EXERC´ICIOS PARA MAT5799 DANIEL V. TAUSK

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DANIEL V. TAUSK

Sum´ario

1. Dia 09/08 ... 2

2. Dia 11/08 ... 3

3. Dia 16/08 ... 10

4. Dia 18/08 ... 17

5. Dia 23/08 ... 19

6. Dia 25/08 ... 23

7. Dia 30/08 ... 30

8. Dia 01/09 ... 35

9. Dia 13/09 ... 42

10. Dia 15/09... 47

11. Dia 13/10... 49

12. Dia 18/10... 59

13. Dia 25/10... 66

14. Dia 27/10... 71

15. Dia 03/11... 75

16. Dia 08/11... 84

Apˆendice A. A reta longa... 93

Apˆendice B. A Grassmanniana ... 96

Apˆendice C. Espa¸cos de Baire... 100

Apˆendice D. Tensores ... 102

Apˆendice E. Diferencial exterior... 123

Date: 10 de agosto de 2010.

1

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1. Dia 09/08

No que segue, Dom(f) denota o dom´ınio de uma fun¸cão f. Entende-se que, para quaisquer fun¸cõesf eg, a composi¸cãog◦fé a fun¸cão com dom´ınio f⁻¹ Dom(g)

tal que (g◦f)(x) =g f(x)

, para todox∈f⁻¹ Dom(g) . Exerc´ıcio 1.1. SejamM um conjunto eϕ,ψ,λsistemas de coordenadas em M. Mostre que:

(1.1) ϕ Dom(ϕ)∩Dom(ψ)∩Dom(λ)

= (λ◦ϕ⁻¹)⁻¹

λ Dom(λ)∩Dom(ψ) e que a restri¸c˜ao deψ◦ϕ⁻¹ ao conjunto (1.1) ´e igual a:

(ψ◦λ⁻¹)◦(λ◦ϕ⁻¹).

Conclua que se λ é compat´ıvel com ϕ e com ψ então o conjunto (1.1) é aberto (no espa¸co Rⁿ que contém a imagem de ϕ) e a restri¸cão de ψ◦ϕ⁻¹ ao conjunto (1.1) é de classeC^∞.

Exerc´ıcio 1.2. SejamM um conjunto, ϕ,ψsistemas de coordenadas emM e Auma cole¸cão de sistemas de coordenadas emM cujos dom´ınios cobrem Dom(ϕ)∩Dom(ψ) (esse é o caso, por exemplo, seAé um atlas emM). Use o resultado do Exerc´ıcio 1.1 para mostrar que se qualquerλ∈ Aé compat´ıvel com ϕe comψ então ϕé compat´ıvel comψ.

Exerc´ıcio 1.3. SejamM um conjunto eAum atlas emM. Dado um sistema de coordenadasϕem M e um subconjuntoB de Atal que:

Dom(ϕ)⊂ [

λ∈B

Dom(λ),

mostre que se ϕé compat´ıvel com qualquer elemento de B então ϕé compat´ıvel comA (sugestão: use o resultado do Exerc´ıcio 1.2).

Exerc´ıcio 1.4. Sejam M um conjunto eAum atlas em M.

(a) Mostre que um sistema de coordenadas ϕ em M ´e compat´ıvel com Ase e somente seA ∪ {ϕ}´e um atlas em M.

(b) Mostre que um atlas A⁰ em M ´e compat´ıvel comA se e somente se A ∪ A⁰ ´e um atlas em M.

(c) Mostre que A ´e um atlas maximal em M se e somente se qualquer sistema de coordenadas emM compat´ıvel com Apertence a A.

Exerc´ıcio 1.5. SejamM um conjunto eAum atlas emM. Denote porA_max o conjunto de todos os sistemas de coordenadas em M que s˜ao compat´ıveis com A. Mostre que:

(a) A_maxé um atlas em M que contémA(sugestão: use o resultado do Exerc´ıcio 1.2);

(b) seA⁰é um atlas emM que contémAentãoA⁰ ⊂ A_max(isto é,A_max

´e omaior atlas em M que cont´emA);

(c) A_maxé o único atlas maximal emM que contémA;

(d) dois atlas s˜ao compat´ıveis se e somente se est˜ao contidos no mesmo atlas maximal;

(3)

(e) a rela¸cão de compatibilidade é uma rela¸cão de equivalência no conjunto de todos os atlas emM e os atlas maximais emM constituem um conjunto escolha para as correspondentes classes de equivalência (i.e., cada classe de equivalência contém exatamente um atlas maximal).

Exerc´ıcio 1.6 (topologia definida por um atlas). SejamM um conjunto eA um atlas em M. Mostre que:

(1.2) τA =

A⊂M :ϕ A∩Dom(ϕ)

´

e aberto, para todo ϕ∈ A

´

e uma topologia em M (em (1.2), “aberto” significa aberto no espa¸co Rⁿ que contém a imagem de ϕ). Mostre que, seM é munido da topologiaτA, então qualquerϕ∈ Aé um homeomorfismo com dom´ınio aberto emM. Exerc´ıcio 1.7 (caracteriza¸cão da topologia definida por um atlas). Mostre que:

(a) seM ´e um conjunto,M =S

i∈IU_ié uma cobertura deM eτ,τ⁰ são topologias emM que fazem de cadaUi um aberto deM e que indu- zem a mesma topologia em cadaU_i então τ =τ⁰ (sugestão: mostre que a aplica¸cão identidade de (M, τ) para (M, τ⁰) é um homeomorfismo);

(b) se M é um conjunto, A é um atlas em M e se τ é uma topologia em M que faz com que qualquer ϕ ∈ A seja um homeomorfismo com dom´ınio aberto então τ coincide com a topologia τA definida em (1.2) (sugestão: use o resultado do item (a) para a cobertura de M formada pelos dom´ınios dos elementos deA).

Exerc´ıcio 1.8. Sejam M um conjunto e A, A⁰ atlas compat´ıveis em M.

Mostre que:

τA =τA⁰

(sugestão: A ∪ A⁰ é um atlas e a topologia τA∪A⁰ satisfaz tanto a condi¸cão que caracteriza τA como a condi¸cão que caracteriza τ_A⁰). Conclua que se A_maxé o atlas maximal em M que contémA então τA=τAmax.

Exerc´ıcio 1.9. SejamM um conjunto eA um atlas maximal emM. Se um sistema de coordenadas ϕ : U → Ue pertence a A e V ⊂ U é aberto com respeito a τA, mostre que ϕ|_V : V → ϕ(V) pertence a A (sugestão: pelo resultado do Exerc´ıcio 1.3, basta mostrar queϕ|_V é compat´ıvel comϕpara concluir queϕ|_V é compat´ıvel comA. E não esque¸ca de verificar queϕ|_V é um sistema de coordenadas no conjunto M!).

2. Dia 11/08

Por uma variedade diferenciável entenderemos um conjunto M munido de um atlas maximal A(ou seja, o par (M,A)); subentende-se queM está também munido da topologia τA definida por esse atlas. Por enquanto, não faremos hipóteses sobre essa topologia. Por “carta” ou “sistema de coordenadas” numa variedade M entenderemos agora um elemento ϕ do

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atlas maximal dado A. Recorde que, de acordo com nossa defini¸cão, dadas variedades diferenciáveis M, N, então uma fun¸cão f : M → N é dita de classe C^∞ se para todox∈M existem uma carta ϕ:U →Ue emM e uma cartaψ:V →Ve emN tais quex∈U,f(U)⊂V eψ◦f◦ϕ⁻¹:Ue →Ve é de classe C^∞ (no sentido usado em cursos de Cálculo no Rⁿ, i.e., diferenciais de todas as ordens existem). A aplica¸cão f :M → N é um difeomorfismo de classeC^∞sef for uma bije¸cão de classeC^∞cuja inversa é de classeC^∞. Exerc´ıcio 2.1 (estrutura diferenciável canônica de um espa¸co vetorial). Seja E um espa¸co vetorial real de dimensão n <+∞. Mostre que:

(2.1)

ϕ:E→Rⁿ:ϕ´e um isomorfismo linear

´

e um atlas em E e que a topologia induzida por esse atlas coincide com a topologia usual deE(i.e., a topologia definida por qualquer norma). Mostre também que o atlas maximal que contém (2.1) consiste de todos os difeomor- fismosϕ:U →Ue de classeC^∞, sendoU um aberto deE eUe um aberto de Rⁿ(aqui “difeomorfismo de classeC^∞” deve ser entendido no sentido usado em cursos de Cálculo noRⁿ, i.e., ϕé bijetora e tantoϕcomoϕ⁻¹ admitem diferenciais de todas as ordens).

