Capítulo 2 – Funções de uma variável complexa
A origem dos números complexos repousa na solução de equações algébricas
para .
A solução da equação de 1º. grau: , remonta ao Egito antigo. Note que com os coeficientes reais a solução está totalmente imersa no conjunto de números reais.
O conjunto dos números reais é composto pela união do conjunto de números
racionais (que têm dízima periódica) e os números irracionais (que têm período infinito) e podem ser: transcendental (isto
é, que não podem ser solução de equações algébricas com coeficientes racionais, como os números (razão entre o comprimento e o diâmetro da circunferência), o número de Napier , etc. e não
transcendental como .
O persa Abu Al-Kowarismi (783-850), cujo nome deu origem à palavra
algarismo, determinou a solução da equação de 2º. grau. Obviamente, a
equação de 2º. grau já traz a idéia de números complexos ou imaginários como solução, por exemplo, de . Mas somente a solução da equação de 3º. grau, com possíveis soluções (para coeficientes reais): 3 reais ou uma real, uma complexa e o seu complexo conjugado, deu aos números complexos o status de extensão ou ampliação dos números reais.
A equação de 3º. grau reduzida: teve sua solução obtida, independentemente, por Scipione del Ferro (1465 – 1526) e Nicolo Fontana (1499 – 1557, também conhecido por Tartaglia, por ter defeito de fala em virtude de um golpe de sabre). A solução completa da equação de 3º. grau: foi obtida por Girolamo Cardano (1501-1576).
A solução da equação de 4º. grau: veio logo em seguida e foi obtida por Ludovico Ferrari (1522-1565).
A demonstração de que equações algébricas completas, de grau maior ou igual a 5, não têm solução através de radicais, foi primeiro feita por Niels Abel (1802-1829) no âmbito da álgebra e por Evariste Galois (1811-1832), usando Teoria de Grupos.
Número Complexo
Se , o número é real puro e se , o número é imaginário puro.
Álgebra dos números complexos
Adição (Comutativa)
Sejam e
Multiplicação (Comutativa)
Complexo conjugado – definição
Se então Módulo Divisão
Geometria de números complexos – Plano Complexo
Podemos representar um número complexo qualquer por um ponto no plano bidimensional (x,y) – a cada ponto deste plano corresponde a um único número complexo e vice-versa.
Diagrama de Argand
x
Representação trigonométrica Em coordenadas polares:
logo, –
O ângulo pode ser escolhido em outros intervalos, por exemplo, . A escolha desse intervalo implica no posicionamento corte (como veremos mais adiante) no plano complexo z.
Em relação à Adição, os números complexos se comportam exatamente igual aos vetores bidimensionais – obedecem à regra do paralelogramo.
Logo, valem as desigualdades geométricas 1)
Um lado de um triângulo é menor ou igual à soma dos outros 2 lados. 2)
A diferença de 2 lados de um triângulo é menor ou igual ao terceiro lado. Obs: Não faz o menor sentido escrever ,pois só podemos comparar os
módulos de 2 números complexos, isto é,
Em relação à Multiplicação, os números complexos não se comportam nem como o produto escalar nem como o produto vetorial de 2 vetores.
A Fórmula de Euler
Podemos expandir em série de Taylor, em torno de , a exponencial ou que é a famosa fórmula de Euler.
Logo, podemos escrever qualquer número complexo como
Fórmula de De Moivre
É consequência imediata da fórmula de Euler. Pois se , então
daí, a fórmula de De Moivre
Raízes
Seja As N raízes de , , serão
Exemplo: , tem 5 soluções (escrevendo
Exercícios:
1) Obtenha a parte real e imaginária do número complexo
logo, a parte imaginária é nula e a parte real tem infinitas soluções ! 2) Obtenha a parte real e imaginária do número complexo
logo
ou seja, há infinitas soluções para a parte real e imaginária !
Função Complexa de 1 variável complexa
A função complexa da variável complexa é um mapa de pontos do domínio, isto é, do plano complexo para pontos da imagem, isto é, para pontos no plano complexo .
Observe que não existe gráfico de função complexa, pois se colocarmos o domínio e a imagem imersos no mesmo espaço precisaríamos de 4 dimensões! Exemplo: Logo, Funções Elementares: 1) Exponencial – A função é periódica ao longo do eixo y.
2) Trigonométricas – da fórmula de Euler - mas logo que é periódica ao longo do eixo x.
