Cálculo Diferencial e Integral II

(1)

C´

alculo Diferencial e Integral II

Claudio Aguinaldo Buzzi

Departamento de Matem´atica

(2)

´Indice

1 Superf´ıcies especiais 4

1.1 Planos . . . 4

1.2 Cilindros . . . 5

1.3 Qu´adricas . . . 6

2 Fun¸c˜oes reais de duas vari´aveis reais 9 2.1 Dom´ınio . . . 9

2.2 Gr´afico . . . 10

2.3 Curvas de n´ıvel . . . 10

3 Fun¸cões reais de três variáveis reais 12 3.1 Dom´ınio . . . 12

3.2 Superf´ıcies de n´ıvel . . . 13

4 No¸c˜oes topol´ogicas no plano e no espa¸co 14 Primeira Lista de Exerc´ıcios . . . 15

5 Limites e continuidade: defini¸c˜ao e propriedades 17 Segunda Lista de Exerc´ıcios . . . 24

6 Derivadas parciais 25 6.1 Defini¸cão e interpreta¸cão geométrica . . . 25

6.2 Diferenciabilidade . . . 29

Terceira Lista de Exerc´ıcios . . . 34

6.3 Vetor Gradiente . . . 43

Quarta Lista de Exerc´ıcios . . . 44

6.4 Regra da Cadeia . . . 45

6.5 Deriva¸c˜ao de fun¸c˜oes definidas implicitamente . . . 48

Quinta Lista de Exerc´ıcios . . . 51

Primeira Prova . . . 54

6.6 Derivada Direcional . . . 60

6.7 Derivadas parciais de ordem superior . . . 64

Sexta Lista de Exerc´ıcios . . . 70

6.8 Generaliza¸c˜ao do Teorema do Valor M´edio . . . 72

6.9 F´ormula de Taylor com resto de Lagrange . . . 76

6.10 Extremos Locais: M´aximos e M´ınimos . . . 79

S´etima Lista de Exerc´ıcios . . . 89

Segunda Prova . . . 92

6.11 Multiplicadores de Lagrange . . . 95

Revisão de Integrais de fun¸cões de uma variável . . . 97

7 Integral dupla 100 7.1 Defini¸c˜ao . . . 100

7.2 Propriedades da integral . . . 103

7.3 Teorema de Fubini . . . 104

Oitava Lista de Exerc´ıcios . . . 112

(3)

7.5 Mudan¸ca de Vari´aveis . . . 121

Nona Lista de Exerc´ıcios . . . 127

8 Integral tripla 129 8.1 Defini¸c˜ao . . . 129

8.2 Propriedades da integral . . . 130

8.3 Mudan¸ca de Vari´aveis . . . 132

8.4 Aplica¸c˜oes . . . 133

D´ecima Lista de Exerc´ıcios . . . 136

9 Fun¸c˜oes Vetoriais 137 9.1 Defini¸c˜ao . . . 137

9.2 Opera¸c˜oes . . . 137

9.3 Limite e Continuidade . . . 137

9.4 Derivada . . . 138

9.5 Curvas parametrizadas: vetores tangentes, comprimento de arco . . . 138

10 Integral de Linha 140 Terceira Prova . . . 144

D´ecima Primeira Lista de Exerc´ıcios . . . 147

10.1 Fun¸c˜ao Potencial . . . 150

10.2 Diferenciais Exatas . . . 152

10.3 Independˆencia dos Caminhos . . . 153

10.4 Teorema de Green . . . 155

D´ecima Segunda Lista de Exerc´ıcios . . . 163

11 Integral de Superf´ıcies 164 11.1 No¸c˜oes sobre superf´ıcies e planos tangentes . . . 164

11.2 Integral de Superf´ıcies . . . 168

11.3 Teoremas de Gauss e de Stokes . . . 169

11.4 Aplica¸c˜oes . . . 173

D´ecima Terceira Lista de Exerc´ıcios . . . 174

(4)

Aula 1: 24/02/2010

Conte´

udo Program´

atico do Curso

1. Superf´ıcies especiais. (a) Planos

(b) Cilindros (c) Qu´adricas

2. Fun¸c˜oes reais de duas vari´aveis reais. (a) Dom´ınio

(b) Gr´afico

(c) Curvas de n´ıvel

3. Fun¸cões reais de três variáveis reais. (a) Dom´ınio

(b) Superf´ıcies de n´ıvel

4. No¸c˜oes topol´ogicas no plano e no espa¸co.

5. Limites e continuidade: defini¸c˜ao e propriedades. 6. Derivadas parciais.

(a) Defini¸cão e interpreta¸cão geométrica (b) Diferenciabilidade

(c) Vetor gradiente (d) Regra da cadeia

(e) Deriva¸c˜ao de fun¸c˜oes definidas implicitamente (f) Derivada direcional

(g) Derivadas parciais de ordem superior (h) Generaliza¸c˜ao do Teorema do Valor M´edio

(i) F´ormula de Taylor com resto de Lagrange (j) Aproxima¸c˜ao linear

(k) Diferenciais

(l) Extremos locais: m´aximos e m´ınimos (m) Multiplicadores de Lagrange

(5)

7. Integral dupla. (a) Defini¸cão (b) Propriedades (c) Teorema de Fubini (d) Mudan¸ca de variáveis (e) Aplica¸cões 8. Integral tripla. (a) Defini¸cão (b) Propriedades (c) Mudan¸ca de variáveis (d) Aplica¸cões 9. Fun¸cões vetoriais. (a) Defini¸cão (b) Opera¸cões (c) Limite e continuidade (d) Derivada

(e) Curvas parametrizadas: vetores tangentes, comprimento de arco 10. Integral de linha.

(a) Independˆencia de caminhos (b) Diferenciais exatas

(c) Fun¸c˜ao potencial (d) Teorema de Green 11. Integral de superf´ıcie.

(a) Teoremas de Gauss e de Stokes (b) Aplica¸c˜oes

Bibliografia

1. Guidorizzi, H. L. - Um curso de c´alculo, Vol. 2 e 3, LTC, Rio de Janeiro, 2001.

2. Pinto, D. e Cândida, F. M. - Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, UFRJ, Rio de Janeiro, 2003.

(6)

4. Flemming, D. M. e Gon¸calves, M. B. - C´alculo B, Pearson Prentice Hall, S˜ao Paulo, 2007.

5. Anton, H. - C´alculo: um novo horizonte, Bookman, 2000.

6. Thomas, G. B. - C´alculo, Vol. 2, Addison-Wesley, S˜ao Paulo, 2003.

Avalia¸c˜

ao

Serão aplicadas 4 provas. A média final será obtida como uma média aritmética entre as notas dos semestres. A matéria da primeira prova será tudo o que for visto até o dia da prova. A matéria da segunda prova será toda a matéria do primeiro semestre. A matéria da terceira prova será a matéria que for vista do in´ıcio do segundo semestre até o dia da terceira prova. A matéria da quarta prova será toda a matéria do segundo semestre.

Se a nota da segunda prova for maior que a nota da primeira prova, então a nota do primeiro semestre será a nota da segunda prova. Se a nota da segunda prova for menor ou igual a nota da primeira prova, então a nota do primeiro semestre será a média aritmética das notas da primeira e segunda provas.

Se a nota da quarta prova for maior que a nota da terceira prova, então a nota do segundo semestre será a nota da quarta prova. Se a nota da quarta prova for menor ou igual a nota da terceira prova, então a nota do segundo semestre será a média aritmética das notas da terceira e quarta provas.

Somente os alunos que perderem uma das 4 provas, por motivo justificado, poder˜ao fazer outra prova no dia 02/12.

Ao final do curso os alunos que obtiverem média igual ou superior a 5,0 (cinco) e pelo menos 70% de freqüência serão aprovados. Os alunos que tiverem média inferior a 5,0 (cinco) e pelo menos 70% de freqüência poderão fazer uma prova de recupera¸cão. Nesse caso a média final é obtida fazendo-se a média aritmética entre a média anterior com a nota da recupera¸cão. Se a média final for igual ou superior a 5,0 (cinco) o aluno será aprovado, caso contrário será reprovado. Os alunos que tiverem freqüência inferior a 70% serão reprovados por faltas.

As datas das provas:

Prova 1: Sexta, 30 de abril. Prova 2: Sexta, 18 de junho. Prova 3: Quinta, 30 de setembro. Prova 4: Ter¸ca, 30 de novembro.

Prova Perdida: Quinta, 02 de dezembro. Recupera¸c˜ao: Quinta, 09 de dezembro.

(7)

Aula 2: 26/02/2010

1 Superf´ıcies especiais

1.1 Planos

Um plano no espa¸co fica completamente determinado por um ponto P0(x0, y0, z0) do plano

e um vetor n que é ortogonal ao plano. Este vetor ortogonal n é chamado vetor normal. Seja P (x, y, z) um ponto arbitrário do plano, e sejam r0 e r os vetores posi¸cão de P0 e P . O

vetor r − r0 ´e representado pelo segmento orientado com origem em P0 e extremidade em P .

O vetor n ´e perpendicular a r − r0 e tamb´em ortogonal a todos os vetores paralelos ao plano.

Figura 1: Plano em R3_.

Da´ı temos a equa¸c˜ao

n˙(r − r0) = 0.

A equa¸cão anterior é chamada equa¸cão vetorial do plano.

Se n = (a, b, c), r = (x, y, z) e r0 = (x0, y0, z0) ent˜ao a equa¸c˜ao anterior se torna

a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0

que ´e chamada equa¸c˜ao escalar do plano.

Colecionando todos os termos constantes da equa¸c˜ao, ela pode ser escrita na forma ax + by + cz + d = 0

que ´e chamada equa¸c˜ao geral do plano.

Exemplo: Encontre a equa¸c˜ao geral do plano que passa pelos pontos P (1, 3, 2), Q(3, −1, 6) e R(5, 2, 0).

Temos que determinar um vetor normal ao plano. Para isso considere dois vetores paralelos ao plano u = Q − P = (2, −4, 4) e v = R − P = (4, −1, −2). Seja agora o vetor n que ´e o produto vetorial entre u e v:

n = u × v = i j k 2 −4 4 4 −1 −2 = (12, 20, 14). A equa¸c˜ao do plano fica

(8)

1.2 Cilindros

Um método muito eficiente de esbo¸car superf´ıcies no espa¸co tridimensional é calcular as interseçcões da superf´ıcie com planos. Nesta e na próxima se¸cão usaremos esse método para esbo¸car as superf´ıcies.

Defini¸c˜ao 1. Um cilindro ´e uma superf´ıcie que consiste de retas paralelas a uma reta dada (chamada geratriz) e que passam por uma curva plana dada (chamada diretriz).

Figura 2: Superf´ıcie z = x2_.

Exemplo: Esboce a superf´ıcie z = x2_.

