UM ESTUDO SOBRE A MODELAGEM DA ESTRUTURA A TERMO DAS TAXAS DE JUROS E A PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES SOBRE TÍTULOS DE RENDA FIXA.

UM ESTUDO SOBRE A MODELAGEM DA ESTRUTURA A TERMO DAS TAXAS DE JUROS E A PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES SOBRE TÍTULOS DE RENDA

FIXA.

Octavio Manuel Bessada Lion

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

Aprovada por:

______________________________________

Prof.Carlos Alberto Nunes Cosenza, D.Sc.

______________________________________

Prof. Antônio de Araújo Freitas, Ph.D.

______________________________________

Prof. César das Neves, Ph.D.

______________________________________

Prof. Elton Fernandes, Ph.D.

______________________________________

Prof. Gerardo José de Pontes Saraiva, D. Sc.

______________________________________

Dr. Carlos Hamilton Vasconcelos Araújo, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL ABRIL DE 2002

LION, OCTAVIO MANUEL BESSADA

Um Estudo sobre a Modelagem da Estrutura a Termo das Taxas de Juros e a Precificação de Opções sobre Títulos de Renda Fixa. [Rio de Janeiro] 2002

IX, 117 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, D.Sc., Engenharia de Produção, 2002)

Tese –Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE

1. Modelos para a Construção da Estrutura a Termo das Taxas de Juros Brasileira

2. Precificação de Opções sobre Títulos de Renda Fixa

Dedico esta tese à Carla Rodrigues de Farias, minha namorada e

guerreira, que foi quem mais sentiu o tempo que este trabalho me tomou ("É

muito mais fácil para os guerreiros se saírem bem sob condições de tensão

máxima do que serem impecáveis sob condições normais" Carlos Castañeda,

O Presente da Águia) e ao primo e grande amigo de infância Juca, que,

assim como eu, teve de suportar durante todo este período a ausência de

nossas memoráveis caminhadas por este Brasil afora.

Resumo da Tese apresentada à COPPE/RJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)

UM ESTUDO SOBRE A MODELAGEM DA ESTRUTURA A TERMO DA TAXA DE JUROS E A PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES SOBRE TÍTULOS DE RENDA

FIXA.

Octavio Manuel Bessada Lion

Abril/2002

Orientadores: Carlos Alberto Nunes Cosenza Antônio de Araújo Freitas Programa: Engenharia de Produção

Este trabalho apresenta diversos modelos para a construção da estrutura a termo das taxas de juros, tanto os de equilíbrio (como o de Vasicek - 1977) e os de não arbitragem (como o de Hull&White - 1990), como as interpolações não-paramétricas, nos fazendo decidir pelo spline cúbico como o mais apropriado ao mercado brasileiro. A seguir, apresentamos um modelo (Black,Derman&Toy - 1990) para precificar opções sobre títulos de renda fixa, com aplicação ao mercado doméstico e, finalmente, replicamos, para o Brasil, estudo feito por Litterman e Scheinkman sobre a decomposição da curva de juros americana em fatores ortogonais, segundo a técnica de Análise de Componentes Principais.

Abstract of Thesis present to COPPE/RJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Science (D. Sc.)

A STUDY ON MODELING THE THERM STRUCTURE OF INTEREST RATE AND PRICING OPTIONS ON FIXED-INCOME SECURITIES.

Octavio Manuel Bessada Lion

April/2002

Advisors: Carlos Alberto Nunes Cosenza Antônio de Araújo Freitas Department: Production Engineering

The purpose of this thesis is to present various models to build the term structure of interest rates. We describe the equilibrium (like Vasicek's model - 1977) and no arbitrage models (like Hull and White - 1990), as well as the non-parametric interpolations, which drove us to choose the cubic spline as the most appropriate for the Brazilian market. Further, we present a model (Black, Derman & Toy - 1990) to price options for fixed-income bonds and apply it to the domestic financial market. At last, we reproduce, for Brazil, the work developed by Litterman and Scheikman about the decomposition of the American yield curve in orthogonal factors, using Principal Components Analysis.

SUMÁRIO

ÍNDICE DE TABELAS ...ix

INTRODUÇÃO ...1

REVISÃO DA LITERATURA ...5

1. Características dos Títulos de Renda Fixa ...5

2. Taxas de Juros ...6

3. Estrutura a Termo das Taxas de Juros (ETTJ) ...8

4. Principais Modelos para a Construção da Curva de Juros...11

4.1 – Modelos de Equilíbrio ...12

4.2 – Modelos de Não-Arbitragem...17

4.3 – Modelos Não-Estacionários...20

5. Movimentos da ETTJ ...21

6. Duration, Convexidade e Imunização ...22

7. Análise de Componentes Principais - (ACP) ...30

CAPÍTULO I - MODELAGEM DA ESTRUTURA A TERMO DAS TAXAS DE JUROS (ETTJ) ...34

1. Introdução ...34

2. Métodos para a Modelagem da ETTJ ...36

2.1 Bootstrapping ...36

2.2 Método Flat Forward (estrutura de taxas a termo planas)...37

2.3 Método de Ajuste de funções ...41

2.4 Interpolação ...43

2.4.1 Interpolação polinomial...43

2.4.2 Interpolação por Cubic Spline ...44

3. Comparação entre os diversos métodos abordados...46

CAPÍTULO II - MERCADO DE OPÇÕES - MODELOS DE PRECIFICAÇÃO, CÁLCULO DA VOLATILIDADE E MEDIDAS DE SENSIBILIDADE ...49

1. O Conceito...49

2. Modelando as opções ...50

3. O Modelo de Black & Scholes - MB&S...51

3.2. Limitações do Modelo de Black&Scholes ...55

4. O Modelo Binomial ...56

5. O Cálculo da Volatilidade...61

5.1 Métodos para se estimar a volatilidade ...61

5.1.1 Volatilidade Histórica...61

5.1.2 Estimador de Média Móvel com Amortecimento Exponencial [22]...62

5.1.3 Volatilidade Implícita...63

5.1.4 Modelo Generalized Autoregressive Conditional Heterocedasticity - GARCH....64

6. Medidas de Sensibilidade de uma opção [3] ...65

6.1 O Coeficiente Delta (∆)...65

6.2 O Coeficiente Gama (Γ) ...66

6.3 O Coeficiente Vega (Λ )...66

CAPÍTULO III - UM MODELO DE UM FATOR DE TAXAS DE JUROS E SUA APLICAÇÃO ÀS OPÇÕES SOBRE TÍTULOS DE RENDA FIXA Modelo de Black, Derman & Toy ...68

1. Introdução ...68

2. O Modelo de Black, Derman&Toy ...69

3. A equação do modelo e a estratégia para sua operacionalidade ...71

4. Avaliando títulos de renda fixa...72

5. O método ...74

6. Obtendo as taxas spot a partir da ETTJ predefinida ...77

7.Calculando as taxas spot mais distantes ...82

8. Precificando opções sobre obrigações do Tesouro...87

9- Razão de hedge para opções...93

CAPÍTULO IV SIMULANDO OS PREÇOS DAS OPÇÕES SOBRE UM TÍTULO DE RENDA FIXA, DE ACORDO COM O MODELO PROPOSTO ...95

1. Cálculo do retorno da taXa de juros ...96

2. Cálculo da volatilidade da taxa de juros ...97

3. Taxas spot nos vértices semestrais, a partir da ETTJ dada (Tabela 3): ...100

4. Precificando as opções...102

CAPÍTULO V MODELO DE MULTI FATORES PARA A ETTJ - APLICAÇÃO DA ANÁLISE DE COMPONENTES

PRINCIPAIS - ACP...107

1 Aplicando a Técnica do ACP ...108

CAPÍTULO VI CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES ... 110

APÊNDICE I INSTRUMENTOS DERIVATIVOS ... 113

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 1 - DADOS DO MERCADO DO DIA 07/05/2001 ...42

Tabela 2 - ESTRUTURA A TERMO DO MERCADO HOJE ...78

Tabela 3 - CURVA DE JUROS DOMÉSTICA, EM 07/05/01...95

Tabela 4 - RETORNOS DAS "TAXAS DE JUROS DE 126 DIAS ÚTEIS" E O CÁLCULO DA VOLATILIDADE...99

INTRODUÇÃO

A escolha do assunto desta tese originou-se do conjunto de medidas anunciadas pelo Banco Central do Brasil e Secretaria do Tesouro Nacional, no dia 4 de novembro de 1999, na cartilha “Propostas para o Aprimoramento dos Mercados Primário e Secundário da Dívida Pública Mobiliária”1. Este documento resultou de ampla consulta realizada junto aos participantes de mercado.