De maneira análoga obtemos
daqui seguem as outras funções: Note que não é mais obrigatório que .Na verdade, na maior parte do plano complexo , teremos .
x y
u(x,y)
plano complexo z = x+iy
v(x,y)
Funções Ramificadas
Como acontece com variáveis reais, podemos perguntar se uma função complexa é contínua em torno de um ponto . Para isso, deve existir um disco arbitrariamente pequeno que leve todos os seus pontos para dentro do disco . Muitas vezes isso não acontece. Teremos então as chamadas funções ramificadas.
A função
tem 2 ramos, pois , gerando 2 ramos
Se fizermos o mapa utilizando somente o primeiro ramo então 2 pontos muito próximos no plano complexo :
são mapeados em pontos muito distantes no plano complexo
Logo,para que seja contínua, usando apenas 1 ramo,temos que fazer um corte no plano complexo. O domínio passa a ser composto por todos os pontos do plano complexo z menos aqueles situados no corte. No caso em que , o corte estará sobre o semi-eixo real negativo; se , o corte estará sobre o semi-eixo real positivo; se – , o corte estará sobre o semi-eixo imaginário negativo, etc.
– Se utilizarmos os 2 ramos: então o domínio, isto é, o plano complexo , tem que ter 2 folhas de Riemann (veja fig 2.6 e 2.7 do Butkov). Na 1ª folha atua e na 2ª. folha atua .
Funções com infinitos ramos
Seja . Como , então
tem infinitos ramos. O ramo é chamado de ramo principal. É fácil ver que, se , qualquer ramo terá o corte no semi-eixo real negativo (como a função de 2 ramos vista anteriormente).
A superfície de Riemann tem infinitas folhas.
Seja . Então .
Com 2 soluções . Tomando o logaritmo de , as expressões diferem apenas de um sinal (pois a função cos(z) é par, cos(z) = cos(-z) , de modo que define-se
A função potência terá número finito de ramos se for
Derivadas de Funções Complexas
Da mesma maneira que se deriva função real em relação à variável real , pode-se derivar uma função complexa em relação à .
A diferença é que o incremento a partir de um ponto qualquer e arbitrário pode-se realizar em qualquer uma das infinitas direções possíveis no plano complexo . Para que a derivada exista no ponto é necessário que todas as infinitas direções tenham o limite exatamente igual.
Vejamos em quais condições uma função complexa tem derivada num ponto qualquer .
O incremento da variável independente a partir de será .
O incremento de será
Como e são funções reais teremos (para incrementos infinitesimais)
Como qualquer direção tem que dar o mesmo limite, vamos escolher 2 direções independentes: 1) ao longo do eixo real , portanto e
e 2) ao longo do eixo imaginário , portanto e . 1) e ; e 2) e ; e
Igualando (1) e (2) teremos as condições necessárias e suficientes para que exista a derivada de no ponto que são conhecidas como as
Condições de Cauchy-Riemann (CCR) Exemplo 1: . Logo e
das CCR, temos (para qualquer ponto )
Logo, a função tem derivada e todos os pontos do plano complexo . Exemplo 2:
Logo, essa função só tem derivada num único ponto:
Exemplo 3: Donde Logo, é diferenciável em todo o plano complexo .
As propriedades usuais de derivadas continuam valendo: 1) Regra da Soma: 2) Regra do Produto: 3) Regra da Divisão: 4) Regra da Cadeia: Funções Analíticas
Definição: “Uma função complexa é analítica em se ela tem
derivada nesse ponto e em todos os pontos de uma vizinhança arbitrariamente pequena em torno de ”.
A função tem derivada em , mas não é analítica em nenhum ponto.
Definições:
Curva simples – não tem auto-cruzamento em nenhum ponto.
Curva simples fechada suave por pedaços – tem derivada em todos os seus pontos exceto em um número finito onde os pedaços se juntam.
