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TÍTULO: Momento-curvatura em Seções de Concreto Protendido
AUTOR(ES): Buchaim, Roberto ANO: 2012
PALAVRAS-CHAVE: Concreto Protendido; Flexão Simples;
Armadura Simples; Seção retangular; Momento-curvatura
ENTECA 2011
VIII Encontro Tecnológico da Engenharia Civil e Arquitetura
8 - 10Novembro 2011 ISSN 1808-3625
MOMENTO-CURVATURA EM SEÇÕES DE CONCRETO PROTENDIDO
Roberto Buchaim
1RESUMO
Mostra-se neste trabalho a obtenção da relação momento-curvatura nos Estádios I, II e III, na flexão simples de seções retangulares com armadura simples, visando aplicações nos Estados Limites de Serviço e Últimos, e, ainda, em ensaios de laboratório para a determinação da carga última e correspondentes deformações. O foco da solução está na determinação da precedência de uma deformação notável, no aço ou no concreto, atingida em alguma fase de solicitação da seção, o que é facilitado pela adoção de uma lei constitutiva bilinear também para o concreto, que atenda às mesmas três fases com suficiente precisão. Com isto, não há necessidade de iteração na solução numérica. Para essa relação determinam-se todos os pontos notáveis e os trechos entre eles. As figuras apresentadas abrangem os quatro diferentes comportamentos da seção: ruptura do aço e o concreto ainda elástico, ruptura do aço e o concreto já plastificado, ruptura do concreto e o aço já plastificado, e, finalmente, ruptura do concreto e o aço ainda elástico. Mostra-se também a comparação das curvas momento-curvatura obtidas com duas leis do concreto: a parábola-retângulo, usualmente tomada como referência, e a bilinear adotada neste trabalho.
Palavras-chave: Concreto protendido. Flexão simples. Armadura simples. Seção retangular.
Momento-curvatura.
1
Prof. Dr., Universidade Estadual de Londrina-UEL, Cento de Tecnologia e Urbanismo-CTU, Departamento de Estruturas, [email protected]
1. INTRODUÇÃO
O presente trabalho em concreto protendido abrange um trabalho anterior em concreto armado (BUCHAIM, 2005) e refere-se à obtenção do diagrama momento-curvatura nos Estádios I, II e III, antes e após a fissuração, antes e após o escoamento de um ou de ambos os materiais. O problema é particularizado para a flexão simples de seções retangulares com armadura simples. A obtenção dos pontos do diagrama, à medida que cresce a curvatura, fica facilitada por meio da adoção de leis constitutivas bilineares para ambos os materiais, e pela determinação prévia de qual deformação notável, no aço ou no concreto, tem precedência ao longo da seqüência crescente de curvaturas. Esta seqüência é definida entre os seguintes eventos: a fissuração da borda oposta àquela em que se posiciona a armadura protendida (evento tomado como início do diagrama), a fissuração da borda próxima a essa armadura, a plastificação de um dos dois materiais ou de ambos e a ocorrência de uma deformação limite, no aço ou no concreto. Admite-se haver aderência entre as barras da armadura e o concreto circundante, e armadura longitudinal mínima, de forma a impedir com segurança o seu escoamento imediatamente após a fissuração. As hipóteses adotadas permitem resolver o problema sem iteração na equação da força normal, usada para obter a profundidade da linha neutra correspondente a uma curvatura escolhida dentro da mencionada seqüência. Posto o problema em sua forma mais simples, pode-se destacar outros aspectos importantes e mais gerais – ressaltados ao longo da explanação –, enfatizando-se que o foco deste trabalho, evidentemente, está nos Estádios II e III.
2. LEIS CONSTITUTIVAS. EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE E DE EQUILÍBRIO
A Figura 1 mostra as leis constitutivas adotadas para ambos os materiais.
Figura 1 – Leis constitutivas dos materiais
Para o concreto tem-se, cf. Figura 1(a): 0
c
: c Ecsc se abs(c)cy fc Ecs, e c fc se cy abs(c)c,lim
0 c : c Ecsc fct,fl (1a) (1b) em que: c
f : resistência do concreto, a definir conforme a finalidade do diagrama momento-
curvatura. Em ensaios (rápidos), adota-se o valor médio da resistência f medida cm
σc ec Ecs -fc -ec,lim -ec,y fct fpy Ep 1 1 ep,y e p,lim ep σp
experimentalmente, no projeto substitui-se f por c fcm fck 8 em MPa, cf. o CEB-FIP MODEL CODE 1990 (MC90). No dimensionamento da seção, usa-se no lugar de f o c
valor de cálculo 0,85fck /c. Para deformabilidade do concreto em caso de efeitos de segunda ordem, f é substituído por c fck /1,2, cf. o MC90 ou 1,1fck/c fck/1,27, cf. a NBR 6118: 2004.
