Modelos ARMA espaço-temporais e a sua aplicação na modelação da radioatividade no ambiente em Portugal

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Modelos ARMA espaço-temporais e a sua aplicação na

modelação da radioatividade no ambiente em Portugal

Salvador Menano de Figueiredo Malfeito Freire

Dissertaç ão para obtenç ão do Grau de Mestre em

Matemática e Aplicações

Orientador:

Prof. Dr. Manuel González Scotto

Prof.

a

_{Dra. Susana Barbosa}

Júri

Presidente: Prof. Dr. António Manuel Pacheco Pires

Orientador: Prof. Dr. Manuel González Scotto

Vogal: Prof.

a

_{Dra. Sónia Cristina Alexandre Gouveia}

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Agradecimentos

Agradeço ao Professor Manuel Scotto em primeiro lugar, pela orientaç ão, disponibilidade e incentivo, pelos conselhos e cr´ıticas. Sem ele a realizaç ão da dissertaç ão seria imposs´ıvel. N ão s ó pelo seus enormes conhecimentos na área mas tamb ém pelo seu lado humano e motivacional.

Agradeço tamb ém à minha fam´ılia e amigos pelo constante apoio que me deram, e que de algum modo contribu´ıram para a realizaç ão da dissertaç ão.

Por fim agradec¸o aos meus colegas, que conheci durante o meu percurso acad ´emico e que ajuda-ram a crescer do ponto de vista pessoal e profissional.

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Resumo

As s éries temporais est ão constantemente presentes no nosso dia-a-dia: em economia, ambiente, meteorologia, sa úde entre outras áreas. Assim, tornou-se imprescind´ıvel desenvolver metodologias, de modo a compreender o comportamento de qualquer vari ável ao longo do tempo.

As metodologias para estudar s éries temporais n ão s ão propriamente recentes. Entre elas, destacam-se as metodologias propostas com Box-Jenckins, e a sua extens ão por parte de Pfeifer e Deutsch (1980) para modelar v árias s éries temporais em simult âneo. Os modelos espaço-temporais, STARMA, descrevem simultaneamente v árias s éries temporais tendo em conta uma componente espacial entre elas. Assim, cada valor observado no local i e no instante t é expressa como uma combinaç ão linear ponderada de observaç ões desfasadas no tempo e no espaço.

Nesta dissertaç ão procurou-se assim detalhar toda a literatura dos modelos SARIMA e STARMA: a sua caracterizaç ão, m étodos de identificaç ão para selecionar um bom modelo, estimaç ão de par âmetros e diagn óstico de modelos. Posteriormente, aplicou-se os conceitos a uma aplicaç ão real: a medidas de radioatividade em 8 cidades portuguesas.

Ao longo do trabalho, descreveu-se oito s éries temporais individualmente, cada uma com um mo-delo SARIMA, e todas em simult âneo com um momo-delo STARMA. Testaram-se v ários momo-delos e, quer na modelaç ão univariada, quer na modelaç ão espaço-temporal, foram alcançados resultados satisfat órios. Depois de encontrados os ”melhores” modelos (que descrevessem adequadamente as s éries tempo-rais), seguiram-se as provis ões. Em ambos os casos foram obtidos resultados satisfat órios, e seme-lhantes entre os modelos SARIMA e STARMA. Apesar de n ão ser clara a escolha entre a modelaç ão univariada e multivariada, destaca-se o modelo STARMA, que descreve todas as s éries com um s ó modelo e inclui ainda uma componente espacial.

Palavras-chave:

S éries temporais, SARIMA, Modelaç ão espaço-temporal, STARMA, Radi-oatividade.

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Abstract

There are many fields, which time series theory could be applied: economy, environment, healthcare and many others. Hence, it is crucial to study further these concepts to describe data points in time order.

Since the beginning of the last century, many studies have been developed to model time series correctly. In a widely range of different approaches, the most famous one is the methodology introduced by Box-Jenkins to study univariate time series. Many years later, in 1980, Pfeifer and Deutsch extended that methodology and proposed an approach to model many time series at the same time. This ex-tension is called Spatial and Temporal Modelling, STARMA, and it is able to describe many time series simultaneous including a spatial component. Furthermore, each observation in each site i and at time t is a weighted linear combinations of the lagged observations in space and time.

In this thesis, the main goal is to describe an univariate and spatial and temporal time series mo-delling (SARIMA and STARMA): a characterization of each model, how to identify the best model to describe some data set, the parameters estimation and a diagnosis analysis of a certain model. After describing time series theory, these concepts were applied to radioactivity measures collected in eight portuguese cities.

Over this dissertation, eight time series were modelled independently by SARIMA models, and also all together by a STARMA model. Many models were tested, and the best models had been chosen for forecasting. The results were good in both univariate and multivariate cases, and the predictions were accurate too. Although it is almost impossible to choose between univariate and space time mo-delling, the STARMA model is able to fit many time series at the same time, and also includes a spatial component.

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Conte ´

udo

Agradecimentos . . . v

Resumo . . . vii

Abstract . . . ix

Lista de Tabelas . . . xiii

Lista de Figuras . . . xv

Gloss ´ario . . . xix

1 Introduç ão 1 1.1 Motivaç ão e contextualizaç ão . . . 1

1.2 Radioatividade em Portugal . . . 2

1.3 Objetivos e Estrutura da Dissertac¸ ˜ao . . . 3

2 Revis ão Bibliogr áfica 5 2.1 Aplicaç ões dos modelos SARIMA e espaço-temporais STARMA . . . 5

3 Modelos e M ´etodos 11 3.1 Modelos SARIMA . . . 12

3.1.1 Modelo Autorregressivo de ordem p . . . 12

3.1.2 Modelo de M ´edias M ´oveis de ordem q . . . 12

3.1.3 Modelo Autorregressivo e de M ´edia M ´oveis (p,q) . . . 13

3.1.4 Modelo Autorregressivo e de M ´edias M ´oveis integrado (p,d,q) . . . 13

3.1.5 Modelo Autorregressivo e de M ´edias M ´oveis Integrado Sazonal . . . 14

3.2 Metodologia de Box-Jenkins para modelos SARIMA . . . 16

3.2.1 Identificaç ão . . . 16 3.2.2 Estimaç ão . . . 16 3.2.3 Diagn óstico . . . 17 3.2.4 Previs ão . . . 19 3.3 Modelo STARMA . . . 20 3.3.1 Desfasagem espacial . . . 20 3.3.2 Caracterizaç ão . . . 22

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3.4 Extens ão da Metodologia de Box-Jenkins para modelos STARMA . . . 26 3.4.1 Identificaç ão . . . 26 3.4.2 Estimaç ão . . . 28 3.4.3 Diagn óstico . . . 31 3.4.4 Previs ão . . . 32

4 Aplicaç ão das metodologias propostas a um caso pr ático - Radioatividade em Portugal 33 4.1 Descriç ão do Problema/Dados . . . 33

4.2 Aplicac¸ ˜ao da metodologia SARIMA . . . 36

4.3 Aplicac¸ ˜ao da metodologia STARMA . . . 49

5 Consideraç ões finais 67 5.1 Conclus ões . . . 67

5.2 Dificuldades . . . 67

5.3 Trabalhos futuros . . . 68

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Lista de Tabelas

3.1 Caracter´ısticas te óricas das funç ões de autocorrelaç ão e parcial para modelos AR, MA e

ARMA. . . 16

3.2 Caracter´ısticas te óricas das funç ões de autocorrelaç ão espaço-temporal e parcial para modelos STAR, STMA e STARMA. Adaptado de Rao e Antunes (2003) . . . 28

4.1 N úmero de observaç ões e respetiva percentagem . . . 34

4.2 Medidas descritivas dos dados . . . 36

4.3 Modelos identificados para modelar as 8 cidades . . . 44

4.4 Sum ´ario do modelo ARIMA (1,0,1) para Braganc¸a . . . 44

4.5 Sum ´ario do modelo ARIMA (2,0,1) para Castelo Branco . . . 44

4.6 Sum ´ario do modelo ARIMA (3,0,1) para Coimbra . . . 44

4.7 Sum ´ario do modelo ARIMA (3,0,0) para Elvas . . . 45

4.8 Sum ´ario do modelo ARIMA (1,0,0) para Faro . . . 45

4.9 Sum ´ario do modelo ARIMA (2,0,1) para Ponta Delgada . . . 45

4.10 Sum ´ario do modelo ARIMA (2,0,1) para Portalegre . . . 45

4.11 Sum ´ario do modelo ARIMA (3,0,1) para Porto . . . 45

4.12 Previs ˜oes segundo os modelos SARIMA para as cidades Braganc¸a, Castelo Branco, Coimbra e Elvas . . . 49

4.13 Previs ˜oes segundo os modelos SARIMA para as cidades Faro, Ponta Delgada, Portalegre e Porto . . . 49

4.14 Erro Quadr ático M édio e σ das previs ões para as 8 cidades utilizando o modelo SARIMA 49 4.15 Dist âncias, em km, das cidades em an álise . . . 50