O objetivo das medidas anunciadas pelos órgãos governamentais foi o de atualizar as práticas vigentes do mercado aberto, com a adaptação de novos instrumentos e procedimentos para recuperar e retomar o dinamismo do mercado da dívida pública mobiliária interna, assegurando maior liquidez e visibilidade às operações com títulos públicos federais no mercado secundário.

Dentre as 21 medidas anunciadas, a associação de três delas motivou o tema escolhido para este trabalho:

i) Lançamento de títulos longos com rentabilidade prefixada e simultânea oferta competitiva de opção de venda (Put);

ii) Divulgação diária pela Associação Nacional das Instituições de Mercado Aberto - ANDIMA, de preços de mercado dos títulos com rentabilidade prefixada e cambial em poder do público; e

iii) Incentivo para as bolsas de valores criarem mercado derivativo das opções de venda lançadas pelo Banco Central do Brasil.

Em relação ao item (ii) das medidas, a idéia fundamental da divulgação diária dos preços dos títulos com rentabilidade prefixada consiste em criar um “benchmark” (índice referencial) para os títulos públicos federais, a exemplo do que representa o

1 _{O Mercado Primário é o mecanismo de lançamento dos títulos públicos realizados pelo Banco Central}

através dos leilões. O Mercado Secundário é aonde são negociados tais títulos, após a emissão primária, tanto entre as instituições, como entre as instituições e seus clientes.

índice Bovespa - Ibovespa para o mercado bursátil. As curvas de rendimento dos títulos públicos federais tornar-se-ão amplamente conhecidas, após tratamento estatístico dos dados coletados a ser realizado pela Associação Nacional das Instituições de Mercado Aberto - ANDIMA.

O Banco Central do Brasil, por conta de suas atribuições, seria previamente consultado sobre o método a ser aplicado para a consecução do índice referencial, para fins de assegurar-lhe a credibilidade, e este é um dos assuntos aqui tratados, ou seja, procedimentos para a construção da estrutura a termo da taxa de juros (ETTJ).

Com o lançamento das opções de venda (put) sobre os títulos públicos federais, o Tesouro Nacional, ao criar um limitador de perda para os detentores desses títulos, estaria proporcionando um mecanismo para a diminuição do risco do mercado, reduzindo, conseqüentemente, o custo de financiamento da dívida pública mobiliária federal interna.

Trabalhar na modelagem da estrutura a termo das taxas de juros e na precificação de opções vinculadas a títulos com rentabilidade prefixada foi a motivação principal desta dissertação. E o tema traz um grande apelo: jamais este tipo de opção foi negociado aqui no Brasil, o que dá caráter de originalidade à tese.

Nossa pesquisa foi estruturada em seis capítulos, precedidos por uma revisão literária, aonde apresentamos as características dos títulos de renda fixa, conceituamos as diversas formas para taxa de juros, a curva de juros ou estrutura a termo das taxas de juros (ETTJ), alguns processos estocásticos fundamentais ao estudo, os principais modelos de equilíbrio e de não-arbitragem para a construção da ETTJ, seus principais movimentos, os conceitos de duration, convexidade e imunização e, finalmente, a técnica conhecida como Análise de Componentes Principais (ACP), antigo e eficiente procedimento de Análise Multivariada, trazido ao ambiente do mercado financeiro para ajudar a explicar os movimentos da curva de juros, decompondo-a em fatores ortogonais.

No Capítulo I apresentamos diversos métodos para a modelagem da ETTJ, decidindo o mais apropriado. Optamos pela abordagem não-paramétrica para o problema de interpolação de taxas de juros, em especial os splines, pois os modelos paramétricos, apresentados na Revisão da Literatura (Rendleman, Vasicek, Cox,Ingersoll e Ross, como exemplos de modelos de equilíbrio e Ho e Lee, Hull e White, como exemplos de modelos de não-arbitragem), são melhores aplicados ao mercado norte-americano, aonde é negociado um imenso número de títulos, ao contrário da realidade brasileira, quando devemos recorrer às taxas implícitas aos contratos derivativos (Apêndice I) para formatar a curva de juros.

No Capítulo II conceituamos opção e abordamos os dois principais modelos para sua precificação: o Modelo de Black & Scholes (MB&S) e o Modelo Binomial. Os diferentes métodos para o cálculo da volatilidade de um ativo também são abordados neste capítulo, bem como as principais medidas de sensibilidade relacionadas às opções.

No Capítulo III apresentamos o modelo de Black, Derman & Toy (B,D&T) [4], o modelo escolhido para a precificação de opções sobre títulos de renda fixa, com detalhes de sua estruturação. Trata-se de um modelo não-estacionário, aonde a velocidade de reversão à média, ou a volatilidade, ou ambos, são funções do tempo. Ele possibilita o cálculo do preço livre de arbitragem de contratos derivativos relacionados à estrutura a termo das taxas de juros. Sua hipótese básica é a de que a taxa de juro spot segue um processo estocástico conhecido como passeio aleatório lognormal (lognormal randomwalk).

Utiliza-se de uma árvore binomial recombinante para simular o processo estocástico proposto, árvore esta construída de forma a ser consistente com a curva de juros inicialmente observada no mercado, aspecto este fundamental para nossa escolha deste processo para a precificação das opções, pois pretendemos ser coerentes com a estimativa, a priori, da ETTJ.

No Capítulo IV, utilizamos este modelo do B,D&T para o lançamento simulado de opções sobre um título de renda fixa de dois anos de prazo. O exemplo numérico

para sua aplicação foi bastante consistente. Mostramos porque foi escolhido o método de EWMA (exponencial) para o cálculo da volatilidade do retorno das taxas de juros.

No Capítulo V replicamos, para o mercado brasileiro, estudo realizado por Litterman e Scheinkman [23], sobre modelos de Multi Fatores para explicar os movimentos da yield curve norte-americana, utilizando técnica conhecida como “Análise de Componentes Principais”, técnica esta de análise exploratória de dados visando a redução de dimensionalidade.

Finalmente, no Capítulo VI, apresentamos as conclusões e recomendações do estudo.

REVISÃO DA LITERATURA

1. Características dos Títulos de Renda Fixa

Um título de renda fixa é um passivo governamental, municipal ou privado, que gera um fluxo de pagamentos preestabelecido. São títulos representativos de contratações de empréstimos pelas empresas ou governos, os quais prometem pagar a seus investidores determinado fluxo futuro de rendimentos. Como esses pagamentos são fixos, os valores dos papéis variam com as mudanças nas taxas de juros, gerando um potencial para perdas.

Uma característica dos papéis de renda fixa é que seus preços não são diretamente comparáveis (como as ações, por exemplo, que possuem duração infinita) pois o passar do tempo muda sua natureza, uma vez que, dia a dia, ele se torna um papel de prazo menor, até o seu vencimento.

O valor de mercado de um título, V, é representado como o valor presente dos fluxos de caixa futuros:

(

)

C = o pagamento do principal ou do cupom, ou de ambos, no período t;

T = a quantidade de períodos até o último vencimento; e

y = a taxa de retorno do título até o vencimento (yield to maturity2_).

Para qualquer título, pode-se relatar seu preço de mercado ou, dado seu fluxo de caixa, sua taxa de retorno única. A principal questão é se essa taxa de retorno pode estar relacionada às condições vigentes de mercado.

2. Taxas de Juros

A taxa de juro a vista para n períodos de tempo (dias, meses, anos) é a taxa de um investimento para um período de tempo com início hoje e término em n unidades de tempo após, e iremos defini-la como taxa spot.

