Victor Batista Calvino

FÓRMULAS SIMPLIFICADAS BASEADAS EM MEDIÇÕES DE VIBRAÇÕES PARA ESTIMATIVA DE FREQUÊNCIAS NATURAIS DE CASCOS DE NAVIOS

Victor Batista Calvino

Projeto de Graduação apresentado ao Curso de Engenharia Naval e Oceânica, Escola Politécnica, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Engenheiro Naval e Oceânico.

Orientador: Carl Horst Albrecht

Rio de Janeiro Dezembro 2017

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FÓRMULAS SIMPLIFICADAS BASEADAS EM MEDIÇÕES DE VIBRAÇÕES PARA ESTIMATIVA DE FREQUÊNCIAS NATURAIS DE CASCOS DE NAVIOS

Victor Batista Calvino

PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO NAVAL E OCEÂNICO.

Examinado por:

_______________________________________________ Prof. Carl Horst Albrecht, D.Sc.

_______________________________________________ Prof. Severino Fonseca da Silva Neto, D.Sc.

_______________________________________________ Eng. Flávia da Silva, M.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ- BRASIL. DEZEMBRO DE 2017

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Índice

1 – Introdução ... 5

2 – Objetivo ... 6

3 – Conceitos ... 6

3.1 – Vibração do sistema massa mola amortecedor ... 6

3.2 – Vibração de Sistemas Discretos ... 7

3.3 – Vibração em Navios... 9

3.4 – Viga de Timoshenko ... 9

3.5 - Massa Adicional ... 11

3.6 – Frequência Natural de Vibração e Ressonância ... 14

3.6 – Frequência Natural de Kumai ... 15

4 – Objetos de estudo ... 16

5 – Dados da Prova de Mar ... 17

6 – Dados do PROSEC ... 19

7 – Fórmula de Kumai Modificada ... 19

8 – Análise Numérica e Resultados ... 21

9 – Conclusão e Trabalhos Futuros ... 22

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Lista de Figuras

Figura 1 - Flexão de vigas de Timoshenko ... 11

Figura 2 - Gráfico para o coeficiente de massa virtual vertical ... 12

Figura 3 - Gráfico para o coeficiente de massa virtual horizontal ... 13

Figura 4 - Localização dos Transdutores ... 18

Figura 5 - Descrição dos pontos de vibração ... 18

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1 – Introdução

As vibrações dos navios são objeto de importante estudo na área de Engenharia Naval, a ocorrência de tais vibrações pode prejudicar e colocar em risco todo o projeto de um navio, pois vibrações excessivas podem colocar em risco as condições estruturais e a integridade da embarcação.

Tal fenômeno também é responsável por avariar determinados sistemas e equipamento, além de afetar as condições estruturais do navio. Em caso de vibrações que causem ressonância, a estrutura do navio estaria sujeita a falhas levando ao colapso estrutural. Vibrações em excesso afetam também a operacionalidade do navio.

Todos os navios sofrem influências das vibrações, pois elas são respostas dinâmicas a diversos modos de perturbação, de maior ou menor intensidade. As vibrações são forças que variam de forma cíclica ao longo do tempo atuando em todo o navio, casco, elemento estrutural, equipamentos, entre outros.

Com base em estudos de navios que tiveram problemas com vibrações podemos observar que os problemas mais relatados são as vibrações nas estruturas primarias e na vibração dos sistemas propulsivos.

Um dos estudos mais importantes no projeto de um navio é o estudo das vibrações, evitando assim que o navio depois de pronto e em operação atinja a frequência de ressonância. Para isso devemos fazer cálculos para estimar a frequência natural de vibração antes de sua construção, assim podemos projetar o navio para que não haja nenhum problema acarretado pelas vibrações do navio durante navegação e operação

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2 – Objetivo

O objetivo desse trabalho é ajustar coeficientes utilizados em fórmulas simplificadas para estimar as frequências naturais de cascos de navios, baseados em medições de vibrações em provas em escala real, realizadas durante a prova de mar dos navios em estudo.

Através de cálculos matemáticos podemos encontrar formulas e maneiras de estimar a frequência natural de vibração de navios. Para encontrarmos tais frequências é necessário que seja feito um estudo da massa adicional causado pelo movimento acelerado do navio. Os movimentos das partículas de água próximas ao casco do navio causam um efeito de soma ao deslocamento da embarcação e interfere diretamente no cálculo das frequências naturais.

