FUNÇÃO A PARTIR DE UMA PERSPECTIVA HISTÓRICA

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Universidade Estadual do Centro-Oeste – UNICENTRO

Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação – PROPESP Diretoria de Pesquisa – DIRPES

Coordenação de Iniciação Científica

Aluna: Paula Andressa Adamski Franco Orientadora: Karolina Barone Ribeiro da Silva

FUNÇÃO A PARTIR DE UMA PERSPECTIVA HISTÓRICA

Julho de 2016

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APRESENTAÇÃO

Este material é resultante do projeto de pesquisa Função a partir de uma perspectiva histórica, executado de agosto de 2015 a julho de 2016 e vinculado ao Departamento de Matemática da UNICENTRO, campus IRATI.

O projeto teve por objetivos específicos proporcionar o resgate histórico de diversas visões do conceito de função, investigar se pesquisas realizadas nos últimos anos têm se preocupado com a abordagem de funções em sala de aula a partir de uma perspectiva histórica, verificar se livros didáticos utilizados na Educação Básica e em cursos de licenciatura em Matemática apresentam o assunto Função do ponto de vista histórico.

Os resultados da pesquisa aqui proposta estão relatados neste material⁴, que foi planejado como tendo público-alvo professores da Educação Básica, bem como alunos e docentes de cursos de licenciatura em Matemática.

Irati, 31 de julho de 2016.

4 A revisão da língua portuguesa é de inteira responsabilidade da aluna autora.

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SUMÁRIO

1 UMA HISTÓRIA DO CONCEITO DE FUNÇÃO...01

1.1 Antiguidade...02

1.2 Idade Média ... 03

1.3 Idade Moderna ...04

2 ANÁLISES DE PESQUISAS ... 07

2.1 Dissertações ...08

2.2 Teses ... 09

2.3 Artigos e periódicos ...09

2.4Trabalhos apresentados em Eventos...09

3 ANÁLISES DE LIVROS DIDÁTICOS ...11

3.1 Ensino Fundamental...11

3.2 Ensino Médio ...15

3.3 Ensino Superio...18

4 REFERÊNCIAS ... 18

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Inicialmente foram efetuadas seleção e análise de livros de história da matemáticapara elaborar uma história de diversas visões do conceito de função, procurando privilegiar fontes de fácil acesso para professores da Educação Básica, bem como para alunos e docentes de cursos de licenciatura em Matemática.Os livros de história da matemática utilizados nesta etapa foram: BOYER (1996), ALMEIDA (2011a), ALMEIDA (2011b),EVES (2004), CONTADOR (2006), GARBI (2006),CAJORI (2007), ROQUE (2012). Além disso, foram consultados SÁ, SOUZA e SILVA (2003), VAZQUEZ et al (2008) e GUIMARÃES (2010).

1 UMA HISTÓRIA DO CONCEITO DE FUNÇÃO

A história do conceito de função, nos faz acreditar que seu desenvolvimento se deu de forma lenta e gradativa para chegar no que é apresentadoatualmente nos livros didáticos. Podemos dividir em três etapas importantes para a sua compreensão:

Antiguidade (4000 a.C ao séc. V): Segundo Garbi (2006),nesse período a noção de função aparece como dependência de valores de forma bem intuitiva. Tratava-se de um processo de aprendizagem empírico de observações de padrões que se repetiam, e levavam os pioneiros a crer que se estava diante de verdades gerais.

Idade Média (séc. V ao séc. XV): está ligada às representações geométricas e mecânicas.

Idade Moderna (séc. XV ao séc. XVIII): passa a ser representada por expressões analíticas.

Após análise em livros de história da matemática, o conceito de função aparece normalmente de forma intuitiva na humanidade. Na Idade da Pedra(10000 a.C a 4000 a.C), os homens comercializavam entre si e havia a necessidade de fazer o controle de seus rebanhos, com isso, eles acabavam utilizando pedras, ossos, madeiras para realizar tal contagem (EVES, 2004), o homem associava cada animal a uma pedra, com isso estavam relacionando a ideia de dependência; essa noção de dependência funcional surgiu de fato da necessidade de relacionar dois objetos, ou seja, dois conjuntos com alguma regra específica.

