe de Oliveira

sob a orienta¸ c˜ ao de

Prof. Dr. Gerd Bruno Rocha Prof. Dr. Jairo Rocha de Faria

Jo˜ ao Pessoa – PB

Outubro de 2016

(3)
(4)
(5)
(6)

Aos meus pais, Maria Jos´ e

Viana de Oliveira e Beija-

min Felipe de Oliveira.

(7)

Agradecimentos

Agrade¸co aos meus orientadores, Professores Jairo Rocha de Faria e Gerd Bruno da Rocha,

pela confian¸ca e paciˆ encia com os meus repetitivos erros. Pela orienta¸c˜ ao de forma clara e direta,

contribuindo para o meu crescimento intelectual e profissional.

(8)

Resumo

Neste trabalho apresentamos uma implementa¸c˜ ao do M´ etodo das Solu¸c˜ oes Fundamentais (Method of Fundamental Solutions - MFS ) combinado com o M´ etodo dos Multipolos R´ apidos (Fast Multipole Method - FMM ) a qual denominamos de MFS-FMM. Alguns experimentos num´ ericos foram realizados considerando-se um problema de Laplace definido sobre um dom´ınio bidimensional, onde o algoritmo proposto apresentou precis˜ ao compat´ıvel com a obtida atrav´ es do MFS cl´ assico. Destacamos, duas vantagens da solu¸c˜ ao dada pelo algoritmo proposto sobre o MFS: 1) menor custo computacional e 2) o sistema linear resultante demonstrou-se bem condi- cionado, ao contr´ ario do que acontece com o MFS que necessita ser regularizado. Em particular, esta segunda vantagem ´ e bastante relevante na presen¸ca de dados com ru´ıdos, como ocorre no caso de problemas inversos, onde o MFS tem ocupado um papel de destaque em diversas aplica¸c˜ oes

Palavras-chave: M´ etodo das solu¸c˜ oes Fundamentais, M´ etodo dos multipolos r´ apidos, Problema

de Laplace. Regulariza¸c˜ ao.

(9)

Abstract

In this work we present an implementation of Method Fundamental Solutions (MFS) combi- ned with the method of Fast Multipole (FMM) which we call the MFS-FMM. Some numerical experiments were performed considering a Laplace problem defined in a two-dimensional do- main, where the algorithm presented accurately compatible with that obtained through the classic MFS. We highlight two advantages of the solution given by the algorithm on the MFS:

1) lower computational cost and 2) the resulting linear system proved to be well conditioned, the in contrest of what happens to the MFS that needs to be regularized. In particular, this second feature is and quite relevant in the presence of data with noise, as in the case of inverse problems, where MFS has played a prominent role in many applications.

Keywords: Method of Fundamental Solutions, Fast Multipole Method, Laplace Problems.

Regularization.

(10)

Sum´ ario

Introdu¸ c˜ ao 2

1 O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos 5

1.1 Fundamenta¸c˜ ao te´ orica do FMM . . . . 5

1.2 Expans˜ ao em Multipolos . . . . 6

1.3 Tradu¸c˜ ao . . . . 8

1.4 O algoritmo dos multipolos r´ apidos . . . . 11

1.4.1 Preliminares F´ısicas e Matem´ aticas . . . . 11

1.5 Descri¸c˜ ao da divis˜ ao hier´ arquica em caixas. . . . 18

2 M´ etodo das Solu¸ c˜ oes Fundamentais 24 3 Aplica¸ c˜ ao da metodologia proposta ao problema de Laplace 28 3.1 Solu¸c˜ ao Fundamental da equa¸c˜ ao de Laplace . . . . 29

3.1.1 Problemas Modelos . . . . 31

4 Experimentos Num´ ericos 34 4.1 MSF-FMM . . . . 35

4.1.1 Exemplo . . . . 36

4.1.2 Teste num´ erico 1 . . . . 37

4.1.3 Teste num´ erico 2 . . . . 38

4.1.4 Teste num´ erico 3 . . . . 38

4.1.5 Teste num´ erico 4 . . . . 39

5 Conclus˜ oes 41

A Apˆ endice 47

A.0.6 S´ erie de Taylor . . . . 47

(11)

Lista de Figuras

1.1 em 1) A a¸c˜ ao das part´ıculas (em azul), ´ e calculada no centro da caixa.(forma¸c˜ ao dos multipolos) 2) O centro de cada caixa-filha ´ e transladado para o centro da caixa-pai, o que caracteriza uma transla¸c˜ ao do tipo multipolo para multipolo (M2M). 3) C´ alculo da a¸c˜ ao do centro da caixa-pai sobre o centro (tradu¸c˜ ao mul- tipolo para local - M2L). 4) A¸c˜ ao do centro da caixa-pai obre os centros das caixas-filha (transla¸c˜ ao local para local - L2L), 5) avalia¸c˜ ao do centro de caixa

sobre as part´ıculas. . . . 10

1.2 Transla¸c˜ ao de uma expans˜ ao em multipolo. . . . 15

1.3 Convers˜ ao de uma expans˜ ao em multipolo para local. . . . 17

1.4 N´ıvel 0. . . . . 18

1.5 N´ıvel 1. . . . . 18

1.6 N´ıvel 2. . . . . 19

1.7 N´ıvel 3. As caixas em vermelho s˜ ao vizinhas de i. As caixas em cinza est˜ ao bem separadas da caixa i. . . . 19

1.8 As caixas de cor verde s˜ ao filhas dos vizinhos da caixa i. . . . . 20

1.9 Expans˜ ao no centro de uma caixa. . . . 20

1.10 Expans˜ ao multipolo para multipolo no centro da caixa-pai (passo-2). . . . . 20

1.11 Transla¸c˜ ao multipolo para local. . . . 21

1.12 Transla¸c˜ ao de local para local. . . . 21

1.13 Somat´ orio final (passo-5). . . . . 22

2.1 Disposi¸c˜ ao dos pontos de coloca¸c˜ ao (em vermelho) e pontos fontes (em azul) em um dom´ınio Ω. Φ(x, y i ) ´ e a solu¸c˜ ao fundamental. . . . . 25

3.1 Dom´ınio do problema. Em vermelho temos os pontos de coloca¸c˜ ao e em azul os pontos fontes. . . . 32

3.2 Vis˜ ao ampliada do furo no dom´ınio Ω. . . . . 33

4.1 Se a distˆ ancia entre o ponto fonte y e o ponto x ´ e menor do que αR, o c´ alculo ´ e feito

diretamente. Caso contr´ ario utiliza-se a expans˜ ao em multipolos considerando-se

o centro do dom´ınio. . . . 35

(12)

4.2 Solu¸c˜ ao de u N sobre ∂Ω 1 . No eixo x : 0 − 2π. Solu¸c˜ ao exata (-), solu¸c˜ ao do MFS (o), solu¸c˜ ao MFS-FMM (+). Resultado obtido com M = 40, R = 2, 0, N = 80, r = 0, 20 α = 1, 3 e λ = 10 −7 . . . . . 36 4.3 Fluxo ∂u D

n sobre ∂Ω 1 (-), fluxo via MFS (o), fluxo via MFS-FMM (+). Resultado

obtido com α = 1, 3, M = 40, R = 2, 0, N = 80, r = 0, 20 e λ = 10 −7 . Obs: No

eixo x : [0, 2π] . . . . 37

(13)

Introdu¸ c˜ ao

Iniciamos este trabalho com uma resenha do estado da arte dos algoritmos propostos na literatura para o problema dos n-corpos, que tem como objetivo a redu¸c˜ ao da complexidade computacional da simula¸c˜ ao de intera¸c˜ oes entre n part´ıculas. De fato, neste caso o custo compu- tacional do c´ alculo direto ´ e da ordem de n 2 , o que torna-se proibitivo para algumas aplica¸c˜ oes de interesse onde n ´ e grande, como em alguns problemas encontrados na f´ısica de plasma, dinˆ amica dos flu´ıdos, dinˆ amica molecular, mecˆ anica celeste, dentre outros.