4.16 BIC e vari ˆancia dos modelos 1 a 6 . . . 52

4.17 Sum ´ario do Modelo 1: STARMA (2, 0, 0) × (0, 1, 11) . . . 52

4.23 Resultados dos testes de Box Pierce dos modelos 1 a 6 . . . 58

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4.30 Resultados dos testes de Box Pierce dos modelos 7 a 11 . . . 60

4.31 Previs ões do Modelo 9 para as cidades de Bragança, Castelo Branco, Coimbra e Elvas . 64 4.32 Previs ões do Modelo 9 para as cidades de Faro, Ponta Delgada, Portalegre e Porto . . . 64

4.33 Erro Quadr ático M édio e desvio padr ão das previs ões para as 8 cidades utilizando o modelo STARMA . . . 64

4.34 Desvios padr ˜ao das previs ˜oes para as 8 cidades dos modelos SARIMA e do modelo STARMA . . . 65

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Lista de Figuras

3.1 Ordens espaciais de Pfeifer e Deustch, em duas e uma dimens ˜oes . . . 21

3.2 As equaç ões Yule-Walker para modelo espaço-temporal . . . 27

4.1 Mapa Portugal com as cidade em estudo: 1) Bragança, 2) Castelo Branco, 3) Coimbra, 4) Elvas, 5) Faro, 6) Ponta Delgada (n ão est á representada no mapa), 7) Portalegre, 8) Porto . . . 34

4.2 S ´erie observada em Braganc¸a . . . 35

4.3 S ´erie observada em Castelo Branco . . . 35

4.4 S ´erie observada em Coimbra . . . 35

4.5 S ´erie observada em Elvas . . . 35

4.6 S ´erie observada em Faro . . . 35

4.7 S ´erie observada em Ponta Delgada . . . 35

4.8 S ´erie observada em Portalegre . . . 36

4.9 S ´erie observada no Porto . . . 36

4.10 Decomposiç ão STL da s érie de Bragança . . . 37

4.11 Decomposiç ão STL da s érie de Castelo Branco . . . 38

4.12 Decomposiç ão STL da s érie de Coimbra . . . 38

4.13 Decomposiç ão STL da s érie de Elvas . . . 39

4.14 Decomposiç ão STL da s érie de Faro . . . 39

4.15 Decomposiç ão STL da s érie de Ponta Delgada . . . 40

4.16 Decomposiç ão STL da s érie de Portalegre . . . 40

4.17 Decomposiç ão STL da s érie de Porto . . . 41

4.18 ACF amostral da s ´erie de Braganc¸a . . . 41

4.19 PACF amostral da s ´erie de CIDADE Braganc¸a . . . 41

4.20 ACF amostral da s ´erie de Castelo Branco . . . 41

4.21 PACF amostral da s ´erie de Castelo Branco . . . 41

4.22 ACF amostral da s ´erie de Coimbra . . . 42

4.23 PACF amostral da s ´erie de Coimbra . . . 42

4.24 ACF amostral da s ´erie de Elvas . . . 42

4.25 PACF amostral da s ´erie de Elvas . . . 42

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4.27 PACF amostral da s ´erie de Faro . . . 42

4.28 ACF amostral da s ´erie de Ponta Delgada . . . 43

4.29 PACF amostral da s ´erie de Ponta Delgada . . . 43

4.30 ACF amostral da s ´erie de Portalegre . . . 43

4.31 PACF amostral da s ´erie de Portalegre . . . 43

4.32 ACF amostral da s ´erie de Porto . . . 43

4.33 PACF amostral da s ´erie de Porto . . . 43

4.34 Diagn ´ostico para o modelo de Braganc¸a . . . 46

4.35 Diagn ´ostico para o modelo de Castelo Branco . . . 46

4.36 Diagn ´ostico para o modelo de Coimbra . . . 46

4.37 Diagn ´ostico para o modelo de Elvas . . . 46

4.38 Diagn ´ostico para o modelo de Faro . . . 47

4.39 Diagn ´ostico para o modelo de Ponta Delgada . . . 47

4.40 Diagn ´ostico para o modelo de Portalegre . . . 47

4.41 Diagn ´ostico para o modelo de Porto . . . 47

4.42 Funç ão de autocorrelaç ão espaço-temporais dos dados orginais: ordem 0 e ordem 1 . . 51

4.43 Funç ão de Autocorrelaç ão espaço-temporais dos dados diferenciados: ordem 0 e ordem 1 51 4.44 Funç ão de Autocorrelaç ão parcial espaço-temporais dos dados diferenciados: ordem 0 e ordem 1 . . . 52

4.45 Funç ão de autocorrelaç ão espaço-temporais dos res´ıduos do Modelo 1: STARMA (2, 0, 0)× (0, 1, 11) . . . 55

4.51 Funç ão de Autocorrelaç ão Espaço-temporais dos res´ıduos do Modelo 7: STARMA (41, 0, 2)× (0, 1, 11) . . . 61

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4.55 Funç ão de Autocorrelaç ão Espaço-temporais dos res´ıduos do Modelo 11: STARMA (31, 0, 41)×

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Gloss ´ario

AR

Modelo Autoregressivo

MA

Modelo de M ´edias M ´oveis

ARMA

Modelo Autoregressivo e de M ´edias M ´oveis

ACF

Funç ão de Autocorrelaç ão

PACF

Funç ão de Autocorrelaç ão Parcial

SARIMA

Modelo Autoregressivo e de M ´edias M ´oveis integrado Sazonal

STMA

Modelo M édias M óveis espaço-temporal

STAR

Modelo Autoregressivo espac¸o-temporal

STARMA

Modelo Autoregressivo e de M édias M óveis espaço-temporal

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Cap´ıtulo 1

Introduc¸ ˜ao

1.1 Motivaç ão e contextualizaç ão

Define-se s érie temporal, como um conjunto de observaç ões ordenadas no tempo, em que se verifica depend ência temporal entre as observaç ões.

Sequ ências de dados hist óricos surgem em diferentes contextos, como em economia, marketing, finanças, ambiente etc... pelo que se tornou indispens ável desenvolver m étodos matem áticos e es-tat´ısticos para os estudar. Os m étodos eses-tat´ısticos permitem n ão s ó analisar a estrutura de depend ência das s éries hist óricas, como tamb ém fazer previs ões baseadas nos valores observados.

Nesta dissertaç ão, ser ão usados apenas modelos autorregressivos m édias m óveis (ARMA) univa-riados, e os modelos ARMA espaço-temporais (STARMA). Os modelos ARMA s ão os mais utilizados, e na maioria dos casos s ão muito eficazes para representar dados temporais. Contudo, aplicam-se apenas ao estudo de apenas uma s érie. Para contornar este problema, surgiram os modelos ARMA multivariados. No entanto, os modelos ARMA multivariados n ão permitem caracterizar depend ências espaciais, muitas vezes observadas no estudo de v árias s éries temporais. Com esse prop ósito, foram introduzidos os modelos STARMA.

Os modelos STARMA foram propostos por Pfeifer e Deutsch (1980). Estes autores estenderam a classe de modelos ARMA univariados de Box-Jenkins e consideraram as correlaç ões espaço-temporais, originando assim os modelos STARMA. Diz-se que um STARMA expressa cada observaç ão no instante t e na localizaç ão i, como uma combinaç ão linear das observaç ões passadas, desfasadas quer no tempo, quer no espaço.

Embora os modelos STARMA tenham sido aplicados em v árias áreas cient´ıficas, por exemplo: em processos meio ambientais, no campo magn ético criados pelo c érebro, no tr áfego autom óvel etc... n ão t êm sido utilizados para caracterizar a depend ência espaço-temporal de s éries de radioatividade em Portugal. Esta dissertaç ão vem assim testar os modelos STARMA pela primeira vez nesta tem ática, esperando assim que sirva de motivaç ão e inspiraç ão para outros autores proporem novos trabalhos neste campo.

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torna-se ineg ável que cada cidad ão deve torna-ser alertado para inverter esta situaç ão. O excesso de radioativi-dade na atmosfera tem consequ ências graves quer para a vida humana quer para o ambiente. Estas preocupaç ões serviram tamb ém de motivaç ão extra para realizar esta dissertaç ão.

1.2 Radioatividade em Portugal

A radioatividade é definida como ”0 fen ómeno pelo qual um n úcleo inst ável emite part´ıculas e ondas para atingir a estabilidade. Nem todos os átomos s ão radioativos, mas os que recebem essa definiç ão se caracterizam por emitir part´ıculas radioativas (radiaç ão), numa busca constante para se tornarem mais est áveis (https://www.apambiente.pt/index.php?ref=17subref=305, 2019-01-07).”

A utilizaç ão de energia radioativa tem-se mostrado fundamental ao longo do tempo. A sua aplicaç ão tem sido muito variada, como por exemplo, na produç ão de energia nuclear, em exames m édicos etc.. No entanto, este tipo de energia, quando libertado em excesso para a atmosfera, pode originar s érias consequ ências para o ambiente, n ão s ó para o local do acidente mas podendo afetar áreas a centenas de quil ómetros de dist ância.

