CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS ESTATÍSTICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA AULA 02

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Olá, amigos!

Hoje daremos seqüência ao nosso estudo, com mais uma bateria de questões! O ritmo deste Curso, conforme vocês estão percebendo, é rápido! E nem poderia ser de outra forma, tendo em vista a real expectativa por um novo concurso da Receita Federal. É, pois, de fundamental importância, que você faça um esforço de superação, e encontre tempo para resolver nossos simulados!

Superação é a palavra de ordem!

Seguem, portanto, as nossas quatorze questões de hoje. Novamente, marque a hora e comece o teste! Boa sorte!

Q U E S T Õ E S

14. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100

Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de observações de X menores ou iguais a 145.

a) 62,5% b) 70,0% c) 50,0% d) 45,0% e) 53,4%

(AFRF-2000)

Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa Classes de Salário Freqüências

Acumuladas ( 3 ; 6] 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68

Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a opção que representa a aproximação desta estatística calculada com base na distribuição de freqüências. a) 9,93 b) 15,00 c) 13,50 d) 10 e) 12,50

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23. (AFC-94) A média e a variância do conjunto dos salários pagos por uma empresa eram de $285.000 e 1,1627x1010_{, respectivamente. O valor da variância do conjunto dos salários após}

o corte de três zeros na moeda é:

a)_1,1627x107 b) 1,1627x106 c) 1,1627x105 d) 1,1627x104

44. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100

Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde à medida de assimetria de X como definida pelo primeiro coeficiente de Pearson.

a) 3/S b) 4/S c) 5/S d) 6/S e) 0

50. (FISCAL DO INSS-2002) Uma estatística importante para o cálculo do coeficiente de assimetria de um conjunto de dados é o momento central de ordem três µ3. Assinale a opção

correta.

a) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos desvios absolutos em relação à média.

b) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos quadrados dos desvios em relação à média.

c) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos desvios positivos em relação à média.

d) O valor de µ3 é obtido subtraindo-se o cubo da média da massa de dados da média dos cubos

das observações.

e) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos cubos dos desvios em relação à média.

57. (AFRF-2000) Um índice de preços com a propriedade circular, calculado anualmente, apresenta a seqüência de acréscimos δ1 = 3 %, δ2 = 2% e δ3 = 2 %, medidos relativamente ao ano anterior, a partir do ano to . Assinale a opção que corresponde ao aumento de preço do período to + 2 em relação ao período to – 1.

a) 7,00% b) 6,08% c) 7,16% d) 9,00% e) 6,11%

3. (AFRF-2002/2) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado bancário no período. a)R$2.080,00 b)R$2.084,00 c)R$2.088,00 d)R$2.096,00 e)R$2.100,00

8. (AFRF-2002/2) Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês, no regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional anual de aplicação destes capitais.

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16. (AFRF-2002/1) Indique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 4.620,00 que vence dentro de cinqüenta dias, mais o capital de R$ 3.960,00 que vence dentro de cem dias e mais o capital de R$ 4.000,00 que venceu há vinte dias, à taxa de juros simples de 0,1% ao dia. a)R$10.940,00 b)R$11.080,00 c)R$12.080,00 d)R$12.640,00 e)R$12.820,00

21. (AFRF-2001) Um capital é aplicado a juros compostos durante seis meses e dez dias, a uma taxa de juros de 6% ao mês. Qual o valor que mais se aproxima dos juros obtidos como porcentagem do capital inicial, usando a convenção linear?

a)_{46,11% b) 48,00% c) 41,85% d) 44,69% e) 50,36%}

33. (AFRF-1996) Uma empresa obteve um financiamento de $ 10.000 à taxa de 120% ao ano capitalizados mensalmente (juros compostos). A empresa pagou $ 6.000 ao final do primeiro mês e $ 3.000 ao final do segundo mês. O valor que deverá ser pago ao final do terceiro mês para liquidar o financiamento (juros + principal) é:

a) $ 3.250 b) $ 3.100 c) $ 3.050 d) $ 2.975 e) $ 2.750

43. (SEFAZ-PI-2001) Ana contraiu uma dívida, comprometendo-se a saldá-la em dois pagamentos. Em 1o_{de março de 2001, deveria ser efetuado o primeiro pagamento no valor de}