Exerc´ıcio 2.2 (subvariedades abertas). Sejam (M,A) uma variedade diferenci´avel eU um subconjunto aberto de M. Mostre que:

A|_U =

ϕ∈ A: Dom(ϕ)⊂U

´

e um atlas maximal em U e que a topologia definida em U pelo atlas A|_U coincide com a topologia induzida no subconjuntoU pela topologiaτA (sugest˜ao: para a maximalidade de A|_U, use o resultado do Exerc´ıcio 1.3 com B = A|_U. Para a afirma¸c˜ao sobre as topologias, mostre que a topologia induzida emU porτA satisfaz as propriedades que caracterizam a topologia definida porA|_U).

Exerc´ıcio 2.3. Se M, N são variedades diferenciáveis, mostre que toda fun¸cão f :M →N de classe C^∞é cont´ınua.

Exerc´ıcio 2.4. Sejam M, N variedades diferenci´aveis e f : M → N uma fun¸c˜ao. Mostre que:

(a) se f é de classe C^∞ e U é uma subvariedade aberta de M então a restri¸cão f|_U :U →N também é de classeC^∞;

(b) se todo ponto de M pertence a uma subvariedade aberta U de M tal que a restri¸cão f|_U :U →N é de classe C^∞ então a fun¸cão f é de classeC^∞;

(c) se U é uma subvariedade aberta de N que contém a imagem de f então a fun¸cãof :M →N é de classeC^∞ se e somente se a fun¸cão f : M → U (que difere de f apenas pelo contra-dom´ınio) é uma fun¸cão de classeC^∞.

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Exerc´ıcio 2.5. Se M, N são abertos de espa¸cos vetoriais reais de dimensão finita então uma fun¸cão f : M → N é de classe C^∞ “no sentido de variedades” (i.e., pensamos em M,N como subvariedade abertas de espa¸cos vetoriais reais de dimensão finita munidos do atlas diferenciável descrito no Exerc´ıcio 2.1) se e somente se f : M → N é de classe C^∞ no sentido dos cursos de Cálculo no Rⁿ (i.e., as diferenciais de f de todas as ordens existem).

Exerc´ıcio 2.6. Seja (M,A) uma variedade diferenciável. Mostre que qual- querϕ:U →Ue pertencente aAé um difeomorfismo de classeC^∞, sendoU uma subvariedade aberta de M e Ue uma subvariedade aberta do espa¸co Rⁿ que contém Ue, onde Rⁿ é munido da sua estrutura diferenciável canônica (sugestão: a própria ϕ é uma carta em U e a aplica¸cão identidade é uma carta emUe).

Exerc´ıcio 2.7. Sejam M, N variedades diferenciáveis e f : M → N uma fun¸cão de classe C^∞. Mostre que se ϕ : U → Ue é uma carta em M e ψ:V →Ve é uma carta emN então a fun¸cão:

ψ◦f◦ϕ⁻¹:ϕ U∩f⁻¹(V)

−→Ve

´

e de classeC^∞e seu dom´ınio é um aberto do espa¸coRⁿque contém a imagem de ϕ (sugestão: para mostrar que o dom´ınio é aberto, use o resultado do Exerc´ıcio 2.3. Para mostrar que a fun¸cão é de classe C^∞, use o resultado do Exerc´ıcio 2.6 e o resultado demonstrado em aula de que a composi¸cão de fun¸cões de classe C^∞ entre variedades é de classeC^∞).

Exerc´ıcio 2.8. Mostre a rec´ıproca do resultado do Exerc´ıcio 2.6, i.e., mostre que se (M,A) é uma variedade diferenciável eϕ:U →Ueé um difeomorfismo de classeC^∞, sendoUuma subvariedade aberta deM eUeuma subvariedade aberta de Rⁿ então ϕ ∈ A (sugestão: mostre que ϕ é compat´ıvel com A.

Para isso, use o resultado do Exerc´ıcio 2.6 e o resultado demonstrado em aula de que a composi¸cão de fun¸cões de classe C^∞ entre variedades é de classe C^∞. Note que você estará usando o resultado do Exerc´ıcio 2.5 também!).

Exerc´ıcio2.9. SejamA,A⁰ atlas maximais num mesmo conjuntoM. Mostre que a aplica¸cão identidade de (M,A) para (M,A⁰) é um difeomorfismo de classe C^∞ se e somente se A = A⁰ (sugestão: mostre que se tal aplica¸cão identidade é um difeomorfismo então os atlasAe A⁰ são compat´ıveis).

Exerc´ıcio 2.10. Neste curso assumiremos (como parte da defini¸c˜ao de atlas) que todos os sistemas de coordenadas pertencentes a um dado atlas tomam valores no mesmo espa¸co Rⁿ. Neste exerc´ıcio, no entanto, investigaremos o que aconteceria se essa condi¸c˜ao fosse relaxada, i.e., se permit´ıssemos que sistemas de coordenadas diferentes num mesmo atlas tomassem valores em espa¸cosRⁿ diferentes.

(a) Seja Aum atlas num conjunto M. Mostre que, dadox ∈M, ent˜ao todos os sistemas de coordenadas ϕ ∈ A cujo dom´ınio cont´em x tomam valores no mesmo espa¸coRⁿ.

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(b) Em vista do item (a), para x ∈ M, denotamos por n(x) o número natural tal que qualquerϕ∈ Acujo dom´ınio contémxtoma valores em R^n(x). Mostre que a fun¸cão x 7→ n(x) é localmente constante.

Conclua que ela ´e constante em cada componente conexa deM. Exerc´ıcio 2.11 (variedades produto). Sejam (M,A), (N,A⁰) variedades diferenci´aveis.

(a) Mostre que:

(2.2)

ϕ×ψ:ϕ∈ A, ψ ∈ A⁰

é um atlas no conjuntoM×N, onde, dadasϕ:U →Ue,ψ:V →Ve, a fun¸cãoϕ×ψ:U ×V →Ue×Ve é definida por:

(ϕ×ψ)(x, y) = ϕ(x), ψ(y) ,

para todosx∈U,y ∈V. O conjunto M×N, munido do atlas maximal que cont´em (2.2), chama-se avariedade produto da variedade M pela variedadeN.

(b) Mostre que a topologia definida pelo atlas (2.2) coincide com a topologia produto da topologia definida porApela topologia definida por A⁰ (sugest˜ao: mostre que a topologia produto satisfaz as condi¸c˜oes que caracterizam a topologia definida por (2.2)).

(c) Mostre que se U é uma subvariedade aberta de M e V é uma subvariedade aberta de N então a variedade produto U ×V é uma subvariedade aberta da variedade produto M ×N (note que não está se pedindo apenas para se demonstrar queU ×V é aberto em M×N, mas também que o atlas maximal que a variedade produto M ×N induz no aberto U ×V coincide com o atlas maximal da variedade produtoU ×V).

