Revisão de Álgebra. Objetivos para Este Capítulo. Comandos do Maple Usados Neste Capítulo CAPÍTULO

Objetivos para Este Capítulo

1. Revisar as diferenças entre um número inteiro, uma fração e um número real 2. Compreender a diferença entre um número exato e sua aproximação decimal 3. Saber como converter números exatos para decimais aproximados usando o Maple

4. Revisar como polinômios com uma ou duas varíaveis são expressos na forma fatorada ou expandida

5. Saber como usar o Maple para fatorar ou expandir polinômios 6. Usar o Maple para substituir valores para variáveis nas expressões 7. Usar o Maple para plotar o gráfico de uma função ou expressão 8. Resolver equações lineares usando o Maple

Comandos do Maple Usados Neste Capítulo

* O operador de multiplicação. Exemplo: 2*3 / O operador de divisão. Exemplo: 3/2 ^ O operador de potenciação. Exemplo: 2^3 Pi O número Pi. A área de um círculo de raio 1.

evalf(expr) Converte para um valor decimal. Exemplo: evalf(Pi) expand(expr) Expande uma expressão multiplicando seus termos. factor(expr) Fatora um polinômio algébrico.

igcd(i1, i2) O maior divisor comum de dois inteiros. Exemplo: igcd( 16, 24) isolve(eqn) Encontra soluções para as variáveis em uma equação.

plot(expr, range) Plota uma expressão em um intervalo específico. Exemplo: plot( sin(x), x = 0 .. Pi)

solve(eqn, var) Resolve uma equação para uma variável específica. Exemplo: solve( x = 3*x – 8, x)

sqrt(number) A raiz quadrada de um número. Exemplo: sqrt(25)

subs(eqn, expr) Substitui um valor para uma das variáveis em uma expressão. Exemplo: subs(x =2, x^2)

Resolvendo Problemas, Passo-a-Passo

A prática da trigonometria requer que você sinta-se confortável com operações algébricas. A maioria delas serão apresentadas neste capítulo. Mesmo se você sabe álgebra, será proveitoso explorar o material encontrado aqui, pois você irá familiarizar-se com expressões do Maple que correspondem a operações algébricas comuns. Aqui estão os passos a serem seguidos:

1. Compreenda o conceito. Em outras palavras, saiba como resolver o problema usando “lápis e papel”.

2. Leia a linha de entrada do Maple para ver como um problema é expressado na notação do Maple.

3. Estude a resposta do Maple. Observe o que o Maple fez com sua linha de entrada e decida se isto resolve o problema ou, pelo menos, promove uma computação.

4. Junte tudo. Revise o enunciado do problema e os passos que levam a solução. Pergunte-se, “Se me fosse apresentado um problema semelhante, qual procedimento passo-a-passo eu empregaria para solucioná-lo?” Então, siga os passos mentalmente. Este processo de revisão é essencial para solidificar a compreensão que você obteve.

Frações

A idéia de uma fração surge quando você pensa em dividir um inteiro em algum número de partes. Por exemplo, você pode imaginar dividir uma torta de maçã em oito fatias iguais. Então cada fatia será 1/8 (um oitavo) de toda a torta. Três fatias serão 3/8 de uma torta, mas duas fatias serão 1/4 de uma torta.

Figura 2.1 Frações são Criadas Quando um Inteiro é Divido em Partes

Você pode na Figura 2.1 que 3/8 e 2/8 são. Além disso, só olhando o formato, você vê que duas fatias são formam 1/4 da torta. Quatro formas de duas fatias formam uma torta inteira. Numericamente, nós temos: (2-1)

4

1

4

1

2

2

4

2

1

2

8

2

=













⋅













=

×

×

=

Sem dúvida, você já está familiarizado com a técnica de pegar uma fração, como 2/8, e encontrar sua forma simplificada, 1/4. O problema de encontrar a forma mais simples é chamada de redução da fração aos menores termos.

Através de exemplos como este, você pode generalizar o conceito de uma fração. A definição de uma fração é : a razão entre dois inteiros, onde o denominador não pode ser zero. Simbolicamente: (2-2)

0

,

≠

=

q

q

p

a

Então, 3/4, 9/10, 355/17 e 24/24 todos são frações, até mesmo o último, 24/24, que não está expresso nos menores termos. Estes a seguir não são frações:

2

/

3

,

22/π. Tanto 2 quanto π

são números irracionais. Estes números não são frações; então qualquer termo contendo

2

ou π não pode ser uma fração.

Desde que o Maple tenta trabalhar tão precisamente quanto possível, freqüentemente apresenta respostas em forma de fração. Por exemplo, se você digita:

> 55/5;

11

O Maple dá como resposta o número 11. O número 5 divide o número 55, igualmente, 11 vezes. Por outro lado, se você digitar

> 22/7;

22

7

O Maple simplesmente repete a questão! Porque o Maple não respondeu com 3.1428? A resposta é dada como algumas frações são representadas por decimais. Pegue o número 1/3 e expresse-o como decimal:

1/3 = 0.3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333...

