10.1 Princípio da Equivalência

(1)

Capítulo X

Relatividade Geral e Gravitação

A Relatividade Restrita define as propriedades geométricas do espaço-tempo nos referenciais inerciais, na ausência de campo gravitacional. A teoria da gravitação relativística foi um grande desafio para Einstein, que primeiro teve de criar a Teoria da Relatividade Geral, generalizando o conceito de espaço-tempo para referenciais não inerciais e usando a equivalência observada entre a massa inercial (da segunda lei de Newton) e a massa gravitacional (da força gravitacional), enunciados em dois postulados básicos:

1. Princípio da Relatividade - as leis da natureza são as mesmas em todos os referenciais, inerciais ou não inerciais.

2. Princípio da Equivalência (versão forte) - os efeitos devidos à aceleração do referencial e os da gravitação são equivalentes.

Do segundo princípio, tanto referenciais acelerados como referenciais em repouso na presença de campo gravitacional são referenciais não inerciais, e a natureza universal da interação gravitacional permite que seja incorporada à estrutura do espaço-tempo, cujo efeito é a curvatura gerada pela massa. As leis da Relatividade Restrita são válidas nos referenciais inerciais locais, em queda livre quando na presença do campo gravitacional, podendo ser transportadas para o referencial (não inercial) do observador.

10.1 Princípio da Equivalência

O primeiro postulado da Relatividade Geral (Principio da Relatividade) generaliza o conceito de igualdade de todos os observadores, independente da sua localização, orientação ou estado de movimento, incluindo a aceleração. O segundo postulado (Princípio da Equivalência na versão forte) fundamenta-se na observação de que todos os objetos, independentemente da sua natureza, respondem ao campo gravitacional da mesma maneira. Significa que todos os objetos em queda livre sofrem a mesma aceleração, independentes das massas ou de quaisquer outras propriedades, o que leva à igualdade entre as massas inercial e gravitacional.

Na física newtoniana a igualdade entre as massas inercial e gravitacional era considerada como um fato acidental. Relacionada com a observação de que as forças fictícias devidas à aceleração do referencial tem a mesma propriedade surgiu a percepção de que a aceleração do referencial ou a presença de um campo gravitacional em um referencial em repouso causavam o mesmo efeito sobre os objetos.

As igualdades entre as massas inercial e gravitacional é o enunciado do princípio da equivalência na sua versão fraca. A equivalência entre os efeitos da aceleração do referencial e a gravitação é o enunciado do princípio da equivalência na sua versão forte, usada na Relativadade Geral. Os dois enunciados são equivalentes na maior parte das situações. A massa inercial é a que aparece inicialmente na segunda lei de Newton,

= ⟺ = , (10.1)

(2)

= , (10.2)

onde é a massa gravitacional. A massa gravitacional também é a fonte do campo gravitacional, por exemplo,

= . (10.3) Explicitando as massas inercial e gravitacional, a segunda lei de Newton fica

= , (10.4)

de modo que a aceleração do corpo de massa inercial sob a influência do campo gravitacional é

=

. (10.5)

Se o campo gravitacional g deve causar o mesmo efeito (aceleração) em todos os objetos, independente de suas massas inercial e gravitacional, significa que a relação / deve ser uma constante. Esta constante pode ser tomada como unidade e, apesar de conceitualmente diferentes, as massas inercial e gravitacional serem medidas numa mesma unidade de massa. O campo gravitacional também não pode ser detectado num referencial em queda livre.

Por exemplo, considere um campo gravitacional uniforme, g, e um objeto sob a ação deste campo mais uma força externa de origem não gravitacional, cuja equação de movimento é

= + . (10.6) Assumindo, por simplicidade, a orientação do campo na direção do eixo z, resta

= + ! . (10.7)

Se fizer a transformação entre referenciais _{→ ′ dada por} % _{= −}1

2 , (10.8) a equação de movimento em ′ (referencial em queda livre) fica

′ = !% . (10.9)

No referencial _{′ em queda livre, o campo gravitacional g é anulado pela aceleração} ) = do referencial.

Pelo princípio da equivalência, referenciais em repouso imersos em um campo gravitacional são referenciais não inerciais e referenciais em queda livre são inerciais.

Campos gravitacionais uniformes são idealizações (não existe na realidade), de modo que o princípio da equivalência deve ter validade apenas local assim como os referenciais (inerciais) em queda livre, que existem apenas localmente.

(3)

Da mesma forma que o campo gravitacional é eliminado nos referenciais em queda livre, num referencial acelerado em relação a outro inercial, o efeito da aceleração é equivalente ao de um campo gravitacional. Seja o referencial inercial, a equação de movimento de um corpo sujeito a uma força externa sendo

= . (10.10) A transformação para mudança de referenciais → ′

* +%_{= +} ,% _{= ,} % _{= +}1 2 , (10.11) leva às equações de movimento em ′ ,

-.. / .. 0 +% = 1% ,%= 2% % = + !% , (10.12)

idêntica às equações de movimento na presença de um campo gravitacional = ̂.

Todas estas conclusões são baseadas na igualdade, numérica, entre as massas inercial e gravitacional. Veja que, conceitualmente, a massa gravitacional é distinta da massa inercial e, em analogia com a carga elétrica, poderia se chamar carga gravitacional.

Assim, pelo Princípio da Equivalência, referenciais acelerados são equivalentes a referenciais (suportados) em repouso na presença de um campo gravitacional. Implica, também, que referenciais em queda livre num campo gravitacional são refereciais inerciais.

10.1.1 Força gravitacional

O Princípio da Equivalência permite generalizar as equações da Relatividade Restrita para referenciais não inerciais (referenciais acelerados ou em repouso imersos num campo gravitacional). Considere a equação de movimento num referencial inercial ₄ com coordenadas (56), onde são válidas as leis da Relatividade Restrita, com a equação de movimento

4 ₅6

7 = 8′6 , (10.13)

o tempo próprio dado pela métrica

9_{= −:}₇_{= ;}_6<₅6₅<_{. (10.14)}

Por razões históricas, no desenvolvimento da Relatividade Geral, a convenção adotada para os sinais relativos das componentes diagonais tempo-tempo e espaço-espaço do tensor métrico minkowskiano _;_6< é _{(−, +, +, +).}

(4)

Considere o outro referencial _{, não inercial, com coordenadas (+}=), que pode ser o referencial de laboratório, imerso num campo gravitacional e em relação ao qual o referencial inercial ₄ encontra-se em queda livre. Assim, para ₅6 _{= 5}6₍₊=_{) ,}

56 7 =>5 6 >+=+ = 7 (10.15) e ₅6 7 =_{7 ?} >5 6 >+=+ = 7 @ = 7 ? >5 6 >+=@+ = 7 + ?>5 6 >+=@ ₊= 7 , (10.16)

que pode ser rearranjada como ₅6 7 = >5 6 >+AB ₊A 7 +>+ A >56 > ₅6 >+=_>+C+ = 7 + C 7 D . (10.17) Da equação de movimento no referencial inercial ₄, equação (10.13), resulta

4>5 6 >+AB ₊A 7 + Γ=CA + = 7 + C 7 D = 8′6 (10.18) que, usando a identidade

>+A >56>5 6 >+F= GFA e a conexão afim Γ=CA =>+ A >56 > ₅6 >+=_>+C (10.19) leva à equação 4 ₊A 7 + 4Γ=CA + = 7 + C 7 = 8A , (10.20) a força externa, não gravitacional, no referencial não inercial _{obtida pela transformação}

8A₌>+A

>568′6 . (10.21)

A métrica, equação (10.14), fica 9_{= −:}₇_{= ;} 6<565< = ;6< >5 6 >+=>5 < >+C+=+C = =C+=+C , (10.22)

que define o tensor métrico

=C = >5 6

>+=>5 <

>+C ;6< (10.23)

no referencial não inercial .