Visto que n ão h á centrais nucleares em Portugal, a probabilidade de ocorr ência de um acidente nuclear com graves consequ ências para Portugal é bastante remota. Em territ ório nacional h á apenas o Reator Portugu ês de Investigaç ão (RPI), mas a proximidade às sete centrais espanholas leva a algu-mas precauç ões e a criar procedimentos que permitam respostas r ápidas e eficazes para minimizar ao m áximo as consequ ências de um poss´ıvel acidente. Por outro lado, poder á haver alertas de outra natu-reza onde tamb ém se utiliza fontes radioativas, como a medicina, ind ústria ou at é mesmo no transporte de subst âncias radioativas.

Conforme adotado pela Ag ência Internacional de Energia At ómica, os tipos de emerg ências ra-diol ógicas podem ser divididos em cinco categorias:

• ”emerg ências exclusivamente relacionadas com instalaç ões nucleares;

• queda de sat ´elite ou outro objeto espacial com uma fonte propulsora nuclear ou fontes radioativas perigosas;

• desaparecimento de uma ”fonte radioativa perigosa”;

• detec¸ ˜ao de elevados n´ıveis de radioatividade de origem desconhecida;

• outras emerg ências radiol ógicas ou ameaças, tais como acidente no transporte de subst âncias radioativas, descoberta de uma ”fonte radioativa perigosa”, sobre-exposiç ão s éria de pacientes, e at é atos de terrorismo de ataque a instalaç ões nucleares com bombas sujas.”

Face a todos os tipos de emerg ências apresentados, torna-se priorit ário ter uma gest ão apropri-ada para eventuais emerg ências. Nesse sentido, esta dissertaç ão apresenta modelos temporais para descrever n´ıveis de radioatividade em oito cidades em Portugal.

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1.3 Objetivos e Estrutura da Dissertac¸ ˜ao

O objetivo principal da dissertaç ão foi testar modelos STARMA a um conjunto de medidas de radioati-vidade recolhidas em diferentes cidades em Portugal, e compar á-los à modelaç ão SARIMA univariada. A expectativa na an álise é que a componente espacial melhore os resultados em comparaç ão com a an álise individual de cada s érie temporal.

Tendo em conta outros objetivos, esta dissertaç ão foi estruturada da seguinte forma: • Revis ão Bibliogr áfica - revis ão da literatura sobre modelos STARMA;

• Conceitos te óricos - caracterizaç ão dos modelos do tipo autoregressivo e de m édias m óveis univariados sazonal (SARIMA) e STARMA: analisar algumas propriedades, nomeadamente (a) condiç ões para a exist ência de uma soluç ão estacion ária, (b) caracterizaç ão da estrutura de mentos (estrutura de segunda ordem), (c) m étodos de identificaç ão para a seleç ão de um mo-delo SARIMA / STARMA, (d) estimaç ão, e finalmente, (e) avaliaç ão do diagn óstico (qualidade estat´ıstica do modelo e qualidade do ajustamento);

• Aplicaç ão a um caso de estudo - caracterizaç ão da estrutura de depend ência espaço-temporal das s éries temporais de radioatividade no ambiente em oito cidades portuguesas, atrav és de modelos STARMA;

• Resultados - discuss ˜ao os resultados obtidos;

• Consideraç ões finais - consideraç ões finais e sugest ão de trabalhos futuros. Esta dissertaç ão foi organizada e dividida nos seguintes cap´ıtulos:

• Introduç ão - apresenta-se a dissertaç ão, o contexto em que se insere o caso de estudo, a meto-dologia e a estrutura do trabalho;

• Revis ão Bibliogr áfica - realça-se toda a literatura relevante a realizaç ão da dissertaç ão, particu-larmente para sobre modelos espaço temporais;

• Modelos e M étodos - aborda-se os conceitos te óricos que servem de suporte para entender a estrutura de s éries temporais univaridas e s éries espaço-temporais, bem como as metodologias e t écnicas que ser ão aplicadas para modelar os dados no caso de estudo;

• Aplicaç ões das metodologias propostas a um caso pr ático - aplica-se as metodologias do cap´ıtulo anterior às s éries temporais da radioatividade;

• Conclus ão - Retira-se as conclus ões e limitaç ões do estudo realizado e deixa-se sugest ões para trabalhos futuros.

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Cap´ıtulo 2

Revis ˜ao Bibliogr ´afica

A necessidade de estudar fen ómenos com depend ência temporal impulsionou o desenvolvimento de modelos temporais. Esta preocupaç ão surgiu h á muitos anos atr ás, sendo preciso recuar sensivelmente at é 1920 para encontrar os primeiros estudos sobre modelos temporais. Primeiro surgiram os modelos AR, MA e ARIMA. As aplicaç ões destes modelos a casos pr áticos t êm surgido nas mais diversas áreas, apresentando resultados muito satisfat órios na maioria dos casos.

Cerca de 60 anos mais tarde, surgiram os primeiro modelos espaço-temporais: modelos que estu-dam v árias s éries de dados hist óricos em simult âneo e que apresentam depend ência espacial. Desde ent ão, os modelos da fam´ılia STARMA, começaram a ser aplicados em áreas como Biologia, Econo-mia, Telecomunicaç ões etc. O n úmero de aplicaç ões tem sido significativo, apesar de que durante os anos 90, houve uma escassez no que toca a literatura publicada, possivelmente devido ao grande peso computacional destes modelos. Por volta de 2004, surgiram rotinas computacionais que incenti-varam os autores a publicar trabalhos nesta área. Desde ent ão, o n úmero de aplicaç ão t êm aumentado significativamente, n ão s ó pelas rotinas computacionais criadas mas principalmente pela utilidade e caracter´ısticas dos modelos STARMA.

O presenta cap´ıtulo est ´a organizado da seguinte forma:

• Aplicaç ões dos modelos temporais SARIMA - é apresentada alguma literatura de aplicaç ões a medidas radioativas, usando os m étodos SARIMA;

• Aplicaç ões dos modelos STARMA - É apresentada toda a literatura encontrada, dos conceitos te óricos dos modelos STARMA, bem como a sua aplicaç ão a casos pr áticos.

2.1 Aplicac¸ ˜

oes dos modelos SARIMA e espac¸o-temporais STARMA

Os modelos da fam´ılia SARIMA s ão os mais populares para modelar s éries espaço-temporais. Costumam ser muito eficazes em quase todas as áreas, visto que conseguem estudar variabilidades temporais e fazer previs ões relativamente precisas.

Os modelo SARIMA s ão usadas frequentemente em muitos contextos distintos, pelo que seria de-masiado exaustivo apresentar todos esses trabalhos nesta dissertaç ão. Contudo, apresenta-se alguns

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trabalhos realizados no ˆambito da radioatividade em 2018:

• Barbosa et al. (2018) estudaram a exist ência de poss´ıveis sinais que poder ão antever terramo-tos. Para tentar explicar este fen ómeno utilizaram tr ês s éries temporais: uma de radiaç ão gama, intensidade da precipitaç ão e de humidade nos solos. O estudo concluiu que tanto as grandes variaç ões na emiss ão de radiaç ão gama como os percursores de terramotos, s ão explicadas por uma grande variaç ão na humidade dos solos;

• Kalo et al. (2018) usaram a t écnica Radioactive Particle Tracking (RPT), para estudar o compor-tamento de um flu´ıdo quando escoado atrav és de dois tipos de cam âras: uma cil´ındrica e outra c ónica. Neste estudo o RPT foi feito pela an álise de s éries temporais e ajudaram no c álculo do expoente de Hurst e de coeficiente de correlaç ão;

• Bianchi et al. (2018) estudaram as evoluç ões dos n úcleos de Ber´ılio e X énon na atmosfera sob diferentes caracter´ısticas f´ısicas e qu´ımicas. O estudo foi feito atrav és da modelaç ão temporal das concentraç ões dos dois elementos qu´ımicos, e identificaram-se com sucessos alguns par âmetros meteorol ógicos significativos nas s éries temporais obtidas.

Apesar de modelos temporais terem demostrado ao longo do tempo a sua utilidade em an álise es-tat´ıstica, os modelos espaço-temporais tem vindo a ganhar algum protagonismo. Para al ém de estuda-rem depend ências temporais, conseguem modelar v árias s éries temporais espacialmente localizadas. As aplicaç ões t êm sido nas mais diversas áreas, como por exemplo, economia, ambiente, planeamento de distribuiç ão de eletricidade, previs ão de n úmeros de assaltos etc. Apesar de haverem aplicaç ões em áreas muito diferentes, os resultados costumam ser bastante aceit áveis.

Martin and Oeppen (1975), foram os primeiros a abordar modelos espaço-temporais. Criaram roti-nas para a construç ão de um modelo atrav és das correlaç ões espaço-temporais e verificaram que um modelo poderia ser bem constru´ıdo pela observaç ão dessas mesmas correlaç ões. Nesta fase ainda n ão havia estudos sobre a modelaç ão STARMA, pelo que foi um grande avanço na altura, visto que anos mais tarde Pfeifer e Deutsch desenvolveram metodologias muito concretas e mais f áceis de utilizar.