A taxa a vista para n períodos de tempo também é denominada de rendimento de títulos sem cupons em n períodos de tempo, pois, por definição, ela é o rendimento de um título que não paga cupons. O investimento considerado deve ser sem pagamentos intermediários, o que significa dizer que todo o juro e o principal são pagos ao investidor no final do período n.

A taxa a termo é a taxa entre duas datas no futuro. É a taxa efetiva de um determinado período futuro calculada hoje. As taxas de juros a termo estão implícitas nas taxas a vista para determinados períodos de tempo no futuro.

Exemplificando, imaginemos que a taxa spot (a vista) corrente para um (1) ano seja igual a 19,00%a.a. e que para dois (2) anos seja igual a 19,50% a.a., capitalizadas

2_{Yield to maturity é a taxa de juros que, ao descontar os fluxos de caixa, apura um valor presente igual ao preço} corrente de mercado do título.

continuamente (quando se usa o cálculo com logaritmo neperiano, calcula-se uma taxa que se convencionou chamar contínua)3.

Portanto, a taxa de 19%a.a.para um ano significa que, em troca de um investimento de R$100,00 hoje, o investidor receberá 100.e0,19 = R$120,92 em um ano; a taxa de 19,50%a.a. para dois anos significa que, em troca de um investimento de R$100,00 hoje, o investidor receberá 100.e2x0,1950 = R$147,70 em dois anos; e assim por diante.

Vamos, agora, obter a taxa a termo para o segundo ano, ou seja, a taxa de juro implícita nas taxas a vista para o período de tempo compreendido entre os finais do primeiro e do segundo ano. Esta taxa de juro para o ano 2, quando combinada com a taxa de juros corrente para o ano (19%a.a.), tem de totalizar 19,50% para os dois anos. Como as taxas estão capitalizadas continuamente, a conta sai por aritmética simples, ou seja, a taxa procurada somada com os 19% e divididos por 2 deve dar os 19,50%, ou seja, 20%a.a.

Confirmando o resultado, digamos que os R$100,00 sejam reinvestidos a uma taxa de 19%a.a. para o primeiro ano e de 20%a.a. para o segundo. Assim, o montante ao final do prazo (os dois anos), será igual a:

100.e0,19.e0,20 = R$147,70

3

O mercado pratica a taxa de juros em forma discreta, conforme usamos ao longo deste trabalho. Entretanto, para ilustrar a relação da taxa a termo com a taxa a vista, a utilização do conceito de taxa contínua é mais apropriado. A transformação da taxa discreta em contínua é simples. Considere as notações:

RD = taxa discreta (por exemplo, 19,00%a.a.); RC = taxa contínua.

Como elas, independentemente do regime (se discreto ou contínuo), quando aplicadas ao mesmo capital inicial Co, durante o mesmo intervalo de tempo t, devem levar ao mesmo montante Ct, temos: a)regime discreto : Ct = Co . (1 + RD)t

b)regime contínuo : Ct = Co. e RC.t

Igualando os dois montantes, e eliminando Co em ambos os membros, temos: (1 + RD)t = e RC.t ∴ RC = ln (1 + RD)

Aplicando os mesmos R$100,00 a uma taxa de 19,50%a.a. para dois anos, temos, ao final do prazo:

100. e2x 0,195 = R$147, 70, confirmando os resultados.

A taxa a termo para o terceiro ano é a taxa de juros implícita na taxa spot para dois anos e na taxa spot para três anos. As outras taxas a termo são calculadas do mesmo modo.

No mercado cambial, estas taxas são assim caracterizadas: taxa spot é a taxa "pronta", para entrega imediata da moeda estrangeira. Taxa "forward" é a taxa "a termo" para entrega futura. Deve ser diferenciada da taxa "futura", que é a taxa do mercado futuro (com características contratuais diferentes das do mercado a termo). A taxa spot é a taxa a vista, a negociada no momento; já a forward é uma "expectativa" da spot. em uma data futura.

3. Estrutura a Termo das Taxas de Juros (ETTJ)

A ETTJ, corretamente calculada, é de extrema importância para se avaliar adequadamente opções sobre títulos de renda fixa, uma das propostas deste trabalho. Além disto, ela é fundamental para se calcular o valor de mercado de uma carteira de títulos pouco líquidos, o seu risco, avaliar outros contratos derivativos, como futuros e swaps4, além de possibilitar a verificação de arbitragens entre títulos de renda fixa disponíveis.

Conceitualmente, a ETTJ representa a relação, em determinados instantes, entre o prazo para o vencimento e a taxa de retorno de títulos de renda fixa, oriundos de uma mesma classe de risco. Ela é também conhecida como yield curve ou curva de juros.

A curva de juros, portanto, é um gráfico que demonstra a estrutura de prazos das taxas de juros através de um arranjo de rendimentos de todas as obrigações de mesma qualidade (mesma classe de risco), cujos vencimentos variam desde o mais curto até o mais longo prazo possível. A curva resultante indica se as taxas de juros a curto prazo são superiores ou inferiores às aplicadas ao longo prazo.

Se as taxas de juros a curto prazo forem mais baixas, teremos uma curva de rentabilidade positiva (positive yield curve); se as taxas de juros a curto prazo forem mais altas, a curva de rentabilidade será negativa (ou invertida) [negative (or inverted) yield curve]. Se houver pouca diferença entre as taxas de curto prazo e as de longo prazo, teremos uma curva de rentabilidade fixa (flat yield curve).

Em geral, a curva de rentabilidade é positiva porque os investidores que desejam investir recursos por períodos mais longos são, geralmente, compensados com rendimentos mais altos em virtude do maior risco que estão assumindo.

Processos Estocásticos [15]

Qualquer variável cujo valor mude de maneira incerta com o tempo segue um processo estocástico, que pode ser classificado como em tempo discreto ou em tempo contínuo. Em um processo estocástico em tempo discreto, o valor da variável pode mudar apenas em determinados pontos fixos no tempo, enquanto que em um processo estocástico em tempo contínuo, as mudanças podem ocorrer a qualquer tempo.

Os processos estocásticos descrevem a evolução probabilística do valor de uma variável no tempo. Uma maneira de entender intuitivamente o processo estocástico de uma variável é simular o comportamento da variável, dividindo um intervalo de tempo

em vários passos curtos e testando, aleatoriamente, amostras de possíveis trajetórias para essa variável. A distribuição de probabilidade futura da variável poderá ser, então, calculada. Este procedimento é conhecido como Simulação de Monte Carlo.

i. O Processo de Markov

O processo de Markov é um processo estocástico em que apenas o valor atual da variável é relevante para prever o futuro. O histórico de uma variável e a forma como o presente emergiu do passado são irrelevantes.

ii. O Processo de Wiener

O processo de Wiener, dz, descreve a evolução de uma variável distribuída normalmente. O desvio do processo é zero e a taxa de variância é 1 por unidade de tempo. Isso significa que, se o valor da variável for x no instante zero, ela será normalmente distribuída no instante T, com média x e desvio padrão . T

O processo generalizado de Wiener descreve a evolução de uma variável normalmente distribuída, com desvio de a por unidade de tempo e taxa de variância de

b2 por unidade de tempo, sendo a e b constantes. Isso significa que, se o valor da

variável for x no instante zero, ela será normalmente distribuída no instante T, com média x + aT e desvio padrão b . T

Um aspecto chave é que o processo de Wiener, dz, subjacente ao processo estocástico da variável, é exatamente igual ao processo de Wiener subjacente ao processo estocástico da função da variável. Ambos estão sujeitos à mesma fonte de incerteza.

iii. O Processo e o Lema do Itô

No processo do Itô, as taxas de desvio e de variância de x podem ser uma função do próprio x e do tempo. A mudança em x num período de tempo muito curto é

distribuída normalmente, mas sua mudança em períodos de tempo mais longos poderá não ser normal.

O lema de Itô é uma forma de calcular o processo estocástico seguido por uma função de uma variável a partir do processo estocástico seguido pela própria variável. Este lema de Itô é muito importante na precificação de derivativos.

iv. Movimento Browniano Geométrico

Um processo estocástico de Markov plausível para o comportamento de preços de um ativo no tempo e muito utilizado na avaliação de derivativos é o conhecido movimento browniano geométrico. Esse processo demonstra que a taxa de retorno proporcional para o detentor do ativo, em qualquer pequeno intervalo de tempo, é normalmente distribuída e que os retornos, em quaisquer dois intervalos pequenos distintos, são independentes.