R$ 3.500,00. O segundo pagamento, no valor de R$ 4.500,00, deveria ser efetuado 6 meses após o primeiro, ou seja, em 1o_{de setembro de 2001. Contudo, no vencimento da primeira}

parcela, não dispondo de recursos, Ana propôs uma repactuação da dívida, com um novo esquema de pagamentos. O esquema apresentado foi o de efetuar um pagamento de R$ 5.000,00 em 1º de junho de 2001, e pagar o restante em 1o de dezembro do mesmo ano. Se a dívida foi contratada a uma taxa de juros compostos igual a 5% ao mês, então o valor a ser pago em 1o_{de dezembro deveria ser igual a:}

a) R$ 3.200,00 d) R$ 5.432,00 b) R$ 3.452,20 e) R$ 6.362,00 c) R$ 3.938,48

78. (TTN/94) Paulo colocou $200.000,00 à taxa de juros simples comerciais de 96% ao ano, pelo prazo de 10 meses. Entretanto, antes do término do prazo conseguiu um aumento da taxa de juros para 144% ao ano, para o restante do prazo. Sabendo-se que ao final do período recebeu o montante de $376.000,00, o tempo que o capital ficou aplicado à taxa menor foi de (juros simples comerciais para todo o período):

a) 2 meses b) 3 meses c) 6 meses d) 8 meses e) 9 meses

79. (Anal. Orçamento/1997) Um negociante, para efetuar o pagamento de encomendas, deve dispor de R$ 1.000,00 daqui a 4 meses e R$ 2.530,00 daqui a 8 meses. Para tanto, deseja aplicar hoje uma quantia X que lhe permita retirar as quantias necessárias nas datas devidas, ficando sem saldo no final. Se a aplicação for feita a juro simples, à taxa de 2,5% ao mês, o valor de X deve ser:

(A) R$ 3 000,00 (D) R$ 3 150,00 (B) R$ 3 050,00 (E) R$ 3 200,00 (C) R$ 3 100,00

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www.pontodosconcursos.com.br – PROF. SÉRGIO CARVALHO 2ª Etapa) Resolução das Questões

14. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100

Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de observações de X menores ou iguais a 145.

a) 62,5% b) 70,0% c) 50,0% d) 45,0% e) 53,4%

Sol.: A questão nos trouxe uma dist ribuição de freqüências, com duas colunas: a das classes e uma outra, a qual chamou de P, acompanhada de um sinal de percentagem (%). Ora, esse sinal % é o indicativo, é a pist a que precisamos para saber que se trata de uma coluna de freqüência relat iva – F.

E se estamos bem lembrados, existem três tipos de freqüências relat ivas: a freqüência relativa simples (Fi), a freqüência relativa acumulada crescente (Fac) e a freqüência relativa acumulada decrescente (Fad).

As duas freqüências relativas acumuladas irão começar ou terminar com 100%. É esse nosso caso? Sim! Esta coluna terminou com 100%. Daí, sabemos que é uma coluna de freqüência relativa acumulada. Ora, para saber se é crescente ou decrescente, basta acompanhar os valores desta coluna. Eles crescem ou decrescem? Aumentam ou diminuem? Aumentam. Conclusão final: temos uma coluna de freqüência relat iva acum ulada crescent e – Fac.

Podemos até reescrever a tabela, da seguinte forma: Classes Fac 70-90 5% 90-110 15% 110-130 40% 130-150 70% 150-170 85% 170-190 95% 190-210 100%

O enunciado nos pede, com outras palavras, para indicarmos qual o percentual de elementos do conjunto que apresenta valor (dentro das classes) abaixo de 145.

Analisemos a tabela acima. Vejamos a primeira classe. O que podemos dizer sobre ela?

Ora, a classe vai até o limite de 90, e a freqüência relativa acumulada crescente é 5%. Então, podemos dizer que até esse limite 90, já acumulamos 5% dos elementos do

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conjunto! Entendemos com isso que 5% dos elementos do conjunto tem valor abaixo de 90. Compreendido?