Exerc´ıcio 2.12. SejamM,N variedades diferenciáveis e considere a variedade produtoM×N. Mostre que vale a seguinte propriedade universal: dada uma variedade diferenciável P e uma fun¸cão f = (f1, f2) : P → M ×N, então f é de classe C^∞ se e somente se f₁ e f₂ são de classe C^∞. Con- clua (tomandoP =M×N ef igual à fun¸cão identidade) que as proje¸cões M×N →M,M×N →N são de classeC^∞.

Exerc´ıcio 2.13 (unicidade do produto). Dadas variedades diferenciáveisM, N, mostre que seA,A⁰ são atlas maximais emM×N e se para ambos vale a propriedade universal que aparece no enunciado do Exerc´ıcio 2.12 então A =A⁰ (sugestão: mostre que a aplica¸cão identidade de (M×N,A) para (M ×N,A⁰) é um difeomorfismo de classe C^∞).

Exerc´ıcio 2.14 (soma de variedades). Seja (M_i,A_i)

i∈I uma fam´ılia de variedades diferenciáveis, todas com a mesma dimensão. Considere a união disjunta:

M =[

i∈I

{i} ×M_i .

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Para facilitar a exposi¸c˜ao, no que segue identificamos os conjuntos Mi e {i} ×M_i, de modo que tratamosM_i como um subconjunto deM.

(a) Mostre que a uni˜ao S

i∈IA_i ´e um atlas em M.

(b) Mostre que se M ´e munido do atlas maximal que cont´em S

i∈IA_i então (Mi,A_i) é uma subvariedade aberta de M, para todoi∈I. (c) Mostre que o atlas maximal que contém S

i∈IA_i ´e o ´unico atlas maximal emM que faz de (Mi,A_i) uma subvariedade aberta deM, para todoi∈I.

Dadas variedades diferenciáveisM,N (resp., espa¸cos topológicosM,N) então uma fun¸cão f : M → N é dita um difeomorfismo local (resp., um homeomorfismo local) se todo ponto de M pertence a um aberto U de M tal que f(U) é aberto em N e f|_U : U → f(U) é um difeomorfismo de classeC^∞ (resp., um homeomorfismo). Evidentemente, todo difeomorfismo local é também um homeomorfismo local e todo homeomorfismo local é uma aplica¸cão aberta. Uma aplica¸cão f :M →N é um difeomorfismo de classe C^∞ (resp., um homeomorfismo) se e somente se for um difeomorfismo local bijetor (resp., um homeomorfismo local bijetor).

Exerc´ıcio 2.15. Sejam M, N, P variedades diferenciáveis, q : M → N um difeomorfismo local sobrejetor e f : N → P uma fun¸cão. Mostre que f é de classe C^∞ se e somente se f ◦q é de classe C^∞. Usando o resultado do Exerc´ıcio 2.9, conclua que seM é uma variedade diferenciável,N é um conjunto, q :M →N é uma fun¸cão sobrejetora e A,A⁰ são atlas maximais emN que fazem deq um difeomorfismo local então A=A⁰.

Exerc´ıcio 2.16 (cartas a valores em variedades). Seja M um conjunto e considere uma fam´ılia (ϕ_i : U_i → N_i)i∈I, onde, para cada i ∈ I, U_i é um subconjunto de M, Ni é uma variedade diferenciável e ϕi :Ui →Ni é uma bije¸cão. Assuma que para quaisquer i, j ∈ I, o conjunto ϕ_i(U_i ∩U_j) seja aberto em Ni, o conjunto ϕj(Ui ∩Uj) seja aberto em Nj e a fun¸cão de transi¸cão ϕj ◦ϕ⁻¹_i : ϕi(Ui∩Uj) → ϕj(Ui ∩Uj) seja um difeomorfismo de classeC^∞. Assuma também queM =S

i∈IU_i e que todas as variedades N_i tenham a mesma dimens˜ao.

(a) Mostre que existe um único atlas maximal A em M que faz de U_i um aberto emM e deϕi um difeomorfismo de classeC^∞, para todo i ∈ I (sugestão: mostre que a cole¸cão formada pelas composi¸cões ψ◦ϕi, com ipercorrendo I e ψpercorrendo o atlas maximal de Ni

´e um atlas emM e sejaA o atlas maximal que cont´em esse atlas).

(b) Considere a aplica¸c˜ao sobrejetora:

q:[

i∈I

{i} ×N_i

3(i, x)7−→ϕ⁻¹_i (x)∈M,

sendo o dom´ınio de q munido do atlas maximal considerado no Exerc´ıcio 2.14. Mostre que a propriedade exigida para o atlas maximal A no item (a) é equivalente à condi¸cão de que q seja um

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difeomorfismo local (levando em conta o resultado do item (b), note que vocˆe poderia mostrar a unicidade do atlas maximal A em M satisfazendo a propriedade exigida no item (a) usando o resultado do Exerc´ıcio 2.15);

(c) mostre que a topologiaτAdefinida pelo atlasAdo item (a) é aúnica que faz de cadaUi um subconjunto aberto deM e de cada aplica¸cão ϕ_i um homeomorfismo (sugestão: use o resultado do item (a) do Exerc´ıcio 1.7).

Exerc´ıcio 2.17. Se M é um conjunto, N é uma variedade diferenciável e se ϕ : M → N é uma fun¸cão bijetora, mostre que existe um único atlas maximal emM que faz deϕum difeomorfismo de classeC^∞(note que esse resultado é o caso particular do resultado do Exerc´ıcio 2.16 em que a fam´ılia de bije¸cões é unitária).

Exerc´ıcio 2.18. SejaM uma variedade diferenci´avel. Mostre que:

(a) M é um espa¸co topológico T1 (i.e., os subconjuntos unitários deM são fechados);

(b) M é um espa¸co topológico localmente compacto, i.e., todo ponto de M possui um sistema fundamental de vizinhan¸cas compactas (recorde que um sistema fundamental de vizinhan¸cas de um ponto é um conjunto de vizinhan¸cas desse ponto tal que qualquer vizinhan¸ca do ponto contém uma que pertence a esse conjunto);

(c) se M é um espa¸co topológico T2 (i.e., Hausdorff) então M é um espa¸co topológico T3 (i.e., é T1 e todo ponto possui um sistema fundamental de vizinhan¸cas fechadas);

(d) M satisfaz o primeiro axioma da enumerabilidade (i.e., todo ponto deM possui um sistema fundamental de vizinhan¸cas enumer´avel);

(e) M ´e localmente conexa por arcos (i.e., todo ponto deM possui um sistema fundamental de vizinhan¸cas conexas por arcos).

Dados um espa¸co topológicoX, um conjuntoY e uma fun¸cãoq :X→Y, recorde que atopologia co-induzida outopologia quociente definida porqem Y é a cole¸cão:

U ⊂Y :q⁻¹(U) ´e aberto emX .

A topologia quociente ´e caracterizada pela seguinte propriedade universal:

dado um espa¸co topológico Z e uma fun¸cão f :Y → Z então f é cont´ınua se e somente sef ◦q:X →Z é cont´ınua.

Exerc´ıcio 2.19. Sejam X,Y espa¸cos topol´ogicos e q :X → Y uma fun¸c˜ao.

Mostre que seq é cont´ınua, aberta e sobrejetora (esse é o caso, por exemplo, seqé um homeomorfismo local sobrejetor) entãoY está munido da topologia quociente definida por q.

Exerc´ıcio2.20 (reta com duas origens generalizada). SejaAum subconjunto aberto deR e considere emR× {0,1}a rela¸c˜ao de equivalˆencia∼ definida por:

(x, i)∼(y, j)⇐⇒(x, i) = (y, j) oux=y∈A.

