Universidade Federal da Bahia DEE - Departamento de Engenharia Elétrica Programa de Pós-graduação

(1)

i

DEE - Departamento de Engenharia Elétrica

Programa de Pós-graduação

TÉCNICAS DE IDENTIFICAÇÃO EM MALHA

FECHADA UTILIZANDO VARIÁVEL

INSTRUMENTAL: UM ESTUDO DE CASO

VICTOR HUGO FALCÃO HAENDEL

Salvador, BA - Brasil. Maio de 2013

(2)

ii

Victor Hugo Falcão Haendel

Orientador: Prof. Dr. Adhemar de Barros Fontes

Salvador, BA - Brasil. Maio de 2013

(3)

H135 Haendel, Victor Hugo Falcão

Técnicas de identificação em malha fechada utilizando variável instrumental: um estudo de caso / Victor Hugo Falcão Haendel. – Salvador, 2013.

141 f. : il. color.

Orientador: Prof. Dr. Adhemar de Barros Fontes

Dissertação (mestrado) – Universidade Federal da Bahia. Escola Politécnica, 2013.

1. Algorítmos. 2. Métodos de simulação. I. Fontes, Adhemar de Barros. II. Universidade Federal da Bahia. III. Título.

(4)

(5)

iv

Agradecimentos

Agradeço a meus pais pelo apoio prestado no decorrer dos anos. Agradeço a Deus por me dar saúde para seguir em frente.

Agradeço a minha noiva Tatiana Correia pelo incentivo incondicional. Agradeço ao meu orientador, Prof. Dr. Adhemar de Barros Fontes, e aos colegas Joselito Lima e Manoel Sobrinho pelo apoio prestado durante o trabalho, sem a ajuda deles não teria sido possível elaborar essa dissertação.

(6)

Técnicas de Identificação em Malha Fechada Utilizando Variável Instrumental: Um Estudo de Caso

SUMÁRIO

Agradecimentos iv Sumário v Símbolos e abreviaturas ix Figuras xii Tabelas xiv Resumo xv Abstract xvi

CAPÍTULO I – INTRODUÇÃO

01

CAPÍTULO II – IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS,

ABORDAGEM CLÁSSICA

05

2.1 Introdução 05

2.1.1 Etapas do Processo de Identificação 07

2.1.1.1 Projeto do Experimento 09

2.1.1.2 Análise dos Dados 11

2.1.1.3 Seleção da Estrutura do Modelo 11

2.1.1.4 Estimação dos Parâmetros 12

2.1.1.5 Validação do Modelo 12

2.2 Métodos Não Paramétricos 13

2.2.1 Método da Análise da Correlação 14

2.2.2 Método da Análise Espectral 15

2.3. Métodos Paramétricos 16

2.3.1 Estruturas dos Modelos 17

2.3.1.1 FIR 18 2.3.1.2 ARX 18 2.3.1.3 ARMAX 20 2.3.1.4 ARMA 20 2.3.1.5 OE 21 2.3.1.6 BJ 22

2.3.2 Método dos Mínimos Quadrados 23

2.3.3 Método do Erro de Predição 25

2.3.4 Método da Variável Instrumental 26

(7)

2.5. Conclusão 32

CAPÍTULO III –

IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS EM MALHA

FECHADA

33 3.1 Introdução 33 3.2 Formas de Identificação em Malha Fechada 36 3.2.1 Abordagem Direta 36

3.2.2 Abordagem Indireta 37

3.2.3 Abordagem Através da União Entradas-Saídas 40

3.3 Conclusão 41

CAPÍTULO IV –

COMPARAÇÃO ENTRE ALGORITMOS DE

IDENTIFICAÇÃO EM MALHA FECHADA

42 4.1 Introdução 42 4.2 Abordagem Algoritmo Variável Instrumental Refinado 42

4.2.1 Resumo 42 4.2.2 Preliminares 43 4.2.3 Algoritmo 45 4.2.3.1 Passo 1 46 4.2.3.2 Passo 2 47 4.2.3.3 Passo 3 48 4.2.3.4 Passo 4 48 4.2.3.5 Passo 5 48

4.3 Abordagem Algoritmo Dupla Filtragem 49

4.3.1 Resumo 49 4.3.2 Preliminares 49 4.3.3 Algoritmo 51 4.3.3.1 Passo 1 51 4.3.3.2 Passo 2 52 4.4 Conclusão 52

(8)

CAPÍTULO V –

ESTUDO DE CASO – CASO TEÓRICO

54

5.1 Algoritmo Variável Instrumental Refinado 54

5.1.1 Estimador Mínimos Quadrados – Inicialização 56

5.1.2 Estimador VI – Sem Modelagem do Ruído 57

5.1.3 Estimador VI – Com Modelagem ARARX do Ruído 58

5.1.4 Estimador VI – Com Modelagem Box Jenkins do Ruído 59

5.1.5 Análise dos Resultados 60

5.2 Algoritmo Dupla Filtragem 61

5.2.1 Estimador MQ – Inicialização – Estimação So 63

5.2.2 Estimador VI – Estimação So 64

5.2.3 Estimador MQ – Inicialização – Estimação Gcl 65

5.2.4 Estimador VI – Estimação Gcl 66

5.2.5 Estimador MQ – Inicialização – Estimação G 67

5.2.6 Estimador VI – Estimação G 68

5.2.7 Estimador MQ – Inicialização – Estimação H 69

5.2.8 Estimador VI – Estimação H 70

5.2.9 Análise dos Resultados 71

(9)

CAPÍTULO VI –

ESTUDO DE CASO – CASO PRÁTICO

73

6.1 Definição do Sistema 73

6.2 Definição da Plataforma Experimental 75

6.3 Identificação do TEM em Malha Aberta 76

6.4 Definição da Sintonia do Controlador 79

6.5 Identificação do TEM em Malha Fechada 84

6.5.1 Algoritmo Variável Instrumental Refinado 86

6.5.1.1 Estimador Mínimos Quadrados – Inicialização 87

6.5.1.2 Estimador VI – Sem Modelagem do Ruído 88

6.5.1.3 Estimador VI – Com Modelagem ARARX do Ruído 89

6.5.1.4 Estimador VI – Com Modelagem BJ do Ruído 90

6.5.1.5 Análise dos Resultados 91

6.5.2 Algoritmo Dupla Filtragem 92

6.5.2.1 Estimador MQ – Inicialização – Estimação So 92

6.5.2.2 Estimador VI – Estimação So 93

6.5.2.3 Estimador MQ – Inicialização – Estimação Gcl 94

6.5.2.4 Estimador VI – Estimação Gcl 95

6.5.2.5 Estimador MQ – Inicialização – Estimação G 96

6.5.2.6 Estimador VI – Estimação G 97

6.5.2.7 Estimador MQ – Inicialização – Estimação H 98

6.5.2.8 Estimador VI – Estimação H 99

6.5.2.9 Análise dos Resultados 100

6.6 Conclusão 101

CAPÍTULO VII –

CONCLUSOES FINAIS

102

BIBLIOGRAFIA

105

(10)

