UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE LORENA
MARÍLIA GABRIELA PINHEIRO BONFIM
USO DE FERRAMENTAS DE INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL NA AVALIAÇÃO DO FATOR DE EFETIVIDADE EM ENZIMAS IMOBILIZADAS: CINÉTICAS
COM INIBIÇÃO POR PRODUTO
Lorena 2018
USO DE FERRAMENTAS DE INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL NA AVALIAÇÃO DO FATOR DE EFETIVIDADE EM ENZIMAS IMOBILIZADAS: CINÉTICAS
COM INIBIÇÃO POR PRODUTO
Monografia apresentada à Escola de Engenharia de Lorena da Universidade de São Paulo como requisito parcial para a conclusão do curso de graduação em Engenharia Química.
Orientador: Prof. Dr. Félix Monteiro Pereira
Lorena 2018
AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE
Ficha catalográfica elaborada pelo Sistema Automatizado da Escola de Engenharia de Lorena,
com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)
Bonfim, Marília Gabriela Pinheiro
Uso de ferramentas de inteligência artificial na avaliação do fator de efetividade em enzimas
imobilizadas: cinéticas com inibição por produto / Marília Gabriela Pinheiro Bonfim; orientador Félix Monteiro Pereira. - Lorena, 2018.
53 p.
Monografia apresentada como requisito parcial para a conclusão de Graduação do Curso de Engenharia Química - Escola de Engenharia de Lorena da
Universidade de São Paulo. 2018
1. Enzimas imobilizadas. 2. Inteligência artificial. 3. Programação genética. 4. Método da colocação ortogonal em elementos finitos. 5.
Modelagem e simulação. I. Título. II. Pereira, Félix Monteiro, orient.
Dedico este trabalho aos meus pais, Francisca e Roberto por todo o apoio em todos os momentos da minha vida.
AGRADECIMENTOS
A Deus pela vida, bênção e proteção.
Ao meu orientador Prof. Dr. Félix Monteiro Pereira, por todo auxilio e colaboração excepcionais durante o desenvolvimento desta monografia, sem os quais não seria possível a realização deste trabalho.
Aos meus pais, Francisca e Roberto, pelo amor, incentivo e apoio incondicional.
Aos meus amigos de faculdade Lucas Sotini, Mayara Bortoti, Gisella Enokihara e Carina Ramos, pessoas incríveis que tive a honra de conviver ao longo dos anos e tornaram possíveis as diversas alegrias das quais compartilhei neste período.
À equipe de Planejamento Comercial em Folhas e Consignado do Itaú Unibanco por todo apoio no meu desenvolvimento pessoal e profissional que proporcionou minha efetivação. Também à equipe da Gerência de Operações CCV, Acordos, GESC e Paralegal que me acolheu e vêm contribuindo no meu inicio de carreira como Analista de Planejamento e Controle.
À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior -Capes por patrocinar meus estudos no exterior no Programa Ciência Sem Fronteiras.
A todos os membros da Escola de Engenharia de Lorena, pela oportunidade de realização do curso de Engenharia Química.
“Não é sobre as cartas que você tem, mas como você joga elas.”
RESUMO
BONFIM, M. G. P. Uso de ferramentas de inteligência artificial na avaliação
do fator de efetividade em enzimas imobilizadas: cinéticas com inibição por produto. 2018. 53 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em
Engenharia Química) - Escola de Engenharia de Lorena, Universidade de São Paulo, 2018.
A abordagem fenomenológica utilizada na modelagem e simulação de biorreatores contendo enzimas imobilizadas envolve a descrição dos fenômenos de difusão e reação de substratos e produtos no interior das partículas catalíticas. Essa descrição é realizada por meio de equações diferencias de balanços de massa, as quais requerem o uso de métodos numéricos complexos, como o método da colocação ortogonal em elementos finitos, para a suas resoluções. Normalmente, esses métodos numéricos demandam um elevado esforço computacional, o que limita sua utilização em softwares de simulação de processos. Visando minimizar esse esforço computacional, o presente trabalho propõe a utilização de regressão simbólica via programação genética, como uma ferramenta de inteligência artificial para a obtenção de uma equação explícita aproximada para a estimativa do fator de efetividade em enzimas imobilizadas para as seguintes cinéticas com inibição por produto: competitiva, acompetitiva e não competitiva. O problema em questão envolve os fenômenos de difusão e reação no interior da partícula catalítica em condições isotérmicas, de estado estacionário e considerando o caso de partículas retangulares. A resolução do problema envolve duas etapas principais. A primeira etapa consiste na simulação do fator de efetividade a partir da resolução do problema de valor de contorno referente ao processo de difusão-reação obtido a partir do balanço material de substrato e produto no interior da partícula. Nesta primeira etapa foi utilizado o método da colocação ortogonal em elementos finitos utilizando o software Wolfram Mathematica versão 11.2. Os dados obtidos na primeira etapa foram empregados na segunda etapa para a realização da regressão simbólica por meio de algoritmos evolutivos visando a obtenção de um modelo empírico aproximado para a estimativa do fator de efetividade. A regressão simbólica foi realizada utilizando o software de inteligência artificial Eureqa Formulize da Nutonian. O processo de regressão simbólica foi realizado objetivando a maximização do coeficiente de determinação, R². Os resultados indicam que a regressão simbólica por algoritmos genéticos foi capaz de obter equações com bom ajuste aos dados experimentais, colaborando assim com o desenvolvimento de softwares de simulação de processos mais rápidos e confiáveis.
Palavras-chave: Enzimas imobilizadas, inteligência artificial, programação genética, método da colocação ortogonal em elementos finitos, modelagem e simulação.
BONFIM, M. G. P. Use of artificial intelligence tools in the evaluation of
effectiveness factor of immobilized enzymes: kinetics of product inhibition. 2018. 53 p. Monograph (Undergraduate Chemical Engineering
Degree Program) – Lorena School of Engineering, University of São Paulo, 2018.
The phenomenological approach used in the modeling and simulation of bioreactors containing immobilized enzymes includes the description of the diffusion-reaction phenomenon of substrates and products inside the catalytic particles. This description is performed through mass balance differential equations, which requires the use of complex numerical methods, such as the orthogonal collocation method on finite elements, for their resolutions. These numerical methods usually demand a high computational effort, which complicates its use in process simulation software. In order to minimize this computational effort, the present work proposes the use of symbolic regression through genetic programming, as an artificial intelligence tool to obtain an approximate explicit equation for the estimation of the effectiveness factor in immobilized enzymes for the following kinetics with inhibition by product: competitive, uncompetitive and non-competitive. The problem includes diffusion and reaction phenomenon occurring inside the catalytic particle for stationary state and isothermal conditions considering the slab particle geometry. The problem resolution has two main steps. The first one consists of effectiveness factor simulation from boundary-solution problems related to the diffusion-reaction phenomenon obtained from the substrate and product mass balance inside the catalytic particle. For this purpose, the orthogonal collocation method on finite elements was performed at Wolfram Mathematica software, version 11.2. The data obtained in the first stage were used on a second stage to perform symbolic regression by evolutionary algorithms to obtain an empirical model for the estimation of the effectiveness factor. Symbolic regression was performed using Nutonian's Eureqa Formulize artificial intelligence software. The process of symbolic regression was carried out aiming at maximize the R² Goodness of Fit. The results indicate that the symbolic regression by genetic algorithms was able to obtain equations with good fit to the experimental data, thus collaborating with the development of simulation software for faster and more reliable processes.