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Seja M = R× {0,1}

/∼ e denote por q : R× {0,1} → M a aplica¸c˜ao quociente. Parai∈ {0,1}, considere a aplica¸c˜ao:

ϕi :q R× {i}

3q(x, i)7−→x∈R. (a) Mostre queA={ϕ₀, ϕ₁}´e um atlas emM.

(b) Mostre que a topologia definida pelo atlasAcoincide com a topologia quociente, ondeR× {0,1}é munido da topologia produto da topologia usual deR pela topologia discreta de{0,1}(sugestão: mostre que se M é munido da topologia τA então q é um homeomorfismo local e use o resultado do Exerc´ıcio 2.19).

(c) Mostre que se A 6=∅ e A 6=R então M não é Hausdorff (sugestão:

considere um ponto pertencente ao fecho deA que n˜ao est´a emA).

(d) Mostre que seA6=∅então M é conexa (sugestão: qual é a imagem inversa porq de um subconjunto aberto e fechado deM?).

Exerc´ıcio 2.21. Defina o conjuntoM como no Exerc´ıcio 2.20, sendo A o intervalo ]−∞,0] (que n˜ao ´e aberto emR). ConsidereM munido da topologia quociente. Mostre que:

(a) M é homeomorfo ao subconjunto C do plano R² obtido pela união de três semi-retas distintas com a mesma origemO;

(b) M não admite um atlas diferenciável que define sua topologia (su- gestão: M não é nem mesmo uma variedade topológica! Se fosse, o pontoO ∈C possuiria uma vizinhan¸ca abertaV relativa a Chome- omorfa a um intervalo aberto. Quantas componentes conexas tem V \ {O}?).

Exerc´ıcio 2.22 (reconstruindo uma variedade a partir de fun¸c˜oes de transi¸c˜ao). Seja (Ni)i∈I uma fam´ılia de conjuntos e, para cada i, j∈I, seja αij

uma fun¸cão bijetora cujo dom´ınio Dom(α_ij) é um subconjunto de N_i e a imagem Im(α_ij) é um subconjunto deN_j. Defina no conjunto:

(2.3) [

i∈I

{i} ×N_i

uma rela¸c˜ao bin´aria∼ fazendo:

(i, x)∼(j, y)⇐⇒x∈Dom(αij) ey =αij(x), i, j∈I, x∈Ni, y∈Nj. Mostre que ∼ é uma rela¸cão de equivalência se e somente se valem as seguintes condi¸cões:

(i) αii´e a aplica¸c˜ao identidade do conjunto Ni, para todoi∈I;

(ii) α_ji ´e a fun¸c˜ao inversa de α_ij, para todos i, j∈I;

(iii) para todos i, j, k ∈I, dado x no dom´ınio deαij tal queαij(x) está no dom´ınio deα_jk então x está no dom´ınio de α_ik e:

αik(x) =αjk αij(x) .

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Assuma agora que ∼é uma rela¸cão de equivalência (ou, equivalentemente, que as condi¸cões (i), (ii), (iii) sejam satisfeitas), denote por M o quociente de (2.3) por ∼e denote por:

q :[

i∈I

{i} ×Ni

−→M

a aplica¸cão quociente. Assuma também que cada Ni seja uma variedade diferenciável, todas com a mesma dimensão, e que as aplica¸cões α_ij sejam difeomorfismos de classe C^∞ entre subconjuntos abertos. Para cada i∈I, sejaUi=q {i} ×Ni

⊂M e considere a aplica¸c˜ao:

ϕ_i:U_i3q(i, x)7−→x∈N_i.

Use o resultado do Exerc´ıcio 2.16 para mostrar que existe um ´unico atlas maximal em M que faz de U_i um aberto em M e de ϕ_i um difeomorfismo de classeC^∞, para todoi∈I.

3. Dia 16/08

Se M é uma variedade diferenciável e x ∈M é um ponto, consideramos o espa¸co tangenteTxM constru´ıdo da seguinte forma:

TxM =

γ :I →M |I ⊂Raberto, 0∈I,γ de classeC^∞ eγ(0) =x /∼

onde a rela¸cão de equivalência ∼ é definida fazendo γ ∼µ se e somente se para qualquer cartaϕ:U →Ue (ou, equivalentemente, se e somente se para alguma carta ϕ : U → Ue) com x ∈ U temos (ϕ◦γ)⁰(0) = (ϕ◦µ)⁰(0). A estrutura de espa¸co vetorial real emT_xM é a única que torna a bije¸cão:

(3.1) ϕ^M_x :TxM 3[γ]7−→(ϕ◦γ)⁰(0)∈Rⁿ

um isomorfismo linear, para toda carta ϕ : U → Ue com x ∈ U, onde [γ] denota a classe de equivalência da curva γ. Se M, N são variedades diferenciáveis,x∈M é um ponto e f :M →N é uma fun¸cão de classeC^∞ então adiferencialdf_x :T_xM →T_f_(x)N def no pontox(também denotada por df(x)) é a aplica¸cão linear definida por:

(3.2) df_x [γ]

= [f ◦γ], [γ]∈T_xM.

Exerc´ıcio 3.1. Seja E um espa¸co vetorial real de dimens˜ao finita. Dado x∈E, mostre que a aplica¸c˜ao:

σ_x^E :T_xE3[γ]7−→γ⁰(0)∈E

está bem definida e é um isomorfismo linear. A partir da próxima aula, o isomorfismoσÊ_x será usado para identificar TxE comE.

Exerc´ıcio 3.2. Sejam M uma variedade diferenciável, U uma subvariedade aberta de M e x∈U. Sei:U →M denota a aplica¸cão inclusão (que é de classe C^∞, já que é a restri¸cão a U da aplica¸cão identidade), mostre que a diferencial dix :TxU →TxM é um isomorfismo linear. A partir da próxima aula, o isomorfismo di_x será usado para identificarT_xU com T_xM.

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Exerc´ıcio 3.3. SejamE,F espa¸cos vetoriais reais de dimens˜ao finita, U um aberto de E, f : U → F uma fun¸c˜ao de classe C^∞ e x ∈ U. Denote por dfx :TxU →T_f(x)F a diferencial def no pontox“no sentido de variedades”

(i.e., definida como em (3.2)) e por df_x^♦:E →F a diferencial def no ponto x no sentido usado em cursos de Cálculo no Rⁿ. Se i : U → E denota a aplica¸cão inclusão e os isomorfismos σ são definidos como no Exerc´ıcio 3.1, mostre que o seguinte diagrama é comutativo:

(3.3)

T_xU

dix

∼=

{{vvvvvvvvv

dfx //T_f_(x)F

σ_f^F_(x)

∼=

T_xE

σ^E_x

∼=

$$I

II II II II

E df_x^♦

//F

ou seja:

df_x^♦◦σ^E_x ◦dix =σ_f^F_(x)◦dfx.

O resultado desse exerc´ıcio nos diz que, uma vez feitas as identifica¸c˜oes:

T_xU ∼=T_xE∼=E, T_f(x)F ∼=F,

a diferencial dfx coincide com a diferencial df_x^♦ (de modo que, a partir da próxima aula, a distin¸cão entre as duas será abandonada).