Nas ´ ultimas d´ ecadas, tem sido realizado um grande esfor¸co no sentido de reduzir a com- plexidade computacional do problema dos n-corpos cujas itera¸c˜ oes s˜ ao do tipo Coulomb ou gravitacionais. O problema de n-corpos consiste em predizer o movimento de um grupo de obje- tos que interagem entre si [33]. Uma motiva¸c˜ ao para a busca por uma solu¸c˜ ao de tal problema,

´

e entender o movimento de estrelas [36], comportamento de mol´ eculas [1] ou mesmo multid˜ oes [15]. Fenˆ omenos que envolvem a intera¸c˜ ao entre corpos ocorrem em muitos ramos da ciˆ encia. A for¸ca gravitacional entre estrelas e planetas, a for¸ca eletrost´ atica entre cargas pontuais s˜ ao alguns exemplos. Sabe-se que as gal´ axias s˜ ao influenciadas pela intera¸c˜ ao gravitacional que atua entre o conjunto de estrelas que a comp˜ oe. O c´ alculo direto das equa¸c˜ oes envolvidas ´ e impratic´ avel quando o sistema ´ e composto por um grande n´ umero de corpos. Ent˜ ao, como calcular a for¸ca de intera¸c˜ ao entre um grande n´ umero de part´ıculas pertencentes a um conjunto? O m´ etodo direto, conhecido como part´ıcula-part´ıcula [28], para calcular a intera¸c˜ ao entre n corpos, requer que para cada corpo seja computada a influˆ encia de todos os outros. Ou seja, todas as part´ıcula fazem parte do c´ alculo, n˜ ao importando a distˆ ancia entre elas. A t´ıtulo de exemplo, imaginemos o c´ alculo da for¸ca gravitacional entre um grupo de duzentas estrelas. Seriam necess´ arias algo em torno de 10 4 opera¸c˜ oes computacionais.

Nestes casos faz-se necess´ ario um m´ etodo, ou seja, um algoritmo que possibilite o c´ alculo com um menor custo computacional. Por algoritmo queremos dizer uma sequˆ encia ordenada, sem ambiguidade de passos que levem ` a solu¸c˜ ao do problema. Em um cen´ ario como o descrito anteriormente um algoritmo que venha acelerar tais simula¸c˜ oes ´ e muito desej´ avel.

Rockhlin e Greengard [25] em seu trabalho conjunto na d´ ecada de 80 apresentaram um

algoritmo que reduzia os c´ alculos dos problemas de simula¸c˜ ao de part´ıculas para campos de

Coulomb ou gravitacional. O algoritmo ficou conhecido como M´ etodo dos Multipolos R´ apidos

Fast Multipole Method (FMM). De uma forma resumida, o m´ etodo dos Multipolos R´ apidos

(14)

consiste em subdividir o dom´ınio em regi˜ oes denominadas de caixas, e uma vez fixada uma determinada caixa, a influˆ encia das caixas-vizinhas s˜ ao calculadas de forma direta. Duas caixas s˜ ao ditas vizinhas, quando compartilham um ponto limite (isto ´ e, tem pelo menos um ponto da fronteira em comum) Para as caixas que n˜ ao s˜ ao vizinhas ` a caixa fixada, suas influˆ encias s˜ ao computadas via expans˜ oes de multipolos que fornecem uma expans˜ ao assint´ otica para a fun¸c˜ ao que calcula a influˆ encia. As part´ıculas dentro das caixas-vizinhas s˜ ao avaliadas de forma exata, enquanto que caixas n˜ ao vizinhas tˆ em suas intera¸c˜ oes avaliadas de forma aproximada. Isso deve- se ao fato das part´ıculas contidas em caixas distantes contribu´ırem com uma parcela pequena no computo total, devido ao decaimento com o quadrado da distˆ ancia que ocorrem nos fenˆ omenos acima mencionados.

Desde ent˜ ao, o FMM tem sido utilizado com sucesso por v´ arios pesquisadores e em diversas outras aplica¸c˜ oes. No trabalho original acima citado, os autores usaram-no para calcular o potencial eletrost´ atico governado pela equa¸c˜ ao de Laplace, que tamb´ em ser´ a explorada neste trabalho.

1. Em 1990, Greengard e Strain [26] utilizaram o FMM para acelerar o c´ alculo da solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao do calor. Eles reduziram o custo que seria da O(n 2 m 2 ) para O(nm), onde m ´ e o n´ umero de caixas adotadas

2. Em 1994, usando 25600 part´ıculas, White et al., [54] generalizou o m´ etodo aplicando-o a um caso cont´ınuo de distribui¸c˜ ao de cargas, desta forma ele reduziu o tempo de 7 horas em um c´ alculo direto para cerca de 4 horas.

3. Em 1995, Peirce e Napier [43] aplicaram o FMM para reduzir o custo do M´ etodo dos Elementos de Contorno, da ordem de n 3 para n 2 log(n) opera¸c˜ oes.

4. Em 2006, C ¸ akir [9] utilizou o FMM para acelerar o produto entre matrizes e vetores, resul- tantes do c´ alculo das ondas de superf´ıcie s´ısmicas utilizadas em sismologia, para estudar as estruturas geol´ ogicas complexas da terra. O estudo matem´ atico da dispers˜ ao de tais ondas, envolve a solu¸c˜ ao de uma integral, do tipo convolucional, as fun¸c˜ oes de Hankel que aparecem nessas integrais foram expandidas em multipolos para que pudesse acelerar as intera¸c˜ oes e consequentemente o produto entre matrizes e vetores.

5. Em 2008, Van et al. [51] associaram o FMM ao M´ etodo das Diferen¸cas Finitas, com o objetivo de melhorar o desempenho de simula¸c˜ oes nos c´ alculos envolvendo campos mag- netost´ aticos.

6. Para estudar, e quantificar as propriedades estruturais da distribui¸c˜ ao interna da mat´ eria escura em um halo gal´ atico, os astrˆ onomos e astrof´ısicos dependem de simula¸c˜ oes num´ ericas.

Neste contexto, Stadel et al., [50] em 2009, efetuou uma s´ erie de simula¸c˜ oes em um super-

computador empregando o FMM com a finalidade e agilizar os c´ alculos.

(15)

7. Em 2013, Chau [13] aplicou o FMM em dinˆ amica molecular e aumentou a velocidade das simula¸c˜ oes envolvendo prote´ınas com at´ e 24000 ´ atomos.

No presente trabalho, apresentaremos uma proposta de uso do FMM como uma ferramenta vi´ avel, para a redu¸c˜ ao do custo computacional do M´ etodo das Solu¸c˜ oes Fundamentais [39].

O M´ etodo das Solu¸c˜ oes fundamentais (MFS) ´ e um m´ etodo sem malha de solu¸c˜ ao num´ erica de equa¸c˜ oes diferenciais que tem despertado um grande interesse na comunidade cient´ıfica por conta de suas vantagens sobre os m´ etodos de discretiza¸c˜ ao de dom´ınio, como o M´ etodo dos Elementos Finitos (FEM) e o M´ etodo das Diferen¸cas Finitas (FDM). Podemos citar: maior velocidade de computa¸c˜ ao, menor necessidade de mem´ oria, convergˆ encia exponencial e facilidade de imple- menta¸c˜ ao em problemas definidos sobre dom´ınios irregulares. Devemos ressaltar ainda que, por ser um m´ etodo de redu¸c˜ ao de dimens˜ ao (ao inv´ es de discretiza¸c˜ oes de dom´ınio, discretizamos a fronteira), as matrizes do MFS s˜ ao consideravelmente menores que as matrizes dos m´ etodos supracitados, embora sejam matrizes cheias. Por outro lado, quando comparado com o M´ etodo dos Elementos de Contorno - Boundary Element Method (BEM), que tamb´ em ´ e um m´ etodo sem malha, deve-se destacar que o MFS evita a necessidade de integra¸c˜ ao sobre a fronteira e a solu¸c˜ ao em pontos interiores do dom´ınio ´ e calculada sem a necessidade de quadraturas. Al´ em do mais, as derivadas da solu¸c˜ ao s˜ ao calculadas diretamente da combina¸c˜ ao linear de solu¸c˜ oes fundamentais, que gera a solu¸c˜ ao do MFS. Como desvantagens do MFS, podemos citar o fato de a solu¸c˜ ao fundamental ter de ser explicitamente conhecida, e que a matriz do sistema alg´ ebrico gerada pelo m´ etodo ser mal condicionada. A restri¸c˜ ao a problemas homogˆ eneos, foi superada recente- mente com o trabalho de Alves e Valchev [4] que introduziram uma metodologia denominada Kansa-type Method of Fundamental Solutions (KMFS).

