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AULA 1
ESTUDO DAS FUNÇÕES
Estou à procura de entender melhor os fenômenos relacionados com as aplicações da matemática. Desde pequeno aprendemos diversas regras e fórmulas sem entender onde podemos utilizar tais conhecimentos. Alguns conceitos são apresentados de forma já prontos de tal forma que não sabemos às vezes de onde veio ou de como foi criada determinada fórmula ou equação.
O passado da ciência foi cheio de descobertas e investigações de modo que todas as invenções e criações foram realizadas gradativamente através de erros, acertos e observações dos fenômenos envolvidos.
A origem da noção de função confunde-se assim com os primórdios do Cálculo Infinitesimal. Foi Leibniz (1646 -1716) quem usou primeiro o termo "função" no ano de 1673 em um manuscrito em Latim. Leibniz uso o termo apenas para designar, em termos muito gerais, a dependência de uma curva de quantidades geométricas como as sub tangentes e sub normais. Ele Introduziu também os termos “constante”, “variável” e “ parâmetro”. Com o desenvolvimento do estudo de curvas por meios algébricos, tornou-se indispensável um termo que representasse quantidades dependentes de alguma variável por meio de uma expressão analítica. Com esse propósito, a palavra "função" foi adotada nas correspondências trocadas entre 1694 e 1698 por Leibniz e Johann Bernoulli (1667 -1748). Foi também Euler quem introduziu a notação f(x).
Na tentativa de dar uma definição de função suficientemente ampla, a ponto de englobar essa forma de relação, Lejeune Dirichlet (1805 – 1859) chegou à seguinte formulação: Uma variável é um símbolo que representa qualquer um dos elementos de um conjunto de números; se duas variáveis x e y estão relacionadas de maneira que, sempre que se atribui um valor a x, corresponde automaticamente, por alguma lei ou regra, um valor a y, então se diz que y é uma função de x, ou simbolicamente, y = f(x). Os valores possíveis que x
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(variável independente) pode assumir constituem o campo de valores da função.
NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO Seja um quadrado cujo lado mede x
Se chamarmos de P a medida do perímetro desse quadrado, podemos estabelecer entre P e x a seguinte relação expressa pela fórmula matemática:
P = 4. X
Notamos então que a medida P depende da medida x do lado do quadrado.
Podemos então construir uma tabela de medidas x arbitrárias e as correspondentes medidas P:
medida do lado x medida do perímetro P
0,5 2
1 4
1,5 6
2 8
3 12
4,5 18
Na lei de associação desta função, temos
P = 4 . x
Variável dependente
Variável independente
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Podemos também construir o gráfico dessa função
FUNÇÃO AFIM, LINEAR E POLINOMIAL DO 1º GRAU Consideremos um retângulo de base x e altura 10:
Designando por P a medida do perímetro desse retângulo, podemos estabelecer entre p, x e 10 a seguinte relação matemática:
P = 2x + 20
Vemos então que a medida P do perímetro é dada em função da medida x da base, ou seja:
f(x) = 2x + 20 ou y = 2x + 20
Sendo dados dois números reais a e b, com a≠0, chama-se função polinomial do 1º grau a função f(x) = ax + b, então para a fórmula do retângulo temos a= 2 e b = 20.
No caso de b=0 e a≠0, a função polinomial do 1º grau recebe o nome particular de função linear.
y = 4x
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 1 2 3 4 5
P
x
medida do perímetro P
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No caso de b≠0 e a≠0, a função polinomial do 1º grau recebe o nome de função afim
Exemplo 1
Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 900,00, e uma variável que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês.
a) Expressar a função que representa seu salário mensal.
b) Calcular o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu R$ 100.000,00 em produtos.
Solução
a) Sabemos que o salário mensal = 900 + 8% ou:
Y = 900 + 0,08x
b) Se x = 100000, vem:
Y = 900 + 0,08.100000 = R$ 8.900,00
ZEROS DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
Denomina-se zero ou raiz da função f(x) = ax + b o valor de x que anula a função, isto é, torna f(x) = 0.
Exemplo 2
Calcular o zero da função do exemplo 1.
Solução f(x) = 0,08x + 900
0,08x + 900 = 0 0,08x = -900
X= -900/0,08 = -11250
Explicação: o vendedor para receber zero de salário, não vende nenhum produto e ainda fica devendo para a loja R$11.250,00 em produtos. Pior situação possível para um vendedor!
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FUNÇÃO QUADRÁTICA OU POLINOMIAL DO 2º GRAU
A função dada por f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c reais e a≠0, denomina-se função do 2º grau ou função quadrática.
Exemplo 3
Um corpo lançado do solo verticalmente para cima tem posição em função do tempo dada pela função h(t) = 40t – 5t2, onde a altura h é dada em metros e o tempo em segundos. Determine:
a) A altura em que o corpo se encontra em relação ao solo após 3s.
Solução a) Substituindo t = 3s na equação temos:
h= 40.3 – 5(3)2 = 75m
Podemos representar o gráfico da função como:
t h
0 0
1 35
2 60
3 75
4 80
5 75
6 60
7 35
8 0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
altura (m)
tempo (s)
6 Exemplo 4
Calcular o zero da função do exemplo 3.