4. Principais Modelos para a Construção da Curva de Juros

Os modelos de taxas de juro dizem respeito à movimentação de uma curva inteira, em vez de uma única variável. Os estudos, tanto acadêmicos como empresariais, sobre a Estrutura a Termo da Taxa de Juros (ETTJ), divide-se em duas grandes áreas de pesquisas, com poucos pontos de interseção.

A primeira delas relaciona-se aos assim chamados modelos de equilíbrio e de não-arbitragem da ETTJ, cuja principal característica é a avaliação de contratos derivativos diretamente dependentes das taxas de juros. Como exemplos de trabalhos nesta área temos o de Vasicek (1977), Dothan (1978), Cox, Ingersoll e Ross (1985) e Heath, Jarrow e Morton (1992).

A segunda relaciona-se ao problema da estimação da ETTJ numa determinada data, aonde se destacam os trabalhos de McCulloch (1971 e 1975), Shaefer (1981), Vasicek e Fong (1982), Adams e Van Deventer (1994) e Duarte, Almeida e Fernandes (1998).

Vieira Neto (2000), em sua tese de doutorado [35], aborda estas duas correntes de forma conjunta, utilizando “idéias oriundas da literatura de estimação da ETTJ para desenvolver um modelo original que se enquadra na literatura dos modelos de equilíbrio e não arbitragem sobre a ETTJ”.

A principal distinção entre os modelos de equilíbrio e os de não-arbitragem é que a estrutura a termo inicial das taxas de juro é um resultado do modelo de equilíbrio e um dado do modelo de não-arbitragem.

4.1 – Modelos de Equilíbrio [15]

Os modelos de equilíbrio geralmente começam com pressupostos acerca de variáveis econômicas, derivando um processo para a taxa livre de risco de curto prazo, r. Em seguida, eles exploram a implicação do processo para preços de títulos e de opções. A taxa de curto prazo, r, no instante t, é a taxa que se aplica a um período de tempo infinitesimalmente curto no instante t, sendo, às vezes, denominada de taxa instantânea de curto prazo.

O que importa não é o processo de r no mundo real, pois os preços de títulos, de opções e de outros derivativos, dependem, unicamente, do processo seguido por r em um mundo neutro ao risco.

MODELO DE UM FATOR

O modelo de um fator implica que todas as taxas de juros se movem na mesma direção, durante qualquer intervalo pequeno de tempo, mas não na mesma proporção. Isso não quer dizer, como se poderia supor, que haja um padrão razoavelmente significativo de estruturas sob o modelo, ou que a curva de juros possua sempre o mesmo formato.

Em um modelo de um fator o processo para r envolve apenas uma fonte de incerteza, mas não é tão restritivo quanto possa parecer ser. Em geral, a taxa spot é descrita, em um mundo neutro ao risco, pelo processo de Itô, da forma:

dr = m(r)dt + s(r)dz (2)

Assume-se que o desvio instantâneo, m, e que o desvio padrão instantâneo, s, sejam funções de r, mas independentes do tempo.

OS MODELOS DE EQUILÍBRIO DE UM FATOR MAIS CONHECIDOS SÃO: i) O Modelo de Rendleman e Bartter [27]

No modelo de Rendleman e Bartter (1980), o processo neutro ao risco para r é:

dr = µ.r.dr + σ r dz (3)

o que significa dizer que r segue o movimento browniano geométrico. O processo para r é do mesmo tipo do pressuposto para o preço de uma ação, ou seja, com taxa de crescimento esperada constante para µ e volatilidade5 _{constante para σ.}

5_{Conceitualmente, a volatilidade de um ativo é: “o desvio padrão do logaritmo neperiano da taxa de} retorno diária dos preços deste ativo". Ou seja, trata-se de uma quantificação da medida de risco. No

• A TENDÊNCIA DE RETORNO À MÉDIA

A suposição de Rendleman e Bartter de que a taxa de juro de curto prazo se comporte como o preço de uma ação não é ideal. Uma diferença importante entre taxas de juro e preços de ações é que as taxas de juro parecem retroceder para certo nível médio de longo prazo no decorrer do tempo. Este fenômeno, conhecido como tendência de retorno à média, não é captado pelo modelo de Rendleman e Bartter.

Quando o valor de r é alto, a tendência de retorno à média faz r possuir desvio negativo; quando é baixo, tal tendência faz r possuir desvio positivo. A tendência de retorno à média está ilustrada na Figura 1:

Figura 1

Há fortes argumentos econômicos que favorecem o modelo com retorno à média. Quando as taxas são altas, a economia tende a desacelerar, havendo menos demanda por recursos por parte de tomadores de empréstimo. Como resultado, as taxas caem. Quando as taxas são baixas, tende a haver uma forte demanda por recursos por parte de tomadores de empréstimo. Em conseqüência, as taxas sobem.

ii) O Modelo de Vasicek [33]

No modelo de Vasicek (1977), o processo neutro ao risco para r é:

dr = a (b-r).dt + σdz (4)

onde a, b e σ são constantes. A taxa spot é direcionada para um nível b, à taxa a. Um termo estocástico σdz, distribuído normalmente, está sobreposto a essa tendência.

As principais características deste modelo são: i) ele incorpora a tendência de retorno à média; ii) toda a estrutura a termo das taxas de juro pode ser determinada como uma função de r(t), quando a, b e σ já tiverem sido escolhidos; iii) o formato da estrutura pode ser ascendente, descendente ou com leve "protuberância" (veja a Figura 2); iv) o valor de r(t) determina o nível da estrutura a termo das taxas de juro no instante t.

iii) O Modelo de Cox, Ingersolli e Ross [8]

No modelo de Vasicek, a taxa de juro de curto prazo, r, em um instante futuro, é distribuída normalmente e pode ser negativa. Cox, Ingersolli e Ross (1985) propuseram um modelo alternativo, em que as taxas são sempre não-negativas. O processo neutro ao risco para r em seu modelo é:

dr = a (b-r).dt + σ r dz (5)

Ele possui o mesmo desvio de tendência de retorno à media do modelo de Vasicek, mas o termo estocástico possui desvio padrão proporcional a r, o que

significa dizer que, conforme aumenta a taxa de juro de curto prazo, o mesmo ocorre com seu desvio padrão.

Como no caso de Vasicek, são possíveis curvas de rendimento ascendentes, descendentes e com leve “protuberância”. A taxa de longo prazo, R(t, T) é linearmente dependente de r(t). Isso significa dizer que o valor de r(t) determina o nível o nível da estrutura a termo das taxas de juro no instante t. O formato geral da estrutura nesse instante é independente de r(t), mas dependente de t.

MODELOS DE DOIS FATORES

Dentre os vários pesquisadores que têm investigado as propriedades dos modelos de equilíbrio de dois fatores, destacam-se os modelos de Brennan e Schwartz [5 e 6] e o de Longstaff e Schwartz [24].

Brennan e Schwartz [1979 e 1982] desenvolveram um modelo em que o processo para a taxa de curto prazo reverte para uma de longo prazo, que, por sua vez, segue um processo estocástico. A taxa de longo prazo é escolhida como o rendimento de um título perpétuo que paga US$1 por ano. Como o retorno desse título é o recíproco

de seu preço, o lema de Itô pode ser usado para calcular o processo seguido pelo preço do título.

O fato de o título ser negociado simplifica a análise, já que a taxa de crescimento de seu preço, em um mundo neutro ao risco, deve ser a taxa de juro livre de risco menos seu rendimento.

Já no outro modelo de dois fatores proposto por Longstaff e Schwartz [1992], eles iniciam com um modelo de equilíbrio geral para a economia e derivam um modelo para a estrutura a termo das taxas de juro em que há volatilidade estocástica. De acordo com Hull [15], o modelo, em termos analíticos, é “bastante tratável”.