Diversos métodos para o cálculo da massa adicional já forma estudados e com base nessa massa, foi possível encontroar os valores das frequências naturais dos navios, as massas adicionais forma calculadas através dos métodos de Burril, Todd, Kumai e Landweber.

Vamos avaliar uma nova formulação para o cálculo da frequência natural, baseada na formula de Kumai [1] e verificar se ela se aproxima dos resultados antes obtidos, para que seja possível aprimorar os cálculos das frequências naturais para que ela seja o mais próximo da real.

3 – Conceitos

3.1 – Vibração do sistema massa mola amortecedor

Obtemos a vibração da força dinâmica f(t) do sistema massa, mola e amortecedor pela equação abaixo:

𝑚𝑢̈ + 𝑐𝑢̇ + 𝑘 𝑢 = 𝑓(𝑡) (3.1)

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ü - Aceleração

u̇- Velocidade

u – Deslocamento

Quando ocorre uma perturbação no sistema, f(t)=0, a solução da equação acarreta um deslocamento dado por:

𝑢(𝑡) = 𝐴₀ 𝑒−(2𝑚𝑐)𝑡. cos (𝜔_𝑎𝑡 + 𝝋) (3.2)

Onde:

A0 – Amplitude

ω_a – Frequência Natural (rad/s)

ω_a = √k m− ( c 2m) 2 _{= 2πf} a (3.3)

𝜑 – Fase entre a força e o deslocamento

3.2 – Vibração de Sistemas Discretos

A equação diferencial de equilíbrio dinâmico de um sistema discreto é expressa pela fórmula:

[M]{ü}+[C]{u̇}+[K]{u}=f(t) (3.4)

Onde:

[M]- Matriz massa

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[K] – Matriz de rigidez

{ü} – Vetor aceleração

{u̇} – Vetor velocidade

{u} – Vetor deslocamento

Como dito anteriormente um dos problemas mais graves no que se refere ao estudo das vibrações dos navios é quando frequência de excitação atinge a frequência natural da estrutura do navio, causando assim a ressonância.

Podemos supor que a solução e {u} é dada pela fórmula abaixo:

{u}={φ}sen (ω t) (3.5)

Substituindo a equação 3.5, na equação 3.4, podemos chegar a fórmula:

[K]{φ}=ω²[M]{φ} (3.6)

Onde:

{φ} – Autovetor (modos de vibração)

ω² - Autovalor

A equação 3.6 é conhecida como a Equação Geral de Autovalores e Autovetores, que representam, respectivamente, os quadrados das frequências naturais e os modos de vibração do sistema.

Existem métodos diretos e iterativos pra a solução de grandes sistemas, que dependendo do grau de liberdade, se faz necessário o uso dos métodos iterativos, pois são

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mais eficientes, já os diretos são mais eficientes para graus de liberdade que não sejam muito grandes.

3.3 – Vibração em Navios

Podemos dividir as vibrações existentes em um navio em dois grupos, a vibrações da Viga Navio (vibrações globais) e a vibrações localizadas.

As vibrações da viga navio (vibrações globais) estão relacionadas as vibrações verticais e horizontais devido ao esforço de flexão do navio, são essa vibrações torcionais e vibrações longitudinais. Tais vibrações criam a necessidade do conhecimento da distribuição longitudinal das massas e de algumas considerações especiais sobre a influência da superestrutura da embarcação e da massa de fluido adicional ao longo do comprimento do navio.

Na vibração da viga navio, devemos considerar o navio como uma viga, onde temos três importantes tipos de vibração, a lateral da estrutura (vertical e horizontal), a torcional e a longitudinal da viga-navio.

3.4 – Viga de Timoshenko

Para analisarmos as vibrações de um navio, é necessário a representação da estrutura do navio através de elementos estruturais conhecidos e de análise fácil, como o movimento do navio em meio a fluído pode ser comparado ao movimento de uma viga, podemos utilizar o termo viga-navio.

Timoshenko [2] considera em sua teoria que na deflexão de uma viga, as seções transversais se mantem planas, mas não ortogonais ao eixo neutro, devido ao efeito da força cortante, fazendo com que a seção gire em torno do seu centro de cisalhamento. No caso de um navio não devemos ignorar a distorção do cisalhamento nem a inercia rotativa das seções, pois fazem grande diferença nos cálculos. O efeito da rotação na seção transversal se apresenta

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em uma viga cuja seção não é desprezível em relação ao seu comprimento. O momento fletor produz uma rotação da seção, que tem diferentes inclinações para a posição no comprimento da viga cujo eixo de rotação é o eixo neutro horizontal. Este efeito pode-se expressar em termos da inércia rotativa e aceleração angular da seção.