Domínio simplesmente, duplamente, triplamente,... conexo – não tem nenhum buraco, tem 1 buraco, tem 2 buracos,... respectivamente.
duplamente conexo triplamente conexo simplesmente conexo
O Teorema de Cauchy
Se é uma função analítica em um domínio simplesmente conexo D e C é uma curva simples fechada por pedaços, então
A demonstração do Teorema de Cauchy se baseia inteiramente no Teorema de Stokes, que envolve integral de linha e de superfície
onde é um vetor qualquer, é o vetor deslocamento, uma curva simples fechada, uma superfície qualquer que se apoia nessa curva , é um vetor infinitesimal de área cujo módulo é , direção perpendicular ao plano que oscula a superfície no ponto e sentindo exterior (“para fora”) da superfície e
Para o plano complexo (2 dimensões) teremos , , , . Logo,
Por outro lado, e . Logo,
Se, na parte real de (5), identificarmos e , o Teorema de Stokes (4) nos fornece
Se, na parte imaginária de (5), identificarmos e , o Teorema de Stokes (4) nos fornece
Portanto, se uma função é analítica no interior de uma curva simples fechada então vale o Teorema de Cauchy: .
Se é analítica então a sua primitiva também será analítica, pois donde: e . Logo, satisfazem as CCR.
Exemplo: , então , onde é uma constante complexa.
Teorema de Morera
Se é contínua em um domínio e se para todo caminho
simples e fechado em , com interior também em , então é analítica em
.
Claro, o teorema acima não é a melhor maneira de se analisar analiticidade de uma função .
Considere a integral
.
Chamando , será que satisfaz o Teorema de Cauchy? (isto é, a integral se anula?). A resposta depende da curva fechada . Se essa curva envolver o ponto , a função não será analítica no interior da curva (na verdade, a própria função não existe nesse ponto, nem tampouco a sua derivada) de modo que o Teorema de Cauchy não se aplica. Por outro lado, se essa curva não envolver o ponto , a função será analítica e o Teorema de Cauchy terá validade.
Obs: A menos que se diga o contrário, a curva será percorrida no sentido anti-horário !! a a C C plano complexo z plano complexo z
para fazer a integral no 2º. caso, vamos escolher uma circunferência de raio (de valor constante e arbitrário) centrada em . Então e
. Donde Será que o valor obtido acima depende da forma da curva C ?
Na figura abaixo as curvas formam uma curva fechada que não
contém . Logo, pelo Teorema de Cauchy a integral se anula.
Na figura representam “canais” que vão e voltam praticamente pelo
mesmo caminho (podemos fazer tão próximos quanto queiramos) de modo que se cancelam mutuamente
Com os canais tão próximos quanto queiramos, as curvas se transformam em curvas fechadas percorridas anti-horária e horariamente, respectivamente. ou
Portanto,o resultado é sempre o mesmo, independentemente da forma
da curva fechada, desde que ela envolva o ponto .
Consideremos agora a integral
Se
Caso contrário, chamando Consideremos agora a integral
Se utilizarmos o ramo principal . Note que para – , há um corte no semi-eixo real negativo, onde a função ramificada não é nem sequer contínua quanto mais analítica – o Teorema de Cauchy não pode ser aplicado.
Por outro lado, a integral
pelo Teorema de Cauchy.
A Fórmula Integral de Cauchy
Se é analítica no interior e sobre uma curva , e se o ponto está no interior de , então
Demonstração:
Vemos que o integrando só tem singularidade em posto que, por hipótese é analítica. Qualquer que seja a forma curva fechada (percorrida no sentido anti-horário), sempre podemos deformá-la até se transformar numa circunferência de raio (percorrida no sentido horário), arbitrariamente pequeno, em torno de (usando a idéia dos “canais”).
Mas, Como
onde . Como é contínua (é até mais que isso, analítica) na circunferência de raio R, então para R suficiente e arbitrariamente pequeno teremos ou seja, vale a fórmula integral de Cauchy
Se derivarmos a expressão acima n vezes teremos
Séries de Números Complexos Seja uma série qualquer
Ela será convergente se for finito.
Dizemos que a série é absolutamente convergente se
Muitas vezes pode ser difícil provar se uma série converge ou não. Três testes são bastante úteis:
1) Teste da Comparação
Se converge então converge absolutamente. 2) Teste da Razão
Se para suficientemente grande então converge (diverge) absolutamente.
3) Teste da Raiz
Se para suficientemente grande então converge (diverge) absolutamente.
4) Teste do n-ésimo termo
Se não tende a zero então a série diverge.
A série geométrica
Pelo teste da razão vemos que a série converge para e diverge para . Quando temos o raio de convergência da série. Pelo teste do n-ésimo termo concluímos que a série diverge em .