Note que a equa¸cão não envolve a variável y. Isso significa que todo plano da forma y = k (paralelo ao plano xz) intersepta em uma curva de equa¸cão z = x2_{. Essas curvas são}

parábolas. A figura 2 mostra como o esbo¸co é formado tomando a parábola z = x2 _{no plano}

xz e movendo-a na dire¸cão do eixo y. Esta superf´ıcie é chamada cilindro parabólico. Nesse caso a parábola z = x2_{, no plano xz, é a diretriz e o eixo y é a geratriz.}

O fato ocorrido no exemplo anterior, de uma das variáveis não aparecer na equa¸cão da superf´ıcie, é t´ıpico das superf´ıcies que possuem como geratriz um dos eixos coordenados.

(a) (b)

Figura 3: Superf´ıcies x2_{+ y}2 _{= 1 e y}2_{+ z}2 _{= 1.}

Exemplo: Esboce as superf´ıcies (a) x2_{+ y}2 _{= 1 e (b) y}2_{+ z}2 _{= 1.}

(a) Como z está ausente na equa¸cão, então a interseçcão com planos da forma z = k representa uma circunferência de raio 1, no plano z = k e centrado no ponto (0, 0, k).

(b) Como x está ausente na equa¸cão, então a interseçcão com planos da forma x = k representa uma circunferência de raio 1, no plano x = k e centrado no ponto (k, 0, 0).

(9)

1.3 Qu´

adricas

Defini¸cão 2. Quádrica_{é o lugar geométrico dos pontos (x, y, z) de R}3 que satisfazem uma equa¸cão do segundo grau do tipo

Ax2_{+ By}2_{+ Cz}2 _{+ Dxy + Exz + F yz + Gx + Hy + Iz + J = 0,}

onde A, B, C, . . . , J s˜ao constantes.

Observamos que através de rota¸cões e transla¸cões toda quádrica pode ser colocada em uma das seguintes formas normais

Ax2+ By2+ Cz2+ J = 0 ou Ax2+ By2+ Iz = 0. Exemplo: Esboce a qu´adrica

x2+ y

2

9 + z2

4 = 1. Substituindo z = 0 na equa¸c˜ao, obtemos x2 ₊ y2

9 = 1 que ´e a equa¸c˜ao de uma elipse no

plano z = 0 de vértices (±1, 0, 0) e (0, ±3, 0). De forma geral, calculando a interseçcão com planos paralelos aos planos coordenados obtemos:

x2+ y 2 9 = 1 − k2 4, z = k (se − 2 ≤ k ≤ 2), y2 9 + z2 4 = 1 − k 2 , x = k (se − 1 ≤ k ≤ 1), x2+ z 2 4 = 1 − k2 9, y = k (se − 3 ≤ k ≤ 3).

A figura 4 mostra o esbo¸co da quádrica que é chamada elipsóide pois a interseçcão com os planos coordenados são elipses.

Figura 4: Elips´oide. Exemplo: Esboce a superf´ıcie z = 4x2_{+ y}2_.

Colocando x = 0 obtemos a par´abola z = y2 _{no plano yz. Se colocamos x = k, obtemos}

z = 4x2 _{+ k}2_{. Isso significa que se fatiamos a qu´adrica com planos paralelos ao plano yz}

obtemos ainda parábolas mas com o vértice cada vez mais alto. Se colocamos z = k, com k > 0, obtemos elipses 4x2_+y2 _{= k. Conhecendo essas interseçcões com os planos paralelos aos}

planos coordenados podemos esbo¸car a quádrica conforme a figura 5. Devido as interseçcões darem elipses e parábolas, essa superf´ıcie é chamada parabolóide el´ıptico.

(10)

(11)

Aula 3: 03/03/2010

Exemplo: Esboce a superf´ıcie z = y2_{− x}2_.

Colocando x = k obtemos par´abolas z = y2_{− k}2 _{com concavidade voltada para cima (veja}

figura 6 (a) e (d)). Quando fatiamos por planos y = k obtemos par´abolas z = −x2_{+ k}2 _com

concavidade voltada para baixo (veja figura 6 (b) e (e)). Se colocamos z = k, com k 6= 0, obtemos hip´erboles y2_{− x}2 _{= k. E se z = 0, obtemos retas y = ±x (ver figura 6 (c) e (f)).}

(a) (b) (c)

(d) _(e) _{(f )}

Figura 6: Cortes na qu´adrica z = y2_{− x}2_.

Juntando essas informa¸cões obtemos a quádrica dada na figura 7. Devido as interseçcões darem hipérboles e parábolas, essa superf´ıcie é chamada parabolóide hiperbólico.

Figura 7: Parabol´oide Hiperb´olico. Exemplo: Esboce a superf´ıcie x

2 4 + y 2 − z 2 4 = 1.

A intersec¸c˜ao com planos da forma z = k obtemos a elipse x2

4 + y

2_{= 1 +} k2

4 ,

e as interseçcões com os planos coordenados xz e yz são as hipérboles x2 4 − z2 4 = 1 e y 2₋z2 4 = 1.

(12)

Figura 8: Hiperbol´oide de uma folha.

2 Fun¸c˜

oes reais de duas vari´

aveis reais

2.1 Dom´ınio

Defini¸cão 3. Seja D um conjunto de pares ordenados de números reais. Uma fun¸cão real de duas variáveis reais _{é uma correspondência f : D ⊂ R × R → R que associa a cada} par (x, y) ∈ D um único número real denotado por f(x, y). Nesse caso o conjunto D é o dom´ınio de f . y x D (x, y) f (x, y) R

Figura 9: Fun¸c˜ao real de duas vari´aveis reais.

Observamos que se for apresentado apenas a lei de defini¸cão da fun¸cão então fica suben-tendido que o o dom´ınio é o maior conjunto poss´ıvel de pares de números reais onde aquela lei pode ser aplicada. Veja o exemplo a seguir:

Exemplo: Encontre o dom´ınio da fun¸c˜ao

f (x, y) = xy − 5 2√_{y − x}.

Para que a raiz quadrada do denominador esteja bem definida temos que ter y ≥ x, e como está no denominador, não podemos ter y = x. Portanto o dom´ınio de f é D = {(x, y) ∈ R2 : y > x}. Na Figura 10 está representado o dom´ınio de f.

(13)

y

x y > x

Figura 10: Dom´ınio de f .

2.2 Gr´

afico

Defini¸c˜_{ao 4. Seja D ⊂ R}2 _{e f : D → R. O gr´}_afico _{de f ´e o conjunto}

Graf (f ) = {(x, y, f(x, y)) ∈ R3 : (x, y) ∈ D}.

Exemplo: Considere a fun¸c˜ao f (x, y) =p9 − x2_{− y}2_{. Observe que o dom´ınio ´e o conjunto}

dos pontos onde 9 − x2_{− y}2 _{≥ 0, ou seja, D = {(x, y) ∈ R}2 _{: x}2 _{+ y}2 _{≤ 9}. O conjunto D ´e}

formado pela circunferˆencia de centro (0, 0) e raio 3 e todos os pontos no seu interior. Para calcular o gr´afico, substitu´ımos f (x, y) por z e elevamos ao quadrado obtendo x2_+y2_+z2 _{= 9.}

E como z ≥ 0 então o gráfico é o hemisfério superior da esfera centrada em (0, 0, 0) e raio 3. Veja figura 11.

Figura 11: Gr´afico de f .

2.3 Curvas de n´ıvel

Defini¸c˜_{ao 5. Seja D ⊂ R}2 _{e f : D → R. A curva de n´ıvel k de f ´e o conjunto}

f−1_{(k) = {(x, y) ∈ D : f(x, y) = k}.}

(14)

10m 10m 4m 4m 2m 2m Figura 12: Topografia.

(15)

Aula 4: 05/03/2010

Exemplo: Esboce algumas curvas de n´ıvel do exemplo anterior. f (x, y) = k ⇔p9 − x2_{− y}2 _{= k ⇔ x}2_{+ y}2 _{= 9 − k}2_.

Figura 13: Curvas de n´ıvel de f . Exemplo: Esboce algumas curvas de n´ıvel de g(x, y) = −x2_{+ y}2_.

O gráfico de g é o parabolóide hiperbólico. Seja k > 0, então o g−1_{(k) = {(x, y) ∈ R}2 _:

y2 _{− x}2 _{= k}, ou seja é uma hipérbole de vértices (0, ±}√_{k). Se k = 0, então g}−1_{(0) =}

{(x, y) ∈ R2 _{: y}2 _{− x}2 _{= 0}, ou seja ´e o par de retas y = ±x. Seja k < 0, ent˜ao o}

g−1_{(k) = {(x, y) ∈ R}2 _{: y}2_{− x}2 _{= k}, ou seja é uma hipérbole de vértices (±}√_{−k, 0).}

k = 0 k = −1 k = −2 k = 1

k = 2

Figura 14: Curvas de n´ıvel de g.

3 Fun¸c˜

oes reais de trˆ

es vari´

aveis reais

3.1 Dom´ınio

Defini¸cão 6. Seja D um conjunto de triplas ordenadas de números reais. Uma fun¸cão real de três variáveis reais _{é uma correspondência f : D ⊂ R}3 _{→ R que associa a cada tripla} (x, y, z) ∈ D um único número real denotado por f(x, y, z). Nesse caso o conjunto D é o dom´ınio de f .

Conforme no caso de duas variáveis, se for apresentado apenas a lei de defini¸cão da fun¸cão então fica subentendido que o o dom´ınio é o maior conjunto poss´ıvel de triplas de números reais onde aquela lei pode ser aplicada.

(16)

z y D _{(x, y)} f (x, y) R x

Figura 15: Fun¸cão real de três variáveis reais.

3.2 Superf´ıcies de n´ıvel

Defini¸c˜_{ao 7. Seja D ⊂ R}3 _{e f : D → R. A superf´ıcie de n´ıvel k de f ´e o conjunto}

f−1_{(k) = {(x, y, z) ∈ D : f(x, y, z) = k}.}

Exemplo: Esboce algumas superf´ıcies de n´ıvel de f (x, y, z) = z −px2_{+ y}2_.

Observe que para k = 0 temos z = px2 _{+ y}2_{, que é a equa¸cão do cone com vértice em}

(0, 0, 0). Quando fazemos f (x, y, z) = k temos z − k = px2_{+ y}2_{, que ´e a equa¸c˜ao do cone}

com v´ertice em (0, 0, k). Veja a figura 16.

k = 1 k = 0 k = −1

Figura 16: Superf´ıcies de n´ıvel de f .

Exemplo: Descreva as superf´ıcies de n´ıvel de f (x, y, z) = x2_{− y}2_{+ z}2_.

As superf´ıcies de n´ıvel são dadas pela equa¸cão x2_−y2_+z2 _{= k. Observe que se k é positivo}

então a superf´ıcie é um hiperbolóide de uma folha, se k = 0 então a superf´ıcie é um cone de duas folhas e se k é negativo então a superf´ıcie é um hiperbolóide de duas folhas. Veja a figura 17.

k > 0 k = 0 k < 0

(17)

4 No¸c˜

oes topol´

ogicas no plano e no espa¸co

Defini¸c˜_{ao 8. Definimos a norma de um vetor (x, y) ∈ R}2 _{como sendo o n´}_{umero real}

k(x, y)k =px2_{+ y}2_.

