CONVERSOR ANALÓGICO DIGITAL USANDO DIPOLOS DE HOPFIELD

4o.SBAI- Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, São Paulo, SP, 08-10 de Setembro de 1999

CONVERSOR ANALÓGICO DIGITAL USANDO DIPOLOS DE HOPFIELD

José Homero Feitosa Cavalcantí'"'

José Ricardo da Silva Ferreira[b]

Pablo Javier Alsina

[e]

[a][b]UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CCT/COPININEUROLAB

Av. Aprígio Veloso, 882 FonelFax : (083) 310-1119/310-1124 58.109-970 - Campus lI. - Campina Grande - PB

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WjJ, Wip ... Winrepresentam os pesos. Obtém-se Yiatravés da Eq. ( 1). Emprega-se a chave SI. ilustrada na Fig. I, para

conduzir a zero a saída Oido neurônio. A constante de tempo do circuito RC do neurônio é obtida por lIRC. Obtém-se a saída Z;, na forma contínua, através da Eq. (2), com t representando o tempo.

Resumo Este trabalho apresenta detalhes do projeto, implementação, e treinamento de um novo conversor analógico/digital (AID) baseado num par de neurônios de Hopfield, chamados de dipolo de Hopfield.

Palavras chaves: Redes neurais de Hopfield, Coversor AID. Abstract: This paper presents project detail, implementation, and training of a new analogical/digital (AID)converter based on two Hopfield's neurons, called Hopfield's dipolo.

Keywords: Hopfield Neural Networks, AID Converter.

- - = - - -

dZi

Yi-Zi

dt

RC

(1)

(2)

1

INTRODUÇÃO

As redes neurais são excelentes ferramentas para o controle de plantas não lineares. Catunda & Cavalcanti (1997) e Alsina & Cavalcanti (1998) propuseram um controlador baseado na RNH denominado Controlador Neural de Hopfield - (CNH) . Baseando -se neste trabalho, apresenta-se um conversor analógico/digital (AID), utilizando o neurônio de Hopfield (1984), com dois neurônios na forma de dipolo . Apresenta-se o modelo dos neurôn ios, a emulação do CNH num computador digital, os conversores AID, o conversor AID de Hopfield, e o conversor AID baseado nos dipolos de Hopfield.

2

OS NEURÔNIOS DE HOPFIELD

O neurônio utilizado por Hopfield (1992), ilustrado na Fig. 1, baseia-se no neurônio não-linear proposto por McCulloch & Pitts. Os XjJ, Xi2,,,,Xinrepresentam as entradas do neurônio, os

C

_il

Fig.1. O neurônio de Hopfield.

Através do método de Euler, para a solução de equações diferenciais, calcula-se o valor discreto de Zi, descrito na Eq.(3). Considerando-seka representação do tempo discreto,h a representação do valor de incremento do tempo do método de Euler, e

.8

definido na Eq. (4), o novo valor de Z, é obtido através da Eq,(5).

40. SBAI - SimpósioBrasileiro de Automação Inteligente, São Paulo, SP, 08-10 de Setembrode 1999

A saída O; do neurônio pode ser uma função sigmóide ou uma

função tangente hiperbólica, descritas nas Eq. (6) e (7) respectivamente. O símbolo 1J representa uma constante positiva que controla a declividade da saída do neurônio .

1

z;

1

=Z.k

+h-(Y

-Z'k)

1+ I

RC

I I

h

f3

=

RC

I O.=

S/C

(Z.)=---;:-I I 1+ e-ryz, (3) (4) (5) (6) ITER

Fig.3. Competição entre os neurônios Nl e N2.

Fig.2. Representação simplificada da RNH.

I

1

1

o.• o.• 0.4 0.2

..

Ek

-,

-1.5 -0.5 0.5 1.5 ·2

Fig. 4. O Controlador Neural de Hopfield - CNH.

Fig.S Curva do erro versos valor final de 01'

As características observadas durante as simulações com o par de neurônios evidenciaram a possibilidade do uso do par de neurônios de Hopfield em controladores (Catunda &

Cavalcanti, 1997). Na Fig. 4 são ilustrados o CNH e li planta não linear (Cavalcanti & Alsina, 1998) . Pode-se calcular a diferença entre I] e 12 (I]=Dk e 12=Xk) com o valor da saída de N]. Se1]>li e se onúmerode iterações é maior que 100, o valor da saída deN]se aproxima de um. Entretanto, seI]<12o

valor da saída deN] se aproxima de menos um.

Define-se o erro Ekcomo a diferença entre o valor desejado e o

valor na saída da planta (Ek=Dk-Xk) . Utilizando-se os dois

neurônios como controlador com número de iterações maior que 100, o par de neurônios de Hopfield pode ser consid erado um controlador do tipo ON/OFF. Mas, se o número de iterações é menor que 100, o valor absoluto final deN] é menor queum.