Podemos observar que a equação (3.7) representa o comportamento da viga devida à deflexão e a equação (3.8) representa o comportamento da viga devido ao cisalhamento de Timoshenko [2]. 𝑀(𝑥, 𝑡) = 𝐸 ∗ 𝐼(𝑥)𝜕𝛾(𝑥,𝑡) 𝜕𝑥 (3.7) 𝑉(𝑥, 𝑡) = 𝑘′𝐺𝐴(𝑥)𝛽(𝑥, 𝑡) (3.8) Onde: M(x,t) – Momento Fletor V(x,t) – Força cortante

Ƴ(x,t) – Inclinação da seção transversal devida apenas a flexão (rad)

I(x) – Momento de inércia de área da seção transversal (𝑚4)

Β(x,t) – Deformação por cisalhamento (rad)

k’GA(x) – Rigidez ao cisalhamento

E – Modulo de Young (Pa)

Considera-se uma viga de comprimento L, de largura B, de altura H, área da seção transversal A é momento de inércia I, sobre a qual atua uma série de cargas verticais e momentos contidos no plano xz, Figura 3.5.

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1. Os deslocamentos verticais de todos os pontos de uma mesma seção transversal são pequenos e iguais ao o eixo da viga.

2. O deslocamento lateral (segundo o eixo y é nulo).

3. As seções planas normais para o eixo da viga antes da deformação mantêm-se planas, porém não necessariamente normais ao eixo depois da deformação.

Figura 1 - Flexão de vigas de Timoshenko

3.5 - Massa Adicional

Faz-se necessário o estudo do conceito de massa adicional de um navio, pois o mesmo encontra-se submerso e com a aceleração do eu deslocamento, existe a movimentação de partículas fluidas ao seu redor. A reação dessas partículas do meio fluido no casco é o conceito de massa adicional. A massa virtual que depende da profundidade do meio e da forma do casco deve ser dimensionada e acrescentada à massa da estrutura.

Podemos determinar o cálculo da massa virtual por diversos métodos, entre eles: Burril, Todd, Lewis [4] e Kumai. O método desenvolvido por Lewis é o que tem uma maior precisão em comparação aos outros modelos. A partir de resultados determinados para uma seção circular, determinou resultados para seções típicas de navios.

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A partir dos resultados de Lewis, Landweber [3] gerou dois gráficos com curvas Cv e Ch – coeficiente de massa virtual vertical e coeficiente de massa virtual horizontal, respectivamente. Nas figuras abaixo estão representadas os gráficos com as curvas de Cv e Ch.

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Figura 3 - Gráfico para o coeficiente de massa virtual horizontal

As curvas tem como parâmetro de entradas os adimensionais λ e σ.

Onde:

λ = 𝑑_𝑏 – Relação calado/meia boca na seçã0

σ = S

2b d – S é a área imersa da seção.

Com os valores dos parâmetros iniciais do navio e utilizando as curvas de massa virtual descritas acima podemos calcular as massa virtuais por unidade de comprimento através das fórmulas listas abaixo.

𝑚′𝑣 = 1

2𝜋𝜌𝑏²𝐶𝑣 (3.9)

𝑚′_𝐻 =1

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Os métodos de Burril, Todd e Kumai são empíricos e fornecem resultados aproximados através das fórmulas listadas abaixo:

- Burril 𝑚′_{= 𝑚(1 +} 𝐵 2𝑇) (3.11) - Todd 𝑚′= 𝑚(1,2 + 𝐵 2𝑇) (3.12) - Kumai 𝑚′ = 𝑚[1 + 0,4𝐵 𝑇− 0,035 ( 𝐵 𝑇) 2 ] (3.13)

3.6 – Frequência Natural de Vibração e Ressonância

Frequência de ressonância ou frequência natural é a frequência (ou conjunto de frequências) particular de um corpo em vibração livre, determinada pelo tamanho, forma e composição. Um método de identificá-la consiste em impactar o objeto de análise e, com isso, excitar sua frequência de ressonância.

Quando um corpo sofre uma perturbação periódica externa (em outras palavras, uma vibração forçada) cuja frequência iguala-se à natural, ocorre o fenômeno denominado ressonância. Nesse caso, uma vibração comparavelmente fraca pode produzir vibrações mais intensas, pois o corpo recebe energia da fonte externa periodicamente.

