Equações quadráticas e regularidades

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Planos de aula / Álgebra

Equações quadráticas e regularidades

Por: Lais Aline Casagrande Pires de Melo / 30 de Março de 2018 Código: MAT9_06ALG09

Habilidade(s):

EF09MA09

Anos Finais - 9º Ano - Álgebra

Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.

Sobre o Plano

Este plano de aula foi elaborado pelo Time de Autores NOVA ESCOLA Autor: Lais Aline Casagrande Pires de Melo

Mentor: Telma Regina França Rosso Especialista de área: Sandra Amorim Habilidade da BNCC

EF09MA09 - Compreender os processo de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º Grau.

Objetivos específicos

Expressar a fatoração de equações quadráticas a partir de suas raízes.

Conceito-chave Forma fatorada.

Conceitos que a turma deve dominar -Operações algébricas.

-Compreensão das relações de soma e produto das raízes da equação.

Recursos necessários

-Projetor (pode ser substituído pelo quadro) -Atividades impressas

-Caderno e Lápis

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Materiais complementares Documento

Atividade Principal

https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/GAkGFGg4wmzsCTnaBUrVhvJv2hKqu9tvmr7bwJA9K6aWkucvHdmsvbVAeCqR/ativaula-mat9-06alg09.pdf Documento

Raio X

https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/4qb3WWa9aPFZ6xgpM7TcKpaweXXRuHGhpq5aybnsytndnduqkV5vqv49uWuC/ativraiox-mat9-06alg09.pdf Documento

Atividade Complementar

https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/WpAvsfq4MZTzrJhPcMtFa9SQFBHH3aGUJGH8NYXw9U2kzYKpgr69Qmm97tbg/ativcomp-mat9-06alg09.pdf Documento

Resolução da Atividade Principal

https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/SpsvSepb3H5zjJqeAAqF7EHmRdhFgdgV47SjPtdBp73EHECgtBMNCaaW3zy2/resolv-ativaula-mat9-06alg09.pdf Documento

Guia de Intervenção

https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/hStgDvZKAEpdeyuE6fV4M2vRjNYjC9J9pZmxryaNtNuz9aygUcf6k539EvxU/guia-interv-mat9-06alg09.pdf Documento

Resolução do Raio X

https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/yYGdu2Pggvh3F4bfGkfddgEYR6XVz3gv4e8zPkj7vKqRAgJ5FbYsHcac5uvU/resolv-raiox-mat9-06alg09.pdf Documento

Resolução da Atividade Complementar

https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/zUnVKWTZZ7NnV23ZuXCKq6RbneJHWwFvkTc3fFwHdRCEkhTw2eNdPf8vMN9m/resolv-ativcomp-mat9-06alg09.pdf

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Slide 1

Resumo da aula

Orientações:Este slide não é um substituto para as anotações para o professor e não deve ser apresentado para os alunos. Trata-se apenas de um resumo da proposta para apoiá-lo na aplicação do plano em sala de aula.

Orientação: Leia atentamente o plano inteiro e as anotações para o professor. Busque antecipar quais questões podem surgir com a sua turma e preveja adequações ao nível em que seus alunos estão.

Compartilhe o objetivo da aula com os alunos antes de aplicar proposta.

Na aba “Sobre o plano”, confira os conhecimentos que sua turma já deve dominar para seguir essa proposta.

Se quiser salvar o plano no seu computador, faça download dos slides na aba “Materiais

complementares”. Você também pode imprimi-lo clicando no botão “imprimir”.

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Slide 2

Objetivo

Tempo sugerido: 2 minutos.

Orientação: Projete ou leia o objetivo para a turma.

Propósito: Compartilhar o objetivo da aula.

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Slide 3

Retomada

Tempo sugerido: 8 minutos (Slides 3 a 5).

Orientação: Retome com os alunos o significado da fatoração. Analise em quais momentos o processo de fatoração de um trinômio pode ser simples de realizar/identificar e quais momentos esse processo se torna complexo. Questione os alunos sobre os exemplos apresentados e como podemos conferir se uma fatoração representa de fato o trinômio original.

Propósito: Retomar o conceito de fatoração.