Para a série geométrica pode ser somada, pois
O 2º. termo do 2º. membro da eq. (4) tem, para , o denominador constante e o numerador indo a zero com . Logo,
Fazendo , temos
Sequência de funções
A soma parcial define uma sequência de funções . Dizemos que essa sequência converge uniformemente se existe tal que, para , existe tal que
Série de Taylor
Toda função analítica em pode ser desenvolvida em uma série de potências
chamada de série de Taylor, válida em uma certa vizinhança do ponto e coeficientes de Taylor dados por
Demonstração:
Seja uma circunferência, centrada em , e raio arbitrariamente pequeno onde é analítica. Seja um ponto qualquer interior a . Pela fórmula integral de Cauchy, temos
Podemos reescrever Substituindo em (5), temos Portanto , onde
Série de Laurent
Toda função analítica num anel pode ser desenvolvida em Série de Laurent com Demonstração
Seja analítica no anel . Podemos percorrer o anel em 2 circunferências (anti-horário) e (horário) de maneira que, usando os “canais” que ligam , a curva resultante será fechada e o ponto está no seu interior (veja figura)
Como as integrais sobre os canais se anulam, da integral fechada envolvendo só sobrevivem 2 integrais
Para a primeira integral temos, como na série de Taylor,
Logo, Para a segunda integral temos,
Mas, Logo
Fazendo a integral anti-horária (trocando o sinal) e renomeando
Somando (6) e (7) teremos Com Q.E.D
A parte da série de Laurent com é chamada parte regular e a parte com é chamada parte principal.
Uma função pode ter diferentes séries de Laurent para diferentes regiões. Vejamos um exemplo:
Ela não é analítica em 2 pontos e . na região , teremos na região , teremos
Técnicas de Expansão em série de Taylor ou Laurent 1) Usando série geométrica
Exemplo: para para
2) Decomposição em fração racional
Exemplo: logo, para para 3) Diferenciação Exemplo: para para 4) Integração Exemplo:
A função tem um corte sobre o eixo real que vai de mas é analítica para , logo deve ter uma expansão de Taylor nessa região.
onde é uma constante complexa.
Zeros e singularidades de uma função
Se a série de Taylor, em torno de ,de uma função complexa
tem , então o ponto é um zero da função.
Se o primeiro coeficiente não nulo ( ) for m, então é um zero de
ordem m. O caso , também é chamado de zero simples.
Por outro lado, se não é analítica num único ponto , dizemos que este ponto constitui uma singularidade isolada.
Há 3 tipos importantes de singularidades isoladas: 1) Singularidade Removível
o ponto singular é removível via a regra de L´Hôpital (às vezes, com grafia L´Hôspital)
2) Polo de ordem m
Uma função tem um polo de ordem m em se a sua expansão de Laurent em torno desse ponto, , tem seu primeiro coeficiente não nulo começando em (na parte principal)
Se , o polo é chamado de simples.
nos pontos sobre o eixo real x, vale a série de Taylor , logo
A função entre colchetes é analítica nos pontos , logo tem polos simples em
3) Singularidade Essencial
Se a expansão de em torno de tem a parte principal infinita, então esse ponto é chamado de singularidade essencial.
o ponto é uma singularidade essencial.
Observe que ao nos aproximarmos da singularidade essencial , a função , assume os mais variados valores. Por exemplo, pelo eixo real positivo ou negativo, , se aproxima de ou , respectivamente. pelo eixo imaginário, o que implica que , mas oscila.
Pode-se demonstrar o teorema de Picard: ”Em uma vizinhança arbitrariamente pequena em torno de uma singularidade essencial, uma função toma infinitas vezes cada valor complexo, exceto, talvez, um valor particular.”
Obs: Toda singularidade essencial tem uma série de Laurent correspondente com a parte principal infinita mas nem toda série de Laurent com parte principal infinita corresponde a uma singularidade essencial.
Exemplo:
tem polos simples em . Vamos expandi-la em torno de Temos 2 regiões. Na região Logo Na região Logo
Observe que funções ramificadas, em geral, podem não ter expansão de Taylor ou Laurent. A função , por exemplo, não tem expansão em torno de , pois sempre existirá um corte que corresponde a um conjunto infinito de singularidades não isoladas. Mas, a mesma função, tem expansão de Taylor em torno, por exemplo, de , válida até no disco (pois ela é analítica aí).