Você vê que a representação decimal de 1/3 é uma lista de 3s que cresce infinitamente. Já que o Maple tenta ser o mais preciso possível, ele deixa a resposta na forma de fração. É claro que freqüentemente se deseja expressar respostas na forma decimal, e o Maple possui um comando para realizar isto. O comando é chamado evalf e trabalha da seguinte forma:

> evalf(22/7);

Quando você quiser que o Maple converta algo na forma decimal, você deve usar o comando evalf. Você digita evalf e coloca a expressão a ser calculada entre parênteses simples. Nenhum outro tipo de parênteses servirá, já que o Maple usa os colchetes [ ] e as chaves { } para outros propósitos. No entanto, existe uma outra forma para o comando evalf. É usada se você deseja calcular suas respostas com mais de 10 casas decimais que o Maple geralmente oferece. (Não é uma boa idéia usar menos do que 10 casas decimais. Ao invés, você deve pegar as 10 casas decimais que o Maple oferece e arredondá-las por si mesmo.) Aqui estão alguns exemplos.

Exemplo 2-1: Uma Fração Grande

Existem 1.304.903 milhas quadradas nos Territórios a Noroeste do Canadá. A área do Texas é de 267.339 milhas quadradas. Comparando as duas áreas, que fração do Terrítórios do Noroeste é Texas? Solução: use a área do Texas como o numerador e a área dos Territórios a Noroeste como o denominador para formar uma fração.

> 267339/1304903;

267339

1304903

Já que o Maple apresenta como resposta o que você digitou, você sabe que os dois números, 267339 e 304903, não possuem fatores comuns. Nós podemos sempre expressar esta fração como uma porcentagem, ou seja:

> 100 *evalf(267339/1304903)*’%’;

20.48726994%

Nós temos que recorrer a um macete para obter o sinal de igualdade, mas basicamente, esta é a função evalf aplicada à fração. (Toda a expressão teve que ser multiplicada por 100 para ser convertida em porcentagem.)

A população do estado de New York em 1986 era de 18.194.025 e a área do estado é de 49.575 milhas quadradas. Quantas pessoas por milha quadrada isto representa? Solução:

> 18194025/49575;

367

O Maple reduz esta fração a um número inteiro porque 49.575 divide 18.194.025 exatamente.

Dois comandos relacionados são ifactor e igcd. O comando ifactor lhe dará os fatores de um inteiro. Fatorando os números do problema anterior teremos:

> ifactor(18194025); ifactor(49575);

(3) (5)2 (367) (661) (3) (5)2 (661)

Os fatores comuns são 3, 5, 5 e 661, como foi apresentado pela função igcd. O comando igcd apresenta o maior divisor comum de dois (ou mais) números:

> igacd(18194025, 49575);

49575

Sua Vez

1. Encontre os fatores de 281.522.223.382.549.

Resposta: Os fatores são___________________________________________________

2. Encontre os fatores de 3.011.753.745.

3. Qual é o maior divisor comum de 2.345 e 5.670 ?

Resposta: O maior divisor comum é__________________________________________

4. Some (ou subtraia) as seguintes frações (deixe as respostas como frações):

a) 344/45 +67/90 + 37/90 Resposta:__________

b) 1/2 + 2/3 + 3\4 + 4/5 + 5/6 + 6/7 + 7/8 + 8/9 + 9/10 Resposta:__________

c) 1/4 – 1/8 – 2/15 Resposta:__________

d) 2/9 – 5/11 – 2/17 Resposta:__________

5. O seguinte está correto ?

5

2

65

26 =

Números Reais

Números reais possuem um papel importante na trigonimetria que as frações não podem cumprir. O triângulo mais simples que você pode construir é obtido desenhando uma diagonal em um quadrado cujos lados possuem a altura 1 (Figura 2.2).

A diagonal é chamada de hipotenusa do triângulo de ângulo reto. Quanto mede a hipotenusa? No diagrama, esta medida é chamada de H. Aplicando o torema de Pitágoras a este triângulo, nós encontramos:

Figura 2.2 O Triângulo Formado pela diagonal de Quadrado.

2

,

2

1

1

2 2 2 2

=

=

=

+

H

H

H

(2-3)

A raiz quadrada de 2,

2

, não é uma fração, mas é um número real. Devido ao fato de que números como

2

,

3

,

5

,

e assim por diante, podem aparecer em medidas trigonométricas, eles devem fazer parte de nosso sistema de numeração, já que eles não são frações. Estes números são chamados “irracionais” para distingui-los de frações, as quais são chamadas de números racionais. Combinando os números racionais e os irracionais, nós temos o sistema de numeração real.

Estas são algumas maneiras de trabalhar com números reais no Maple. Você pode avaliar um número irracional, por exemplo:

< sqrt(2), evalf(sqrt(2));

2,1.414213562

Você pode testar se um número é irracional ou não:

< is(sqrt(2),real), is(sqrt(2), rational);

true, FAIL

< evalf(Pi, 60);

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494

Calcular uma resposta usando evalf permite que você obtenha uma resposta na forma decimal.