Ecs: módulo de elasticidade secante do concreto, igual a Ecs 0,855600 fc , em MPa; cy
: encurtamento do concreto no início do patamar de escoamento, cy 0;
lim , c
: encurtamento limite do concreto, c,lim 0; ] ) 100 ( 5 , 1 [ ] ) 100 ( 5 , 1 1 [ 0,7 0,7 , h h f
fct fl ct : resistência do concreto à tração na flexão;
h : altura da seção em mm;
ct
f : resistência à tração axial do concreto (quantil estabelecido conforme a análise).
A resistência fct,fl em função da altura da seção está dada no MC90 e também no
BULLETIN 55: MODEL CODE 2010. O módulo E pode ser adaptado às leis bilineares indicadas cs
para dimensionamento de seções transversais (não apenas retangulares) tanto no EUROCODE 2, quanto no BULLETIN 55: MODEL CODE 2010 (neste último, para concretos até Classe 120), fazendo-o igual ao quociente entre a resistência atribuída ao concreto no patamar de escoamento e a deformação do início desse patamar, conforme sejam os valores adotados nessas duas referências. O mesmo pode ser feito, para o caso de deformabilidade do concreto para efeitos de segunda ordem, como mencionado acima.
Para o aço tracionado, tem-se, cf. Figura 1(b):
p p p E se p py py p f se pyp p,lim (2a) (2b) em que: py
f : resistência ao escoamento do aço de protensão. Em ensaios, usa-se o valor médio
dessa grandeza, medido experimentalmente. No projeto, troca-se fpy pelo valor
característico fpyk na deformabilidade e por fpyd fpyk/s no dimensionamento da seção; p
E : módulo de elasticidade do aço de protensão, medido experimentalmente, ou igual a
GPa
200 , cf. a NBR 6118: 2004;
p py py f E
: alongamento do aço de protensão no início do patamar de escoamento;
lim , p
: alongamento limite do aço de protensão, igual ao valor característico último, 35
puk
‰ para cordoalhas de 7 fios, cf. a NBR 7483, e igual ao valor do alongamento plástico residual, após a ruptura, medido no comprimento da barra igual a dez diâmetros,
60 50
10 ou
‰ para fios, cf. a NBR 7482. No dimensionamento, deve-se tomar 10 ‰
somado ao valor de cálculo do alongamento de neutralização (ou pré-alongamento), geralmente após as perdas progressivas de protensão, ou seja, p,lim10‰ppn, e
. 9 , 0
p
Ver a seguir a definição de pn.
Figura 2 – Seção transversal em flexão composta normal: geometria, deformações e esforços solicitantes
As equações de compatibilidade – válidas para os três Estádios – ligando as deformações à curvatura da seção, pondo 103d, 103 e x /d, resultam iguais a:
x d x x d p cy cy c c p 1 1 1 103 1 1 p cy cy c c p d (3a) (3b) em que:
: curvatura da seção, igual ao gradiente das deformações da seção, d dz;
d 3 10 : curvatura adimensional; pn p p
: acréscimo de deformação na armadura protendida a partir do estado nulo de
deformação na seção (ou estado de neutralização); p é a deformação total na armadura protendida. pn é o alongamento de neutralização (ou pré-alongamento), na pré-tração igual
ao alongamento da armadura na pista de protensão. Se for considerada a perda progressiva de protensão, Pshcr 0, por retração (sh) e fluência (c) do concreto, e pela relaxação (r) do aço, a esse alongamento soma-se algebricamente a queda de alongamento dada por
)], 1 ( [ 11 Pshcr EpAp com 11pp(1z2pAi Ii); cs p p E E : coeficiente de equivalência; i p p A A
: taxa geométrica da armadura referida à área da seção homogênea;
1 c
: deformação (encurtamento) do concreto na borda mais comprimida;
x : profundidade da linha neutra, ou distância da linha neutra à borda correspondente ao
encurtamento c1; cy
x : distância entre a linha neutra e a fibra correspondente ao encurtamento cy;
d : altura útil da seção;
z: ordenada, a partir do eixo ideal da seção homogênea, positiva para baixo;