SÍMBOLOS E ABREVIATURAS

A Ampère;

ARARX Auto-regressivo com entrada exógeno;

ARMAX Auto-regressivo, Média Móvel, com sinal Exógeno;

ARX Auto-regressivo com sinal exógeno;

A(q-1) Polinômio A em q-1;

BJ Box-Jenkins

b1,0 Coeficiente índice zero do polinômio B1;

d Retardo do sistema;

J

Derivada parcial de J em relação à

e(k) Ruído “branco” e gaussiano, com média zero e

variância 2;

G Função de Transferência da Planta;

Gcl Função de Sensibilidade Gcl;

H Função de Transferência do Ruído;

(11)

MATLAB Software da Microsoft Corporation (Mathematical Laboratory); MISO Múltiplas Entradas e Única Saída (Multiple Input Single Output);

MQ Mínimos Quadrados;

MQR Mínimos Quadrados Recursivo;

MQRE Mínimos Quadrados Recursivo com matriz estendida;

mA Miliamperes

MV Variável Manipulada de Controle;

NARMAX Não linear, Auto-regressivo, Média Móvel, com sinal Exógeno

(Nonlinear Autoregressive Moving Average Models with

Exogenous Variables);

na Grau do polinômio A(q-1);

ºC Graus Celcius;

P (k) matriz de covariância do erro de estimação;

PWM Modulação por largura de pulso (Pulse Width Modulation)

P -1(k) matriz inversa da matriz P (k);

So Função de Sensibilidade So SP Setpoint

SPA Sinal Pseudo Aleatório;

SBPA Sinal Binário Pseudo Aleatório;

(12)

seg Unidade de tempo, “segundo”;

SISO Única Entrada e Única Saída (Single Input Single Output);

T Temperatura;

ta Período de amostragem do sistema;

TEM Módulo Termoelétrico (Thermoelectric Module);

tr Tempo de resposta ou tempo de acomodação do sistema; u(k) Sinal de entrada do sistema;

v(k) Ruído colorido; W Watt;

V Volt;

VI Variável Instrumental;

y(k) Sinal de saída do sistema;

2

Variância;

z Variável no domínio da frequência da transformada Z

T Diferença de temperatura;

Vetor dos parâmetros exatos;

ˆ _{Vetor dos parâmetros estimados;}

(k-1) Vetor dos regressores; Matriz dos regressores;

T

Transposta da matriz

(13)

FIGURAS

Figura 2.1 – O Sistema em Malha Aberta

06

Figura 2.2 – Procedimento para Identificação de Sistemas 08

Figura 3.1 – O Sistema em Malha Fechada 34

Figura 4.1 – O Sistema em Malha Fechada – Artigo VI Refinado 43

Figura 4.2 – O Sistema em Malha Fechada – Artigo Dupla Filtragem 49

Figura 5.1 – Diagrama de Blocos – Simulação Algoritmo VI Refinado 55

Figura 5.2 – Resultados Simulação – Inicialização MQ

56

Figura 5.3 – Resultados Simulação – VI sem Modelagem Ruído 57

Figura 5.4 – Resultados Simulação – VI com Modelagem ARARX Ruído 58

Figura 5.5 – Resultados Simulação – VI com Modelagem BJ Ruído 59

Figura 5.6 – Diagrama de Blocos – Simulação Algoritmo Dupla Filtragem

61

Figura 5.7 – Resultados Simulação So – Inicialização MQ

63

Figura 5.8 – Resultados Simulação So – VI

64

Figura 5.9 – Resultados Simulação Gcl – Inicialização MQ

65

Figura 5.10 – Resultados Simulação Gcl – VI 66

Figura 5.11 – Resultados Simulação G – Inicialização MQ 67

Figura 5.12 – Resultados Simulação G – VI 68

Figura 5.13 – Resultados Simulação H – Inicialização MQ 69

Figura 5.14 – Resultados Simulação H – VI 70

Figura 6.1 – Sistema Experimental – Módulo TEM 74

Figura 6.2 – Plataforma Experimental – Módulo TEM 75

Figura 6.3 - Testes em Malha Aberta – TEM 77 Figura 6.4 – Evolução Recursiva dos Parâmetros do TEM 78 Figura 6.5 - Teste em Malha Aberta Temperatura Zona Quente TEM 80 Figura 6.6 - Diagrama do Lugar das Raízes – Sistema em Malha Fechada 83 Figura 6.7 - Testes em Malha Fechada - TEM 85

(14)

Figura 6.9. Resultados Simulação TEM – VI sem Modelagem Ruído 88

Figura 6.10. Resultados Simulação TEM–VI com Modelagem ARARX Ruído 89 Figura 6.11. Resultados Simulação TEM – VI com Modelagem BJRuído 90

Figura 6.12. Resultados Simulação So TEM – Inicialização MQ 92

Figura 6.13. Resultados Simulação So TEM – VI

93

Figura 6.14. Resultados Simulação Gcl TEM – Inicialização MQ

94

Figura 6.15. Resultados Simulação Gcl TEM – VI 95

Figura 6.16. Resultados Simulação G – Inicialização MQ 96

Figura 6.17. Resultados Simulação G TEM – VI 97

Figura 6.18. Resultados Simulação H TEM – Inicialização MQ 98

(15)

TABELAS

Tabela 5.1 – Comparação entre os modelos de ruído 60

Tabela 5.2 – Comparação entre variâncias obtidas 71

Tabela 5.3 – Comparação entre desvios obtidos 71

Tabela 6.1 – Comparação entre as variâncias e desvios - TEM 91

Tabela 6.2 – Comparação entre as variâncias - TEM 100

(16)

RESUMO

TÉCNICAS DE IDENTIFICAÇÃO EM MALHA FECHADA

UTILIZANDO VARIÁVEL INSTRUMENTAL: UM ESTUDO

DE CASO

O presente trabalho trata da comparação entre dois diferentes métodos de identificação em malha fechada: o método da Dupla Filtragem e o algoritmo de Variável Instrumental Refinado.

Inicialmente é feito um estudo sobre a teoria clássica de identificação de sistemas e, posteriormente, sobre a teoria de sistemas em malha fechada. Em seguida, abordam-se mais detalhadamente os métodos de identificação em malha fechada de interesse. Os dois métodos são implementados e realizam-se testes utilizando-realizam-se simulação computacional no Matlab. Em realizam-seguida, utiliza-se uma plataforma experimental, existente no laboratório, para aplicação dos métodos em estudo.

Ao final, considerações são feitas sobre os resultados obtidos e mostram-se os benefícios do algoritmo de Variável Instrumental Refinado para o sistema prático proposto.

(17)

ABSTRACT

CLOSED LOOP IDENTIFICATION TECHNIC USING

INSTRUMENTAL VARIABLE: A CASE STUDY

The present work deals with a comparison between two different closed loop identification methods: Double Filtering and Refined Instrumental Variable.