Discuta com a turma:

Em quais situações a fatoração pode ser útil na resolução de equações quadráticas?

De que forma você identifica um trinômio do quadrado perfeito?

Se o primeiro item (do slide 5) fosse igual a zero teríamos : x² + 6x + 9 = 0, de que forma a fatoração nos ajudaria encontrar as raízes da equação?

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Slide 4

Retomada

Tempo sugerido: 8 minutos (Slides 3 a 5) Orientação: Retome com os alunos o significado da fatoração. Analise em quais momentos o processo de fatoração de um trinômio pode ser simples de realizar/identificar e quais momentos esse processo se torna complexo. Questione os alunos sobre os exemplos apresentados e como podemos conferir se uma fatoração representa de fato o trinômio original.

Se o primeiro item(do slide 5) fosse igual a zero teríamos : x² + 6x + 9 = 0, de que forma a fatoração nos ajudaria encontrar as raízes da equaçã

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Slide 5

Retomada

Tempo sugerido: 8 minutos (Slides 3 a 5) Orientação: Retome com os alunos o significado da fatoração e em quais momentos o processo de fatoração de um trinômio pode ser simples de realizar/identificar e quais momentos esse processo se torna complexo. Questione os alunos sobre os exemplos apresentados e como podemos conferir se uma fatoração representa de fato o trinômio original.

Se o primeiro item, deste slide, fosse igual a zero teríamos : x² + 6x + 9 = 0, de que forma a fatoração nos ajudaria encontrar as raízes da equação?

Resposta para a pergunta do Slide 5:

“Agora me digam quais são os trinômios do quadrado perfeito da lista abaixo? E qual sua forma fatorada?”

Os trinômios em negrito são trinômios do quadrado perfeito:

x² + 6x + 9 = x² + 2.x.3 + 3² = (x + 3)(x + 3) = (x + 3)² -x² + 4x + 1

4x² + 24x + 36 = (2x)² + 2.2x.6 + 6² = (2x + 6)(2x + 6) = (2x + 6)²

x² - 2x + 1 = x² - 2.x.1 + 1² = (x - 1)(x - 1) = (x - 1)² 3x² + 6x + 9

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Slide 6

Atividade Principal

Tempo sugerido: 15 minutos (Slides 6 e 7) Orientação: Peça que, individualmente, os alunos leiam a atividade e busquem responder às questões propostas no slide 7. Em seguida, deixe que discutam com o colega suas respostas e o modo como pensaram. Reserve um tempo para um debate coletivo e deixe que as duplas compartilhem o que discutiram.

Propósito: Utilizar conhecimentos algébricos para obter a forma fatorada de uma equação quadrática qualquer.

Qual “ferramenta” deu início ao processo? Por que?

Em que momento utilizou as relações de soma e produto?

Qual relação existe entre a forma fatorada e as raízes da equação?

Como você conferiu se estava certo a forma fatorada que você encontrou?

De que forma você utilizou essa fatoração para obter a equação quadrática a partir das raízes e do coeficiente a dados?

Materiais Complementares:

Atividade Principal

Resolução da Atividade Principal Guia de intervenção C

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Slide 7

Atividade Principal

Tempo sugerido: 15 minutos (Slides 6 e 7) Orientação: Peça que, individualmente, os alunos leiam a atividade e busquem responder às questões.

Em seguida, deixe que discutam com o colega suas respostas e o modo como pensaram. Reserve um tempo para um debate coletivo e deixe que as duplas compartilhem o que discutiram.

Propósito: Utilizar conhecimentos algébricos para obter a forma fatorada de uma equação quadrática a partir de sua raízes.

Qual “ferramenta” deu início ao processo? Por que?

Em que momento utilizou as relações de soma e produto?

Qual relação existe entre a forma fatorada e as raízes da equação?

Como você conferiu se estava certo a forma fatorada que você encontrou?

De que forma você utilizou essa fatoração para obter a equação quadrática a partir das raízes e do coeficiente a dados?

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Slide 8

Discussão das Soluções

Tempo sugerido: 14 minutos (Slides 8 a 15) Orientação: Depois que os alunos realizarem a atividade principal, passe para esta série de slides.