Keywords: Immobilized enzymes, artificial intelligence, genetic programming orthogonal-collocation in finite elements method, modeling and simulation.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Enzima Anidrase Carbônica ... 18
Figura 2: Modelo Chave-Fechadura ... 20
Figura 3: Enzima e Substrato complementares no Estado de Transição ... 20
Figura 4: Modelo Encaixe Induzido ... 21
Figura 5: Dependência da velocidade inicial da concentração de substrato .... 23
Figura 6: Métodos de Imobilização de Enzimas ... 27
Figura 7: Colocação Ortogonal Global, np=3 ... 35
Figura 8: Representação de Partículas com Geometria Retangular ... 38
Figura 9: Gráfico de ajuste para a inibição competitiva ... 44
Figura 10: Gráfico de ajuste para a Inibição Não Competitiva ... 47
Tabela 1: Velocidade de algumas reações catalisadas por enzimas ... 19
Tabela 2: Dados estatísticos - inibição competitiva no Intervalo I de ϕ ... 42
Tabela 3: Dados estatísticos - inibição competitiva no Intervalo II de ϕ ... 43
Tabela 4: Dados estatísticos - inibição não competitiva no Intervalo I de ϕ ... 45
Tabela 5: Dados estatísticos - inibição não competitiva no Intervalo II de ϕ .... 46
Tabela 6: Dados estatísticos - inibição não acompetitiva no Intervalo I de ϕ ... 48
LISTA DE QUADROS
α posição adimensional que define a extensão do núcleo morto β constante de Michaelis-Menten adimensional
βi constante de inibição adimensional
Def,s coeficiente de difusão efetivo do substrato Def,P coeficiente de difusão efetivo do produto. E enzima
ES complexo enzima-substrato
K constante cinética global de formação de P a partir de S K1 constante de velocidade para a formação do complexo ES
K-1 constante de velocidade para a dissociação do complexo ES em E e S
Ki constante cinética de formação do inibidor
Kp constante de velocidade para a formação de P a partir do complexo ES. Km constante de Michaelis-Menten
fator de efetividade
S substrato
S0 concentração de substrato na superfície da partícula P produto
P0 concentração de produto na superfície da partícula
s concentração adimensional de substrato
S concentração de substrato em uma determinada posição com relação à coordenada espacial (X) no interior da partícula
V velocidade da reação
Vmáx velocidade máxima de conversão de substrato em produto
Vo velocidade inicial da reação
x coordenada espacial adimensional X coordenada espacial
XL metade da espessura da partícula catalítica para partículas com geometria retangular (α = 1)
p concentração adimensional de produto P concentração de produto
ϕs módulo de Thiele para o substrato
SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO ... 14 1.1. OBJETIVOS ... 15 1.2. JUSTIFICATIVA ... 15 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 17 2.1 ENZIMAS ... 17 2.1.1 Sítio Ativo ... 19 2.2 CINÉTICA ENZIMÁTICA ... 21 2.2.1 Michaelis-Menten ... 21 2.3 INIBIÇÃO ENZIMÁTICA ... 23
2.3.1 Inibição por substrato ... 24
2.3.2. Inibição por produto ... 25
2.4 IMOBILIZAÇÃO DE ENZIMAS ... 26
2.4.1. Imobilização por Confinamento... 27
2.4.2. Imobilização por Encapsulação ... 28
2.4.3. Imobilização por Adsorção ... 28
2.4.4. Imobilização por Ligação Covalente ... 28
2.4.5. Imobilização por Reticulação ... 29
3. MODELAGEM MATEMÁTICA ... 30
3.1 PROGRAMAÇÃO GENÉTICA ... 34
3.2 MÉTODOS NUMÉRICOS ... 34
3.2.1 Método da colocação ortogonal global ... 34
3.2.2 Método da colocação ortogonal em elementos finitos ... 35
4. MATERIAL E MÉTODOS ... 37
4.1 Obtenção dos Dados para a Regressão Simbólica... 38
4.2 Regressão Simbólica via Algoritmo Genético ... 40
4.2 Análise do Ajuste dos Modelos ... 41
5. RESULTADOS E DISCUSSÃO ... 42
5.1 Inibição competitiva por produto ... 42
5.2 Inibição não competitiva por produto ... 45
5.3 Inibição acompetitiva por produto ... 48
6. CONCLUSÕES ... 51
1. INTRODUÇÃO
Estima-se que mais de 80% dos processos na indústria química envolvam ao menos uma etapa catalítica. Os catalisadores heterogêneos destacam-se com grande interesse comercial, estes sólidos são geralmente inorgânicos, porosos ou não e com diversas áreas específicas (CALDAS; DA SILVA; ROCHA, 2009).
Neste cenário, a imobilização de enzimas torna-se muito importante, visto que este processo evita a perda de catalisador e estabiliza a reação, tornando economicamente viável a aplicação desses catalisadores em larga escala. Contudo, a utilização de enzimas imobilizadas pode acarretar em problemas difusionais, fazendo com que o processo de difusão-reação necessite de uma modelagem matemática adequada (PEREIRA, 2008; PEREIRA; OLIVEIRA, 2016).
No fenômeno de difusão-reação no interior da partícula catalítica porosa, o substrato difunde-se no interior deste catalisador para que em seguida ocorra a reação. Nos casos que a taxa de reação for consideravelmente menor que a taxa de difusão, o substrato irá difundir-se até os pontos mais interiores do catalisador poroso. Entretanto, nos casos em que a taxa de reação for significativamente maior que a taxa de difusão, a reação ocorrerá antes mesmo que o substrato tenha alcançado o interior da partícula, criando-se um acentuado perfil de concentração ao longo do eixo da partícula catalítica. Este fenômeno cria uma região inativa no interior do catalisador, denominada núcleo morto (GRANATO, 2003; PEREIRA, 2008; PEREIRA e OLIVEIRA, 2016).
Para o caso proposto nesta monografia, não há solução analítica, devendo-se obter uma solução aproximada utilizando-se métodos numéricos complexos que exigem um elevado esforço computacional, em especial quando for necessário obter os perfis axiais de concentração ao longo de um biorreator, uma vez que o problema de difusão-reação no interior da partícula terá que ser resolvido a cada incremento de comprimento do reator para estimar o fator de efetividade, que representa o quociente entre a velocidade de reação média no interior da partícula e a velocidade que seria obtida nas condições externas à partícula (PEREIRA; OLIVEIRA, 2016). Dessa forma, a presente monografia propõe utilizar o método da colocação ortogonal em
15
elementos finitos devido a sua alta precisão e erros muito pequenos em relação à solução analítica para estimar o fator de efetividade para diferentes condições de difusão-reação para as cinéticas com inibição por produto tipo competitiva, não competitiva e acompetitiva (PEREIRA, 2008; PEREIRA e OLIVEIRA, 2016). Os resultados de fator de efetividade estimados utilizando este método numérico foram utilizados na regressão simbólica via programação genética visando obter equações empíricas explícitas a fim de representar de forma rápida e precisa o fator de efetividade.
1.1. OBJETIVOS
O objetivo deste trabalho foi utilizar regressão simbólica via programação genética como ferramenta de inteligência artificial para a obtenção de modelos matemáticos confiáveis e precisos para descrever o fator de efetividade em função das condições de difusão-reação, no estado estacionário e em condições isotérmicas, em catalisadores porosos contendo enzimas imobilizadas para as cinéticas de inibição por produto competitiva, acompetitiva e não competitiva, visando colaborar com o desenvolvimento de softwares de simulação de processos mais precisos e confiáveis.