Daí, afirmaremos que 5% é a Fac associada a esse limite 90. Certo?

Para a segunda classe, cujo limite superior é 110, temos Fac de 15%. Isso nos leva a concluir que já acumulamos 15% dos elementos do conjunto até esse limite 110. Ou seja, 15% dos elementos do conjunto estão abaixo do limite 110. Podemos, pois, dizer que 15% é a Fac associada a esse limite 110. Certo?

E assim por diante!

Teremos: Æ 40% é a Fac associada ao limite 130; Æ 70% é a Fac associada ao limite 150; Æ 85% é a Fac associada ao limite 170; Æ 95% é a Fac associada ao limite 190;

O que pergunta a questão? Qual o percentual de elementos do conjunto que estão abaixo do limite 145. É isso! Observando as classes da nossa distribuição de freqüências, tentemos localizar esse valor 145. Façamos isso.

Ora, vemos que 145 não aparece nem como limite inferior, nem como limite superior de nenhuma das classes. Ao contrário, é um valor inserido na quarta classe. Vejamos: Classes Fac 70-90 5% 90-110 15% 110-130 40% 130-150 70% 150-170 85% 170-190 95% 190-210 100%

O que fazer agora? Traremos aqui para o lado de fora da tabela aquela classe dentro da qual se encontra o limite 145 que nos interessa. Faremos o seguinte desenho:

130 150

Agora, na parte de baixo do desenho, colocaremos a Fac associada a cada limite da classe, ou seja, ao limite inferior (130) e ao limite superior (150). Ora, já sabemos quem são essas Fac associadas! Teremos, portanto:

130 150

40% 70%

Agora o desenho já está quase pronto! Para completá-lo, retornaremos à pergunta da questão. O que temos na pergunta? Temos o limite 145, que fica dentro da classe. Ora, como os limites da classe ficam na parte de cima do desenho, então 145 também ficará lá. Teremos:

130 145 150

40% 70%

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www.pontodosconcursos.com.br – PROF. SÉRGIO CARVALHO 130 145 150

40% 70%

Pronto! Agora podemos m at ar a questão, fazendo uma regra-de-três simples com os seguintes valores: 20 15 130 145 150 40% 70% X 30%

Daí, conhecendo esses quatro valores destacados em azul e vermelho, formaremos uma regra-de-três simples para descobrir o valor do X. Teremos:

. 20 . = . 15 . Æ Daí: X=22,5%

30% X

Agora só nos resta compor o resultado! Até a classe anterior já estavam acumulados 40% dos elementos do conjunto. Avançando na quarta classe, até chegarmos ao limite 145, acumulamos mais 22,5% dos elementos.

Daí, concluímos que o percentual de elementos do conjunto abaixo do limite 145 será:

Æ 40% + 22,5% = 62,5% Æ Resposta!

Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa Classes de Salário Freqüências

Acumuladas ( 3 ; 6] 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68

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Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a opção que representa a aproximação desta estatística calculada com base na distribuição de freqüências.

a) 9,93 b) 15,00 c) 13,50 d) 10 e) 12,50

Sol.: A questão pede o cálculo da média (aritmética). Como o conjunto está apresentado na forma de uma dist ribuição de freqüências, então encontraremos a média pelo método da variável t ransform ada, cujos passos são os seguintes:

1º Passo) verificar se já dispomos da coluna da freqüência absoluta simples (fi). Se já a tivermos, passamos ao passo seguinte. Caso contrário, será preciso construí-la.

Ora, a tabela fornecida nos traz a coluna das classes e uma coluna de freqüências absolutas acumuladas crescentes (fac). Descobrimos isso porque não há nenhum sinal indicativo de que fosse uma coluna de freqüência relativa. Ou seja, nenhum sinal de %, nem no cabeçalho da coluna, nem ao longo dela. É acumulada porque isso está dito sobre a tabela. E é crescente porque os valores da coluna estão sempre aumentando (12, 30, 50, ...).