Initially, a study about the classic system identification theory is done, and then about the closed loop identification theory and the closed loop methods of interest. Both methods are implemented and tests are done using computer simulation with the Matlab software. After that, an experimental platform in laboratory is used, to apply the studied methods.

Finally, considerations are made about the results and the benefits of

the Refined Instrumental Variable to the proposed experimental system are shown.

(18)

CAPÍTULO l

INTRODUÇÃO

Os sistemas de controle, em geral, necessitam de modelos matemáticos que os representem, de forma a possibilitar um melhor estudo e conhecimento de suas características.

A escolha de como se obter esse modelo depende de um conjunto de fatores, tais como: conhecimento prévio das leis físico-químicas que o rege; grau de profundidade necessário para o aspecto do sistema ao qual se deseja estudar; dentre outros. Geralmente, um modelo fenomenológico bem implementado representa de forma mais detalhada um determinado sistema, porém, requer maior esforço e conhecimento do processo. Por outro lado, a modelagem por identificação é mais simples e rápida, sendo em muitas situações, os modelos por ela obtidos, fidedignos o suficiente para o estudo que se deseja realizar (Aguirre, 2007).

A identificação em malha fechada baseada na resposta ao degrau constitui-se um método clássico bastante abordado na literatura (Ljung, 1999) e (Aguirre, 2007), tais como o método proposto por Yuwana & Seborg (1982) e o método proposto por Fontes et al (2012) para sistemas de primeira e segunda ordem. Aplicações desta abordagem podem ser encontradas em Wang et al. (2001) e em Coelho & Barros (2003), os quais desenvolvem diferentes métodos para identificação de sistemas com atraso de tempo (Fontes et al., 2010).

(19)

O inconveniente de realizar a identificação com o controlador em manual não ocorre na identificação em malha fechada, na qual o controlador é configurado para operar no modo automático (Fernandes Jr. & Brandão, 2008). A identificação em malha fechada é requerida também quando não é possível, ou não é conveniente, operar o sistema em malha aberta, seja por questões de segurança, instabilidade ou restrições do processo (Acioli Jr. & Barros, 2008). As vantagens da identificação em malha fechada comparada com a de malha aberta são abordadas em Hjalmarsson (2005) e den Hof & Schrama (1998), destacando as diferenças de comportamento e segurança.

Em determinadas aplicações, um módulo termoelétrico, também conhecido como módulo Peltier, é utilizado como atuador no controle de temperatura em torno de um ponto de operação (Zheng, et al. 2004 e Jackson et al. 2005). Existem na literatura alguns modelos propostos para o módulo termoelétrico (Lima, 2001 e Neto, 2003), com vistas à aplicação em controle (Sobrinho, 2006).

No presente trabalho, será dada ênfase a modelagem através da identificação em malha fechada. Além de apresentados seus aspectos gerais e um histórico da abordagem clássica em malha aberta, serão abordados temas específicos, como a identificação em malha fechada, a partir de um modelo paramétrico e tratamento do ruído de medição. Serão estudados, implementados e comparados dois métodos de identificação em malha fechada: o método de dupla filtragem e o algoritmo de variável instrumental refinado. A teoria abordada será ainda aplicada a uma câmara térmica, constituída basicamente de um módulo termoelétrico e de um dissipador de calor, e os resultados serão analisados.

(20)

Esta dissertação está estruturada da seguinte forma:

no capítulo II apresenta-se uma descrição sobre a teoria clássica de identificação de sistemas, incluindo-se as etapas do processo de identificação e os métodos, paramétricos e não paramétricos, existentes;

no capítulo III descreve-se a técnica de identificação em malha fechada e suas diferentes abordagens, com ênfase na evolução histórica da metodologia e suas vantagens em relação ao método clássico;

no capítulo IV faz-se um estudo comparativo entre os dois tipos de algoritmos para identificação em malha fechada. O primeiro baseia-se no algoritmo da variável instrumental, e o segundo utiliza uma técnica de dupla filtragem. Inclui-se uma breve descrição teórica de cada um deles;

no capítulo V será elaborado um estudo de caso teórico, onde foram utilizados modelos em Matlab. Por meio de simulação, estimam-se os parâmetros do modelo utilizando-se os algoritmos de identificação em malha fechada apresentados neste trabalho. no capítulo VI será apresentado um estudo de caso prático, onde foi utilizada uma plataforma experimental, existente no laboratório, para aplicação desses algoritmos. Em seguida, apresentam-se e analisam-se os resultados;

no capítulo VII estão as conclusões deste trabalho, incluindo uma análise crítica dos resultados. Também serão sugeridos possíveis trabalhos futuros acerca do tema.

(21)

Dentre as principais contribuições desse trabalho, estão:

revisão bibliográfica sobre os métodos de identificação clássico e em malha fechada, assim como dos principais modelos matemáticos utilizados em identificação;

mostrar as vantagens e dificuldades da identificação em malha fechada em relação a malha aberta, em termos práticos e teóricos;

mostrar as vantagens da utilização da técnica de variável instrumental na identificação de sistemas, e quais são as restrições ao seu uso.

(22)

CAPÍTULO II

IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS: ABORDAGEM

CLÁSSICA

2.1 Introdução

Identificação de sistemas é uma área da modelagem matemática que estuda técnicas alternativas à modelagem caixa branca. Uma das características dessas técnicas é que pouco ou nenhum conhecimento prévio do sistema é necessário e, conseqüentemente, tais métodos são também referidos como modelagem caixa preta, ou modelagem empírica (Aguirre, 2007). Para situações em que a modelagem fenomenológica é muito complexa, ou não há tempo hábil para aplicá-la, essas técnicas apresentam-se como excelente alternativa.

A identificação de sistemas se propõe a obter um modelo matemático que explique, pelo menos em parte e de forma aproximada, a relação de causa e efeito presente nos dados (Aguirre, 2007). Os modelos obtidos a partir da identificação podem ser utilizados para: predição, controle, estimação, simulação, etc. Modelos matemáticos constituem um eficiente mecanismo para representar um sistema real, sob um determinado ponto de vista de interesse.

A aplicação da identificação pode se estender a áreas da ciência das mais diversas, como a econometria, conforme pode ser visto em Ebbes, 2007.

(23)

lineares ou não-lineares, variantes com o tempo ou não, discretos ou contínuos, parâmetros concentrados ou distribuídos, etc. (Andrade, 2000).

Apesar de grande parte dos sistemas reais serem não-lineares e variantes com o tempo, eles podem ser considerados como sistemas lineares e invariantes no tempo, sob certas restrições. No presente trabalho os sistemas abordados serão desse tipo.

O campo de identificação de sistemas não é novo, embora tenha obtido grande desenvolvimento a partir dos anos setenta, em que se destacam as publicações de Box e Jenkins (1976), Eykhoff (1974), Davies (1970), Goodwin e Payne (1977) e Sage e Melsa (1971). O campo ganhou maturidade com o advento do chamado método do erro de predição (PEM) e da sistematização dos métodos, apresentados em Ljung (1999) e Sodestron e Stoica (1989).