(5)

>=C >+A = > ₅6 >+A_>+=>5 < >+C;6<+>5 6 >+= > ₅< >+A_>+C;6< (10.24)

com a equação (10.19) da conexão afim na forma >56 >+AΓ=CA = > ₅6 >+=_>+C (10.25) resulta >=C >+A =>5 6 >+HΓA=H >5 < >+C;6<+>5 6 >+=>5 < >+HΓACH;6< = ΓA=H HC+ ΓACH=H (10.26)

com expressões similares para as derivadas >AC

>+= e >_>+=AC ,

que podem ser combinadas para obter a conexão afim em termos das derivadas do tensor métrico,

ΓA=J =1₂CJK>_>+=CA +>_>+AC= −>_>+=ACL . (10.27)

Esta relação entre a conexão afim e as derivadas de primeira ordem do tensor métrico sugere que _=C faz o papel do potencial e a conexão afim Γ_A=J o papel do campo gravitacional.

10.1.2 Limite newtoniano

O limite newtoniano deve ser obtido quando as velocidades envolvidas são muito menores que a velocidade da luz e o campo gravitacional fraco e independente do tempo. Neste caso, a quadri-velocidade se reduz a

+= 7 = B+ 4 7 ,+ M 7 D ≃ ?:7 , 0@ (10.28) e a equação de movimento (10.20), na ausência de força externa, fica

₊= 7 + Γ44=:?_7@ = 0 (10.29) para Γ44J =1₂CJK>_>+4C₄ +>_>+4C₄ −>_>+44_CL = −1₂CJ >_>+44_C . (10.30)

Um campo gravitacional fraco pode ser representado como

=C _{= ;}=C _{+ ℎ}=C_(10.31)

onde ℎ=C descreve uma pequena perturbação na métrica de Minkowski ;=C. Assim, em aproximações de primeira ordem,

(6)

resultando a equação de movimento

₊=

7 =1_{2 ;}=C >ℎ_>+44C :?_7@

(10.33) Para campos estáticos,

>ℎ44

>+4 = 0 ,

de modo que a componente temporal da equação de movimento se anula

7= 0 ,

restando as componentes espaciais ₊M

=1₂>ℎ_>+44M :=:

2 (Pℎ44)Q . (10.34)

Comparado com a equação newtoniana

= −Pϕ , (10.35)

a componente _ℎ₄₄ e, consequentemente, a componente ₄₄ do tensor métrico, podem ser identificadas, a menos de uma constante arbitrária, com o potencial gravitacional,

ℎ44= −2S_: e 44= −1 + ℎ44 = − ?1 +2S_: @ . (10.36)

A constante arbitrária pode ser ajustada de tal modo que o campo S se anule e a métrica se torne minkowskiana no infinito.

10.1.3 Dilatação do tempo

A métrica (10.22) mostra como o tempo é afetado pelo campo gravitacional: −:₇₌₄₄_:₊_MT₊M₊T_{= B}₄₄_:₊_MT+M

+

T

D , (10.37) o tempo próprio definido para um referencial inercial em queda livre. Supondo o relógio em repouso no referencial de laboratório ,

−:₇₌

44: , (10.38)

ou seja,

7

= U−44= V1 +2S_: . (10.39)

(7)

7 W = U−44(+W) = V1 + 2S(+W) : . (10.40) e 7 = U−44(+) = V1 + 2S(+) : . (10.41)

resultando a relação entre os tempos W = U −44(+) U−44(+W)= U:_{+ 2S(+}₎ U:_{+ 2S(+}_W₎ (10.42) ou W= U−44(+) U−44(+W) . (10.43)

10.2 Derivadas covariantes

Considerare as transformações gerais de coordenadas conectando os referenciais e ′, onde ambos podem ser inercial ou não inercial.

+= _{⟶ +}%= _{= +}%=₍₊=_{) , (10.44)} A métrica, no referencial , é 9 _{= −:}₇ _{= ;} 6<565< = =C+=+C (10.45) e, no referencial ′, 9 _{= −:}₇_{= ;}_6<₅6₅< ₌% =C+%=+%C , (10.46) onde ′=C = >5 6 >+′=>5 < >+′C ;6< = >5 6 >+A >+ A >+′= >5 < >+H>+ H >+′C ;6<

que resulta na transformação da métrica ′=C = >+ A >+′= >+ H >+′C >5 6 >+A>5 < >+H ;6<= >+ A >+′= >+ H >+′C AH . (10.47)

Os elementos diferenciais transformam-se como +′=₌>+′= >+A +A de modo que ′=C+′=+′C= >+ A >+′= >+ H >+′C >+′ = >+A >+′ C >+Y AH+A+Y

(8)

ou, simplesmente,

′=C+′=+′C = =C+=+C . (10.48)

Isto sugere definir os quadri-vetores como as grandezas cujas componentes contravariantes Z=_{transformam-se da mesma maneira que os elementos diferenciais, isto é,}

Z=_{⟶ Z}%=₌>+%=

>+A ZA . (10.49)

As componentes covariantes são definidas através da operação de abaixamento de índices com o auxílio do tensor métrico,

Z= = =CZC (10.50)

de modo que se transformem como Z′= = ′=CZ′C = >+ A >+′= >+ H >+′CAH>+ %C >+A ZA= >+ A >+′= AHZA , ou seja, Z′== >+ C >+′= ZC . (10.51)

Desta maneira os produtos do tipo [₌Z= são automaticamente invariantes (produtos escalares).

As regras das transformações das componentes contra e covariantes, equações (10.50) e (10.51), podem ser generalizadas para definir os tensores de qualquer ordem através das transformações \%=CA⋯ ₌>+%= >+H >+ %C >+Y >+ %A >+J⋯ \HYJ⋯ (10.52)

para índices contravariantes e

\′=CA⋯= >+ H >+%=>+ Y >+%C>+ J >+%A⋯ \HYJ⋯ (10.53)

para os índices covariantes. Os operadores diferenciais transformam-se como componentes covariantes de um quadri-vetor, > >+%== >+ C >+%=_>+>C ⟺ >%== >+ C >+%= >C . (10.54)

Quando aplicado sobre uma função escalar _{S′(+′) = S(+) φ(x), resulta} >S′(+′) >+%= = >+ C >+%=>S(+)_>+C ⟺ >%== >+ C >+%= >C . (10.55)

de modo que as derivadas parciais de uma função escalar, >S(+)

>+= = >=S(+) = S,=(+) (10.56)

(9)

Por outro lado, as derivadas das componentes de um quadri-vetor resultam >Z′C_(+′) >+%= = ? > ₊%C >+%=_>+H@ ZH+ >Z H >+A >+ A >+%=>+ %C >+H = >+_>+%CH >+ A >+%=>Z H >+A+ ? > ₊%C >+%=_>+H@ ZH . (10.57) A transformação resultante não corresponde à de um tensor de segunda ordem, no caso com índices mistos contra e covariantes que, pelas equações (10.52) e (10.53), deve se transformar como \′C = =>+ %C >+H >+ A >+′=\HA . (10.58)