4.2 – Modelos de Não-Arbitragem [15]

A desvantagem dos modelos de equilíbrio é que eles não se adeqüam, automaticamente, a estrutura a termo corrente das taxas de juro. Os parâmetros selecionados podem ser elaborados para proporcionar uma boa aproximação para as inúmeras estruturas encontradas na prática. Contudo a adequação não é precisa, havendo, em alguns casos, erros significativos, o que torna tal modelagem insatisfatória6_.

São conhecidos como modelos de não-arbitragem a classe de modelos que se baseiam nas taxas a termo para precificação de ativos. Os mais conhecidos modelos markovianos7 _{de não-arbitragem para a taxa de curto prazo são:}

6_{Não se pode confiar no preço de uma opção de título quando o modelo não precifica corretamente o}

título objeto. Segundo Hull [15], “um erro de 1% no preço do título objeto pode levar a um erro de 25% no preço da opção”.

7 _{Há uma diferença importante entre modelar a taxa r e modelar os preços do título ou as taxas a termo}

instantâneas. Quando modelamos preços de título ou taxas a termo instantâneas, os valores iniciais das variáveis garantem consistência com a estrutura a termo inicial das taxas de juro, mas o modelo, em geral, é não-markoviano. Quando se modela r diretamente, é fácil assegurar que o modelo seja markoviano, mas

i) Modelo de Ho e Lee [14]

Ho e Lee (1986) propuseram o primeiro modelo de não-arbitragem para a

estrutura a termo das taxas de juros. O modelo foi apresentado na forma de uma árvore binomial de preços de títulos. Haviam dois parâmetros: o desvio padrão da taxa de curto prazo e o risco de preço de mercado da taxa de curto prazo.

Desde então, foi demonstrado que o limite em tempo contínuo do modelo é:

dr = θ(t) dt + σ dz (6)

onde σ, que é o desvio padrão instantâneo da taxa de curto prazo, é constante e θ(t) é uma função do tempo escolhida para garantir que o modelo se encaixe na estrutura a termo inicial das taxas de juro.

A variável θ(t) define a direção média para a qual r se move no instante t, que é independente do nível de r. A direção média para a qual a taxa de curto prazo estará se movendo no futuro é aproximadamente igual à inclinação8 _{da curva a termo instantânea.}

A vantagem do modelo de Ho e Lee é ser um modelo markoviano analiticamente tratável. Ele é simples de aplicar e se encaixa com precisão na estrutura corrente das taxas de juro no tempo.

Uma desvantagem é que ele fornece ao usuário bem pouca flexibilidade na escolha da estrutura da volatilidade. Todas as taxas a vista e a termo possuem o mesmo desvio padrão instantâneo, σ. Outra desvantagem relacionada é não possuir tendência de retorno à média. Independentemente do quão altas ou baixas as taxas de juro estiverem em determinado instante, a direção média para a qual elas se moverão durante o próximo período curto de tempo será sempre a mesma.

o valor inicial da variável garante apenas consistência com a parte final da estrutura a termo das taxas de juro.

ii) Modelo de Hull e White [16]

Em trabalho publicado em 1990, Hull e White exploraram as extensões do modelo de Vasicek [32], que fornecem uma adequação precisa à estrutura a termo inicial das taxas de juro. A versão do modelo estendido de Vasicek que sugerem é:

dr = [θ(t) – ar]dt + σ dz (7) ou dz dt r a t a dr θ +σ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ = ( ) (8)

onde a e σ são constantes.

O modelo de Hull e White pode ser caracterizado como o modelo de Ho e Lee com tendência de retorno à média à taxa a. Alternativamente, ele pode ser caracterizado como o modelo de Vasicek com nível de reversão dependente do tempo. No instante t, a taxa de curto prazo reverte a θ(t)/a à taxa a. Portanto, o modelo de Ho e Lee é um caso particular do modelo de Hull e White, com a = o.

O modelo é tão “tratável analiticamente” quanto o de Ho e Lee. A função θ(t), como no modelo de Ho e Lee, pode ser calculada a partir da estrutura a termo inicial das taxas de juro. Assim, é um modelo mais amplo e genérico do que o de Ho e Lee, uma evolução do mesmo.

iii) Árvores de Taxas de Juro

Uma árvore de taxas de juro é uma representação em tempo discreto do processo estocástico para a taxa de curto prazo, da mesma forma que uma árvore de preços de ações é uma representação em tempo discreto do processo seguido pelo preço da ação.

Se o intervalo de tempo numa árvore for ∆t, as taxas nela colocadas serão as taxas continuamente capitalizadas do período ∆t. Quando uma árvore é construída, a suposição usual é que a taxa do período ∆t siga o mesmo processo estocástico da taxa instantânea no modelo em tempo contínuo correspondente.

A principal diferença entre árvores de taxas de juro e de preços de ações está na forma de realizar o desconto. Numa árvore de preços de ações, a taxa de desconto costuma ser a mesma em cada nó. Numa árvore de taxa de juro, a taxa de desconto varia de nó a nó.

4.3 – Modelos Não-Estacionários

Os modelos discutidos até agora envolvem apenas uma função do tempo, θ(t). Alguns pesquisadores sugeriram estender os modelos, tornando a ou σ (ou ambos) uma função do tempo. Por exemplo, em seu trabalho de 1990, Hull e White [16] produziram resultados para o modelo da equação (7), quando a e σ são funções do tempo.

No mesmo ano, Black, Derman e Toy [4] sugeriram um modelo para a construção de uma árvore binomial, cuja equação de difusão tem a forma:

( )

_{( )}

( )

( )

( )

que é obtida aplicando-se o lema de Itô no logaritmo da função de t e z(t), que descreve a evolução das taxas de juro:

( )

( )

( ) ( )

onde µ (t) é a média da taxa de crescimento da taxa de juros spot entre dois vértices, σ (t) é a volatilidade desta taxa de crescimento e z(t) é o processo de Wiener padrão.

5. Movimentos da ETTJ [35]

Seja Aj(τ) um polinômio de grau j em τ. A ETTJ, na data t, pode ser escrita da

seguinte forma:

( )

( ) ( ) ( )

(

∑

)

onde os termos a0(t),....,an(t) são os coeficientes da combinação linear e ε (t, τ) denota o

erro de aproximação do ajuste polinomial em relação a R(t, τ).

Vieira Neto [35] demonstra ser possível perceber que o vetor de coeficientes a = [a0, a1, ..., an] possui uma interpretação econômica importante: a0 representa o nível da

ETTJ, a1 a inclinação, a2 a curvatura, a3 a dupla curvatura, e assim por diante. E

considera que estes são termos intuitivos para todos aqueles que, de alguma forma, lidam com o mercado de renda fixa, conforme reproduzimos, a seguir, texto de sua tese de doutorado:

“... Tanto isso é verdade que, entre traders, é comum ouvir frases do tipo: “Elevações do nível da estrutura a termo tendem a ser acompanhadas por pequenas elevações na inclinação”. E entre

risk-managers : “É importante que os cenários de taxa de juros utilizados

nos modelos de sress-testing incluam tanto deslocamentos paralelos (nível), como também não paralelos (inclinação, curvatura,...) da curva de juros”.

6. Duration, Convexidade e Imunização [31].

Um instrumento muito útil na avaliação de títulos de renda fixa é a medida de comprimento de tempo conhecida como duration. Além da simples avaliação da maturidade de um titulo, ou de uma carteira de títulos, essa medida permite avaliar a sensibilidade do valor de um título (ou carteira de títulos) a variações na taxa de juros.

O efeito de segunda ordem da taxa de juros sobre o valor do titulo (ou carteira) é conhecido como convexidade e também costuma ser discutido nesse contrato. Uma extensão natural do modelo de duration é a tentativa de ajustar fluxos de caixa variados, de modo que eles se auto anulem. Esse procedimento é conhecido como imunização.