Na Figura 2.1, tem-se a estrutura geral do problema de identificação, em

que estão representadas: a entrada determinística u(t); a entrada estocástica

) (t

e considerada um ruído branco com média zero; a saída y(t) e as funções

de transferência da perturbação estocástica H(q) e do processo G(q), com q

representando o operador deslocamento avanço (Andrade, 2000).

G(q)

H(q)

u(t)

e(t)

y(t)

+

(24)

2.1.1 Etapas do Processo de Identificação

O processo de identificação envolve as seguintes etapas sequenciais que devem ser executadas recursivamente, e algumas destas de forma iterativa, até a obtenção de um resultado esperado segundo um critério a ser alcançado:

Projeto do experimento;

Coleta dos dados de entrada e saída e análise dos dados;

Seleção e definição da estrutura e da ordem dos modelos candidatos;

Escolha do melhor modelo dentre os candidatos, e estimativa dos parâmetros do modelo escolhido;

Validação do modelo. Se o modelo é adequado, deve-se parar. Caso contrário, deve-se voltar às etapas anteriores.

(25)

Início

Projeto do

Experimento e

Coleta dos Dados

Análise dos Dados

Seleção e

Definição da

Estrutura

Escolha e

Determinação dos

Parâmetros

Validação do

Modelo

Adequado?

Fim

Novo Conjunto de

Dados

Conhecimentos

Preliminares sobre

o Sistema

Não

Sim

(26)

2.1.1.1 Projeto do Experimento

Para o projeto do experimento, os seguintes itens são de fundamental importância:

Escolha dos sinais de entrada / excitação e meios necessários para geração de sinais;

Definição do período adequado de amostragem; Definição do tempo de duração do experimento;

Definição do modo de experimentação: malha aberta ou malha fechada, ou ainda em batelada ou recursivo;

Definições sobre a filtragem e tratamento dos dados.

Os sinais de entrada devem ser persistentemente excitantes, ou seja, suficientemente ricos para excitar todos os modos de interesse do sistema. Bons exemplos de sinais persistentemente excitantes são os sinais não periódicos, de frequências múltiplas e os estocásticos (Andrade, 2000).

Em relação ao período de amostragem, deve-se considerar que a amostragem de um processo contínuo acarreta sempre em perda de informações e que os recursos computacionais são finitos. O período de amostragem, portanto, deve ser tal que encontre o ponto ótimo entre a fidedignidade da amostragem em relação ao sistema real e eliminação de amostras redundantes e desnecessárias.

(27)

Em Ljung (1999), aconselha-se perturbar o sistema com perturbações do tipo degrau, para se tenha uma avaliação da constante de tempo do sistema e a partir daí definir o período de amostragem conveniente. Isermann (1991) recomenda que a razão de 95% do tempo de amortecimento do sistema e o período de amostragem seja de 5 a 15 vezes. Uma escolha prática razoável é 1/10 do valor da constante de tempo dominante (Andrade, 2000).

Para a definição do tempo de duração do experimento, os seguintes fatores devem influenciar a escolha: as condições operacionais, os custos envolvidos e a finalidade que se pretende do modelo a ser produzido.

O procedimento de identificação pode ser feito em malha aberta ou malha fechada, sendo que o critério de escolha depende de requisitos de segurança ou econômicos (den Hof & Schrama, 1998). Os testes em malha aberta são em geral mais simples e rápidos, sendo os testes em malha fechada mais restritivos.

Para os processos que possuem constantes de tempo elevadas, e desde que seus parâmetros não variem muito rapidamente com o tempo, a identificação pode ser executada em batelada. No entanto, a utilização de algoritmos recursivos vem ganhando cada vez mais espaço no meio científico, devido a sua maior versatilidade (Andrade, 2000).

O projeto do experimento deve definir também como os dados de entrada serão gerados, se haverá filtragem ou tratamento dos dados, como armazená-los juntamente com os dados de saída produzidos e qual o meio de manipulá-los.

(28)

2.1.1.2 Análise dos Dados

Segundo Ljung (1999), os dados de entrada e saída disponíveis devem ser plotados e observados cuidadosamente, tentando-se reconhecer neles visualmente a dinâmica do processo. Deve-se buscar, ainda, reconhecer as não linearidades existentes no sistema e verificar a existência de realimentação nos dados, observando se há alguma correlação entre os resíduos e as entradas atrasadas.

Recomenda-se também a remoção de tendências pela subtração de médias e de erros grosseiros de medição, caso se faça necessário (Andrade, 2000).

2.1.1.3 Seleção da Estrutura do Modelo

A escolha da estrutura de modelo a ser utilizada deve ser baseada no conhecimento da dinâmica do processo e qual o procedimento a ser utilizado para a obtenção dos parâmetros envolvidos, para o caso dos modelos paramétricos.

O número de parâmetros está diretamente relacionado com a ordem do modelo. Um modelo com ordem alta terá um número grande de parâmetros a determinar, o que pode acarretar em problemas numéricos na estimativa dos parâmetros. Assim, a ordem do modelo gerado deve ser tão simples quanto possível, de forma a representar bem o sistema real.

Existem critérios para a estimativa da ordem do modelo, como por exemplo, o critério de Akaike, que se baseia no número de parâmetros envolvidos, no número de dados disponíveis e na função quadrática do erro (Andrade, 2000).

(29)

2.1.1.4 Estimação dos Parâmetros

Após a escolha da estrutura e ordem do modelo, necessita-se estimar os parâmetros do modelo. Os métodos usuais são o dos mínimos quadrados, o da variável instrumental e o do erro de predição; ou variações desses.

Esses métodos são extensões do método dos mínimos quadrados, que se baseia numa regressão que minimiza um critério de erro quadrático. Quando os parâmetros do preditor são lineares, o método do erro de predição torna-se equivalente ao dos mínimos quadrados, desde que não se tenha um processo de regressão não linear. Já no método das variáveis instrumentais, os dados de entrada são filtrados e passam a se chamar instrumentos, garantindo que os sinais de entrada não sejam correlacionados com o ruído (Andrade, 2000).

2.1.1.5 Validação do Modelo

Na etapa de validação do modelo, verifica-se se o modelo gerado reproduz o comportamento do sistema real, dentro da característica que se desejou modelar. Devem-se levar em consideração as limitações do método de estimativa dos parâmetros. Caso o modelo produzido não seja válido, o procedimento de identificação deve ser reiniciado, a partir da etapa de projeto do experimento, seleção da estrutura do modelo ou estimação dos parâmetros. Entre os critérios para a validação do modelo, está a análise dos resíduos. Caso o resíduo tenha característica de um ruído branco, tem-se a garantia de que tanto o ruído como o sistema foi modelado corretamente. Entretanto, o fato dele não se comportar como um ruído branco não significa necessariamente que o modelo produzido seja incorreto. Nesse caso, deve-se calcular a correlação entre as entradas e os ruídos.