A frequência natural de cada objeto é determinada por sua massa e rigidez. Aumentar a massa (ou peso) de um objeto reduz ou abaixa a sua frequência natural. Aumentar a rigidez do objeto, aumenta ou sobe sua frequência natural.

15 3.6 – Frequência Natural de Kumai

Através de alguns parâmetros e dados das embarcações é possível estimar a frequência natural de vibração com precisão suficiente para algumas avaliações pra eliminares, tais fórmulas são fórmulas empíricas. A seguir podemos visualizar a formula proposta por Kumai.

𝑁_2𝑟 = 1.62 ∗ 106 _{∗ √} 𝐼𝑣 ∆𝑖∗𝐿3 (𝐻𝑧) (3.14) Onde: 𝐼𝑣 – Momento de inércia (𝑚4) ∆_𝑖 = (1,2 +1 3∗ 𝐵

𝑇𝑀) ∗ ∆ - Deslocamento incluindo a massa virtual de água adicionada (kg) L – Comprimento entre perpendiculares (m)

B – Boca à meia nau (m)

𝑇_𝑀 – Calado de projeto (m)

Tal formulação tem uma precisão de 10% se compararmos com analise de outros métodos de elementos finitos.

Para modos mais elevados utilizamos a fórmula abaixo:

𝑁_𝑛𝑣= 𝑁_2𝑣∗ (𝑛 − 1)𝜇𝑣 (Hz) (3.15)

Onde:

n – Numero de nós do modo de vibração

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𝜇𝑣 = 1,0 para graneleiros

𝜇𝑣 = 0.845 para navios de carga

Pelo fato de que tanto a distribuição de massa quanto a rigidez estão se tornando cada vez mais influenciáveis ao sistema de vibração a precisão da fórmula é reduzia significativamente.

4 – Objetos de estudo

Para que fosse possível o estudo de uma nova fórmula para aprimorarmos as frequências naturais obtidas em analises experimentas, afim de que elas sejam cada vez mais próximas da realidade para podermos prever com mais precisão os possíveis problemas que tais vibrações causariam durante a operação de um navio antes mesmo de sua construção, foi feita uma compilação de diversos navios para o estudo das suas frequências naturais.

As embarcações que serão analisadas já foram objetos de estudo de outros projetos de graduação dessa instituição, por isso temos todos os dados necessários para a análise, tantos os dados obtidos em provas de mar quanto os dados obtidos por outros métodos e/ou softwares de análise de elementos finitos.

A seguir encontra-se uma tabela com as navios que foram utilizados no estudo, os dados de suas características principais, os dados obtidos em outros estudo pelo Software PROSEC e suas frequências naturais obtidas em suas provas de mar.

Tabela 1 – Compilação dos navios em estudo

LOA LPP B D T Tmax ATOTAL(m²) AEEVERT(m²) K' (%) Iy IX 1º 2º 3º 4º ∆

74.30 68.00 17.00 7.20 5.00 6.00 1.460 0.282 19.300 9.390 18.600 2.500 5.000 8.300 9.900 3836 186.60 176.00 31.00 16.20 - 11.80 3.040 0.631 20.800 138.000 216.600 0.940 1.790 2.980 3.300 28000 160.90 155.00 26.00 11.90 7.90 8.40 2.280 0.489 21.400 57.600 95.900 0.962 2.200 3.120 4.290 25759 183.00 174.00 32.20 18.60 7.10 12.80 4.060 1.490 36.700 201.100 270.600 1.170 1.970 3.070 4.520 48300 197.10 188.40 32.20 17.75 9.75 11.50 4.390 0.155 3.530 176.700 14.800 - - - 5.300 47455 243.10 233.80 32.20 19.10 7.15 13.00 3.230 1.097 33.960 193.900 - 0.717 1.520 2.170 2.950 78000 GRANELEIRO DOCEBETA EMBARCAÇÕES

DADOS PROSEC FREQUÊNCIAS

PETROLEIRO ITAIATUBA AHTS TOPÁZIO

PETROLEIRO CANTAGALO PETROLEIRO CELSO FURTADO GRANELEIRO GYPSUM INTEGRITY

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Onde:

LOA – Comprimento total do navio (m)

LPP – Comprimento entre perpendiculares (m)

B – Boca(m)

D – Pontal (m)

T – Calado (m)

Tmax – Calado carregado (m)

ATOTAL – Área total da seção mestra (m²)

AEEVERT – Área efetiva no cisalhamento vertical (m²)

K’ – Coeficiente da área de aço efetiva no cisalhamento

∆ - Deslocamento (ton)

5 – Dados da Prova de Mar

A prova de mar é a fase de teste do navio, é a última fase da construção e ocorre em aguas abertas, pode durar algumas horas ou dias. Tem o intuito de medir o desempenho de um navio e sua navegabilidade em geral. Testa sua velocidade, manobrabilidade, segurança e todas as características do navio em operação.