Em suma: precisamos construir a coluna da freqüência absoluta simples – fi. Na primeira classe (a mais de cima) estas duas freqüências – fi e fac – são iguais. Logo:

Classes de Salário fac fi

( 3 ; 6] 12 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68

E o restante da coluna do fi? Qual o comando de construção? É uma subtração: próxim a fac m enos fac ant erior. Daí, teremos:

Classes de Salário fac fi

( 3 ; 6] 12 12 ( 6 ; 9] 30 18 (=30-12) ( 9 ; 12] 50 20 (=50-30) (12 ; 15] 60 10 (=60-50) (15 ; 18] 65 5 (=65-60) (18 ; 21] 68 3 (=68-65) 2º Passo) Construir a coluna dos Pontos Médios (PM). Teremos:

Classes de Salário fac fi PM ( 3 ; 6] 12 12 4,5 ( 6 ; 9] 30 18 7,5 ( 9 ; 12] 50 20 10,5 (12 ; 15] 60 10 13,5 (15 ; 18] 65 5 16,5 (18 ; 21] 68 3 19,5

Estamos, obviamente, recordados de que o Ponto Médio de uma classe é aquele ponto que está exatamente no meio daquela classe! O próprio nome sugere isso! Caso não consigamos enxergar facilmente quem é o PM de uma classe, só teríamos que

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somar o limite inferior da classe, mais o limite superior, e dividir esse resultado por dois. Ou seja: PM=(linf + lsup) / 2

Ainda existe um facilitador: se as classe são todas de mesma amplitude (como ocorre nesta tabela, em que h=3), basta encontrarmos o valor do primeiro ponto médio (o PM da primeira classe) e sair somando esse valor com o da amplitude (h). Lembrados disso? Pois bem, adiante!

3º Passo) Construir a coluna de t ransform ação da variável, aceitando a seguinte sugestão: (Ponto Médio menos 1º Ponto Médio) / amplitude da classe. Ou seja, construiremos a seguinte coluna:

Classes de Salário fac fi PM

(

)

Yi

PM

=

−

3

5 ,

4

( 3 ; 6] 12 12 4,5 0 ( 6 ; 9] 30 18 7,5 1 ( 9 ; 12] 50 20 10,5 2 (12 ; 15] 60 10 13,5 3 (15 ; 18] 65 5 16,5 4 (18 ; 21] 68 3 19,5 5

Analisemos o que foi feito: tomamos os Pontos Médios originais, ou seja, os Pontos Médios relativos à variável original e os transformamos por meio de duas operações: 1ª operação) subtraímos de 4,5 (que é o valor do primeiro ponto médio!); e 2ª operação) dividimos por 3 (que é o valor da amplitude da classe!).

Com isso, deixamos de trabalhar com a variável original (os salários da primeira coluna) e passamos a trabalhar com uma chamada variável t ransform ada!

Outra curiosidade é que, caso sigamos a sugest ão de transformação da variável que foi aqui adotada [(PM menos 1º PM)/amplitude da classe] teremos que essa coluna será sempre formada pelos valores zero, um, dois, três, ...

Viram isso? Será sempre assim, desde que as classe tenham mesma amplitude! 4º Passo) Construir a coluna fi.Yi e fazer seu somatório. Teremos:

Classes de Salário fac Fi PM

(

)

Yi

PM

−

₌

3

5 ,

4

Yi.fi ( 3 ; 6] 12 12 4,5 0 0 ( 6 ; 9] 30 18 7,5 1 18 ( 9 ; 12] 50 20 10,5 2 40 (12 ; 15] 60 10 13,5 3 30 (15 ; 18] 65 5 16,5 4 20 (18 ; 21] 68 3 19,5 5 15 68 123

5º Passo) Calcular o valor da Média da Variável Transformada Y:

Ora, para fazer isso, aplicaremos a fórmula do cálculo da média para uma distribuição de freqüências. É a seguinte:

n

Yi

fi

Y

=

∑

.

(9)

n

Yi

fi

Y

=

∑

.

Æ

1 ,

81

68 123 =

=

Y

6º Passo) Aplicarmos, à coluna de transformação, as propriedades da Média, para soma, subtração, produto e divisão.

Ou seja, se estamos trabalhando com Média Aritmética, só precisamos nos lembrar de uma frase: a m édia é influenciada pelas quat ro operações.