(30)

Se a correlação existir, significa que os resíduos ainda contem informações sobre o sistema que devem ser incorporadas ao modelo. Já se as entradas e os ruídos são independentes, todas as informações dos resíduos foram exploradas na construção do modelo e a estimação foi bem feita.

Outra maneira de validação é a comparação direta entre as saídas do modelo e as saídas do sistema real. Caso os parâmetros do modelo tenham significado físico, pode-se também observar se os valores estimados aproximam-se dos valores teóricos esperados.

Importante frisar que a validação deve ser feita a partir de um conjunto de dados distinto do utilizado para estimação dos parâmetros do modelo, de forma a garantir a independência da análise (Andrade, 2000).

2.2 Métodos Não Paramétricos

Os métodos não paramétricos são aqueles que não resultam em um modelo matemático tal como uma função de transferência, mas sim em uma representação gráfica que caracteriza a dinâmica do sistema em estudo

(Aguirre, 2007). Exemplos de modelos não paramétricos são: a resposta de um

sistema ao degrau unitário; ao impulso ou a uma senóide.

A seguir, serão analisados dois dos métodos não paramétricos mais utilizados: análise da correlação e análise espectral.

(31)

2.2.1 Método da Análise da Correlação

Esse método faz uma abordagem no domínio do tempo. A forma do modelo usado para a análise da correlação é:

0 ) ( ) ( ) ( ) ( k t v k t u k p t y (2.1)

Em que: y(t) é a saída; p(k) é a função peso do processo;

0 ) ( ) ( k k q k p q

P é a resposta ao impulso; u(t) é a entrada e v(t) é a

perturbação não mensurável, não correlacionada com a entrada.

Multiplicando-se a equação anterior por u(t 1) e tomando-se as

correlações e correlações cruzadas, observando-se que, quando a esperança matemática de um sinal é igual a zero, a covariância é igual à correlação, e são definidas por: N t N yu y t u t N R ( ) lim 1 ( ) ( ) (2.2) N t N u u t u t N R ( ) lim 1 ( ) ( ) (2.3) Assim: 1 ) ( ) ( ) ( k u yu p k R k R (2.4)

Pode-se, então, obter ( )

^

k

p , a partir das entradas estimadas de ( )

^ yu R e ) ( ^ u

R , para N dados coletados, relacionados pela equação:

) ( ) ( ) ( _^ ^ ^ u yu R R k p (2.5)

(32)

2.2.2 Método da Análise Espectral

Esse método faz uma abordagem no domínio da frequência, partindo-se também da equação (2.1): (w) P(e ) u(w) jw yu (2.6) Em que: yu w Ryu( )e jw 2 1 ) ( , u w Ru( )e jw 2 1 ) ( e jkw k jw e k P e P 0 ) ( 2 1 .

Assim, a partir das estimativas de ^ ) (w yu e ^ ) (w u para N dados coletados, jw e

P pode ser obtido por:

_^ ^ ) ( ) ( w w e P u yu jw (2.7)

(33)

2.3 Métodos Paramétricos

Aqui será considerada a parametrização de modelos lineares representados por:

y(t) G(q)u(t) H(q)e(t) G(q)u(t) v(t) (2.8)

Dados do processo levam ao ajuste de um modelo linear paramétrico, como: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ^ ^ t e q H t u q G t y (2.9) Em que: ^ ) (q

G é a função de transferência do modelo com o operador q.

^ ) (q

H é o modelo do ruído colorido e e(t) é o ruído branco.

Primeiramente, serão apresentadas as estruturas dos modelos usuais para a utilização dos métodos paramétricos. A seguir, serão apresentados os métodos para a obtenção dos parâmetros das estruturas dos modelos citadas.

Esses métodos são oriundos do método dos mínimos quadrados, sendo que o erro de predição tem o erro que pode ser minimizado por outra função. No caso da variável instrumental, modifica-se a estrutura da equação associada ao método dos mínimos quadrados.

(34)

2.3.1 Estruturas dos Modelos

A estrutura geral dos modelos para os métodos paramétricos são:

( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( e t q D q C t u q F q B t y q A (2.10) Com: na naq a q a q A 1 1 1 ... (2.11) 1 1 2 1 ... nb nbq b q b b q B (2.12) nc ncq c q c q C 1 1 ... 1 (2.13) D q 1 d q ... dndq nd 1 1 (2.14) nf nfq f q f q F 1 1 1 ... (2.15)

A seguir são apresentadas as estruturas gerais de modelos para a

obtenção de ^ q G e ^ q

H . Comparando as equações (2.9) e (2.10) verifica-se

que: q nk q F q A q B q G ) ( ) ( ) ( ) ( ^ (2.16) ) ( ) ( ) ( ) ( ^ q D q A q C q H (2.17)

Muitas são as diferentes estruturas de modelos possíveis, sendo que a escolha de qual utilizar, deve ser baseada na que mais condiz com a realidade do sistema a qual se quer modelar. As estruturas mais usuais são citadas a seguir, sendo essas representações discretas no domínio do tempo (Aguirre, 2007).

(35)

2.3.1.1 FIR (“finite impulse response”):

O modelo FIR pode ser obtido a partir de (2.10), tomando-se 1 ) ( ) ( ) ( ) (q D q F q A q

C e B(q) 1. Uma característica de modelos FIR é

que são de natureza não recursiva, em que as respostas para as respectivas funções de transferência são polinomiais.

O modelo FIR pode ser reescrito como a seguir:

y(t) B(q)u(t) e(t) (2.18)

Como para essa estrutura de modelo 1

) ( ) ( q D q C , então o ruído

acrescentado na saída y(t), e(t), é branco. Para estruturas de modelo em que

o ruído é acrescentado diretamente à saída, trata-se de um modelo do tipo erro

na saída. Por outro lado, tanto a função de transferência do processo B(q)

quanto a do ruído têm o polinômio A(q) 1 por fator comum. Nesse sentido, o

modelo FIR também é do tipo erro na equação (Aguirre, 2007).

2.3.1.2 ARX (“auto-regressive with exogenous input”):

O modelo ARX pertence a uma família de modelos chamada IIR (infinite

impulse response), que possuem natureza recursiva e funções de transferência

racionais.

Para obtenção do modelo ARX, deve-se tomar C(q) D(q) F(q) 1,

1 ) (q

A e B(q) 1. A presença de A(q) implica em recursividade. A estrutura

de modelo pode ser escrita como:

(36)

Uma vez que o ruído e(k) aparece diretamente na equação, o modelo

ARX é normalmente classificado como pertencendo à classe de modelos de erro na equação. Pode-se ainda escrever a equação (2.19) da seguinte forma:

( ) ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( e t q A t u q A q B t y (2.20)

O que coloca em evidência as funções de transferência do sistema

) ( ) ( q A q B q G e de ruído ) ( 1 q A q

H . Ao contrário do modelo FIR, o ruído que

aparece adicionado à saída ( )

) ( 1 ) ( e t q A t

v não é branco, ou seja, nessa

representação o ruído é modelado como um processo branco filtrado por um filtro auto-regressivo, com pólos idênticos aos do processo, que são as raízes do polinômio A(q)(Aguirre, 2007).