Com o conceito de norma, podemos definir o conceito de bola aberta.

Defini¸c˜ao 9. Sejam (x0, y0) um ponto de R2 e r > 0 um n´umero real. O conjunto

{(x, y) ∈ R2 : k(x, y) − (x0, y0)k < r}

chama-se bola aberta de centro (x0, y0) e raio r.

Exemplo: Esboce a bola aberta de centro (2, 1) e raio 1.

Devemos esbo¸car o conjunto {(x, y) ∈ R2 _{: k(x, y) − (2, 1)k < 1}. Em outras palavras, os}

pontos (x, y) que satisfazemp(x − 2)2_{+ (y − 1)}2 _{< 1, ou ainda, (x − 2)}2

+ (y − 1)2 < 1. Esse conjunto é formado pelos pontos do que estão dentro da circunferência de centro (2, 1) e raio 1.

1

2

Figura 18: Bola Aberta.

Observe que na figura 18 a circunferência está tracejada pois seus pontos não pertence à bola aberta.

Defini¸c˜ao 10 (Ponto Interior). Seja A um subconjunto n˜ao vazio de R2_{. Dizemos que (x} 0, y0)

(18)

Primeira Lista de Exerc´ıcios

1. Encontre a equa¸c˜ao do plano nas seguintes situa¸c˜oes:

(a) Plano que passa pelos pontos (0, 1, 1), (1, 0, 1) e (1, 1, 0).

(b) Plano que passa pelo ponto (−2, 8, 10) e ´e perpendicular `a reta x = 1 + t, y = 2t e z = 4 − 3t.

(c) Plano que contem as retas x = 3 + 2t, y = t, z = 8 − t e x = 3t, y = 1 + t, z = 7 − t. 2. Esboce as superf´ıcies:

(a) y2_{+ 4z}2 _{= 4.}

(b) z = 4 − x2_.

(c) x − y2_{= 0.}

(d) z = cos x.

3. Descreva o dom´ınio de f e ache os valores funcionais indicados (a) f (x, y) = y + 2 x ; f (3, 1), f (1, 3) e f (2, 0). (b) f (u, v) = uv u − 2v; f (2, 3), f (−1, 4) e f(0, 1). (c) f (x, y, z) = 2 + tg(x) + ysen(z); f (π₄, 4,π₆) e f (0, 0, 0). 4. Esboce o gr´afico de f . (a) f (x, y) = 6 − 2x − 3y. (b) f (x, y) =p72 + 4x2_{− 9y}2_. (c) f (x, y) =py2_{− 4x}2_{− 16.}

5. Esboce as curvas de n´ıvel para os dados valores do n´ıvel k. (a) f (x, y) = y2_{− x}2_{, em k = −4, 0, 9.}

(b) f (x, y) = x2_{− y, em k = −2, 0, 3.}

(c) f (x, y) = (x − 2)2_{+ (y + 3)}2_{, em k = 1, 4, 9.}

6. Ache a equa¸c˜ao da superf´ıcie de n´ıvel que cont´em o ponto P . (a) f (x, y, z) = x2_{+ 4y}2_{− z}2_{, em P = (2, −1, 3).}

(b) f (x, y) = z2_{y + x, em P = (1, 4, −2).}

7. Se x é a velocidade do vento (em m/seg) e y é a temperatura (em o_{C), então o fator de}

resfriamento e´olico F (em (kcal/m2_{)/hr) ´e dado por}

F = (33 − y)(10√x − x + 10, 5).

(a) Ache as velocidades e temperaturas para as quais F ´e 0. (Admita que 0 ≤ x ≤ 50 e −50 ≤ y ≤ 50.)

(b) Se F ≥ 1400, pode ocorrer congelamento em partes expostas do corpo humano. Esboce o gr´afico da curva de n´ıvel F = 1400.

(19)

Aula 5: 10/03/2010

Exemplo: Seja A = {(x, y) ∈ R2 _{: x ≥ 0 e y ≥ 0}.}

Figura 19: Pontos interiores.

Qualquer ponto (x, y), com x > 0 e y > 0, é ponto interior de A. Basta escolher o raio da bola menor que o m´ınimo entre x e y. No entanto, os pontos da forma (x, y), com x = 0 ou y = 0, não são pontos interiores. Qualquer bola aberta centrada em um ponto da forma (x, 0) não está contida no conjunto A. Veja a figura 19.

Defini¸c˜_{ao 11 (Conjunto Aberto). Dizemos que um subconjunto A ⊂ R}2 _{´e aberto se todo}

ponto de A ´e ponto interior de A. Exemplos:

• O conjunto A = {(x, y) ∈ R2 _{: x ≥ 0 e y ≥ 0} n˜ao ´e aberto, pois como vimos no}

exemplo anterior ele possui pontos da forma (x, 0) e (0, y) que não são pontos interiores. • O conjunto A = {(x, y) ∈ R2 _{: x > 0 e y > 0} é aberto, pois todos os seus pontos são}

pontos interiores.

• O conjunto B = {(x, y) ∈ R2 _{: x}2₊y2

2 < 1} ´e aberto. Veja a figura 20.

Figura 20: Interior da elipse.

Defini¸c˜ao 12 (Ponto de Acumula¸c˜ao). Seja A um subconjunto de R2 _{e seja (a, b) um ponto}

de R2_{. Dizemos que (a, b) ´e um ponto de acumula¸}_c˜_ao _{de A se toda bola aberta de centro}

(20)

Em outras palavras, (a, b) é ponto de acumula¸cão de A se existem pontos de A, distintos de (a, b), tão próximos de (a, b) quanto se queira.

Exemplo: Seja A = {(x, y) ∈ R2 _{: x}2_{+ y}2 _{< 1}.}

• (0, 0) é ponto de acumula¸cão de A. • (1, 0) é ponto de acumula¸cão de A. • (2, 0) não é ponto de acumula¸cão de A.

Figura 21: Interior do c´ırculo.

Observamos que podem ocorrer casos em que um ponto (a, b) pertence ao conjunto A, mas não é ponto de acumula¸cão de A. Nesse caso, esses pontos são chamados de pontos isolados de A. Por exemplo, em um conjunto com um número finito de pontos todos os pontos são isolados. Para cada ponto (a, b), basta escolher uma bola aberta que tenha como raio um número menor que a distância m´ınima de (a, b) aos outros pontos do conjunto.

Observa¸cão: Observamos que as no¸cões topológicas no espa¸co são exatamente as mesmas do plano. A única diferen¸ca é que a norma de um vetor (x, y, z) de R3 _{é dada por}_px2_{+ y}2_{+ z}2_.

Por exemplo a bola aberta em R3 _{de centro (2, 1, 1) e raio 1 ´e constitu´ıda pelos pontos interiores}

`a esfera de centro (2, 1, 1) e raio 1.

5 Limites e continuidade: defini¸c˜

ao e propriedades

De posse da defini¸cão de ponto de acumula¸cão de um conjunto, podemos definir a no¸cão de limite para fun¸cões reais de duas variáveis reais.

Defini¸c˜_{ao 13 (Limite). Sejam f : A ⊂ R}2 _{→ R uma fun¸c˜ao, (x}

0, y0) um ponto de acumula¸c˜ao

de A e L um n´umero real. Dizemos que o limite de f (x, y), quando (x, y) tende a (x0, y0) ´e

L e escrevemos

lim

(x,y)→(x0,y0)

f (x, y) = L

se para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que todo (x, y) ∈ A com a propriedade 0 < k(x, y) − (x0, y0)k < δ se tenha |f(x, y) − L| < ε.

(21)

y0 x0 A δ L L + ε L − ε

Figura 22: Defini¸c˜ao de limite.

Escrevendo de maneira mais resumida temos lim_(x,y)→(x0,y0)f (x, y) = L se :

∀ε > 0 ∃δ > 0 : (x, y) ∈ A e 0 < k(x, y) − (x0, y0)k < δ ⇒ |f(x, y) − L| < ε.

O limite de f (x, y), quando (x, y) tende a (x0, y0) ´e L significa que se (x, y) est´a no dom´ınio

de f e pertence `a bola de centro (x0, y0) e raio δ e (x, y) 6= (x0, y0), ent˜ao a imagem f (x, y)

pertence ao intervalo (L − ε, L + ε). Veja a figura 22.

Exemplo: Seja f (x, y) = k uma fun¸c˜ao constante. Mostre que lim_(x,y)→(x₀,y0)f (x, y) = k.

De fato, dado ε > 0, basta tomar um δ > 0 qualquer. Da´ı se 0 < k(x, y) − (x0, y0)k < δ

ent˜ao temos |f(x, y) − L| = |k − k| = 0 < ε.

Exemplo: Seja f : R2 _{→ R dada por f(x, y) = x. Mostre que lim}

(x,y)→(x0,y0)f (x, y) = x0.

Inicialmente observe que |x − x0| = p(x − x0)2 ≤ p(x − x0)2+ (y − y0)2 = k(x, y) −

(x0, y0)k.

De posse da observa¸c˜ao anterior, dado ε > 0 qualquer, temos que encontrar δ > 0 que satisfa¸ca a defini¸c˜ao de limite. Muito bem, escolha δ igual ao ε > 0 dado. Nesse caso, temos que para todo (x, y) ∈ R2 _vale:

0 < k(x, y) − (x0, y0)k < δ =⇒ |f(x, y) − x0| = |x − x0| ≤ k(x, y) − (x0, y0)k < δ = ε.

Ou seja, mostramos que

(22)

Aula 6: 12/03/2010

Exemplo: A fun¸c˜ao f (x, y) = −x

2_{+ y}2

x2_{+ y}2 tem limite em (0, 0)?

A resposta dessa pergunta ´e n˜ao, pois quando calculamos f nos pontos da forma (x, 0) temos f (x, 0) = −1 e em pontos da forma (0, y) temos f(0, y) = 1. Para provarmos de maneira rigorosa, suponha que o limite exista e seja L. Se L ≤ 0, temos

|f(0, y) − L| = |1 − L| = 1 − L ≥ 1. Se L > 0, temos

|f(x, 0) − L| = | − 1 − L| = 1 + L > 1.

Portanto, dado ε = 1, n˜ao ´e poss´ıvel encontrar δ > 0 de tal forma que todos os pontos (x, y), com 0 < k(x, y)k < δ, satisfa¸cam |f(x, y) − L| < ε.

Para a próxima defini¸cão necessitaremos do conceito de fun¸cão vetorial cont´ınua, a ser estudada em um cap´ıtulo posterior. Uma aplica¸cão de um intervalo I ⊂ R em R2 _{é uma}

correspondˆencia α : I → R2 _{que a cada t ∈ I associa um α(t) = (α}

1(t), α2(t)) ∈ R2. Dizer

que α é cont´ınua, é o mesmo que dizer que α1 : I → R e α2 : I → R são cont´ınuas.

Defini¸c˜_{ao 14 (Curva ou caminho). Seja I ⊂ R um intervalo. Uma curva ou caminho em} R2 ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua α : I → R2_.