Durante a prova de mar é possível fazer medições das vibrações e consequentemente das frequências naturais de vibração de determinadas partes do navio, o estudo dessas vibrações serve entre outras para averiguar as possíveis causas de fadigas e acidentes que podem ocorrer em vibrações excessivas ou até mesmo se a vibração pode acarretar em uma frequência de ressonância de determinada parte do navio, ou até mesmo da viga-navio.

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Para a obtenção dos dados das frequências naturais foram analisados duas condições de carregamento, plena carga e lastro e para uma faixa de rotação principal em cada navio. Foram instalados três transdutores de aceleração para a medição simultânea das vibrações localizadas de acordo com a figura abaixo.

Figura 4 - Localização dos Transdutores

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6 – Dados do PROSEC

O software PROSEC se baseia na teoria do fluxo cisalhantes, desenvolvido pelo Engenheiro Antônio Carlos Ramos Troyman (LEME/UFRJ). Além das áreas efetivas de cisalhamento, a saída do PROSEC, também nos fornece os seguintes itens: centro de área, constante torcional de St Venant e centro de cisalhamento.

Os dados de entrada são distribuídos em três partes: strings, células e ramais. Os Strings são responsáveis por definir a geometria da seção, as células serão definidas pelos strings, já os ramais são para definir as sequencias de determinação dos fluxos de tensão cisalhante.

Como os navios utilizados neste estudo já foram objetos de estudos anteriores estamos usando os dados obtidos durante os mesmos. A introdução acima é apenas uma observação de como os dados foram analisados pelo programa até chegar aos parâmetros encontrados na tabela 1 desde relatório.

7 – Fórmula de Kumai Modificada

Com base na fórmula de Kumai e em outros parâmetros discutidos anteriormente será proposta uma modificação na fórmula, acrescentado novos parâmetros para tentar aproximar e melhorar a precisão da estimativa que a fórmula de Kumai nos dá.

Abaixo será demonstrada a dedução da Fórmula de Kumai modificada proposta para este estudo, será com base nela que todos os cálculos serão feitos para compararmos com os dados obtidos na prova de mar, com os dados obtidos pela Fórmula de Kumai original.

Através da Teoria das Vigas de Timoshenko que considera a inercia de rotações das seções e o efeito da força cortante, vamos utilizar o angulo total de torção, que é de grande utilidade na verificação experimental da teoria e tem sido confirmada por inúmeras experiências.

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𝛷 =

12∗𝐸∗𝐼 𝐺∗𝐴′∗𝐿²

= 24 ∗ (1 + 𝜈) ∗

𝐴 𝐴′

∗ (

𝜏_𝑦 𝐿

)²

(7.1) Onde:

𝜏

_𝑦

= √

𝐼𝑥 𝐴

-

Tensão de Cisalhamento

𝐼

′

=

𝐼 (1+𝛷) (7.2)

𝛷 = 24 ∗ (1 + 𝜈) ∗

𝐴 𝐴′

∗

𝐼_𝑥 𝐴

∗

1 𝐿2 (7.3)

A partir das equações descritas, utilizando os parâmetros de coeficiente de massa virtual vertical de Landweber vamos descrever a fórmula de Kumai modificada.

𝑁

_2𝑣

=

√

12∗𝐸∗ 𝐼 1+24∗(1+𝜈)∗𝐼 𝐾′∗𝐴∗𝐿² ∆_𝑀∗(1+𝐶_𝑣)∗𝐿3 (7.4) Onde:

𝐸 - Módulo de elasticidade (Pa)

𝐼 - Momento de inércia da seção-mestra (𝑚4 ) A - Área da seção-mestra (m)

𝐿 - Comprimento entre perpendiculares (m)

𝜈

- Coeficiente de Poisson (--)

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∆

_𝑀- Deslocamento da embarcação (kg)

𝐶

_𝑣 - Coeficiente de massa adicional vertical

𝑘′ - Coeficiente de área de aço efetiva no cisalhamento

8 – Análise Numérica e Resultados

Com a Formula de Kumai modificada definida vamos utilizar os dados dos navios compilados, suas frequências obtidas nas respectivas provas de mar e os dados do software PROSEC que foram gerados em outros estudos.