6.1 Duration

A medida de comprimento de tempo de um titulo (ou títulos), conhecida como duração, foi proposta pela primeira vez por Frederick R. Macaulay, em 1938. Macaulay mostrou que o prazo do título até seu vencimento era uma medida inadequada do elemento tempo contido nele, já que poderia estar omitindo informações fundamentais sobre algum pagamento anterior ao vencimento do título. Para contornar esse problema, a medida proposta foi a seguinte:

∑

∑

D = duração do titulo (ou carteira de títulos) com o fluxo de pagamento (Ft); Ft = pagamento futuro na data t;

i = taxa de juro efetiva diária (dia útil); n = número total de dias:

t = prazo a decorrer em dias úteis.

A relação (12) pode ser transformada na relação (13) abaixo, onde fica evidente que se trata de uma ponderação do prazo de cada pagamento pelo seu valor atual. n w w w n V i F V i F V i F D _n n n . ... 2 . 1 . . ) 1 ( ... 2 . ) 1 ( 1 . ) 1 ( 2 1 2 2 1 + + + = + + + + + + = (13) onde:

∑

1 (1 ) _{é o valor atual do titulo (ou carteira);}

V i F w t t t ) 1 ( + =

é o fator de ponderação na data t

6.1.1 Duration como medida de sensibilidade de um título à taxa de juros

A duração está diretamente associada à variação do preço de um título em relação à taxa de juros. Diferenciando-se a função valor atual da carteira (V) em relação à taxa de juros, descobrimos a relação entre duração, valor atual e taxa de juros:

(

) ( )

∑

(

)

∑

(

)

(

)

( )

( )

Conclui-se daí que a variação percentual no valor da carteira é proporcional a duration vezes a variação percentual da taxa de juros9. Se o investidor espera alta na taxa de juros, sua perda será menor quanto menor for a duração da carteira e vice-versa.

A duration permite avaliar, aproximadamente, o impacto de variações da taxa de juros sobre o valor da carteira, com base apenas em seu valor. Essa propriedade é muito útil, à medida que facilita a avaliação da exposição ao risco da taxa de juros.

DURAÇÃO MODIFICADA

A razão entre a Duration de Macaulay e os juros em forma unitária, (1 + i), é conhecida na literatura como Duration Modificada. Ou seja:

i DMac DMod + = 1

A duration modificada, portanto, é igual ao negativo do produto entre a derivada do preço em relação à taxa de juros e o inverso do preço do título. Isto é,

DMod V

di

dV _× 1 ₌₋

.

Em outras palavras, a duration modificada representa a mudança percentual instantânea do preço do título em relação à taxa de juros. Assim, quanto maior a duration, maior a sensibilidade do título às variações na taxa de juros, ou seja, aumenta o risco do título.

A duration está diretamente associada à variação do preço de um título em relação à taxa de juros. Em títulos que não pagam cupons a duration é igual a sua maturidade, pois como todo o pagamento será feito no vencimento, o prazo médio será igual à maturidade. Além disto, para títulos com a mesma maturidade e o mesmo valor nominal, quanto menor o cupom, maior a duration.

9 _{Ou, em outras palavras, para pequenas variações de taxas de juros, os preços das obrigações} alteram-se de maneira inversamente proporcional, de acordo com a magnitude de D. Quanto maior a taxa de

6.1.2 Significado econômico de duration

Rearranjando a expressão (14), temos:

( )

D

i

di

V

dV

−

=

+

1

A interpretação econômica da equação (15) é que D, duração, é a elasticidade em relação à taxa de juros, ou sensibilidade do preço do título a pequenas variações da taxa de juros.

Isto quer dizer que D descreve a queda percentual do preço do título, dV/V, para qualquer aumento da taxa de retorno exigida, di/ (1+i), em termos de valor presente.

6.2. Convexidade

Embora a duração seja útil para prever o efeito de mudanças nas taxas de juros sobre o valor de operações de renda fixa, ela deve ser considerada apenas uma aproximação de primeira ordem, válida para pequenas variações nas taxas. Pode-se obter maior precisão através da convexidade.

A variação da taxa de juro afeta o valor de uma carteira, mas o efeito sobre esse valor não é linear. Quanto maior a taxa de juros, menor o valor da carteira, e essa queda no valor forma uma curva convexa. O grau de convexidade pode ser maior ou menor, dependendo de:

2. diferença das taxas de juros em função dos diferentes prazos.

O valor da carteira pode ser escrito como função da taxa de juros, conforme apresentado no gráfico representado na Figura 3.

Figura 3

Convexidade é o efeito de segunda ordem que descreve como a duration sofre alteração conforme muda a taxa de juros. A medida de convexidade pode ser obtida diferenciando-se a equação do valor presente V duas vezes em relação à taxa de juros, e dividindo-se pelo preço. Ou seja:

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

+

+

+

=

∑

∑

i

F

i

t

t

x

F

i

i

C

1

1

.

1

1

A convexidade é medida em unidades de tempo ao quadrado.

No caso de taxas de juros diárias diferentes, a relação acima deve ser escrita como:

( )

_∑

₍

(

₎

)

onde it é a taxa de juros do dia t.

Se a taxa de juro diária é sempre a mesma, pode-se trabalhar com a seguinte simplificação:

( )

( )

∑

(

₎

O sentido desse número está em comparar a convexidade de duas carteiras diferentes que tenham mesmo valor atual e mesma duração, pois, nesse caso, o conjunto com maior convexidade vale mais, já que, para qualquer variação da taxa de juro, a carteira com maior convexidade terá valor superior ao da carteira com menor convexidade.

Outro efeito interessante que pode ser explicado pela convexidade é a assimetria na variação do valor da carteira em relação a variações na taxa de juros. Se a taxa cai X%, o valor da carteira aumenta, por exemplo, Y%; se ela sobe X%, o valor da carteira não cai, necessariamente, os mesmos Y%. Dependerá da convexidade da

mesma. Assim, algumas vezes, se ganha mais na queda da taxa de juros do que se perde na alta.

6.3. Imunização

Sem dúvida, essa é a aplicação mais importante do modelo de duration. Imunizar significa tornar o valor final de uma carteira de títulos insensível a variações da taxa de juros. Consiste em adicionar uma carteira de títulos à carteira corrente, de forma a eliminar o efeito de variações da taxa de juros sobre o valor da carteira original.

No caso de ajuste de ativos e passivos de bancos, esse conceito é útil para compatibilizar prazos e avaliar o risco de variação da taxa de juros. O ideal, nesse último caso, é que ativo e passivo tenham mesma duration e convexidade, pois, sendo assim, qualquer que seja a taxa de juros o valor do ativo será igual ao do passivo, não gerando lucro ou prejuízo extraordinário quando a taxa de juros variar.

Se as taxas de juros são diariamente iguais, ou seja, a estrutura a termo é flat, e ocorrem apenas deslocamentos paralelos nessa estrutura, então a imunização é perfeita se as durations forem iguais.

Ocorre que a estrutura a termo das taxas de juro não é necessariamente flat, e deslocamentos nessa estrutura, provavelmente, irão destruir a imunização, devendo-se reimunizar a carteira com a adição/subtração de títulos a cada novo dia.

A imunização também pode ser feita com contratos futuros de taxa de juros, termo de DI ou swap, de modo que os procedimentos operacionais fiquem mais simples.

7. Análise de Componentes Principais - (ACP)

A Análise de Componentes Principais (ACP) é uma transformação linear ortogonal de um espaço p-dimensional para um espaço m-dimensional, m ≤ p. As coordenadas dos dados no novo espaço são não correlacionadas e a maior quantidade de variância dos dados originais é preservada usando-se somente algumas poucas coordenadas. O objetivo da ACP pode ser resumindo no seguinte:

• - dadas p variáveis X1, X2,...Xp, encontrar combinações lineares dessas para

produzir índices Z1, Z2,...,Zp que sejam não correlacionados. Os Zi

componentes principais e os índices Z são ordenados de forma que: var (Z1) ≥ var (Z2) ≥ ... ≥ var (Zp)

e var (Zi) representa a variância de Zi.

A Redução de Dimensionalidade se resume no seguinte: se a maioria dos índices apresentarem variâncias tão pequenas a ponto de serem ignoradas, a variação no conjunto de dados pode ser apropriadamente descrita pelos poucos índices Z que retêm as maiores variâncias.