Nela, os alunos poderão discutir passo a passo o uso das ferramentas disponíveis, bem como o sentido da sequência dessas ferramentas.

Questione os alunos sobre todos os passos da resolução e peça que eles comparem com o que já foi feito.

Propósito: Analisar o processo de obtenção da forma fatorada da equação quadrática pelas ações algébricas disponíveis.

Como se determina as raízes da equação através da soma e produto?

Materiais complementares:

Atividade Principal

Resolução da Atividade Principal Guia de intervenção C

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Slide 9

Discussão das Soluções

O que significa colocar o coeficiente a em evidência?

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Slide 10

Discussão das Soluções

Por que substituímos b/a por - S? Qual a necessidade do sinal negativo?

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Slide 11

Discussão das Soluções

Por que representamos as raízes x1 e x2 entre parênteses?

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Slide 12

Discussão das Soluções

O que é a propriedade distributiva?

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Slide 13

Discussão das Soluções

Alguém agrupou os termos com fator comum de uma maneira diferente ? O que aconteceu?

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Slide 14

Discussão das Soluções

Por que os dois termos entre parênteses ficaram com a operação de subtração?

De que maneira podemos conferir se forma fatorada obtida é realmente a representação da equação geral ax² + bx + c = 0?

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Slide 15

Discussão das Soluções

Como podemos verificar que a equação quadrática obtida possui como solução as raízes 2 e -5?

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Slide 16

Encerramento

Tempo sugerido: 3 minutos.

Orientação: Reforce com os alunos o que é necessário obter para escrever a forma fatorada da equação quadrática.

Propósito: Reforçar as aprendizagens da aula.

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Slide 17

Raio x

Tempo sugerido: 8 minutos

Orientação: Peça que, individualmente, os alunos leiam a atividade e a realizem. Após alguns minutos peça que eles compartilhem suas respostas com a turma.

Propósito: Associar a equação quadrática a suas raízes através da forma fatorada.

Por qual caminho vocês conduziram a resolução?

De que maneira podemos considerar a forma fatorada para chegar na equação correta?

Materiais complementares:

Raio X

Resolução do raio x Atividade complementar

Resolução da atividade complementar

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processo.

(A)Analise todas as “ferramentas” disponíveis e descubra uma forma de obter a fatoração do trinômio presente na equação quadrática ax² + bx + c = 0 em função das raízes da equação.

(B) Após determinar a fatoração de uma equação quadrática qualquer do tipo ax² + bx + c = 0, determine a equação que possui as seguintes características:

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faltam para completar o jogo.

---

Dois alunos estavam praticando seus conhecimentos de equação quadrática

através de um jogo de associação. Ajude-os a relacionar os últimos 4 pares que

faltam para completar o jogo.

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(A)x² + 4x - 21 = 0 (B) 2x² - 8x - 24 = 0 (C) 6x² + x - 1 = 0

2) Marina entrou na sala e viu na lousa algumas anotações da aula anterior, parcialmente apagadas, conforme a figura. Ela pensou um pouco, até que escreveu os números que estavam apagados. Quais números Marina pode ter escrito na lousa? Justifique sua resposta.

3) [Desafio] Em um determinado dia, o pai de Pedro estava ajudando-o a estudar e para isso fez a seguinte trajetória com o drone de seu filho:

“Pedro, a trajetória do drone é modelada pela equação,

,

sendo h(x) a altura em metros que o drone atinge no instante x segundos. Quero que me diga depois de quantos segundos o drone tocou o chão novamente e explique como você chegou nesse resultado”, disse o pai de Pedro.

➔ Analise a situação e responda a pergunta do pai de Pedro.

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Resolução da atividade principal - MAT9_06ALG09

Para obter a fatoração da equação quadrática ax² + bx + c = 0 você possui uma “caixa de ferramentas” com ações e informações que irão te ajudar nesse processo.

(A)Analise todas as “ferramentas” disponíveis e descubra uma forma de obter a fatoração do trinômio presente na equação quadrática ax² + bx + c = 0 em função das raízes da equação.