O texto est´ a estruturado da seguinte forma. No primeiro cap´ıtulo, descrevemos os fundamen- tos matem´ aticos do FMM. No segundo cap´ıtulo, apresentamos o uso do algoritmo para campos potenciais do tipo Coulomb ou gravitavionais em duas dimens˜ oes, conforme o trabalho de Gre- engard e Rokhlin [25]. O terceiro cap´ıtulo apresentamos o MSF. No quarto cap´ıtulo expomos os fundamentos matem´ aticos da equa¸c˜ ao de Laplace e suas aplica¸c˜ oes. Finalmente no quinto cap´ıtulo, apresentamos nossos experimentos num´ ericos e fazemos algumas considera¸c˜ oes finais.

A proposta deste trabalho ´ e agregar uma expans˜ ao em multipolos ao MFS para reduzir o seu custo computacional. Para isso, observaremos os pontos fontes e de coloca¸c˜ ao como part´ıculas carregadas e a intera¸c˜ ao entre “part´ıculas”distantes ´ e realizada de modo aproximado.

Aplicamos a metodologia proposta em dois problemas de Laplace, devido a sua importˆ ancia na

modelagem de diversos fenˆ omenos f´ısicos estacion´ arios. Em particular, os exemplos explorados

est˜ ao relacionados ao problema da tomografia por impedˆ ancia, que tem importantes aplica¸c˜ oes

na medicina e na ind´ ustria [17].

(16)

Cap´ıtulo 1

O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos

1.1 Fundamenta¸ c˜ ao te´ orica do FMM

Em nosso algoritmo proposto, n˜ ao aplicamos todas as etapas do FMM, entretanto iremos apresentar neste cap´ıtulo todas as equa¸c˜ oes relacionadas ao FMM, por uma quest˜ ao de comple- tude de nosso trabalho.

Como mencionado, o M´ etodo dos Multipolos R´ apidos ´ e um algoritmo que foi desenvolvido por Rokhlin e Greengard [25] em 1987, sendo considerado por alguns como um dos grandes algoritmos do s´ eculo XX [19], junto do M´ etodo de Monte Carlo [40] e do M´ etodo Simplex [16].

O FMM apresenta-se como um m´ etodo eficiente para avaliar de forma r´ apida as ´ areas sujeitas a potenciais e campos de for¸ca envolvendo um grande n´ umero de part´ıculas, cujas intera¸c˜ oes podem ser do tipos Coulomb ou gravitacional. Um c´ alculo direto de todas as intera¸c˜ oes entre as part´ıculas requereria um custo computacional O(n 2 ), onde n ´ e o n´ umero de part´ıculas envolvidas, o que representa um limitador para aplica¸c˜ oes pr´ aticas, como no caso da qu´ımica quˆ antica, por exemplo, onde n pode ser associado ao n´ umero de el´ etrons, e sendo dessa forma, para uma mol´ ecula com muito ´ atomos (da ordem de 10 4 ) teremos muitos el´ etrons. Usando-se o FMM, o custo ´ e reduzido para O(n log n) ou mesmo para O(n). Uma analogia que pode ser feita para exemplificar o funcionamento do FMM ´ e imaginar a seguinte situa¸c˜ ao [53]:

Em um restaurante quatro clientes fazem seus pedidos.

Cliente 1: Vou querer uma salada, um bife e uma cerveja.

Cliente 2: Um copo de ´ agua, uma salada e um bife.

Cliente 3: Uma cerveja, uma pizza e um bife.

Cliente 4: Uma salada, uma cerveja e um bife.

O gar¸com anota os pedidos em grupos. Trˆ es saladas, quatro bifes, trˆ es cervejas, uma pizza e um copo com ´ agua e os envia a cozinha. Desta forma v´ arios pedidos de um mesmo alimento podem ser agrupados aumentando assim a eficiˆ encia. O FMM trabalha de forma semelhante.

O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos consiste em subdividir o dom´ınio em caixas quadradas

e uma vez fixada uma determinada caixa, a influˆ encia das caixas adjacentes s˜ ao calculadas de

(17)

1. O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos

forma direta. Para as caixas que n˜ ao s˜ ao adjacentes a caixa fixada, suas influˆ encias s˜ ao compu- tadas via expans˜ oes de multipolos que fornecem uma expans˜ ao assint´ otica para a aproxima¸c˜ ao.

Entende-se por expans˜ ao assint´ otica uma express˜ ao que aproxima o resultado de um operador como uma soma de termos mais simples com um termo remanescente a ser estimado (e que em geral ´ e desprezado, de modo an´ alogo a uma expans˜ ao de Taylor para uma fun¸c˜ ao de classe C n ).

Atualmente, o FMM tem sido utilizado em um grande n´ umero de aplica¸c˜ oes, por exemplo, c´ alculo das intera¸c˜ oes entre v´ ortices, eletromagnetismo, dinˆ amica dos fluidos, estat´ıstica, dinˆ amica mole- cular e na resolu¸c˜ ao de sistemas lineares advindos de m´ etodos num´ ericos de solu¸c˜ oes de equa¸c˜ oes diferenciais, como o M´ etodo dos Elementos de Contorno e o M´ etodo das Diferen¸cas Finitas.

1.2 Expans˜ ao em Multipolos

Duas expans˜ oes s˜ ao fundamentais no desenvolvimento do FMM. A expans˜ oes do tipo S e expans˜ oes do tipo R.

Defini¸ c˜ ao 1.1. Uma expans˜ ao do tipo S, tamb´ em chamada de far-field [46], ´ e uma express˜ ao da forma,

Φ(x i , y) =

X

m=0

b m (x i , x )S m (y − x ), (1.1) onde x ´ e o centro de um c´ırculo de raio r e a s´ erie acima converge desde que y esteja fora do c´ırculo, ou seja ||y − x ∗ || > r; b m s˜ ao os coeficientes da expans˜ ao e S m (y − x ∗ ) s˜ ao denominadas fun¸c˜ oes de base.

Vejamos um exemplo. Considere a fun¸c˜ ao Φ(y, x i ) = 1

y − x i

, definida para algum x ∗ ∈ R n , ||y − x ∗ || > r ≥ ||x i − x ∗ ||.

Temos que,

Φ(y, x i ) = 1

(y − x ∗ ) − (x i − x ∗ ) = 1

(y − x ∗ )[1 − x y−x

i

−x

] = 1 (y − x ∗ )

h

1 − x i − x ∗

y − x ∗

i −1

.

Sabendo-se que 1 1 − x =

X

m=0

x m , ∀x tal que ||x|| < 1, podemos reescrever a express˜ ao anterior,

(18)

1. O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos

Φ(y, x i ) = 1 (y − x ∗ )

X

m=0

(x i − x ∗ ) m

(y − x ∗ ) m (1.2)

=

X

m=0

1 (y − x ∗ )

(x i − x ∗ ) m (y − x ∗ ) m

=

X

m=0

b m (x i , x ∗ )S m (y − x ∗ ),

onde b m (x i , x ∗ ) = (x i − x ∗ ) m e S m (y, x ∗ ) = 1 (y − x ∗ ) m+1

Defini¸ c˜ ao 1.2. Uma expans˜ ao do tipo R, tamb´ em chamada de expans˜ ao local [46], ´ e definida por,

Φ(y, x i ) =

X

m=0

a m (x i , x ∗ )R m (y − x ∗ ), (1.3) se a s´ erie converge para todo y ∈ R n , ||y − x ∗ || < r ≤ ||x i − x ∗ || com x ∗ ∈ R n , a m (x i , x ∗ ) s˜ ao os coeficientes da expans˜ ao R m (y − x ∗ ) e x ∗ ´ e o centro da expans˜ ao.

Tomemos como exemplo a fun¸c˜ ao gaussiana Φ(y, x i ) = e

−(y−xi)2

h2

onde h ∈ R − {0}. Neste caso, para algum x ∗ , temos

Φ(y, x i ) = e

−[(y−x∗)−(xi−x∗)]2 h2

= e

−(y−x∗)2h2

e

−(xi−x∗)2 h2

e

2(y−x∗)(xi−x∗)

h2

. (1.4)

Sabendo-se que e x =

X

n=0

x m

m! , ∀x ∈ R , podemos reescrever a express˜ ao anterior.