Boyer (1996) define o processo de contagem com uma correspondência de objetos, ou seja, o homem tinha um rebanho de 20 carneiros, quando estavam recolhendo os animais em seus lugares, cada animal que entrava, uma pedra era colocada dentro de um saco, e o mesmo ocorria quando

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eram soltos, só que ao invés de colocar, os homens retiravam, e com isso poderiam perceber se haviam perdido ou não algum animal. Esse simples método de associar cada animal a uma pedra, já mostrava indícios de uma dependência, que estava associada a noção de função.

Figura 1: Objeto utilizado para contar.

Fonte: CONTADOR, 2006, p. 21

Na Antiguidade, duas civilizações se destacam por aparecerem com precursoras na utilização da ideia de dependência funcional, os babilônios e os gregos, que consideravam apenas casos particulares de dependência entre as quantidades, sem a tentativa de generalizar.

Roque (2012),

“a matemática babilônica se tratava de uma atividade que envolvia sobretudo o registro de quantidades e operações. Em seguida, ao mesmo tempo em que uma parcela da sociedade começou a se dedicar especificamente à matemática, as práticas que podem ser designadas por esse nome teriam passado a incluir também procedimentos para resolução de problemas numéricos, tratados como “algébricos” pela historiografia tradicional.Os babilônios realizavam uma espécie de cálculo de grandezas, ou seja, efetuavam procedimentos de cálculo sobre coisas que podem ser medidas (grandezas).“

Para os gregos o conceito de função surgiu ao descrever o movimento de forma qualitativa.

Por volta de 600 a.C., na Grécia, Contador (2006), o principal precursor foi Aristóteles (384-322 a.C.), pois para ele as mudanças físicas, principalmente do movimento do universo, deveriam ser estudadas pela matemática e física, e sua abordagem influenciou a evolução da ciência. Contador (2006), na geometria grega por sua vez, podemos encontrar problemas relacionados com a definição e existência de relações funcionais, e desde bem cedo, entre os pitagóricos, problemas desta natureza são encontrados, já que se apresentavam como interdependência qualitativa das diferentes quantidades

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físicas, podemos citar como exemplo, Contador, (2006, p. 111) o comprimento e a altura da nota emitida por cordas da mesma espécie, com este estudo foi possível revelar a interdependência entre número, espaço e a harmonia.

Garbi (2006), por volta de 1140 a.C., a Grécia foi invadida por dórios, e entrou na chamada Idade Negra, nesse período a matemática não se desenvolveu.

Boyer (1996), durante a Idade Média o conceito de função começou a ser visto como algo mais geral. A partir do século XIV, é que ocorre o ressurgimento da matemática como um objeto de análise dos cientistas. Durante a Idade Média, as discussões sobre o conceito de função baseavam-se em especulações e não possuíam nenhuma investigação empírica.

Roque (2012), durante este período, quem se destacou pelo estudo de funções foi o Bispo Nicole Oresme (1323-1382), que por volta de 1361, ao estudar o movimento uniforme disforme, ou seja, o movimento de aceleração constante, representou suas ideias em um gráfico, em que a velocidade varia com o tempo. Foi a primeira vez que um sistema de coordenadas foi utilizado para representar uma variável quantitativa.

“Ao longo de uma reta horizontal ele marcou pontos representando instantes de tempo (ou longitudes), e para cada instanteele traçou perpendicularmente à reta de longitudes um segmento de reta (latitude) cujo comprimento representava a velocidade. As extremidades desses segmentos, ele percebeu, jazem ao longo de uma reta; e se o movimento uniformemente acelerado parte do repouso, a totalidade dos segmentos velocidade (que chamamos ordenadas), preencherá um triângulo retângulo. Como a área desse triangulo retângulo representa a distância percorrida, Oresme forneceu assim uma verificação geométrica da regra de Merton⁵, pois a velocidade no ponto médio do intervalo de tempo é a metade da velocidade final. ” (BOYER, 1996, p.180).

5A regra de Merton, diz que um Movimento Uniformemente Variado, (que tem aceleração), pode ser tratado como um Movimento Uniforme (sem aceleração, portanto com velocidade constante), desde que a velocidade utilizada no MU seja a velocidade média do MUV.

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Figura 2: Representação gráfica da velocidade.

Fonte: BOYER, 1996, p.181

Na Idade Moderna, séculos XVI e XVII, as expressões analíticas das funções começaram a prevalecer e as funções analíticas⁶ logo se tornaram as mais usadas.