No entanto, a conexão afim, equação (10.27), transforma-se como Γ=C%A=>+′ A >+F >+ ^ >+′=>+ J >+′CΓ^JF +>+′ A >+F > ₊F >+%=_>+′C (10.59)

que, com o auxílio da identidade

>+′A >+6 >+ 6 >+′C = GCA derivada em relação a _+′=, > >+′=B>+′ A >+6>+ 6 >+′CD = > _+′A >+′=_>+6>+ 6 >+′C+>+′ A >+6 > ₊6 >+′=_>+′C = 0 , leva à expressão Γ=C%A =>+′ A >+F >+ ^ >+′=>+ J >+′CΓ^JF − > ₊%A >+%=_>+6>+ 6 >+%C . (10.60)

O produto Γ_=HCZH transforma-se como Γ=H%CZ′H = >+ %C >+F >+ ^ >+%= >+ J >+%H>+′ H >+Y Γ^JFZY− > ₊%C >+%=_>+6 >+ 6 >+%H >+′ H >+Y ZY = >+_>+%CF >+ ^ >+%=Γ^JFZJ− > ₊%C >+%=_>+Y ZY . (10.61) Combinando este resultado com o da equação (10.57) resulta

>Z′C_(+′) >+%= + Γ=H%CZ′H =>+ %C >+H >+ A >+%=>Z H >+A +>+ %C >+F >+ ^ >+%=Γ^JFZJ ,

de modo que a operação

Z;C==>Z =

>+C+ ΓCH=ZH = Z,C=+ ΓCH=ZH , (10.62)

que define a derivada covariante de um quadri-vetor contravariante, resulta num tensor misto de segunda ordem. Para um quadrivetor covariante, a derivada covariante fica

(10)

Z=;C=_>+>Z=_C− Γ=CAZA= Z=,C− Γ=CAZA . (10.63)

Nos referenciais inerciais, a conexão afim é nula e a derivada covariante coincide com a derivada parcial usual.

Uma combinação especial de derivadas é o rotacional, que resulta

Z=;C− ZC;== Z=,C− ZC,= (10.64)

devido à simetria da conexão afim em relação aos dois índices inferiores, Γ_C=A = Γ_=CA . Uma outra derivação especial é o divergente,

Z;== =>Z =

>+=+ Γ=H=ZH=_U1 _>+>=U Z= (10.65)

onde = −`a_=Cb.

A derivada covariante pode ser generalizada para tensores de qualquer ordem, com índices mistos contra e covariantes, aplicando a regra de derivação covariante para cada um dos índices tensoriais,

\=J

A;C = \=JA,C+ ΓCH=\HJA+ ΓCHJ\=HA− ΓACH\=JH . (10.66)

A quadri-velocidade é um quadri-vetor, pois +′= 7 =>+′ = >+C+ C 7 , (10.67) mas a quadri-aceleração não é, pois não se transforma como tal

_+′A 7 =_{7 B} >+′ A >+C+ C 7 D = > _+′A >+=_>+C+ = 7 + C 7 +>+′ A >+C ₊C 7 .

De uma forma geral, derivadas temporais de quadri-vetores, Z′A 7 =7 B >+′ A >+C ZCD =>+′ A >+C Z C 7 + > _+′A >+=_>+C+ = 7 ZC , não resultam quadri-vetores. No entanto, pode-se combinar com a transformação

Γ=C%A+ = 7 Z′C =>+ %A >+FΓ=CF + = 7 ZC− > ₊%A >+=_>+C+ = 7 ZC para obter Z′A 7 + Γ=C%A+ = 7 Z′C=>+ %A >+F? Z F 7 + Γ=CF + = 7 ZC@ , (10.68) de modo que a operação

c ZA c7 = Z A 7 + Γ=CA + = 7 ZC = ?GAC_{7 + Γ} =CA + = 7 @ ZC (10.69) preserva a natureza quadri-vetorial e define a derivada covariante do quadri-vetor ZA. Em particular, para a quadri-velocidade, resulta

(11)

c c7 B+ A 7 D = ₊A 7 + Γ=CA + = 7 + C 7 (10.70) de modo que _+′A 7 + Γ′=CA +′ = 7 +′ C 7 =>+ %A >+C B ₊C 7 + Γ=FC + = 7 + F 7 D ,

mostrando que a equação de movimento transforma-se como um quadri-vetor, sendo, portanto, explicitamente covariante.

A equação de movimento pode ser escrita como c c7 B+ A 7 D = ₊A 7 + Γ=CA + = 7 + C 7 = 0 (10.71) que, sendo covariante, é válida em todos os refereciais, inerciais ou não. Nos referenciais inerciais a conexão afim é nula e, portanto, a derivada covariante coincide com a derivada comum.

As equações de movimento da Relatividade Restrita podem ser generalizadas para a Relatividade Geral substituindo as derivadas usuais pelas derivadas covariantes. Pela equação (10.65), as equações de Maxwell na presença de campo gravitacional ficam

* >

>+=aU=Cb = −4d_{: U e}C

>=CF_{+ >}CF=_{+ >}F=C _{= 0}

(10.72) onde = −`a_=Cb. As equações homogêneas, devido à antissimetria do tensor =C, não são afetadas.

10.3 Equações de Einstein

O campo gravitacional, por ser uma interação universal, pode ser integrada à estrutura geométrica do espaço-tempo na forma do tensor métrico _=C(+). No limite newtoniano a componente ₄₄(+) é identificada com o potencial gravitacional S(+), equação (10.36). A equação de campo do potencial newtoniano é

Pf_{ϕ = 4πGρ , (10.73)}

onde j(+) é a densidade de massa. Na relatividade, a densidade de matéria e energia é dada pelo tensor de energia e momento _\_=C_{(+), cuja componente \}₄₄_{(+) pode ser identificada com} a densidade _j(+).

O campo fundamental deve ser, portanto, o tensor métrico _=C_{(+), as equações de} campo devendo conter as suas derivadas primeira e segunda. Como a origem do campo gravitacional é a matéria e energia, o tensor de energia e momento deve entrar como o termo de fonte das equações de campo.

Na equação de movimento (10.72) a conexão afim, construída com as derivadas primeiras do tensor métrico _=C_{(+) , faz o papel da força gravitacional. Na analogia}

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eletromagnética, a conexão afim corresponde a _=C = >₌k_C− >_Ck₌ e o tensor métrico ao potencial k₌(+).

A conexão afim e as suas derivadas primeiras podem ser combinadas para construir o tensor de curvatura de Riemann-Christoffel,

A =CY =>Γ=C A >+Y −>Γ=Y A >+C + Γ=CHΓYHA − Γ=YH ΓCHA . (10.74)

Das contrações dos seus índices tensoriais resulta o tensor de Ricci

=C = A=AC (10.75)

e o escalar de curvatura

= A

A (10.76)

O tensor de curvatura satisfaz à chamada identidade de Bianchi,

A=CY;H+ A=HC;Y+ A=YH;C= 0 . (10.77)

Contraindo os índices _{l e m e usando a antissimetria}A_=CY _{= −}A_C=Y , resulta =Y;H− =H;Y+ A=YH;C= 0

e uma segunda contração de índices leva a ?=C₋1

2 =C@;== 0 . (10.78)

As equações de campo podem ser construídas partindo da lei de Gauss gravitacional (10.73) que, com a relação (10.36), fica

−Pf_g

44= 4πGϱ = 8πGT44 ,

cuja generalização tensorial é

G=C = −8πGT=C

onde T_=C é o tensor de energia momento e G_=C é um tensor de segunda ordem que deve ser construída com o tensor métrico g_=C e suas derivadas, ou das contrações do tensor de curvatura. O tensor de segunda ordem mais geral que pode ser construída a partir do tensor de curvatura de Riemann-Christoffel é

G=C = R=C−1_{2 g}=C

resultando nas equações de Einstein

R=C−1_{2 g}=C = −8πGT=C (10.79)

Resolver as equações de Einstein significa determinar todas as dez componentes independentes do tensor métrico g_=C. Na realidade correspondem a seis graus de liberdade devido à identidade de Bianchi (10.78) que fornece mais quatro condições adicionais.