(7)

1

-1/Z·

O;

=

TGH(Z;)

=

2SIG(Zj

) -1

=

1-

e

- 7I_Z'

.

+e

'

3

OS DIPOLOS DE HOPFIELD.

Uma RNH com dois neurônios, conforme ilustrado na Fig. 2, representa os dipolos de Hopfield. Cada um dos dois neurônios possui uma entrada externa e uma entrada recorrente. A entrada

Xll do neurônioNJ é conectada ao valor I J. A entrada XZJ do

neurônio _{Nz é conectada ao valor Iz. Assim obtém-se as} entradas de N]: XlI=WJ1*I1 e XJ2=W12*Oz, com Wl1>O e W12<O. As entradas de Nz são: X21=WZJ *I2 e Xn =Wn*Ob com W21>0e Wn<O. Na Fig. 2 Wll=W21=-1eW12=W2z=1.

Para ilustrar as características da RNH ela é emulada num microcomputador IBM-PC com processador PENTIUM. O número de iterações utilizado para calcular o valor de Z;k+b descrito na Eq. (3), durante a fase transitória da saída dos dois neurônios foi denominado de lTER. Durante a emulação da

RNH foram atribuídos os seguintes valores às variáveis:

ITER=100, /3=0.02. Apresentam-se na Fig. 3, as curvas dos

resultados obtidos durante a fase transitória da saída dos neurônios NJ e Nz. Nesta figura, IJ e Iz são as entradas do

dipolo.

t, - - - l...

O neurônio_{NJ com a entrada IJ é o vencendor quando I]}>_Iz, conforme ilustrado na Fig. 3. As curvas das saídas dos dois neurônios foram obtidas com/]=1 e para diferentes valores de

12 (0.1;0.5;0.9). Na mesma figura também se pode observar

que, quando o número de iterações for menor do que 40, o efeito da competição (Oz>O quando OJ>O) é evidente para

/]=1 e12>0. A competição é negligenciável para IJ=1 .0 e Iz <0.3. Quando o número de iterações é maior do que 100, a saída de N] está próximo de um. Observou-se também (resultados não apresentados na Fig. 3) que quando I]<Jz, o

40.SBAI- Simpósi o Brasileiro de Automação Inteligente, São Paulo, SP.08-10de Setembro de1999 A seguir foram feitas simulações para diferentes valores do

erroEke de{3.Fazendo-seEkvariar entre -2 e 2, com12=0e os

.valores deI}variando entre -2 e 2, obteve-se, para a saída OJ, os resultados ilustrados na Fig. 5. Durante a simulação foram utilizados os seguintes valores para os parâmetros do CNH:

Xk= O., -2:;

s;

52, WJJ = W21 = 1., W12= W22 = -I, {3= 0.01 (curva Or1),{3= 0.02 (curva Or2), ITER = 50 e 11= 8.Na abscissa da Fig. 5 representa-se o erro Ek (-2<Ek<2), e na

ordenada são ilustradas as curvasOr1 e Or2 que apresentam

uma forma sigmóide.

INÍgo

Fig.7 Circuito básico deum AID.

4

TREINAMENTO DA RNH.

Quadro1.Algoritmo da contagem.

vo vo=O.

b3bzblbo=OOOO

do{ inctbsbzbrbo) .

vo=DA(b3bzb,bo)

}while(vo-cvref)

vref

Define-se o_{inc(b3b2b}bo), no algoritmo da contagem, como o} incremento do valor armazenado no registrador do circuito'NO

da Fig. 7. Conforme ilustrado na Fig .5, quanto maior for {3maior será o

valor final O} do neurônio ({3=0.01 para a curva Oi-I , e {3=0.02

para a curvaOr2). Pode-se provar que o valor da saída O} é

proporcional a{3. Isto é, aumentando-se{3também aumenta-se o valor da saída O}. Esta característica do CNH, para determinados valores de {3 e com o número fixo de iterações (lTER=50), sugere um algoritmo adaptativo em que, {3 é modificado em função do erro _Ek=Dk-Xk. Assim, tem-se um novo controlador CNH, com dois neurônios e a adaptação do parâmetro {3, baseado na regra delta generalizada. Alsina &

Cavalcanti (1998) demonstraram que a saída desse novo CNH é diretamente proporcional ao erro e ao parâmetro {3, isto é

O}={3Ek• Eles também observaram que , se forem atribuídos

pesos iguais às entradas deDkeXkdo dipolo, a saída do novo

CNH é diretamente proporcional ao valor deste peso.

5

CONVERSOR ANAlÓGICO/DIGITAL.

Um conversor Analógico/Digital (NO) é um dispositivo que transforma a representação dos dados na forma analógica para

a forma digital. Um esquema simplificado 'de um conversor Fig.S. Curvas da conversãoAID.