Na d écada de 80, Pfeifer and Deutsch foram provavelmente os únicos a fazer investigaç ão sobre a teoria dos modelos STARMA, e deram avanços significativos neste âmbito com pr áticas ainda usadas nos dias de hoje, dos quais se destacam:

• Pfeifer and Deutsch (1980a) descreveram detalhadamente um processo iterativo de etapas a se-guir para a modelaç ão espaço-temporal. A descriç ão consistia em tr ês etapas: identificaç ão de modelos candidatos, estimaç ão dos seus par âmetros e diagn óstico. Os autores aplicaram a me-todologia a v árias s éries de n úmero de condenados por assalto em alguns distritos a nordeste de Boston, EUA;

• Tamb ém Pfeifer and Deutsch (1980b) propuseram uma metodologia alternativa para se cons-truirem as matrizes de vizinhança, e interpretaram um modelo espaço-temporal de primeira or-dem. Estudaram em detalhe as caracter´ısticas te óricas das funç ões de autocorrelaç ão e de

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autocorrelaç ão parcial para identificar poss´ıveis candidatos a modelar uma sequ ência de dados hist óricos. Simularam tamb ém dois casos particulares: um STAR(1) e um STMA(1);

• Pfeifer and Deutsch (1981a) estudaram a independ ência temporal dos res´ıduos no modelos STARMA. Este estudo é fundamental no diagn óstico de um modelo e faz-se atrav és do c álculo das auto-correlaç ões amostrais espaço-temporais. Ao longo de texto, a metodologia é explicada sob a condiç ão de que os res´ıduos s ão independentes e identicamente distribu´ıdos, com m édia zero e com matriz de covari ância igual a INNo artigo n ão h á nenhuma aplicaç ão a nenhum caso

pr ´atico;

• Pfeifer and Deutsch (1981b) apresentaram modelos STARMA com matrizes de covari ˆancias dife-rentes do habitual. Os autores propuseram que a matriz de covari ˆancias fosse 6= σ2_I

N (onde σ2

é o desvio padr ão e IN é matriz identidade de dimens ão N × N ) e desenvolveram uma novo

pro-cesso de identificaç ão, estimaç ão e diagn óstico, aplicando os novos conceitos a dois exemplos: no controlo do n´ıvel da água do rio Mohawk em v árias localizaç ões e no n úmero de detidos por assaltos em v árias regi ões a nordeste de Boston;

• Para dados que apresentam padr ões sazonais, Pfeifer and Deutsch (1981c) propuseram adicio-nar uma componente sazonal à metodologia STARMA j á conhecida. O processo é quase id êntico ao descrito por Pfeifer and Deutsch (1980), mas aqui tenta-se modelar a parte sazonal separada-mente, chegando at é a fazer-se diferenciaç ões sazonais. Neste artigo a metodologia foi aplicada ao estudo de descargas de água em v ários locais ao longo do rio Mississipi.

Depois de Pfeifer e Deutsch terem proposto uma metodologia adequada para modelar s éries espaço-temporais, v ários foram os autores que a usaram em aplicaç ões muito diversificadas:

• Pace et al. (2000), por exemplo, estudaram preços de im óveis comparando diferentes mode-los: modelo autoregressivo espaço-temporal, v ários modelos autoregressivos univariados e a re-gress ão linear tradicional. Os resultados foram substancialmente melhores com o modelo STAR tendo em conta a soma dos quadrados dos erros. Nas previs ões os resultados tamb ém foram melhores com o STAR;

• Giacomini and Granger (2004) usaram modelos espaço-temporais para prever dados econ ómicos. Compararam v ários m étodos de previs ão, e verificaram a relev ância da componente espaço-temporal. Mais uma vez esta componente mostrou-se importante: mesmo quando a compo-nente espacial parecia pouco significativa, quando removida do modelos, os resultados n ão foram aceit áveis;

• Rao and Antunes (2004) fizeram uma aplicaç ão a dados de temperaturas em nove locais no Reino Unido. Reviram alguns conceitos e aplicaram uma modelaç ão STARMA. Os autores fizeram tamb ém previs ões e comparam-nas com previs ões obtidas a partir de modelos ARMA univariados. Os resultados foram de certa forma similares nos dois casos, apesar de se com o STARMA se utilizar apenas um modelo;

(28)

• Tamb ém em 2004, as correlaç ões espaço-temporais dos modelos STARMA, foram muito úteis em Medicina. Soni et al (2004) estudaram a atividade cerebral pelo campo magn ético criado pelo pr óprio c érebro. Foi criado um modelo STARMA para os sinais da corrente el étrica consoante a zona do c érebro, e verificou-se alguns padr ões inesperados nas diferentes zonas cerebrais. Os m étodos STARMA permitiram controlar e explicar as diferenças dos sinais emitidas pelo c érebro, associando-as às diferentes zonas do c érebro;

• Numa tentativa de evitar tr áfego excessivo e de baixa qualidade em redes sem fios (wireless), Zhour and Mitchell (2005) utilizaram um modelo STARMA para modelar redes wireless. Modelou-se v ários tipos de rede, e os modelos STARMA foram úteis para controlar o tr áfego dos dados e para prever a procura. Este estudo de 2005 mostrou mais uma aplicaç ão da modelaç ão espaço-temporal, onde se provou uma vez mais a relev ância das correlaç ões espaço-temporais;

• Kamarianakis and Prastacos (2016) estudaram o fluxo de tr ânsito em algumas estradas nos ar-redores de Atenas. Aplicaram modelos STARMA e os resultados obtidos foram os desejados. A componente espacial foi determinante, confirmando a intuiç ão de que o tr ânsito numa determi-nada estrada depende do tr ânsito circundante;

• Sartoris (2007) descreveu um modelo espaço-temporal em que descreveu o n úmero de crimes em S ão Paulo nos diferentes bairro da cidade com o intuito de verificar algumas correlaç ões no n úmero de assaltos entre os bairros em quest ão;

• Cheng et al. (2008) estudaram temperaturas na China recolhidas em 137 estaç ões meteo-rol ógicas entre 1951 e 2002. Visto que os dados n ão apresentam tend ências estacion árias, os autores optarem por uma estrat égia diferente do habitual. Primeiro utilizaram o artificial neural network (ANN) para desenvolver um modelo n ão param étrico para retirar estruturas n ão lineares, e depois usaram os m étodos STARMA. Este m étodo combinado mostrou melhores resultados nas previs ões do que os STARMA convencionais e deixou em abertos para outros autores testarem este ”novo” m étodo;

• Glasbey and Allcroft (2008) descreveram uma aplicaç ão dos modelos STARMA na área energ ética, mais concretamente, no estudo do potencial de energia solar numa regi ão a sul de Edimburgo. Foi constru´ıdo um modelo espaço-temporal para estudar a variabilidade da energia solar retirada dos pain éis fotovoltaicos. Apesar de as localizaç ões serem relativamente pr óximas umas das outras, o modelo adequou-se bem aos dados;

• Epperson (2010) modelou dados gen éticos de uma populaç ão atrav és de um modelo STARMA. Atrav és dos exemplos estudados verificou-se que os modelos espaço-temporais conseguiram ca-racterizar de forma adequada os processos gen éticos. As correlaç ões espaço-temporais mostram-se importantes visto que permitiram calcular taxas d migraç ão, ajustar modelos e fazer previs ões para a gen ética de futuras populaç ões;

• Lee et al. (2010) descreveram um modelo STARMA para o n úmero de corvos mortos devido a uma epidemia no Nilo Ocidental. O modelo foi muito útil pois conseguiu estimar a taxa de propagaç ão

(29)

do v´ırus em quest ˜ao. Mais uma vez um modelo STARMA foi eficaz, neste caso na medicina. Serviu para ajudar a caracterizar uma doenc¸a infecciosa;

• Huang et al. (2010), usaram uma t écnica RBF (A Radial Basis Function (RDF) é uma t écnica usada para remover tend ências espaço-temporais n ão sazonais), para depois utilizarem um mo-delo STARMA para descrever as variaç ões espaço-temporais. Neste artigo estudou-se o fluxo di ário de embarcaç ões em 23 locais diferentes. Estes modelos foram comparados aos modelos STARMA tradicionais e foi obtida uma melhor performance;

• Hu et al. (2011) estudaram a deteç ão de fissuras em estruturas de placas recorrendo aos modelos STARMA. O modelo usado foi criado atrav és das vibraç ões em diferentes zonas da placa. Atrav és das vibraç ões numa determinada zona, o modelo foi capaz de prever fissuras noutros locais, o que é particularmente útil para localizar poss´ıveis danos. neste estudo os erros das previs ões foram usados para avaliar a qualidade do modelo, comparando os erros reais com os esperados; • Mercieca and Kadirkamanathan (2016) enfatizaram a vasta aplicabilidade dos modelos espaço-temporais entre os quais os modelos autoregressivos e de m édias m óveis. Aplicaram-nos em tr ês áreas diferentes: engenharia, sa úde e em ci ências sociais;

• Andre et al. (2016) utilizaram um STAR para descrever a radiaç ão solar recebida em tr ês locais distintos na ilha de Guadalupe no Mar das Cara´ıbas. Este modelo originou melhores previs ões no curto prazo quando comparado com outros modelos.

No caso particular desta dissertaç ão, verificou-se que nunca foram utilizados modelos da fam´ılia STARMA para modelar medidas de radioatividade, pelo que se ir á verificar se os modelos se adequam a este tipo de dados.