Exemplo 2-3: Resolvendo um Triângulo Reto

A hipotenusa de um triângulo com o ângulo reto possui 13.5 cm. A base possui 5.75 cm. Qual é a altura?

Solução. Faça um esboço e nomeie o diagrama com a informação dada (Figura 2.3).

Agora que você pode visualizar o problema, sabe que a altura que você está querendo encontrar é maior do que 5.75 cm e menor que 13.5 cm. Você pode resolver usando o Maple, e pode verificar usando a calculadora. Isto é especialmente importante enquanto você está aprendendo o Maple. Você conhece melhor a sua calculadora; então, use-a para se manter na direção correta. Aqui está a solução do Maple. Chamando a hipotenusa de H, a base b, e a altura de h, nós temos, pelo teorema de Pitágoras: 2 2 2 2 2 2

b

H

h

H

b

h

−

=

∴

=

+

(2-4)

Figura 2.3 Solução de um Triângulo de Ângulo Reto

> h^2=13.5^2-5.75^2;

h2 _{= 149.1875}

> h = sqrt(13.5^2-5.75^2);

h = 12.21423350

Você não precisa resolver o problema em dois passos, encontrando primeiro h2, e depois h. Você só precisa digitar a linha de comando abaixo. Melhor ainda, você pode digitar:

> h^2=13.5^2-5.75^2;

e calcular. Depois, acrescentar um sqrt. O Maple torna fácil modificar comandos escritos anteriormente para reexecução. O segundo e último passo em qualquer problema é expressar a resposta em um número razoável de casas decimais e determinar as unidades de medida. Já que a hipotenusa foi dada com três alagarismos, nós devemos estabelecer a altura do triângulo como 12,2 cm. O último (e mais importante) passo é verificar a exatidão da resposta. O Maple torna esta tarefa fácil. Retorne a fórmula para a base:

e edite-a. Substitua o termo h^2 pela sua resposta:

> 12.2^2=13.5^2-5.75^2;

148.84 = 149.1875

Você vê que a resposta possui três algarismos significantes. Se você deseja mais precisão, você pode substituir h usando:

h = sqrt (13.5^2-5.75^2); produzindo:

>sqrt(13.5^2-5.75^2)^2=13.5^2-5.75^2;

149.1875000=149.1875

Lembre-se: verificar seus cálculos é simples quando você usa o Maple, e é o passo mais importante em qualquer problema.

Sua Vez:

1. Calcule a raiz quadrada de 2 com 30 casas decimais. O último dígito é par ou ímpar?

Resposta: ________________________________________________________________

O último dígito foi arredondado? A 30º casa seria alterada se você calculasse com 33 casas em vez de 30 ?

Resposta: ________________________________________________________________

2. Calcule a fração 1/7 com um grande número de casas decimais de modo que apareçam partes repetidas. Converta esta parte repetida em um decimal e multiplique-o por 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Faça x igual à parte repetida.

x = ____________ 2x = ____________ 3x = ____________ 4x = ____________ 5x = ____________ 6x = ____________ 7x = ____________

Observe os dígitos para 2x, 3x, 4x, 5x e 6x. O que há de diferente com eles?

Resposta: ________________________________________________________________

3. Os gregos encontraram uma proporção que eles chamaram de Seção Dourada, e os Renascentistas Italianos chamavam de Divina Proporzione. Também foi chamada dividindo a linha da proporção extrema e significante”. O número da Seção Dourada é

2

1

5

+

. Converta este número em um decimal:

Resposta: ________________________________________________________________

4. No próximo capítulo, você verá que cos(x) é uma das funções trigonométricas básicas. Por enquanto, aceite que existe uma função chamada cos(x), a qual ambos, o Maple e a sua calculadora, reconhecem. Use o Maple para calcular 2cos(π/5). Compare seu resultado à última resposta.

5. Encontre o valor do radical contínuo

1

+

1

+

1

+

1

+

...

.

Usando o Maple, você digita sqrt(1+ e copia esta parte da expressão. Depois você posiciona o cursor no final da expressão e pressiona CTRL+V para colar a parte copiada. Pressione CTRL+V um número de vezes e então conclua a expressão digitando 1)))). Use tantos parênteses quantos forem os comandos sqrt. Por exemplo:

> sqrt(1 + sqrt(1 + sqrt(1 + sqrt(1 + sqrt(1 + 1)))));

1

+

1

+

1

+

1

+

2

Avalie esta expressão usando evalf. Qual é a resposta?

Resposta: ________________________________________________________________

Compare esta resposta ao problema 3. Estenda o número de sqrt no radical contínuo e converta-o em um valor decimal. Isto aproxima mais ainda a Seção Dourada?

Resposta: ________________________________________________________________

Frações Algébricas e Fatoração

O conceito de uma fração pode ser estendido a polinômios algébricos, uma forma algébrica que contém somente expoentes positivos. Exemplos:

Monômio: 3x3y2 (2-5a)

Binômio: 4xy2+12x2y (2-5b)

Você pode usar o comando de substituição, subs, para avaliar polinômios para valores dados às variáveis.