ND é ilustrado na Fig . 6.

:amAL

CD

...

...

r

NO

r vref

Fig.6. Esquema simplificado de umAID.

.O sinal analógico de entrada é representado por vref e os bits

do sinal na forma digital são representados por _{b3b2b}bo (Fíg.}

6),tal que vo;=.b323+b222+b}21+b02° (vo é o sinal analógico na

saída do D/A). A seguir estuda-se dois algoritmos baseados em conversores D/A desenvolvidos para a conversão AID.

5.1

Algoritmo da Contagem

o

esquema de um circuitoNOé ilustrado na Fig .7, utilizando-se um conversor D/A (digital/analógico). O algoritmo básico do conversorNOé conhecido como o algoritmo da contagem, . descrito no Quadro 1. Definindo-sem=2", onde n é o número

de bits e m o número de níveis menos um, a conversão ND, utilizando o algoritmo da contagem, necessita de um número de iterações proporcional a m. Isto pode ser visto na Fig. 8, onde a conversão termina quandovo>vref.

5.2

Algoritmo Aproximações Sucessivas

o

algoritmo do conversor AID, com melhor desempenho, é o algoritmo das aproximações sucessivas (AS), descrito no Quadro 2. Conforme ilustrado na Fig. 9, são necessárias 4 iterações para a conversão

AID,

isto é, definindo-se m=2",

onden é o número de bits e m o número de níveis menos um; a

conversão ND, utilizando o AS, necessita de um número de iterações proporcional alogim).

Quadro2. Algoritmo das aproximações sucessivas•

vo--o. a3azalao=1000

bo=OOOO

do{ aux=DA(a3azalao) bo) vo=vo+aux if(voae-vref) { voevo-aux

q=O

}else 1'\=1 a3azalao=a3aZalaol2 }while(i<n)

40. SBAI- Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente , São Paulo, SP, 08·10 de Setembro de 1999

vo

vref ...

,

. Fig.9 Circuito de um AlD.

5.3

O AIO com o neurônio de Hopfield

Vários autores desenvolveram circuitos baseados em redes neurais artificiais para a conversão NU (Bemiere et al, 1999), (Daponte et al, 1999) e (Tank & Hopfield, 1986). Na Fig.l0 é ilustrado o circuito NU implementado com urna rede neural de Hopfield como proposto por Tank& Hopfield (1986).

32 8 2 1/2 8 4 2

·v

8 4 2 X f 6 8 2 32 8 4 32 16 8

Fig.l0 Representação de Hopfield do AlD

Considera-se que a conversão NU é um problema de otimização. Se a palavra digital b3b2b}bo for a melhor

representação digital de X (ou vref), cada b, deve ter valor"O"

ou "I" tal que o conjunto de "O" e "I" seja o que melhor representa X. Pode-se utilizar a função de energia da Eq. (8), mas, só a equação de energia da Eq, (8) não garante bi próximos de "O" e "1". Adiciona-se um novo termo, denominado restrição, à equação da energia obtendo-se a Eq.(lO), rearranjada a partir da Eq. (9), para a forma da equação de energia de Hopfield do Apêndice A, com lV;F-2(i+J)

e/ j=( _i2j.1)+iX).

Fig.ll Curvas nassaídasb,IJ}1]bodosneurônios. As variações em tomo dos valores quantizados são devido aos valores finais das saídas dos neurônios. Por exemplo , o valor final debo,na Fig. 11 é diferente de O(Lee & Sheu, 1988).

16

Fig.12 Conversão AlD dos números entreOe 15 com in-cremento 0.1

5.4

O AIO com os dipolos de Hopfield

o

esquema do conversorNDutilizando dipolos de Hopfield é ilustrado na Fig. 13. O AID foi projetado a partir da equação de energia E=ljz(X-rBj2

j

f

(Rj representa os valores binários obtidos da conversão) e do algoritmo AS da seção 5.2. Observa-se que a entrada /2 dos dipolos (Segunda entrada nos dipolos da Fig. 13) é composta do sinal Y=rB ji e de i . Os dipolos do circuito são ativados seqüencialmente pelo "clock" a partir do dipolo referente ao bit R3•

Os resultados obtidos nas saídas dos neurônios na conversão AID para o valor de entrada vref=6 são ilustrados na Fig. 11. Os resultados obtidos para a conversão NU de vref variando entre O e 15 com incremento 0.1 são ilustrados na Fig. 12 (saídas dos 4 neurôonios) .

1(

3

)2

13

E

=- -

X -

L

Vj 2 1 - -

L

21(VI(Vi - 1») 2 1=0 2 1=0 (8) (9) (10)

I

CLOCK

I

I I I I I I 1 - 1----... I J I I

...

_-Fig.13 Esquema do AID.