Solução h(t) = 40t – 5t2 = 8t - t2
∆= b2– 4.a.c
∆= (8)2 = 64 t = t1=
= 0 t2=
= 8
Prova: substituindo h = 8 e h= 0 na equação temos:
h(t) = 8t - t2 h(t) = 8.8 - 82 = 0
Como indica o gráfico anterior Exemplo 5
Assumindo que a resistência do ar é desprezível e ignorando a curvatura da terra, um projétil lançado ao ar, de qualquer ponto da superfície da terra, seguirá um percurso de vôo parabólico. A altura do projétil em um instante t depois do lançamento é dada pela equação:
h(t) = h0 + v0 t - 1/2gt2
Onde h0 é a altura inicial do projétil acima do solo, v0 é a velocidade vertical inicial do objeto e g é a aceleração devido à gravidade da terra. O alcance A é a distância horizontal percorrida no eixo x que pode ser determinado por:
A = (v02sen 2α) /g
Onde α é o ângulo inicial de lançamento
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Assumindo que a velocidade inicial do projétil é de 100m/s determine:
a) A função da posição do projétil de acordo com o tempo;
b) A trajetória do projeto para 0 ≤t≤20s,
c) O alcance para α variando de 0 a 90º com intervalos de 10º.
Solução a) h(t) = h0 + v0 t - 1/2gt2
h = 0 + 100t – ½ 10t2 h = 100t – 5t2
h = 20t –t2 ou y = 20t - t2
b)
Pelo gráfico observa-se que a altura máxima é de 500m e que após 20s o projétil retorna ao solo que é exatamente a raiz da equação h = 20t –t2
0 100 200 300 400 500 600
0 5 10 15 20 25
Posição
tempo
trajetória(m)
8 c)
Pelo gráfico observa-se que o alcance máximo corresponde ao ângulo de 45º
FUNÇÃO EXPONENCIAL
É o tipo de função em que a incógnita é um expoente. Sendo a >0 e a ≠1 denominamos função exponencial de base a a função f definida por f(x) = ax . Vamos supor que uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 10.000,00 com juros mensal de 5% sobre o montante do mês anterior. Se essa pessoa liquidar a dívida um mês após a contratação o valor devido será de:
10.000 + 500 = 10.500,00 ( 10.000 + 5% de10.000). Esse mesmo resultado poderia ser obtido simplesmente multiplicando 10.000 por 1,05 (100%+ 5%).
Se a pessoa pagar a dívida 2 meses depois da contratação, o valor devido será de 10.500 + 525 = 11.025,00 ( 5% de 10.500) que poderia também ser obtido multiplicando-se 10.000 por 1,052. Podemos generalizar e dizer que o montante M dessa dívida, n meses após a sua contratação será igual a:
M = 10.000. 1,05n
O gráfico nesse caso fica:
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100
0 10 20 30 40 45 50 60 70 80 90
alcance (m)
ângulo (grau)
9 Qual seria o valor da dívida após 10 meses?:
Substituindo 10 em n na expressão anterior temos:
M = 10.000. 1,05n
M = 10.000. 1,0510 = R$ 16.288,90
E quando precisamos calcular o expoente n? Para isso que existem os logaritmos.
Suponha para o mesmo problema anterior, após quantos meses a dívida atinge R$ 27.000,00?
Sabemos que 26 = 64 isso equivale dizer que 6 é o logaritmo de 64 na base 2 ou log2 64 = 6
Assim temos que resolver a seguinte equação exponencial:
10.000. 1,05n = 27.000
Solução 1,05n = 27000/10000
1,05n = 2,7 log1,05 2,7 = n
Precisamos fazer mudança de base através da seguinte fórmula:
LogB A = log A/ log B para base 10 Então
n = log 2,7/ log 1,05 20 meses
10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000 24000 26000 28000
0 5 10 15 20 25
montante devido
meses
10 FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Em muitas situações práticas, o valor de certa quantidade, depende dos valores de duas outras ou de três outras. Então, é usual representar estas relações como funções de várias variáveis. Por exemplo, numa fábrica, uma quantidade chamada de produção (P), depende do número de homens-hora (h) e do número de máquinas (M), usadas para produzir algum produto. A representação funcional dessa relação é
P = f(h,M)
FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS
Seja D um subconjunto (região) do espaço R2 (plano) . Chama-se função f de D toda relação que associa, a cada par (x,y) ε D, um único número real, representado por f(x,y). O conjunto D é o domínio da função. Assim, D é o domínio da função em R2, f é a função f(x,y) é o valor da função calculado em (x,y).
Exemplos de valores de função de 2 variáveis:
Ex.1- se f(x,y) = x2 + 2y , então f(2,3) = 22 +2.3 = 10 Ex.2- f(x,y) = (3x+y3)1/2 f(1,2) = (3.1+23)1/2 = 3,32
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS
Já vimos que para as funções de uma variável, o gráfico é no plano x,y e y=f(x). Para funções de 2 variáveis o gráfico é em R3 e z = f(x,y). Uma função de 2 variáveis sempre gera uma superfície no espaço R3
Exemplo 5
Faça um esboço do gráfico da função f cujos valores são dados por:
f(x,y) = x2 + y2 (equação do círculo) para x e y variando de 0 a 5