Outra possibilidade é quando existe mais de um ponto de ramificação. Exemplo: . Há 2 pontos de ramificação . Podemos fazer com que o corte esteja sobre o eixo real Senão, vejamos. Seja e . No plano complexo z temos
Logo,
. Escolhendo – – . Vemos que os pontos , escolhidos tão próximos do
eixo real quanto quisermos ( ) terão ângulos e imagens mostradas na
tabela abaixo ( ) Contínua Descontínua Descontínua 0 Contínua 0
Portanto, a função , na região onde ela é analítica, terá
uma série de Laurent em torno de .
Outro exemplo de singularidade não isolada é a função
. Ela tem
polos simples em Dessa maneira, o ponto não
é uma singularidade isolada, pois qualquer vizinhança arbitrariamente pequena em torno de , conterá, necessariamente, um número infinito de polos simples. x z = x+iy 1 y -1 ρ r θ φ
O Teorema do Resíduo
Definição de Resíduo:
Se numa vizinhança do ponto , a função é analítica ou tem aí uma
singularidade isolada, e é uma curva simples fechada que contém
no seu interior, então chamamos de resíduo de no ponto à integral
Vemos que, pela definição de resíduo acima, o resíduo é igual ao coeficiente da série de Laurent
Teorema do Resíduo
Se é analítica no interior e sobre um contorno fechado , exceto um número finito de singularidades isoladas em todas situadas no interior de , então
A demonstração é imediata e baseada no uso de “canais”
Cálculo de Resíduo 1) Polo Simples em Exemplo:
2) Polo de ordem m em Exemplo: 3) Funções do tipo Exemplo: 4) Desenvolver em série de Laurent
Exemplo:
Desenvolvemos em série de Laurent em torno de . Logo, ou
polo de ordem 2 em . Vamos calcular todas as contribuições em e, consequentemente, calcular o resíduo ou o coeficiente
Donde
O Teorema de Resíduo é uma ferramenta muito importante no cálculo de integrais definidas.
Exemplo 1:
Mudando para a variável complexa
O integrando tem polos simples em e a curva é sobre o circunferência de raio 1.
Se , o 1º. polo está dentro e o 2º. está fora. A contribuição, pelo T.R. (teorema dos resíduos) vem só do 1º. polo.
Se , o 2º. polo está dentro e o 1º. está fora. A contribuição, pelo T.R. (teorema dos resíduos) vem só do 2º. polo.
ou seja e a integral na está definida para Exemplo 2:
podemos escolher o circuito fechado mostrado na figura e tomar o limite de
Na curva , a variável implica para a 2ª. integral
Logo,
Note que há 2 polos simples em e o circuito escolhido só envolve . Donde Exemplo 3:
Aqui não podemos fazer , pois diverge exponencialmente. Vamos então calcular a integral
no mesmo contorno do exemplo 2.
Na curva , a variável , resulta em , que vai exponencialmente a zero, o que implica para a 2ª. integral Logo,
pois a 2ª. integral se anula já que o integrando é ímpar e o intervalo de integração é simétrico.
Mas, Donde, Exemplo 4:
Novamente, não podemos fazer , pois diverge. Logo,
Mas, o integrando agora tem um polo simples em . Propomos a curva fechada mostrada abaixo. Note que como ela não tem nenhuma singularidade no seu interior o Resíduo é nulo (Teorema de Cauchy).
No circuito acima, estamos pensando nos limites e . Na integral
temos , e, portanto, se anula exponencialmente com . Na integral temos , ou seja,
A 2ª. e a 4ª. integrais se juntam fornecendo , já que a outra contribuição do cosseno é ímpar e se anula. Donde,
Exemplo 5:
Os limites de vêm da análise do integrando. Para , o integrando tem forma assintótica . Para , o integrando tem forma assintótica .
Fazendo e fechando um circuito temos que tem infinitos polos simples em Não podemos, portanto, fechar o circuito num semi-círculo infinito pois obteríamos um número infinito de polos e teríamos que somar sobre todos eles. Analisemos o circuito mostrado na figura abaixo (note que o retângulo envolve somente 1 polo em )
Por outro lado,
A 2ª. e a 4ª integrais se anulam no limite , pois . Mas, e , donde Como, . Logo,
Exemplo 6:
Se fizermos , o polo estará em , portanto, para evitar que ele caia sobre o corte no semi-eixo real negativo, escolheremos . Os limites vêm dos limites: que fornece e que fornece . Propomos o circuito mostrado na figura abaixo
No limite , teremos No limite , teremos A integral A integral A integral Logo, Mas Donde,