1.2. JUSTIFICATIVA
O balanço de massa do problema proposto envolve a resolução de um problema de valor no contorno que, para as cinéticas com inibição por produto não possuem solução analítica. Esta solução deve então ser estimada por meio de métodos numéricos.
O método da colocação em elementos finitos é um método numérico confiável devido a sua alta precisão e desvios muito pequenos para ser empregado neste caso. Porém, sua baixa velocidade de convergência e implementação complexa pode limitar sua implantação em softwares de simulação de processos (PEREIRA, 2008; PEREIRA e OLIVEIRA, 2016).
Dessa forma, uma alternativa viável para otimização da operação industrial de reatores biológicos contendo enzimas imobilizadas nos casos especiais em que ocorre inibição pelo produto é a utilização de equações
explícitas para representar o processo em questão. O uso de equações explícitas, que dispensam a necessidade de métodos iterativos, diminui consideravelmente o tempo necessário para a simulação computacional do processo, colaborando com a possibilidade de se considerar o fenômeno de difusão-reação no equacionamento empregado em softwares de simulação de processos sem que seja necessário elevar consideravelmente o esforço computacional necessário para cada simulação.
Este trabalho visa verificar a utilização da ferramenta de inteligência artificial de regressão simbólica por algoritmos genéticos na obtenção de equações explícitas e precisas para estimar o fator de efetividade em enzimas imobilizadas, que consiste em um dos principais parâmetros utilizados no projeto e operação de reatores enzimáticos.
17 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 ENZIMAS
Enzimas são catalisadores eficientes para reações bioquímicas, estando presentes em todas as reações metabólicas. Como catalisadores, aumentam a velocidade de reação por meio da redução da energia livre necessária sem serem consumidas no meio reacional (COX; NELSON, 2014).
Esses catalisadores bioquímicos foram estudados por muito tempo até que se tivesse conhecimento de sua existência. Após diversos estudos sobre digestão e excreção, a catálise bioquímica foi reconhecida no final dos anos 1700. Em meados de 1850, Louis Pausteur postulou a existência de “fermentos” inseparáveis das células de leveduras vivas. A primeira extração de enzimas ativas ocorreu em 1897, quando Eduard Buchner descreveu que extratos de leveduras podiam fermentar açúcar em álcool. Este acontecimento marcou o começo da bioquímica como ciência (PEREIRA, 2008; COX; NELSON, 2014).
Exceto por um seleto grupo de moléculas de RNA catalíticas, todas as enzimas são proteínas. Proteínas são macromoléculas que se ligam especificamente a uma larga gama de moléculas devido às características únicas de suas estruturas formadas por aminoácidos. As estruturas de uma proteína são classificadas em (CAMPBELL; FARREL, 2011).
a) Estrutura Primária: É a cadeia principal de uma proteína, definida pela ordem com que os aminoácidos estão covalentemente ligados.
b) Estrutura Secundária: É o padrão com que os aminoácidos estão arranjados no espaço. As interações intermoleculares de grupamentos laterais permite que a sequência de aminoácidos se enovele para formatar estruturas tridimensionais. Os dois tipos de estruturas secundárias mais frequentemente encontrados são alfa-hélice e folhas beta pregueada (CAMPBELL; FARRELL, 2011)
c) Estrutura Terciária: Combinação das estruturas secundárias em uma mesma macromolécula.
d) Estrutura Quaternária: Combinação entre várias estruturas terciárias. Ocorre quando há duas ou mais cadeias entrelaçadas entre si.
Na Figura 1 está ilustrado um exemplo de enzima, a Anidrase Carbônica. As diferentes cores representam diferentes cadeias proteicas entrelaçadas, características de sua estrutura quaternária.
Figura 1: Enzima Anidrase Carbônica
Fonte: Garrett e Grisham (2013)
As características mais notáveis de uma enzima são alta especificidade e grande poder catalítico. Sua especificidade se deve ao fato de sua estrutura proteica, composta por milhares de aminoácidos unidos por ligações peptídicas, unir-se seletivamente a um substrato, resultando em um produto específico. Logo, mudanças na estrutura ou na conformação de uma enzima podem alterar significativamente sua função (BERG; TYMOCZKO; STRYER, 2007).
O alto poder catalítico é extremamente notável, visto que enzimas aumentam a velocidade de reações em proporções maiores do que 1,0 x 106. Na ausência desses catalisadores, diversas reações biológicas e orgânicas não apresentam velocidades consideráveis. A Equação 1 apresenta a rota da reação sem a catálise realizada pelas enzimas, enquanto a Equação 2 mostra a presença de um estado intermediário na catálise enzimática (BERG; TYMOCZKO; STRYER, 2007).
Rota 1: Substrato -> Produto (1)
Rota 2: Substrato + Enzima -> Intermediário
19
A Tabela 1 ilustra como as enzimas aumentam a velocidade de reação em proporções altíssimas.
Tabela 1: Velocidade de algumas reações catalisadas por enzimas
Enzima Tempo de meia-vida – reação não catalisada Velocidade de reação não catalisada (knão cat, s -1 ) Velocidade de reação catalisada (kcat, s -1 ) Proporção de aumento de velocidade (kcat/knão cat)
OMP -descarboxilase 78.000.000 anos 2,8 x 10 -16 39 1,4 x 1017 Nuclease estafilocócica 130.000 anos 1,7 x 10 -13 95 5,6 x 1014
AMP nucleosidase 69.000 anos 1,0 x 10-11 60 6,0 x 1012
Carboxipeptidase A 7,3 anos 3,0 x 10-9 578 1,9 x 1011 Cetosteroide isomerase 7 semanas 1,7 x 10 -7 66.000 3,9 x 1011 Triose-fosfato isomerase 1,9 dias 4,3 x 10 -6 4.300 1,0 x 109
Chorismato mutase 7,4 horas 2,6 x 10-5 50 1,9 x 106
Anidrase carbônica 5 segundos 1,3 x 10-1 1,0 x 106 7,7 x 106
Fonte: Adaptado de Berg, Tymoczko e Stryer (2007).
Outra característica das enzimas é a presença comum de cofatores para exercer a atividade catalítica. Cofatores são pequenas moléculas não proteicas e podem ser classificados em dois grupos: Metais e moléculas orgânicas, estas últimas são denominadas coenzimas.
2.1.1 Sítio Ativo
O sítio Ativo, ou sítio de ligação ao substrato é constituído pelo conjunto de aminoácidos da enzima que entram em contato com o substrato. Ou seja, é a região da enzima em que, de fato, a catálise ocorre.
2.1.1.1 Modelo Chave – Fechadura
Em 1894, Emil Fischer propôs que enzimas são estruturalmente complementares aos substratos que catalisam, de forma que se encaixam da
mesma forma que uma fechadura e sua chave correspondente. Dessa forma, o modelo ficou conhecido como Modelo Chave-Fechadura.
Figura 2: Modelo Chave-Fechadura
Fonte: Adaptado de Berg, Tymoczko e Stryer (2007)
Na visão moderna de ação enzimática, elaborada por Linus Pauling em 1946 e por William P. Jencks em 1970, as enzimas e substratos apenas possuem interações ótimas no estado de transição.
Figura 3: Enzima e Substrato complementares no Estado de Transição
Fonte: Cox e Nelson (2014).
2.1.1.2 Modelo Encaixe Induzido
Em 1958, Daniel Koshland postulou o mecanismo ajuste induzido, que afirma que a enzima também sofre uma mudança de conformação no momento em que se liga ao substrato. Esta movimentação é particularmente importante para aproximar grupos funcionais essenciais para a ocorrência da catálise.