Sabendo disso, faremos:

(

)

Y

PM

−

₌

3

5 ,

4

Æ

(

X

−

)

=

Y

3

5 ,

4

Æ

(

X

−

)

=

Y

3

5 ,

4

Ou seja, onde há X passa a haver

X

e onde há Y passa a haver

Y

. Simplesmente isso! Daí, verificamos que o valor de

Y

já é nosso conhecido. Foi calculado no passo anterior. Logo, isolaremos o

X

e o calcularemos. É o próximo passo! Teremos:

(

)

Y

X

−

₌

3

5 ,

4

Æ

(

)

1 ,

81

3

5 ,

4 =

−

X

Æ

X

-4,5=5,43 Æ

X

=9,93 Æ Resposta!

23. (AFC-94) A média e a variância do conjunto dos salários pagos por uma empresa eram de $285.000 e 1,1627x1010, respectivamente. O valor da variância do conjunto dos salários após o corte de três zeros na moeda é:

b) 1,1627x107 _{b) 1,1627x10}6 _{c) 1,1627x10}5_{d) 1,1627x10}4

Sol.: Uma questão mais fácil, mas que envolve o conhecimento de propriedades da Variância.

O enunciado forneceu a variância original do conjunto: S2_=1,1627x1010 Essa variância representa salários, ou seja, dinheiro.

Após, disse que os salários, que são os elementos do conjunto, sofreram um corte de três zeros na moeda!

Essa é a informação crucial do enunciado. Sofrer um corte de três zeros na moeda representa qual tipo de operação? Soma, subtração, produto ou divisão?

Imagine um salário de R$1000 (mil reais). Para sofrer um corte de três zeros, passaria a R$1 (um real). Ora para mil se transformarem em um, houve obviamente uma divisão! Por quanto? Por mil.

Conclusão: cortar três zeros de um salário corresponde à operação de dividir por m il.

O que precisamos saber agora é qual será o reflexo dessa divisão no tocante à Variância. Aí entra a propriedade: se multiplicarmos (ou dividirmos) todos os elementos de um conjunto original por uma constante, a nova Variância será a variância original multiplicada (ou dividida) pelo quadrado da m esm a const ant e!

É isso que reza a propriedade.

Se a constante usada na divisão foi 1000 (=103), então a nova variância será a variância original dividida pelo quadrado de mil, ou seja, por (103)2 = 106.

Daí:

Nova Variância = (1,1627x1010)/106 = 1,1627x104 Æ Resposta!

Só para não perder a viagem, relembremos a propriedade da variância para soma e subtração. Ocorre alguma coisa com a variância de um conjunto, caso todos os

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elementos deste sejam somados (ou subtraídos) por uma constante? Não! Absolutamente nada! Uma vez que a Variância é uma m edida de dispersão, de modo que não será influenciada por operações de soma e subtração.

Próxima!

44. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100

Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde à medida de assimetria de X como definida pelo primeiro coeficiente de Pearson.

a) 3/S b) 4/S c) 5/S d) 6/S e) 0

Sol.: A questão pede o cálculo da Assimetria do conjunto, determinada pelo primeiro coeficiente de assimetria de Pearson.

Se não lembrássemos da fórmula, na hora de resolver essa questão na prova, nem seguiríamos adiante...! Conhecer a fórmula é, pois, fundamental! Teremos que:

(

)

S

Mo

X

A

=

−

Æ 1º Coeficiente de Pearson!

Se verificarmos as opções de resposta desta questão, elas já trazem o S (desvio-padrão) no denominador. Ou seja, não será preciso calcular aqui o valor deste S. Precisaremos, portanto, para chegar à resposta, calcular as medidas que compõem o numerador da fórmula, quais sejam, Média e Moda.

Comecemos pelo cálculo da média:

1º Passo) Fazer todo o trabalho preliminar necessário para construção da coluna de freqüência absoluta simples – fi. Esse trabalho já é nosso conhecido! Teremos o seguinte: Classes Fac Fi fi 70-90 5% 5% 10 90-110 15% 10% 20 110-130 40% 25% 50 130-150 70% 30% 60 150-170 85% 15% 30 170-190 95% 10% 20 190-210 100% 5% 10 n=200