Exerc´ıcio 3.4. Formule de forma cuidadosa e demonstre as seguintes afirma¸c˜oes:

(a) se M, N são variedades diferenciáveis, f :M →N é uma aplica¸cão de classe C^∞, U ⊂ M é uma subvariedade aberta e x ∈ U é um ponto então, a menos da identifica¸cão T_xU ∼=T_xM, as diferenciais:

dfx :TxM −→T_f(x)N, d(f|_U)x:TxU −→T_f(x)N

coincidem (sugestão: f|_U é a composi¸cão de f com a aplica¸cão in- clusão de U emM);

(b) se M, N são variedades diferenciáveis, f :M →N é uma aplica¸cão de classe C^∞, U ⊂ N é uma subvariedade aberta que contém a imagem de f, f⁰ :M → U é a fun¸cão que difere de f apenas pelo contra-dom´ınio ex∈M é um ponto então, a menos da identifica¸cão T_f(x)U ∼=T_f(x)N, as diferenciais:

dfx :TxM −→T_f(x)N, df_x⁰:TxM −→T_f(x)U

coincidem (sugestão: a aplica¸cão f é a composi¸cão da aplica¸cão in- clusão de U emN com a aplica¸cão f⁰);

(c) se M é uma variedade diferenciável,ϕ :U ⊂ M → Ue ⊂Rⁿ é uma carta ex∈U é um ponto então, a menos das identifica¸cões:

T_xU ∼=T_xM, T_ϕ(x)Ue ∼=T_ϕ(x)Rⁿ∼=Rⁿ,

(12)

a diferencial dϕx :TxU →T_ϕ(x)Ue coincide com o isomorfismo linear ϕ^M_x :TxM →Rⁿ (veja (3.1)).

Exerc´ıcio 3.5. Mostre que:

(a) se M é uma variedade diferenciável então a diferencial num ponto x ∈ M da aplica¸cão identidade de M é a aplica¸cão identidade de T_xM;

(b) se M, N são variedades diferenciáveis e se f : M → N é uma aplica¸cão constante então f é de classeC^∞ e a diferencial df_x é a aplica¸cão nula, para todox∈M;

(c) se M,N são variedades diferenciáveis e f :M →N é um difeomorfismo de classe C^∞ então df_x : T_xM → T_f_(x)N é um isomorfismo linear cujo inverso é d(f⁻¹)_f_(x);

(d) se M, N são variedades diferenciáveis e f : M → N é um difeomorfismo local então df_x :T_xM →T_f(x)N é um isomorfismo linear, para todox∈M.

Exerc´ıcio 3.6 (vetor tangente). Se M ´e uma variedade diferenci´avel,I ⊂R

´

e um aberto e γ : I → M é uma aplica¸cão de classe C^∞ então, para todo t∈I, definimos o vetor tangente γ⁰(t)∈T_γ(t)M fazendo:

γ⁰(t) = dγ_t(1),

onde dγt:TtI →T_γ(t)M ´e a diferencial deγ no ponto te identificamos TtI com T_tR e comR. Mostre que:

(a) se N é outra variedade diferenciável e f :M → N é uma aplica¸cão de classeC^∞ então:

(f◦γ)⁰(t) = df_γ(t) γ⁰(t) , para todot∈I;

(b) se 0 ∈ I então o vetor tangente γ⁰(0) é precisamente a classe de equivalência [γ]∈T_γ(0)M da curvaγ (sugestão: você deve verificar que o elemento de T₀I que é identificado com 1 ∈ R é a classe de equivalência da aplica¸cão identidade deI).

Exerc´ıcio3.7 (espa¸co tangente ao produto). SejamM,N variedades diferen- ciáveis e considere a variedade produtoM×N. Denote porπ¹:M×N →M, π² :M×N →N as proje¸cões. Dadosx∈M,y∈N, mostre que a aplica¸cão:

(dπ¹_(x,y),dπ²_(x,y)) :T_(x,y)(M ×N)−→T_xM ×T_yN

´

e um isomorfismo linear.

Exerc´ıcio 3.8. Sejam M,N,P variedades diferenciáveis e considere a variedade produto M×N. Sejaf = (f¹, f²) :P −→M×N uma aplica¸cão de classe C^∞. Dadox∈P, mostre que, usando a identifica¸cão:

T_f_(x)(M×N)∼=T_f¹_(x)M×T_f²_(x)N

(13)

dada pelo Exerc´ıcio 3.7, ent˜ao a diferencial def no pontox ´e igual a:

df_x= (df_x¹,df_x²) :T_xP −→T_f1(x)M×T_f2(x)N.

Exerc´ıcio 3.9. Sejam M, N, P variedades diferenci´aveis e considere a variedade produto M ×N. Sejam U uma subvariedade aberta de M ×N e f :U → P uma fun¸c˜ao de classe C^∞. Dado um ponto x0 ∈M, podemos definir sobre o aberto:

Ux0 =

y∈N : (x0, y)∈U a fun¸c˜ao:

f(x₀,·) :U_x₀ 3y7−→f(x₀, y)∈P.

Mostre que a fun¸cão f(x0,·) é de classeC^∞e que sua diferencial num ponto y₀ ∈U_x₀ é igual à restri¸cão de df(x₀, y₀) a T_y₀N, onde identificamosT_y₀U_x₀ comTy0N,T_(x₀_,y₀₎U comT_(x₀_,y₀₎(M×N),T_(x₀_,y₀₎(M×N) comTx0M×T_y₀N como no Exerc´ıcio 3.7 e identificamos Ty0N com {0} × Ty0N (sugestão:

f(x₀,·) é a composi¸cão de f com a fun¸cão y 7→ (x₀, y)). A diferencial no ponto y₀ da fun¸cão f(x₀,·) é normalmente chamada a diferencial parcial de f com respeito à segunda variável no ponto (x0, y0) e é denotada por

∂₂f(x₀, y₀) ou por ^∂f_∂y(x₀, y₀).

Nos dois exerc´ıcios a seguir nós apresentaremos duas “abordagens axi- omáticas” para a no¸cão de espa¸co tangente. A primeira faz referência direta a cartas e ao espa¸coRⁿ. A segunda não faz, mas é mais complicada.

SeE,F são espa¸cos vetoriais reais de dimensão finita,U ⊂Eé um aberto, f :U →F é uma aplica¸cão de classe C^∞ ex∈U é um ponto, denotaremos (como no Exerc´ıcio 3.3) nos dois exerc´ıcios que seguem por df_x^♦ :E→ F a diferencial de f no pontox no sentido usado em cursos de Cálculo noRⁿ. Exerc´ıcio 3.10. Sejam dadas:

• uma regra que a cada variedade diferenci´avel M e a cada ponto x∈M associa um espa¸co vetorial real T_xM;

• uma regra que a cada variedade diferenci´avelM, a cada carta ϕ:U ⊂M −→Ue ⊂Rⁿ

e a cada pontox∈U associa um isomorfismo linear:

ϕ^M_x :T_xM −→Rⁿ.

A respeito do par de regras acima, considere a seguinte condi¸cão: para toda variedade diferenciável M, para quaisquer cartas ϕ : U ⊂ M → Ue ⊂ Rⁿ, ψ:V ⊂M →Ve ⊂Rⁿ e para todo pontox∈U ∩V, o seguinte diagrama é comutativo:

(3.4)

TxM

ϕ^M_x

||xxxxxxxx ^ψ^Mx

""

FF FF FF FF

Rⁿ

d(ψ◦ϕ⁻¹)^♦_ϕ(x)

//Rⁿ

(14)

ou seja:

d(ψ◦ϕ⁻¹)^♦_ϕ(x)◦ϕ^M_x =ψ^M_x .

O objetivo do exerc´ıcio é mostrar a unicidade, a menos de isomorfismos, de um par de regras (x, M)7→TxM, (x, ϕ)7→ϕ^M_x satisfazendo a condi¸cão acima (a existência é demonstrada pela apresenta¸cão da constru¸cão de espa¸co tangente em termos de classes de equivalência de curvas). Mais precisamente, sejam:

(x, M)7−→TxM, (x, ϕ)7−→ϕ^M_x , (x, M)7−→TxM, (x, ϕ)7−→ϕ¯^M_x , pares de regras satisfazendo a condi¸c˜ao acima. Mostre que existe uma regra que a cada variedade diferenci´avel M e a cada ponto x ∈ M associa um isomorfismo linear:

τ_x^M :TxM −→TxM

tal que, para toda variedade diferenci´avel M, para toda carta ϕ:U ⊂M −→Ue ⊂Rⁿ

e para todo pontox∈U, seja comutativo o diagrama:

(3.5)

TxM

ϕE^M_xEEEEEEE""

E

τ_x^M //TxM

¯ ϕ^M_x

||xxxxxxxx

Rⁿ ou seja:

¯

ϕ^M_x ◦τ_x^M =ϕ^M_x

(sugestão: o diagrama (3.5) já diz comoτ_x^M deve ser definida! Você tem que mostrar apenas que τ_x^M não depende deϕ).