(30)

(31)

Cap´ıtulo 3

Modelos e M ´etodos

Neste cap´ıtulo s ão introduzidos os conceitos b ásicos de s éries temporais a utilizar posteriormente na aplicaç ão ao caso pr ático em estudo. As s éries temporais s ão coleç ões de dados ordenados no tempo, e o seu ponto de interesse é analisar e modelar as depend ências temporais entre essas observaç ões.

Para se ajustar um modelo a uma s érie temporal, torna-se necess ário proceder-se primeiro à estacionarizaç ão da mesma atrav és de transformaç ões de modo a estabilizar a vari ância , a neutra-lizar a tend ência e a eliminar movimentos sazonais.

Os conceitos explicados anteriormente v ão ser abordados ao longo deste cap´ıtulo, estando este dividido em duas partes: a primeira onde se explicar á a estrutura e os v ários tipos de modelos SARIMA bem como a sua extens ão para a modelaç ão espaço-temporal STARMA. E a segunda parte, em que ser ão descritos os m étodos necess ários para ajustar um modelo temporal a um conjunto de dados. Esta metodologia foi proposta por Box-Jenkins e consiste nas seguintes etapas:

• Identificaç ão dos modelos candidatos atrav és das funç ões de autocorrelaç ão e autocorrelaç ão parcial;

• Estimaç ão dos par âmetros atrav és de m étodos de estimaç ão adequados;

• Diagn óstico e validaç ão do modelo atrav és da an álise dos res´ıduos;

• Previs ˜ao (se o modelo selecionado for adequado).

Na modelaç ão espacial usou-se uma extens ão da metodologia de Box-Jenkins proposta por Pfeifer e Deutsch (1980) que engloba uma componente espaço-temporal. Esta componente incorpora n ão s ó depend ências temporais entre as observaç ões, como tamb ém depend ências espaciais entre elas em cada instante. O ciclo iterativo de Box-Jenkins tamb ém se aplica nesse caso, mas com algumas variaç ões.

(32)

3.1 Modelos SARIMA

3.1.1 Modelo Autorregressivo de ordem p

Os modelos autorregressivos de ordem p (AR(p)) s ão um dos modelos da fam´ılia SARIMA. Nes-tes modelos, Xt é obtido como funç ão de Xt−1, Xt−2, ..., Xt−p, onde p é o n úmero de desfasamento

necess ´arios para descrever o Xt. Assim, um modelo Autorregressivo de ordem p define-se como

Xt= α1Xt−1+ α2Xt−2+ ... + αpXt−p+ t,

onde té um processo aleat ório, com m édia zero e vari ância σ2, e α1, α2, ..., αps ão constantes (αp6= 0).

Um modelo AR(p) tamb ´em pode ser representado a partir do operador atraso B como:

(1 − α1B − α2B2− ... − αpBp)Xt= t,

ou ent ˜ao

φ(B)Xt= t,

Para garantir que os valores atuais n ão dependem de valores futuros, é necess ário verificar a causali-dade do modelo. Um modelo AR(p) diz-se causal se

• φ(B) 6= 0 para | B | ≤ 1.

3.1.2 Modelo de M ´edias M ´

oveis de ordem q

Como os AR(p), tamb ém os modelos de M édias M óveis de ordem q (MA(q)) s ão modelos com depend ências temporais. Neste caso, o valor atual depende dos q valores passados t−1, t−2, ..., t−q.

Assim, um modelo de M ´edias M ´oveis de ordem q define-se como

Xt= β1t−1+ β2t−2+ ... + βqt−q+ t,

onde t é um processo aleat ório, com m édia zero e vari ância σ2. β1, β2, ..., βps ão constantes (βp 6= 0).

Um modelo MA(q) tamb ´em pode ser representado com um operador retardado B como:

Xt= (1 + β1B + β2B2+ ... + βqBq)t,

ou ent ˜ao

Xt= θ(B)t.

Para garantir que os valores atuais n ão dependem de valores futuros, é necess ário verificar a invertibi-lidade do modelo. Torna-se assim intuitivo que esta propriedade é indispens ável para fazer previs ões. Um modelo MA(q) diz-se causal se

(33)

3.1.3 Modelo Autorregressivo e de M ´edia M ´

oveis (p,q)

Depois de apresentados os modelos Autorregressivos e de M édias M óveis, surge um modelo que combina os dois anteriores: ARMA (p,q). Este modelo tem o nome de Autorregressivo e de M édias M óveis e incorpora todas as caracter´ısticas dos modelos AR e MA. Assim um modelo ARMA(p,q) define-se como:

Xt= α1Xt−1+ α2Xt−2+ ... + αpXt−p+ β1t−1+ β2t−2+ ... + βqt−q+ t,

em que t segue distribuiç ão normal com m édia zero e vari ância constante igual a σ2. Usando o

operador retardado B, (3.1.3) escreve-se como

(1 − α1B − α2B2− ... − αpBp)Xt= (1 + β1B + β2B2+ ... + βqBq)t,

ou ent ˜ao

φ(B)Xt= θ(B)t.

Um modelo ARMA (p,q) tem de obrigatoriamente verificar a causalidade da componente autorregressiva e a a invertiblidade da componente de m ´edias m ´oveis, ou seja:

• φ(B) 6= 0 para | B | ≤ 1,

• θ(B) 6= 0 para | B | ≤ 1.

3.1.4 Modelo Autorregressivo e de M ´edias M ´

oveis integrado (p,d,q)

At é agora s ó foram apresentados processos capazes de modelar s éries temporais em redor de uma m édia constante. No entanto, na maioria das aplicaç ões pr áticas destes modelos, esta condiç ão n ão se verifica. A n ão estacionariedade dos modelos justifica assim um ajuste, por exemplo, a remoç ão de poss´ıveis tend ências. Uma pr ática comum, é diferenciar a s érie pela d- ésima diferença, para que a sejam removidas todas as componentes n ão estacion árias. Assim o modelo autorregressivo integrado e de m édias m óveis integrado (ARIMA) escreve-se como:

∇d_X

t= (1 − B)dXt,

com d = [0, s] em que s ´e a sazonalidade s ´erie ou,

∇d_X

t= α1∇dXt−1+ α2∇dXt−2+ ... + αp∇dXt−p+ β1t−1+ β2t−2+ ... + βqt−q+ t.

Utilizando o operador retardo B, o modelo ARIMA tamb ´em pode ser representado como:

(34)

3.1.5 Modelo Autorregressivo e de M ´edias M ´

oveis Integrado Sazonal

Por fim, combinando todas as subclasses apresentadas anteriormente, com uma componente de sazonalidade associada, obt êm-se o modelo autorregresivo e de m édia m óveis integrado sazonal. Para o melhor explicar comece-se por recordar o modelo autorregresivo e m édias m óveis (ARMA) de ordem pe q respetivamente

Xt= α1Xt−1+ α2Xt−2+ ... + αpXt−p+ β1t−1+ β2t−2+ ... + βqt−q+ t,

em que tsegue uma distribuiç ão normal com m édia zero e vari ância constante igual a σ2. Usando

o operador retardado B, (3.1.3) escreve-se como

(1 − α1B − α2B2− ... − αpBp)Xt= (1 + β1B − β2B2− ... − βqBq)t,

ou ent ˜ao

φ(B)Xt= θ(B)t.

Para o modelo ser estacion ário as condiç ões de causalidade e invertibilidade t êm de ser cumpridas, ou seja:

• causalidade verifica-se se e s ´o se φ(B) 6= 0 para | B | ≤ 1, • invertibilidade verifica-se se e s ´o se θ(B) 6= 0 para | B | ≤ 1.

Normalmente, uma s érie temporal n ão é estacion ária e apresenta uma tend ência. Assim para a modelar é preciso remover essa tend ência para tornar a s érie estacion ária. Para tal recorre-se a uma diferenciaç ão da s érie na forma

∇d_X

t= (1 − B)dXt,

onde ∇d é a d- ésima diferença. Fica-se ent ão com um modelo ARIMA (p,d,q) na forma

φ(B)(1 − B)dXt= θ(B)t.

Para al ém de tend ências, muitas s érias apresentam tamb ém componentes sazonais. Nestes casos, a primeira diferença (∇1_{= X}

t− Xt−1) n ão chega para tornar a s érie estacion ária. Ent ão define-se um

per´ıodo sazonal s, no nosso particular da dissertaç ão recolheram-se medidas di árias de radioatividade ao longo de 10 anos, ent ão a D diferença para o per´ıodos sazonal S é:

∇D

SXt= Xt− Xt−S.

Com esta diferenciaç ão sazonal, obtem-se um modelo sazonal ARIMA, vulgarmente chamado SARIMA. Os modelos SARIMA modelam assim a parte sazonal de uma s érie e a parte n ão sazonal, tendo coeficientes pr óprios associados a cada uma das partes. Representam-se como

φ(B)Φ(Bs)∇d∇D

(35)

onde • φ(B) = 1 − α1B − · · · − αpBp, • Φ(BS_{) = 1 − Φ} 1BS− · · · − ΦpBpS, • θ(B) = 1 + β1B + · · · + βpBp, • Θ(BS_{) = 1 + θ} 1BS+ · · · + θpBpS.