(37)

2.3.1.3 ARMAX (“auto-regressive moving average with

exogenous input”):

O modelo auto-regressivo com média móvel e entradas exógenas pode

ser obtido a partir do modelo geral (2.10), tomando-se D(q) F(q) 1:

A(q)y(t) B(q)u(t) C(q)e(t) (2.21)

À semelhança do modelo ARX, o modelo ARMAX pertence à classe de modelos de erro na equação. No presente caso o erro na equação é modelado

como um processo de média móvel (MA), e o ruído adicionado à saída, e(t), é

modelado como ruído branco filtrado pelo filtro ARMA, ) ( ) ( q A q C

. Por outro lado, se

em um modelo ARMAX A(q) C(q) F(q), tal modelo pode ser representado

como um modelo erro na saída (Aguirre, 2007).

2.3.1.4 ARMA (“auto-regressive moving average”):

O modelo ARMA é um caso particular do modelo ARMAX, quando não

há sinais exógenos, ou seja, quando u(t) 0. Nesse caso, a equação (2.21)

pode ser reescrita como:

(38)

Nesse caso, pode-se interpretar o processo aleatório e(t) como a

entrada do sistema e y(t) como uma versão filtrada da entrada e(t) usando-se

o filtro ) ( ) ( q A q C

. Modelos ARMA são comumente usados como modelos de séries

temporais, ou seja, situações em que somente se tem um sinal, y(t). Assim,

estima-se ) ( ) ( ) ( q A q C q

H usando-se y(t) e mais uma realização de e(t) tomada

de uma distribuição de probabilidade, ou utilizam-se os próprios resíduos (t )

do modelo estimado no lugar de e(t) (Aguirre, 2007).

2.3.1.5 OE (“Erro na Saída”):

Modelos do tipo erro na saída são modelos que podem ser escritos na

forma da equação (2.10), mas com o polinômio A(q) 1. Um exemplo simples

pode ser obtido a partir do modelo geral (2.10), tomando-se 1 ) ( ) ( ) (q C q D q

A , B(q)e F(q) polinômios arbitrários, o que resulta em:

( ) ( ) ) ( ) ( ) ( u t e t q F q B t y (2.23)

Sendo o fato de o ruído branco e(t) ser diretamente adicionado à saída

justifica o nome dessa classe de modelos. O modelo FIR é um caso particular

(39)

2.3.1.6 BJ (“Box-Jenkins”):

O modelo de Box-Jenkins pode ser obtido a partir do modelo geral

(2.10), tomando-se A(q) 1 e os demais polinômios arbitrários, resultando em:

( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( e t q D q C t u q F q B t y (2.24)

Como no caso dos modelos de erro na saída, nos modelos Box-Jenkins as funções de transferência do sistema

) ( ) ( q F q B e do ruído ) ( ) ( q D q C não tem parâmetros comuns, ou seja, são independentemente parametrizadas. As funções de transferência do processo e do ruído nunca possuem um fator comum no denominador, ou seja, F(q) e D(q) são polinômios co-primos. O modelo Box-Jenkins também é do tipo erro na saída (Aguirre, 2007).

(40)

2.3.2 Método dos Mínimos Quadrados

O método dos mínimos quadrados é um dos mais conhecidos e mais utilizados nas mais diversas áreas de ciência e tecnologia. A origem da ideia básica pode ser encontrada nos trabalhos de Gauss sobre estudos astronômicos (Aguirre, 2007).

Consideremos yuma função dependente dos parâmetros e , ou

seja, y f( , ). A função define um conjunto de equações, e é possível

determinar f e a partir de y ,...,1 yN e 1,..., N , podendo-se ainda

escrever a função como T

y . Essa consideração implica em linearidade

nos parâmetros.

Podemos considerar ycomo a variável dependente, como o conjunto

de regressores, ou variáveis independentes, e como o vetor de parâmetros a determinar.

Desde que T

seja não singular, é possível determinar o vetor de

parâmetros através de ( T) 1y, sendo essa a única solução que satisfaz

simultaneamente as Nrestrições do sistema de equações.

No processo de estimação dos parâmetros, é natural que um erro seja

cometido na tentativa de explicação do valor observado y através do vetor de

regressores e de . Portanto podemos escrever:

y(t) T(t) (t)

(41)

Dada uma solução para , é desejável que essa solução minimize o

erro ao máximo. Para isso, a solução citada para deve ser tal que

minimize o critério da soma do quadrado do erro:

N t N t N V 1 2 ) ( 1 ) ( (2.26)

Sendo a solução ótima ^ dada por: N t N t T t y t N t t N 1 1 1 ^ ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 (2.27)

Uma forma equivalente da equação (2.27) é:

( ) ( ) 1 ( ) ( ) ^ t Y t t t T T (2.28)

Sendo considerado o caso multivariável, com Y(t) uma matriz de

dimensão px , 1 (t uma matriz ) nxp e uma matriz nx1.

O estimador de MQ possui a propriedade da ortogonalidade: 0

x y y

xT T , ou seja, x não tem projeção sobre y e vice-versa (Aguirre,

2007). Outras propriedades do estimador de MQ relacionadas à polarização serão analisadas na seção 2.4.

(42)

2.3.3 Método do Erro de Predição

O método do erro de predição (PEM) é uma família de métodos que utiliza o princípio da minimização do erro de predição,

^

y

y , sendo y o

valor real medido da saída e ^

y o valor teórico livre de ruído, para calcular o

vetor de parâmetros (Ljung, 1999).

Normalmente, é utilizada uma norma escalar ou critério para calcular o erro de predição mínimo que determina a solução

^

, sendo essa norma quadrática ou não. Dentre os critérios possíveis, um muito utilizado é (Ljung, 1999): argmin ( ) ^ N V (2.29) Sendo N t p N l t N V 1 )) , ( ( 1 )

( a norma escalar utilizada, onde

)) , (

( t

l p é uma função escalar tipicamente positiva, e p(t, )nada mais é do

que o erro de estimação filtrado por um filtro linear.

A variedade de métodos contidos no PEM é oriunda da variedade de

funções escalares l ou de filtros lineares p que pode ser utilizados para a

(43)

2.3.4 Método da Variável Instrumental

Voltando a equação (2.25) do método dos mínimos quadrados, para a obtenção da diferença entre o valor de

^

(estimado) e ₀ (calculado), definido

como:

y(t) T(t) ₀ v(t) (2.30)

Em que v(t) é uma perturbação estocástica, substituindo-se na equação

(2.27): N t T N t T t v t t N t t N 1 0 1 1 ^ )) ( ) ( )( ( 1 ) ( ) ( 1 (2.31) Ou ainda: N t N t T t v t N t t N 1 1 1 0 ^ ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 (2.32) Quando N , tem-se: ₀ ( ) ( ) 1 () ( ) ^ t v t E t t E T (2.33)

(44)

Assumindo-se Z(t) uma matriz de dimensão n por _z n_y, de sinais de

entrada não correlacionada com a perturbação v(t), estima-se por:

N t T N t t t y t Z N t t Z N 1 1 ^ 0 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 (2.34)

Se n_z n , então a equação (2.34) fornece o chamado método da

variável instrumental: N t N t T t y t Z N t t Z N 1 1 1 ^ ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 (2.35)

Caso Z(t) (t), retorna-se ao método dos mínimos quadrados. Os

elementos de Z(t) são chamados de instrumentos, que basicamente são

obtidos através de filtragem de dados (Aguirre, 2007).