Exerc´ıcio 3.11. Sejam dadas:

• uma regra que a cada variedade diferenci´avel M e a cada ponto x∈M associa um espa¸co vetorial real TxM;

• uma regra que a cada par de variedades diferenciáveisM,N, a cada fun¸cãof :M →N de classeC^∞ e a cada pontox∈M associa uma aplica¸cão linear dfx:TxM →T_f(x)N;

• uma regra que a cada espa¸co vetorial real de dimens˜ao finita E e a cada pontox∈E associa um isomorfismo linearσ_x^E :TxE→E.

A respeito da trinca de regras acima, considere as seguintes condi¸c˜oes:

(a) se M, N,P são variedades diferenciáveis, f :M → N, g :N → P são fun¸cões de classe C^∞ e x∈M é um ponto então:

d(g◦f)_x = dg_f(x)◦df_x;

(b) seM é uma variedade diferenciável, Id :M →M denota a aplica¸cão identidade ex∈Mé um ponto então d(Id)_xé a aplica¸cão identidade deT_xM;

(15)

(c) se M é uma variedade diferenciável, U ⊂ M é uma subvariedade aberta,i:U →M denota a aplica¸cão inclusão e x ∈U é um ponto então dix :TxU →TxM é um isomorfismo linear;

(d) se E,F são espa¸cos vetoriais reais de dimensão finita,U ⊂E é um aberto, f : U → F é uma aplica¸cão de classe C^∞ e x ∈ U é um ponto então o diagrama (3.3) comuta.

O objetivo do exerc´ıcio é mostrar a unicidade, a menos de isomorfismos, de uma trinca de regras (x, M)7→T_xM, (x, f)7→df_x, (x, E)7→σ_xÊ satisfazendo as condi¸cões (a)—(d) acima (a existência é demonstrada pela apresenta¸cão da constru¸cão de espa¸co tangente em termos de classes de equivalência de curvas). Mais precisamente, sejam:

(x, M)7−→T_xM, (x, f)7−→df_x, (x, E)7−→σ_x^E, (x, M)7−→T_xM, (x, f)7−→¯df_x, (x, E)7−→σ¯^E_x,

trincas de regras satisfazendo as condi¸cões (a)—(d) acima. Você deve mostrar que existe uma regra que a cada variedade diferenciável M e a cada pontox∈M associa um isomorfismo linear:

τ_x^M :T_xM −→T_xM tal que:

(i) dadas variedades diferenciáveis M, N, uma fun¸cão f : M → N de classeC^∞ e um pontox∈M então o diagrama:

T_xM ^df^x ^//

τ_x^M

T_f(x)N

τ_f(x)^N

T_xM _¯

dfx

//T_f_(x)N

comuta, i.e., ¯df_x◦τ_x^M =τ_f^N_(x)◦df_x;

(ii) dado um espa¸co vetorial real de dimens˜ao finitaEe um pontox∈E ent˜ao o diagrama:

T_xE

σ_x^E

!!D

DD DD DD D

τ_x^E

E

TxE

¯ σ^E_x

=={

{{ {{ {{ { comuta, i.e., ¯σ_xÊ◦τ_xÊ =σÊ_x.

A estratégia sugerida é a seguinte: comece mostrando que a trinca de regras (x, M)7→TxM, (x, f)7→dfx, (x, E)7→σ_xÊ dá origem a uma regra:

(x, ϕ)7−→ϕ^M_x

(16)

como a do Exerc´ıcio 3.10; você pode então usar o resultado daquele exerc´ıcio para obter a regra desejada (x, M) 7→ τ_x^M. Dadas uma variedade diferen- ciável M, uma carta ϕ : U ⊂ M → Ue ⊂ Rⁿ e um ponto x ∈ U, defina ϕ^M_x :T_xM →Rⁿ de modo que o diagrama:

TxU

dϕx

dix //TxM

ϕ^M_x

%%T_ϕ(x)eU

d˜ı_ϕ(x) //T_ϕ(x)Rⁿ

σ^R_ϕ(x)ⁿ

//Rⁿ

seja comutativo, onde i : U → M, ˜ı : Ue → Rⁿ denotam as aplica¸cões inclusão. Para mostrar queϕ^M_x é um isomorfismo, use as condi¸cões (a) e (b) e conclua que dϕ_x é um isomorfismo. Para mostrar que o diagrama (3.4) comuta, a seguinte estratégia é conveniente: em primeiro lugar, mostre que seW é um aberto contido emU e ϕ|_W :W → ϕ(W) denota a restri¸cão da carta ϕa W, então:

(ϕ|_W)^M_x =ϕ^M_x ,

para todo x ∈W. Em vista dessa última igualdade, você pode supor sem perda de generalidade, para provar a comutatividade de (3.4), que as cartas ϕeψpossuam o mesmo dom´ınio. Você vai precisar então aplicar a condi¸cão (d) para a fun¸cão de transi¸cãoψ◦ϕ⁻¹. Finalmente, você precisa mostrar que a regra (x, M) 7→ τ_x^M obtida usando o resultado do Exerc´ıcio 3.10 satisfaz as condi¸cões (i) e (ii). Para isso, é conveniente mostrar primeiro que as regras (x, f) 7→ df_x, (x, E) 7→ σ_xÊ podem ser pensadas como se fossem definidas a partir da regra (x, ϕ)7→ϕ^M_x , da seguinte forma: dadas variedades diferenciáveis M, N, uma fun¸cão f : M → N de classe C^∞, um ponto x∈M e cartasϕ:U ⊂M →Ue ⊂R^m,ψ:V ⊂N →Ve ⊂Rⁿ com x∈U e f(U)⊂V então o diagrama:

T_xM ^df^x ^//

ϕ^M_x

T_f_(x)N

ϕ^N_f(x)

R^m

d(ψ◦f◦ϕ⁻¹)^♦_ϕ(x)

//Rⁿ

comuta. Além do mais, dados um espa¸co vetorial realE de dimensão finita e um isomorfismo linear ϕ :E → Rⁿ (que é uma carta em E) então, para todo x∈E, o diagrama:

T_xE

ϕE^E_xEEEEEE""

E

σ_x^E //E

~~}}}}}}ϕ}}

Rⁿ comuta.

(17)

4. Dia 18/08

Recordamos os seguintes enunciados dos cursos de Cálculo noRⁿ. 4.1. Teorema (da fun¸cão inversa). Seja f :U →Rⁿ uma fun¸cão de classe C^∞ondeU é um subconjunto aberto deRⁿ. Sex0 ∈U é tal que a diferencial df(x₀) : Rⁿ → Rⁿ seja um isomorfismo então existe um aberto V ⊂ Rⁿ com x0 ∈ V ⊂ U, tal que f(V) é aberto em Rⁿ e f|_V : V → f(V) é um difeomorfismo de classe C^∞.