Para que seja possível utilizar as “ferramentas” que apresentam as relações de soma e produto e as raízes da equação (x

₁

e x

₂

) é necessário que essas definições apareçam durante o processo, por isso inicia-se por:

1) Coeficiente a em evidência

Observa-se que a razão b/a é semelhante a razão de soma S = -b/a e a razão c/a é exatamente a razão de produto P = c/a. Sendo assim, utiliza-se a seguinte

“ferramenta”:

2) Relações de soma S e produto P: S = -b e P = c a a

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Sabe-se que a S representa a soma das raízes da equação e P o produto das raízes da equação, então a próximo ação é:

3) Substituição de S por x

₁

+ x

₂

e P por x

₁

. x

₂

Desenvolvendo a expressão:

4) Fator comum x nos dois primeiros termos dentro do colchetes

5) Fator comum x

₂

nos dois últimos termos dentro do colchetes

6) Fator comum x - x

₁

Conclui-se que a equação ax² + bx + c = 0 pode ser obtida através das raízes da equação (x

₁

e x

₂

) e o coeficiente a, ambos expressos em sua forma fatorada acima.

(B) Após determinar a fatoração de uma equação quadrática qualquer do tipo ax² + bx + c = 0, determine a equação que possui as seguintes características:

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Solução:

Através da forma fatorada obtida no item anterior podemos escrever a equação seguindo os passos:

Portanto, a equação é - 3x² - 9x - 30 = 0.

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Guia de intervenções

MAT9_06ALG09 / Raízes e fatoração

Possíveis dificuldades na realização

da atividade Intervenções

Dúvidas em iniciar o processo algébrico de fatoração da atividade principal.

Caso o aluno tenha dúvidas sobre qual “ferramenta” é apropriada para iniciar o processo de fatoração, ajude-o a refletir sobre essa escolha fazendo as seguintes perguntas:

- Das ações e informações disponíveis, qual está visível na equação ax²+bx+c=0?

Nesse momento questione uma por uma as “ferramentas”

disponíveis e a possibilidade de usá-las.

- Dessas que você identificou, quando utilizadas, o que acontece em seguida? É uma vantagem o que aparece depois? Por que?

- Escolhida essa ação é possível dar sequência para outra

“ferramenta”?

Dificuldade em fatorar expressões

pelo termo comum. Proponha ao aluno algumas expressões algébricas (exemplo: 2x²y - 4xy + 6x) que possuem fator comum e pergunte a ele:

- Quantos termos possui essa expressão? Me diga quais são eles.

- Que operação ocorre entre os números e letras de cada termo?

- Existe algo em comum nesses termos?

- O que restaria aos termos da expressão se fossem divididos por esse fator comum? Comente com o aluno que a divisão (operação inversa da multiplicação) permite que separe o fator comum dos

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termos.

- Que operação é preciso fazer para voltar com o fator comum aos termos?

Represente essa operação.

-Confundir o sinal da raiz da equação na forma fatorada:

a[(x - x

₁

)(x - x

₂

)] = 0 Exemplo com erro:

2[(x + 2)(x - 4)]=0 Raízes: x

₁

= 2 e x

₂

= - 4

Esse tipo de erro ocorre quando o aluno não considera o sinal negativo que antecede as raízes da equação em sua forma fatorada. Sendo assim, o aluno obtém um resultado oposto do esperado. Faça perguntas que leve o aluno a perceber este erro:

- Você possui um produto de três fatores nessa equação, de que maneira esse produto resulta em 0?

- Substitua a raiz que você encontrou e veja se o produto irá resultar em zero.

- O que você precisa considerar para anular esse fator?

- O que considerou em sua resposta? Está correto? Por que?

- A forma fatorada possui uma operação de subtração (x - x

₁

).

Se a raiz for negativa, como fica o sinal nesse fator? E se for positiva?

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Resolução do raio-x - MAT9_06ALG09

Dois alunos estavam praticando seus conhecimentos de equação quadrática através de um jogo de associação. Ajude-os a relacionar os últimos 4 pares que faltam para completar o jogo.

Solução: As relações corretas do jogo são I - C , II - A, III - D e IV - B .