O procedimento para uma Análise de Componentes Principais (ACP) consiste em encontrar os autovalores e os correspondentes autovetores da matriz de covariância do conjunto de dados considerado, assumindo que os autovalores estão ordenados por valores decrescentes, λ1, λ2 ... λp,

O Zi corresponde a i-ésima componente principal, ou seja:

• Zi = ai1X1 + ai2X2 + ... + aipXp

E, em particular, var (Zi) = λi e ai1, ai2, ... , aip são os elementos do autovetor

Os principais objetivos podem, então, ser agrupados em:

• Determinar a dimensionalidade de um conjunto de dados; • Redução de dimensões;

• Seleção de fatores: escolha de variáveis mais úteis;

• Produzir um pequeno número de combinações lineares (componentes principais) de um conjunto de variáveis que retêm o máximo possível de informação (variância) das variáveis originais;

• Descrever ou ordenar dados através do agrupamento de variáveis que são correlacionadas;

• Descrever relações entre variáveis;

• Visualização de dados multidimensionais; pode, ainda, ser utilizada para identificar outliers multivariados, multicolinearidade e normalidade multivariada nos dados;

Os componentes são extraídos na ordem do mais explicativo para o menos explicativo. Teoricamente, o número de componentes é sempre igual ao número de variáveis. Entretanto, alguns poucos componentes podem ser responsáveis por grande parte da explicação total.

A análise de componentes principais (ACP), é, talvez, a mais velha e melhor técnica conhecida na análise multivariada. Foi primeiramente introduzida por Pearson (1901), que usou ACP num contexto biológico para aplicar análise de regressão linear de uma nova forma. Posteriormente, foi desenvolvida por Hotelling (1933) em um trabalho de psicometria. Em 1947 a técnica apareceu novamente, e quase independentemente, no contexto de teoria probabilística (Karhunen) e foi generalizada, em seguida, por Loève (1963). Todos os métodos multivariados implementados utilizam tabelas que relacionam objetos com variáveis e parâmetros.

7.1 Definição das Componentes Principais [18]

Seja x um vetor aleatório com valor médio 0 e matriz de covariâncias C, a transformação em componentes principais é dada por:

em que vi é o vetor próprio correspondente ao valor próprio i, (í-ésimo por ordem

crescente) da matriz de covariâncias C. u1 é a primeira componente principal, um a

última componente principal.

7.2 Propriedades das Componentes Principais [18]

f) A soma dos primeiros maiores k valores próprios dividida pela soma de todos os valores próprios, representa a proporção da variação total explicada pelas primeiras k componentes.

g) As componentes principais não são invariantes relativamente a transformações de escala.Quando for conveniente padronizar as variáveis utiliza-se a matriz de

correlação.

h) A covariância entre xi e uj é dada por vij. j. A correlação entre xi e yj é

ij=vij.( j/var(xi))1/2 .

Quando for utilizada a matriz de correlação obtém-se

ij=vij.( j)1/2.

Decorre do fato de que as componentes principais são não correlacionadas e também que cada xi pode ser expressa como uma combinação linear das componentes

principais que a proporção da variação de xi explicada por uj é ij2.

ij é por vezes designado por loading, da variável xi na componente uj. Alguns autores referem-se aos loadings como sendo os próprios vij.

A proporção da variância de xi explicada por um subconjunto G das

componentes principais é dada por:

CAPÍTULO I

MODELAGEM DA ESTRUTURA A TERMO DAS TAXAS DE JUROS (ETTJ)

1. Introdução

Formuladores da Política Monetária, praticantes do mercado, investidores e observadores em geral prestam especial atenção ao formato da curva de juros como um indicador do impacto da política monetária corrente e futura sobre a economia. A ETTJ (yield curve ou curva de juros), associada a títulos de uma certa natureza (governamentais, por exemplo), mostra como o rendimento do título varia em função do seu vencimento.

Os estudos (acadêmicos ou não) apresentam algumas classes de funções aproximadoras para a construção da estrutura a termo das taxas de juros. Duas linhas de pesquisas, de naturezas distintas, têm sido desenvolvidas. Na Revisão da Literatura apresentamos alguns dos modelos mais tradicionais referentes à primeira linha de pesquisa. Tratam-se dos conhecidos modelos de equilíbrio e os de não-arbitragem, que envolvem certos trade-offs bastante complexos.

A outra corrente busca estimar a curva de juros a partir de preços observados de ativos negociados em função de suas respectivas maturidades e de informações, a priori, sobre a natureza da curva. Estas últimas vêm de fatos aprimorados sobre curvas de juros disponíveis na literatura financeira e do conhecimento do mercado local, em particular.

Apesar de teoricamente robustos, àqueles modelos tradicionais não possuem um bom ajuste de dados e o nosso interesse recai nesta segunda vertente da pesquisa, aonde, para se construir a curva de juros deve-se tomar as taxas de juros efetivas embutidas nos

títulos disponíveis para todos os prazos possíveis e procurar ajustar uma curva de juros através destas taxas.

Como não existe mercado líquido para os papéis de todas as maturidades, a estrutura a termo da taxa de juros é construída a partir dos prazos em que o mercado negocia com maior liquidez Para os prazos em que não há títulos, ou não há cotação para os títulos existentes, aplica-se algum procedimento de interpolação entre as taxas disponíveis.

No Brasil ainda ocorre outro agravante, qual seja, o mercado secundário de títulos de renda fixa10, como um todo, é bem pouco líquido, o que obriga ao uso das taxas prefixadas implícitas aos contratos derivativos (swaps, DI futuro e termo de DI11) para nortear a elaboração da curva de juros brasileira.

A ETTJ é, portanto, a relação funcional entre taxa e vencimento de uma certa classe de títulos, ou seja, ou se trabalha com títulos reais, físicos, ou com títulos virtuais, negociados no mercado de derivativos financeiros, conforme comentamos no parágrafo anterior.

•Mapeamento da Estrutura a Termo das Taxas de Juros (ETTJ)

O mapeamento da estrutura a termo é feito a partir da definição de um número limitado de prazos, chamados de vértices, que funcionam como títulos virtuais que possuem sempre a mesma duração.

De acordo com recomendação Riskmetrics [20], pacote desenvolvido pelo banco norte-americano JP Morgan, em 1996, para mensurar o risco de uma carteira ou de uma

10 _{Mercado aonde são negociados os títulos, após emissão primária (as emissões do governo, por}

exemplo, são primariamente colocadas através de leilões realizados pelo Banco Central junto ao mercado financeiro).

instituição12, os prazos eleitos para os vértices do juro interno são: 21, 42, 63, 126, 252, 504 e 756 dias úteis. Seguiremos estes prazos para o mapeamento da curva, pois são reconhecidos internacionalmente, criando um padrão.

2. Métodos para a Modelagem da ETTJ

2.1 Bootstrapping [19]

Para este método, precisa-se de uma amostra de títulos que pagam cupons com vencimentos igualmente espaçados. Imaginem-se dois títulos, um com vencimento em um ano, rendendo 4,00%, e outro, ao par, para dois anos, rendendo 4,604%. Os cupons são pagos uma vez ao ano.

O primeiro título não tem cupom, conseqüentemente, a taxa a vista para um ano r1, será igual a 4,00%. Para se encontrar a taxa a vista para dois anos, utilizam-se as

informações do primeiro título. O preço do título vencendo em dois anos é:

Resolvendo-se a equação, descobre-se que r2 = 4,618%.

(

)

₍

₎

1

604

,

104

0400

,

0

1

604

,

4

100

r

+

+

+

=

12_{O Banco lançou o que se poderia chamar de um sistema de arquitetura aberta - assim como a IBM fez}

Poder-se-ia, agora, utilizar as informações em r1 e r2 para se obter a solução para

r3, e assim por diante.

2.2 Método Flat Forward (estrutura de taxas a termo planas)13

A cada dia útil, são calculadas as taxas a serem incorridas para os diferentes prazos definidos, de forma a se obter séries diárias de taxas spot, uma para cada vencimento. São utilizados dados do CDI-over (Certificado de Depósito Interfinanceiros), do mercado futuro de DI-1dia (Depósitos Interfinanceiros), swaps e termo de DI, negociados na BM&F - Bolsa de Mercadorias & Futuros, por serem os instrumentos que possuem maior liquidez14.