Exemplo: Avalie o polinômio na Equação 2 – 5c se x = 12 e y = 25. Solução:

> subs(x = 12, y = 25, x^3 + 6*x^2*y + 12*x*y^2 + 8*y^3); 238328

Uma vez que você já tenha digitado uma expressão no Maple, você pode editá-la quantas vezes você desejar. Você poderia encontrar o valor da expressão parab x = 6 e y = 3 simplesmente editando esta parte da expressão. Ou, então, pode copiar toda a expressão, colar em uma nova linha de edição e editá-la. Deste modo, você mantém um registro de todos os resultados na sua sessão do Maple.

Fatorando Polinômios

A rotina do Maple para fatorar polinômios é chamada factor. Aqui estão alguns exemplos:

> factor(x^3+6*x^2*y+12*x*y^2+8*y^3); (x + 2y)3 > factor(x^3 – 1); (x – 1) (x2 _{+ x + 1)} > factor(2*x^8-2); 2(x – 1) (x + 1) (x2 + 1) (x4 + 1)

Você pode ver através destes exemplos que o Maple pode ajudar você a examinar se qualquer polinômio pode ser fatorado.

Existe uma operação relacionada chamada expand, a qual multiplica os fatores. Exemplos deste comando são:

> expand ((x-1)*(x+1));

x2 – 1

> expand ((3*x+y)*(2*x-y)*(x-2*y)*(4*x+y));

24x2 – 46x3y – 9x2y2 + 9xy3 + 2y4

> expand ( sin(x+y) );

sin (x) cos(y) + cos(x) sin(y)

O último exemplo nos leva à frente para mostar a você que o Maple pode expandir termos trigonométricos tão bem quanto os algébricos. Existem muitas outras facilidades no Maple para manipular polinômios, os quais não são apresentados nesta breve revisão de álgebra. Use a função Help do Maple ou recorra ao livro de álgebra desta série (Parker:Maple for Algebra).

Sua Vez

1. Fatore (x90 – 1). Existem termos cujos maiores expoentes de x é x1, x2, x4, x6, x8 e x24. Quantos de cada existem?

Resposta: Existem _______ termos de cada uma dessas potências. Os termos são todos do mesmo grau para x, mas não são idênticos.

2. Fatore 391 x2 _{– 440x – 1311. Resposta:___________________}

3. Expanda (1 – x)(1 + x); (x + a) (x + a); (bx + a) (bx + a).

4. Os seguintes são chamados de Produtos Notáveis. Expanda-os e aprenda a reconhecer os mais simples.

a) (a – b)(a + b) Resposta:_____________________

b) (a + b)2 _{Resposta:_____________________}

c) (x + 1)3 _{Resposta:_____________________}

Funções e Seus Gráficos

A idéia de uma função é simples. Uma função (de uma variável) assume um valor que você deu e retorna outro valor. Ou seja, existe uma correspondência um-a-um entre o número que você dá e o número que você obtém – o valor da função. As funções que você irá examinar serão expressas pelo fórmula do tipo:

Y = f(x) (2-6)

O que em palavras é “y é uma função de x”. O número que você oferece é x e o número que você obtém é y. Nós dizemos que x é a variável independente e y é a variável dependente. Existe somente um valor de y para um x dado em uma função verdadeira, mas podem existir mais de um

valor de x para um y dado. Um exemplo óbvio é a função

y = sin(x) na trigonometria, a qual você verá no próximo capítulo. Para nossos objetivos nesta seção, o poder total da notação funcional do Maple não será necessário. Aqui, nós queremos mostrar a você como avalia funções e as plota.

Você deve saber as seguintes definições:

 Domínio: O conjunto dos valores da variável independente (x) para os quais a função é definida.

 Máximo: O maior valor da função dentro do intervalo, se ele existe.

 Mínimo: O menor valor da função dentro do intervalo, se ele existe.

 Zeros: O conjunto de valores da variável independente (x) para os quais y = 0.

O gráfico de uma função lhe oferece uma figura. Estas figuras, chamadas gráficos, permitem que você veja o comportamento total da função. Gráficos são úteis porque a mente humana compreende figuras muito melhor do que tabelas de valores ou fórmulas.

Exemplo 2-4: Gráficos de Funções Simples

O comando plot do maple necessita de duas informações, chamadas parâmetros ou argumentos. Eles indicam a expressão que será plotada e o intervalo da variável independente. Você não digita a equação, somente a parte f(x). Então, se você deseja plotar uma função, você deve expressá-la na forma y = f(x); depois, você pega somente a parte do f(x) como o que dever ser plotado. Você deve também informar ao comando plot o intervalo ao longo do eixo do x onde o gráfico deve ocorrer . Aqui está um simples exemplo do comando plot para a função y = x2_{, onde} a parte da função a ser plotada vai de x = -2 a x = +3 (veja Figura 2.4). Observe que uma vírgula (,) separa a expressão a ser plotada e o intervalo. Além disso, examine o intervalo cuidadosamente. Para plotar de x = -2 a x = +3, digite x = -2 .. 3. Um par de pontos, ou “ponto duplo”, devem estar entre o ponto inicial e o ponto final do intervalo. É claro que o ponto inicial do intervalo deve ser menor do que o ponto final. Um item final:

Figura 2.5 Duas Funções no mesmo Gráfico

O comando para plotar começa e termina com parênteses. Somente este tipo(como mostrado) pode ser usado. Aqui está um comando plot:

>plot( x^2, x= -3 .. 2);

Você pode plotar duas funções no mesmo gráfico (Figura 2.5). Para fazer isto, você coloca ambas as expressões entre chaves, separadas por uma vírgula. Digamos que você quer ver a reta y = 2x + 1 cortar a curva y = x2 – 2. O comando para plotar é:

>plot( { 2*+1, x^2-2}, x = -4 .. 4);

Este gráfico nos dá uma boa idéia de onde as curvas se interceptam. Para encontrar os valores exatos, você deve usar as técnicas discutidas na próxima seção.

Sua Vez:

1. Plote a função y = 3x +2. Você só usa a parte direita da equação no comando.

b) Onde o gráfico corta o eixo do x? Resposta: O gráfico corta o eixo do x em x =_____

2. Plote a função y = -2x2 + 6x + 3. Onde esta curva atravessa o eixo do x? Resposta: O gráfico atravessa o eixo do x em _______ e _______.

3. Plote a função y = 6x3 _{– 10x}2 _{–38x + 42.}

a) Quantas vezes a curva atravessa o eixo do x? Resposta: O gráfico cruza o eixo do x ______ vezes.

b) Quais são os valores de x neste caso? (Estas são as soluções para = 6x3 – 10x2 –38x + 42 = 0.)

Resposta: O gráfico corta o eixo do x em ________, _________, e __________.

c) Um desses valores não é um número inteiro. Expresse esse número exatamente. Existe mais de uma maneira de obter a resposta. Você poderia usar o comando solve (descrito a seguir), ou poderia dividir 6x3 _{– 10x}2 _{–38x + 42 por (x –a) e (x-b), onde a e b são as duas soluções inteiras} que você encontrou pelo gráfico. Neste caso, você usaria o comando divide. A forma do comando divide para este problema é divide( 6x3 _{– 10x}2 _{–38x + 42, (x –a) e (x-b), ‘q’); . O} quociente será armazenado na variável q. Resolvendo a equação q = 0, você encontrará o valor exato para a terceira raiz. Você poderia fazer a divisão com lápis e papel, já que o Maple o ajudou a encontrar as soluções inteiras!

Resposta: A raiz não inteira é _______. Eu usei o comando____________na minha solução.

Resolvendo Equações

O comando solve no Maple é usado para encontrar a solução exata para uma equação ou conjunto de equações. Isto pode não ser possível e, neste caso, o comando fsolve pode ser usado para obter uma solução com quantas casas decimais forem desejadas. Vamos aplicar o comando solve ao

problema cuja solução gráfica é mostrada na Fig. 2.5. É escrito de forma muito semelhante ao comando para plotar duas funções.

Exemplo 2-5: Resolva o sistema de equações y = 2x +1 e y = x2_-2.

>solve( {y = 2*x + 1, y = x^2-2}, {x, y} );

{ y = -1, x = -1} , { y = 7, x = 3}

Observe que as equações são separadas por uma vírgula e elas estão entre chaves. As variáveis no problema também estão entre chaves. Os dois pares de chaves são separados por uma vírgula e todo o comando solve está entre parênteses.

Se existe mais de uma incógnita em um problema, você precisa de um sistema de equações, uma para cada incógnita. Neste caso, você usa a notação de sistema do Maple no comando solve:

>solve( {equação1, equação2, etc.}, {incógnita1, incógnita2, etc.} );

Exemplo 2-6: Resolvendo um Sistema de Equações Lineares

Resolva equações tais como

3x – 2y + 4z = 22 (2-7) x – 3y - 2z = -22

4x + 7y + z = 1

ou o sistema especificado pela eq1, eq2, e eq3, para x, y e z.

Solução: Dê um nome a cada equação, depois use o comando solve:

> eq1 := 3*x-2*y+z=-9; eq2 :=x+2*y-z=5; eq3 := 2*x-y+3*z=-10; > solve( { eq1, eq2, eq3 }, {x, y, z} );

Observe a forma especial do comando solve. O sistema de equações e as variáveis foram colocadas entre chaves, separadas umas das outras por vírgula. Existe também uma vírgula entre cada item do sistema.

Sua vez: Resolva o sistema de equações numerado 2-6, acima, para x, y, e z.

Resposta: x = ___________, y = ___________, z = ___________

Exemplo 2-7: A Equação x2 _{– x – 1 = 0}

1. Resolva a equação para x. Resposta: __________________

2. No Exemplo 2-3, problema 3, a Seção Dourada foi introduzida como o número

2

1

5

+

.

No problema 5 o mesmo conjunto, foi dado a você o número

1

+

1

+

1

+

1

+

...