4.2.Teorema(da fun¸cão impl´ıcita). Sejaf :U →Rⁿ uma fun¸cão de classe C^∞, onde U é um subconjunto aberto de R^m ×Rⁿ. Sejam (x₀, y₀) ∈ U e c = f(x0, y0). Se a diferencial ^∂f_∂y(x0, y0) : Rⁿ → Rⁿ de f com respeito

`

a segunda variável no ponto (x₀, y₀) é um isomorfismo então existem um subconjunto abertoV deR^m, um subconjunto abertoW deRⁿe uma fun¸cão α :V → W de classe C^∞ tais que x₀ ∈ V, y₀ ∈ W, V ×W ⊂ U e, para quaisquer x∈V,y ∈W, temos:

f(x, y) =c⇐⇒y=α(x).

4.3. Teorema (forma local das imersões). Seja f :U →Rⁿ uma fun¸cão de classeC^∞, ondeU é um subconjunto aberto deR^m. Sejax₀ ∈U e suponha quef seja uma imersão no ponto x0 (i.e., que df(x0) seja injetora). Então existem subconjuntos abertos V, Ve de Rⁿ, um difeomorfismo φ : V → Ve de classe C^∞ e um subconjunto aberto U⁰ de R^m tais que x0 ∈ U⁰ ⊂ U, f(U⁰)⊂V e:

φ f(z)

= (z,0)∈R^m×R^n−m∼=Rⁿ, para todo z∈U⁰.

4.4. Teorema (forma local das submersões). Seja f :U →Rⁿ uma fun¸cão de classe C^∞, ondeU é um subconjunto aberto deR^m. Seja x0 ∈U e suponha que f seja uma submersão no ponto x₀ (i.e., que df(x₀) seja sobrejetora). Então existem subconjuntos abertosV, Ve de R^m e um difeomorfismo φ:V →Ve de classe C^∞ tais que x₀ ∈V ⊂U e:

f φ⁻¹(z, z⁰)

=z, para todo (z, z⁰)∈Ve ⊂R^m∼=Rⁿ×R^m−n.

4.5.Teorema(do posto). Sejaf :U →Rⁿ uma fun¸cão de classeC^∞, onde U é um subconjunto aberto de R^m. Suponha que o posto dedf(x)seja igual a um certo número naturalr, para todo pontox∈U. Dadox₀ ∈U, existem então subconjuntos abertos V,Ve deR^m, subconjuntos abertosW,Wf de Rⁿ e difeomorfismos:

φ:V −→V ,e λ:W −→Wf de classe C^∞ tais que x0 ∈V ⊂U, f(U)⊂W e:

λ

f φ⁻¹(z, z⁰)

= (z,0)∈R^r×R^n−r∼=Rⁿ, para todo (z, z⁰)∈Ve ⊂R^m∼=R^r×R^m−r.

(18)

Nos Exerc´ıcios 4.1 a 4.5 pedimos para você generalizar para variedades os resultados dos teoremas acima (a generaliza¸cão do teorema da fun¸cão inversa foi feita em aula).

Exerc´ıcio 4.1 (teorema da fun¸cão inversa). SejamM,N variedades diferen- ciáveis e f : M → N uma fun¸cão de classe C^∞. Dado x₀ ∈ M tal que df(x0) :Tx0M → T_f(x₀₎N é um isomorfismo, mostre que existe um aberto V emM contendo x0 tal quef(V) é aberto em N e f|_V :V →f(V) é um difeomorfismo de classe C^∞.

Exerc´ıcio4.2 (teorema da fun¸cão impl´ıcita). SejamM,N,P variedades dife- renciáveis ef :U →Puma fun¸cão de classeC^∞, ondeUé uma subvariedade aberta da variedade produtoM×N. Sejam (x₀, y₀)∈U ec=f(x₀, y₀)∈P.

Assuma que a diferencial parcial ^∂f_∂y(x0, y0) :Ty0N →TcP seja um isomorfismo (veja Exerc´ıcio 3.9). Mostre que existem um subconjunto aberto V de M, um subconjunto abertoW de N e uma fun¸c˜ao α:V →W de classe C^∞ tais quex₀ ∈V,y₀∈W,V ×W ⊂U e, para quaisquer x∈V,y∈W, temos:

f(x, y) =c⇐⇒y=α(x).

Exerc´ıcio 4.3 (forma local das imersões). Sejam M, N variedades diferen- ciáveis e f : M → N uma fun¸cão de classe C^∞. Seja x₀ ∈ M e suponha quef seja uma imersão no pontox0 (i.e., que df(x0) seja injetora). Mostre que, dada uma carta ϕ : U ⊂ M → Ue ⊂ R^m com x₀ ∈ U então existem uma carta ψ :V ⊂N → Ve ⊂Rⁿ e um subconjunto aberto U⁰ de M com x₀ ∈U⁰ ⊂U,f(U⁰)⊂V e:

ψ

f ϕ⁻¹(z)

= (z,0)∈R^m×R^n−m ∼=Rⁿ, para todoz∈ϕ(U⁰).

Exerc´ıcio 4.4 (forma local das submersões). Sejam M, N variedades dife- renciáveis e f :M →N uma fun¸cão de classe C^∞. Sejax₀ ∈M e suponha que f seja uma submersão no ponto x0 (i.e., que df(x0) seja sobrejetora).

Mostre que, dada uma carta ψ :V ⊂N → Ve ⊂Rⁿ com f(x₀) ∈ V ent˜ao existe uma cartaϕ:U ⊂M →Ue ⊂R^m comx0∈U,f(U)⊂V e:

ψ

f ϕ⁻¹(z, z⁰)

=z, para todo (z, z⁰)∈Ue ⊂R^m∼=Rⁿ×R^m−n.

Exerc´ıcio 4.5 (teorema do posto). Sejam M, N variedades diferenciáveis e f :M →N uma fun¸cão de classe C^∞. Suponha que o posto de df(x) seja igual a um certo número naturalr, para todo pontox∈M. Dadox₀∈M, mostre que existem cartas:

ϕ:U ⊂M −→Ue ⊂R^m, ψ:V ⊂N −→Ve ⊂Rⁿ tais quex₀∈U,f(U)⊂V e:

ψ

f ϕ⁻¹(z, z⁰)

= (z,0)∈R^r×R^n−r∼=Rⁿ,

(19)

para todo (z, z⁰)∈Ue ⊂R^m∼=R^r×R^m−r.

Exerc´ıcio 4.6 (rec´ıproca do item (d) do Exerc´ıcio 3.5). Sejam M, N variedades diferenciáveis e f :M → N uma fun¸cão de classe C^∞. Mostre que f é um difeomorfismo local se e somente se df(x) é um isomorfismo, para todo x∈M (sugestão: use o teorema da fun¸cão inversa).

Exerc´ıcio 4.7. Sejam M, N variedades diferenciáveis, f : M → N uma fun¸cão de classeC^∞e suponha quef seja uma imersão num pontox₀∈M.

Mostre que existe um aberto U em M tal que x₀ ∈ U e f|_U : U → f(U) seja um homeomorfismo, ondef(U) é munido da topologia induzida porN (sugestão: use a forma local das imersões, notando que a “imersão padrão”

z 7→ (z,0) é um homeomorfismo sobre sua imagem). Note que não está se dizendo que sef é uma imersão entãof é um homeomorfismo local, já que, em geral,f(U) não será aberto emN (em alguns casos, não será aberto nem mesmo na imagem def, como veremos).

Exerc´ıcio 4.8. Sejam M, N variedades diferenciáveis e f : M → N uma fun¸cão de classe C^∞. Mostre que se f é uma submersão então f é uma aplica¸cão aberta (sugestão: use a forma local das submersões, notando que a “submersão padrão” (z, z⁰)7→zé aberta).