Generalizando-se a equação (2.35), pode-se obter o método da Variável Instrumental estendido. Esse método pode decompor em duas vertentes: pode

permitir a construção de um vetor aumentado Z(t) (ou seja, com dim Z(t) >

dim (t ), ou ainda a pré-filtragem dos dados. A estimação VI Estendida é )

dada por: 2 1 1 1 1 ^ ) ( ). ( ) ( ) ( ). ( ) ( min arg Q N t N t T t y q F t Z t q F t Z (2.36)

(45)

assimptótico estável. Quando F(q 1) 1 e n = n , o estimador VI básico é _z

obtido (Söderström e Stoica, 2002).

Ás vezes, é interessante a implementação de algoritmos de identificação em uma forma recursiva. Isso significa que a estimação dos parâmetros é atualizada assim que novos dados são disponibilizados. A maioria dos algoritmos off-line, ou batelada, podem ser convertidos para uma forma recursiva. Como exemplo, tem-se a seguir uma representação recursiva da equação (2.35), a partir de:

1 1 ) ( ) ( ) ( t s T s s Z t P , (2.37) tem-se ainda: P 1(t) P 1(t 1) Z(t) T(t). (2.38) A estimativa de ( ) ^

t pode ser escrita como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ^ 1 1 ^ t y t Z t t P t P s y s Z t P t t s , (2.39) ou ainda: ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ^ ^ 1 ^ t t K t t y t Z t t t Z t P t P t T . (2.40) Onde K(t) P(t)Z(t) e ( ) ( ) ( ) ( 1) ^ t t t y t T .

O vetor (t pode ser visto como o erro de predição, que descreve a )

diferença entre y(t)medido e a predição ( 1) ( ) ( 1)

^

t t t

y T baseado nos

dados disponíveis no instante t 1, usando o vetor de parâmetros ( 1)

^

(46)

equação for igual a ruído branco. Para completar o algoritmo, deve-se substituir

na equação (2.38) P 1(t)por uma equação recursiva para P(t), de forma a

evitar a inversão matricial a cada passo. Usando o lema da matriz inversa, pode-se mostrar que a equação (2.38) é igual a:

) ( ) 1 ( ) ( 1 ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( t Z t P t t P t t Z t P t P t P _T T (2.41)

As equações (2.40) e (2.41) constituem o algoritmo VI recursivo (Söderström e Stoica, 2002). Note que um algoritmo MQ recursivo também

pode ser obtido substituindo nas equações Z(t) por (t . )

2.4 Polarização de Estimadores

Ao considerar a hipótese de que há ruído nos dados, e dificilmente haverá uma hipótese mais realista do que essa, é evidente que os parâmetros estimados serão afetados de uma forma ou de outra. Pelo fato de cada teste ter realizações diferentes do ruído, é de se esperar que haja alguma variação entre os parâmetros estimados a partir dos dados de cada teste. Entretanto, se o processo for invariante no tempo e o ruído for estacionário, é natural que as diferenças dos diversos conjuntos de parâmetros estimados sejam pequenas (Aguirre, 2007).

Nesse contexto, a polarização de um determinado estimador pode ser definida como o desvio entre o valor esperado de uma determinada variável aleatória (a variável estimada) e uma variável determinística (o valor real).

(47)

Seja um vetor de parâmetros e ^

seu valor estimado. A polarização é definida como:

^

E

b (2.42)

Onde E é a esperança matemática, ou o valor médio. Sendo

^

uma

variável aleatória, e um valor determinístico, a equação 2.42 pode ser

reescrita por:

^

E

b (2.43)

Considere inicialmente o estimador de mínimos quadrados, descrito na

seção 2.3.2. Esse é um estimador linear, do tipo Ay

^

, sendo que ^

foi definido na equação (2.28). A sua polarização pode ser descrita como:

bMQ T(t) (t) 1E T(t)v(t) (2.44)

Para que a polarização seja nula, é necessário que não haja correlação

entre o vetor de erro v(t)e nenhum dos regressores, ou seja:

0 ) ( ) (t v t E T (2.45)

A condição representada por (2.45) somente será verdadeira se e

(48)

Portanto, as seguintes propriedades podem ser adicionadas ao estimador MQ:

Robustez em presença de ruído branco, ou ruído aditivo / de medição;

Polarização em presença de ruído colorido, ou ruído dinâmico / multiplicativo.

Para resumir: o método de mínimos quadrados é um método de simples aplicação para identificação de sistemas, com propriedades interessantes, como fácil computação das estimativas e propriedades numéricas conhecidas. As restrições a sua aplicação é que representam a maior dificuldade de implementação do método, e pode ser vista como principal razão para se considerar métodos mais avançados, como o da variável instrumental (Söderström e Stoica, 2002).

Considere o estimador de variáveis instrumentais, descrito na seção 2.3.4 e definido na equação (2.35). A sua polarização pode ser descrita como:

) ( ) ( ) ( ) (t t 1E Z t v t Z b_VI T T (2.46)

Para garantir a não polarização do sistema, é necessário que: 0 ) ( ) (t v t Z E T (2.47)

O estimador de variáveis instrumentais evita a polarização garantindo que o vetor de erro, que pode ser colorido, seja não correlacionado com os instrumentos. Essa condição é menos restritiva do que a de garantir que o

(49)

estimador MQ (Aguirre, 2007). O preço a ser pago envolve:

A escolha correta dos instrumentos;

O estimador resultante é assintoticamente não polarizado, ao invés de ser não polarizado propriamente dito.

2.5 Conclusão

Neste capítulo, apresentou-se um resumo da teoria clássica de identificação de sistemas. Foram descritos os estágios do processo de modelagem, iniciando-se com uma descrição geral dos mesmos e, posteriormente, fazendo-se um detalhamento de cada um destes estágios. Foram apresentadas algumas estruturas de modelos, com ênfase nas estruturas ARMAX, OE e BJ, os quais serão utilizados na caracterização da câmara térmica.

Em seguida, abordou-se a estimação dos parâmetros, descrevendo-se o estimador dos mínimos quadrados e estimador de variável instrumental, o qual será utilizado neste trabalho na sua forma recursiva.

Por último, foi feita uma análise da polarização nos estimadores, característica essa que deve ser levada em conta no projeto de um estimador. Concluiu-se que a utilização do estimador da Variável Instrumental pode prevenir a polarização, desde que sejam escolhidos corretamente os instrumentos.