Para obter uma maior gama de resultados para comparação das frequências obtidas através da fórmula modificada e das frequências obtidas na prova de mar, utilizou-se três valores para o coeficiente de massa virtual vertical de Landweber para ver em qual faixa os valores se aproximavam mais dos valores obtidos experimentalmente.

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Após definir os valores do coeficiente de massa virtual vertical utilizados, calculamos através da Formula de Kumai Modificada os valores para as frequências naturais de cada navio.

Kumai MOD Kumai Cv EMBARCAÇÕES 0.75 1 1.15 1º AHTS TOPÁZIO 3.300 2.674 2.405 3.958 2.500 PETROLEIRO ITAIATUBA 1.177 0.953 0.857 1.411 0.940 PETROLEIRO CANTAGALO 0.990 0.802 0.721 1.187 0.962 PETROLEIRO CELSO FURTADO 1.114 0.902 0.812 1.335 1.170 GRANELEIRO GYPSUM INTEGRITY 0.939 0.760 0.684 1.130 - GRANELEIRO DOCEBETA 0.562 0.455 0.410 0.674 0.717

Tabela 2 – Resultados das frequências obtidas através da Formula de Kumay modificada

9 – Conclusão e Trabalhos Futuros

Podemos observar que os resultados variam de acordo com a geometria do casco e com o tipo de navio a ser estudado, observamos que para cada coeficiente de massa virtual vertical temos uma melhor aproximação da frequência obtida experimentalmente se compararmos a fórmula de Kumai original. Apenas o Graneleiro Docebeta apresentou uma diferença maior nas formulas calculadas, do que com a fórmula original de Kumai. Verifica-se que os valores obtidos pela Fórmula de Kumai modificada ficam na faixa de 95% do valor medido em prova de mar, muito mais próximo do que os obtidos pela fórmula original onde todos os valores estão 10% acima do valor experimental.

Os testes foram feitos para o primeiro e segundo modo de vibração das frequências, porém os resultados obtidos para o segundo modo de vibração tiveram erros muito discrepantes e que nos faz concluir que a fórmula modificada ainda precisa ser mais aprimorada antes que possa ser utilizada.

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Pode-se observar pela análise dos resultados obtidos e apresentados na tabela 2, é possível aprimorar a fórmula a ponto de conseguirmos melhorar os erros em relação ao segundo grau de vibração e ao observar a figura 6, onde estão listados os valores dos coeficientes de massa vertical utilizados, pode-se chegar a conclusão que se interpolarmos os valores do coeficiente de massa vertical, utilizando os valores encontrados, podemos ter uma aproximação muito maior dos valores reais medidos nas provas de mar.

Com isso tem-se novos trabalhos que podem ser feitos a partir deste relatório, um trabalho que seja feito com base na interpolação dos valores do coeficiente de massa para melhorar o erro do primeiro grau de vibração obtido pela nova formulação proposta e um outro trabalho para aprimorar a fórmula afim de conseguir resultados mais satisfatórios para o segundo modo de vibração.

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10 – Bibliografia

[1] KUMAI, T. On the Estimation of Natural Frequencies for Verticl Vibration of Ships. Reports of Research Institute for Applied Mechanics, Vol. 16, No. 54. 1968.

[2] S.P. Timoshenko e J.E. Gere, Mecânica dos Sólidos, Vols. 1, Livros Técnicos e Científicos, Rio de Janeiro, 1994.

[3] LANDWEBER, L., De Macagno, M. C., Added Mass of Two-Dimensional Forms Oscillating in a Free Surface. SNAME, 1957.

[4] LEWIS, F.M., The Inertia of the Water Surrounding a Vibrating Ship. SNAME, 1929.

[5] ZEBULUM, A. O., Estudo da Qualidade de Modelos de Elementos Finitos Unidimensionais para Análise de Vibrações: Comparação com Dados Medidos. Projeto de Graduação, UFRJ, Rio de Janeiro, Agosto 2015.

[6] DA SILVA, F., Investigação do Comportamento Dinâmico de Navios por Meio de Modelos Unidimensionais. Dissertação de Mestrado, UFRJ, Rio de Janeiro, Junho 2014.