Φ(y, x i ) = e

−(y−x∗)2h2

e

−(xi−x∗)2 h2

X

m=0

2 m m!

y − x ∗

h

m x i − x ∗

h m

(1.5a)

=

X

m=0

h 2 m m! e

−(xi−x∗)2 h2

x i − x ∗

h

m i e

−(y−x∗)2 h2

y − x ∗

h m

(1.5b)

=

X

m=0

a m (x i , x ∗ )R m (y − x ∗ ), (1.5c)

onde

a m = 2 m m! e

−(xi−x∗)2 h2

x i − x ∗

h m

e R m = e

−(y−x∗)2h2

y − x ∗

h m

.

(19)

1. O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos

1.3 Tradu¸ c˜ ao

A tradu¸c˜ ao ou reexpans˜ ao, ´ e usada para reduzir ainda mais os passos requeridos no c´ alculo de uma expans˜ ao [53]. Sejam {F n (y − x ∗1 )} n=0 e {G m (y − x ∗1 )} m=0 dois conjuntos de fun¸c˜ oes de bases centradas em x ∗1 e x ∗2 tal que Φ(y, x i ) possa ser representada em duas s´ eries uniformemente e absolutamente convergente, dadas por

Φ(y, x i ) =

X

n=0

a n (x i , x ∗ )F n (y − x ∗ ), ∀y ∈ Ω 1 ⊂ R n , (1.6) e

Φ(y, x i ) =

X

m=0

b m (x i , x )G m (y − x ), ∀y ∈ Ω 2 ⊂ Ω 1 . (1.7) (F |G)(t) ´ e chamado de operador de tradu¸c˜ ao que relaciona os dois conjuntos de coeficientes da seguinte maneira, [46]

{b m (x i , x ∗2 )} = (F |G)(t){a n (x i , x ∗1 )}, t = x ∗2 − x ∗1 . (1.8) A tradu¸c˜ ao pode ser de trˆ es tipos, tradu¸c˜ ao R—R, tradu¸c˜ ao S—S e tradu¸c˜ ao S—R.

Tradu¸ c˜ ao R—R (Local para local)

Considerando uma expans˜ ao do tipo R de um potencial devido a um campo Φ(y, x i ) sobre um circulo de centro x ∗ ∈ R n ,

Φ(y, x i ) =

X

m=0

a m (x i , x ∗ )R m (y − x ∗ ), ∀y ∈ B r (x ∗ ) = {y ∈ R n ; ||y − x ∗ || < r}.

Queremos reescrever a mesma fun¸c˜ ao com um deslocamento da base R m (y − (x ∗ + t)) para o centro (x ∗ + t) de uma expans˜ ao, (x ∗ + t) ∈ B r (x ∗ ), assim:

Φ(y, x i ) =

X

n=0

a n (x i , x ∗ + t)R n (y − (x ∗ + t)), ∀y ∈ B r

1

(x ∗ + t) ⊂ B r (x ∗ ), (1.9) onde B r

1

(x + t) = {y ∈ B r (x ) : ||y − (x + t)|| < r 1 = r − ||t||}. A matriz do operador R|R(t) relaciona os coeficientes a m (x i , x ∗ ) e a n (x i , x ∗ + t) da seguinte forma,

a n (x i , x ∗ + t) =

X

m=0

(R|R) nm (t)a m (x i , x ∗ ). (1.10)

Exemplo: [46]

Φ(y, x i ) =

X

m=0

h 2 m m! e

−(xi−(x∗+t))2 h2

x i − (x ∗ + t) h

m i

e

−(y−(x∗+t))2 h2

y − (x ∗ + t) h

m

=

X

m=0

a(x i , x ∗ )R m (y−x ∗ ),

(1.11)

(20)

1. O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos

onde

a(x i , x ∗ ) =

X

m=0

h 2 m m! e

−(xi−(x∗+t))2 h2

x i − (x ∗ + t) h

m i

, (1.12)

e

R m (y − x ∗ ) = e

−(y−(x∗+t))2 h2

y − (x ∗ + t) h

m

, (1.13)

Tradu¸ c˜ ao S—S (Multipolo para Multipolo)

Considerando uma expans˜ ao S de um potencial Φ(y, x i ) sobre uma expans˜ ao de centro x ∈ R n (||x i − x ∗ || ≤ r).

Φ(x, y) =

X

m=0

b m (x i , x ∗ )S m (y − x ∗ ), ∀y ∈ B r (x ∗ ) = {y ∈ R n ; ||y − x ∗ || > r}. (1.14)

An´ alogo ao caso anterior, a fun¸c˜ ao ap´ os sofre um deslocamento S n (y − (x ∗ + t)) para o centro (x ∗ + t) ∈ B r (x ∗ ) da expans˜ ao,

Φ(y, x i ) =

X

m=0

b m (x i , x ∗ + t)S m (y − (x ∗ + t)), ∀y ∈ B r (x ∗ + t) ⊂ B r (x ∗ ), onde

B r

1

(x ∗ + t) = {y ∈ B r (x ∗ ) : ||y − (x ∗ + t)|| > r 1 = r + ||t||.

O operador matricial (S|S)(t) relaciona os coeficientes b m (x i , x ∗ ) e b n (x i , x ∗ + t) da seguinte forma:

b n (x i , x ∗ + t) =

X

m=0

(S|S) nm (t)b m (x i , x ∗ ). (1.15)

Tradu¸ c˜ ao S—R (Multipolo para local)

Considerando uma expans˜ ao S de um potencial Φ(y, x i ) sobre o centro x ∈ R n (||x i −x || ≤ r) de uma expans˜ ao.

Φ(x, y) =

X

m=0

b m (x i , x ∗ )S m (y − x ∗ ), ∀y ∈ B r (x ∗ ) = {y ∈ R n ; ||y − x ∗ || > r}. An´ alogo ao caso anterior a fun¸c˜ ao sofre um deslocamento S n (y − (x + t)) para o centro (x + t) ∈ B r (x ) da expans˜ ao,

Φ(y, x i ) =

X

m=0

b m (x i , x ∗ +r)S m (y−(x ∗ +t), x ∗ +r), ∀y ∈ B r (x ∗ +r) = {y ∈ R n : ||y−x ∗ || > r = r+k|t||}

(1.16)

Reescrevemos a fun¸c˜ ao com um deslocamento da base R n (y−(x ∗ +t)) para o centro x ∗ +t ∈ B r (x ∗ )

(21)

1. O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos

da expans˜ ao,

Φ(y, x i ) =

X

n=0

a n (x i , x ∗ + t)R n (y − (x ∗ + t)), ∀y ∈ B r

1

(x ∗ + t) ⊂ B r (x ∗ ), (1.17) onde B r (x ∗ + t) = {y ∈ B r (x ∗ ) : ||y − (x ∗ + t)|| < r 1 = ||t|| − r}. O operador matricial (S|R)(t) relaciona os coeficientes b m (x i , x ∗ ) e a n (x i , x ∗ + t), da seguinte maneira:

a n (x i , x + t) =

X

m=0

(S|R) nm (t)b m (x i , x ). (1.18)

Observa¸ c˜ ao 1. Na figura 1.1 temos um exemplo de como o FMM utiliza as reexpans˜ oes.

Figura 1.1: em 1) A a¸c˜ ao das part´ıculas (em azul), ´ e calculada no centro da caixa.(forma¸c˜ ao

dos multipolos) 2) O centro de cada caixa-filha ´ e transladado para o centro da caixa-pai, o que

caracteriza uma transla¸c˜ ao do tipo multipolo para multipolo (M2M). 3) C´ alculo da a¸c˜ ao do

centro da caixa-pai sobre o centro (tradu¸c˜ ao multipolo para local - M2L). 4) A¸c˜ ao do centro

da caixa-pai obre os centros das caixas-filha (transla¸c˜ ao local para local - L2L), 5) avalia¸c˜ ao do

centro de caixa sobre as part´ıculas.