Exemplo: A equa¸cão vetorial da reta α(t) = (x0+ at, y0+ bt) é um exemplo de caminho. É

a reta que passa pelo ponto (x0, y0) e tem a dire¸c˜ao do vetor (a, b). Veja figura 23-(a). Outro

exemplo de caminho é dado por β(t) = (t2_{, t). Observe que esse caminho é a parábola x = y}2_.

Veja figura 23-(b).

(x0, y0)

(a, b)

(a) (b)

Figura 23: Caminhos.

Defini¸c˜ao 15. Dados (x0, y0) ∈ D ⊂ R2, uma fun¸c˜ao f : D → R e um caminho α : I → D

passando por (x0, y0), isto ´e α(t0) = (x0, y0) para algum t0 ∈ I, ent˜ao definimos o limite

pelo caminho α, da fun¸c˜ao f quando (x, y) tende a (x0, y0) por

lim

t→t0

(23)

Exemplo: Considere a fun¸c˜ao f (x, y) = −x

2_{+ y}2

x2_{+ y}2 e (x0, y0) = (0, 0). Considere ainda os

caminhos α1(t) = (t, 0) e α2(t) = (0, t). Ambos caminhos passam pelo (0, 0) quando t = 0.

Temos lim t→0f (α1(t)) = limt→0 −t2 t2 = −1, e lim t→0f (α2(t)) = limt→0 t2 t2 = 1.

Proposi¸c˜ao 1. Se existem pelo menos dois caminhos α1 e α2, passando pelo ponto (x0, y0),

tais que lim_t→t0f (α1(t)) 6= limt→t0f (α2(t)), ent˜ao n˜ao existe lim(x,y)→(x0,y0)f (x, y).

Proposi¸cão 2. Se para algum caminho α o limite lim_t→t0f (α(t)) não existe, então não existe

lim_(x,y)→(x0,y0)f (x, y).

Exemplo: Usando a proposi¸c˜ao anterior temos que lim

(x,y)→(0,0)cos

x

x2_{+ y}2 n˜ao existe. De fato,

se considerarmos o caminho α(t) = (t, 0), ent˜ao o limite de uma vari´avel real lim

t→0cos

1 t n˜ao existe.

Exemplo: Mostre que lim

(x,y)→(0,0)

xy2

x2_{− y}2 n˜ao existe. Para isso, considere os seguintes caminhos

α1(t) = (t + t2, t) e α2(t) = (t − t2, t). Da´ı temos lim t→0f (α1(t)) = limt→0 t4_{+ t}3 t4_{+ 2t}3_{+ t}2_{− t}2 = lim_t→0 1 + t 2 + t = 1 2, e lim t→0f (α2(t)) = limt→0 −t4_{+ t}3 t4_{− 2t}3_{+ t}2_{− t}2 = lim_t→0 1 − t −2 + t = − 1 2. Portanto n˜ao existe o limite.

Teorema 1 (Teorema do Confronto). Sejam f, g, h : D ⊂ R2 _{→ R e (x}

0, y0) um ponto de

acumula¸c˜ao de D. Se f (x, y) ≤ g(x, y) ≤ h(x, y) para todo (x, y) ∈ D, lim

(x,y)→(x0,y0) f (x, y) = L e lim (x,y)→(x0,y0) h(x, y) = L, ent˜ao lim (x,y)→(x0,y0) g(x, y) = L. Proposi¸c˜_{ao 3. Sejam f, g : D ⊂ R}2 _{→ R e (x}

0, y0) um ponto de acumula¸c˜ao de D. Se g ´e

limitada e lim

(x,y)→(x0,y0)

f (x, y) = 0, ent˜ao lim

(x,y)→(x0,y0)

f (x, y)g(x, y) = 0.

Observa¸c˜_{ao: Uma fun¸c˜ao g : D ⊂ R}2 _{→ R ´e limitada se existe M ∈ R tal que |g(x, y)| < M}

para todo (x, y) ∈ D. Exemplo: Calcule lim

(x,y)→(0,0)

x3

x2 _{+ y}2.

Inicialmente observe que x2 _{+ y}2 _{≥ x}2 _{≥ 0, portanto} x2

x2_+y2 ≤ 1. Ent˜ao consideramos

f (x, y) = x e g(x, y) = x2

x2_+y2. Dai f (x, y)g(x, y) = x 3

x2_+y2, g ´e limitada e lim

(x,y)→(0,0)f (x, y) = 0.

(24)

Aula 7: 17/03/2010

Proposi¸c˜ao 4 (Propriedades operat´orias). Se lim

(x,y)→(x0,y0) f (x, y) = L1 e lim (x,y)→(x0,y0) g(x, y) = L2 ent˜ao • lim (x,y)→(x0,y0) [f (x, y) + g(x, y)] = L1+ L2; • lim (x,y)→(x0,y0) [kf (x, y)] = kL1; • lim (x,y)→(x0,y0) [f (x, y)g(x, y)] = L1L2; • lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) g(x, y) = L1 L2 se L2 6= 0.

Defini¸c˜_{ao 16 (Continuidade). Sejam U ⊂ R}2_{, f : U → R e (x}

0, y0) ∈ U. Dizemos que f ´e

cont´ınua em (x0, y0) se para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que para todo (x, y) ∈ U, com

k(x, y) − (x0, y0)k < δ, implica |f(x, y) − f(x0, y0)| < ε.

De maneira mais abreviada f ´e cont´ınua em (x0, y0) ∈ U se:

∀ε > 0 ∃δ > 0 : (x, y) ∈ U e k(x, y) − (x0, y0)k < δ ⇒ |f(x, y) − f(x0, y0)| < ε.

Observa¸c˜oes:

1. Se (x0, y0) é um ponto isolado de U, então f é cont´ınua. Observe que independe da f

pois se o ponto ´e isolado ent˜ao existe uma bola aberta de centro (x0, y0) e raio δ tal que

o ´unico ponto de U na bola ´e (x, y) = (x0, y0). E nesse caso, |f(x, y) − f(x0, y0)| = 0.

2. Se (x0, y0) é um ponto de acumula¸cão de U então f é cont´ınua em (x0, y0) se:

• (x0, y0) ∈ U. • Existe lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y). • lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) = f (x0, y0). Exemplos:

1. A fun¸c˜ao constante f : R2 _{→ R dada por f(x, y) = k ´e cont´ınua em todo ponto}

(x0, y0) ∈ R2 pois lim (x,y)→(x0,y0)

f (x, y) = k = f (x0, y0).

2. A fun¸c˜ao f : R2 _{→ R dada por f(x, y) = x ´e cont´ınua em todo ponto (x}

0, y0) ∈ R2 pois

lim

(x,y)→(x0,y0)

(25)

3. A fun¸cão f : R2 _{→ R dada por} f (x, y) =        x2_{− y}2 x2_{+ y}2 se (x, y) 6= (0, 0), 0 se (x, y) = (0, 0), não é cont´ınua em (0, 0) pois não existe lim

(x,y)→(0,0)f (x, y).

De fato, tomando-se os caminhos α1(t) = (t, t) e α2(t) = (0, t) temos

lim t→0f (α1(t)) = limt→0 0 2t2 = 0 e lim_t→0f (α2(t)) = lim_t→0 −t2 2t2 = − 1 2. 4. Verifique que a fun¸c˜ao do exemplo anterior ´e cont´ınua no ponto (1, 0).

De fato, j´a provamos que o limite da fun¸c˜ao h(x, y) = x quando (x, y) tende a (x0, y0)

´e x0. Portanto lim(x,y)→(1,0)h(x, y) = 1. Utilizando o item (3) da Proposi¸c˜ao 4 temos

lim_{(x,y)→(1,0)}h(x, y).h(x, y) = 1.1 = 1, ou seja, lim

(x,y)→(1,0)x 2 _{= 1.}

De maneira análoga, usando o fato que o limite da fun¸cão g(x, y) = y quando (x, y) tende a (x0, y0) é y0 e o item (3) da Proposi¸cão 4, prova-se que

lim

(x,y)→(1,0)y

2 _{= 0.0 = 0.}

Agora, utilizamos o item (2) da Proposi¸c˜ao 4 para garantir que lim

(x,y)→(1,0)(−1)y 2

= (−1).0 = 0.

O item (1) da Proposi¸c˜ao 4 garante que lim_{(x,y)→(1,0)}x2_{+ (−1)y}2 _{= 1 + 0 = 1. Com a}

mesma id´eia provamos que lim_{(x,y)→(1,0)}x2_{+ y}2 _{= 1 + 0 = 1. Finalmente usamos o ´ıtem}

(4) da Proposi¸c˜ao 4 para concluir que lim (x,y)→(1,0) x2_{− y}2 x2_{+ y}2 = 1 1 = 1.

Pelo fato de (1, 0) ser um ponto de acumula¸c˜ao de R2_{e f (1, 0) = 1 = lim}

(x,y)→(1,0)f (x, y),

conclu´ımos que f ´e cont´ınua no ponto (1, 0).

Teorema 2. Sejam f : A ⊂ R2 _{→ R e g : B ⊂ R → R duas fun¸c˜oes tais que f(A) ⊂ B. Se}

f é cont´ınua em (x0, y0) ∈ A e g é cont´ınua em f(x0, y0), então a composta h : A → R, dada

por h(x, y) = g(f (x, y)) ´e cont´ınua em (x0, y0).

Demonstra¸cão: Dado ε > 0, inicialmente usamos a hipótese que g é cont´ınua em f (x0, y0)

para assegurar que existe δ1 > 0 tal que

(26)

A

f _g

g ◦ f

f (x0, y0) ∈ B g(f (x0, y0))

(x0, y0)

Figura 24: Composi¸c˜ao de fun¸c˜oes cont´ınuas.

Posteriormente usamos esse δ1 > 0 encontrado, desempenhando o papel do ε na hip´otese de

que f ´e cont´ınua em (x0, y0), para assegurar a existˆencia de δ > 0 que satisfaz

(x, y) ∈ A e k(x, y) − (x0, y0)k < δ =⇒ |f(x, y) − f(x0, y0)| < δ1. (2)

De (1) e (2) segue que

(x, y) ∈ A e k(x, y) − (x0, y0)k < δ =⇒ |g(f(x, y)) − g(f(x0, y0))| < ε.

Portanto g ◦ f ´e cont´ınua em (x0, y0).

Proposi¸c˜_{ao 5. Sejam f, g : X ⊂ R}2 _{→ R fun¸c˜oes cont´ınuas em (x}

0, y0) ∈ X e k uma

constante real. Ent˜ao

1. A fun¸c˜ao f + g ´e cont´ınua em (x0, y0).

2. A fun¸c˜ao kf ´e cont´ınua em (x0, y0).

3. A fun¸c˜ao f.g ´e cont´ınua em (x0, y0).

4. A fun¸c˜ao f

g ´e cont´ınua em (x0, y0), desde que g(x0, y0) 6= 0.