(50)

CAPÍTULO III

IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS EM MALHA FECHADA

3.1 Introdução – Vantagens e Dificuldades

A identificação de sistemas em malha fechada é de grande interesse para aplicações industriais, já há algum tempo. Esse problema oferece muitas possibilidades, assim como algumas falácias, e uma grande variedade de abordagens já foram propostas, muitas recentemente (Forssell, 1999).

Na prática, há várias situações em que a identificação em malha aberta é difícil ou simplesmente não realizável. Isso inclui, por exemplo, o caso de plantas que possuem um comportamento integrador, ou instabilidade em malha aberta. Ambos os casos requerem a identificação em malha fechada. Esse modo de identificação também é requerido quando um controlador já é existente na planta, ou quando uma validação na sintonia atual do controlador ou reprojeto desse é necessária (Landau & Karimi, 1997).

Métodos de identificação em malha fechada são muito atrativos para as aplicações industriais, pois não causam paradas na operação do sistema, o que não ocorre na identificação em malha aberta. Outras vantagens a serem listadas são os quesitos de segurança na operação e não violações de restrições de produção (Coelho & Barros, 2003).

(51)

Na Figura 3.1, está representada a configuração do processo com

realimentação, em que: G(q) representa o modelo do processo; H(q) o

modelo do ruído; C(q) o modelo do controlador; r2(t) a referência; r1(t) a carga ou perturbação; u(t) a entrada do processo; e(t) o ruído branco; v(t) o

ruído de medição e y(t) a saída (Andrade, 2000).

Figura 3.1. O sistema em malha fechada

Para o sistema representado, pode-se escrever uma combinação dos sinais externos, conforme a equação (3.1):

r(t) r₁(t) C(q)r₂(t) (3.1)

A função de transferência para o sistema em malha fechada pode ser escrita como a equação (3.2):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( )) ( ), ( ( I q C q G q 1C q I q q I q G q C q G T (3.2)

(52)

Técnicas de Identificação em Malha Fechada Utilizando Variável Instrumental: Um Estudo de Caso Assim: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 t r t r q S q Q q R q T t u t y , (3.3) com: 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( q G q C q I q S q C q G q C q I q Q q G q C q I q G q R q C q G q C q I q G q T (3.4)

No entanto, a grande dificuldade na implementação da identificação em malha fechada é a correlação entre o ruído não mensurável e a entrada. Esse é o motivo pelo qual diversos métodos que funcionam bem em malha aberta falham quando aplicados em malha fechada (Forssell, 1999).

Esse problema será tratado a partir de três grupos de abordagem, conforme Forssell, (1999):

Abordagem direta: ignora-se a realimentação e identifica-se o sistema como se estivesse em malha aberta, a partir da entrada e da saída medidas.

Abordagem indireta: identifica-se uma função de transferência em malha fechada, e determinam-se os parâmetros em malha aberta usando-se o conhecimento de controladores lineares.

Abordagem união entradas-saídas: deve-se considerar a entrada e saída em conjunto como saída de um sistema que possua alguma outra entrada, ou setpoint e ruído. Deve-se usar algum método para determinar os parâmetros em malha aberta como uma estimativa do sistema aumentado.

(53)

3.2 Formas de Identificação em Malha Fechada

3.2.1 Abordagem Direta

Essa forma de identificação em malha fechada foi proposta por Ljung,

(1999). Utiliza-se o método do erro de predição, para u(t) e y(t) mensuráveis,

da mesma forma que para malha aberta, não necessitando do conhecimento do modelo do controlador, nem obrigatoriamente das entradas externas. Isso implica que esse método pode ser aplicado a sistemas com mecanismos de realimentação arbitrários ou desconhecidos (Forrsell, 1999).

Para a abordagem direta, trabalha-se com o modelo do processo e do erro equacionados na forma:

y(t) G(q)u(t) H(q)e(t) (3.5)

O erro de predição para esse modelo é dado por:

(t) H(q) 1(y(t) G(q)u(t)) (3.6)

Que pode ser estimado por:

argmin ( ) ^ N V , (3.7) em que: n t N t N V 1 2 ) ( 1 (3.8)

(54)

A estimativa dos modelos do processo e do ruído será denotada por ^ G e ^ H , respectivamente, com: ^ ^ ) , ( ) (q G q G (3.9) e ^ ^ ) , ( ) (q H q H (3.10)

Portanto, a identificação em malha fechada segundo a abordagem direta apresenta as mesmas características da identificação em malha aberta (Andrade, 2000).

3.2.2 Abordagem Indireta

A abordagem indireta para a identificação em malha fechada foi proposta e estudada por Linderberger (1972 e 1973). Caso o controlador e alguma entrada externa ou setpoint seja conhecido, existem vantagens na utilização da abordagem indireta (Forssell, 1999).

Identifica-se primeiramente o sistema em malha fechada a partir de r(t)

e y(t), ou c(t) e y(t) mensuráveis, e então com o conhecimento do modelo do

controlador C(q), obtém-se o modelo da planta G(q). Deve-se ressaltar que

esse problema de identificação é basicamente um problema em malha aberta, desde que os sinais externos r₁(t) e r₂(t) não estejam correlacionados com o ruído v(t) (Andrade, 2000).

(55)

A função de transferência entre r₁(t) e y(t) é estimada inicialmente, e

com o conhecimento do controlador C(q) a função de transferência do

processo G(q) é então obtida.

A função de transferência que relaciona r₁(t) e y(t) é dada por:

) ( ) ( 1 ) ( ) ( q G q C q G q R (3.11)

A função de transferência entre e(t) e y(t) é dada por:

) ( ) ( 1 ) ( ) ( q G q C q H q S (3.12)

Combinando as equações (3.11) e (3.12), obtém-se a saída do processo por:

y(t) R(q)r₁(t) S(q)e(t) (3.13)

O erro de predição pode ser estimado por:

(t) S 1(q)(y(t) R(q)u(t)), (3.14)

sendo os parâmetros estimados por:

N t t N 1 ^ ) ( 1 min arg (3.15)

(56)

Assim, a estimativa dos modelos do processo e do ruído, em malha fechada, será denotada por

^ ) (q R e ^ ) (q

S , respectivamente, da seguinte forma:

^ ^ ) , ( ) (q G q R (3.16) e ^ ^ ) , ( ) (q H q S (3.17)

Por fim, a estimativa da função de transferência em malha aberta será a solução da equação: _^ ^ ^ ) ( ) ( 1 ) ( ) ( q R q C q R q G (3.18)

Se o controlador C(q) é estável, implica que

^ ) (q

G será estabilizável por

) (q

C . A ordem do modelo em malha aberta deverá ser igual à ordem do

modelo em malha fechada mais a ordem do controlador (Andrade, 2000). Assim, devido a essa prefixação de ordem pode haver imprecisão na solução, ou eventualmente a uma redução na ordem do modelo gerado.