Através da forma fatorada a[(x - x

₁

)(x - x

₂

)] = 0, aplicamos a propriedade distributiva para obter a equação quadrática correspondente:

I. Coeficiente a = 2 e raízes iguais a 3 e 7 (C)

II. Coeficiente a = 2 e raízes iguais a - 5 e 4 (A)

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III. Coeficiente a = 2 e raízes iguais a - 2 e 10 (D)

IV. Coeficiente a = 2 e raízes iguais a - 4 e - 6 (B)

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Resolução da atividade complementar - MAT9_06ALG09

1) Sabendo que a forma fatorada da equação quadrática é a[(x-x

₁

)(x-x

₂

)]=0, determine a fatoração das seguintes equações:

Resolução: Para representar as equações em sua forma fatorada é necessário determinar as raízes da equação. Para isso, o aluno poderá resolver a equação como preferir (fórmula resolutiva, soma e produto, método de completar quadrados, entre outros). As equações abaixo foram resolvidas pela fórmula resolutiva:

(A)x² + 4x - 21 = 0

● Coeficientes da equação: a = 1, b = 4 e c = - 21

● Cálculo do discriminante (∆): ∆ = b² - 4ac = 4² - 4.1.(-21) = 16 + 84 = 100

● Cálculo das raízes (x

₁

e x

₂

) :

● Forma fatorada da equação: 1[(x - 3)(x + 7)] = 0 (B) 2x² - 8x - 24 = 0

● Coeficientes da equação: a = 2, b = - 8 e c = - 24

● Cálculo do discriminante (∆): ∆ = b² - 4ac = (-8)² - 4.2.(-24) = 64 + 192 = 256

● Cálculo das raízes (x

₁

e x

₂

) :

● Forma fatorada da equação: 2[(x - 6)(x + 2)] = 0 (C) 6x² + x - 1 = 0

● Coeficientes da equação: a = 6, b = 1 e c = - 1

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● Cálculo do discriminante (∆): ∆ = b² - 4ac = 1² - 4.6.(- 1) = 1 + 24 = 25

● Cálculo das raízes (x

₁

e x

₂

) :

● Forma fatorada da equação:

2) Marina entrou na sala e viu na lousa algumas anotações da aula anterior, parcialmente apagadas, conforme a figura. Ela pensou um pouco, até que escreveu os números que estavam apagados. Quais números Marina pode ter escrito na lousa? Justifique sua resposta.

Solução:

Observa-se que na primeira linha escrita na lousa está representado a forma fatorada de uma equação quadrática, em que apenas o coeficiente a está apagado. Se pensarmos que a equação pode ser dividida pelo coeficiente a e o produto (x - 1)(x + 8) não é alterado, podemos considerar para a qualquer valor real não nulo. Portanto, Marina pode ter colocado qualquer valor não nulo no início da equação. Para analisar as raízes buscamos dois números que anulam o produto dos fatores na equação (x - 1)(x + 8) = 0, então

(+1) x - 1 = 0 (+1)

x = 1 ^(-8) x + 8 = 0 (-8) x = - 8

Sendo assim, os números apagados da segunda linha são as raízes:

x

₁

= 1 e x

₂

= - 8.

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3) [Desafio] Em um determinado dia, o pai de Pedro estava ajudando-o a estudar e para isso fez a seguinte trajetória com o drone de seu filho:

“Pedro, a trajetória do drone é modelada pela equação,

,

sendo h(x) a altura em metros que o drone atinge no instante x segundos.

Quero que me diga depois de quantos segundos o drone tocou o chão novamente e explique como você chegou nesse resultado”, disse o pai de Pedro.

➔ Analise a situação e responda a pergunta do pai de Pedro.

Solução:

Quando o drone atingir o chão sua altura será igual a 0 m. Logo, na equação apresentada, temos h(x) = 0:

As raízes dessa equação representam o tempo (x segundos). Como é possível verificar a representação da forma fatorada na equação acima, já concluímos que as raízes são -3 e 20. Portando, o tempo que o drone levou para tocar o chão novamente foi de 23 segundos, visto que o drone saiu de -3 e chegou em 20, levando |-3|+|20|= 23 segundos.

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