ROQUE (2012),

No século XVII, o trabalho sobre curvas, relacionava quantidades geométricas. A partir do século XVIII muitos matemáticos começaram a considerar que seu principal objeto era a função. Essa mudança foi descrita da seguinte forma por Jaques Hadamard: “ O ser matemático, em uma palavra, deixou de ser o número: passou a ser a lei de variação, a função. A matemática não apenas foi enriquecida por novos métodos; foi transformada em seu objeto. ”

Boyer (1996, p. 208),

Na segunda metade do século XVI, Viète (1540 – 1603), introduziu uma vogal para representar, em álgebra, uma quantidade suposta desconhecida, ou indeterminada, e uma consoante para representar uma grandeza ou números supostos conhecidos ou

6Funções analíticas são funções representáveis por séries de potências. Fonte:

https://www.math.tecnico.ulisboa.pt/~lmagal/ACCap5.pdf. Acesso em: 26 mar. 2016.

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dados. Pela primeira vez na álgebra uma distinção clara entre o importante conceito de parâmetro e a ideia de uma quantidade desconhecida.

Galileu Galilei (1564-1642) utilizou a matemática para modelar fenômenos do movimento dos corpos, ou seja, para analisar como fenômenos ocorriam com o intuito de descrever tais mudanças.

Tal estudo do movimento foi o que gerou o conceito de relação entre as variáveis e o de função, de acordo com (MACIEL apud MENDES apud SÁ, SOUZA e SILVA, 2003). Nessa época era popular ainda o uso da representação que Oresme havia criado. Galilei, com o objetivo de modelar tais fenômenos, acabou relacionando as relações entre quantidades com os fenômenos observáveis.

(MACIEL apud GUIMARÃES, 2010).

Newton (1642-1727) teve uma grande importância para o estudo das funções, sendo o primeiro matemático a mostrar que uma função poderia ser descrita como uma série de potência, sendo ele que introduziu o termo série de potência e o termo variável independente (EVES, 2004).

O conceito de função só foi introduzido na matemática após o aprimoramento das técnicas diferenciais efetuado por Leibniz e Newton. Leibniz introduz a palavra “função”, para designar a função de uma grandeza em relação a uma figura, ROQUE (2012, p. 288).

Leibniz não propôs um conceito de função, no entanto, ele já admitia que as quantidades devem estar em relação, ROQUE (2012, p. 290).

ROQUE (2012, p. 295),

“Uma quantidade varia em função da outra, ou seja, já temos aqui uma noção de variável dependente e variável independente, associadas atualmente à noção de função. A riqueza da notação proposta por Leibniz é justamente ter introduzido o operador “d”, separando-o, ao mesmo tempo, da quantidade x à qual ele se relaciona e indicando a ligação com essa quantidade. “

De acordo com Roque (2012), função é expressa em termos do que chamamos de “variável”.

A noção de variável só foi introduzida formalmente no século XIX.

Johann Bernoulli (1667-1748), no final do século XVII empregava o uso da palavra relacionando-a indiretamente a “ quantidades formadas a partir de quantidades indeterminadas e constantes. ” Já havia inserido o conceito de constante e variável, (ROQUE, 2012).

ROQUE (2012, p. 299), apresenta em 1718, a seguinte definição para função:

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“Chamamos função de uma grandeza variável uma quantidade composta, de um modo qualquer, desta grandeza variável e de constantes”. Bernoulli, utiliza a letra grega φ para representar a “característica” da função, ou seja, o nome da função, escrevendo o argumento sem os parênteses: φx.

De acordo com ROQUE (2012, p. 299), Leonard Euler (1707-1793), situa função como a noção central da matemática e propõe a seguinte definição: “Uma função de uma quantidade variável é uma expressão analítica composta de um modo qualquer dessa quantidade e de números, ou de quantidades constantes”, Roque (2012).

Segundo EVES (2004, p.472), implantou a notação para função, sendo f(x).

Euler já havia definido uma constante como uma quantidade definida que sempre possui um mesmo e único valor, e uma variável, uma quantidade indeterminada, que pode possui qualquer valor.

Euler então definiu função como:“Uma expressão analítica composta de um modo qualquer”

dessas quantidades constantes e variáveis. ROQUE (2012).