21
Essa mudança de conformação pode envolver apenas a área próxima ao sítio ativo ou a toda sua extensão.
Figura 4: Modelo Encaixe Induzido
Fonte: Adaptado de Berg, Tymoczko e Stryer (2007).
2.2 CINÉTICA ENZIMÁTICA
A quantidade de produto formada em um intervalo de tempo em uma reação enzimática é determinada por fatores como temperatura, pH, pressão, concentrações de substrato, enzimas, produtos, inibidores e outros. No presente trabalho serão estudadas as concentrações de substrato, enzimas e produtos e o caso de inibição por produto.
2.2.1 Michaelis-Menten
O comportamento de uma variada gama de enzimas pode ser eficientemente descrito pelo modelo matemático de Michaelis-Menten, elaborado em 1913 por Leonor Michaelis e Maud Menten. Este modelo não é aplicado a enzimas denominadas alostéricas, que recebem um tratamento cinético diferenciado (CAMPBELL; FARRELL, 2011). No presente trabalho serão consideradas apenas as enzimas não alostéricas.
O mecanismo de uma catálise enzimática pode ser resumido pela Equação 3 (CAMPBELL; FARRELL, 2011).
(3)
Na equação 3: E: Enzima;
S: Substrato;
ES: Complexo enzima-substrato; P: Produto;
k1: constante de velocidade para a formação do complexo ES;
k-1: constante de velocidade para a dissociação do complexo ES em E e S;
kp: constante de velocidade para a formação de P a partir do complexo ES. A partir das constantes de velocidade mostradas na Equação 3 é possível definir uma constante conhecida como Constante de Michaelis-Menten, Km. Sua fórmula é mostrada na Equação 4 (PEREIRA, 2008).
(4)
A equação de Michaelis-Menten relaciona: a velocidade de consumo de substrato, V; a velocidade máxima, Vmáx, que corresponde à velocidade da reação quando a concentração de enzimas livres é praticamente desprezível, ou seja, todas as enzimas estão na forma do complexo ES; e Km, como mostrado na Equação 5 (COX; NELSON, 2014; BERG; TYMOCZKO; STRYER, 2007).
(5)
23 Figura 5: Dependência da velocidade inicial da concentração de substrato
Fonte: Adaptado de Cox e Nelson (2014).
Analisando a curva é possível obter três situações:
a) [S] << Km: Reação de Primeira Ordem: ;
b) : Km é igual à concentração de substrato , Km = [S];
c) [S] >> Km: Reação de Ordem zero, .
2.3 INIBIÇÃO ENZIMÁTICA
Qualquer substância que reduza a velocidade de uma reação enzimática pode ser classificada como inibidor. Inibidores são largamente utilizados na indústria farmacêutica para produzir medicamentos que inibam reações indesejadas. Um exemplo dessa aplicação é no tratamento de pacientes com AIDS. Os inibidores de proteases do vírus HIV diminuem a velocidade com que a replicação do vírus é feita, mantendo a infecção controlada (DEEKS et al, 1997).
A inibição enzimática pode ser reversível ou irreversível. Uma inibição é considerada irreversível se ocorrer uma ligação permanente entre inibidor e enzima, tornando esta enzima inativa e sem possibilidade de regeneração. Por
outro lado, em uma inibição reversível o inibidor se liga temporariamente a uma enzima e é posteriormente liberado.
A inibição reversível pode ser dividida em três classificações: Inibição competitiva, inibição não competitiva e inibição acompetitiva. Na inibição competitiva, como o nome sugere, há competição do inibidor com o substrato pelo sítio ativo da enzima. Na inibição não competitiva, ocorre ligação do inibidor com outro sítio da enzima que não seja o sítio ativo, provocando uma mudança estrutural na enzima. Nesta situação, mesmo que o substrato se ligue ao sítio ativo da enzima não ocorrerá formação de produto enquanto o inibidor estiver ligado à estrutura enzimática (CAMPBELL; FARREL, 2011). Finalmente, na inibição acompetitiva o inibidor se liga reversivelmente a um sítio do complexo ES impedindo a formação do produto (PEREIRA, 2008).
Importante notar que mesmo que uma inibição seja reversível, não será possível atingir Vmáx mesmo com o aumento de concentração de substrato no meio reacional (CAMPBELL; FARREL, 2011)
2.3.1 Inibição por substrato
Algumas enzimas são inibidas pelo substrato da reação que catalisam. Isso ocorre por meio de uma ligação não produtiva entre substrato e a enzima, o que não leva a formação do produto. Este tipo de inibição é considerado uma anormalidade bioquímica, embora estima-se que ocorra em aproximadamente 20 % das enzimas conhecidas e muitas dessas tem funções biológicas muito bem definidas. A inibição por substrato da enzima acetilcolinesterase, por exemplo, melhora a transmissão entre os neurônios aumentando a velocidade de transmissão neural. O Quadro 1 traz uma lista com exemplos de enzimas sujeitas a esse fenômeno (REED; LIEB; NIJHOUT, 2010; LIN et al, 2011).
Neste tipo de inibição, a curva de velocidade versus concentração de substrato atinge um máximo e então decresce a medida que a concentração de substrato aumenta (REED; LIEB; NIJHOUT, 2010).
25 Quadro 1: Lista parcial de Enzimas que sofrem Inibição por Substrato
Exemplo de Enzimas que sofrem Inibição por Substrato
4-hidroxifenilpiruvato hidroxilase Kynunrenina aminotransferase
Acetilcolinesterase Adenosina quinase
Piruvato quinase Frutose-l, 6-bisfosfatase
HIV1-transcriptase reversa α-glucosidase
Tirosina hidroxilase β-hidroxiesteroide desidrogenase
Álcool desidrogenase Aldeído desidrogenase
Transformilase Carboxipeptidase
Preniltransferase Glicerol-3-fosfato desidrogenase
Tripsina Piruvato descarboxilase
Fonte: Adaptado de Reed, Lieb e Nijhout, 2010.
A Equação 6 representa a cinética de inibição por substrato (PEREIRA, 2008).
(6)
Onde Ki representa a constante de inibição e K é uma constante cinética.
2.3.2. Inibição por produto
A medida que o produto de uma reação se acumula no meio reacional, pode haver inibição pelo simples efeito de marcha para o equilíbrio, resultando na reação inversa. Entretanto, em alguns casos de reações catalíticas praticamente irreversíveis é observado o fenômeno de inibição por produto. Neste caso, a concentração de produto no meio reacional atinge rapidamente um estado de saturação, dificultando análises da cinética catalítica (YAMAGUCHI; WAKASUGI; SAKAKIMA, 2008).
Em alguns casos, o efeito da inibição causada pelo produto é tão intenso que a velocidade inicial verdadeira não pode ser determinada diretamente por métodos experimentais convencionais (SCHMIDT; PESCHON; SEGEL, 1983).
As Equações 7, 8 e 9 representam as cinéticas de inibição por produto quando há inibição competitiva, acompetitiva ou não competitiva, respectivamente (PEREIRA, 2008). (7) (8) (9)
Onde P é a concentração de produto no meio reacional
2.4 IMOBILIZAÇÃO DE ENZIMAS
A Imobilização de enzimas é um método para alcançar a estabilidade necessária para a reutilização em processos enzimáticos consecutivos. Devido ao alto custo e ao tempo de meia-vida operacional curto desses catalisadores, esse é um processo essencial para tornar economicamente viável a aplicação de enzimas em larga escala (FERNÁNDEZ-FERNÁNDEZ, SANROMÁN; MOLDES, 2013).