(22)

1. O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos

1.4 O algoritmo dos multipolos r´ apidos

Restringimos a nossa aten¸c˜ ao para o caso em que o potencial (ou for¸ca) em um ponto ´ e a soma de intera¸c˜ oes por pares. Mais especificamente, n´ os consideramos potenciais da forma

Φ = Φ f ar + Φ near + Φ external , (1.19) onde Φ near (quando presente) ´ e um potencial de decaimento r´ apido (veja a observa¸c˜ ao 2 Se¸c˜ ao 1.4), Φ external (quando presente) ´ e independente do n´ umero de part´ıculas, e Φ f ar , o potencial de campo distante, ´ e do tipo Coulomb ou gravitacional, isto ´ e, decai com o quadrado da distˆ ancia.

Observa¸ c˜ ao 2. Um exemplo de for¸cas de decaimento r´ apido s˜ ao as for¸cas de Van der Waals, que s˜ ao normalmente atrativas e crescem rapidamente quando as part´ıculas se aproximam umas das outras. A rela¸c˜ ao for¸ca-distˆ ancia, neste caso, ´ e dada por

F (s) ∝ −1/s 7 , (1.20)

onde s ´ e a distˆ ancia entre part´ıculas.

Por outro lado, quando a separa¸c˜ ao s ´ e maior que alguns nanˆ ometros, as for¸cas de dispers˜ ao sofrem um retardo de origem relativ´ıstica [?] levando a um decaimento mais r´ apido das for¸cas com rela¸c˜ ao ` a distˆ ancia, dado por:

F (s) ∝ −1/s 8 . (1.21)

Como as for¸cas do tipo Coulomb ou gravitacionais tem decaimento com o quadrado da distˆ ancia, (i.e F (s) ∝ 1

s 2 ), as for¸cas de r´ apido decaimento tornam-se desprez´ıveis na presen¸ca destas quando consideradas distˆ ancias suficientemente grandes.

1.4.1 Preliminares F´ısicas e Matem´ aticas

Em particular, neste trabalho, consideraremos um modelo f´ısico bidimensional que consiste de um conjunto de N part´ıculas carregadas, com o potencial e for¸ca obtidas como uma soma de intera¸c˜ oes por pares da lei de Coulomb. Suponha que um ponto carregado de for¸ca unit´ aria ´ e localizado no ponto (x 0 , y 0 ) = x 0 ∈ R 2 . Ent˜ ao, para qualquer x = (x, y) ∈ R 2 , com x 6= x 0 , o potencial e o campo eletrost´ aticos devido a esta carga s˜ ao descritos pelas express˜ oes

Φ x

0

(x, y) = − log kx − x 0 k, (1.22) e

E x

0

(x, y) = − x − x 0

kx − x 0 k , (1.23)

(23)

1. O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos

respectivamente.

Lema 1.1. Φ x

0

(x, y) ´ e harmˆ onico em qualquer regi˜ ao do plano que n˜ ao contenha o ponto x 0 . Demonstra¸ c˜ ao 1. Calculando-se a primeira e segunda derivada parcial de Φ x

0

(x, y) em rela¸c˜ ao

`

a vari´ avel x, obtemos

∂ Φ x

0

∂x = −(x − x 0 )

kx − x 0 k 2 , (1.24)

2 Φ x

0

∂x 2 = − (x − x 0 ) + (y − y 0 )

kx − x 0 k 4 . (1.25)

Analogamente, temos que

− ∂ 2 Φ x

0

∂y 2 = −(y − y 0 ) + (x − x 0 )

kx − x 0 k 4 . (1.26)

Das Eqs. 1.25 e 1.26 segue-se imediatamente que

∆Φ x

0

= ∂ 2 Φ x

0

∂x 2 + ∂ 2 Φ x

0

∂y 2 = 0. (1.27)

Observa¸ c˜ ao 1.1. Do ponto de vista das equa¸c˜ oes diferenciais parciais, Φ x

0

´ e dita uma solu¸c˜ ao fundamental para o operador de Laplace ∆(·).

Observa¸ c˜ ao 1.2. Da Eq.(1.24) podemos observar que E x

0

(x, y) = −∇φ x

0

(x, y)

Defini¸ c˜ ao 1.3. Uma fun¸c˜ ao complexa f ´ e dita anal´ıtica em um dom´ınio D se ela ´ e definida e diferenci´ avel em cada ponto deste dom´ınio. Ver [49].

Defini¸ c˜ ao 1.4. Dada uma fun¸c˜ ao complexa f (z) = u(x, y) + iv(x, y), definimos as equa¸c˜ oes de Cauchy-Riemann por

∂u

∂x = ∂v

∂y e ∂u

∂y = − ∂v

∂x . (1.28)

Lema 1.2. Para todos os pontos onde as fun¸c˜ oes reais u = u(x, y) e v = v (x, y) possuem derivadas parciais de primeira ordem cont´ınuas e satisfazem as equa¸c˜ oes de Cauchy-Riemann a fun¸c˜ ao complexa f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ´ e anal´ıtica.

Demonstra¸ c˜ ao 2. Veja [32].

Lema 1.3. Para toda fun¸c˜ ao harmˆ onica u, existe uma fun¸c˜ ao anal´ıtica w : C → C , tal que u(x, y) = Re(w(x, y)) tal que w ´ e ´ unica a menos de constante aditiva.

Demonstra¸ c˜ ao 3. Veja [8].

No que se segue, todas as fun¸c˜ oes consideradas ser˜ ao anal´ıticas e n˜ ao ser´ a feita distin¸c˜ ao

entre um ponto (x, y) ∈ R 2 e um ponto x + iy ∈ C . Da defini¸c˜ ao de logaritmo de uma fun¸c˜ ao

(24)

1. O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos

complexa, dada por log (z) := log(r) + iθ, onde r = kzk e θ = arctan y x

, podemos observar que:

Φ x

0

(x) = Re(− log (z − z 0 )). (1.29) O seguinte Lema ´ e uma consequˆ encia imediata das equa¸c˜ oes de Cauchy-Riemann:

Lema 1.4. Se u(x, y ) = Re(w(x, y)) descreve o campo potencial em (x, y), ent˜ ao o correspon- dente campo de for¸ca ´ e dado por

∇u = (u x , u y ) = (Re(w 0 ), −Im(w 0 )), (1.30) onde w 0 ´ e a derivada de w.

Prova: Ver apˆ endice A.

Lema 1.5. Considere uma carga pontual de intensidade q, localizada em um ponto z 0 . Ent˜ ao para qualquer z tal que |z| > |z 0 |, temos

φ z

0

(z) = q log(z − z 0 ) = q

log(z) −

X

k=1

1 k ( z 0

z ) k .

Prova: Note inicialmente que log(z − z 0 ) = log(z) + log(1 − z 0

z ). log a b

= log(a) − log(b).

Por hip´ otese,

z 0 z

< 1 e portanto vale a identidade log(1 − ω) = −

X

k=1

ω k

k , que ´ e v´ alida para todo ω tal que |ω| < 1. Ent˜ ao, temos que

φ z

0

(z) = q log(z − z 0 ) = q

log(z) −

X

k=1

1 k ( z 0

z ) k .

De onde se segue o resultado requerido.

Teorema 1.6 (Expans˜ ao Multipolo). Suponha que m cargas de intensidade q i , i = 1, ..., m est˜ ao localizadas nos pontos z i , i = 1, ..., m, com |z i | < r ∀i, i = 1...m. Ent˜ ao para qualquer z ∈ C tal que |z| > r, o potencial φ(z), induzido pelas cargas, ´ e dado por

φ(z) = Q log(z) +

X

k=1

a k

z k , (1.31)

onde

Q =

m

X

i=1

q i , e a k =

m

X

i=1

−q i z k i

k . (1.32)

(25)

1. O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos

Al´ em disso, para qualquer p ≥ 1,

φ(z) − Q log(z) −

p

X

k=1

a k z k ≤ α

r z

p+1

≤ A c − 1

1 c

p

, (1.33)

onde

c = z r

, A =

m

X

i=1

|q i |, e α = A

1 − | r z | . (1.34)

Prova: A forma da expans˜ ao multipolo Eq. 1.19 ´ e uma consequˆ encia imediata do Lema precedente e do fato de que φ(z) =

m

X

i=1

φ z

i

(z). De fato,

φ(z) =

m

X

i=1

φ z

i

(z)

=

m

X

i=1

q i log(z) −

m

X

i=1

q i

X

k=1

1 k

z i z

k

= Q log(z) +

X

k=1

1 z k

m

X

i=1

−q i z i k k

= Q log(z) +

X

k=1

a k

z k , (1.35)

onde

a k =

m

X

i=1

−q i z i k

k . (1.36)

Para obtermos o limitante do erro dado pela Eq.1.35, vamos observar que:

φ(z) − Q log(z) −

p

X

k=1

a k

z k

=

X

k=p+1

a k

z k .