. Chame este número de τ. Então τ2

deve ser igual a 1+ 1+ 1+ 1+ 1+... , como você pode ver extraindo o radical uma vez. O segundo termo é somente τ mais uma vez; então nós podemos escrever a equação para τ como

τ2 = 1 + τ, ou (2-8) τ2 _{- τ - 1 = 0}

Resolva esta equação para τ usando o comando solve do Maple. (Você pode chamar a variável de t em vez de tau se preferir.)

Resposta: O Maple apresenta as soluções _________________ e _________________.

A solução positiva é (a mesma/diferente)_____________, comparada a

2

1

5

+

.

3. Aqui está um tipo de problema que interessou aqueles que montam quebra-cabeças por muito tempo. Um estudante com 22 centavos deseja comprar 22 folhas de papel. Ele vai a uma loja

onde há três tipos de papel. Folhas de papel plano branco (finas) custam 1/2 centavo cada, papel branco de melhor qualidade custa dois centavos cada e colorido custa três centavos cada. Ele gostaria de comprar algumas de cada tipo e gastar todo o seu dinheiro. Quanto de cada tipo ele pode comprar?

Existem três incógnitas e somente duas equações neste problema. Se você usar o comando solve, o Maple lhe dará uma solução, mas ela será em termos de uma das variáveis. Você deve encontrar a solução que oferece números inteiros positivos. Tente fazer algumas substituições para z no conjunto das respostas e você rapidamente encontrará as respostas. Outra maneira de resolver as equações é usar o comando isolve:

> a := isolve({x+y+z=22, 1/2*x+2*y+3*z = 22});

Os parâmetros para este comando são simplesmente as duas equações, separadas por uma vírgula e entre chaves. A resposta do Maple será em termos de uma variável, _N1, a qual pode ser qualquer inteiro. Você pode encontrar o valor de _N1 o qual irá satisfazer o problema examinando os três termos na resposta. Use o comando substitute para verificar sua escolha.

Resposta: O estudante pode comprar _______ folhas finas, _______brancas e _______ de papel colorido.

Lápis e Papel

LP - 1

Adicione estas frações mentalmente. Deixe os resultados como uma fração imprópria.

(a)

3

2

2

3 +

Resposta:__________________ (b)

4

1

2

1 +

Resposta:__________________ (c)

8

1

4

1

2

1

+

+

Resposta:__________________

LP - 2

Encontre o menor denominador comum para

45

2

30

7 +

. Resposta:__________________

LP - 3

Qual é o tamanho da hipotenusa H ?

LP - 4

Qual é o tamanho da hipotenusa H ?

Resposta:__________________

LP - 5

Encontre todos os fatores de

(a) 45 Resposta:__________________ (b) 55 Resposta:__________________ (c) 32 Resposta:__________________ (d) 1.890 Resposta:__________________ (e) 36 Resposta:__________________

LP - 6

Calcule mentalmente as seguintes raízes. Simplifique as raízes o máximo possível, escreva a resposta exata.

(b)

2

+

8

Resposta:__________________

(c)

4

+

9

Resposta:__________________

(d)

9

+

16

Resposta:__________________

(e)

3

+

27

Resposta:__________________

LP - 7

Estime as raízes quadradas mentalmente, declarando entre quais inteiros consecutivos a raiz está situada. (a)

2

Resposta:__________________ (b) 5 Resposta:__________________ (c)

10

Resposta:__________________ (d)

26

Resposta:__________________ (e)

37

Resposta:__________________

LP - 8

Fatore estas expressões.

(a) x2 + 2xy + y2 Resposta:__________________

(b) 9 + 12 + 4 Resposta:__________________

(c) x2 - y2 Resposta:__________________

(d) 100 –1 Resposta:__________________

(e) ab – ac Resposta:__________________

LP - 9

Resolva estas equações com lápis e papel. Resolva o quanto você puder mentalmente.

(a) x – 3 =5 Resposta:______________ (b) mx + b = 4 para x Resposta:______________ (c) x2 – 9 =0 Resposta:_______________ (d) 10x + 2 = 7x + 17 Resposta:______________ (e)

3

9

1

3

=

x

Resposta:______________ (f)2 −1=1 x x Resposta:______________

(g)

5

3

2

+

=

x

x

Resposta:______________ (h)

0

3

1

2

3

1

=

+

−

−

x

x

Resposta:______________ (i)

4

4

3

3

5

−

=

+

x

x

Resposta:______________ (j) 10x = 9x + 12 Resposta:______________ (k) 10x = -9x + 12 Resposta:______________ (l) 13 – 2x – 3x – 4x = 5x Resposta:______________

LP - 10

Expresse esta soma como uma fração simples encontrando o denominador comum.

d

c

b

a +

Resposta:______________

Qual é a fórmula para a hipotenusa do triângulo retângulo em termos de dois lados (Teorema de Pitágoras)

Resposta: ______________

LP - 12

(a) Simplifique

576

+

4900

Resposta:______________

(b) Simplifique _{2 2} 2 3 3 2

2

4

2

1

y

x

y

x

y

x

−

−

Resposta:______________

(c) Liste os números 22/7, π, e

2

3

na ordem numérica. Resposta:______________

(d) Resolva

0

.