A força de protensão Pn EpAppn, aplicada na seção homogênea, e os esforços solicitantes do carregamento (N,M), produzem as deformações no Estádio I:
z I E z P M A E P N z i cs p n i cs n i i (4) d b h Ap pn p p 1 c N M cy x cy Eixo da seção homogênea (ou ideal) i-i x zp 1 z 2 z z>0 i i z i i c 2 c
No presente caso de flexão simples tem-se N0, com o que o carregamento consegue anular apenas a curvatura, mas não o encurtamento axial. A fissuração da seção é atingida nas bordas superior e inferior quando ocorrer, em cada uma delas, a deformação fct,fl/Ecs. Com isto, obtêm-se de (4) os momentos de fissuração e respectivas curvaturas:
1 , 2 1 , n( p) ct fl i cr P k z f W M , cr n p cs i I I E z P M cr,1 ( ,1 ) 2 , 1 2 , n( p) ctfl i cr P k z f W M , I cr n p cs i I E z P M cr,2 ( ,2 ) (5) e (6) (7) e (8) Nas Equações (4) a (8), Ai, I e i Wi,1 Ii z10,Wi,2 Ii z2 0, 0 , 0 2 1 2 1I Az k I Az
k i i i i são, respectivamente, a área, o momento de inércia, os módulos
de resistência das bordas e as distâncias nucleares superior e inferior, referidos à seção homogênea. Nos Estádios II e III, as equações de equilíbrio consideram a possibilidade de plastificação dos materiais [M/(bd2fc) é o momento adimensional]:
cy py p p p c A ou A f sex x bx 1 2 (9a) cy py p p p cy c A ou A f sex x x x bf ) 2 ( (9b) cy py p c c sex x x d f A ou x d bx f bd M ) 3 ( ) 3 ( 2 1 2 (10a) cy cy cy cy cy c c d x x sex x x x x d x x bf f bd M )] 3 2 ( 2 ) 2 )( [( 2 (10b)
3. INÍCIO DA PLASTIFICAÇÃO DOS MATERIAIS. ÚLTIMO PONTO DA CURVA M() Através de quatro estados de deformação na seção transversal, obtêm-se quatro forças normais (positivas se tração), propriedades da seção, a serem comparadas com a força normal efetivamente atuante na seção, N0. Os quatro estados decorrem das seguintes deformações na borda comprimida e na armadura: (a): (cy,py), (b): (c,lim,p,lim), (c): (cy,p,lim), (d):
) ,
(c,lim py , com p,limp,limpn e pypypn.
Desta comparação, a condição de força normal pode ser traduzida equivalentemente em taxa mecânica da armadura, definida por:
) ( c py pf bdf A (11)
Dos quatro estados de deformação resultam as seguintes condições.
(a) O aço plastifica-se antes do concreto se y, com:
)] ( 2 [ cy py cy y (12)
(b) Com ambos os materiais plastificados, o que se dá no intervalo up uc, ver (c) e (d), o aço atinge seu alongamento limite antes da ocorrência do alongamento limite do concreto se u, com: )] [ ] 5 , 0
[ c,lim cy c,lim p,lim
u
(13)
Se a desigualdade inverter o sentido, o concreto atinge seu encurtamento limite primeiro. Identificada qual deformação limite tem precedência, resulta uma relação entre a profundidade da linha neutra e a curvatura do último ponto da relação momento-curvatura, M()ou (), a saber:
u c u u p u ou
1 ,lim/ ,lim/ (14a) e (14b)
Feita a escolha de uma destas equações e substituindo u de cada alternativa, obtêm-se:
u ( p,lim0,5 c,y)/(1 )ou u ( c,lim0,5 c,y)/ (15a) e (15b) (c) O aço atinge seu alongamento limite antes do início da plastificação do concreto se
up , com: )] ( 2 [ cy p,lim cy up (16)
Se valer esta desigualdade obtêm-se a profundidade da linha neutra e a correspondente curvatura últimas das seguintes equações:
lim , lim , (1 ), 2 / ) 1 / 4 1 ( 5 , 0 up up u p u up cy p u e com (17) e (18)
(d) O concreto atinge seu alongamento limite antes do início da plastificação do aço se
uc , com: )] [( ] 5 , 0 [ c,lim cy c,lim p,y uc (19)
Analogamente, para esta desigualdade resultam:
)] 2 ( /[ 2 , ) 1 / 4 1 ( 5 , 0 ,lim 2 lim , lim , u uc c py c cy c u uc uc u e com (20) e (21)
A posição da fibra em que se tem cyé simplesmente igual a cy cy/u.