(13)

Se contrairmos os índices tensoriais das equações de Einstein, lembrando que g=== r g== s =t4 = 4 (10.80) resulta = −8πGTAA , (10.81)

que pode ser substituído na equação (10.79), que fica

R=C = −8πGS=C (10.82)

onde

S=C = T=C−1_{2 g}=CTAA (10.83)

é o termo de fonte relacionado com o tensor de energia momento _T_=C_.

Em termos práticos, a simetria dos sistemas físicos reduz substancialmente o número de componentes independentes do tensor métrico. Por exemplo, a métrica da parte externa de um sistema estático e isotrópico de massa _,

:₇_{= ?1 −}2

v @ :− ?1 −2v @

wW

v_{− v}_x_{− v}_9`y_xz_(10.84)

tem quatro componentes não triviais, g_{{, g_||, g_}} e g_~~, não totalmente independentes. Esta é a métrica de Schwarzchild. Em cosmologia se usa a métrica de Robertson-Walker,

:₇ _{= :}₋₍₎ 1

1 − vv+ vx+ v9`yxz (10.85)

onde () é uma função a ser determinada, dependente do parâmetro que pode assumir os valores _{0,−1 ou 1, dependendo da densidade de massa do universo, que deve ser, por} princípio, homogêneo e isotrópico.

10.4 Campo gravitacional uniforme

Um referencial em repouso imerso num campo gravitacional uniforme é o modelo mais simples de um referencial não inercial. É equivalente ao referencial uniformemente acelerado (aceleração própria constante) em relação a um referencial inercial _{′. Deste modo,} uma partícula executando um movimento hiperbólico com aceleração própria ₄ quando observada no referencial inercial é o suporte ideal para construir um referencial não inercial que mimetiza a presença de um campo gravitacional uniforme = −₄ . As coordenadas do referencial não inercial serão definidas como

(+=_{) = (+}4_{= :, +}W _{= +, +}_{= ,, +}s_{= ) , (10.86)}

e as coordenadas do referencial inercial _{′ como}

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O movimento hiperbólico (em relação a _{′) ao longo do eixo comum ′ é dado pelas} coordenadas (:′, ′) = : 49`yℎ 47 : ,:9ℎ: , (10.88)47 a trajetória ilustrada na figura 10.1.

Figura 10.1 Ilustração do movimento hiperbólico no plano :%× %:

trajetória (azul), velocidade (verde) e aceleração (vermelho).

10.4.1 Tensor métrico

O tensor métrico define as propriedades do espaço-tempo onde se insere o sistema físico e uma de suas utilidades é a construção de produtos escalares e as consequentes invariantes, como a invariante cinemática

[=[== =C[=[C = −: . (10.89)

Para objetos em repouso no referencial _resulta

44[4[4= −: , (10.90)

mostrando que as componentes temporais contra e covariantes resultam [4 ₌ :

U−44 e [4 = 44[

4_{= −:U−}

44 . (10.91)

A equação de movimento (10.20) fica

Γ44=[4[4− 8 =

(15)

e, usando a definição usual da força relativística 8== =, onde M (parte espacial) é a força externa que mantém o objeto em repouso contra a força gravitational,

−:Γ44=

44−

=

4 = 0 . (10.92)

Usando a massa relativística

= 4 para =_{7 =} 1

U−44 (10.93)

resulta

=

= :Γ44= . (10.94)

Da condição 8=[₌= 0 (invariante relativística) resulta 84_[ 4 = −8M[M ⟹ 84= −8 M_[ M [4 = 8M_[ M :U−44

e, portanto, 84= 0 para objetos em repouso e a parte temporal da equação (10.94) fornece Γ444 =1₂44>_>+44₄ + !4K>_>+4!₄ −1₂>_{> L = 0 . (10.95)}44

Como a métrica, neste caso, não deve ter dependência temporal, Γ444 = !4K>_>+4!₄ −1₂>_{> L = 0 ,}44

pode-se concluir que !4= 0.

A seguir, considere apenas a componente ao longo do eixo z da equação (10.94), ! = :Γ44! . (10.96) onde Γ44! = −1₂!!>_{> ≠ 0}44 e, portanto, ! = :Γ44! = −: 2 !!>> . (10.97)44 Nesta equação, ! é a força externa que suporta a particula de massa m sujeita à força inercial ou gravitacional _:_Γ₄₄! _{. Para um campo gravitacional uniforme, Γ}₄₄! também deve ser uniforme,

!

= ⇔ :Γ44! = −:

2 !!>> = . (10.98)44 Pelo Princípio da Equivalência, esta aceleração deve corresponder à aceleração própria, = ₄, que define o movimento hiperbólico, equação (10.88).

(16)

Estes resultados mostram que, na presença de um campo gravitacional uniforme na direção do eixo z, a métrica deve ter a forma

9 _{= −:}₇₌₄₄_{( ):}₊_!!_{( )}_{+ +}_{+ ,}_{. (10.99)}

Para um tensor métrico diagonal, as condições de ortogonalidade implicam =C_CJ ₌= J = G=J ⇒ =C = a=Cb wW (10.100) e, portanto, 44 _{= (} 44)wW e !! = (!!)wW . (10.101)

Assim, a equação (10.98) pode ser escrita como >44

> = −2 :!! . (10.102)

A relação entre as funções ₄₄( ) e _!!( ) pode ser obtida usando a equação de Einstein sem fonte

R=C = 0 (10.103)

onde R_=C é o tensor de Ricci definido pela equação (10.75) através da contração de índices do tensor de curvatura, equação (10.74),

=C = A=AC=>Γ=A A

>+C −>Γ=C A

>+A + Γ=AH ΓCHA − Γ=CHΓAHA . (10.104)

Neste caso, os elementos não identicamente nulos são o tempo-tempo e espaço-espaço

-. / . 044 = A4A4 =>Γ4A A >+4 −>Γ44 A >+A + Γ4AHΓ4HA − Γ44HΓAHA MT = AMAT =>ΓMA A >+T−>ΓMT A >+A+ ΓMAHΓTHA− ΓMTHΓAHA (10.105) Para a métrica (10.99) as componentes não nulas da conexão afim são

-. . / . . 0Γ!44 =1₂44>_{> = −}44 _:44!! Γ44! = −1₂!!>_{> =}44 _: Γ!!! =1₂!!>_>!! . (10.106)

A componente tempo-tempo, em função das componentes não nulas da conexão afim, fica

44 =1_{2 ?}44>_{> −}44 !!>_{> @ . (10.107)}!!