Nos cap´ıtulos seguintes, ser á adotada a seguintes notaç ão para um modelo SARIMA:

SARIM A (p,d,q) × (P,D,Q)S,

onde

• p é a ordem autorregressiva da parte n ão sazonal; • d é o n úmero de diferenças n ão sazonais;

• q é a ordem de m édias m óveis da parte n ão sazonal; • P é a ordem autorregressiva da parte sazonal; • D é o n úmero de diferenças sazonais;

• Q é a ordem de m édias m óveis da parte sazonal; • S é a sazonalidade da s érie.

(36)

3.2 Metodologia de Box-Jenkins para modelos SARIMA

3.2.1 Identificac¸ ˜ao

Na maioria das aplicaç ões, as s éries temporais apresentam tend ência e/ou sazonalidade. Assim para a estabilizaç ão da s érie, pode ser necess ário diferenciar a parte sazonal e a n ão sazonal. A decis ão de se diferenciar a s érie deve ser feita atrav és da observaç ão de um plot dos dados originais. Um caminho alternativo é estudar os res´ıduos da s érie original (Xt), fazendo uma decomposiç ão da

s ´erie na forma aditiva:

Xt= Tt+ St+ Zt,

onde

• Xts ˜ao os dados originais;

• Tt ´e a componente tend ˆencia;

• St ´e a componente sazonal;

• Zt ´e a componente aleat ´oria.

Depois de ultrapassada a etapa anterior, passa-se a identificaç ão das ordem autorregressivas e de m édias m óveis. Teoricamente estas ordens s ão identificas pela funç ão de autocorrelaç ão parcial (PACF) e pela funç ão de autocorrelaç ão (ACF).

Na tabela 3.1 est ão sumarizadas as caracter´ısticas te óricas de alguns modelos. De notar que muitas vezes as caracter´ısticas te óricas de ACF e PACF n ão condizem com o ”melhor” modelo para os dados.

Processo Funç ão de autocorrelaç ão Funç ão de autocorrelaç ão parcial

AR(p) cai exponencialmente cai exponencialmente a partir do desfasamento p

MA(q) cai exponencialmente a partir do desfasamento q cai exponencialmente

ARMA(p,q) cai exponencialmente a partir do desfasamento q cai exponencialmente a partir do desfasamento p

Tabela 3.1: Caracter´ısticas te óricas das funç ões de autocorrelaç ão e parcial para modelos AR, MA e ARMA.

3.2.2 Estimac¸ ˜ao

Depois da identificar um candidato ao modelo final, o passo seguinte é estimar os seus par âmetros. Existem tr ês m étodos para a estimaç ão: o m étodo dos momentos, m´ınimos quadrados e m áxima verosimilhança. O m étodo que origina melhores estimativas é o m étodo da m áxima verosimilhança, assim sendo ser á o m étodo abordado neste secç ão.

Considere-se um modelo ARMA (p, d, q), com p + q + 1 par ˆametros a estimar, onde ξ := (φ, θ, σ2 )

(37)

Como é habitual, nos estimadores de m áxima verosimilhança (EMV), é preciso assumir que as inovaç ões t êm distribuiç ão normal com m édia igual a zero e desvio padr ão constante (σ2) em que as

inovaç ões s ão dadas pela express ão

t= Xt− φ1Xt−1− φpXt−p+ θ1Xt−1+ θqXt−q,

sendo a funç ão densidade conjunta das inovaç ões é

f (1, ..., n) = (2π)−n/2(σ2) exp ( − 1 2σ2 n X t=1 2t ) .

Para calcular a express ˜ao anterior, ´e preciso encontrar estimativas iniciais para os X0_s _e0_s.

Es-tes valores s ão desconhecidos, mas poder ão ser calculados para cada conjunto de dados dado os par âmetros ((φ, θ)). Desta feita a funç ão de M áxima Verosimilhança Condicional é dada por

L(ξ | X∗, ∗) = (2π)−n/2(σ2) exp ( − 1 2σ2 n X t=1 2_t ) .

para uma determinada escolha de (X∗, ∗). Se for aplicada a transformaç ão logar´ıtmica obt êm-se

log L(ξ | X∗, ∗) ∝ −nlog(σ) − S∗_{(η | X, )} 2σ2 , onde S∗(η | Z, ) := n X t=1 2_t, (3.1)

é a soma condicional dos quadrados dos erros. Assim, o EMV Condicional dos par âmetros ser á encon-trado pela minimizaç ão da equaç ão 3.1.

3.2.3 Diagn ´

ostico

Depois de estimar os par ˆametro do modelo, ´e preciso verificar se o modelo descreve e se ajusta corretamente aos dados em estudo.

A maneira mais eficaz de fazer um diagn óstico ao modelo é avaliar os res´ıduos. É importante que os erros se distribuam com m édia igual a zero, vari ância constante e que n ão sejam correlacionados entre si. Uma an álise completa aos res´ıduos pode ser dividida em tr ês partes:

• observaç ão do plot dos res´ıduos - verifica-se se os res´ıduos est ão distribu´ıdos em torno do valor zero;

• observaç ão da ACF dos res´ıduos - verificar se a ACF n ão tem um correlaç ões maiores que os valores refer ência para uma desfasagem relativamente pr óxima;

(38)

• Teste de Ljung-Box para testar as autocorrelaç ões dos res´ıduos atrav és da estat´ıstica de teste: Q = T (T + 2) K X j=1 r2_j T − j,

em que K é o n úmero de desfasamentos a serem testados, rk é a autocorrelaç ão do res´ıduo k,

sob a hip ótese nula de os dados distribu´ıdos de forma independente. A estat´ıstica tem aproxima-damente uma distribuiç ão chi-quadrado com K − p − q graus de liberdade.

Na eventualidade de termos v ários modelos candidatos que verifiquem as suposiç ões acima menci-onadas, podemos classificar os modelos tendo em conta a qualidade dos ajustamentos e a inclus ão de par âmetros. Os crit érios escolhidos para escolher o ”melhor” modelo ser ão o BIC, AIC e AICc. o BIC é calculado atrav és da formula:

BIC = −2ln(σ_b2) + b Tln(T ), onde

• _bσ2 ´e a vari ˆancia dos res´ıduos;

• b é o n úmero de par âmetros do modelo; • T é o n úmero de observaç ões da s érie. O AIC é calculado atrav és da formula:

AIC = −2ln(_bσ2) +T + 2b T , onde

• _bσ2 _{´e a vari ˆancia dos res´ıduos;}

• b é o n úmero de par âmetros do modelo; • T é o n úmero de observaç ões da s érie. O AICc é calculado atrav és da formula:

AIC = −2ln(_bσ2) + T + b T − b + 2, onde

• _bσ2 _{´e a vari ˆancia dos res´ıduos;}

• b é o n úmero de par âmetros do modelo; • T é o n úmero de observaç ões da s érie.

(39)

3.2.4 Previs ˜ao

Uma das finalidade em se ajustar um modelo a uma s érie temporal, é a previs ão de observaç ões fu-turas com base nas observaç ões recolhidas at é ao presente. Para prever o comportamento da s érie no futuro, assume-se que Xté estacion ário e que os par âmetros do modelo s ão iguais às suas estimativas.

Assim, a previs ão para m passos à frente ser á dada por:

Xt+m= φ1Xt+m−1+ φ2Xt+m−2+ · · · + φp+mXt+h−p− θ1t+m−1− θ2t+m−2− · · · − φt+mt+m−q+ t+m,

A previs ão é feita com base nas estimativas dos par âmetros e nos valores observados em instantes < t e pressup ôe que os termos t+m= 0para m > 0. Ent ão, a previs ão pode ser reescrita da forma:

Xt+m= E(Xt+m|Xt).

De modo a avaliar um determinado modelo de previs ão, é necess ário encontrar um indicador que meça se a qualidade da prediç ão. O Erro Quadr ático M édio (MSE – Mean Squared Error) é uma das medidas mais comuns e ser á a que se usar á nesta dissertaç ão.

M SE = Pm t=1 2 t m onde m é o n úmero de previs ões.

(40)

3.3 Modelo STARMA

Os modelos STARMA s ão utilizados para modelar dados de s éries temporais espacialmente locali-zados. As observaç ões nos N locais s ão s éries temporais com uma depend ência espacial entre elas. Estes N locais podem ser cidades, pa´ıses etc...a única restriç ão é que estas localizaç ões t êm de ser fixas.

Os modelos STARMA consistem na combinaç ão de tr ês componentes: autorregressiva, m édias m óveis e espacial em N locais fixos. A depend ência espacial entre os N locais est á incorporada no modelo atrav és das matrizes de ponderaç ão baseadas nas ordens de vizinhança entre os locais. Estas matrizes s ão determinadas a priori pelo construtor do modelo e devem refletir caracter´ısticas f´ısicas do modelo.

Assim, cada observaç ão de uma das N s éries é uma combinaç ão linear das suas observaç ões passadas e das observaç ões dos seus vizinhos.