O conceito de função, se desenvolveu de forma linear até no que nos é apresentado atualmente nos livros da educação básica.

De acordo com CARAÇA (1951), define função da seguinte forma:

Sejam x e y duas variáveis representativas de conjuntos de números; diz-se que y é função de x e escreve y=f(x). Se entre as duas variáveis existe uma correspondência unívoca no sentido → . A x chama-se variável independente, a y variável dependente. (CARAÇA, 1951, p. 129).

Para chegar na definição que conhecemos hoje sobre função, foi necessário a criação de novos conceitos e contribuições de vários matemáticos. Com isso apresentamos um quadro comparativo das definições do conceito de função ao longo do seu desenvolvimento.

Quadro 1 - Conceito de função ao longo da história

Época Definição

Século XVII

Qualquer relação entre variáveis.

Uma quantidade obtida de outras quantidades mediante operações algébricas ou qualquer outra operação imaginável.

Qualquer quantidade que varia de um ponto a outro em

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uma curva.

Quantidades formadas usando expressões algébricas e transcendentais de variáveis e constantes.

Século XVIII

Quantidades que dependem de uma variável.

Função de algumas variáveis, como quantidade, que é composta, de alguma forma, de variáveis e constantes.

Qualquer expressão útil para calcular.

Século XIX

Correspondência entre as variáveis.

Correspondência entre um conjunto A e os números reais.

Correspondência entre os conjuntos.

Fonte: MACIEL apud VAZQUEZ, REY & BOUBÉE, 2008.

2 ANÁLISE DE PESQUISAS

Foram consultadas dissertações(RORATTO, 2009 e MACIEL, 2011), uma tese (ROSSINI, 2006) um artigo de periódico (ZUFFI, 2001)e trabalhos publicados nos anais do XIIEncontro Paranaense de Educação Matemática – EPREM (2014) (CHARAL, SOUZAeKATO, 2014;OLIVEIRA, FRIAS E OMODEI, 2014), doVIIIEncontro Nacional de Educação Matemática – ENEM (2004) (ZUFFI, 2004) edoIVSeminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática – SIPEM (2000 e 2009) (ZUFFI, 2000e LIMA, 2009),para investigar se o tema Função vinha sendotratado do ponto de vista histórico em estudos que se preocupam com o ensino e a aprendizagem do assunto, seja na Educação Básica ou em licenciaturas em Matemática.

Outras fontes, não mencionadas aqui, poderão ser consultadas e utilizadas no decorrer da pesquisa. Foram consultadas outros artigos que trabalham a forma como o ensino de funções vêm sendo trabalhado nas escolas e como os professores estão abordando a temática, os trabalhos de Edna Maria Zuffi contemplam essa temática fazendo uma ligação com a história de função em grande parte de seus trabalhos, alguns dos trabalhos publicados em eventos de educação matemática, como o EPREM e o ENEM, grande parte dos trabalhos publicados, favorecem o ensino de funções, sem contemplar a história, apenas a maneira que são abordados nas escolas por professores, como os

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alunos entendem e definem, e como alguns autores definem esse conceito.

2.1 DISSERTAÇÕES

Roratto (2009) busca fundamentação teórica com bases em outros matemáticos para explicar como se dá o conceito de função na sala de aula, que muitas vezes se baseia em macetes e metodologias não exploratórias que apenas usam de aplicações de fórmulas, gráficos e tabelas deixando de lado alguns significados essenciais do conceito com base nas definições e demonstrações. Roratto propõe em seu trabalho, utilizar de uma sequência didática como metodologia para explicar o desenvolvimento da história de funções, com o objetivo de se obter a aprendizagem através de uma pedagogia histórica, abordando no decorrer das atividades, para primeira situação com elementos de ligação, para as crianças associarem a ideia de relação e vai aprofundando o assunto com atividades investigativas, que exige do aluno mais interpretação do que apenas atividades de resolução de exercícios com o uso de fórmulas.

Roratto elenca vários processos para se trabalhar o conceito de funções por meio da história da matemática, não apenas usando a matemática através de contas, mas fazendo uma interdisciplinaridade entre vários conteúdos da grade curricular, pois a matemática não se resume apenas a resolver exercícios, mas fazer matemática, dar exercícios que exijam do aluno outras soluções, caminhos que cheguem a vários resultados. Percebe-se que se aliarmos a estratégia de ensino baseado nahistória da matemática junto com qualquer outro tema, temos uma aprendizagem significativa, em que o aluno conseguirá ligar as ideias e não apenas estudar para a prova e logo depois esquecer, mas sim levar o conteúdo para vida, pois irá perceber a importância e a ligação que tem o cotidiano do aluno.