A primeira tentativa descrita em literatura de imobilizar enzimas em uma matriz insolúvel data de 1953 e foi feita pelos pesquisadores Grubhofer e Schleith. Na década de 1960 foram desenvolvidas as primeiras técnicas de imobilização de enzimas, porém o uso industrial foi apenas iniciado na década de 1990 pela Vertex Pharmaceuticals (SOUZA et al, 2017).
A imobilização de enzimas tem como vantagens a utilização enzimática por um maior tempo, operação contínua do processo, facilitação de controle e de separação ao final da reação, maior estabilidade à temperatura e pH, facilidade de interrupção da reação dentre outros. (MENDES et al, 2011)
Atualmente, existem métodos físicos e químicos para imobilizar enzimas. O método escolhido depende de fatores como: custo da imobilização,
27
toxicidade dos reagentes, estabilidade operacional e características finais desejadas para a enzima imobilizada (SOUZA et al, 2017).
Os métodos mais empregados para imobilizar enzimas são ilustrados na Figura 6, os quais são descritos nos itens 2.4.1 a 2.4.5. Os métodos de confinamento e encapsulação são imobilizações físicas. Por outro lado, adsorção, ligação covalente e reticulação são processos químicos.
Figura 6: Métodos de Imobilização de Enzimas
Fonte: Fernández-Fernández, Sanromán. e Moldes (2013).
2.4.1. Imobilização por Confinamento
O método de Confinamento consiste em uma retenção física das enzimas em uma matriz porosa, que pode ser, por exemplo, poliacrilamida, colágeno ou gelatina. Este método é um dos mais simples empregados e não provoca alteração estrutural na enzima.
Um conjunto de enzimas é suspensa um uma solução monomérica e então uma reação de polimerização é iniciada, deixando as enzimas confinadas na matriz polimérica (SOUZA et al., 2017).
2.4.2. Imobilização por Encapsulação
Este método é baseado na inserção das proteínas em esferas poliméricas semipermeáveis com tamanho de poros que permite a difusão dos substratos, permitindo assim que a catálise ocorra.
As esferas poliméricas protegem as enzimas do contato direto com o meio reacional, minimizando possíveis efeitos de inativação. Assim como na Imobilização por Confinamento, não há perda de atividade devido à distorção do sítio ativo visto que não existe ligação química entre enzima e suporte (SOUZA et al., 2017).
2.4.3. Imobilização por Adsorção
Esta técnica é muito empregada devido a sua simplicidade e baixo custo associado. O procedimento consiste em imobilizar enzimas em um suporte por meio de interações hidrofóbicas, forças de Van der Waals e/ou ligações iônicas. A adsorção causa pouca alteração na estrutura da enzima, não interferindo significativamente na sua atividade catalítica. Entretanto, existe a possibilidade de dessorção da enzima devido a modificações no meio reacional (SOUZA et al., 2017).
2.4.4. Imobilização por Ligação Covalente
A Imobilização por Ligação Covalente, como o nome sugere, consiste na ligação covalente entre enzima e suporte. Nessa técnica, grupos nucleofilicos da cadeia proteica da enzima reagem com grupos reacionais ativados do suporte.
Por haver uma ligação de força elevada entre enzima e suporte, esse método confere rigidez estrutural, que pode levar a enzima a resistir a agentes desnaturantes. Portanto, dentre os métodos de imobilização disponíveis, a
29
imobilização por ligação covalente é o mais efetivo em estabilização operacional e térmica (SOUZA et al., 2017).
Todavia, ocorre uma alteração na conformação nativa da enzima devido à ligação covalente, o que pode causar inativação parcial ou redução da atividade catalítica da enzima.
2.4.5. Imobilização por Reticulação
Este método consiste na reação de reticulação de um preparado enzimático e um agente reticulante. Este agente reticulante consiste em uma molécula com duas ou mais extremidades reativas que se ligam aos aminoácidos de duas ou mais enzimas, criando assim um retículo de enzimas. As vantagens desse método são atividade enzimática altamente concentrada no catalisador, alta estabilidade e baixos custos de produção, visto que não se faz necessário um suporte sólido (SOUZA et al., 2017).
3. MODELAGEM MATEMÁTICA
A abordagem matemática necessária para solucionar o problema proposto leva em consideração as equações adimensionalizadas obtidas a partir do balanço material de substrato e produto no interior de uma partícula porosa contendo enzimas imobilizadas. O balanço material leva considera os fenômenos de difusão-reação do substrato e do produto no interior de uma partícula isotérmica e no estado estacionário.
Os seguintes casos de inibição serão abordados neste trabalho: inibições acompetitiva, competitiva e não competitiva por produto. As Equações correspondentes para cada caso estão descritas a seguir (PEREIRA, 2008).
a) Inibição competitiva por produto:
(10) (11)
Os Módulos de Thiele para este caso são dados pelas Equações 12 e 13. i ef máx L s S D v x 1 1 1 0 2 2 2 (12) i ef máx L s S D v x 1 1 1 0 2 2 2 (13)
Nas Equações 10-13: β = Km/S0 é a constante de Michaelis-Menten adimensional; Km é constante de Michaelis-Menten; S0 concentração de substrato na superfície da partícula; βi = Ki/P0 é a constante de inibição
31
adimensional; Ki é a constante de inibição; P0 é a concentração de produto na superfície da partícula; s = S/S0 é a concentração adimensional de substrato; S é a concentração de substrato em uma determinada posição com relação à coordenada espacial (X) no interior da partícula; x = X/XL é a coordenada espacial adimensional; X é a coordenada espacial; XL corresponde à metade da espessura da partícula catalítica para partículas com geometria retangular (α = 1) ou ao raio para cilíndrica (α = 2) e esférica (α = 3); p = P/P0 é a concentração adimensional de produto; P é a concentração de produto; ϕs é o módulo de Thiele para o substrato; ϕp é o módulo de Thiele para o produto; Def,s é o coeficiente de difusão efetivo do substrato; e Def,P é o coeficiente de difusão efetivo do produto; vmáx é a velocidade máxima de conversão de substrato em produto.
O Módulo de Thiele é a relação entre a taxa de reação na superfície e a taxa de difusão na partícula catalítica, implicando que quando este valor for grande a taxa global da reação química será limitada pela difusão interna e quando for pequeno, será limitada pela reação química na superfície da partícula catalítica (GRANATO, 2003).
b) Inibição não competitiva por produto:
i i s p s s dx ds x dx s d 1 ) ( 1 1 ) 1 ( 1 2 2 2 2 (14)
i u i p p s s dx dp x dx p d 1 ) ( 1 1 ) 1 ( 1 2 2 2 2 (15) i S ef máx L s S D v x 1 1 ) 1 ( 0 , 2 2 2 (16) i P ef máx L p P D v x 1 1 ) 1 ( 0 , 2 2 2 (17)
c) Inibição acompetitiva por produto:
i i p s s dx ds x dx s d 1 1 1 1 2 2 2 2 (18)
i i p s s dx dp x dx p d 1 1 1 1 2 2 2 2 (19) i ef máx L s S D v x 1 1 0 2 2 2 (20) i ef máx L p P D v x 1 1 0 2 2 2 (21)As condições de contorno utilizadas na resolução das Equações 10, 11, 14, 15 e 19 são representadas pelas equações 22-24.
crit a a x s dx ds e 1 0 para , em 0 e 0 (22) crit a x dx ds 0 em 0, para 0 e (23) 1 em 1 x s (24)
Nas Equações 22 e 23, a é a posição do núcleo morto (adimensional), e ϕcrit é o valor crítico de módulo de Thiele acima do qual o núcleo morto ocorre.