A forma autorregressiva nos modelos espac¸o-temporais deve definir Xi

t (observac¸ ˜ao no instante t,

no local i), como uma combinaç ão linear das observaç ões passados no local i e dos seus vizinhos. Se isso se verificar para todos os N locais, diz-se que a s érie é estacion ária espacial.

3.3.1 Desfasagem espacial

Como em [21], antes de definir os modelos STARMA, defini-se primeiro o operador de desfasagem espacial: L(l)_{. Seja L}(l)_{o operador de desfasagem espacial de l- ´esima ordem tal que:}

L(0)Xi_t= Xi_t, L(l)Xi_t= N X j=1 w_ij(l)Xj_t,

onde os pesos w(l)ij satisfazem-se a equac¸ ˜ao:

N

X

j=1

w(l)_ij = 1.

Para todos os valores de i e w(l)ij diferentes de zero, se os locais i e j s ˜ao vizinhos da l- ´esima ordem.

Na forma matricial, os pesos w(l)ij, podem ler-se na matrizW (l)

matriz quadrada N x N, onde a soma de todos os elementos por linha tem de ser um.

L(0)Xt=W(0)Xt=INXt,

e

L(l)Xt=W(l)Xt∀ l > 0,

(41)

modelo.

Em muitos casos, é assumido que a distribuiç ão do espaço é uma malha regular. Na maioria das aplicaç ões, esta é uma simplificaç ão comum, visto que tipicamente os locais s ão espaçados entre si de forma irregular.

Os pesos t êm de refletir uma hierarquia de ordem espacial dos vizinhos. A primeira ordem s ão os locais mais pr óximos. A segunda ordem s ão os locais mais longe que os de primeira ordem, mas mais pr óximos que os de terceira ordem, e assim sucessivamente. Neste caso, os elementos das matrizes dos pesos seriam:

w(l)_i,j=      1 n(l)_i i 6= j 0 i = j ,

onde n(l)_i é o n úmero de vizinhos da l- ésima ordem de vizinhança.

No caso proposto por Pfeifer e Deutsch (1980a), na figura 3.1 conseguimos visualizar as quatro primeiras ordem de vizinha (W(1),W(2),W(3),W(4)) de um determinado local numa malha em duas di-mens ˜oes. Esta ordem espacial foi definida em termos da dist ˆancia euclidiana entre os locais de inte-resse.

Figura 3.1: Ordens espaciais de Pfeifer e Deustch, em duas e uma dimens ˜oes

Uma alternativa a criar uma hierarquia de vizinhança, é usar as dist âncias entre os locais, e con-siderar todos os vizinhos de primeira ordem. W(0) seria a matriz identidade, eW(1) a matriz como o inverso da dist ância euclidiana entre os locais:

(42)

wij=      1 dij i 6= j 0 i = j ,

onde dij é a dist ância euclidiana entre os locais i e j. Esta abordagem é particularmente útil, porque

acredita-se a priori que se consegue incorporar todo o efeito espacial numa s ´o matriz.

Ainda h á uma terceira forma para definir a matriz de pesos atrav és da correlaç ão entre os valores observados e a dist ância entre os v ários locais em estudo. No caso de Haslett and Raftery (1989), os autores verificaram uma forte relaç ão entre a velocidade do vento nos diferente locais e as dist ância entre eles. Conclu´ıram assim que a covari ância seria aproximada por:

cov(Xit, Xjt) = σ2rij, onde rij =      1 i = j α exp(−βdij) i 6= j ,

com 0 < α ≤ 1, 0 < β ≤ 1 e dij é a dist ância entre i e j. Depois de estimar os par âmetros α e β, j á

se pode utilizar esta estrutura para definir as mas matrizes de pesos dos modelos STARMA.

Esta abordagem tem uma vantagem em relaç ão às demais: consegue-se definir as matrizes de pesos atrav és dos dados, em vez de as definir a priori, com nos dois m étodos apresentados.

3.3.2 Caracterizac¸ ˜ao

Estamos agora em condic¸ ˜oes de definir o modelo. Seja Xi

tuma observac¸ ˜ao no local i (i=1,2,3....,N)

e no instante t (t ∈Z). Um modelo STARMA é dado pela seguinte equaç ão:

Xt= − p X k=1 λk X l=0 φklW(l)Xt−k+ q X k=1 mk X l=0 θklW(l)t−k+ t, onde:

• Xt é a matriz com todas as observaç ões, em que cada coluna i corresponde à s érie do local i;

• p é a ordem autorregressiva; • q é a ordem de m édias m óveis;

• λk ´e a ordem espacial do k- ´esimo termo autorregresivo;

• mk é a ordem espacial do k- ésimo termo das m édias m óveis;

• φkl ´e o par ˆametro autorregresivo do desfasamento temporal k e do desfasamento espacial l;

(43)

• W(l) _{´e a matriz de pesos da ordem espacial l;}

• ts ˜ao os erros aleat ´orios onde:

E[t] = 0, e E[t 0 t+s] =      σ2IN, s = 0 0, s 6= 0 .

Podemos verificar dois casos especiais da fam´ılia STARMA: • STAR - modelo apenas com a parte autorregressiva (q = 0).

Xt= − p X k=1 λk X l=0 φklW(l)Xt−k+ t,

• STMA - modelo apenas com a parte de m ´edias m ´oveis (p = 0).

Xt= q X k=1 mk X l=0 θklW(l)t−k+ t.

3.3.3 Condic¸ ˜

oes de estacionariedade

Para que um modelo STARMA possa representar processos estacion ários, é necess ário verificar algumas condiç ões: o comportamento da funç ão de autocorrelaç ão de Xtao longo do tempo, e se o

modelo em quest ˜ao ´e causal e invert´ıvel. Assim para todo o y que resolva a

det ypIN + p X k=1 λk X l=0 φklW(l)yp−k ! = 0, (3.2)

equaç ão (3.2), e se todas as soluç ões pertencerem ao c´ırculo unit ário (|y| < 1), diz-se que o pro-cesso é causal. Na pr ática, testa-se se um modelo é estacion ário para poss´ıveis valores de φkl.

Analogamente, se as soluç ões de (3.3) pertencerem tamb ém ao c´ırculo unit ário, o processo diz-se invert´ıvel. det yqIN + q X k=1 mk X l=0 θklW(l)yq−k ! = 0. (3.3)

Esta propriedade implica que Xt possa ser uma combinaç ão linear ponderada das observaç ões

passadas, onde os pesos convergem para zero. N ˜ao fica dif´ıcil concluir que todos os modelos STAR s ˜ao invert´ıveis.

A definiç ão dos modelos STARMA, implica tamb ém que o processo seja estacion ário de segunda ordem quer no tempo, quer no espaço. Assim o valor esperado do processo tem de ser constante ao longo do tempo e a autocovari ância é

(44)

covXi_t, Xj_t+s= γ(h, s),

onde γ é a funç ão de covari ância espaço-temporal, em que h é a dist ância entre duas localizaç ões quaisquer, e s é o desfasamento temporal. Isto significa o processo s ó é estacion ário de segunda ordem se a covari ância n ão depender das localizaç ões espec´ıficas, mas apenas das dist âncias entre elas e do desfasamento temporal s.

A fam´ılia STARMA n ão se restringe a modelar processos estacion ários. Se à partida, a estacionari-edade n ão se verificar, torna-se necess ário diferenciar a s érie, obtendo

∇d_X t= p X k=1 λk X l=0 ∇d_φ klWlXt−k− q X k=1 mk X l=0 θklWlt−k+ t,

Uma vez incorporada a parte sazonal (S = 365 no caso de observaç ões mensais, S = 365 no caso de observaç ões di árias, etc) obtemos um modelo STARMA sazonal

ΦP,Λ(BS)φP,Λ(B)∇DS∇ d_X t= Θq,m(Bs)θq,m(B) + t, em que ΦP,Λ(BS) = IN − p X k=1 Λk X l=0 φlkWlBkS, ∇D S = (IN− BS)D, ΘQ,M= IN − Q X k=1 Mk X l=0 ΘkLWlBkS,

Ao longo da dissertaç ão, e apresentando uma notaç ão mais simples, o modelo STARMA sazonal, ser á representado na seguinte forma

ST ARM A(pλ, d , qm) × (PΛ, D , QM)S,

onde

• pΛ ´e a ordem autorregressiva da parte n ˜ao sazonal de ordem espacial Λ;

• d é o n úmero de diferenças n ão sazonais;

• qM é a ordem de m édias m óveis da parte n ão sazonal de ordem espacial M ;

• PΛ ´e a ordem autorregressiva da parte sazonal de ordem espacial Λ;

• D é o n úmero de diferenças sazonais;

(45)

(46)

3.4 Extens ˜ao da Metodologia de Box-Jenkins para modelos

STARMA

3.4.1 Identificac¸ ˜ao

Nesta fase, o objetivo é escolher um modelo apropriado para descrever os dados com base em algumas propriedades te óricas. Nesta fase, torna-se essencial usar ferramentas como a funç ão de autocorrelaç ão espaço-temporal, e a funç ão de autocorrelaç ão espaço-temporal parcial para identificar os modelos.