(17)

44>44 > =(−144) >(−44) > =>y(−> 44) (10.108) assim como !!>!! > =1!! >!! > =>y> , (10.109)!! e a equação de Einstein 44 =1₂>y(−_>44/!!)= 0 , (10.110) resultando na relação −44 !! = :`. ⇔ !! = −44 , (10.111)

onde é uma constante. Com este resultado, a equação (10.102) fica >44 > = 2 :44 . (10.112) ou 1 44 >44 > =>y(−> 44)= 2 :

que pode ser integrada resultando

y(−44) = 2_: + c ou 44( ) = k` !_e !!( ) = −k` !_(10.113) onde k,c e são constantes de integração. Para que a métrica seja de Minkowski quando = 0 é necessário que = 1 e, para que haja simetria translacional,

k = −`+ ?−2_: 4@

para ₄ arbitrário, de modo que

44( ) = −`(!w!)/ e !!( ) = `(!w!)/ (10.114)

Por questões de simplicidade e sem perda de generalidade pode-se considerar ₄= 0 tal que

44( ) = −`!/ e !!( ) = `!/ (10.115)

a métrica (10.99) assumindo a forma 9_{= −:}₇_{= −`}!/

:_{+ `}!/

_{+ +}_{+ ,}_{. (10.116)}

(18)

:₇_{= `}!/

:_{− a`}!/

!+ 1+ 2b ,

que define o fator γ de uma forma geral,

=_{7 =} 1

−44(1 − !/:) − a1+ 2b/:

(10.117) ou, considerando o movimento unidimencional ao longo do eixo ,

= 1

U−44(1 − !/:)=

1 `!/_{U(1 −}

!/:) . (10.118)

A equação (10.105) fornece a componente espaço-espaço não trivial das equações de Einstein, resultando !! =>Γ!4 4 > + Γ!4Γ!44 + Γ!! Γ!!4 − Γ!!!Γ4!4 + MT= 0 (10.119) onde MT=>ΓM >+T −>ΓMT >++ ΓMΓT − ΓMTΓ . (10.120)

Com procedimentos similares aos usados para a componente tempo-tempo, pode ser reduzida a

!! = −1₂_:44!!>y(− 44_!!₎

> = 0 , (10.121) não trazendo informações adicionais.

10.4.2 Transformações de Rindler

As transformações de Rindler conectam referenciais inerciais com os uniformemente acelerados (em movimento hiperbólico), estes últimos equivalentes aos referenciais em repouso na presença de um campo gravitacional uniforme. Conhecida a métrica, pode-se usar a equação da conexão afim (10.19) reescrita na forma

>_+′6

>+=_>+C=>+′ 6

>+A Γ=CA (10.122)

para obter as transformações +%6(+=) = +%6( , ) relacionando as coordenadas +%6 do referencial inercial ′ com as coordenadas += do referencial não inercial . As componentes não nulas da conexão afim, equação (10.106), com as substituições das funções métricas, resultam todas iguais

Γ!44 = Γ44! = Γ!!! =_: , (10.123)

(19)

-. . . / . . . 0>+′6 > =_:>+′ 6 > ⟹> B> >+ %6 > −:+%6D = 0 >_+′6 > > =:>+′ 6 > ⟹> B> >+ %6 > −:+%6D = 0 >_+′6 :_>=_:>+′ 6 > ⟹> _+′6 > −> ₊%6 :_>= 0 . (10.124)

A primeira e a segunda equações implicam que >+%6

> −:+%6 = 86() = 6( ) = ′6

para alguma constante 6. Esta equação pode ser reescrita na forma integrável >

> a+%6+ 6b =:a+%6+ 6b ⟹ _{> ya+}> %6+ 6b =_:

cuja solução é

ya+%6₊6_{b =}

: + () ⟹ +%6( , ) = k6()`+ _: − 6 .

Substituindo na última das equações do sistema (10.124), resulta >_k6₍₎

> −

:k6() = 0

que define a parte temporal

k6_{() =}6_`{/_{+ c}6_`w{/

levando às transformações

+%6_{( ,) =}6_`{/_{+ c}6_`w{/_¡`!/₋6_.

Os coeficientes podem ser determinados considerando que o referencial não inercial deve executar um movimento hiperbóbilo em relação ao referencial inercial _{′, condição} satisfeita em = 0 para 4= −c4 = :/(2) e s= cs = :/(2) ⟶ ′ -. / . 0 +%4_{= :′ =} : 2 `!/a`{/− `w{/b +%s _{= ′ =} : 2 `!/ a`{/_{+ `}w{/_{b −}: , (10.125) as constantes 4= 0 e s= :/ escolhidas para satisfazer às condições iniciais +%4= 0 e +%s _{= 0 para = 0 e = 0 . São conhecidas como transformações de Rindler. As}

(20)

-.. / .. 0 yℎ ?:@ = %:′_{+ :} `+ ?2 _: @ =_:_¢£B %₊: D − (:′)_¤ . (10.126)

10.4.3 Mapeamento

As transformações de Rindler não mapeiam ponto a ponto as coordenadas de referenciais inerciais sobre as coordenadas de referenciais uniformemente acelerados ou vice -versa. As figuras 10.3 a 10.6 são simulações de mapeamento entre referenciais inerciais e não inerciais configuradas em quadros de amostragem de dimensões _{40¥ × 40¥, onde ¥ é} uma unidade arbitrária de distância. As acelerações e os campos gravitacionais são dados em /:_e_/:_{, respectivamente, cuja unidade é}_¥wW_{. São utilizados trinta mil pontos por}

quadro lançados aleatoriamente e a utilização das cores visa identificar a proveniência dos pontos nas distribuições pós-mapeamento. Os pequenos caracteres no canto superior esquerdo são para controle de processamento.

Figura 10.2: À esquerda, amostragem de

pontos uniformemente distribuídos num referencial inercial em repouso e à direita, os

mesmos pontos mapeados sobre outo referencial em movimento uniforme via transformações de

Lorentz para _{¦ = 0,3.}

Para compreender as ilustrações, considere a figura 10.2: o quadro à esquerda traz uma amostragem uniformemente distribuída de 30 mil pontos coordenados (:, ) num referencial inercial em repouso, o eixo do tempo na horizontal e o eixo z na vertical. As cores (vermelha, azul, verde e amarela) associadas aos (primeiro, segundo, terceiro e quarto) quadrantes e a borda demarcada por pontos pretos servem para correlacionar os pontos mapeados. O quadro à direita mostra a distribuição dos mesmos pontos, com as mesmas cores, mapeados sobre outro referencial com coordenadas (:′, ′) ligadas pelas transformações de Lorentz,

§:

%_{= (: − ¦ )}

% _{= ( − ¦:)} (10.127)

A figura 10.3 traz no quadro esquerdo a amostragem de 30 mil pontos coordenados (:, ) uniformemente distribuídos num referencial em repouso supondo a presença de um campo gravitacional intenso /:= 0,1. O quadro à direita mostra o mapeamento dos

(21)

mesmos pontos, com as mesmas cores, sobre um referencial inercial ′, as coordenadas (:′, ′) ligadas pelas transformações de Rindler (10.125). A distribuição uniforme sobre todo o espaço (quatro quadrantes) no referencial _{é mapeada sobre uma região correspondente a} um quadrante no referencial ′. Os restantes três quadrantes de ′ são inacessíveis ao referencial .