O autor utilizou a história da matemática como metodologia de ensino, apresentando para os alunos uma sequência didática baseada na sequência histórica do desenvolvimento das funções, utilizando-se de uma análise qualitativa em seu estudo, que é possível apresentar mais resultados em avaliar a aprendizagem significativa dos alunos, através das priori e da posteriori, que permitiu ao autor analisar se ao utilizar a metodologia de história da matemática com o conteúdo de função possibilitou aos alunos entender e a eficácia do estudo desenvolvido.

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Maciel (2011)falaque o ensino de funções não se baseia apenas em associações matemáticas, que o estudo de funções vai mais além do que isso, permitindo ao aluno desenvolver uma linguagem algébrica, construir modelos descritivos de acordo com o que o nos dizemosParâmetros Curriculares Nacionais (PCNs+). Utilizou-se da metodologia da história da Matemática, como estratégia de ensino, buscando definições sobre o conceito de função por vários matemáticos, tentando ressaltar os pontos mais relevantes ao longo dos anos através do desenvolvimento sobre o conceito de função, baseado em uma pesquisa bibliográfica.

2.2 TESES

Rossini(2006) elenca o estudo de funções através da história da matemática e como os professores, alunos e universidade enxergam o tema função. A autora aborda em seu trabalhoo desenvolvimento da ideia de função no decorrer da história e bem como é definida nos dias atuais nos livros didáticos, busca definir uma sequência matemática de como são organizados o conceito e como são apresentados aos alunos nas escolas, através de uma investigação em livros didáticos e dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs). O principal objetivo dela éfazer com que os professores possam utilizar de outros métodos para o ensino de funções e com isso desenvolver a criatividade, lógica dos alunos.

2.3 ARTIGOS E PERIÓDICOS

Zuffi (2001) trata em seu trabalhoa forma como ocorreu o desenvolvimento da história de função, baseando na evolução do conceito e como alguns matemáticos definiram função, aborda a história do conceito desde a Antiguidade e até como alguns professores vem trabalhando o tema nas escolas.

2.4 TRABALHOS APRESENTADOS EM EVENTOS QUADRO 1 – Eventos analisados

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Sigla Nome do Evento Ano

EPREM Encontro Paranaense

de Educação Matemática

2014

ENEM Encontro Nacional de

Educação Matemática

2004

SIPEM Seminário Internacional

de Pesquisas em Educação Matemática

2000 e 2009

Para facilitar a análise, separamos os trabalhos de acordo com os eventos em que foram apresentados.

Trabalhos EPREM (2014)

Neste evento foram apresentados apenas dois trabalhosdeCharal, Souza e Kato (2014) e o outro apresentado por Oliveira, Frias e Omodei (2014) que tratam do tema função do ponto de vista como aprendizagem, porém não comenta nada sobre a história do conceito de função aprofundado, apenas superficial.

Charal, Souza e Kato (2014) não apresentam nenhum tópico sobre a história de função, apenas buscam investigar quais são os significados que os alunos atribuem ao conceito de função.

Oliveira, Frias e Omodei (2014) não apresentam nenhum comentário sobre a história de função, apenas abordam a aprendizagem do aluno através do ensino de função afim.

Trabalho ENEM (2004)

No ENEM destacamos uma sequência didática sobre funçõespara a formação de professores do ensino médio, onde Zuffi (2004) fala que a função passou por um processo longo e delicado, com a necessidade de contribuições de muitos matemáticos de renome, bem como as contribuições obtidas com o desenvolvimento das teorias de conjuntos e de construção de números reais.

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Trabalho SIPEM (2000)

Zuffi(2000) aborda a forma de como o conceito de função tem sido trabalhado pelos professores, aparece apenas a abordagem de como alguns autores definem função, mas nada relacionado ao conceito de função ao longo da história.

Trabalho SIPEM (2009)

Lima et al.(2009) tratamdotema função para futuros professores. Neste trabalho é abordado o conceito de Dirichlet (século XIX), sobre função, juntamente com a relação de dependência entre as variáveis.