Exemplo: Já vimos que f (x, y) = x é cont´ınua e do curso de cálculo I sabemos que g(u) = u2

´e cont´ınua. Portanto, usando o Teorema 2 temos que h(x, y) = g ◦f(x, y) = x2_{´e cont´ınua. Da}

mesma forma conclu´ımos que L(x, y) = y2 _{´e cont´ınua. Usando agora o item 1) da proposi¸c˜ao}

anterior temos que a fun¸c˜ao (h + L)(x, y) = x2 _{+ y}2 _{´e cont´ınua. Da mesma forma que}

provamos que h ´e cont´ınua, temos que M(x, y) = x3 _{´e cont´ınua. Finalmente, usando o item}

4) da proposi¸c˜ao anterior, temos M h + L (x, y) = x 3

x2_{+ y}2 ´e cont´ınua em (x0, y0) desde que

(h + L)(x0, y0) 6= 0, ou seja, desde que (x0, y0) 6= (0, 0). Portanto, a fun¸c˜ao

F (x, y) =    x3 x2_{+ y}2, se (x, y) 6= (0, 0) 0, se (x, y) = (0, 0)

é cont´ınua em todo ponto (x0, y0) 6= (0, 0). A pergunta é: E no ponto (0, 0)? F é cont´ınua?

Como f (0, 0) = 0 e (0, 0) ´e ponto de acumula¸c˜ao do dom´ınio de F , devemos verificar se lim_{(x,y)→(0,0)}F (x, y) = 0. Observamos que x3

x2_+y2 = x. x 2

x2_+y2, onde x 2

x2_+y2 ´e limitada e x tende a

(27)

Segunda Lista de Exerc´ıcios

1. Verifique quais dos conjuntos abaixo s˜ao abertos do R2_.

(a) {(x, y) ∈ R2_{|x = 1 e 1 < y < 3}.}

(b) {(x, y) ∈ R2_{|x + y > 3 e x}2_{+ y}2 _{< 16}.}

(c) {(x, y) ∈ R2_{|xy > 0}.}

2. Determine o conjunto dos pontos de acumula¸c˜ao do conjunto dado. (a) {(x, y) ∈ R2_|x2_{+ y}2 _{< 1}.}

(b) {(x, y) ∈ R2_{|x e y inteiros}.}

(c) {(x, y) ∈ R2_{|x + y ≥ 1}.}

3. Calcule, caso exista.

(a) lim (x,y)→(0,0)x · sen 1 x2_{+ y}2, (b) _{(x,y)→(0,0)}lim x px2_{+ y}2, (c) lim (x,y)→(0,0) x2 px2_{+ y}2, (d) _{(x,y)→(0,0)}lim x + y x − y, (e) lim (x,y)→(0,0) xy2 x2_{− y}2, (f ) _{(x,y)→(0,0)}lim xy y − x3 4. Seja f (x, y) = 2xy 2 x2_{+ y}4.

(a) Considere a reta γ(t) = (at, bt), com a2_{+ b}2 _{> 0; mostre que quaisquer que sejam}

a e b, lim t→0f (γ(t)) = 0. (b) Calcule lim t→0f (δ(t)) = 0, onde δ(t) = (t 2_{, t).}

(c) O limite abaixo existe? Por quˆe? lim (x,y)→(0,0) 2xy2 x2_{+ y}4 5. Calcule lim (x,y)→(0,0) f (x + h, y + k) − f(x, y) − 2xh − k ||(h, k)|| , onde f (x, y) = x2_{+ y.}

6. Determine o conjunto dos pontos de descontinuidade. Justifique a resposta. (a) f (x, y) = 3x2_y2_{− 5xy + 6.} (b) f (x, y) = ln_xx−y2_+y2. (c) f (x, y) = _x−3y x2_+y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) .

(28)

Aula 8: 24/03/2010

6 Derivadas parciais

6.1 Defini¸c˜

ao e interpreta¸c˜

ao geom´

etrica

Antes de estudarmos derivadas de fun¸cões reais de mais de uma variável real vamos recordar a defini¸cão de derivabilidade de fun¸cões reais de uma única variável real. Seja I um intervalo aberto de R e x0 ∈ I. Dizemos que uma fun¸cão f : I → R é derivável em x0 se existe o

limite lim x→x0 f (x) − f(x0) x − x0 . Esse limite ´e denotado por f0_(x

0) e ´e chamado de derivada de f em x0.

Geometricamente esse limite é interpretado como o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f (x0)), isto é, se a reta tangente faz ângulo θ com o eixo x, então

f0_(x

0) = tan θ. Veja a figura 25.

f (x0)

θ

x0

Figura 25: Interpreta¸cão geométrica da derivada de fun¸cões de uma variável real. Considere agora U ⊂ R2 um subconjunto aberto de R2, (x0, y0) ∈ U e f : U → R

uma fun¸cão real de duas variáveis. Se fixamos y0 então temos uma fun¸cão de uma variável

g : A → R definida por g(x) = f(x, y0), onde A = {x ∈ R : (x, y0) ∈ U}. Por exemplo, se

f (x, y) = 7x2_{+ 3y}3_{+ 5xy e fixamos y = 2 temos g(x) = f (x, 2) = 7x}2_{+ 10x + 24.}

Da mesma forma, fixado x0, temos uma fun¸c˜ao de uma vari´avel h : B → R definida por

h(y) = f (x0, y), onde B = {y ∈ R : (x0, y) ∈ U}.

A derivada da fun¸c˜ao g(x) = f (x, y0) no ponto x = x0, quando existe, chama-se derivada

parcial de f , em rela¸c˜ao a x, no ponto (x0, y0), e denotamos por

∂f

∂x(x0, y0). Analogamente, a derivada da fun¸c˜ao h(y) = f (x0, y) no ponto y = y0, quando existe, chama-se derivada

parcial de f , em rela¸c˜ao a y, no ponto (x0, y0), e denotamos por

∂f

∂y(x0, y0). De maneira mais resumida temos:

Defini¸c˜_{ao 17. Sejam f : U ⊂ R}2 _{→ R uma fun¸c˜ao definida no aberto U e x}

0, y0) ∈ U.

Definimos a derivada parcial de f, em rela¸c˜ao a x, no ponto (x0, y0) (quando existe) e

a derivada parcial de f, em rela¸c˜ao a y, no ponto (x0, y0) (quando existe) por

∂f

∂x(x0, y0) = limx→x0

f (x, y0) − f(x0, y0)

x − x0

e ∂f

∂y(x0, y0) = limy→y0

f (x0, y) − f(x0, y0)

y − y0

(29)

Se os limites da defini¸cão anterior existem para todo (x, y) ∈ U então podemos definir as fun¸cões ∂f ∂x : U → R e ∂f ∂y : U → R. A fun¸cão ∂f

∂x é chamada derivada parcial de primeira ordem de f em rela¸cão a x e a fun¸cão ∂f

∂y ´e chamada derivada parcial de primeira ordem de f em rela¸c˜ao a y.

Exemplo: Seja f : R2 _{→ R dada por f(x, y) = x}2 _{+ 5y}3_{+ 3xy. Calcule} ∂f

∂x(1, 2), ∂f ∂y(1, 2), ∂f ∂x(x, y) e ∂f ∂y(x, y).

Considere g(x) = f (x, 2) = x2_{+6x+40 e h(y) = f (1, y) = 5y}3_{+3y +1. Logo g}0_{(x) = 2x+6}

e h0_{(y) = 15y}2_{+ 3. Portanto}

∂f

∂x(1, 2) = g

0_{(1) = 8 e} ∂f

∂y(1, 2) = h

0_{(2) = 63.}

As fun¸c˜oes ∂f_∂x e ∂f_∂y s˜ao dadas por ∂f

∂x(x, y) = 2x + 3y e ∂f

∂y(x, y) = 15y

2_{+ 3x.}

Exemplo: Considere agora f (x, y) = 2xy − 4y. Logo temos ∂f

∂x(x, y) = 2y e ∂f

∂y(x, y) = 2x − 4. Exemplo: Considere agora f (x, y) = exy_{. Logo temos}

∂f

∂x(x, y) = ye

xy _e ∂f

∂y(x, y) = xe

xy_.

Exemplo: Calcule a fun¸cão ∂f_∂x, onde a fun¸cão f : R2 _{→ R é dada por}

f (x, y) =        x3_{− y}2 x2 _{+ y}2, se (x, y) 6= (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0).

Para os pontos (x, y) 6= (0, 0), usamos a regra de deriva¸cão de fun¸cões de uma variável dada por f g 0 = f 0_{g − fg}0 g2 e calculamos ∂f ∂x(x, y) = [3x2_][x2_{+ y}2_{] − [x}3 _{− y}2_][2x] [x2_{+ y}2_]2 = x4 _{+ 3x}2_y2_{+ 2xy}2 [x2_{+ y}2_]2 .

Para o ponto (x, y) = (0, 0) temos que calcular usando a defini¸c˜ao de derivada parcial. ∂f ∂x(0, 0) = limx→0 f (x, 0) − f(0, 0) x − 0 = limx→0 x3₋₀2 x2₊₀2 − 0 x − 0 = limx→0 x x = 1.

(30)

Portanto temos que ∂f ∂x(x, y) =        x4_{+ 3x}2_y2_{+ 2xy}2 [x2_{+ y}2_]2 , se (x, y) 6= (0, 0), 1, se (x, y) = (0, 0).

Agora veremos a interpreta¸cão geométrica da derivada parcial. Observe que se f : U ⊂ R2 → R é uma fun¸cão de duas variáveis e (x0, y0) ∈ U, então o gráfico da fun¸cão g(x) =

f (x, y0) é a interseçcão do gráfico de f com o plano y = y0. Portanto ∂f_∂x(x0, y0) = g0(x0) é o

coeficiente angular da reta tangente ao gr´afico de f contida no plano y = y0 e que passa pelo

ponto (x0, y0, f (x0, y0)). Veja a figura 26.

f (x0, y0)

θ

y0

x0

Figura 26: Interpreta¸c˜ao geom´etrica da derivada parcial.

Analogamente temos que ∂f_∂y(x0, y0) ´e o coeficiente angular da reta tangente ao gr´afico de

(31)

Aula 9: 26/03/2010

No Cálculo I vale o seguinte resultado “Se f : A ⊂ R → R é derivável em x0 ∈ A, então f

é cont´ınua em x0”. Veremos no próximo exemplo que uma fun¸cão f : A ⊂ R2 → R pode ter

as derivadas parciais em um ponto (x0, y0) ∈ A e mesmo assim n˜ao ser cont´ınua nesse ponto.

Exemplo: Mostre que a fun¸c˜ao

f (x, y) =      xy x2 _{+ y}2, se (x, y) 6= (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0). tem derivadas parciais em (0, 0), mas n˜ao ´e cont´ınua em (0, 0).

Inicialmente vamos calcular ∂f

∂x(0, 0) usando a defini¸c˜ao ∂f ∂x(0, 0) = limx→0 f (x, 0) − f(0, 0) x − 0 = limx→0 0 − 0 x − 0 = 0. Analogamente temos ∂f

∂y(0, 0) = limy→0

f (0, y) − f(0, 0)

y − 0 = limy→0

0 − 0 y − 0 = 0.