A construção das taxas spot é feita através da acumulação das taxas a termo implícitas entre os vencimentos dos instrumentos financeiros listados, assumindo a hipótese de que a taxa a termo entre os vencimentos é constante (flat).

A taxa de juros implícita nos preços dos instrumentos financeiros supra citados, de hoje até o dia dado por um prazo de T dias úteis, é dada por15_:

( 1 ) [ 6] 0 1 0;min ; 0; 5 , 1 5,6 0 0 1 1 1 1 100 100 100 j j j T máx T T T T máx T T T j j T j R R R R + ⎡ − − ⎤ − ⎣ ⎦ + = ⎧_{⎡ ⎤} ⎫ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪_⎢⎛ ⎞ _⎥ ⎪ =_{⎨ ⎜} + _⎟ × _⎜ + _⎟ × +_{⎜ ⎟} − ×_⎬ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎪_{⎣ ⎦} ⎪ ⎩ ⎭

∏

13_{O método se chama “flat forward” porque considera constantes as taxas a termo entre dois contratos adjacentes.} Ele também é conhecido como método “pro rata do fator diário”.

14_{No Apêndice I estão conceituados tais instrumentos.}

15_{Tese do Guilherme Arcoverde [2], base referencial para elaboração da Circular /BC n}0 _{2972, de 23/03/2000 e Nota} Técnica explicativa, que estabelece critérios para medir o risco de exposição de uma carteira de renda fixa à variações na taxa de juros.

0

R é a taxa spot CDI over apurada,

1 , 0

R é a taxa a termo implícita pelo CDI e a cotação do primeiro vencimento de futuro de DI,

2 , 1

R é a taxa a termo implícita pelas cotações do primeiro e segundo vencimentos de futuro de DI,

3 , 2

R é a taxa a termo implícita pelas cotações do segundo e terceiro vencimentos de futuro de DI,

4 , 3

R é a taxa a termo implícita pelas cotações do terceiro vencimento de DI e taxa de swaps DI x PRE de 6 meses.

5 , 4

R é a taxa a termo implícita pelas taxas de swaps DI x PRE de 6 e 12 meses.

6 , 5

R é a taxa a termo implícita pelas taxas de swaps DI x PRE de 12 e 24 meses.

0

T a

6

T

Prazos (em dias úteis) de vencimento de cada instrumento financeiro utilizado, respectivamente, CDI (1 dia útil), primeiro, segundo e terceiro vencimentos de futuro de DI, swaps de 6, 12 e 24 meses. Exemplificando:

Na 3a _{feira, dia 25/04/2000, o BACEN realizou leilão de Letra do Tesouro}

Nacional (LTN), vencimento 06/12/2000, para liquidação no dia seguinte, em 26/04/2000. O papel atravessará 154 dias úteis (224 dias corridos).

O vencimento de DI (mercado futuro de juros) mais longo negociado na BM&F, em 25/04, era o de outubro/2000 (vencimento 02/10/00, 10 dia útil do mês), ao preço (PU – Preço Unitário) de 92470, prazo 111 dias úteis. Do vencimento deste futuro de DI até o vencimento da LTN transcorrem 44 dias úteis.

Na data do leilão (25/04/00) a taxa do swap DIxPré, vencimento 30/04/2001, estava sendo negociada por 19,50%a.a. (a referência para swap, na época, era de ano 360 dias corridos). O prazo de maturidade deste swap é de 370 dias corridos (253 dias úteis).

Dado que a distância entre 02/10/00 e 30/04/01 é de 142 dias úteis, precifique o valor desta LTN.

SOLUÇÃO:

Esquematizando os dados:

Figura 4

Taxa prevista pelo mercado futuro de DI-1dia, em 25/04/00:

. . % 45 , 19 100 1 470 . 92 000 . 100 111 252 a a x = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

Taxa efetiva16 do swap:

(

)

Taxa marginal (entre 02/10/00 e 30/04/2001):

1105 , 1 470 . 92 / 000 . 100 2009 , 1 ₌ = DI Efetiva Taxa Swap Efetiva Taxa

Expressando a taxa marginal na notação overnight (ano 252 dias úteis):

(

)

Conceitualmente, esta é a taxa a termo entre 02/10/00 e 30/04/01, prevista pelos praticantes do mercado, a partir dos resultados dos instrumentos negociados nos mercados derivativos.

Para precificar a LTN, objetivo final de nossos cálculos, basta levar as taxas obtidas para dentro do período de maturidade da LTN. Temos:

110 dias úteis a 19,45% a.a., a partir do mercado futuro de juros (DI-1dia); e

44 dias úteis a 20,44% a.a., taxa a termo entre 02/10/00 e 30/04/01.

Assim, a taxa justa para esta LTN, calculada no dia do seu leilão, a partir dos instrumentos considerados (e os únicos com liquidez na data), de acordo com o método flat forward, é igual a:

. . % 73 , 19 100 1 100 44 , 20 1 100 45 , 19 1 154 252 252 44 252 110 a a x x = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

Esta taxa também pode ser vista como “a taxa a termo para um vértice de 154 dias”. Este é o método mais utilizado pelos participantes do mercado para a construção da ETTJ, normalmente trabalhada para os vértices nos prazos 21, 42, 63, 126, 252, 504 e 756 dias úteis.

2.3 Método de Ajuste de funções

Neste processo procura-se uma função de ajuste f (xi) que se aproxima da

desconhecida φ (xi), a função que representa as coordenadas dos pontos observados.

Esta função f(xi) não passa, obrigatoriamente, pelos pontos conhecidos. (Ou seja, f (xi)

não é, necessariamente, igual a φ (xi)).

Este método é geralmente aplicado nos casos em que os dados conhecidos são considerados aproximados ou apenas relativamente confiáveis. O que se pretende aqui é alcançar valores que representem o comportamento médio de um determinado fenômeno. Portanto, o método é indicado para os casos em que os dados disponíveis já trazem erros, não justificando, então, obter-se uma função que gere tais valores com exatidão.

O que interessa, no ajuste, é a diferença entre os valores disponíveis (yi) e os

valores gerados pela função de ajuste (f(xi)), ou seja, o erro (ou resíduo) ei = yi – f(xi).

Este erro é encarado como uma função e o objetivo do ajuste é minimizar esta função.

O critério dos mínimos quadrados, baseado na assertiva de que “a soma dos quadrados dos erros residuais deve ser mínima” é o mais adequado para o ajuste, pois, além da função ser facilmente diferenciável (Σ ei2 → mínimo), facilitando a

determinação do mínimo, ela sempre será maior ou igual a zero, evitando, assim, a compensação indesejável dos valores residuais.

Exemplificando o ajuste pelo critério de mínimos quadrados, apresentamos as soluções (quadrática e cúbica) para a ETTJ no gráfico representado na Figura 5 abaixo, com os dados do mercado do dia 07/05/2001:

TABELA 1 - DADOS DO MERCADO DO DIA 07/05/2001

Dias Úteis Taxa Produto %a.a. 19 17,08 DI-1 dia 39 18,24 DI-1 dia 61 19,16 DI-1 dia 84 19,94 DI-1 dia 103 20,36 DI-1 dia 125 20,78 DI-1 dia 126 20,74 SWAP 165 21,08 DI-1 dia 226 21,28 Termo de DI 252 21,31 SWAP 378 21,45 SWAP 477 21,62 Termo de DI 504 21,58 SWAP Figura 5

A partir da curva ajustante, basta colocar os prazos desejados (por exemplo, os vértices, conforme o mapeamento – já padronizado pelo mercado - proposto pelo pacote Riskmetrics) na função, para se obter as taxas procuradas.

Ajuste Polinomial y = -4E-05x2 + 0,0267x + 17,525 R2 = 0,8784 y = 2E-07x3 - 0,0002x2 + 0,0533x + 16,406 R2 = 0,9814 15 16 17 18 19 20 21 22 23 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 Dias Úteis Taxa S pot (% a. a. ) ETTJ em 07/05/2001 Interpolação Quadrática Interpolação Cúbica