O Modelo de Black & Scholes MB&S

A mais famosa teoria sobre o valor de uma opção baseia-se no trabalho de Fischer Black e Myron Scholes (The Pricing of Corporate Liabilities, Journal of Political Economy, maio-junho de 1973, p.637-59). Eles desenvolveram o modelo logo após o início das atividades do Chicago Board Options Exchange (CBOE), em 1973, a primeira e mais forte bolsa de derivativos financeiros do mundo.

O modelo de Black & Scholes parte do pressuposto que o ativo objeto tem um comportamento estocástico contínuo, na forma de Movimento Geométrico Browniano. Isto quer dizer que se assume que a distribuição probabilística dos preços do ativo objeto, em uma data futura, é log-normal e, por conseqüência, a distribuição

probabilística das taxas de retorno, calculadas de forma contínua e composta entre duas datas, é normal.

Seus formuladores assumiram, também, que a taxa de juros é constante durante toda a vida da opção, que o ativo objeto não paga dividendos durante a maturidade da opção e que sua volatilidade é constante.

Criaram, então, uma fórmula para precificar opções. Ela é função do preço do ativo objeto, da taxa de juros sem risco, do prazo de maturidade da opção, de seu preço de exercício e da volatilidade do retorno do ativo objeto, ou seja, das variáveis que afetam o seu preço.

Assim,

C = f (S, K, T, Rf, σ )

Vamos definir como:

a) S = preço do ativo objeto no mercado à vista; b) K = valor de exercício da opção;

c) T = fração anual do prazo de vencimento da opção;

d) Rf = taxa de juros anual, livre de risco (“f” de free), capitalização

contínua; e,

e) σ = volatilidade do ativo subjacente.

As quatro primeiras variáveis são auto-explicativas. A quinta variável - a volatilidade - oferece maior dificuldade para ser determinada, pois ela não pode ser diretamente observada, devendo, portanto, ser estimada.

Como o modelo assume que a distribuição dos preços futuros do ativo tem a forma log-normal, a avaliação dos prêmios de opções se libera da preocupação com a estimação da direção do movimento dos preços à vista. Eventuais movimentos nestes

últimos não deixam de se refletir na avaliação que o modelo faz, pois uma das variáveis do modelo é o próprio preço à vista do ativo-objeto.

Entretanto, para o modelo, o que importa apenas é a magnitude da mudança futura nos preços e não a direção dos mesmos. Essa magnitude é medida pela volatilidade.

E a fórmula de Black-Scholes, para opções de compra do tipo europeu sobre ativos que não distribuam dividendos, é a seguinte:19

.N(d2) e K - S.N(d1) = C . −Rf .T (21) onde : e, T T R k s d f σ σ . 2 ln 2 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = T d T T R k s d f σ σ σ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ₁ 2 2 . 2 ln 19

Existe extensão da fórmula para a avaliação de opções de venda. A equação que fornece o valor da put em função do valor da call é : P = C – S + VP(K), onde S é o valor à vista do ativo objeto e VP(K) é o valor presente do preço de exercício descontado pela taxa de juros prevista para o prazo da opção.

A fórmula também pode ser adaptada para cálculo dos valores de opções de compra e de venda (do tipo europeu) em ativos que pagam dividendos contínuos ou incorrem em custos de armazenagem (também contínuos)

.

sendo que N(di) é o valor da tabela da probabilidade acumulada até os valores de d1 e d2

na distribuição normal padrão, ou seja, é a função de probabilidade acumulada de uma variável normal padronizada.

OBSERVAÇÃO:

As hipóteses previstas para a aplicação desta fórmula são:

a) Não há custos de transação ou impostos. Os títulos são perfeitamente divisíveis; b) Qualquer ativo pode ser comprado ou vendido em qualquer quantidade, inclusive a

descoberto;

c) Existe um ativo sem risco, e sua taxa de retorno (taxa de juros) é constante no tempo; d) A opção é protegida contra dividendos aos portadores da ação objeto;

e) Não existem oportunidades de arbitragem sem risco;

f) A negociação de ativos é contínua e o preço da ação objeto obedece a um processo estocástico contínuo e estacionário, do tipo "processo de difusão".

3.1. Prêmio Nobel

Junto com William Sharpe e Harry Markowitz, que desenvolveram, a partir dos anos 50, modelos de construção de carteiras eficientes ("portfolio theory"), quantificando o risco (até então tratado sob aspectos puramente qualitativos), Fischer Black e Myron Scholes constituem-se em marco no campo da intercessão da Economia com Teoria de Finanças, revolucionando tudo que havia sido escrito e pensado, até então, sobre o tema.

Diversas extensões foram feitas sobre a fórmula original e também as aplicações foram muito além do simples mercado de opções.

Confirmando a enorme importância que os citados pesquisadores prestaram à comunidade acadêmica/científica e ao mercado de capitais do mundo todo, a Academia

de Ciências da Suécia, que anteriormente já havia reconhecido o valor dos trabalhos de Markowitz e Sharpe, premiando-os com o Prêmio Nobel de Economia (em 1990), concedeu o Nobel de Economia de 1997 aos americanos Robert Merton (Universidade de Harvard) e Myron Scholes (Universidade de Stanford), “pela elaboração de teorias que deixaram mais sofisticados e seguros os chamados mercados de opções e derivativos" ·.

3.2. Limitações do Modelo de Black&Scholes

Como toda tentativa de explicação da realidade, o modelo de Black&Scholes tem suas limitações. A principal delas é que o modelo supõe que a forma da distribuição de probabilidade dos preços à vista do ativo objeto tem a forma log-normal. A distribuição empírica dos preços se aproxima desta forma mas, é claro, nem sempre a iguala. A diferença se reflete na qualidade das avaliações que o modelo faz.

A fórmula de B&S partiu da hipótese de que o processo de precificação do ativo referencial segue um processo contínuo, ou seja, ele não é precificado aos saltos. Se essa hipótese for violada (como acontece na maioria das opções reais), o modelo subestimará o valor das opções que estejam muito fora do dinheiro (out of the money).

Testes do modelo de B&S têm demonstrado que ele super avalia ou subavalia opções cujo preço à vista do ativo objeto esteja muito acima do preço de exercício (opções in the money) ou muito abaixo (opções out of the money).

A conclusão é que o modelo se aplica melhor às opções, cujos preços à vista do ativo objeto e os preços de exercício, trazidos ao valor presente, estão bem próximos um do outro (ou seja, as opções at the money).

Outro problema apresentado pelo MB&S é que ele parte do pressuposto de que a variância (volatilidade) se mantém constante ao longo da vida da opção. Esta hipótese é perfeitamente aplicável às opções de curto prazo sobre as ações negociadas em bolsa, mas quando a teoria é aplicada às opções reais de longo prazo surgem problemas, pois é muito pouco provável a variância manter-se constante ao longo de todo o prazo de maturidade da opção.

Tornou-se uma necessidade, portanto, o desenvolvimento de modelos mais flexíveis. Nesse aspecto, pode-se citar o modelo binomial de Cox e Rubinstein [9] como um marco na modelagem de opções, inclusive pelo rigor em sua formulação, além da flexibilidade desejada.