Para mostrar que f n˜ao ´e cont´ınua em (0, 0), vamos mostrar que o limite lim

(x,y)→(0,0)f (x, y)

n˜ao existe. Para isso consideramos os caminhos α1(t) = (t, t) e α2(t) = (t, 0). Logo

lim t→0f (α1(t)) = limt→0 t2 2t2 = 1 2 e limt→0f (α2(t)) = limt→0 t.0 t2_{+ 0}2 = 0.

Derivadas parciais de fun¸cões de três ou mais variáveis

Da mesma forma que definimos as derivadas parciais para fun¸cões de duas variáveis pode-mos definir para fun¸cões de três variáveis da seguinte forma:

Defini¸c˜_{ao 18. Sejam U ⊂ R}3 _{um aberto, f : U → R uma fun¸c˜ao e (x}

0, y0, z0) ∈ U.

Defini-mos as derivadas parciais com respeito a x, y e z no ponto (x0, y0, z0) respectivamente pelos

seguintes limites (quando eles existem): ∂f ∂x(x0, y0, z0) = limx→x0 f (x, y0, z0) − f(x0, y0, z0) x − x0 , ∂f

∂y(x0, y0, z0) = limy→y0

f (x0, y, z0) − f(x0, y0, z0) y − y0 e ∂f ∂z(x0, y0, z0) = limz→z0 f (x0, y0, z) − f(x0, y0, z0) z − z0 ;

Exemplo: Calcule as derivadas parciais da fun¸c˜ao f (x, y, z, w) = exyz_{+ w}2_{z. Temos}

∂f ∂x(x, y, z, w) = e xyz_yz, ∂f ∂y(x, y, z, w) = e xyz_xz, ∂f ∂z(x, y, z, w) = e xyz_{xy + w}2 _e ∂f ∂w(x, y, z, w) = 2wz.

(32)

6.2 Diferenciabilidade

No curso de Cálculo I, dizemos que uma fun¸cão f : A ⊂ R → R é diferenciável em x0 ∈ A se

existe o limite lim x→x0 f (x) − f(x0) x − x0 = lim h→0 f (x0+ h) − f(x0) h . E como lim h→0 f (x0+ h) − f(x0) h = a ⇐⇒ limh→0 f (x0+ h) − f(x0) − ah h = 0,

podemos afirmar que f : A ⊂ R → R ´e diferenci´avel em x0 ∈ A se existe a ∈ R tal que

lim

h→0

f (x0+ h) − f(x0) − ah

|h| = 0.

Inspirado na observa¸cão anterior temos a seguinte defini¸cão de diferenciabilidade para fun¸cões de duas variáveis.

Defini¸c˜_{ao 19. Sejam A ⊂ R}2 _{um aberto, f : A → R uma fun¸c˜ao e (x}

0, y0) ∈ A. Dizemos

que f ´e diferenci´avel em (x0, y0) se existem a, b ∈ R tais que

lim

(h,k)→(0,0)

f (x0+ h, y0+ k) − f(x0, y0) − ah − bk

k(h, k)k = 0. Exemplo: Prove que a fun¸cão f (x, y) = x2_{y é diferenciável em todo ponto (x}

0, y0) ∈ R2. Considere a = 2x0y0 e b = x20. Temos lim (h,k)→(0,0) f (x0+ h, y0+ k) − f(x0, y0) − ah − bk k(h, k)k = lim (h,k)→(0,0) (x0+ h)2(y0+ k) − x20y0− 2x0y0h − x20k √ h2_{+ k}2 = lim (h,k)→(0,0) 2x0hk + h2y0+ h2k √ h2_{+ k}2 = lim (h,k)→(0,0) 2x0k h √ h2_{+ k}2 + hy0 h √ h2_{+ k}2 + hk h √ h2_{+ k}2 = 0.

Na ´ultima linha acima usamos o fato que a fun¸c˜ao √ h

h2_{+ k}2 ´e limitada e as fun¸c˜oes 2x0k,

hy0 e hk tendem a zero quando (h, k) → (0, 0).

Teorema 3. Sejam A ⊂ R2 _{um aberto, f : A → R uma fun¸c˜ao e (x}

0, y0) ∈ A. Se f ´e

diferenciável em (x0, y0) então f é cont´ınua em (x0, y0).

Demonstra¸cão: Como (x0, y0) ∈ A é um ponto de acumula¸cão de A, basta mostrar que

existe o limite lim_(x,y)→(x0,y0)f (x, y) e que ´e igual a f (x0, y0).

Por hipótese f é diferenciável em (x0, y0), logo existem a, b ∈ R tais que

f (x0+ h, y0+ k) = f (x0, y0) + ah + bk + E(h, k) com

lim

(h,k)→(0,0)

E(h, k) k(h, k)k = 0

(33)

Observe que lim

(h,k)→(0,0)k(h, k)k = 0 e(h,k)→(0,0)lim

E(h, k)

k(h, k)k = 0 implica que(h,k)→(0,0)lim E(h, k) =

0.

Observamos ainda que lim

(h,k)→(0,0)[ah+bk] = 0. Portanto, passando o limite quando (h, k) →

(0, 0) na express˜ao f (x0+ h, y0+ k) = f (x0, y0) + ah + bk + E(h, k), obtemos

lim (h,k)→(0,0)f (x0+ h, y0+ k) = f (x0, y0). Portanto lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) = f (x0, y0), concluindo a demonstra¸c˜ao.

(34)

Aula 10: 31/03/2010

0, y0) ∈ A. Se f ´e

diferenci´avel em (x0, y0) ent˜ao f tem derivadas parciais em (x0, y0).

Demonstra¸cão: Por hipótese f é diferenciável em (x0, y0), logo existem a, b ∈ R tais que

lim

(h,k)→(0,0)

f (x0+ h, y0+ k) − f(x0, y0) − ah − bk

k(h, k)k = 0. Fazendo k = 0 na express˜ao do limite anterior temos

lim h→0 f (x0+ h, y0) − f(x0, y0) − ah k(h, 0)k = 0 ⇐⇒ limh→0 f (x0+ h, y0) − f(x0, y0) h = a, ou seja, ∂f ∂x(x0, y0) = a.

Analogamente, fazendo h = 0 temos lim k→0 f (x0, y0+ k) − f(x0, y0) − bk k(h, 0)k = 0 ⇐⇒ limk→0 f (x0, y0+ bk) − f(x0, y0) h = b, ou seja, ∂f ∂y(x0, y0) = b.

Observa¸cão 1. Da demonstra¸cão do teorema anterior conclu´ımos que os números reais a e b da defini¸cão de diferenciabilidade são exatamente as derivadas parciais com respeito a x e a y respectivamente.

Corol´_{ario 1. Sejam A ⊂ R}2 _{um aberto, f : A → R uma fun¸c˜ao e (x}

0, y0) ∈ A. A fun¸c˜ao f

´e diferenci´avel em (x0, y0) se, e somente se,

1. f admite derivadas parciais em (x0, y0), e

2. lim (h,k)→(0,0) E(h, k) k(h, k)k = 0, onde E(h, k) = f (x0+ h, y0+ k) − f(x0, y0) − ∂f ∂x(x0, y0).h + ∂f ∂y(x0, y0).k. Observa¸c˜oes:

1. Se uma das derivadas parciais não existir, então f não será diferenciável nesse ponto. 2. Se ambas derivadas parciais existirem em (x0, y0), mas o limite do corolário anterior não

existir ou não for zero, então f não será diferenciável em (x0, y0).

(35)

Exemplos:

1. A fun¸cão f : R2 _{→ R dada por f(x, y) =} _px2_{+ y}2 _{é cont´ınua em (0, 0), mas não é}

diferenci´avel nesse ponto.

De fato, as fun¸cões h(x, y) = x2 _{e m(x, y) = y}2 _{são cont´ınuas logo a fun¸cão n(x, y) =}

(h + m)(x, y) = x2 _{+ y}2 _{é cont´ınua. Sabemos do curso de Cálculo I que a fun¸cão}

r(u) =√u é cont´ınua. E como a composi¸cão de fun¸cões cont´ınua é uma fun¸cão cont´ınua, conclu´ımos que f (x, y) = px2 _{+ y}2 _{= r(n(x, y)) é cont´ınua em qualquer ponto (x, y).}

Em particular ela ´e cont´ınua em (0, 0).

Para provar que f não é diferenciável em (0, 0) veremos que f não possui as derivadas parciais em (0, 0). Observe que

∂f ∂x(0, 0) = limx→0 f (x, 0) − f(0, 0) x − 0 = limx→0 √ x2 x . Esse limite n˜ao existe pois para x > 0 temos

√ x2 x = 1 e para x < 0 temos √ x2 x = −1. Isto ´e, os limites laterais s˜ao distintos. O mesmo ocorre para ∂f

∂y(0, 0). 2. A fun¸cão f (x, y) =        2xy2 x2 _{+ y}4, se (x, y) 6= (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0), é diferenciável em (0, 0)? Justifique.

A fun¸cão f não é diferenciável em (0, 0), pois f não é cont´ınua em (0, 0). Para ver que f não é cont´ınua em (0, 0) basta considerar os caminhos α1(t) = (t, 0) e α2(t) = (t2, t).

Da´ı lim t→0f (α1(t)) = limt→0 2t02 t2_{+ 0}4 = 0 e lim t→0f (α2(t)) = limt→0 2t2_t2 t4_{+ t}4 = 1. 3. A fun¸cão f (x, y) =        x3 x2 _{+ y}2, se (x, y) 6= (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0), é diferenciável em (0, 0)? Justifique.

Inicialmente observe que f ´e cont´ınua pois lim (x,y)→(0,0)x = 0 e x2 x2_{+ y}2 ´e limitada Portanto lim (x,y)→(0,0) x3 x2 _{+ y}2 = 0 = f (0, 0).

(36)

Agora vamos verificar se existem as derivadas parciais ∂f ∂x(0, 0) e ∂f ∂y(0, 0). ∂f ∂x(0, 0) = limx→0 f (x, 0) − f(0, 0) x − 0 = limx→0 x3 x2₊₀2 − 0 x − 0 = limx→0 x3 x3 = 1 ∂f

∂y(0, 0) = limy→0

f (0, y) − f(0, 0) y − 0 = limx→0 0 − 0 y − 0 = 0 Resta verificar se lim (h,k)→(0,0) E(h, k) k(h, k)k = 0, onde E(h, k) = f (0 + h, 0 + k) − f(0, 0) − 1.h − 0.k = h 3 h2 _{+ k}2 − h. Chame G(h, k) = E(h, k) k(h, k)k = h3 h2_+k2 − h √ h2_{+ k}2 = −hk2 (h2_{+ k}2₎√_h2_{+ k}2.