Substituindo a k =

m

X

i=1

−q i z i k

k , e observando que |z i k | ≤ |r k |, tem-se:

X

k=p+1

a k

z k

=

X

k=p+1

− P m i=1

q

i

z

ik

k

z k

m

X

i=1

|q i |

X

k=p+1

r k k|z| k

≤ A

X

k=p+1

r z

k

= A

1 − | r z | r z

p+1

= cA c − 1

1 c

p+1

(1.37)

Em particular, se c ≥ 2, A c − 1

1 c

p

≤ A 1 2

p

.

(26)

1. O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos

Teorema 1.1. (Transla¸ c˜ ao de uma expans˜ ao em multipolo) Suponha que φ(z) = a 0 log(z − z 0 ) +

X

k=1

a k

(z − z 0 ) k , (1.38)

seja uma expans˜ ao em multipolos de um potencial devido a um conjunto de m cargas de intensi- dade q 1 , q 2 , ..., q m todas localizadas dentro de um c´ırculo D 1 de raio R com centro em z 0 . Ent˜ ao para z, fora do c´ırculo D 1 de raio (R + |z 0 |) com centro na origem, temos

φ(z) = a 0 log(z) +

X

l=1

b l

z l , (1.39)

onde

b l = − a 0 z l 0 l +

l

X

k=1

a k z 0 l−k

l − 1 k − 1

, (1.40)

e l

k

representa coeficientes binomiais. Al´ em disso, para qualquer p ≥ 1,

φ(z) − a 0 log(z) −

p

X

l=1

b l

z l

≤ A

1 −

|z

0

|+R z

!

|z 0 | + R z

p+1

, (1.41)

com A como definido na Eq. 1.34.

Figura 1.2: Transla¸c˜ ao de uma expans˜ ao em multipolo.

Prova: Como a fun¸c˜ ao Φ(z) definida em Eq. 1.38 ´ e anal´ıtica, iremos expandi-la em s´ erie de

Taylor com respeito a z 0 :

(27)

1. O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos

φ(z) = a 0

"

log(z) − z 0

z − z 2 0

2z 2 − 2z 0 3

3!z 3 − 6z 0 4

4!z 4 + ... +

X

n

(n − 1)!

n!

z 0

z n i

(1.42) +

X

k=1

a k h 1

z k + kz 0

z k+1 + k(k + 1)z 0 2

2z k+2 + ... + (k + p)!z 0 p+1

(k − 1)!(p + 1)!z k+p+1 + ... i

(1.43)

= a 0 log(z) +

X

l=1

h − a 0

l z 0

z l i

+

X

k=1

a k

X

j=1

z 0 j−1 z k+j−1

k + j − 2 k − 1

(1.44)

= a 0 log(z) +

X

l=1

1 z l

h − a 0 z l 0 l +

l

X

k=1

a k z 0 l−k

l − 1 k − 1

i

(1.45)

= a 0 log(z) +

X

l=1

b l

z l , (1.46)

com b l = − a 0 z 0 l l +

l

X

k=1

a k z 0 l−k

l − 1 k − 1

.

Finalmente o limitante do erro pode ser obtido aplicando o Teorema 1.38 a (z) = a 0 log(z) +

X

l=1

b l

z l , (1.47)

com r = R + |z 0 |. De fato

φ(z) − a 0 log(z) −

p

X

l=1

b l z l

A 1 −

R+|z

0

z

R + |z 0 | z

p+1

, (1.48)

com A definido conforme Eq. 1.34.

Teorema 1.2. (Convers˜ ao de uma expans˜ ao multipolar para uma expans˜ ao local) Suponha que m cargas de intensidades q 1 , q 2 , ..., q m , estejam localizadas no interior de um c´ırculo D 1 com raio R e centro em z 0 , e que |z 0 | > (c + 1)R, com c > 1. Ent˜ ao a expans˜ ao dada pela Eq. 1.38 converge dentro do c´ırculo D 2 de raio R de centro na origem. Al´ em disso, dentro de D 2 , o potencial devido as cargas ´ e descrito por uma s´ erie de potˆ encia dada por

φ(z) =

X

l=0

b l z l , (1.49)

onde

b 0 = a 0 log(−z 0 ) +

X

k=1

a k

z 0 k (−1) k , (1.50)

e

b l = − a 0 lz 0 + 1

z l 0

X

k=1

a k z 0 k

l + k − 1 k − 1

(−1) k , para l ≥ 1. (1.51)

(28)

1. O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos

Por outro lado, um limite de erro para a s´ erie truncada ´ e dada por

φ(z) −

p

X

l=0

b l z l

< A(4e(p + c))(c + 1) + c 2 c(c − 1)

1 c

p+1

, ∀p ≥ max(2, 2c

c − 1 ), (1.52) onde o A ´ e definido na Eq. 1.34.

Figura 1.3: Convers˜ ao de uma expans˜ ao em multipolo para local.

Prova: Ver [25].

Lema 1.7. (Transla¸ c˜ ao de uma expans˜ ao Local ) Para quaisquer n´ umeros complexos z 0 , z e {a k }, k = 0, 1, 2, ..., n,

n

X

k=0

a k (z − z 0 ) k =

n

X

l=0

X n

k=l

a k k

l

(−z 0 ) k−l

z l . (1.53)

Prova: Usando a seguinte identidade binomial, (z−z 0 ) k =

k

X

l=0

z l k

l

(−z 0 ) k−l , (ver Apˆ endice A), tem-se que:

n

X

k=0

a k (z − z 0 ) k =

n

X

k=0

a k X k

l=0

k l

z l (−z 0 ) k−l

=

n

X

l=0

X n

k=l

a k k

l

(−z 0 ) k−l

z l .

(29)

1. O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos

1.5 Descri¸ c˜ ao da divis˜ ao hier´ arquica em caixas.

Inicialmente, o espa¸co/dom´ınio onde est˜ ao contidas todas as part´ıculas em considera¸c˜ ao ´ e circunscrito por um quadrado. Posteriormente o dom´ınio ´ e subdividido em caixas hier´ arquicas que refinam o dom´ınio computacional em regi˜ oes cada vez menores. Cada um dos subdom´ınios

´

e obtido por subdivis˜ ao de cada regi˜ ao em quatro partes. O n´ umero distinto de caixas ´ e igual a 4 l [25], onde l ´ e o n´ıvel hier´ arquico.

Figura 1.4: N´ıvel 0.

Figura 1.5: N´ıvel 1.

Defini¸ c˜ ao 1.5. Duas caixas s˜ ao ditas vizinhas se elas est˜ ao no mesmo n´ıvel de refinamento e compartilham pelo menos um ponto limite (uma caixa ´ e vizinha de si mesma - veja a fig. 1.7).

Defini¸ c˜ ao 1.6. Duas caixas s˜ ao ditas bem separadas se elas est˜ ao no mesmo n´ıvel de refina- mento e n˜ ao s˜ ao vizinhas).

Defini¸ c˜ ao 1.7. Para cada caixa i est´ a associada uma sequˆ encia de intera¸c˜ oes, entre as caixas filhas (caixas resultantes da subdivis˜ ao) dos vizinhos da caixa pai (caixa que sofreu subdivis˜ ao) e que s˜ ao bem separados a partir da caixa i, (ver fig. 1.8).

As itera¸c˜ oes entre as caixas ocorrem como, descrito pelos passos abaixo.

(30)

1. O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos

Figura 1.6: N´ıvel 2.

Figura 1.7: N´ıvel 3. As caixas em vermelho s˜ ao vizinhas de i. As caixas em cinza est˜ ao bem separadas da caixa i.

Passo-1

Dentro de cada uma das caixas, s˜ ao constru´ıdas expans˜ oes multipolos para os pontos de origem dentro de cada caixa, (veja a fig. 1.9).

Passo-2

Translada-se o centro de cada caixa-filha, para o centro da caixa-pai, (veja a fig. 1.10).