Figura 10.3:

À esquerda, amostragem de pontos uniformemente distribuída no referencial _{(não inercial) em}

repouso e à direita, a mesma amostragem mapeada pelas

transformações de Rindler ⟶ ′ para /:_{= 0,1.}

Para entender esta restrição, é conveniente examinar as transformações inversas de Rindler, equação (10.126), na forma

-. / . 0: = :_{2 y ¨} _:B %₊: + :′D© −: 2 y ¨ :B %+: − :′D© =_{2 y ¨}: _:B %₊: + :′D© +: 2 y ¨ :B %+: − :′D© (10.128) que são válidas sob as condições

%₊:

ª :% « 0 . (10.129) Estas condições definem uma região equivalente a um quadrante delimitado pelas duas retas perpendiculares entre si,

%₊:

ª :% = 0 , (10.130) na região acima do ponto de cruzamento das retas. Há uma correspondência entre um quadrante do referencial inercial ′ contra o espaço todo do referencial não inercial , significando que observadores em referenciais não inerciais estão sujeitos a um horizonte de eventos no referencial inercial (queda livre) além do qual não tem acesso.

A figura 10.4 ilustra a amostragem de (30 mil) pontos no referencial inercial _′ (quadro esquerdo) distribuídos apenas no quadrante acessível ao referencial não inercial (quadro direito), mostrando as correspondências entre as coordenadas inerciais (:′,+′) e as não inerciais (:, ) , o mapeamento feito coma as transformações inversas de Rindler, equação (10.128), para /:= 0,1.

(22)

Figura 10.4: À esquerda, amostragem de

pontos uniformemente distribuída no referencial inercial ′ na região acessível ao referencial (não inercial) e

à direita a amostragem mapeada via transformações

inversas de Rindler ′ ⟶ para /:= 0,1.

As figuras 10.5 e 10.6 ilustram a mesma amostragem de (30 mil) pontos no referencial inercial ′ (quadro esquerdo) distribuídos apenas no quadrante acessível ao referencial não inercial (quadro direito), os mapeamentos feitos com as transformações inversas de Rindler, equação (10.128), para /: = 0,03 e /: = 0,01, para efeito de comparações para acelerações decrescentes.

Figura 10.5: À esquerda, amostragem de pontos uniformemente distribuída

no referencial inercial ′ na região acessível ao referencial

(não inercial) e à direita a amostragem mapeada via transformações inversas de

Rindler ′ ⟶ para /:_{= 0,03.}

É possível perceber que o horizonte de eventos se distancia da origem para acelerações pequenas. Acelerações abaixo de /: = 0,02 levam o horizonte de eventos para fora do quadro de amostragem e as distorções geométricas do mapeamento tornam-se cada vez menores. Isto pode ser observado na figura 10.6 correspondente à aceleração /:_{= 0,01. No limite de acelerações muito pequenas, /:}_{→ 0, o horizonte de eventos}

se desloca para distâncias infinitamente grandes, o referencial acelerado tendendo ao inercial. Figura 10.6:

À esquerda, amostragem de pontos uniformemente distribuída

no referencial inercial ′ na região acessível ao referencial

(não inercial) e à direita a amostragem mapeada via transformações inversas de

Rindler ′ ⟶ para /:_{= 0,01.}

(23)

Apesar das simulações poderem abranger regiões arbitrariamente extensas, o Princípio da Equivalência é valido apenas localmente. O que seja local depende de muitos fatores, como a intensidade do campo gravitacional (ou da aceleração) e a dimensão do sistema físico considerado sob o efeito do campo gravitacional. Por exemplo, a localidade corresponder à região colorida delimitada pela borda preta dos quadros das ilustrações, a presença do horizonte de eventos pode passar despercebida. As intensidades dos campos estão superdimensionadas nas simulações para melhor visialização dos seus efeitos. Os campos gravitacionais mais intensos, em superfícies de estrelas colapsadas, ficam em torno de

~10W_/9_, que corresponde a :~10 w m = 0,00001/ .

Na superfície da terra, aproximando _{= 10/9}, resulta _/:_~10w_{/m .. Se} considerar a unidade de comprimento _{¥ = (metro), o quadro de simulações das figuras} acima corresponde a uma região de _{40¥ × 40¥ = 40 × 40 = 1600}.

10.4.3 Transformações dos campos vetoriais

Nas transformações gerais de coordenadas

+= _{⟶ +}%= _{= +}%=₍₊C₎

conectando os referenciais e ′, as transformações diferenciais +′=₌>+%=

>+C +C , (10.131)

definem as transformações dos campos vetoriais, k′= ₌>+%=

>+C kC , (10.132)

Em particular, para as transformações de Rindler, equação (10.125), resultam

-. / . 0k%4 _{= `}!/a`{/+ `w{/b 2 k4+ `!/a` {/_{− `}w{/_b 2 ks k%s_{= `}!/a`{/− `w{/b 2 k4+ `!/a` {/_{+ `}w{/_b 2 ks (10.133) com as transformações inversas

-. / . 0k4 _{= `}w!/a`{/+ `w{/b 2 k′4− `w!/ a`{/ − `w{/b 2 k%s ks _{= −`}w!/a`{/− `w{/b 2 k′4+ `w!/ a`{/+ `w{/b 2 k%s (10.134)

(24)

Estas transformações serão usadas para determinar o campo eletrostático de uma carga em repouso e os campos elétrico e magnético de uma carga em queda livre num campo gravitacional uniforme.

10.4.4 Carga em repouso num campo gravitacional uniforme

Um corpo em repouso num referencial uniformemente acelerado R descreve um movimento hiperbólico observado do referencial inercial R′. De forma equivalente, um corpo em repouso num referencial R imerso num campo gravitacional uniforme descreve um movimento hiperbólico se observado de um referencial em queda livre R′.

O campo eletromagnético de uma carga em movimento hiperbólico em R′ é definido pelo quadri-potencial (veja o capítulo 7) cuja componente temporal e espacial são

-. / . 0k%4_{= ¯}5 ;( ′_{− :} ′ _′₎ k%s_{= ¯}5 ;( ′_{− :}:′_′₎ (10.135) para (° = :/) 5 ; = +′ _{+ ,′}_{+ ′}_{+ :}_°_{− :}_′ U(+′_{+ ,′}_{+ ′}_{+ :}_°_{− :}_′₎_{− 4:}_°_{( ′}_{− :}_′₎ . (10.136)

Considere as transformações de Rindler (10.125) transladada para

-. / . 0:% ₌: 2 `!/ a`{/_{− `}w{/_{b =}: `!/ 9`yℎ ?_{: @} ′ =_{2 `}: !/ a`{/_{+ `}w{/_{b =}: `!/:9ℎ ?: @ (10.137) de modo que ( ′_{− :}_′_{) = :}¢ `!/ (10.138) e, lembrando que ₊%_{= + e ,}%_{= ,,} 5 ; = + _{+ ,}_{+ :}_°_{a1 + `}!/ b +_{+ ,}_{+ :}_°_{a1 + `}!/_b¡_{− 4:}_¢_°_¢_`_!/ . (10.139) A equação (10.135) fica -. / . 0k%4 _{= ¯}5 ; _′ :¢ `w!/ = ¯5_;_:`w!/:9ℎ ?_{: @} k%s_{= ¯}5 ; _:′ :¢ `w!/ = ¯5_;_:`w!/ 9`yℎ ?_{: @} (10.140)

(25)

que, substituídas na equação (10.134), considerando as componentes covariantes, resultam -/ 0k4 = 44k4= `!/k4= −¯_:5_; ks= ssks = `!/ks= 0 . (10.142) A única componente não nula é o potencial eletrostático, cuja expressão final é

k4= −¯_: +

_{+ ,}_{+ :}_°_{a1 + `}!/ b

+_{+ ,}_{+ :}_°_{a1 + `}!/_b¡_{− 4:}_¢_°_¢_`_!/ . (10.143) Pode-se verificar que esta expressão, no limite _{→ 0 (α = c/ → ∞) reduz-se a}

lim →4k4(+, ,, ) = −¯ 2 √4v_{+ 4°}_{− 4°}= − ¯ v , que pode ser identificado como o potencial coulombiano

S(v) = k4_{(v) = −k}₄_{(v) =}¯

v de uma carga q em repouso na origem.