3 ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS

A seguir serão analisados livros didáticos dos anos finais do ensino fundamental, médio e ensino superior para investigar se o tema Função tem sido tratado do ponto de vista histórico. Foram consultadas as seguintes obras:

ENSINO FUNDAMENTAL: BIANCHINI (2006), CENTURIÓN e JAKUBOVIC (2012), DANTE (2012), GIOVANNI JÚNIOR e CASTRUCCI (2009) e IMENES e LELLIS (2009).

ENSINO MÉDIO:DANTE (2010), IEZZI et al (2010), PAIVA (2013), SILVA e FILHO (2005), SMOLE e DINIZ (2005) e SMOLE e DINIZ (2013).

ENSINO SUPERIOR:DEMANA et al. (2009), FLEMMING e GONÇALVES (2006),GUIDORIZZI (2001), MUNEM e FOULIS (1982), LEITHOLD (1994) e STEWART (2005).

3.1 ENSINO FUNDAMENTAL

BIANCHINI (2006) apresenta, na página 169 do capítulo 7, um pouco sobre o conceito de função através da história. Aborda desde o ano 2000 a.C, quando os babilônios começaram a construir as tabelas sexagesimais.

Fala também sobre a contribuição de Oresme e ideias explícitas de função com René Descartes, junto com Leibniz, Bernoulli, Euler, Lagrange, Fourier, Dirichlet e para finalizar a teoria dos conjuntos criada por George Cantor (1845-1918) para ampliar o conceito de função e chegar na

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definição conhecida atualmente.

Figura 3 - BIANCHINI, 2006, p. 169

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Figura 4 - BIANCHINI, 2006, p. 170

DANTE (2013), assim como GIOVANNI JÚNIOR e CASTRUCI (2009),não apresentaminformações em relação ao conteúdo histórico de função. Na obra de DANTE (2013), o autor não aborda a construção histórica de função, apenas usa exemplos para dar ideia de função, como no caso: "Gabriela, na saída da escola, sua mãe sempre esperava, naquele dia, passaram em um supermercado para comprar caixas de suco. Enquanto o atendente registrava o valor, Gabriela ficou olhando na tela de computador os números”. O autor usou este exemplo para dar a ideia de relação entre a quantidade de garrafas de suco e o valor pago no final. O objetivo é fazer com que o aluno associe os conteúdos matemáticos com seu cotidiano. Mas em relação à história de função, não traz informações.

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Na coleção de GIOVANNI JÚNIOR e CASTRUCCI (2009), os autores trazem vários exemplos de situações que estão presentes as funções, como a conta de telefone e os minutos gastos, o

consumo de combustível etc., porém, em relação à perspectiva histórica da temática, não apresentou informação.

CENTURIÓN e JAKUBOVIC (2012) não apresentam uma relação com a temática histórica de função, apena um problema relacionado à história da matemática com o tema função, só que aplicado à física.

Figura 5 –CENTURIÓN e JAKUBOVIC, 2012, p.140

IMENES e LELLIS (2009), contém uma informação relacionada à física associando a ideia de

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função. Os autores citaram Galileu Galilei, que em 1602, fez uma descoberta fundamental para Física,

“em que a distância d percorrida por um corpo que cai livremente é em função do tempo t”(p.180).Cita René Descartes, idealizador do plano cartesiano, para explicar o conceito de plano cartesiano.Há outros exemplos de ideias de função, mas sobre sua história, não houve mais informação.

3.2 ENSINO MÉDIO

Os livros analisados nesta etapa são apenas do 1º ano de Ensino Médio.

SMOLE e DINIZ (2013) faz uma breve relação com física e matemática, em que Jacques Charles (1746 – 1823), observou que os gases se dilatavam quando aquecidos e se contraíam quando se resfriavam.

SMOLE e DINIZ (2005) apresentam informações sobre o conteúdo, abordando um pouco sobre a origem histórica de funções.

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Figura 6–SMOLE e DINIZ, 2005, p. 114.