Antes de apresentar a funç ão de autocorrelaç ão espaço-temporal, é necess ário calcular a funç ão de autocovari ância entre todos as localizaç ões em estudo, ou seja, N2_{covari âncias. Utilizando tamb ém}

o operador de desfasagem espacial introduzido anteriormente, consegue-se obter todas as covari âncias entre todos os pontos desfasados no tempo (desfasamento s) e no espaço (entre as ordem de vizinhança le k). Na forma matricial é dado por:

γ_lk(s) = E ( [W(l)_X t] 0 [W(k)_X t+s] N ) , ⇔ γ_lk(s) = tr ( W(k)0W(l)γlk(s) N ) ,

pela propriedade E[y0_{Ay] = tr[AE(yy}0_)]_{e γ}

lk(s) = E[XtX

0

t+s].

A estimativa de γlk(s),bγlk(s) é obtida substituindo Γ(s) pela sua estimativa na equaç ão (3.4.1)

b Γ(s) = T −s X t=1 (X_t− X)(Xt+s− X)0 T − s .

Uma importante propriedade da funç ão de autocorrelaç ão espaço-temporal é que γlk(s) = γkl(−s).

A funç ão de autocorrelaç ão espaço-temporal entre os vizinhos de l- ésima ordem e de k- ésima ordem com um desafasamento temporal s é

ρlk=

γ_lk(s) [γ_ll(0)γ_kk(0)]12

,

e a sua estimativa ´e dada por:

b

ρ_lk= bγlk(s) [_bγ_ll(0)γ_b_kk(0)]12

.

Neste caso em particular, s ó é relevante para a identificaç ão do modelo, saber a funç ão autocorrelaç ão espaço-temporal entre a l- ésima ordem e a ordem zero de vizinhança para um determinado desfasa-mento espacial. Assim a funç ão de interesse é dada por:

b

ρ_l0= bγl0(s)

[γ_b_l0(0)γ_b₀₀(0)]12

.

Uma vez encontrada a funç ão de autocorrelaç ão espaço-temporal, n ão é trivial encontrar o modelo mais apropriado. Consegue-se desvendar se o modelo tem car áter autorregresivo ou n ão, mas a sua

(47)

ordem é dif´ıcil de identificar atrav és da_bγl0(s). Este problema pode ser solucionado atrav és da funç ão

de autocorrelaç ão espaço-temporal parcial (proposto por Martinn e Oeppen (1975)). A sua definiç ão pode ser deduzida de forma trivial atrav és da definiç ão de um modelo STAR:

Xt= − p X k=1 λk X l=0 φklW(l)Xt−k+ t,

multiplicando ambos os lados por [W(H)_X0

t−s]com s > 0, e tirando o valor esperado dividindo por N

temos γh0(s) = − k X j=1 λ X l=0 φjlγhl(s − j),

desde que E[X0t−st] = 0, com s = 1, 2...k e h = 0, 1, ...λ. Estas equaç ões s ão an álogas às equaç ões

de Yule-Walker para o caso univariado. O ´ultimo coeficiente φkλ obtido atrav ´es de o sistema de

equaç ões para λ = 0, 1, ... e k = 1, 2... é a funç ão de autocorrelaç ão espaço-temporal de ordem espacial λpara um processo STAR.

Figura 3.2: As equaç ões Yule-Walker para modelo espaço-temporal

Como no caso univariado, cada STARMA é definido por ter funç ões de autocorrelaç ão espaço-temporal e parcial diferentes dos outros STARMA. Se num modelo AR (MA) a funç ão de autocorrelaç ão (parcial) cai a partir do desfasamento temporal p (q), num modelo STAR (STMA) podemos fazer um racioc´ınio an álogo: neste processo, a funç ão de autocorrelaç ão (parcial) espaço-temporal cai a partir do desfasamento temporal p (q) e do desfasamento espacial λp(qm).

Na tabela 3.2 apresenta-se um quadro resumo para identificar teoricamente as ordens de um modelo STARMA.

(48)

Processo Funç ão de autocorrelaç ão Funç ão de autocorrelaç ão parcial

STAR(p) cai exponencialmente cai exponencialmente a partir do desfasamento p STMA(q) cai exponencialmente a partir do desfasamento q cai exponencialmente

STARMA(p,q) cai exponencialmente a partir do desfasamento q cai exponencialmente a partir do desfasamento p

Tabela 3.2: Caracter´ısticas te óricas das funç ões de autocorrelaç ão espaço-temporal e parcial para modelos STAR, STMA e STARMA. Adaptado de Rao e Antunes (2003)

3.4.2 Estimac¸ ˜ao

Depois de se encontrar um modelo STARMA candidato, segue-se a estimaç ão dos par âmetros.

Φ = [φ10, φ11, ...φ1λ1, ...φp0, φp1,...φpλp]

0_,

θ = [θ10, θ11, ...θ1λ1, ...θq0, θq1,...θqλq]

0_,

Como na caso univariado, o melhor para se estimar Φ e Θ é utilizar o m étodo da m áxima verosimilhança. Se os erros forem normalmente distribu´ıdos, com E[t] = 0e var(t) = σ2IN, a funç ão de verosimilhança

´e L( | Φ, Θ, σ2) = (2π)−T N2 | σ2_I_N |−12 _exp − 1 2σ2 0_I N = (2πσ2)−T N2 _exp −S(Φ, Θ) 2σ2 , onde S(Φ, Θ) = 0 = N X i=1 T X t=1 (i_t)2,

Como os erros s ão aleat órios e n ão observ áveis, é necess ário estim á-los. Para os estimar, basta utilizar a express ão geral dos modelos STARMA, mas reescreve-la em ordem a t:

t= + p X k=1 λk X l=0 φklW(l)Xt−k− q X k=1 mk X l=0 θklW(l)t−k+ Xt,

para t = 1, 2...T e para os valores de [Φ, Θ]. De notar que os valores de Xt, e consequentemente

t, s ˜ao desconhecidos antes de o instante inicial, o que torna necess ´ario estimar estes valores. Este

c álculo n ão é trivial, e sem ele n ão se consegue encontrar as estimativas exatas para os par âmetros Φ e Θ. Uma maneira de contornar este problema é assumir que Xte ts ão zero quando t < 1. Com esta

simplificaç ão perde-se um pouco de informaç ão, mas quando se est á a analisar um s érie temporal longa esta ”perda” torna-se irrelevante. Desta forma, a funç ão em estudo passa a ser a funç ão condicional de verosimilhança de Φ, Θ e σ2_, L(Φ, Θ, σ2) = (2πσ2)−T N2 _exp −S∗(Φ, Θ) 2σ2 ,

onde S∗(Φ, Θ) ´e a soma de quadrados condicional

S∗(Φ, Θ) =b

0

b ,

(49)

eb ´e obtido atrav ´es de 3.4.2. O estimador de σ

2 _{´e dado por}

c

σ2₌S∗( bΦ, bΘ)

T N , e bΦ, bΘs ˜ao os valores que minimizam S∗( bΦ, bΘ).

Este procedimento de trabalhar a funç ão de m áxima verosimilhança condicional leva a uma soluç ão exata para s éries longas. Quando as s éries n ão s ão muito extensas a soluç ão afasta-se da funç ão.

Como as estimativas de m áxima verosimilhança condicional s ão tamb ém estimativas de m´ınimos quadrados, nos modelos STAR as estimativas s ão baseadas na teoria de regress ão linear. Relem-brando um modelo STAR

Xt= q X k=1 mk X l=0 θklW(l)t−k+ t, (3.4)

conseguimos facilmente encontrar na equac¸ ˜ao 3.4 a estrutura Y = Xβ + . Assim a estimativa de Φ seria

Φ = (X0X)−1X0Z,

assumindo que X0X é uma matriz n ão singular. Ainda pela teoria de regress ão linear define-se um intervalo de confiança para os par âmetros

(Φ − bΦ)0X0X(Φ − bΦ)

KS∗( bΦ)

T N −A

∼ FA,T N −A,

em que F é distribuiç ão F de Fisher-Snedecor, T é o tamanho da s érie, A o tamanho do vetor Φ e N o n úmero de localizaç ões. Tamb ém se conclui que

σ2= S∗(Φ) T N − A, e (T N − A)_bσ2 σ2 ∼ χ 2 T N −A.

Como proposto por Mann e Wald (1943), estas propriedades da regress ão linear podem ser utili-zadas para os modelos STAR, uma vez que as suposiç ões da regress ão n ão s ão verificadas. Mais precisamente, as vari áveis da regress ão n ão s ão independentes dos erros.

Como os modelos STMA e STARMA apresentam estruturas de natureza n ão linear, optou-se por utilizar outros m étodos para estimar intervalos de confiança para os par âmetros. Para estimar os seus par âmetros é preciso aplicar t écnicas n ão lineares, como por exemplo o m étodo do gradiente (onde o gradiente é aproximado) ou a linearizaç ão num m étodo iterativo, em que em cada iteraç ão ”lineariza-se” o modelo n ão linear atrav és de expans ões de Taylor para estimar os valores dos par âmetros da iteraç ão seguinte. Estes m étodos n ão ser ão abordados nesta dissertaç ão. Para mais informaç ões consultar Marquardt (1963).