Campo eletrostático

Tendo o potencial e o tensor eletromagnético

=C = >=kC− >Ck= ,

as componentes do campo elétrico são identificadas como ·M ₌M

4= MTT4 .

Considerando as componentes não triviais do tensor métrico 44₌ 1 44= −` w!/ e ss ₌ 1 ss= ` w!/ (10.144) e identificando as componentes do campo elétrico de forma específica,

-.. / .. 0·1 = ·W=>k_>+4 ·2 = · =>k_>,4 ·! = ·s= s4= sss4= `w!/>k_>4 ,

(26)

-. . . . / . . . . 0·1 = ¯ 8° s_+`!/ +_{+ ,}_{+ :}_°_a`!/_{+ 1b¡}_{− 4:}_¢_°_¢_`_!/s/ ·2 = ¯ 8° s_,`!/ +_{+ ,}_{+ :}_°_a`!/_{+ 1b¡}_{− 4:}_¢_°_¢_`_!/s/ ·! = ¯ 8° ¢_`!/_{− 4°}₊_{+ ,}_{+ :}_°_a`!/_{+ 1b¡} +_{+ ,}_{+ :}_°_a`!/_{+ 1b¡}_{− 4:}_¢_°_¢_`_!/s/ , (10.145)

ou, em componentes cilíndricas,

-. . . / . . . 0·¸ = 8¯°s j` !/ _j_{+ a`}!/_{+ 1b¡}_{− 4`}_!/s/ ·~ = 0 ·! = ¯° 8` !/ − 4 _j_{+ a`}!/ + 1b¡ _j_{+ a`}!/_{+ 1b¡}_{− 4`}_!/s/ . (10.146) Figura 10.7: Configuração do campo eletrostático na presença de um campo gravitacional uniforme /:= 0,05.

(27)

Pode-se verificar que no limite _{→ 0 estas componentes reduzem-se às componentes} do campo coulombiano

¹(v) = ¯_v_s . (10.147) A figura 10.7 ilustra a configuração deste campo eletrostático baseado na simulação de Monte Carlo para a amostragem das linhas de campo, as coordenadas (+, ) distribuídas com peso probabilístico proporcional à intensidade _{|·| do campo e as orientações espaciais} indicadas por segmentos de reta de igual comprimento »9 com as extremidades ancoradas nos pontos (+, ) e (+ + »+, + » ) para »+ = »9 × 9`yx e » = »9 × :9x, o ângulo x definido pela relação _{·(+)/·( ) = tan (x). A s amostragem contém três mil pontos, as cores} atribuídas de forma aleatória para encobrir os efeitos de saturação que ocorre rapidamente no entorno da carga, ponto de divergência do campo elétrico. As simulações são configuradas em quadros de amostragem de dimensões _{40¥ × 40¥, onde ¥ é uma unidade arbitrária de} distância. A intensidade usada para o campo gravitacional é /:= 0,05 em unidades de ¥wW_.

Lei de Gauss

Equações de movimento da Relatividade Restrita podem ser generalizadas para a Relatividade Geral substituindo as derivadas usuais pelas derivadas covariantes. As equações de Maxwell não homogêneas na presença de campo gravitacional, equação (10.72), no caso eletrostático resta a lei de Gauss

>

>+MaUM4b = −4d_{: U e}4 . (10.148)

Usando

= −`a=Cb = `¢!/

e explicitando as componentes do campo elétrico, resulta >·M

>+M =4d_{: `}!/ e4 .

Após calcular as derivadas, é possível verificar que >·1

>+ +>·>, +2 >·> = 0!

em todo o espaço exceto na origem (j= 0, = 0), mostrando que a lei da Gauss é satisfeita na forma usual

>·M

>+M =4d_{: e}4

para

e4 _{= ¯G(v)}

(28)

10.4.5 Carga em queda livre num campo gravitacional uniforme

Uma partícula em repouso no referencial inercial _{′ descreve um movimento de} queda livre quando observada do referencial não inercial . Observado deste referencial ′ em queda livre, o referencial segue uma trajetória hiperbócica. No entanto, o movimento de queda livre num campo gravitacional uniforme não é um movimento hiperbólico.

Figura 10.8 Gráficos da trajetória (vermelho), velocidade (azul)

e aceleração (verde) de um corpo em queda livre num

campo gravitacional uniforme.

Considerando que esteja em repouso na origem, ′ = 0, pelas transformações (10.125), `!/₌ 2

(`{/_{+ `}w{/_{) (10.149)}

que resulta na trajetória

() = −:_{y ¨} a`{/+ `₂ w{/b© (10.150) com velocidade = −:a` {/_{− `}w{/_b (`{/_{+ `}w{/_{) (10.151)} e aceleração = −_(`{/_{+ `}4 w{/₎= −`!/ . (10.152) Veja que 1 − ! =_(`{/_{+ `}4 w{/₎= `!/ (10.153) e

(29)

= 1 U−44(1 − !)= 4 `!/_{U1 −} != ` w!/_{. (10.154)}

A figura 10.8 ilustra a trajetória (vermelho), a velocidade (azul) e a aceleração (verde) de um corpo em queda livre num campo gravitacional uniforme. No referencial inercial _{′ a} carga, em repouso na origem, gera o potencial eletrostático

k′4_{= S′ =} ¯

+%_{+ ,}%₊% . (10.155)

Usando as transformações dos campos (10.134) e as transformações de Rindler (10.125), as componentes não nulas do potencial eletromagnético no referencial resultam

-.. / .. 0k4(+, ,, ) = −¯₂ ` !/ a`{/_{+ `}w{/_b +_{+ ,}_{+ :}¢ 4 `!/(`{/+ `w{/) − 2¡ ks(+, ,, ) = −¯₂ ` !/_a`{/_{− `}w{/_b +_{+ ,}_{+ :}¢ 4 `!/(`{/+ `w{/) − 2¡ (10.156)

que levam às componentes do campo elétrico e magnético §·

M ₌M

4= MTT4

₌M_T₌M¾_¾T . (10.157)

Campo elétrico

Em termos explícitos, as componentes do campo elétrico são §·1 = · W_{= (>} Wk4− >4kW) = >Wk4 ·2 = ·= >k4 ·! = s4 = 44s4= `w!/(>sk4− >4ks) . (10.158) resultando -. . . . . / . . . . . 0 ·1 =¯₂ +` !/ a`{/_{+ `}w{/_b ?+_{+ ,}_{+ :}¢ 4 `!/(`{/+ `w{/) − 2¡@ s/ ·2 =¯₂ ,` !/ a`{/_{+ `}w{/_b ?+_{+ ,}_{+ :}¢ 4 `!/(`{/+ `w{/) − 2¡@ s/ ·! =₂¯ : ¢_`!/_a`{/_{+ `}w{/_{b − 2¡} ?+_{+ ,}_{+ :}¢ 4 `!/(`{/+ `w{/) − 2¡@ s/ (10.159)

(30)

cujo módulo quadrático é · ₌ ¯ 4 j_`! _?`{ _{+ `}w{_@_{+ `}!_?`{ _{+ `}w{_{@ − 2} Bj_{+ :}¢ 4` ! _?`{ _{+ `}w{_{@ − 2}_D s (10.160) Em coordenadas cilíndricas, -. . / . . 0 ·F = ¯2 j` !/_a`{/_{+ `}w{/_b ?j_{+ :}¢ 4 `!/(`{/+ `w{/) − 2¡@ s/ ·! = ¯₂ : ¢_`!/_¿(`_{/_{+ `}_w{/_{) − 2À} ?j_{+ :}¢ 4 `!/(`{/+ `w{/) − 2¡@ s/ . (10.161)

Pode-se mostrar que, tomado no limite → 0, resulta no campo coulombiano de uma carga em repouso na origem de um referencial inercial.