Passo-3

Translada-se o centro da caixa-pai para o centro das caixas-filhas que n˜ ao sejam vizinhas.

Passo-4 Nesta etapa efetua-se uma transla¸c˜ ao de local para local.

Passo-5

O ´ ultimo passo consiste em somar todas as contribui¸c˜ oes de todas as caixas que n˜ ao s˜ ao vizinhas.

(31)

1. O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos

Figura 1.8: As caixas de cor verde s˜ ao filhas dos vizinhos da caixa i.

Figura 1.9: Expans˜ ao no centro de uma caixa.

Figura 1.10: Expans˜ ao multipolo para multipolo no centro da caixa-pai (passo-2).

(32)

1. O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos

Figura 1.11: Transla¸c˜ ao multipolo para local.

Figura 1.12: Transla¸c˜ ao de local para local.

Com os resultados apresentados anteriormente, dada uma distribui¸c˜ ao de part´ıculas, pode-

mos descrever as etapas do algoritmo FMM:

(33)

1. O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos

Figura 1.13: Somat´ orio final (passo-5).

Algoritmo 1.1: Algoritmo do FMM

1 In´ıcio:

2 Escolha o n´ıvel de precis˜ ao.

3 in´ıcio

4 Passo-1

5 Fa¸ca as divis˜ oes em caixas do dom´ınio, em 4 l , o n´ıvel l = 0 corresponde a toda a caixa.

6 Passo-2

7 Forme as expans˜ oes dos multipolos sobre o centro de cada caixa.

8 Passo-3

9 Efetue as tradu¸c˜ oes de Multipolo para Multipolo.

10 Passo-4

11 Efetue as tradu¸c˜ oes de multipolo para local.

12 Passo-5

13 Efetue as tradu¸c˜ oes de local para local.

14 Passo-6

15 Efetue o somat´ orio final.

(34)

1. O M´ etodo dos Multipolos R´ apidos

Algoritmo 1.2: Algoritmo do FMM [46]

1 In´ıcio:

2 Entrada de dados:

3 x i ∈ R n i = 1...N /N fontes com n dimens˜ oes /

4 q i ∈ R + i = 1...N /Cargas/

5 y i ∈ R n i = 1...N / N Part´ıculas alvo com n dimens˜ oes/

6 Φ(y, x i ) /Potencial em y devido a x i /

7 > 0 /Precis˜ ao desejada/

8 in´ıcio FMM

9 Passo-1

10 Fa¸ca as divis˜ oes em caixas do dom´ınio, em 4 l . O n´ıvel l = 0 corresponde a toda a caixa.

11 Passo-2

12 Trunque a s´ erie de termos tal que o erro seja menor ou igual a .

13 Passo-3

14 Efetue as expans˜ oes S e R da fun¸c˜ ao potencial sobre o centro de cada caixa.

15 ∀x i ∈ I 1 (l) ∀y ∈ I 3 (l) Φ(y, x i ) =

p

1

−1

X

r=0

b r (x i , x l c )S r (y − x l c )

16 ∀x i ∈ I 3 (l) ∀y ∈ I 1 (l) Φ(y, x i ) =

p

2

−1

X

q=0

a q (x i , x l c )R q (y − x l c )

17 Passo-4

18 Consolide os coeficientes S-expans˜ ao para cada caixa.

19 B r l = X

x

i

∈I

1

(l)

q i b r (x i , x l c ), r = 0, ..., p − 1

20 Passo-5

21 S|R Efetue as tradu¸c˜ oes dos coeficientes das expans˜ oes

22 A nl q =

p−1

X

r=0

(S|R) qr (x n c − x l c )B r l para q = 0, ...p 1 − 1

23 A n q = X

l∈I

3

(n)

A nl q para q = 0, ...p 1 − 1

24 Passo-6

25 Efetue o somat´ orio final:

26 Φ(y ∈ I 1 (n)) = X

x

i

∈I

2

(n)

q i Φ(y − x i ) +

p

2

−1

X

q=0

A n q R q (y − x n c ).

(35)

Cap´ıtulo 2

M´ etodo das Solu¸ c˜ oes Fundamentais

O M´ etodo das Solu¸c˜ oes Fundamentais (MFS), tamb´ em chamado de m´ etodo desingularizado (Desingularized Method ), ou m´ etodo das simula¸c˜ oes de cargas (Charge Simulation Method ). ´ E uma t´ ecnica num´ erica que foi desenvolvida por Kupradze e Aleksidze, [31] em 1984 .O MSF ´ e um m´ etodo num´ erico que n˜ ao requer o uso de malha, ao contr´ ario de outros m´ etodos que fazem uso da discretiza¸c˜ ao do dom´ınio, geralmente usando malhas sobre o dom´ınio do problema, como por exemplo, o M´ etodo dos Elementos Finitos e o M´ etodo das Diferen¸cas Finitas. O MSF ´ e um m´ etodo de contorno indireto, que exige apenas que a solu¸c˜ ao fundamental do problema seja conhecida. O m´ etodo consiste em aproximar a solu¸c˜ ao do problema atrav´ es de uma combina¸c˜ ao linear de solu¸c˜ oes fundamentais, levando-se em considera¸c˜ ao as singularidades (denominadas de pontos fontes)que ficam localizados em uma fronteira fict´ıcia fora do dom´ınio de defini¸c˜ ao do problema. Portanto, o problema de se encontrar uma solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao diferencial, passar a ser o problema de interpola¸c˜ ao. Geralmente os pontos fontes s˜ ao posicionados ao redor do dom´ınio do problema. A fim de esclarecer as ideias, suponha um problema governado por uma equa¸c˜ ao diferencial sobre um dom´ınio limitado Ω tal que φ(x, y) seja a solu¸c˜ ao fundamental do operador diferencial. Para aplicar o m´ etodo deve-se inserir os pontos de coloca¸c˜ ao sobre a fronteira do dom´ınio ∂Ω, onde iremos impor as condi¸c˜ oes de contorno e/ou iniciais do problema. Por outro lado, os pontos fonte y i s˜ ao colocados fora do dom´ınio de defini¸c˜ ao do problema (vide fig. 2.1).

A solu¸c˜ ao aproximada, ´ e dada por:

u N (x) =

N

X

j=1

c j φ(x, y j ), x ∈ Ω. (2.1)

Os coeficientes c j s˜ ao determinados impondo-se as condi¸c˜ oes de contorno sobre os M pontos de

coloca¸c˜ ao x i , i ∈ 1, 2...N , geralmente uniformemente distribu´ıdos sobre a fronteira ∂Ω. Assim,

(36)

2. M´ etodo das Solu¸c˜ oes Fundamentais

obt´ em-se um sistema linear abaixo.

Φ(x 1 , y 1 ) Φ(x 1 , y 2 ) . . . Φ(x 1 , y j ) Φ(x 2 , y 1 ) Φ(x 2 , y 2 ) Φ(x 2 , y j )

.. .

. ..

Φ(x N , y 1 ) Φ(x N , y 2 ) Φ(x N , y j )

 c 1

c 2 c 3 .. . c j

=

 ξ 1

ξ 2 ξ 3 .. . ξ j

. (2.2)

Os ξ j s˜ ao os valores de fluxo ou potencial prescritos no contorno. Pode-se tamb´ em, introduzir pontos fontes no interior do dom´ınio. Os coeficientes da combina¸c˜ ao linear das solu¸c˜ oes funda- mentais, a serem determinados, s˜ ao encontrados, impondo-se que os pontos fontes e de coloca¸c˜ ao, resulte em uma aproxima¸c˜ ao linear que satisfa¸ca as condi¸c˜ oes de contorno. A matriz do sistema 3.12 ´ e sempre mal-condicionada.

A quantidade necess´ aria de pontos fontes e de coloca¸c˜ ao, para que se tenha uma solu¸c˜ ao est´ avel, n˜ ao foi determinada [3]. O MSF pode ser implementado, usando-se pontos fontes dinˆ amicos, est´ aticos ou mistos. Em nosso trabalho usamos pontos fontes est´ aticos.

Figura 2.1: Disposi¸c˜ ao dos pontos de coloca¸c˜ ao (em vermelho) e pontos fontes (em azul) em um dom´ınio Ω. Φ(x, y i ) ´ e a solu¸c˜ ao fundamental.