4. ESTÁDIOS II E III
No Estádio II é válida a lei de Hooke para ambos os materiais. Desprezando a resistência à tração do concreto, as duas equações de equilíbrio determinam a posição da linha neutra e o momento correspondente M Mcr,2, escolhida a curvatura dentro da seqüência crescente de
) 3 ( 6 ] 1 ) ( 2 1 [ 2 2 cy c pn p p p p f bd M e (22) e (23)
Para a seção fissurada, a taxa geométrica da armadura é igual a p Ap (bd).
Note-se que, no Estádio II, a profundidade da linha neutra decresce com a curvatura crescente, diferentemente do que acontece no concreto armado. Estas equações resolvem facilmente o problema, quando se arbitra a curvatura. Entretanto, pode ser necessário obter a profundidade da linha neutra diretamente do momento fletor, para o que se resolve a seguinte equação cúbica:
0 6 6 ) 1 ( 3 2 3 pn cy pn cy pn cy p p (24)
Em particular, obtém-se desta equação a profundidade cr 2II, da linha neutra no Estádio II correspondente ao momento de fissuração Mcr,2 oucr,2 Mcr,2 (bd2fc), já obtido no Estádio I. Com estes dois valores resulta a curvatura:
) 3 ( ) ( 6 2 , 2 2 , 2 , 2 , II cr II cr cy cr II cr (25)
No Estádio III, um dos dois materiais ou ambos encontram-se plastificados, e é preciso separar os casos em que o concreto ou o aço entra primeiro no patamar de escoamento, o que se faz a seguir.
(a) O concreto plastifica-se antes do aço: y cy [2(cypy)]
A profundidade da linha neutra no início da plastificação do concreto resulta da equação 0 2 ) 1 ( 2 2 p p cy cy pn p p cy
. Para pn cy 1, a raiz desta equação vale:
p p cy 2 (26) Variando pn cy , obtém-se: ] 1 ) 1 ( 2 1 )[ 1 ( 2 cy pn p p cy pn p p cy (27)
valendo o sinal positivo que antecede o radical se pn cy 1, o que é usual para o concreto
protendido. Se, por outro lado, 0pn cy 1, deve-se considerar o sinal negativo. Para pn 0,
recai-se na conhecida equação do concreto armado, na qual não há influência da curvatura, nem do momento fletor. Calculada a profundidade da linha neutra, resulta a curvatura:
cy cy cy
/ (28)
Para curvaturas superiores a esse valor, com o aço ainda elástico, obtém-se a equação que une a linha neutra à curvatura arbitrada:
)] ( 2 [ )] ( 2 [ cy py pn py d x (29)
Conhecidas a curvatura e a profundidade da linha neutra, obtém-se cy cy/ e o momento de (10b). Continuando a aumentar a curvatura, o aço pode entrar no patamar de escoamento. Se isto ocorrer, resultam a linha neutra e a correspondente curvatura, com as quais se obtém o respectivo momento fletor:
py py py pn py cy pn py cy py cy py cy py py e d x 1 ) ( 2 ) ( 2 2 2 (30) e (31)
Nos pontos subseqüentes da curva M()ou(), há plastificação de ambos os materiais, e a relação entre a linha neutra e a curvatura arbitrada resulta da equação:
) 2 ( x d cy (32)
O último ponto da curva M()ou() já foi obtido no item 3. (b) O aço plastifica-se antes do concreto: y cy [2(cy py)]
No início da plastificação do aço, com o concreto ainda elástico, resultam a profundidade da linha neutra e a respectiva curvatura, com as quais se obtém o momento correspondente, como segue: py py py cy py py cy py py e d x 1 ) 1 2 1 ( (33) e (34)
Para curvaturas subseqüentes e o concreto ainda elástico, as forças internas permanecem constantes, a profundidade da linha neutra diminui, mas o braço de alavanca aumenta, ainda que pouco. A relação entre a linha neutra e a curvatura, neste caso, é:
x d 2 cy (35)
O início da plastificação do concreto, se ocorrer antes do último ponto, corresponde a: cy xcy d 2 e cy cy 2 (36) e (37)
5. APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS E OBSERVAÇÕES FINAIS
A seqüência de cálculo mostrada possibilita obter os vários segmentos da curva )
( )
( ou
M , desde o Estádio I até a fissuração da borda inferior da seção, prosseguindo no
Estádio II até o início da plastificação do concreto, passando pelo início da plastificação do aço, ou vice-versa, e terminando no ponto correspondente a uma deformação limite em um dos dois materiais. Alternativamente, pode haver a plastificação de um material apenas, até o último ponto da mencionada curva, como se mostrou. A Figura 5 dá um exemplo da teoria exposta, abrangendo os quatro diferentes comportamentos da seção: ruptura do aço e o concreto ainda elástico (
% 05 , 0 p
), ruptura do aço e o concreto já plastificado (p 0,20%), ruptura do concreto e o aço
já plastificado (p 0,40%), e, finalmente, ruptura do concreto e o aço ainda elástico (p 1%).