Figura 10.9: Configuração do campo elétrico de uma carga em

queda livre, na posição ( , ) = (0,0), num campo

gravitacional uniforme /:_{= 0,5.}

A equação (10.149), que define a trajetória da carga, escrita na forma 1

2 a`{/+ `w{/b = `w!Á/ leva à igualdade

`!/_a`{/ _{+ `}w{/_{b = 2`}a!w!Áb/ . (10.162) Deste modo, as componentes do campo elétrico podem ser colocadas na forma

(31)

-. . / . . 0·F= ¯ j` a!w!Áb/ ?j_{+ :}¢ 2 à!w!Áb/− 1¡ @s/ ·! = ¯ : ¢_à!w!Áb/− 1¡ ?j_{+ :}¢ 2 à!w!Áb/− 1¡ @s/ . (10.163)

Isto mostra a invariança translacional do campo elétrico: deslocada a origem para a posição atual da carga, a configuração do campo, a cada instante, é idêntica à configuração no instante = 0, ilustrada na figura 10.9.

Campo magnético

As componentes do campo magnético são §1 =

W ₌_s₌_s_{= >}_k_s

2 = = sW = sssW= −`w!/ >Wks

! = s = W = W= 0

. (10.163) cujas componentes não nulas resultam

-. . / . . 0 1 = ¯2 ,` !/ a`{/ _{− `}w{/_b ?+_{+ ,}_{+ :}¢ 4 `!/(`{/+ `w{/) − 2¡@ s/ 2 = − ¯2 +` w!/_(`_{/_{− `}_w{/₎ ?+_{+ ,}_{+ :}¢ 4 `!/(`{/+ `w{/) − 2¡@ s/ (10.164)

ou, em forma vetorial,

Â =1_{2 ¯}ja`{/− `w{/ba`w!/ 9`yz +Ã − `!/ :9z ,Ãb ?Ä_{+ :}¢ 4 `!/(`{/+ `w{/) − 2¡@ s/ . (10.165)

Ao contrário do campo elétrico, o campo magnético não tem invariança translacional, como pode ser verificada facilmente, inclusive porque o campo magnético depende da velocidade, equação (10.151), Â = ¯ j `w!Á/ a`w!/ 9`yz +Ã − `!/ :9z ,Ãb ?Ä_{+ :}¢ 2 `a!w!Áb/− 1¡@ s/ . (10.166)

Equações de Maxwell

As equações de Maxwell homogêneas, equação (10.72), contém a lei de Gauss do campo magnético,

(32)

>1 >+ + `!/ >2 >, +>> = 0 (10.167)! e a lei de Faraday -.. . / .. . 0 >_{:> + `}1 !/>·! >, −>·> = 02 `!/>2 :> +>·> − `1 !/>·>+ = 0! >! :> +>·>+ −2 >·>, = 01 . (10.168)

Considerando _! = 0, a lei da Gauss resulta >1

>+ + `!/>>, = 0 ,2

relativamente simples de ser verificada. Para verificar as equações que definem a lei de Faraday, as derivações são mais extensas e trabalhosas, mas é possível estabelecer as igualdades -.. . / .. . 0 >_{:> −}1 >·_{> = −`}2 !/>·! >, `!/>2 :> +>·> = `1 !/>·>+! >·2 >+ −>·>, = 01 .

As equações não homogêneas contém a lei de Gauss do campo elétrico, >·M >+M =4d_{: U e}4 =4d_{: `}!/ e4 (10.148) e a lei de Ampère -. . . / . . . 0>·1 :> −>aU>, !b+>aU> 2b= −4d: U eW >·2 :> −>> +1 >aU>+ !b= −4d: U e >·! :> −>aU>+ 2b+>>, = −1 4d: U es . (10.169)

A corrente pode ser obtida a partir das transformações vetoriais. Considerando uma carga puntiforme em repouso no referencial em queda livre de modo que

(33)

§ e

%4_{= j}%_{: = ¯G(v)}

e′W_{= e′} _{= e′}s_{= 0} , (10.170)

no referencial resultam as componentes

-. / . 0 e4 _{= ¯`}w!/_{G(+)G(,)G B}: 2 `!/ a`{/_{+ `}w{/_{b −}: D es_{= −¯`}w!/ G(+)G(,)G B_{2 `}: !/ a`{/_{+ `}w{/_{b −}: D , (10.171) as demais componentes sendo nulas, eW = e = 0.

A lei de Gauss do campo elétrico pode ser verificada realizando as derivadas das componentes do campo elétrico, mostrando que é nula,

>·1

>+ +>·>, +2 >·> = 0!

em todo o espaço exceto na posição da carga, cujas coordenadas são dadas por + = , = 0 mais a equação da trajetória

1

2 `!/a`{/+ `w{/b = 1 mostrando que a lei da Gauss

>·M >+M =>·_{>+ +}1 >·_{>, +}2 >·_{> =}! 4d_{: `}!/ e4 é satisfeita para `!/ e4_{= ¯G(+)G(,)G B}: 2 `!/a`{/+ `w{/b − 2¡D . As três equações da lei de Ampère, considerando que _!= 0 e eW= e= 0, ficam

-.. . / .. . 0 >·1 :> +>a` !/ 2b > = 0 >·2 :> −>> = 01 >·! :> −>a` !/ 2b >+ +>>, = −1 4d: `!/ es .

As duas primeiras são relativamente fáceis de serem verificadas. Realizando as derivações das componentes dos campos elétrico e magnético, embora trabalhosas, pode-se verificar que

>·!

:> −>a`

!/ 2b

(34)

em todo o espaço exceto na posição da carga, levando à terceira das equações da lei de Ampère, >·! :> −>a` !/₂_b >+ +>>, = −1 4d: `!/ es para a corrente `!/_es_{= −¯G(+)G(,)G B}: 2 `!/ a`{/_{+ `}w{/_{b − 2¡D .}

Exercícios

1. Obtenha o limite newtoniano das transformações de Rindler.

2. Use a derivação covariante para obter as equações de Maxwell na presença de campo gravitacional.

3. Obtenha as equações de Maxwell na presença de um campo gravitacional uniforme. 4. Mostre que a campo eletrostático de uma carga em repouso num campo gravitacional

uniforme, equação (10.145), tende ao campo coulombiano no limite → 0.

5. Mostre que o campo eletrostático de uma carga em repouso num campo gravitacional uniforme, equação (10.145), satisfaz a lei de Gauss.

6. Mostre que os campos elétríco e magnético, equações (10.159) e (10.164), respectivamente, satisfazem as equações de Maxwell.

Bibliografia

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10. Mario Goto, Campo eletromagnético de uma carga em queda livre num campo gravitacional uniforme, Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 32, n. 4, 131 (2010).

(35)

11. M. Goto, P. L. Natti e E. R. T. Natti, On the equivalence principle and gravitational and inertial mass relation of classical charged particles, Class. Quantum Grav. 27, 025055 (2010).