SILVA e FILHO (2005) apresentam também a temática nas páginas 81 e 82, abordando a construção histórica de função.Dentre as obras consultadas, o livro de SILVA e FILHO (2005) foi o que apresentou um desenvolvimento completo de funções do ponto de vista histórico. Na obra, tomaram o cuidado de destacar desde a necessidade do homem com os mais variados propósitos, por exemplo, relacionar a quantidade de pedras que eram retiradas dos sacos com a quantidade de ovelhas que entravam no cercado, através dos tempos, um estudioso dos problemas naturais, bem como suas causas e efeitos. Essa busca pelos problemas naturais e seus efeitos, nos faz perceber que muitas informações a que temos acesso em nosso cotidiano apresentam a ideia de função, como os autores

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citam: “Uma coisa depende da outra”(p. 81), pois ao folharmos revistas, jornais, nos deparamos com gráficos que mostram a dependência de uma variável em relação a outra a partir daí que era preciso de um conceito que pudesse ser representado. Ao longo do tempo o conceito de funçãopassou por várias modificações.

Os mesmos autores comentam que, no século XVIII, Leibniz (1646 – 1716) considerou quantidades geométricas, relacionando-as com as curvas. Bernoulli chamoufunções de expressões analíticas de uma quantidade variável e Euler que definiu o termo função como toda variável que depende de outra.Dirichlet e Lagrange contribuíram com os conceitos de funções. Há ainda uma breve introdução histórica de plano cartesiano.

DANTE (2010)apresenta, na introdução do conteúdo de funções, alguns exemplos, como a observação de modelos presentes nos fenômenos físicos, como por exemplo, a trajetória de uma bola de canhão.

Atribuiu à matemática a qualidade de prever resultados por meio de leis que têm como características relacionar as variáveis envolvidas no fenômeno. O autor apenas cita a contribuição dos irmãos Bernoulli, na França, Huygens, na Holanda e de Leibniz na Alemanha, que se dedicaram aos estudos de funções, um independente do outro.

IEZZI et al (2010) apresenta a temática também, abordando o conceito histórico de função.

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Figura 7 - IEZZI et al, 2010, p. 53

Paiva (2010) não apresenta nenhum tópico relacionado ao contexto histórico de função.

3.3 ENSINO SUPERIOR

Nesta etapa foram analisados apenas livros de matemática do ensino superior, sendo consultados nas análises os de Cálculo I, FLEMMING e GONÇALVES (2006), GUIDORIZZI (2001), LEITHOLD (1994), MUNEM e FOULIS (1982), STEWART (2005); II, GUIDORIZZI (2001), LEITHOLD (1994), MUNEM e FOULIS (1982), STEWART (2007)e um livro de Pré-Cálculo, DEMANA et al. (2009).

FLEMMING e GONÇALVES (2006), DEMANA et al. (2009), GUIDORIZZI (2001),STEWART (2005), LEITHOLD (1994), MUNEM e FOULIS (1982), nenhuma das obras apresentou a temática relacionada ao conteúdo histórico de funções, apenas iniciam o conteúdo de Funções com as definições e partem para exercícios, não traz nenhuma informação adicional sobre o tema.

Para as obras de Cálculo II, GUIDORIZZI (2001), LEITHOLD(1994), MUNEM e FOULIS (1982) e STEWART (2007), nenhuma das obras apresentou o conteúdo de funções, através da história, os autores iniciam o conteúdo em exemplos numéricos, só com definições já estabelecidas.

4 REFERÊNCIAS

ALEXANDRE, P. P.; SANTOS, M. H. S. M. Principais dificuldades de alunos do 2º ano do ensino médio quanto à interpretação gráfica da função quadrática. In: SIMPÓSIO NACIONAL DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA, 1., 2009, Ponta Grossa.Anais do I Simpósio Nacional de Ciência e Tecnologia.

Ponta Grossa: UEPG, 2009. p. 1121-1137.

ALMEIDA, M. C. Origens da matemática: a pré-história da matemática: o neolítico e o alvorecer da história. Curitiba: Progressiva, 2011.

ALMEIDA, M. C. Origens da matemática: a pré-história da matemática: a matemática paleolítica.Curitiba: Progressiva, 2011.

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BIANCHINNI, Edwardo. Matemática/EdwardoBianchinni. 6ª edição – São Paulo: Editora Moderna, 2006.

BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.

CAJORI, F. Uma história da matemática. 1. ed. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007.

CARAÇA, J. Bento. Conceitos Fundamentais de Matemática. Lisboa. Portugal. Livraria Sá de Costa, 1951.

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