Tome o caminho α(t) = (t, t). Da´ı lim t→0G(α(t)) = limt→0 −t3 (t2_{+ t}2₎√_2t2 = lim_t→0 −t 2√_2|t|, o qual n˜ao existe pois

lim t→0+ −t 2√_2|t| = − 1 2√2 e limt→0− −t 2√_2|t| = 1 2√2. Portanto o limite lim (h,k)→(0,0) f (0 + h, 0 + k) − f(0, 0) − 1.h − 0.k k(h, k)k

(37)

Terceira Lista de Exerc´ıcios

1. Determine as derivadas parciais. (a) f (x, y) = 5x4_y2_{+ xy}3_{+ 4.} (b) f (x, y) = x_x32+y_+y22. (c) f (x, y) = e−x2_−y2 . (d) f (x, y) = xyexy_. (e) f (x, y) = arctgx_y. (f) f (x, y) = (x2_{+ y}2_)ln(x2_{+ y}2_). (g) f (x, y) = _cosxsen_(x2_+yy2₎.

2. Considere a fun¸c˜ao z = _x2xy_+y22. Verifique que x

∂z ∂x+ y

∂z ∂y = z. 3. Considere a fun¸c˜ao z = xsenx_y. Verifique que x∂z

∂x + y ∂z ∂y = z.

4. Seja φ : R → R uma fun¸cão de uma variável real, diferenciável e tal que φ0_{(1) = 4. Seja}

g(x, y) = φ(x_y). Calcule (a) ∂g_∂x(1, 1).

(b) ∂g_∂y(1, 1).

5. Determine ∂f_∂x e ∂f_∂y sendo f (x, y) = (

x+y4

x2_+y2 se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0) .

6. Dizemos que (x0, y0) ´e um ponto cr´ıtico de z = f (x, y) se ∂f_∂x(x0, y0) = 0 e ∂f_∂y(x0, y0) = 0.

Determine caso existam, os pontos cr´ıticos da fun¸c˜ao dada: (a) f (x, y) = x2_{+ y}2_.

(b) f (x, y) = 2x + y3_.

(c) f (x, y) = x2_{− 2xy + 3y}2_{+ x − y.}

(d) f (x, y) = x4_{+ 4xy + y}4_.

7. Prove que as fun¸cões dadas são diferenciáveis. (a) f (x, y) = x2_y2_.

(b) f (x, y) = 1 xy. (c) f (x, y) = 1

x + y.

8. A fun¸cão f é diferenciável? Justifique com detalhes. (a) f (x, y) = x

2_{− y}2

(38)

(b) f (x, y) = x 2_y x2_{+ y}2 se (x, y) 6= (0, 0) e f(0, 0) = 0. (c) f (x, y) = x 4 x2_{+ y}2 se (x, y) 6= (0, 0) e f(0, 0) = 0. (d) f (x, y) = x4_{+ y}3_. (e) f (x, y) = ln(1 + x2_{+ y}2_). (f) f (x, y) = cos(x2_{+ y}2_).

9. Determine o conjunto dos pontos em que a fun¸cão dada é diferenciável. Justifique com detalhes. (a) f (x, y) = xy x2_+y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) . (b) f (x, y) = _x3 x2_+y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) . (c) f (x, y) = ( xy3 x2_+y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) .

(39)

Aula 11: 07/04/2010

Agora vamos discutir uma condi¸cão suficiente para diferenciabilidade. Vamos mostrar que se as derivadas parciais existem em todo ponto de uma vizinhan¸ca de (x0, y0) e são fun¸cões

cont´ınuas em (x0, y0), então a fun¸cão é diferenciável em (x0, y0).

Antes de enunciarmos o teorema que dá uma condi¸cão suficiente de diferenciabilidade, vamos recordar um dos mais importantes teoremas do curso de Cálculo I.

Teorema do Valor M´_{edio Se f : [a, b] → R é uma fun¸cão cont´ınua em [a, b] e diferenciável} em (a, b), então existe c ∈ (a, b) tal que

f (b) − f(a) b − a = f

0_(c).

Observe que se chamarmos b = a + h a express˜ao anterior fica f (a + h) − f(a) = f0(c)h.

0, y0) um ponto de

A. Se as derivadas parciais ∂f_∂x e ∂f_∂y existem em A e são cont´ınuas em (x0, y0), então f é

diferenci´avel em (x0, y0).

Demonstra¸c˜ao: Como A ´e aberto e (x0, y0) ∈ A, segue que existe uma bola aberta de

centro em (x0, y0) contida em A. Sejam h e k n´umeros reais pequenos o suficiente para que

(x0 + h, y0+ k) ∈ B. Podemos escrever

f (x0+ h, y0+ k) − f(x0, y0) = f (x0+ h, y0+ k) − f(x0, y0+ k) + f (x0, y0+ k) − f(x0, y0).

Fa¸camos G(x) = f (x, y0+ k). Logo f (x0+ h, y0+ k) − f(x0, y0+ k) = G(x0+ h) − G(x0). E

pelo Teorema do Valor M´edio temos que existe ¯x entre x0 e x0+ h tal que

G(x0+ h) − G(x0) = G0(¯x)h =

∂f

∂x(¯x, y0+ k)h. Da mesma forma existe ¯y entre y0 e y0+ k tal que

f (x0, y0+ k) − f(x0, y0) = ∂f ∂y(x0, ¯y)k. Portanto temos f (x0+ h, y0+ k) − f(x0, y0) = ∂f ∂x(¯x, y0+ k)h + ∂f ∂y(x0, ¯y)k. Subtraindo de ambos os membros ∂f_∂x(x0, y0)h +∂f_∂y(x0, y0)k, ficamos com

f (x0+ h, y0+ k) − f(x0, y0) − ∂f ∂x(x0, y0)h − ∂f ∂y(x0, y0)k = ∂f ∂x(¯x, y0+ k) − ∂f ∂x(x0, y0) h + ∂f ∂y(x0, ¯y) − ∂f ∂y(x0, y0) k.

(40)

Dividindo a express˜ao por k(h, k)k =√h2_{+ k}2 _temos f (x0 + h, y0+ k) − f(x0, y0) −∂f_∂x(x0, y0)h − ∂f_∂y(x0, y0)k k(h, k)k = ∂f ∂x(¯x, y0+ k) − ∂f ∂x(x0, y0) h √ h2 _{+ k}2 + ∂f ∂y(x0, ¯y) − ∂f ∂y(x0, y0) k √ h2_{+ k}2.

Agora fazemos o limite com (h, k) tendendo a (0, 0). Pelo fato das fun¸c˜oes derivadas parciais

∂f ∂xe

∂f

∂y serem cont´ınuas em (x0, y0) segue que as express˜oes entre colchetes na equa¸c˜ao anterior

tendem a zero. Por outro lado, as fun¸c˜oes _√ h h2_+k2 e

k √

h2_+k2 s˜ao limitadas. Conclu´ımos que

lim

(h,k)→(0,0)

f (x0 + h, y0+ k) − f(x0, y0) −∂f_∂x(x0, y0)h − ∂f_∂y(x0, y0)k

k(h, k)k = 0.

Portanto a fun¸cão f é diferenciável no ponto (x0, y0).

Defini¸c˜_{ao 20. Dizemos que uma fun¸c˜ao f : A ⊂ R}2 _{→ R, A aberto, ´e de classe C}1 _{em A se} ∂f

∂x e ∂f

∂y existem e s˜ao cont´ınuas em todos os pontos de A.

Da´ı temos a seguinte consequˆencia do Teorema 5.

Corol´_{ario 2. Seja f : A ⊂ R}2 _{→ R onde A é aberto. Se f é de classe C}1 _{em A então f é}

diferenci´avel em todos os pontos de A.

Exemplo: Mostre que a fun¸cão f (x, y) = sen(x2_{+ y}2_{) é diferenciável em todos os pontos de}

R2.

Basta observar que as derivadas parciais ∂f

∂x(x, y) = cos(x

2_{+ y}2_{).2x e} ∂f

∂y(x, y) = cos(x

2_{+ y}2_).2y

são fun¸cões cont´ınuas. Logo aplicando o teorema anterior temos que f é diferenciável em todo ponto de R2_.

Exemplo: Seja f : R2 _{→ R a fun¸c˜ao dada por}

f (x, y) = (x

2_{+ y}2_)sen 1

x2_+y2, se (x, y) 6= (0, 0),

0, se (x, y) = (0, 0).

Mostre que f é diferenciável em (0, 0), mas as fun¸cões derivadas parciais ∂f_∂x e ∂f_∂y não são cont´ınuas em (0, 0).

Primeiro vejamos que f ´e diferenci´avel em (0, 0). Calculamos as derivadas parciais em (0, 0). ∂f ∂x(0, 0) = limx→0 x2_sen 1 x2 − 0 x − 0 = limx→0x sen 1 x2 = 0.

Nesse limite anterior usamos o fato da fun¸c˜ao g(x) = x tender a zero e a fun¸c˜ao h(x) = sen1 x2

ser limitada. De maneira an´aloga temos ∂f

(41)

Calculando agora lim (h,k)→(0,0) f (0 + h, 0 + k) − f(0, 0) − ∂f∂x(0, 0)h − ∂f ∂y(0, 0)k k(h, k)k = lim (h,k)→(0,0) h2_{+ k}2 √ h2_{+ k}2sen 1 h2_{+ k}2 =_{(h,k)→(0,0)}lim √ h2_{+ k}2_sen 1 h2_{+ k}2 = 0,

pois√h2 _{+ k}2 _{tende a zero e sen} 1

h2_+k2 ´e limitada.

Passamos agora a provar que as derivadas parciais n˜ao s˜ao cont´ınuas em (0, 0). Vimos que

∂f

∂x(0, 0) = 0. Nos pontos (x, y) 6= (0, 0) derivamos usando a regra do produto e obtemos

∂f ∂x(x, y) =        2xsen 1 x2_{+ y}2 − 2x x2_{+ y}2 cos 1 x2_{+ y}2, se (x, y) 6= (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0).

Tomando-se o caminho α(t) = (t, t) vemos que o limite lim

t→0

∂f ∂x(α(t)) não existe. Logo ∂f_∂x não é cont´ınua em (0, 0).

(42)

Aula 12: 09/04/2010

Vimos que se uma fun¸cão f : A ⊂ R2 _{→ R, com A aberto, é diferenciável em (x}

0, y0) ∈ A temos lim (h,k)→(0,0) f (x0+ h, y0+ k) − f(x0, y0) −∂f_∂x(x0, y0)h − ∂f_∂y(x0, y0)k k(h, k)k = 0. Chamando x = x0+ h e y = y0+ k temos lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) − f(x0, y0) − ∂f_∂x(x0, y0)(x − x0) − ∂f_∂y(x0, y0)(y − y0) k(x, y) − (x0, y0)k = 0. Agora vamos chamar

E(x, y) = f (x, y) − f(x0, y0) −∂f_∂x(x0, y0)(x − x0) −∂f_∂y(x0, y0)(y − y0),

T (x, y) = f (x0, y0) + ∂f_∂x(x0, y0)(x − x0) + ∂f_∂y(x0, y0)(y − y0). Portanto temos f (x, y) = T (x, y) + E(x, y) com lim (x,y)→(x0,y0) E(x, y) k(x, y) − (x0, y0)k = 0. Observa¸c˜oes:

1. A fun¸cão T (x, y) é a única fun¸cão afim (isto é, uma fun¸cão que tem como gráfico um plano) que aproxima f (x, y) com um erro E(x, y) que tende a zero “mais rapidamente” que k(x, y) − (x0, y0)k quando (x, y) tende a (x0, y0).