Figura 5 – Momento-curvatura, flexão simples, seção retangular protendida, MPa f MPa f mm d h b/ / 200/400/360 , c 30 , ct,fl 3,63 , Ecs 26,07MPa,c,lim3,5, 15 , 1 07 , 26 / 30 ,y c , aço CP-190 RB, Ep 200GPa, 65 , 6 , 10 , 1710 ,lim p pn py MPa f
Nessa figura pode-se ver que: (a) os segmentos no Estádio I são praticamente paralelos, dada a pequena influência da taxa geométrica da armadura nas características geométricas da seção; (b) o aumento da taxa da armadura (ou da força de protensão, para o mesmo pré-alongamento) aumenta ambos os momentos de fissuração, Mcr,1eMcr,2; (c) o salto na curvatura no instante da fissuração
diminui com o aumento da força de protensão; (d) a extensão do patamar de escoamento aumenta até a taxa mecânica correspondente à ruptura simultânea dos dois materiais, cf. Equação (13). No
exemplo, tem-se 0,38% 1710 30 217 , 0 , 217 , 0 10 5 , 3 15 , 1 5 , 0 5 , 3 , 5 , 13 py c u p u u f f . Em
seguida, esta extensão diminui para taxas de armaduras maiores; (e) no Estádio II, a relação momento-curvatura é não-linear, o que fica visível na figura para as duas taxas de armadura maiores; (f) para taxas muito baixas, o momento de fissuração supera o momento resistente último, quer dizer, a seção ao fissurar passa, com um salto vertical, diretamente do Estádio I ao III, situação que deve ser excluída no projeto, com a adoção de armadura mínima.
-0,05 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 Ap / (bd) = 1 % Ap / (bd) = 0,40 % Ap / (bd) = 0,20 % Ap / (bd) = 0,05 % Mo ment o r es is ten te rel at ivo : µ= M/( bd ^ 2fc ) fc) Curvatura relativa: 1000κd
Anais do VIII Encontro Tecnológico de Engenharia Civil e Arquitetura Figura 6 – Momento-curvatura, flexão simples, seção retangular protendida,
5 , 3 , 07 , 26 , 63 , 3 , 30 , 360 / 400 / 200 /
/h d mm fc MPa fct,fl MPa Ecs MPa c,lim
b ,
aço CP-190 RB, Ep 200GPa,p,lim 10,pn6,65/5,32/0,p 0,2%
A Figura 6 mostra para a mesma seção, mantida constante a taxa da armadura p 0,2%, os resultados para três valores do pré-alongamento, indo desde pn 0 (concreto armado), até
65 , 6
pn
, passando pelo valor pn 5,32, o qual simula uma perda de protensão de 20%. Além de observações da figura anterior, pode-se notar ainda: (a) o efeito da protensão especialmente nos Estádios II e III corresponde a um recuo grande na curvatura da seção protendida em relação à mesma seção em concreto armado, para o mesmo momento fletor; (b) no trecho final, em que coincidem as curvas, não há influência do pré-alongamento na resistência da seção, nem na curvatura do último ponto. Por outro lado, se essa mesma seção fosse armada com CA-50, a taxa
s
seria fpyk/ fyk 1710/5003,42 vezes maior, para manter a mesma taxa mecânica, donde a relação de rigidezes à flexão no Estádio II (EI)II,CP/(EI)II,CA1/3,420,30.