Exerc´ıcio 4.9. Sejam E, F espa¸cos vetoriais reais de dimensão finita e Lin(E, F) o espa¸co das transforma¸cões lineares de E paraF. Mostre que a fun¸cão:

Lin(E, F)3T 7−→posto(T)

´

e semi-cont´ınua inferiormente¹, i.e., se T ∈ Lin(E, F) tem posto r então existe uma vizinhan¸ca deT em Lin(E, F) tal que qualquerT⁰ pertencente a essa vizinhan¸ca tem posto maior ou igual ar. Conclua que o conjunto das transforma¸cões linearesT ∈Lin(E, F) deposto máximo(i.e., cujo posto é o maior poss´ıvel, ou seja, igual a min{dim(E),dim(F)}) é aberto em Lin(E, F) (note que, se dim(E) ≤dim(F), então T :E → F tem posto máximo se e somente se T for injetora e, se dim(E) ≥ dim(F), então T : E → F tem posto máximo se e somente se T for sobrejetora). Conclua também que se M, N são variedades diferenciáveis e f : M → N é uma fun¸cão de classe C^∞ então o conjunto dos pontos x ∈M em que df(x) tem posto máximo

´

e aberto em M (sugestão: considere uma representa¸cão ˜f = ψ◦f ◦ϕ⁻¹ de f usando sistemas coordenadas ϕ, ψ e note que a fun¸cão z 7→ d ˜f(z) é cont´ınua).

5. Dia 23/08

Os Exerc´ıcios de 5.1 a 5.6 foram resolvidos em aula.

1Para uma fun¸cãof definida num espa¸co topológico e tomando valores emR(ou tomando valores num conjunto totalmente ordenado qualquer), diz-se quefésemi-cont´ınua inferiormentenum pontoxde seu dom´ınio se dadoc < f(x) então existe uma vizinhan¸ca dextal quef(x⁰)> c, para todox⁰ pertencente a essa vizinhan¸ca.

(20)

SejamM,N variedades diferenciáveis eq :M →N uma fun¸cão de classe C^∞. Uma se¸cão local de q é uma fun¸cão s:U →M de classeC^∞, ondeU

´

e um aberto deN, tal queq◦s´e a aplica¸c˜ao identidade deU.

Exerc´ıcio 5.1. Sejam M, N variedades diferenciáveis e q : M → N uma fun¸cão de classe C^∞. Dado x ∈ M, mostre que q é uma submersão no ponto x se e somente se existe uma se¸cão local s : U → M de q tal que q(x) ∈ U e s q(x)

= x (sugestão: se a se¸cão local s existe, diferencie a igualdade q ◦s = Id_U no ponto x para ver que dq_x tem uma inversa à direita e é portanto sobrejetora. Reciprocamente, seq é uma submersão no pontox, use a forma local das submersões e note que a “submersão padrão”

(z, z⁰)7→z admite se¸c˜oes locais).

SejamM,N variedades diferenciáveis eφ:M →N uma fun¸cão de classe C^∞. Uma retra¸cão local paraφé uma fun¸cão r :V → U de classe C^∞ tal que U é aberto em M,V é aberto em N, φ(U)⊂V e r◦φ|_U é a aplica¸cão identidade deU.

Exerc´ıcio 5.2. Sejam M, N variedades diferenciáveis e φ : M → N uma fun¸cão de classe C^∞. Dado x ∈M, mostre que φé uma imersão no ponto x se e somente se existe uma retra¸cão localr :V →U paraφtal que x∈U (sugestão: se a retra¸cão local r existe, diferencie a igualdader◦φ|_U = Id_U no ponto x para ver que dφx tem uma inversa à esquerda e é portanto injetora. Reciprocamente, seφé uma imersão no pontox, use a forma local das imersões e note que a “imersão padrão”z7→(z,0) admite uma retra¸cão local).

Exerc´ıcio 5.3. Sejam M,N,P variedades diferenciáveis eq :M →N uma submersão sobrejetora de classe C^∞. Dada uma fun¸cão f :N →P, mostre quef é de classeC^∞ se e somente sef ◦q é de classeC^∞ (sugestão: use o resultado do Exerc´ıcio 5.1).

M

f◦q

A

AA AA AA A

q

N _f ^//P

Exerc´ıcio 5.4. Sejam M,N,P variedades diferenciáveis e φ:M →N uma imersão de classeC^∞. Sef :P →M é uma fun¸cão cont´ınua, mostre quefé de classeC^∞se e somente seφ◦f é de classeC^∞(sugestão: use o resultado do Exerc´ıcio 5.2). Conclua que se φ é um mergulho então, para qualquer fun¸cão f :P →M (que não precisa ser assumida cont´ınua a priori) temos quef é de classeC^∞ se e somente seφ◦f é de classe C^∞.

N

P

φ◦f}}}}}}}}>>

f //M

φ

OO

(21)

Exerc´ıcio 5.5. Sejam M uma variedade diferenciável e ∼ uma rela¸cão de equivalência em M. Se A, A⁰ são atlas maximais no conjunto quociente M/∼ que fazem da aplica¸cão quociente q :M → M/∼ uma submersão de classeC^∞, mostre queA=A⁰ (sugestão: mostre que a aplica¸cão identidade de (M/∼,A) para (M/∼,A⁰) é um difeomorfismo de classe C^∞ usando o resultado do Exerc´ıcio 5.3).

Exerc´ıcio 5.6. Sejam M uma variedade diferenci´avel e N um subconjunto de M. Sejam A,A⁰ atlas maximais em N. Mostre que:

(a) se A e A⁰ fazem da aplica¸cão inclusão i:N → M um mergulho de classeC^∞ então A=A⁰;

(b) se A e A⁰ definem a mesma topologia em N e fazem da inclusão i : N → M uma imersão de classe C^∞ então A = A⁰ (sugestão para ambos os itens: mostre que a aplica¸cão identidade de (N,A) para (N,A⁰) é um difeomorfismo de classe C^∞ usando o resultado do Exerc´ıcio 5.4).

Exerc´ıcio 5.7. Sejam M, N variedades diferenciáveis e q : M → N uma submersão sobrejetora de classe C^∞ (por exemplo, N poderia o conjunto quocienteM/∼, onde∼é uma rela¸cão de equivalência emM, eN é muni- da de um atlas maximal que faz da aplica¸cão quociente q uma submersão de classe C^∞). Mostre que a topologia definida pelo atlas de N coincide com a topologia quociente definida por q (sugestão: use o resultado dos Exerc´ıcios 2.19 e 4.8).

Exerc´ıcio 5.8. Sejam M, N variedades diferenciáveis e f : M → N uma imersão de classe C^∞. Mostre que todo ponto deM pertence a um aberto U relativo a M tal que f|_U :U → N é um mergulho (sugestão: isso segue diretamente do resultado do Exerc´ıcio 4.7).

Exerc´ıcio 5.9. Sejam M, N variedades diferenciáveis e f : M → N uma fun¸cão. Suponha que para cadax∈M exista um abertoV emN contendo f(x) tal que f⁻¹(V) é aberto em M e tal que a restri¸cão:

f|_f−1(V):f⁻¹(V)−→N

seja um mergulho de classeC^∞. Mostre que f é um mergulho de classeC^∞ (veja só: em vista do resultado do Exerc´ıcio 5.8, toda imersão é localmente um mergulho, de modo que se f é localmente um mergulho não segue que f é um mergulho. No entanto, sef é “localmente um mergulho” no sentido mais forte considerado no enunciado deste exerc´ıcio, então segue que f é mesmo um mergulho!).

Exerc´ıcio 5.10. Sejam M, N₀ variedades diferenciáveis e f : N₀ → M uma fun¸cão injetora. Suponha N = f(N0) munido do único atlas maximal A que faz da bije¸cão f : N₀ → N um difeomorfismo de classe C^∞ (veja Exerc´ıcio 2.17). Mostre que (N,A) é uma subvariedade imersa deM (resp., uma subvariedade mergulhada de M) se e somente se f :N₀ →M é uma imersão (resp., um mergulho) de classe C^∞ (sugestão: a aplica¸cão