2. Se f não for diferenciável no ponto (x0, y0), mas existirem ∂f_∂x(x0, y0) e ∂f_∂y(x0, y0), então

o plano dado pelo gráfico de T (x, y) existirá, mas não será um plano tangente ao gráfico de f .

Defini¸c˜_{ao 21. Seja f : A ⊂ R}2 _{→ R uma fun¸c˜ao definida no aberto A e diferenci´avel em}

(x0, y0) ∈ A. O plano z − f(x0, y0) = ∂f ∂x(x0, y0)(x − x0) + ∂f ∂y(x0, y0)(y − y0) ´e o plano tangente ao gr´afico de f pelo ponto (x0, y0, f (x0, y0)).

Observe que um vetor normal ao plano tangente ´e o vetor n = ∂f ∂x(x0, y0), ∂f ∂y(x0, y0), −1 .

Usando essa observa¸c˜ao podemos definir a reta normal ao gr´afico de f .

Defini¸c˜_{ao 22. Seja f : A ⊂ R}2 _{→ R uma fun¸c˜ao definida no aberto A e diferenci´avel em}

(x0, y0) ∈ A. A reta (x, y, z) = (x0, y0, f (x0, y0)) + λ ∂f ∂x(x0, y0), ∂f ∂y(x0, y0), −1 , para todo λ ∈ R, ´e a reta normal ao gr´afico de f pelo ponto (x0, y0, f (x0, y0)).

(43)

Exemplo: Seja f (x, y) = 3x3_{y − x}2_{. Determine as equa¸c˜oes do plano tangente e da reta}

normal ao gr´afico de f pelo ponto (1, 1, f (1, 1)).

Calculando f (1, 1) obtemos f (1, 1) = 3.13_{.1 − 1}2 _{= 2. As derivadas parciais s˜ao dadas}

por ∂f_∂x(x, y) = 9x2_{y − 2x e} ∂f

∂y(x, y) = 3x

3_{. Calculando no ponto (1, 1) vem} ∂f

∂x(1, 1) = 7 e ∂f

∂y(1, 1) = 3. Como a equa¸c˜ao do plano tangente ´e z −f(1, 1) = ∂f

∂x(1, 1)(x−1)+ ∂f

∂y(1, 1)(y −1)

obtemos z − 2 = 7(x − 1) + 3(y − 1), ou seja, a equa¸c˜ao do plano tangente ´e 7x + 3y − z = 8

e a reta normal ´e

(x, y, z) = (1, 1, 2) + λ(7, 3, −1), λ ∈ R.

Exemplo: Determine o plano tangente e a reta normal ao gr´afico de f (x, y) = x2_{+ y}2 _em

(0, 1, f (0, 1)).

Temos f (0, 1) = 1, ∂f_∂x(x, y) = 2x e ∂f_∂y(x, y) = 2y. Logo ∂f_∂x(0, 1) = 0 e ∂f_∂y(0, 1) = 2. Portanto a equa¸c˜ao do plano ´e z − 1 = 2(y − 1), ou seja,

2y − z = 1 e a equa¸c˜ao da reta normal ´e

(x, y, z) = (0, 1, 1) + λ(0, 2, −1), λ ∈ R.

Exemplo: Determine o plano que passa pelos pontos (1, 1, 2) e (−1, 1, 1) e que seja tangente ao gr´afico de f (x, y) = xy.

Seja (a, b, f (a, b)) o ponto em que o plano tangencia o gr´afico de f . Esse plano ´e dado por z − ab = b(x − a) + a(y − b).

Como os pontos (1, 1, 2) e (−1, 1, 1) pertencem ao plano, basta substituir esses valores na equa¸c˜ao do plano e determinar os valores de a e b. Temos

b + a − 2 = ab, −b + a − 1 = ab.

Resolvendo esse sistema obtemos a = 3 e b = 1₂. Portanto o plano procurado ´e x + 6y − 2z = 3.

Exemplo: Considere f (x, y) = x

3

x2 _{+ y}2. Mostre que todos os planos tangentes ao gr´afico de

f passam pela origem.

Calculando as derivadas parciais temos ∂f ∂x(x, y) = 3x2_(x2_{+ y}2_{) − x}3_(2x) (x2_{+ y}2₎2 = x4_{+ 3x}2_y2 (x2_{+ y}2₎2

(44)

∂f ∂y(x, y) = −x3_(2y) (x2_{+ y}2₎2 = −2x3_y (x2_{+ y}2₎2.

Os planos tangentes ao gr´afico de f pelo ponto (a, b, f (a, b)) s˜ao dados por z − a 3 a2_{+ b}2 = a4_{+ 3a}2_b2 (a2_{+ b}2₎2(x − a) + −2a3_b (a2_{+ b}2₎2(y − b).

Substituindo x = 0 e y = 0 no lado direito da equa¸c˜ao acima obtemos (a4_{+ 3a}2_b2_{)(−a) + (−2a}3_b)(−b) (a2_{+ b}2₎2 = −a5_{− 3a}3_b2_{+ 2a}3_b2 (a2_{+ b}2₎2 = −a3 a2 _{+ b}2.

Exemplo: Seja f : R2 _{→ R a fun¸c˜ao dada por}

f (x, y) =    xy2 x2 _{+ y}2, se (x, y) 6= (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0). Mostre que o gr´afico de f n˜ao admite plano tangente em (0, 0, 0).

Basta mostrarmos que f não é diferenciável em (0, 0). Calculando as derivadas parciais em (0, 0) temos ∂f_∂x(0, 0) = 0 e ∂f_∂y(0, 0) = 0. Denotando

G(h, k) = f (0 + h, 0 + k) − f(0, 0) − ∂f ∂x(0, 0)h − ∂f ∂y(0, 0)k √ h2_{+ k}2 = hk2 √ h2_{+ k}2

e escolhendo o caminho α(t) = (t, t) temos lim t→0G(α(t)) = limt→0 t3 2t2√_2t2 = lim_t→0 1 2√2 t |t| o qual n˜ao existe.

(45)

Aula 13: 14/04/2010

Sejam A ⊂ R2_{um aberto e f : A → R uma fun¸c˜ao diferenci´avel em (x}

0, y0) ∈ A. Considere

a transforma¸c˜ao linear (fun¸c˜ao linear)

L : R2 → R dada por L(h, k) = ∂f_∂x(x0, y0)h +

∂f

∂y(x0, y0)k.

A fun¸cão L é a única transforma¸cão linear de R2 _{em R que aproxima o acréscimo f (x} 0+

h, y0+ k) − f(x0, y0) com erro E(h, k) que tende a zero “mais r´apido” do que k(h, k)k quando

(h, k) tende a (0, 0), isto ´e,

f (x0+ h, y0+ k) − f(x0, y0) = L(h, k) + E(h, k)

lim

(h,k)→(0,0)

E(h, k) k(h, k)k = 0

Defini¸c˜ao 23. A transforma¸c˜ao linear L : R2 _{→ R dada por}

L(h, k) = ∂f

∂x(x0, y0)h + ∂f

∂y(x0, y0)k ´e chamada diferencial de f no ponto (x0, y0).

Sabemos que o gr´afico de

T (x, y) = f (x0, y0) +

∂f

∂x(x0, y0)(x − x0) + ∂f

∂y(x0, y0)(y − y0) ´e o plano tangente ao gr´afico de f no ponto (x0, y0, f (x0, y0)).

Fazendo x = x0+ h e y = y0+ k temos T (x0 + h, y0+ k) = f (x0, y0) + ∂f ∂x(x0, y0)h + ∂f ∂y(x0, y0)k, isto ´e, T (x0+ h, y0+ k) = f (x0, y0) + L(h, k) = T (x0, y0) + L(h, k).

Portanto L(h, k) ´e a varia¸c˜ao que T sofre quando passa de (x0, y0) para (x0+ h, y0+ k). Por

outro lado, f (x0+ h, y0+ k) − f(x0, y0) ´e a varia¸c˜ao que f sofre quando passa de (x0, y0) para

(x0 + h, y0+ k). Usaremos o s´ımbolo ∆f para denotar a varia¸c˜ao que f sofre quando passa

de (x, y) para (x + dx, y + dy), isto ´e,

∆f = f (x + dx, y + dy) − f(x, y) e denotaremos a diferencial de f por df , isto ´e,

df = ∂f

∂x(x, y)dx + ∂f

∂y(x, y)dy. Como conclus˜ao temos ∆f ´e aproximadamente df e escrevemos

(46)

Exemplo: Seja f : R2 _{→ R dada por f(x, y) = x}2_y.

1. Calcule a diferencial df .

2. Usando a diferencial, calcule um valor aproximado para ∆f , quando passa de x = 1 e y = 2 para x = 1, 02 e y = 2, 01.

3. Qual é o erro cometido na aproxima¸cão. Solu¸cão: Para o ´ıtem 1., a diferencial é dada por

df = ∂f ∂x(x, y)dx + ∂f ∂y(x, y)dy. Portanto df = 2xydx + x2dy. Para o ´ıtem 2., usamos o fato que ∆f ∼= df . Da´ı

∆f ∼= df = 2xydx + x2dy = 2.1.2.(0, 02) + 12.(0, 01) = 0, 08 + 0, 01 = 0, 09. Para o ´ıtem 3., calculamos ∆f e depois comparamos com df .

∆f = f (1.02, 2.01) − f(1, 2) = (1.02)2(2.01) − 2 = 0.091204 Portanto o erro ´e 0.001204.

Exemplo: Calcule um valor aproximado para a varia¸cão ∆A na área de um retângulo quando os lados variam de x = 2 e y = 3 para x = 2.01 e y = 2.97.

Solu¸c˜ao: Considere a fun¸c˜ao A(x, y) = xy. Logo dA = ∂A

∂x(x, y)dx + ∂A

∂y(x, y)dy = ydx + xdy. Logo

∆A ∼= dA = 3(0.01) + 2(_{−0.03) = −0.03}

Por curiosidade ∆A = (2.01)(2.97) − (2)(3) = 5.9697 − 6 = −0.0303, logo o erro cometido ´e de 0.0003.

6.3 Vetor Gradiente

Defini¸c˜_{ao 24. Sejam A ⊂ R}2 _{um aberto e f : A → R uma fun¸c˜ao que possui derivadas}

parciais em (x0, y0) o vetor ∇f(x0, y0) = ∂f ∂x(x0, y0), ∂f ∂y(x0, y0) , chama-se vetor gradiente de f em (x0, y0).

Exemplo: Considere a fun¸c˜ao f : R2 _{→ R dada por f(x, y) = x}3 _{+ y}4_{. Calcule o vetor}

gradiente de f no ponto (1, 1).

Solu¸c˜ao: Inicialmente calculamos as derivadas parciais ∂f

∂x(x, y) = 3x

2 _e ∂f

∂y(x, y) = 4y

3_,

logo, avaliando no ponto (1, 1) temos