6

20

8

.

0

6

₌

+

+

x

x

Resposta:______________

(e) Resolva x = x0(1 + α(T – T0)) para α. Resposta:______________

LP - 13

Simplifique

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

+

−

+

+

−

−

−

+

1

Resposta:______________

LP - 14

Resolva a quadrática x2 – 4x +4 = 0 Resposta:______________

LP - 15

Simplifique

3

2

)

3

(

2

3 2 1

⋅

− − Resposta:______________

Laboratório Maple

LM - 1

Use o Maple para somar as seguintes frações. Deixe as respostas na forma fracional.

(a) 1/2 + 1/3 + 1/4 Resposta:______________ (b)1/1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! Resposta:______________ (c) 3 7/10 + 3 1/7 Resposta:______________ (d)

3

1

2

1

1

1

+

+

Resposta:______________ (e) (6-1 + 7-1 + 8-1 )-1 Resposta:______________

LM - 2

Reduza as expressões abaixo a uma aproximação de 10 casas decimais.

(a) 23/35 + 35/23 Resposta:______________

(b)

2

3

4

5

Resposta:______________

(d) Calcule 1₂ 2

,

r

m

m

G

G = 6.67259×1011 , m1=75, m2=5.9742×1024, r = 6.37783×106 Resposta:________________________________________________________________ (e)

2

₃

,

4 2

c

h

me

R

_H

=

π

RH = 109.500 cm-1, c = 2.99792458×1010, cm/s, m = 9.1093897×

10-27Kg, h = 6.6266755×10-34 erg⋅s, e = 4.69×10-10 esu. Usando os dados acima e a equação, verifique o valor da constante de Rydberg. RH é uma importante constante na física tômica

Resposta : _______________________________________________________________

LM - 3

Uma poderosa técnica matemática é chamada iteração. Isto significa fazer algo novamente e novamente; então esta é uma palavra exata para repetição. Nós ilustraremos o método, usando-o para determinar a raiz quadrada de um número.

Seja x = 1.5 uma estimativa para a raiz quadrada de dois. A fórmula

(

2

)

2

1

x

x

+

é uma estimativa melhor do que x. Digite os comandos

> x := 1.5; i := 0; (x é uma estimativa para a raiz quadrada de dois e i é um contador, inicializado com zero.)

> x : = 1/2*(x + 2/x); i : = i + 1; (Uma estimativa melhor para a raiz quadrada cada vez que este comando é executado.)

Re-execute o último comando. No Windows, posicione o cursor na linha de comando e pressione Enter. Uma nova estimativa é computada e o contador mostra quantas vezes o comando foi executado. Compare estas estimativas com a raiz quadrada de dois computada pelo comando

Exiba seus resultados depois de executar o comando, uma, duas e três vezes.

(a) Primeira vez: i = 1, Resposta: x = _________________, x – sqrt(2) =________ (b) Segunda vez i = 2, Resposta: x = _________________, x – sqrt(2) =________ (c) Terceira vez i = 3, Resposta: x = __________________ x – sqrt(2) =________ (d) Compare o terceiro resultado com sqrt(2), calculado com 10 casas decimais. Quanto

próximos eles são?

Resposta:________________________________________________________________

LM - 4

Edite uma fórmula para encontrar a aproximação da raiz quadrada. Ela se torna:

> x := 1.5; i := 0; (x é uma estimativa para a raiz quadrada de dois e i é um contador, inicializado com zero.)

> x : = 1/2*(x + 3/x); i : = i + 1; (Certifique-se de que x possui um valor numérico antes de executar este comando!)

Desta vez, compare os resultados à raiz quadrada de três. Quantas iterações são necessárias para aproximar

3

com dez casas decimais?

LM - 5

Experimente processar novamente, estabelecendo

> x : = 1/2*(x + 10/x); (Certifique-se de que x possui um valor numérico antes de executar este comando!)

Quantas iterações são necessárias para aproximar

10

com dez casas decimais?

Resposta: _______________________________________________________________

Este problema mostra a você que o Maple faz cálculos repetidos facilmente. Você deve entender o problema, mas depois deixe que o Maple execute o trabalho.

As técnicas de edição de comando e de re-executá-los são verdadeiros “economizadores de tempo”! Aprender estas técnicas pode ajudá-lo a se tornar cedo um usuário eficiente do Maple.

LM - 6

Outra técnica útil a aprender é a de resolver equações plotando-as. Este problema sugere que você resolva

> eq := x^3 – 7*x^2 + x = -44;

eq : = x3 _{– 7x}2 _{+ x = -44}

através do gráfico.

Passo1. Reescreva a equação, agrupando todos os termos diferentes de zero no lado esquerdo.