Figura 7 – Momento-curvatura para as leis parábola-retângulo e bilinear (demais dados idem Figura 5)
A Figura 7 mostra, para a mesma seção da Figura 5, as curvas () resultantes de duas leis constitutivas do concreto: a parábola-retângulo, usualmente tomada como referência, e a bilinear admitida neste trabalho. O mesmo foi feito para a seção em concreto armado, com taxas 3,42 vezes maiores, embora não apresentado aqui. Como se pode notar, apesar da grande diferença de valores das deformações do início do patamar da duas leis ( cy 1,15 na bilinear e cy 2 na
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Parábola-retângulo Ap/(bd)=1,0% Bilinear Ap/(bd)=1,0% Parábola-retângulo Ap/(bd)=0,4% Bilinear Ap/(bd)=0,4% Parábola-retângulo Ap/(bd)=0,2% Bilinear Ap/(bd)=0,2% Curvatura relativa:1000κd Mo ment o r es is ten te rel at ivo : M/( bd ^ 2fc) Curvatura relativa:1000κd Mo ment o res is ten te rel at ivo : µ= M/ (bd ^ 2 fc )
parábola-retângulo), as curvas são praticamente coincidentes, tanto em resistência quanto em deformabilidade. Assim, a lei bilinear adotada para o concreto é tão boa quanto qualquer outra lei consagrada, com as vantagens adicionais da linearidade.
A seção retangular – muito aplicada nas lajes lisas de edifícios, em radiers, etc. – é por vezes considerada inadequada para a protensão, uma conclusão baseada apenas em dados do Estádio I. Entretanto, após a fissuração a seção retangular se aproxima da seção T já no Estádio II, e mais ainda no Estádio III.
Como se disse antes, as leis constitutivas apresentadas podem ser usadas tanto nos estados limites de serviço, quanto últimos, em ensaios e na consideração da deformabilidade do concreto, seja em peças esbeltas, seja na estimativa da capacidade de rotação plástica. No Estado Limite Último – flexão simples, estão contemplados, através do último ponto da curva M(), os domínios 2, 3 e 4 da NBR 6118: 2004, conforme seja a deformação limite atingida, p,lim 10‰, no domínio 2, e c,lim 3,5‰ nos domínios 3 (aço plastificado) e 4 (aço elástico). Vale mencionar novamente que a lei bilinear adotada para o concreto é indicada no Eurocode 2, item 3.1.7.(2) e no Bulletin 56: Model Code 2010, item 7.2.3.1.5, Figuras 7.2-8 e 7.2-10, para o dimensionamento de seções transversais (não apenas retangulares) e consideram também as classes de concreto de alta
resistência. Além disso, as equações dadas incluem o concreto armado, bastando anular o
pré-alongamento do aço, e adotar as grandezas referentes ao aço escolhido (CA-50 ou CA-60) no lugar daquelas usadas para os aços de protensão. Por último, aplicam-se também na pós-tração com aderência posterior, especialmente nos Estádios II e III, com a definição adequada do pré-alongamento, uma vez que a peça e a seção correspondente se alteram ao longo de sua construção.
REFERÊNCIAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto: procedimento. Rio de Janeiro, 2004.
_______ – ABNT NBR 7482: Fios de aço para concreto protendido. Rio de Janeiro, jun. 1991.
_______ – ABNT NBR 7483: Cordoalhas de aço para concreto protendido. Rio de Janeiro, jun. 1991.
BUCHAIM, R. O diagrama momento-curvatura sem iteração. In: V ENCONTRO TECNOLÓGICO DA ENGENHARIA CIVIL E ARQUITETURA – ENTECA 2005. Maringá. Anais... Maringá: UEM, 2005. CD-ROM.
BUCHAIM, R. Concreto Protendido: Tração Axial, Flexão Simples e Força Cortante. Londrina: Eduel, 2007.
COLLINS, M. P.; MITCHELL, D. Prestressed concrete basics. Ottawa: Canadian Prestressed Concrete Institute , 1987.
COMITE EURO-INTERNATIONAL DU BETON – CEB-FIP Model Code 1990. London: Thomas Telford, 1993.
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FÉDÉRATION INTERNATIONALE DU BÉTON (fib). Bulletins 55 et 56: Model Code 2010. First complete draft –Volumes 1 and 2. April 2010.