33
Núcleo morto é a região no interior do catalisador na qual a reação catalítica não ocorre por ausência de substrato.
A Equação 25 pode ser usada para calcular o fator de efetividade (η), que corresponde a relação entre a taxa global real de reação e a taxa de reação se as condições fossem as mesmas da superfície da partícula. Este é um parâmetro com valor entre 0 e 1 que indica o quanto a resistência difusional controla a velocidade de reação (GRANATO, M. A, 2003; PEREIRA, 2008; PEREIRA 2016). 1 2 0 1 ) ( x o dx ds S v v (25)
O fator de efetividade consiste em um parâmetro importante no projeto e operação de reatores contínuos contendo enzimas imobilizadas, pois consiste em uma relação direta entre a velocidade observada para o caso no qual se utiliza a enzima imobilizada vo com a velocidade estimada pela equação cinética para as condições reacionais da superfície da partícula (v(S0)).
A estimativa do fator de efetividade pode ser realizado por meio de métodos numéricos. Pereira e Oliveira (2016) avaliaram a eficiência de diferentes métodos numéricos e indicaram, como sendo o método mais confiável dentre os avaliados, o método da colocação ortogonal em elementos finitos.
O método da colocação ortogonal em elementos finitos, apesar de confiável, apresenta como características a baixa velocidade de convergência e a necessidade de uma estimativa inicial para o perfil de concentração de substrato (PEREIRA, 2016), o que pode inviabilizar sua utilização em simuladores de processos, comumente empregados nas etapas de projeto e operação de reatores.
Uma maneira de se resolver os problemas de baixa convergência e de não ser necessária a utilização de estimativas iniciais é utilizar equações aproximadas para o fator de efetividade em função dos parâmetros de difusão-reação. A obtenção de equações empíricas robustas e confiáveis pode ser feita por meio da utilização de ferramentas de inteligência artificial, como a
regressão simbólica que pode utilizar os resultados estimados pelo método da colocação ortogonal em elementos finitos para a obtenção dessas equações.
3.1 PROGRAMAÇÃO GENÉTICA
A programação genética foi proposta em 1992 por John Koza e é uma forma da computação baseada na Teoria da Seleção Natural proposta em 1859 por Charles Darwin. Esta técnica computacional baseia-se nos fenômenos de mutação e seleção para a busca de soluções adequadas otimizadas por modelos complexos (FRANZEN, 2002).
Analogamente ao conceito de que organismos mais adaptados a determinadas condições terem maiores chances de sobrevivência no universo em que vivem devido a mutações e seleções sofridas por seus antepassados, o modelo também busca soluções inesperadas e criativas mais adaptadas a uma determinada condição problema estipulada. Dessa forma, a programação genética faz com que haja a capacidade de resolver um dado problema mediante a uma combinação, a principio aleatória e posteriormente utilizando critérios definidos, para a busca dessa solução. (MAIA, L.; BIANCHI, R. A C., 2001; REGOLIN, 2004).
Devido a sua simplicidade e robustez, a programação genética tem sido amplamente aplicada em diversas áreas representando uma ferramenta importante de aprendizado de máquina (REGOLIN, 2004).
3.2 MÉTODOS NUMÉRICOS
Nos próximos tópicos são apresentados os métodos de colocação ortogonal global e colocação ortogonal em elementos finitos.
3.2.1 Método da colocação ortogonal global
O método de colocação ortogonal global é um meio de encontrar uma resposta aproximada para uma equação diferencial sem solução analítica. Este
35
método fundamenta-se na partição da equação diferencial na variável espacial, conforme mostra a Figura 7. A solução das equações diferenciais pode ser obtida utilizando polinômios ortogonais, como os polinômios de Legendre, que são polinômios ortogonais à solução da equação diferencial nos pontos de colocação, o que transforma o problema de valor de contorno em um problema envolvendo a solução de um sistema de equações algébricas (CAVALCANTI; CARVALHO, 2009).
Os pontos de colocação são as raízes destes polinômios ortogonais e as variáveis dependentes são soluções obtidas nestes pontos de colocação. Dessa forma, uma escolha arbitrária é evitada.
Figura 7: Colocação Ortogonal Global, np=3
Fonte: Adaptado de Cavalcanti e Carvalho (2009).
O método fundamenta-se no conceito de que qualquer função y(x) pode ser numericamente aproximada por um polinômio. Dessa forma, para resolver uma equação diferencial utiliza-se as derivadas primeira e segunda do polinômio correspondente e fixa-se os pontos de colocação como as N raízes do polinômio (STEFFANI, 1993).
Uma das maiores vantagens do método da colocação ortogonal global em relação a outros métodos é sua capacidade de estimar EDP’s precisamente utilizando uma baixa quantidade de pontos de colocação.
3.2.2 Método da colocação ortogonal em elementos finitos
O Método da colocação ortogonal global utiliza a função tentativa para um intervalo que abrange o domínio inteiro. Entretanto, há situações em que faz-se necessário subdividir este intervalo para uma maior precisão, este
procedimento resulta em aproximações melhores. Dessa forma, o domínio 0 ≤ x ≤ 1 pode ser subdivido em intervalos não necessariamente de mesmo comprimento, chamados de elementos.
As funções tentativas desse método podem ser obtidas atrás de dois métodos: o primeiro utiliza funções Lagrangeanas e o segundo utiliza polinômios de Hermite. No presente trabalho será discutido e empregado o método Lagrangeano (STEFANNI, 1993).
Neste método, adiciona-se condições que garantem que as derivadas primeiras sejam contínuas entre os elementos. Aplica-se o método de colocação ortogonal global em cada elemento para resolver o problema de valor de contorno.
37 4. MATERIAL E MÉTODOS
Por se tratar de um processo modelado a partir de balanço de massa de substrato no interior de partículas catalíticas, há um problema de valor de contorno para ser resolvido. Uma vez que não existem soluções analíticas para o fator de efetividade () para o problema de difusão-reação envolvendo as cinéticas com inibição por produto, a solução do problema proposto só pode ser obtida por meio de métodos numéricos.
O método numérico utilizado neste trabalho foi o da colocação ortogonal em elementos finitos devido a sua boa precisão. Porém, apesar de confiável, o método da colocação ortogonal em elementos finitos possui baixa velocidade de convergência e sua computacional é relativamente complexa, portanto a obtenção de equações analíticas explícitas que consigam descrever o fenômeno de difusão-reação, mesmo que de forma aproximada, torna-se importante especialmente nos casos em que a velocidade de processamento seja relevante, como no caso de simuladores de processos industriais (PEREIRA; OLIVEIRA, 2016).
Para a obtenção dessas equações explícitas aproximadas, este trabalho propõe a utilização da ferramenta de inteligência artificial de regressão simbólica via algoritmos genéticos. Para a regressão simbólica foi fornecido um robusto banco de dados numéricos de valores de fator de efetividade em função das condições de difusão-reação. Esses dados foram obtidos utilizando o método da colocação ortogonal em elementos.
A fim de reduzir a região de busca do modelo, uma vez que para representar o fenômeno em toda a sua extensão tornaria o presente trabalho impraticável dentro do tempo definido para a sua realização, foram realizadas as seguintes simplificações: geometria de partícula retangular, α = 1, como mostrado na Figura 8; processo isotérmico em regime permanente; condições de reação-difusão do produto similares à do substrato ( ); coeficientes estequiométricos iguais para produto e substrato (para cada 1 mol de substrato consumido é formado 1 mol de produto). A Figura 8 ilustra a representação esquemática de uma partícula com geometria retangular.