40. SBAI- Simpós io Brasileiro de Automação. Inteligente, São Paulo, SP,08·10de Setembro de1999

10 12 14 16

Os resultados obtidos na conversão AID com quatro dipol ósde Hopfield, para o valor de entrada vref=6 são ilustrados na Fig.14. Os resultados obtidos na conversão com vrefvariando entreOe 15 (incremento de 0.1, Fig. 15)evidenciam a melhor conversão obtida com os dipolos de Hopfield.

vrcf= 6.8 w.lDr'=6

Fig.14 Curvas nas saídas b3b#]bodos neurônios.

Fig.15. ConversãoAIDdos números entreOe 15 com

in-cremento 0.1 .

6

CONCLUSÃO

Tank, David W. and Hopfield, J.J. (1986). Simple Neural Op-tirnization Networks: AID Converter, Signal Decision Circuit, and a Linear Programming Circuit. IEEE Trans. on Circuits and Systems, Vol.33, No. 5; pp. 533-?41. Lee, Bang W.and Sheu,Bing J. (1988). Design of a

Neural-Based AID Converter Using Modified Hopfield Net-work. Republicado por J.A. Anderson and E. Rosenfeld, Neurocomputing Foundations of Researchs, MIT Press, Cambridge, Massachusets, USA, 1988. pp.253-259. Berniere, A. and Daponte, P. ADC Neural Modeling . IMTC

(Instrumentation / Measurenrnent Technology Confer-ence Proceedings, Massachusetts, USA,.pp. 789-794. Daponte, P., Grimaldi D. and Michaeli, L. A FulI Neural Gray

Code Based ADC, IMTC (Instrumentation / Measuren-ment Technology Conference .Proceedings, Massachu-setts,USA, pp. 119-122. .

Catunda,S. Y. C. and Cavalcanti, J.H.F. (1997). Adaptative Hopfield Neural Controllers , IEEE International Sym-posium on Industrial Electronics - ISIE'97, Guimarães, Portugal, 7 a 11 de julho de 1997. Pp.1206-1211. Alsina, Pablo J. and Cavalcanti, José Homero F.(1998).

Im-plementação do Controlador Neural De Hopfield. XII Brazilian Automatic Control Conference-XII CBA'98, setembro de 1998, Uberlând ía MG, pp. 2193-2197.

APÊNDICE A - O MODELO CONTíNUO DO

NEURÔNIO DE HOPFIELD

O estado dos neurônios, no modelo contínuo de Hopfield (1982), é caracterizado pelo seu nível de ativação Zj que é governado pela equação diferencial descrita na Eq. (11), com

1J=RC,g(.)uma função sigmóide e Yj obtido pela Eq. (12). O

termo-Z/T],na Eq.(11), é passivo e decrescente. W

jj,

na Eq. (12), é o peso da interconexão entre os neurôniosiej e X, é a entrada externa do neur ônio N; Hopfield sugeriu uma função de Lyapunov para uma rede de n neurônios quando o ganho

(1J=lIRC)da função de ativação é suficientemente alto, que pode ser representado pela Eq. (13).

Neste trabalho apresentou-se a fase de projeto, treinamento e resultados experimentais obtidos com umdipolo de neurônios de Hopfield, evidenciando-se a utilização do CNH como um circuito conversor AID. Observou-se que o conversor AID com dipolos de Hopfield teve uma precisão maior do que a observado com o circuito AID padrão de Hopfield. Está sendo implementada uma versão digital do conversor proposto.

az.

Y. -Z.

Z .

Y.

--' =-'- -'

=--'

+--!...

dt

' 1] 1] 1] n

1';

=

I.w;jOj

+

W;lX

j j=I (11) (12)

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

Hopfield, J. J. (1992). Neural Networks and Physical Systems with Emergent ColIective Computational Abilities. Re-publicado por E. Sanchez-Sinencio.& C. Lau, Artificial Neural Networks, IEEE Press, New York, pp. 25-29. 'Hopfield, J.J. (1984). Neuronswithgraded response have

col-lective computational properties like those of two-state . neurons. Proc. Nac. Acad. Sci. U.S.A., vo1.81, pp. 3088-3092. Republicadopor J. A. Anderson& E. Rosenfeld. Neurocomputing Foundations of Researchs. MIT Press,

Cambridge, Massachusets, USA, 1988. Pp. 579-583.

(13)

No mesmo trabalho Hopfield também provou que a sua rede neural com função de ativação tangente hiperbólica também possui estados estáveis. Na sua demonstração, ele adicionou a integral da inversa da função hiperbólica a função de energia descrita na Eq. (13). Como a inversa da função tangente hiperbólica é sempre crescente, Hopfield provou que a variação no tempo da função energia E tenderá para um mínimo, isto é, a sua rede neural tenderá para um estado estável.