Aula 29 Medidas de Dispersão

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MEDIDAS DE DISPERSÃO

Neste momento serão abordadas as características da variação, de grande importância para Estatística.

• Busca-se um valor representativo para este conjunto de dados. Sendo um medida de dispersão:

• Amplitude

• Variância

• Desvio-Padrão

Amplitude, Desvio Médio, Variância, Desvio-Padrão

Desvio Médio é a média aritmética dos valores absolutos dos desvios.

∑ | ̅|

Exemplo: Considere as seguintes temperaturas em graus Célsius em Gramado (6, 7, 8, 10, 11 e 12).

Determine o desvio médio.

AMPLITUDE

A amplitude de um conjunto de dados é a diferença entre o maior valor e o menor valor.

Fácil cálculo. Contudo não é uma boa medida de variação pois depende apenas do menor e do maior valor.

DESVIO-PADRÃO E VARIÂNCIA

O desvio-padrão é a mais importante medida de variação. Leva em consideração todos os valores e por isso possui os cálculos mais trabalhosos.

Definição: O desvio-padrão de um conjunto de valores é uma medida da variação dos valores em relação à média.

1 )

(

2

_







n

x

s

Dados amostrais

N

x







(



)

2



Dados populacionais

Exemplo (Variância): Após as 5 primeiras rodadas de um campeonato de basquete, os dois

principais “cestinhas”(jogadores que mais pontuaram) obtiveram médias iguais de pontos por

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Partida

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª

Jogador A 8

12 9 17

5 Jogador B 10

9 11 10 11

Média de pontos por partida:

A:

̅

B:

̅

Podemos utilizar a variância para verificar qual dos jogadores obteve maior regularidade na

pontuação por partida.

A:

B:

Note que a variância de pontos por partida do jogador A (16,56) é maior que a do jogador B (0,56).

Portanto, o jogador B foi mais regular que o jogador A.

Exemplo (Desvio-Padrão):

EXEMPLO

Determine o desvio-padrão dos tempos de espera em guichês dos clientes do Valley Bank. Esses tempos de espera (em minutos) são dados a seguir:

6,5 6,6 6,7 6,8 7,1 7,3 7,4 7,7 7,7 7,7

x _

x

x _2

) (xx

6,5 -0,65 0,4225 6,6 -0,55 0,3025 6,7 -0,45 0,2025 6,8 -0,35 0,1225 7,1 -0,05 0,0025 7,3 0,15 0,0225 7,4 0,25 0,0625 7,7 0,55 0,3025 7,7 0,55 0,3025 7,7 0,55 0,3025



x71,5



( _)22,0450

x x

15 , 7 10

5 , 71

_

  



n x

x ₀_,₄₈

1 10

0450 , 2

   s

Omitindo tomar a raiz quadrada no processo de cálculo do desvio-padrão, obtemos a variância.

1 )

(

2

_

2







n

x

s

Variância amostral

N

x

2





(





)



Variância populacional

Pode-se estabelecer uma fórmula para o cálculo de desvio-padrão quando os dados se apresentam resumidos em uma tabela de freqüências.

1 )

.(

2

_







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INTERPRETAÇÃO DO

DESVIO-PADRÃO

Teorema de Tcheibichev: a proporção ou fração de qualquer conjunto de dados a menos de K desvios-padrão a contar da média é sempre ao menos .

2

1 1

K



•Para K=2 , ao menos 3/4 (75%) de todos os valores estão no intervalo que vai de 2 desvios-padrão abaixo da média e a 2 desvios-padrão acima da média.

•Para K=3 ao menos 8/9 (89%) de todos os valores estão no intervalo que vai de 3 desvios-padrão abaixo da média e a 3 desvios-padrão acima da média.

EXEMPLO

Os QIs de um grupo de adultos apresentam distribuição com média 100 e desvio-padrão 15.

• Fazendo K=2 e utilizando o teorema de Tchebichev concluímos que aproximadamente 75% de todos os valores estarão no intervalo entre 100 –(2 .15) = 70 e 100 + (2 . 15) = 130.