Figura 8: Representação de Partículas com Geometria Retangular
Fonte: Adaptado de Pereira (2008).
Considerando as simplificações apresentadas, As Equações 10 e 11 (inibição competitiva), 14 e 15 (não competitiva) e 18 e 19 (acompetitiva) podem ser simplificadas, resultando nas equações 26 (competitiva), 27 (não competitiva) e 28 (acompetitiva).
(26)
(27)
(28)
As Equações 26, 27 e 28 estão sujeitas às condições inicial e de contorno representadas pelas Equações 22, 23 e 24.
4.1 Obtenção dos Dados para a Regressão Simbólica
O método da colocação ortogonal em elementos finitos foi implementado no software Wolfram Mathematica, versão 11.2 para a simulação dos valores de fator de efetividade em função dos parâmetros de difusão-reação ( e ) a serem utilizados na regressão simbólica por programação genética.
39
Para cada uma das cinéticas de inibição por produto contempladas no presente trabalho foram estudados dois casos: uma simulação com baixos valores de , representando uma reação limitada principalmente pela reação química no interior da partícula catalítica ( ) e outra simulação com elevados valores de , representando uma reação limitada pela difusão na superfície da partícula catalítica ( ). A escolha do valor de módulo de Thiele de 1,5 se deu em função do comportamento da cinética de pseudo-ordem zero, uma condição limite que ocorre quando a concentração de substrato é muito maior que β e que 1/βi para as cinéticas com inibição apresentadas. No caso da cinética de ordem zero em partículas planas, para os valores para o fator de efetividade são iguais a 1 (problema sem núcleo-morto), sendo menores que 1 (problema com núcleo-morto) para (PEREIRA; OLIVEIRA, 2016). Em ambos os casos variou-se concomitantemente os valores de β e βi para avaliar seus efeitos no fator de efetividade do meio reacional.
Na simulação com baixos valores de (Intervalo I) adotou-se os seguintes valores para as variáveis independentes:
= [0,1; 0,11; 0,12; ... ; 1,48, 1,49; 1,50]. β = [0,01; 0,1; 1; 10; 100];
βi = [0,01; 0,1; 1; 10; 100];
Da combinação entre os valores apresentados para os parâmetros considerados no Intervalo I, foram gerados 2400 dados a serem utilizados na regressão simbólica, onde 50% destes foram utilizados na etapa de treinamento do algoritmo genético (regressão simbólica) e os outros 50% foram utilizados na validação do modelo, onde o próprio software sorteou aleatoriamente os dados utilizados para o treinamento e para a validação.
Na simulação com valores elevados de (Intervalo II) foram considerados os seguintes intervalos
: [1,5; 1,6; 1,7; ... ; 9.8, 9,9; 10,0]; β: [0,01; 0,1; 1; 10; 100];
βi: [0,01; 0,1; 1; 10; 100];
A combinação apresentada para elevados valores de gerou um total de 2150 dados a serem utilizados na regressão simbólica, onde 50 % destes
foram utilizados na etapa de treinamento do algoritmo genético (regressão simbólica) e os outros 50% na validação do modelo.
4.2 Regressão Simbólica via Algoritmo Genético
Após obtenção dos dados utilizando o método da colocação ortogonal em elementos finitos, utilizou-se como ferramenta de inteligência artificial o software Eureqa Formulize, versão 1.24.0 para obter, via regressão simbólica por programação genética, as equações empíricas aproximadas. Este software, originalmente desenvolvido pela empresa Nutonian, pertence atualmente à empresa desenvolvedora de ferramentas de inteligência artificial Data Robot Inc.
A regressão simbólica foi realizada pela minimização do valor máximo do erro percentual (Equação 29) entre os dados de fator de efetividade alimentados na regressão simbólica (ɳd) e as respostas da equação (ɳ) representadas por ɳI para o intervalo I e ɳII para o intervalo II.
(29)
Na Equação 29 o subscrito i serve para indicar que o erro percentual é calculado para cada ponto experimental. Dessa forma, o erro percentual máximo será o maior valor máximo de erro percentual obtido entre os pontos experimentais i e o erro percentual médio será a média entre os erros percentuais calculados para esses pontos experimentais.
O modelo para representar o fator de efetividade para todo o intervalo estudado é representado pela função por partes representada pela Equação 30.
41 4.2 Análise do Ajuste dos Modelos
A partir da Equação 30 foi possível avaliar, por meio de gráficos construídos utilizando o software Wolfram Mathematica, o ajuste dos modelos obtidos por regressão simbólica aos dados experimentais.
Como indicadores estatísticos da qualidade do ajuste do modelo foram considerados o coeficiente de determinação R2, o erro percentual máximo e o erro percentual médio para cada intervalo (Intervalo I e Intervalo II)
O coeficiente de determinação (R²) indica o quanto o modelo consegue representar a variação dos dados utilizados em seu ajuste, como mostra a Equação 31. (31)
Na Equação 31, m é o número de pontos utilizados na regressão simbólica e é a média entre os valores de fator de efetividade utilizados como dados de alimentação da regressão simbólica.
5. RESULTADOS E DISCUSSÃO
Os resultados obtidos para cada um dos casos de inibição, são apresentados e discutidos nos subitens a seguir.
5.1 Inibição competitiva por produto
A Equação empírica aproximada obtida para a simulação no intervalo I para o caso de inibição competitiva por produto é mostrado na Equação 32.
(32)
Os principais indicadores estatísticos relacionados à qualidade do ajuste da Equação 32 ao intervalo I são apresentados na Tabela 2.
Tabela 2: Dados estatísticos para a inibição competitiva, Intervalo I
Parâmetro Valor
Coeficiente de Determinação R² 0,9958
Erro Percentual Máximo 5,10 %
Erro Percentual Médio 0,56 %
Como mostrado na Tabela 2, coeficiente de determinação (R²) obtido indica que 99,58% da variabilidade dos dados experimentais, de forma que apenas 0,42% dessa variabilidade não é explicada pelo modelo, o que indica uma boa representação dos dados pelo modelo matemático encontrado.
O erro percentual máximo entre a previsão do modelo e os dados utilizados foi de 5,10% e o erro percentual médio foi igual a 0,56%, indicando bons ajustes pontuais. Entretanto, a equação obtida é válida apenas dentro do intervalo estudado, ou seja: entre 0,1 e 10; entre 0,01 e 100; entre 0,01 e 100; estado estacionário em condições isotérmicas; ; e para a reação envolvendo a formação de um mol de produto por mol de substrato.
43
A Equação empírica aproximada obtida para a simulação no intervalo II do Módulo de Thiele para o caso de inibição competitiva por produto é mostrada na Equação 33. (33)
Os parâmetros estatísticos indicadores da qualidade de ajuste da Equação 33 aos dados alimentados na regressão simbólica são apresentados na Tabela 3.
Tabela 3: Dados estatísticos para a inibição competitiva, Intervalo II
Parâmetro Valor
Coeficiente de Determinação R² 0,9992
Erro Percentual Máximo 4,6 %
Erro Percentual Médio 1,1 %
Como mostrado na Tabela 3, o coeficiente de determinação (R²) obtido indica que o modelo é capaz de explicar 99,92% da variabilidade dos dados experimentais, de forma que apenas 0,08% dessa variabilidade não é explicada pela Equação 33, o que indica uma boa representação dos dados pelo modelo matemático encontrado. O erro percentual máximo entre a previsão do modelo e os dados utilizados foi de 4,56% e o erro percentual médio foi igual a 1,13 %, indicando bons ajustes pontuais. Entretanto, a equação obtida é válida apenas dentro do intervalo estudado, ou seja: entre 0,1 e 10; entre 0,01 e 100; entre 0,01 e 100; estado estacionário em condições isotérmicas; ; e para a reação envolvendo a formação de um mol de produto por mol de substrato.