O MSF pode ser aplicado quando disp˜ oem-se da solu¸c˜ ao fundamental do operador da equa¸c˜ ao diferencial e tem sido utilizado para encontrar a solu¸c˜ ao num´ erica de equa¸c˜ oes homogˆ eneas, e n˜ ao homogˆ eneas, estas ´ ultimas atrav´ es de uma extens˜ ao do m´ etodo que foi introduzido por E.J.

Kansa [30] e denominado de Kansa Method. Como previamente mencionado, o MSF apresenta

algumas vantagens sobre outros m´ etodos que requerem o uso de uma malha, como por exemplo

o m´ etodo dos elementos finitos, que podemos enumerar: 1) n˜ ao exige uma discretiza¸c˜ ao ela-

borada do dom´ınio, 2) n˜ ao necessita de integra¸c˜ ao sobre a fronteira, 3) a solu¸c˜ ao no interior

do dom´ınio pode ser obtida sem necessidade de quadraturas adicionais. Por´ em apresenta algu-

mas desvantagens, como: 1) necessidade do conhecimento expl´ıcito da solu¸c˜ ao fundamental, 2)

(37)

2. M´ etodo das Solu¸c˜ oes Fundamentais

os sistemas lineares resultantes da discretiza¸c˜ ao s˜ ao mal condicionados, 3) alguns parˆ ametros do m´ etodo s˜ ao definidos a priori, gerando certo grau de arbitrariedade na solu¸c˜ ao. De fato a solu¸c˜ ao fundamental de uma equa¸c˜ ao diferencial parcial, nem sempre ´ e poss´ıvel de ser encon- trada, apenas algumas que possuem coeficientes constantes tem solu¸c˜ ao fundamental expl´ıcita.

Em nosso trabalho a solu¸c˜ ao fundamental ´ e bastante conhecida na literatura. Por uma quest˜ ao de completeza, exibiremos algumas solu¸c˜ oes de alguns operadores el´ıpticos [52]:

1. Laplace ∆

Φ(x, y) =

 

  1

2π ln |x − y|, R 2

− 1

4π|x − y| , R 3

(2.3)

2. Helmholtz ∆ + k 2

Φ(x, y) =

 

  i

4 H 0 1 (κ|x − y|), R 2

− e −ik|x−y|

4π|x − y| , R 3

(2.4)

3. Helmholtz modificado ∆ − k 2

Φ(x, y) =

 

 

− 1

4π K 0 (κ|x − y|), R 2

− e −k|x−y|

4π|x − y| , R 3

(2.5)

Nas equa¸c˜ oes acima, κ s˜ ao as frequˆ encias, H 0 1 ´ e a fun¸c˜ ao de H¨ ankel e K 0 ´ e a fun¸c˜ ao de Bessel modificada de ordem zero. Em particular, em nosso trabalho vamos considerar um dom´ınio Ω ⊂ R 2 e um problema governado pela equa¸c˜ ao de Laplace, ∆φ(x, y) = 0, onde φ(x, y) ´ e a fun¸c˜ ao potencial. Para aplicar o MSF deve-se inserir os pontos de coloca¸c˜ ao sobre a fronteira do dom´ınio Ω. Da mesma forma forma escolhem-se os pontos fontes que ficar˜ ao fora do dom´ınio.

A solu¸c˜ ao num´ erica ´ e obtida do somat´ orio da solu¸c˜ ao da fundamental do problema em todos os pontos fontes e de coloca¸c˜ ao.

Abaixo elencamos alguns trabalhos importantes, que utilizaram o MSF.

Em 1977, Mathon e Johnston [38], trouxeram para o campo das pesquisas, a ideia de que a localiza¸c˜ ao dos pontos fontes, poderia ser determinada por meio de t´ ecnicas de otimiza¸c˜ ao.

Em 1983, Patterson e Sheik [42], utilizaram o MSF para encontrar solu¸c˜ oes de problemas de elasticidade linear.

Em 1985, Bogomolny [6], propˆ os que o dom´ınio fict´ıcio para problemas em duas dimens˜ oes, seria um c´ırculo, e para os de trˆ es dimens˜ oes a esfera seria mais indicada.

Em 1998, Fairweather e Karageorghis [22], publicaram um trabalho, em que descrevem v´ arias

aplica¸c˜ oes do MSF, a problemas potenciais, ac´ ustica, problemas bi-harmˆ onicos, problemas com

(38)

2. M´ etodo das Solu¸c˜ oes Fundamentais

singularidades nos contornos, entre outros.

Em 2001, Partridge e Medeiros [41], combinaram o MSF com o M´ etodo da Reciprocidade Dual (RDM) para encontrar termos n˜ ao homogˆ eneos, por meio das fun¸c˜ oes Polyharmonic Splines.

Em 2004, Chantasiriwan [12], aplicou o MSF a problemas de Poisson, Helmholtz e proble- mas de difus˜ ao-convec¸c˜ ao, e comparou a solu¸c˜ ao obtida por meio do M´ etodo dos Elementos no Contorno (MEC) e o M´ etodo dos N´ os de Contorno (MNC). O autor mostrou que os resultados obtidos por meio do MSF s˜ ao t˜ ao precisos quanto MNC, e melhores que o MEC.

Em 2005, Marin [37], aplicou o MSF a um problema de cauchy associado com esqua¸c˜ oes de Helmholtz do tipo tridimensional, em um problema inverso. O sistema resultante foi regularizado por meio da regulariza¸c˜ ao de Tikhonov, com a escolha do parˆ ametro de regulariza¸c˜ ao baseado na curva-L.

Em 2006, Chen et al [11], analisaram a precis˜ ao e estabilidade do MSF, e concluiram que a elimina¸c˜ ao de gauss pode ser usada com confiabilidade, para solucionar as equa¸c˜ oes do MSF.

O MSF exige um menor n´ umero de pontos de fronteira, quando comparado com outros

m´ etodos num´ ericos, com o M´ etodo dos Elementos no Contorno. A adaptabilidade do MSF ´ e

algo a ser destacada. Ao permitir que as singularidades sejam deslocadas, o m´ etodo adapta-se

a aproxima¸c˜ ao para refletir qualquer mau comportamento na solu¸c˜ ao. [22]

(39)

Cap´ıtulo 3

Aplica¸ c˜ ao da metodologia proposta ao problema de Laplace

A equa¸c˜ ao ∆u = 0, onde ∆ =

n

X

i=1

2

∂x 2 i ´ e conhecida como equa¸c˜ ao de Laplace e que est´ a as- sociada a modelagem de v´ arios fenˆ omenos f´ısicos estacion´ arios. Podemos citar alguns exemplos onde a equa¸c˜ ao de Laplace est´ a presente, como a teoria do potencial, eletrost´ atica, processos estoc´ asticos (solu¸c˜ ao estacion´ aria da equa¸c˜ ao de Kolmogorov para o movimento browniano), no estudo do movimento irrotacional de um fluido incompress´ıvel n˜ ao-viscoso em estado esta- cion´ ario, entre outros [7].

Em particular a fun¸c˜ ao u pode ser interpretada fisicamente como uma densidade de alguma substˆ ancia, que encontra-se em equil´ıbrio. Se V for uma sub-regi˜ ao suave contida em U ⊂ R n . O fluxo l´ıquido de u no contorno ∂V ´ e zero, pelo teorema de Gauss-Green [21] temos que,

Z

V

divF dx = Z

∂V

F.νds = 0,

onde F denota a densidade de fluxo, e ν ´ e um campo vetorial unit´ ario normal exterior a ∂V . Como V ´ e arbitr´ ario, teremos que divF = 0 em U .

Uma hip´ otese f´ısica razo´ avel ´ e, tomar o fluxo F proporcional ao gradiente, i.e, F = −α∇u com (α > 0), e calcular o divF . Isso pode ser depreendido como se as part´ıculas, de uma determinada substˆ ancia, deslocassem na dire¸c˜ ao contr´ aria ao gradiente, indo para uma regi˜ ao de menor concentra¸c˜ ao. O operador ∇ ´ e definido como sendo, ∇ =

∂x 1 + ∂

∂x 2 + ... + ∂

∂x n

. divF = ∇.(−α∇u) = −α∆u = 0,

quando α ´ e constante.

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