> e26 : = lhs(eq)-rhs(eq);

Observe que nós usamos os comandos lhs e rhs para evitar qualquer erro de cópia. O Maple copia para você e transforma a equação em uma expressão! Você precisa de uma expressão porque você não pode plotar uma equação. Agora use o comando plot :

> plot( e26, x = -1 .. 10);

Aqui parece haver três lugares onde o gráfico corta o eixo do x. Estas são as três raízes da equação.

(a) Calcule as raízes.

Resposta:_______________________________________________________________

(b) Use o comando solve do Maple e encontre a solução.

Resposta: _______________________________________________________________

Nota: O comando plot permite que você encontre soluções que o solve não consegue. Aqui, ambos os métodos funcionam. Você sempre pode limitar o intervalo para obter melhor precisão em uma solução em particular.

LM - 7 Estimação

Um triângulo é determinado através das coordenadas de seus três vétices. O triângulo deste problema possui vértices A(0,0), B(5,0) e C(5,1). Você pode plotar este triângulo listando suas coordenadas. O Maple irá “juntar os pontos” se você der ao comando plot uma lista de coordenadas em ordem. Partindo do ponto A, o qual está na origem, as coordenadas são (0,0), (0,5), (5,1). Imagine ir de coordenada de pontos a coordenada de pontos. Você chegará no ponto x = 5, y = 1 em um caminho triangular. Para voltar à origem, você precisa de ir para (0,0) mais uma vez. No Maple Release 3 (V3), o formato para esta lista é simplesmente [0,0,5,0,5,1,0,0]. Você não precisa digitar os parênteses (e); simplesmente liste os pontos, separados por vígulas, dentro de colchetes. Experimente o comando

> plot( [0,0,5,0,5,1,0,0]);

No Maple Release 4 (V4), você deve manter todos os pontos entre colchetes. Na V4, o comando será

> plot( [0,0],[5,0],[5,1],[0,0]);

Se você estiver trabalhando no Windows, escolha Projection, Constrained no menu Plot tanto na V3 quanto na V4. Isto desenha ambos os eixos na mesma escala, de modo que a figura não fique distorcida. Use um transferidor para medir o ângulo BAC.

Resposta:________________________________________________________________

Você pode medir o ângulo na tela ou pode imprimir o gráfico. Isto deu a você um método de medir um ângulo sem usar trigonometria!

LM - 8

Outra maneira de calcular um ângulo é usar a fórmula para o comprimento do arco, s = rθ. Se você imprimiu o triângulo para escalar, esboçar um arco, com o centro na origem e com raio r (polegadas ou centímetros, qualquer escala que você tenha escolhido), da base à hipotenusa. Você pode ver que o comprimento do arco é quase o mesmo que a altura do triângulo. Use uma escala que transforme o comprimento do arco em uma unidade (5 cm = 1 unidade ou 5 pol = 1 unidade). Calcule o ângulo usando a fórmula do comprimento do arco com s = 1.

(a) Converta sua resposta em graus. Resposta:_____________________

(b) Aqui está uma questão duvidosa sobre estimativa: o valor de (a) é muito alto ou muito baixo?

O próximo problema pede que você construa mais triângulos retângulos. A base de cada triângulo é a hipotenusa do triângulo anterior na seqüência. Você estará apto a calcular exatamente comprimentos, mas terá de estimar os ângulos. Mais tarde, quando você tiver estudado mais trigonometria, você saberá como calcular ângulos. O objetivo deste problema e do próximo é mostrar que você pode “chegar perto” da resposta mesmo se você não sabe todas as fórmulas.

LM - 9

Chame a hipotenusa Ac do triângulo ABC de LM2-7h1. Construa outro triângulo com base h1. Faça a altura 1, como no triângulo ABC. Chame a hipotenusa deste triângulo de

h2. Construa outro triângulo com altura um, usando h2 como a base. Chame a hipotenusa deste triângulo de h3.

a) Resolva para h3 exatamente, usando o Maple.

> ; (Escreva o comando do Maple aqui) Resposta:______________

b) Escreva a aproximação decimal: Resposta:______________

c) Usando o Maple, estime o número de triângulos que seriam necessários para hn ficar quase

reto. Calcule o ângulo BAC desenhando-o para escalar ou aproximando o ângulo como = 1/5 radianos, usando a fórmula do comprimento do arco.

Resposta:_____________________________________________________________

d) Qual seria o comprimento da hipotenusa no (c)?

Resposta:_____________________________________________________________

e) À medida que você adiciona mais e mais triângulos em cima de cada um deles, quando a hipotenusa hn será um número inteiro novamente? Qual seria este comprimento?

Resposta:_____________________________________________________________

f) O que está acontecendo com o tamanho dos ângulos à medida que nós continuamos adicionando triângulos um em cima do outro? Justifique seu resultado, examinando a relação θ = s/r à medida que r se torna cada vez maior.

Resposta:__________________________________________________________

g) Qual o tamanho da hipotenusa do 42º triângulo? Com tantos triângulos, o espiral de triângulos fará uma rotação completa.

Resposta:_____________________________________________________________

h) Para verificar este último resultado, você deve aplicar trigonometria. Você aprenderá a solução trigonométrica deste problema nos exercícios.