A Figura 9 apresenta os gráficos de ajuste para a cinética com inibição competitiva por produto e indica que, além de se ajustar bem aos dados utilizados na regressão, o modelo foi capaz de criar superfícies de resposta sem distorções, indicando que o modelo obtido pode ser utilizado com segurança para interpolação entre os casos analisados.
O gráfico contendo todas as superfícies de resposta ( = {0.01, 0.1, 10, 100}) indica que não existe a necessidade de considerar mais valores intermediários para os parâmetros e i para que seja realizada uma interpolação confiável.
45 5.2 Inibição não competitiva por produto
A Equação empírica aproximada obtida para a simulação no Intervalo I para o caso de inibição não competitiva por produto é mostrado na Equação 34.
(34)
Os parâmetros estatísticos indicadores do ajuste da Equação 34 aos dados alimentados na regressão simbólica são apresentados na Tabela 4.
Tabela 4: Dados estatísticos - inibição não competitiva no Intervalo I de ϕ
Parâmetro Valor
Coeficiente de Determinação R² 0,9883
Erro Percentual Máximo 2,7 %
Erro Percentual Médio 0,08 %
Para este caso, obteve-se um coeficiente de determinação (R²) de 98,83%, de forma que apenas 1,17 % da variabilidade das variáveis respostas é explicada por outros fatores não contemplados na equação obtida. O erro percentual máximo entre a previsão do modelo e os dados utilizados foi de 2,7% e o erro percentual médio foi igual a 0,08%, indicando bons ajustes pontuais. Entretanto, a equação obtida é válida apenas dentro do intervalo estudado, ou seja: entre 0,1 e 10; entre 0,01 e 100; entre 0,01 e 100; estado estacionário em condições isotérmicas; ; e para a reação envolvendo a formação de um mol de produto por mol de substrato.
A Equação empírica aproximada obtida para a simulação no intervalo II para o caso de inibição não competitiva por produto é mostrada na Equação 35.
(35)
Os parâmetros estatísticos que justificam o ajuste da Equação 35 ao caso estudado são apresentados na Tabela 5 a seguir
Tabela 5: Dados estatísticos para a inibição não competitiva, Intervalo II
Parâmetro Valor
Coeficiente de Determinação R² 0,9983
Erro Percentual Máximo 4,9 %
Erro Percentual Médio 1,4 %
Para este caso, obteve-se um coeficiente de determinação (R²) de 99,83%, de forma que apenas 0,17% da variabilidade das variáveis respostas é explicada por outros fatores não contemplados na equação obtida. O erro percentual máximo entre a previsão do modelo e os dados utilizados foi de 4,9% e o erro percentual médio foi igual a 1,4%, indicando bons ajustes pontuais. Entretanto, a equação obtida é válida apenas dentro do intervalo estudado, ou seja: entre 0,1 e 10; entre 0,01 e 100; entre 0,01 e 100; estado estacionário em condições isotérmicas; ; e para a reação envolvendo a formação de um mol de produto por mol de substrato.
A Figura 10 apresenta os gráficos de ajuste para a cinética com inibição não competitiva por produto e indica que o modelo se ajustou bem aos dados utilizados na regressão e foi capaz de criar superfícies de resposta sem distorções, indicando que o modelo obtido pode ser utilizado com segurança para interpolação entre os casos analisados.
O gráfico contendo todas as superfícies de resposta ( = {0.01, 0.1, 10, 100}) indica que não existe a necessidade de considerar mais valores intermediários para os parâmetros e i para que seja realizada uma interpolação confiável.
47
5.3 Inibição acompetitiva por produto
A Equação empírica aproximada obtida para a simulação no intervalo I do Módulo de Thiele para o caso de inibição acompetitiva por produto é mostrado na Equação 36. (36)
Os parâmetros estatísticos que justificam o ajuste da Equação 36 ao caso estudado são apresentados na Tabela 6 a seguir.
Tabela 6: Dados estatísticos - inibição não acompetitiva no Intervalo I de ϕ
Parâmetro Valor
Coeficiente de Determinação R² 0,9940
Erro Percentual Máximo 1,0 %
Erro Percentual Médio 0,9 %
Para este caso, obteve-se um coeficiente de determinação (R²) de 99,40%, de forma que apenas 0,6% da variabilidade das variáveis respostas é explicada por outros fatores não contemplados na equação obtida, o que implica em uma boa adequação ao modelo proposto. O erro percentual máximo entre a previsão do modelo e os dados utilizados foi de 1,0% e o erro percentual médio foi igual a 0,9%, indicando bons ajustes pontuais. Entretanto, a equação obtida é válida apenas dentro do intervalo estudado, ou seja: entre 0,1 e 10; entre 0,01 e 100; entre 0,01 e 100; estado estacionário em condições isotérmicas; ; e para a reação envolvendo a formação de um mol de produto por mol de substrato.
A Equação empírica aproximada obtida para a simulação no intervalo II o caso de inibição acompetitiva por produto é mostrado na Equação 37.
49 (36)
Os parâmetros estatísticos que justificam o ajuste da Equação 37 ao caso estudado são apresentados na Tabela 7 a seguir.
Tabela 7: Dados estatísticos - inibição não acompetitiva no Intervalo II de ϕ
Parâmetro Valor
Coeficiente de Determinação R² 0,9955
Erro Percentual Máximo 0,90 %
Erro Percentual Médio 0,25 %
Para este caso, obteve-se um coeficiente de determinação (R²) de 99,55%, de forma que apenas 0,45 % da variabilidade das variáveis respostas é explicada por outros fatores não contemplados na equação obtida. O erro percentual máximo entre a previsão do modelo e os dados utilizados foi de 0,90% e o erro percentual médio foi igual a 0,25%, indicando bons ajustes pontuais.
A Figura 11 apresenta os gráficos de ajuste para a cinética com inibição acompetitiva por produto e indica que o modelo se ajustou bem aos dados utilizados na regressão e foi capaz de criar superfícies de resposta sem distorções, indicando que o modelo obtido pode ser utilizado com segurança para interpolação entre os casos analisados. Entretanto, a equação obtida é válida apenas dentro do intervalo estudado, ou seja: entre 0,1 e 10; entre 0,01 e 100; entre 0,01 e 100; estado estacionário em condições isotérmicas; ; e para a reação envolvendo a formação de um mol de produto por mol de substrato.
O gráfico contendo todas as superfícies de resposta ( = {0.01, 0.1, 10, 100}) indica que não existe a necessidade de considerar mais valores intermediários para os parâmetros e i para que seja realizada uma interpolação confiável.
51 6. CONCLUSÕES
Os resultados obtidos utilizando regressão simbólica por programação genética para os casos de inibição estudados permitem concluir que as equações obtidas para todos os casos abordados no presente trabalho apresentam desvios muito pequenos em relação aos dados obtidos via método da colocação ortogonal em elementos finitos. Esses resultados indicam que essa ferramenta de inteligência artificial pode ser bastante útil na obtenção de equações empíricas explícitas precisas para a simulação do fenômeno de difusão-reação apresentado neste trabalho.
Os métodos e resultados apresentados neste trabalho podem colaborar com o desenvolvimento de softwares de simulação de processos mais rápidos e confiáveis.
